chapitre 1 : transformations...chapitre 1 : transformations i agrandissements et rÉductions...

CHAPITRE 1 :TRANSFORMATIONS

II AGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONS

Multiplier toutes les longueurs d’une figure par un nombre k strictement positif correspond res-pectivement :

• si k > 1, à un agrandissement de rapport k de cette figure ;• si 0

IIII PROPRIÉTÉ DE THALÈS

PROPRIÉTÉ On considère un triangle ABC et un triangle AMN telsque :

• le point M soit sur le côté [AB] ;• le point N soit sur le côté [AC].• Dans ce cas, on dit que les triangles sont en configuration de Thalès.

Si les droites (MM) et (BC) sont parallèles,alors le triangle AMN est une réduction du triangle ABCde rapport

AM

AB=

AN

AC=

MN

BC.

Sur la figure ci-contre,

• le point E est sur le segment [AC] ;

• le point D est sur le segment [CB] ;

• la droite (ED) est parallèle à la droite (AB).

Calculer les longueurs AB et CAB.

EXEMPLE

Sur la figure, les triangles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . et . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sont en configuration de Thalès.

De plus, comme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

d’après . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . est un agrandissement du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . de rapport . . . . . . . . . . . . . . . . .

et

le triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . est une réduction du triangle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . de rapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Autrement dit :

CEDCAB

Par conséquent,

AB = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .et CD = . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

22 c� 2020 COURS DE MATHÉMATIQUES DE NICOLAS ERDRICH — CHAPITRE 1

http://www.geogebra.org/m/PFgjAE79http://www.geogebra.org/m/dxP7k7Cchttp://www.geogebra.org/m/HtDzywfBhttps://www.geogebra.org/m/AHBFuekshttps://www.geogebra.org/m/AK2ga2Pahttp://mathematiqueslievre.pagesperso-orange.fr/Site/Accueil.html

IIIIII TRANSLATIONS

• On appelle translation une transformation qui ne modifie ni les longueurs, ni les angles, nil’orientation d’une figure mais seulement la position de la figure.

• Une translation est un glissement de la figure de départ.• Une figure et son image par une translation sont superposables et ont la même orientation.• Une translation est caractérisée par une direction, un sens et une longueur de glissement.

DÉFINITION

• Sur la figure ci-contre, le triangle A’B’C’ est l’image dutriangle ABC par une translation.

• Le point A’ est l’image de A par cette translation ; le pointB’ est l’image de B et le point C’ est l’image de C.

• On passe du point A au point A’ de la même manière quede B à B’ et que de C à C’ : 5 carreaux vers la droite et 1carreau vers le haut.

EXEMPLE

A B

C

A’ B’

C’

IVIV FRISES, PAVAGES ET MOTIFS DE BASE

On appelle frise une configuration obtenue par la reproduction d’un motif simplement « glissé ».DÉFINITION

On appelle pavage une configuration obtenue à partir d’un as-semblage composé d’un motif de base qui est reproduit de tellemanière qu’on recouvre tout le plan sans « trous » ni superposi-tion.

DÉFINITION

Sur la figure ci-contre, on a hachuré le motif de base qui a servià paver le plan.

EXEMPLE

L’artiste M. C. Escher (1898 - 1972)est un graveur néerlandais s’étantinspiré des mathématiques pour lacréation de ses œuvres dont de nom-breux pavages et des figures para-doxales. Ci-contre, un auto-portraitd’Escher et quelques exemples degravures.

c� 2020 COURS DE MATHÉMATIQUES DE NICOLAS ERDRICH — CHAPITRE 1 33

http://mathematiqueslievre.pagesperso-orange.fr/Site/Accueil.html

II AGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONS

Agrandissement d’un puzzle0101

1) Sur une feuille libre, tracer en grandeur réelleles trois polygones représentés ci- contre, l’unitéétant le cm.

2) Assembler les trois pièces pour former un carré.

