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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
CHAPITRE 1 COMPOSANTS DE PUISSANCE
UTILISES
Wei MI
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.1 Objectif
L’objectif de notre travail est la mise en place de procédures d’extraction des
paramètres et de détermination du domaine de validité.
Pour cela nous avons besoin de comparer l’expérience avec la simulation. Nous
définissons donc des paramètres transitoires, décrivant les commutations, que nous
utiliserons dans les analyses et les comparaisons.
De plus ce chapitre va correspondre aussi à quelques rappels de physique des
composants de puissance, nécessaires à une compréhension minimale, par exemple du
rôle des paramètres technologiques.
Dans tous les dispositifs de l’électronique de puissance, le conditionnement de
l’énergie électrique repose sur l’emploi de composants à semi-conducteur fonctionnant
en commutation.
L’étude des composants de puissance à semi-conducteur est une discipline à part
entière. Notre but, dans ce chapitre, n’est pas de traiter des détails de physique des semi-
conducteurs ni de leur technologie de fabrication. Nous nous en tiendrons au minimum
nécessaire pour présenter de façon simple des éléments de physique des semi-
conducteurs. Cela nous servira pour expliquer les principales caractéristiques statiques
et dynamiques étudiées dans notre projet, pour la diode de puissance PiN, le transistor
MOSFET et l’IGBT.
Généralement, la modélisation d’un composant de puissance à semi-conducteur
peut se faire, soit à partir de modèles analytiques basés sur les équations des semi-
conducteurs dans des simulateurs de circuits (PACTE, SMASH, SABER), soit avec un
simulateur de type éléments finis (DESSIS, MEDICI).
En fait, les travaux de modélisation d’un composant à semi-conducteur sont
largement influencés par les modèles classiques implantés dans le simulateur SPICE, qui
utilisent un schéma électrique équivalent pour représenter le comportement du
composant.
Dans l’autre cas, l’idée de base a été la résolution directe des équations des semi-
conducteurs sous une forme plus ou moins simplifiée, avec une méthode de différences
finis ou d’élément finis. Evidemment, ce moyen nous permet d’étudier plus finement la
physique et le comportement d’un composant. Son inconvénient se trouve au niveau du
coût de calcul élevé…
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En général, ces deux approches se basent sur les concepts de physique des semi-
conducteurs représentés par des équations mathématiques. Dans un modèle
unidimensionnel, ces équations sont [SZE-81]:
a) l’équation de Poisson
( , ) ( , )XX
E t X tρε
∂ =∂
(1-1)
où ( , ) [ ( ) ( , ) ( , )]X X X Xt q p t n tρ = Γ + − (1-2)
est la densité de charges.
et ( ) ( ) ( )D AX XN NΓ = − X (1-3)
est le taux net de dopants.
b) la définition du potentiel électrique (Equation de Faraday)
( , ) ( , )XX
t EΨ∂ = −∂
X t (1-4)
c) les équations de continuité pour les électrons et les trous
1( , ) ( , ) ( , )PX XX
p t U tt q
∂ = − −∂ ∂
XJ t∂ (1-5)
1( , ) ( , ) ( , )nX XX
Jn t U tt q
∂∂ = − +∂ ∂
X t (1-6)
où le taux de génération-recombinaison (Shockley-Read-Hall) est : 2
0
( , ) i
p n
pn nU X tn pτ τ τ
−=+ + in
1
(1-7)
avec (1-8) 0 1i n pn p nτ τ τ= +
d) les équations de transport:conduction et diffusion
( , ) ( , ) ( , ) ( , )p p pX X XX
ppJ t q t E t qDµ ∂= −
∂X t (1-9)
( , ) ( , ) ( , ) ( , )n nX X XX
nJ t q n t E t qDnµ ∂= +∂
X t (1-10)
avec ( , )X tρ : densité de charge totale (at.cm-3);
( )XΓ : dopage effectif net (at.cm-3);
µp : mobilité des trous (cm2.V-1.s-1);
µn : mobilité des électrons (cm2.V-1.s-1);
q: charge de l’électron (C);
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( , )E X t : champ électrique (V.cm-1);
( , )p X t : concentration en trous (at.cm-3);
( , )n X t : concentration en électrons (at.cm-3);
( , )pJ X t : densité de courant des trous (A.cm-2);
( , )nJ X t : densité de courant des électrons (A.cm-2);
Dp : coefficient de diffusion des trous (cm2.s-1);
Dn : coefficient de diffusion des électrons (cm2.s-1);
τp : durée de vie des trous (s);
τn : durée de vie des électrons (s);
p1 : concentration en trous caractérisant le niveau du piège (at.cm-3);
n1 : concentration en électrons caractérisant le niveau du piège (at.cm-3);
Dans les paragraphes suivants, nous présenterons, pour chaque composant étudié,
la diode PiN, le transistor MOSFET et l’IGBT, les éléments de physique et de
technologie essentiels, les caractéristiques statiques puis les comportements
dynamiques, et les modèles que nous adoptons dans notre projet.