On souhaite agrandir ce puzzle : le segment quimesure 5 cm sur l’énoncé devra faire 6 cm.

3) Construire les trois pièces de ce puzzle et vérifierl’assemblage.

On souhaite maintenant réduire le puzzle de dé-part : le segment de 12 cm devra faire 8 cm.

4) Construire les trois pièces de ce puzzle et vérifierl’assemblage.

12

5

7

39

12 7.6

13

Pour les 6 exercices qui suivent, on a représenté ci-dessous un bateau, l’unité étant le cm.On cherche à agrandir ou à réduire ce dessin. Compléter les tableaux ci-dessous.

CONSIGNES

0202Dimensions dubateau initial

3 4 5 6 7 9

Dimensions dubateau agrandi

12


3 4 5 6 7 9

Dimensions dubateau réduit

1,2

3

5 6

7

3

4

9


3 4 5 6 7 9

Dimensions dubateau réduit

3


3 4 5 6 7 9

Dimensions dubateau agrandi

8

0606Dimensions dubateau initial 3 4 5 6 7 9

Dimensions dubateau réduit 2

0707Dimensions dubateau initial 3 4 5 6 7 9

Dimensions dubateau agrandi 8


http://www.geogebra.org/m/H7UU2sbQhttps://www.geogebra.org/m/EGQbtXSnhttps://www.geogebra.org/m/wTj9HPt7http://mathematiqueslievre.pagesperso-orange.fr/Site/Accueil.html

IIII AGRANDISSEMENTS ET TRIANGLES SEMBLABLES

Pour chacun des trois couples de triangles ci-dessous, indiquez si le triangle EUX est ou n’est pas uneréduction ou un agrandissement du triangle ILS. Justifier.

0808

Sur chacune des figures ci-dessous,

• le pont M est sur le segment [AB] ;• le point N est sur le segment [AC] ;• les droites (MN) et (BC) sont parallèles ;• on fait varier la position du point M sur le segment [AB].

1) Que peut-on conjecturer pour chacun des couples de triangles AMN et ABC ?

2) Serait-ce encore vrai si les droites (MN) et (BC) n’étaient pas parallèles ?

0909


https://www.geogebra.org/m/qHmCFY9Mhttp://mathematiqueslievre.pagesperso-orange.fr/Site/Accueil.html

IIIIII CALCULS DE LONGUEURS

Dans les exercices qui suivent, la droite (MN) est parallèle à (BC). Calculer les deux longueurs manquantes.

CONSIGNES

1010 1111 1212

1313 1414 1515

1616 1717 1818

1919 2020 2121



VIVI CORRECTIONS

On sait que :

• ABC est un triangle ;

• M est un point de [AB] tel que AM = AB3

;

• La droite parallèle à (BC) passant par M coupe le segment [AC] au point N.

Le but est de démontrer que AMN est une réduction de ABC de rapport1

3, autrement

dit que le point N est tel que :

• AN = AC3

;

• MN = BC3

On place un point O aux 23 du segment [AB] et on trace la parallèle à (BC) passantpar O.Cette droite coupe le segment [AC] au point P.

11 Démontrons que AN = NP et que 2 ⇥ OP = MN

1) Dans le triangle AOP, comme M est milieu de [AO] et que la droite (MN)est parallèle à la droite (OP), d’après la propriété réciproque de la droite desmilieux, N est le milieu de [AP].

2) Toujours dans le triangle AOP, comme M est milieu de [AO] et que N estmilieu de [AP], d’après la propriété de la droite des milieux, OP=2MN. On vadémontrer que NP=PC, que BC=2OR et que MN=2RP

3) Dans le triangle MBC, comme O est milieu de [MB] et que la droite (OR)est parallèle à la droite (BC), d’après la propriété réciproque de la droite desmilieux, R est le milieu de [MC].

4) Toujours dans le triangle MBC, comme O est milieu de [MB] et que R estmilieu de [MC], d’après la propriété de la droite des milieux, BC=2OR.