1.2 Diode PiN de puissance
Interrupteur non commandable, la fonction de la diode est non seulement
indispensable mais omniprésente dans les systèmes électroniques de puissance. Le
comportement des composants PiN [Bausiere-97][Ferrieux-99][Hautier-99] aura donc
une influence importante sur le fonctionnement d’un système. D’autre part, la structure
de la diode PiN est la base de tous les autres composants de puissance. L’étude de ce
composant nous permet de bien connaître la physique et les caractéristiques des
composants. C’est pour cela que nous commençons par l’étude de la diode PiN.
1.2.1. Physique et technologie de la diode PiN de puissance Les diodes de puissance ont une structure PN ou PN-N+ (encore appelée PiN)
suivant qu’il s’agit de composants destinés à supporter à l’état bloqué une tension
inverse de faible ou de forte valeur.
La structure des diodes de puissance PiN est généralement réalisée avec une
couche P+ très dopée par diffusion d’atomes accepteurs dans une couche épitaxiée de
type N- très peu dopée. Cette couche est appelée zone centrale ou historiquement base
intrinsèque. L’épitaxie N- est réalisée sur un substrat épais très dopé de type N+. Le
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contact relié à la zone P+ constitue l’anode A, celui relié à la zone N+ la cathode K.
(figure 1.1-a))
La figure 1.1-b) indique le symbole utilisé pour représenter la diode et les
conventions de signe adoptées pour le courant iA et la tension vAK.
a) b)
Figure 1.1 Structure schématisée d’une diode PiN
Figure 1.2 Profil de dopage typique d’une diode PiN
La figure 1.2 montre l’allure générale monodimensionnelle du profil de dopage de
la diode de puissance PiN. Il existe plusieurs procédés de fabrication : technologie
"double diffusée" et technologie "épitaxiale" par exemple. Les différentes technologies
se diffèrent essentiellement par le profil de la ″fin de la zone faiblement dopée″ qui a un
rôle déterminant sur la fin du comportement transitoire de la diode PiN.
La tenue en tension (tension de claquage), VBR, est liée à la concentration ND et à
la largeur W de la zone centrale. La figure 1.3 donnée dans [Merle-92] montre
l’évolution de la tension de claquage en fonction de la concentration de dopants et de
l’épaisseur de la zone centrale pour une diode PiN en silicium. Ce graphique nous
permet de fixer quelques valeurs initiales dans les modèles de la diode de puissance pour
la procédure d’extraction, car les diodes bien optimisées se situent dans la zone de coude
de la courbe W(ND).
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Figure 1.3 Tension de claquage en fonction de la concentration et de
l’épaisseur de la zone centrale d’une diode PiN
Le CEGELY a utilisé la méthode de graphe [Allard-92] de liens pour décrire la
structure de la diode PiN de puissance donnée à la figure 1.4. Une diode peut être
décomposée en différentes régions semi-conductrices élémentaires selon leurs
comportements physiques (figure 1.5):
Une région neutre à gradient de dopage (DeN) nommée P, qui correspond au contact
P,
Une zone de charge d’espace (DeJ) nommée pn, qui correspond à la jonction P+N,
Une région de plasma nommée gaz, qui correspond à la zone neutre en forte
injection,
Une région ohmique (Ω) nommée n, qui correspond à la zone en faible injection à la
fin de la couche faiblement dopée,
Une région neutre (DeN) nommée N, qui correspond au contact N.
La zone de charge d’espace est bien connue. C’est la zone souvent désertée de
porteurs de charge, située autour de la jonction. De la désertion résulte des charges
positives coté N et négatives coté P issues des atomes dopants. En simplifiant beaucoup,
cette région élémentaire se comporte comme une capacité électrique non-linéaire.
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La zone de plasma est créée en polarisation directe quand la condition de forte
injection est satisfaite: les porteurs minoritaires injectés à travers la ZCE voisine
deviennent nettement plus nombreux que les atomes dopant. Dans une zone de plasma,
la neutralité impose n=p et un grand nombre de porteurs est stocké. Une zone de plasma
correspond à une chute de tension à ses bonnes très faible, presque indépendante de la
longueur. Cela explique la faible dépendance de la chute de tension à l'état passant d’un
composant bipolaire en fonction de son calibre en courant.
Une zone ohmique se comporte naturellement comme une résistance.
Enfin une zone neutre à gradient de dopage se comporte comme une source de
tension.
Figure 1.4 Profil de dopage typique d’une diode de puissance
Figure 1.5 Graphe de liens de la diode PiN de puissance
1.2.2 Comportement des diodes PiN
1.2.2.1 Caractéristique statique
Etat passant (Polarisation directe)
La caractéristique statique d’une diode à jonction est donnée à la figure 1.6. Si l’on
s’en tient à une présentation purement externe, le quadrant (1) correspond à la zone de
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polarisation directe de la diode et donc, à un état équivalent à l’interrupteur fermé.
Quand le circuit dans lequel la diode est insérée tend à faire circuler le courant dans le
sens anode (A)/cathode(K), ou sens passant, la diode est conductrice: la chute de tension
VF aux bornes d’une diode polarisée en direct est une fonction croissante du courant. On
note que la caractéristique statique simplifiée suit une loi exponentielle dans ce
quadrant. Le modèle standard donne :
[exp( ) 1]AKA S
T
vi IU
= − (1-11)
avec IS courant de saturation,
UT potentiel thermodynamique.
Figure 1.6 Caractéristique statique idéalisée de la diode
Etat bloqué (Polarisation inverse)
Le comportement en polarisation inverse (état ouvert) est décrit par la
caractéristique du quadrant (3). Quand le circuit dans lequel est placée la diode applique
aux bornes de celle-ci une tension négative tendant à y faire passer un courant négatif, la
diode est bloquée. La diode est traversée par un courant inverse IR qui augmente
fortement avec la température et qui varie avec la racine carrée de l’amplitude de la
tension inverse appliquée.
1.2.2.2 Comportements dynamiques
En pratique, les composants de puissance ne travaillent que dans deux états
extrêmes : l’état bloqué et l’état passant. Malheureusement, l’interrupteur idéal n’existe
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pas et les commutations dans les circuits pratiques sont toujours complexes et
imparfaites. La thèse de Sarrus F. [Sarrus-95] nous montre les comportements
dynamiques de la diode de puissance qui fonctionne dans une cellule de commutation.
La phase transitoire comporte quatre états: commutation à la fermeture, état passant,
commutation à l’ouverture et état bloqué.
Commutation à la fermeture
L’étude de la mise en conduction d’une diode PiN de puissance se fait avec une
cellule de commutation interrupteur-diode (figure 1.7) dans laquelle l’interrupteur T est
un composant MOS IRF740.