5) Dans le triangle MNC, comme R est milieu de [MC] et que la droite (RP)est parallèle à la droite (MN), d’après la propriété réciproque de la droite desmilieux, P est le milieu de [NC].

6) Toujours dans le triangle MNC, comme R est milieu de [MC] et que P estmilieu de [NC], d’après la propriété de la droite des milieux, 2MN=RP.

22 CONCLUSION

On déduit de (a) et de (e) que : AN =1C3

.On déduit de (b), (d) et (f) : 4 ⇥ MN = 2 ⇥ OP = 2 ⇥ OR + 2 ⇥ RP = BC + MNdonc 3 ⇥ MN = BC autrement dit MN = BC

3.

’



VIIVII DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE THALÈS

Sur la figure ci-contre, les points A, M et Bsont alignés, les points A, N et B aussi et lesdroites (MN) sont parallèles.

1) Prouver que les deux triangles BMC etBNC ont la même aire.

2) Quel est le triangle qui a la même aireque le triangle ANB ? Justifiez-le.

3) Tracer les hauteurs [BK] et [CH] du tri-angle ABC

4) Justifier que AB ⇥ CH = AC ⇥ BK

5) Justifier que AM ⇥ CH = AN ⇥ BK

6) En déduire queAM ⇥ CHAB ⇥ CH =

. . .

. . .

7) Simplifier chaque membre de l’égalitéprécédente et conclure.

2626

VIIIVIII TERMINER UNE FIGURE ESQUISSÉE



IXIX PROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUX

La figure ci-contre représente un triangle tel que : AH = 8 cm ;AC = 6 cm et HC = 7 cm.

1) Démontrer que la droite (JK) est parallèle à la droite (AH)

2) Démontrer que IK = 3 cm.

2727

On considère la figure ci-contre. Démontrer que la droite (KL)est parallèle à la droite (RI). droite (KL)

2828

ABC est un triangle de côtés de longueurs : AB = 5 cm BC = 4 cm et AC = 8 cm. I est le milieu de[AB], J est le milieu de [BC] et K est le milieu de [AC].

1) Tracer la figure en grandeur réelle et la coder.

2) Calculer le périmètre du triangle IJK en justifiant.

2929

Sur la figure ci-contre, ABCDEFGH est un pavé droit tel que :AB = 5 cm ; BC = 4 cm et AE = 2,5 cm.I est l’intersection des diagonales de la face ABFE, J est l’in-tersection des diagonales de la face BCGF. Démontrer que (IJ)// (EG)

3030

On considère la figure codée ci-contre :

1) Démontrer que les droites (AB) et (JK) sont parallèles.

2) En déduire que B est le milieu de [IK].

3131



Sur la figure ci-contre, les points A, J, C, N et S d’une part etA, I, H, M et R d’autre part sont alignés. De plus, RS = 10 cm.

1) Calculer la longueur IJ en justifiant.

2) Démontrer que (RS) // (IJ)

3232

POLE est un parallélogramme. M est le milieu de [PO] et K est l’intersection de [PL] et [OE].

1) Tracer une figure codée.

2) Démontrer que (MK) est parallèle à (LO).

3333

Théorème de Varignon. ABCD est un quadrilatère quelconque.I, J, K et L sont les milieux respectifs des côtés [AB], [BC],[CD], [DA].

1) Faire une figure codée et rédiger une conjecture sur lanature du quadrilatère IJKL.

2) Démontrer cette conjecture.

3) Si ABCD est un rectangle, quelle est la nature deIJKL ?Justifier. d) Si ABCD est un losange, quelle estla nature de IJKL ? Justifier.

3434

Sur la figure ci-contre, les deux cercles ontpour centre le point A et le rayon de l’un estdouble du rayon de l’autre.

1) En utilisant uniquement la règle nongraduée et l’équerre, placer le milieu dusegment [AB].