Figure 1.7 Circuit de commutation d’une diode de puissance
Quand l’interrupteur T est fermé, le courant de la source de courant IF passe dans
l’interrupteur T et ne circule pas dans la diode D. Les bornes de la diode sont soumises à
la source de tension VR. Lorsque l’on ouvre l’interrupteur T, le courant IF est obligé de
traverser la diode D. La couche N- est encore très résistive et, si le courant augmente très
vite, la tension directe peut atteindre une valeur élevée car la zone de plasma s’établit
progressivement. Au fur et à mesure que les zones P+ et N+ injectent des porteurs dans la
zone de plasma situé dans la couche N-. La zone ohmique N- réduit de taille, la chute de
tension diminue et tend vers sa valeur d’équilibre Von.
La figure 1.8 montre les formes d’ondes de courant et de tension pendant la
commutation. Nous notons qu’il y a deux grandeurs pouvant caractériser le
comportement d’une diode PiN, la valeur maximale de la tension directe VFM et le temps
d’établissement direct tfr. Ces deux grandeurs dépendent du courant appliqué, de la pente
du courant et de la température.
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La tension directe maximale VFM diminue quand la vitesse de recouvrement diA/dt
du courant diminue. Donc si diA/dt est très élevé, la valeur de VFM peut atteindre une
valeur très importante.
Figure 1.8 Tension et courant typique à la fermeture
Commutation à l’ouverture
Cette phase est la plus complexe, car elle met en œuvre des phénomènes physiques
très variés. C’est le blocage de la diode. La conduction d’un courant par une diode PiN
entraîne l’existence d’une zone de plasma, qui s’étend essentiellement dans la zone
faiblement dopée (couche N-). La phase de blocage va donc devoir s’accompagner de
l’évacuation des porteurs stockés dans la zone de plasma.
Le circuit pour étudier la commutation de la diode à l’ouverture est le même circuit
que celui de la commutation à la fermeture montrée à la figure 1.7, mais que les états
initiaux du composant sont différents.
La source de courant IF fixe le courant à couper, la source de tension VR donne la
tension inverse après ouverture. La diode étudiée est en série avec une inductance LD
représentant l’ensemble des inductances parasites de la boucle. Sur la figure 1.9, on
trace les formes d’ondes du courant iA et de la tension vAK.
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Figure 1.9 Ondes de tension et de courant dans une commutation à l’ouverture
(BYT12P600, IF=2A,VR=100V,LD =100nH, T=295K, VG=15V, rg=10W, lg=5nH)
Quant t<t0, la diode à l’état passant est parcourue par un courant direct iA=IF. Elle
possède une quantité de charges stockées QS dans la zone de plasma.
Pour t=t0, l’interrupteur T est fermé. La tension VR est appliquée en inverse aux
bornes de la diode. Le courant iA diminue progressivement en suivant la loi des mailles:
R AK DSA
D
V v vdidt L
− − += (1-12)
Si T commute suffisamment rapidement, vDS peut être négligeable par rapport à
VR. La tension aux bornes de la diode vAK reste positive et est légèrement positive. Car la
concentration en porteurs minoritaires au voisinage de la jonction PN est supérieure à la
concentration ND dans la zone centrale à cause de la zone de plasma. Il en résulte
qu’aucune zone de charge d’espace ne peut se développer. Cela permet de négliger aussi
la valeur vAK.
A R
D
di Vdt L
−≈ (1-13)
Donc, le courant peut s’exprimer approximativement par
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R
A F FD
di Vi I t Idt L
− = − t (1-14)
La diminution du courant permet l’évacuation progressive de la charge QS
correspondant au nombre total d’électrons stockés dans la zone de plasma, selon
l’équation classique obtenue à partir des équations (1-5, 1-6, 1-8, 1-9) avec n=p:
S SA
a
dQ Q idt τ
= − + , (1-15)
où , est la durée de vie ambipolaire dans la zone de plasma, la zone Na nτ τ τ= + p-.
Le courant iA passe par zéro pour t=t1 tel que :
1 / F DF
R
di I Lt Idt V
= (1-16)
A cet instant, t=t1, seule une petite partie des trous a été évacuée.
Pour t>t1, les concentrations en porteurs dans la zone N- sont encore supérieures à
celles de l’équilibre : les électrons et les trous continuent à quitter cette zone ou à se
recombiner. A cet instant, la tension aux bornes de la diode est toujours légèrement
supérieure à zéro, car la zone de plasma s’étale toujours dans la couche épitaxiée. Mais
le courant est négatif.
La pente de ce courant reste imposée par le circuit extérieur jusqu’à ce que la
concentration en porteurs au droit de la jonction PN- redevient inférieur au dopage, ce
qui permet à la jonction de retrouver son pouvoir de blocage.
On remarque que l’existence de la petite inductance dans le boîtier de composant
donne naissance à une chute de tension v1 pendant cette période (figure 1.10).
Figure 1.10 Boîtier de la diode PiN
La tension aux bornes du boîtier de la diode PiN est :
Am AK b
div v Ldt
= + (1-17)
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1A
b bR
D
di Vv L Ldt L
= = (1-18)
avec , l’inductance globale du boîtier 1b b bL L L= + 2
A l’instant t=t2, la concentration en trous devient très faible par rapport au dopage,
au niveau de la jonction. A cet instant, la zone de charge d’espace commence à s’étaler,
et la tension vAK décroît très vite vers des valeurs négatives.
A l’instant t=t3, le courant iA atteint sa valeur minimale –IRM.
Après l’instant t=t3, les porteurs stockés continuent à être éliminés
progressivement par recombinaisons et par le courant iA. La pente diA/dt donne
naissance à une surtension qui s’ajoute à la tension VR. La tension inverse atteint alors
sa valeur maximale VRM.
En fin de recouvrement, la diode fonctionne comme une capacité non linéaire en
série avec l’inductance et les résistances du circuit qui engendrent un phénomène
oscillatoire.
1.2.2.3 Paramètres transitoires de la diode de puissance à l’ouverture
Après avoir étudié les courbes électriques à la figure 1.9, les paramètres (table
1.1) caractérisant ces courbes transitoires peuvent être classiquement définis [LIN-94].
Symbole Unité Signification IRM A courant inverse maximal VRM V tension inverse maximale tRR S temps de recouvrement inverse
tVRM S durée entre le temps de passage au zéro de courant et le passage à la tension inverse maximale
dVF/dt V/s pente de la tension inverse au moment du passage à IRM dIR/dt A/s pente du courant de recouvrement au moment du passage à
VRM VRM1 V première crête de tension inverse après le passage à VRM tVRM1 S durée entre le passage de VRM et le passage à VRM1 dIF/dt A/s pente de la décroissance du courant direct
IF A courant direct à l’état passant VR V tension inverse appliquée
Table 1.1 Paramètres transitoires caractérisant la phase de la commutation
à l’ouverture de la diode PiN
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1.2.3 Modèle utilisé pour la diode PiN de puissance
L’expérience montre que le modèle classique SPICE de la diode, malgré qu’il
convienne bien dans des applications en électronique analogique, ne satisfait pas dans
les applications de puissance [Massmoudi-01].
Le CEGELY a développé un simulateur PACTE [Morel-95] qui adopte la méthode
des graphes de liens. Il utilise un modèle analytique à variable d’état [Morel-94] pour la
diode PiN de puissance développé par H Morel.
Ce modèle prend en compte la durée de vie ambipolaire pour présenter la forte
injection et utilise une technique d’Approximation Interne [Morel-95]. Ce modèle
reproduit assez fidèlement les commutations avec quatre paramètres technologiques de
la diode PiN et deux autres paramètres empiriques pour tenir compte de l’effet du
recouvrement dans la zone de charge d’espace (table 1.2). Ce sont ces paramètres que
nous voulons identifier. Puis nous vérifierons la validité de ce couple de modèle-
paramètres.