2) Expliquer et justifier la constructiondans le cahier.

3535

Démontrer que la droite (EG) est parallèle à la droite (BD).3636



Dans chacun des cas suivants, précisez si le triangle EFG est un agrandissement ou une réductiondu triangle ABC, ou ni l’un ni l’autre. S’il existe, précisez le rapport d’agrandissement/de réduction.Conseil : pour chaque cas, faire un croquis codé.

1) AB = 5 cm BC = 6 cm et AC = 8 cm ; EF = 6 cm, FG = 7 cm et EG = 9 cm.


3) AB = 10 cm BC = 7 cm et AC = 8 cm ; EF = 8 cm, FG = 5,6 cm et EG = 6,4 cm.

Ex 01Ex 01

Dans chacun des cas suivants, précisez si le triangle EFG est un agrandissement ou une réductiondu triangle ABC, ou ni l’un ni l’autre. S’il existe, précisez le rapport d’agrandissement/de réduction.Conseil : pour chaque cas, faire un croquis codé.



3) AB = 10 cm BC = 7 cm et AC = 8 cm ; EF = 8 cm, FG = 5,6 cm et EG = 6,4 cm.

Ex 01Ex 01

CONTRÔLE BCALCULATRICE AUTORISÉE ; NOTÉ SUR 10 ; DURÉE ⇡10 minutes

CONTRÔLE ANom : Prénom : Classe :

CALCULATRICE AUTORISÉE ; NOTÉ SUR 10 ; DURÉE ⇡10 minutes



PROBLÈME

N1

II UN PROBLÈME DE DISTANCES

1) Sachant que la tour Eiffel mesure 324 m avec l’an-tenne, à quelle distance du pied de la tour cettephoto a-t-elle été prise ? Justifier.

2) Sur la photographie, on peut reconnaître l’espla-nade du Palais de Chaillot. À l’aide de cette infor-mation et à l’aide de la carte reproduite ci-dessous,vérifiez votre réponse. Justifier.

Ex 01Ex 01



RÉPONSE

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Nom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Prénom : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Classe : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



Rédaction : Schémas :. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .



II EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES

IIII PROBLÈME DE NIVEAU 1

Si la fillette tentait effectivement son père par la main, quelle serait alorssa hauteur ? Justifier.

Ex 01Ex 01

À quelle distance du monument cette photo a-t-elle étéprise ? Justifier.

Ex 02Ex 02

IIIIII FIGURES GEOGEBRA

Thalès et trianglessemblables

Trianglessemblables

Figureshomothétiques

Triangleshomlothétiques Bateau


https://www.geogebra.org/m/V8Pz5kY4https://www.geogebra.org/m/GnfqGDCBhttps://www.geogebra.org/m/PVw99CCshttps://www.geogebra.org/m/mr7GzXH5https://www.geogebra.org/m/d8WvBf84http://mathematiqueslievre.pagesperso-orange.fr/Site/Accueil.html

TRANSFORMATIONSAGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONSPROPRIÉTÉ DE THALÈSTRANSLATIONSFRISES, PAVAGES ET MOTIFS DE BASEAGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONSAGRANDISSEMENTS ET TRIANGLES SEMBLABLESCALCULS DE LONGUEURSAGRANDISSEMENTS ET RÉDUCTIONSEXERCICES SUPPLÉMENTAIRESCORRECTIONSDémontrons que AN = NP et que 2 OP = MNCONCLUSION

DÉMONSTRATION DU THÉORÈME DE THALÈSTERMINER UNE FIGURE ESQUISSÉEPROPRIÉTÉ DE LA DROITE DES MILIEUXUN PROBLÈME DE DISTANCESEXERCICES SUPPLÉMENTAIRESPROBLÈME DE NIVEAU 1FIGURES GEOGEBRA

chapitre 1 : transformations...chapitre 1 : transformations i agrandissements et rÉductions...

Documents