Signification physique Symbole Unité Surface effective A mm2
Dopage de la base ND cm-3 Largeur de la base W µm Durée de vie ambipolaire dans la base t ns Paramètre empirique 1 a - Paramètre empirique 2 tD -
Table 1.2 Paramètres du modèle de la diode PiN de puissance (H. Morel)
Avec un langage de description, M++, ce modèle a été implanté dans le simulateur
PACTE. La description du circuit est semblable à celle de SPICE.
Nous utilisons aussi le simulateur DESSIS qui utilise la méthode des éléments
finis. La modélisation par éléments finis peut-être considérée comme une modélisation
très précise des phénomènes électriques internes d’un dispositif à semi-conducteur.
1.2.4 Conclusion Nous venons de rappeler brièvement la technologie de fabrication, le
comportement statique et en commutation de la diode PiN de puissance.
Nous avons choisi un modèle analytique (PACTE) et numérique (DESSIS). Enfin
nous avons défini les paramètres transitoires décrivant la commutation à l’ouverture de
la diode PiN.
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Nous avons donc les ingrédients nécessaires à l’application d’une procédure
d’extraction des paramètres et de validation d’un modèle pour la diode PiN de
puissance.
1.3 Transistor MOSFET de puissance
Le transistor MOSFET (Metal-Oxide-Silicon Field-Effect-Transistor) [Bausiere-
97][Ferrieux-99][Hautier-99] présente la particularité d’être un interrupteur de
puissance commandé qui fonctionne en mode unipolaire, c’est-à-dire que le courant
n’est dû qu’au déplacement d’un seul type de porteurs de charges. Il en résulte une très
grande rapidité de commutation due à l’absence de charge stockée. En revanche, la
chute de tension est relativement élevée à l’état passant. C’est du à l’absence de la zone
de plasma dans la zone N-.
1.3.1 Physique et technologie du MOSFET de puissance Un MOSFET de puissance est formé d’un grand nombre de cellules élémentaires
mises en parallèle. Sa structure verticale permet au courant de traverser la puce de
silicium perpendiculairement et assure une assez grande tenue en tension. La figure
1.11-a) représente une vue en coupe de deux cellules voisines, et la figure 1.11-b)
montre le symbole usuel du MOSFET de puissance avec les notations classiques.
a) b)
Figure 1.11 Structure et symbole de MOSFET
Le contact métallique sur lequel est brasée la puce de silicium constitue le contact
de drain D. La zone en contact avec le drain est une zone de type N+ qui est le substrat.
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La partie N- faiblement dopée sert à assurer la tenue en tension à l’état bloqué. La partie
N+ évite que l’épaisseur totale ne conduise à une résistance excessive. Des îlots de type
P sont diffusés depuis surface supérieure de la puce. Dans ces îlots ont été diffusés des
îlots de type N+. Du côté de source, une première couche d’oxyde isole la métallisation
de grille G de la surface de la puce entre les îlots N+ et le substrat. Une deuxième
couche d’oxyde isole la métallisation de grille de la métallisation de source S qui relie
entre elles les diverses cellules élémentaires.
En l’absence de polarisation positive de la grille, le transistor est bloqué. Si une
tension vDS positive est appliquée aux bornes du drain et de la source, le courant de drain
iD est idéalement nul. En fait, il existe un très faible courant de fuite correspondant à la
jonction PN-N+ polarisée en inverse.
Lorsque vDS est positive, si l’on polarise positivement la grille, on peut rendre le
transistor conducteur. Le champ électrique résultant qui apparaît dans la couche d’oxyde
attire vers la surface du silicium les électrons minoritaires de la zone P et repousse les
trous majoritaires. Lorsque la tension devient supérieure à une valeur appelée seuil VT
(threshold voltage) de l’ordre de quelques volts, les électrons deviennent localement
assez nombreux pour assurer la conduction sous l’oxyde de grille. C’est le canal de type
N entre les îlots N+ et la zone N-. Les électrons peuvent se déplacer dans ce canal et
donner naissance au courant direct de drain.
Pour bloquer ce composant, il suffit de ramener la tension vGS au-dessous de la
tension de seuil pour éliminer les canaux.
1.3.2 Comportements du MOSFET de puissance
1.3.2.1 Caractéristiques statiques
Les caractéristiques donnent le courant de drain iD en fonction de la tension drain-
source vDS, pour diverses valeurs de la tension grille-source vGS. La figure 1.13 montre
une allure de caractéristiques statiques obtenues par le traceur Tektronix 371A pour le
composant MOSFET de référence IRF740.
Lorsque la tension vGS est inférieure à la tension de seuil VT, le transistor est
bloqué. Le courant iD est pratiquement nul, du moins tant que vDS n’atteint pas la tension
d’avalanche VBR de la jonction PN-N+ qui supporte cette tension.
Lorsque la tension vGS dépasse la tension de seuil, l’apparition d’un canal rend le
transistor conducteur. A partir de vDS = 0, le courant iD croît d’abord
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proportionnellement à vDS, ce qui correspond à une résistance rDSON entre drain et source
presque constante.
Lorsque la tension vDS atteint une valeur appelée tension de pincement vP (pinching
voltage), le canal est interrompu par la zone de charge de la jonction PN-: le courant iD
devient presque indépendant de VDS. Car les électrons passent en vitesse limite. Cela
correspond au régime de saturation du MOSFET.
Figure 1.12 Caractéristiques statiques pour le composant du MOSFET (IRF740)
A l’aide de la figure 1.13, la caractéristique de transfert, on peut extraire la valeur
VT, la tension de seuil. Cette caractéristique donne les variations du courant de drain iD
en fonction de la tension grille-source vGS lorsque le MOSFET est en régime de
saturation.
La tension vGS doit rester inférieure à une valeur limite, sinon il y a risque de
calquage de la couche d’oxyde grille.
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Figure 1.13 Caractéristique de transfert pour le MOSFET (IRF740) (VDS=5V)
1.3.2.2 Comportements dynamiques
Le MOSFET est intrinsèquement plus rapide que les composants bipolaires, car il
n’a pas de charge stockée. Ce sont les capacités structurelles qui limitent la rapidité des
commutations.
Ces capacités peuvent être modélisées comme le montre la figure 1.14. On
remarque qu’il y a trois principales capacités dans un transistor MOSFET: la capacité
grille-source CGS, la capacité grille-drain CGD et la capacité drain-source CDS. Parmi ces
capacités, CGS est la plus importante à cause de la couche d’oxyde isolant la grille de la
métallisation de source et du substrat. La capacité CGD correspond à la zone de déplétion
qui apparaît dans la zone P sous la métallisation de grille. La capacité CDS correspond à
la capacité de la jonction P+N- aux bornes de laquelle se retrouve pratiquement toute la
tension vDS à l’état bloqué.
Figure 1.14 Trois capacités parasites dans le transistor MOSFET
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En pratique, on mesure les capacités Ciss, Coss et Crss pour calculer ces trois
capacités :
la capacité d’entrée Ciss mesurée entre grille et source, avec court-circuit entre D et
S. Donc,
iss GS GDC C C= + (1-19)
la capacité de sortie Coss mesurée entre drain et source, avec court-circuit entre G
et S. Donc,
oss DS GDC C C= + (1-20)
la capacité de transfert inverse Crss mesurée entre drain et grille, avec court-circuit
entre G et S. Donc,
rss GDC C= (1-21)
On peut obtenir directement :
GS iss rssC C C= − (1-22)
et
DS oss rC C C= − ss (1-23)
On étudie le cas usuel où un MOSFET est placé, avec une diode, dans une cellule
de commutation (figure 1.15), alimenté sous la tension E et fournissant un courant I. La
commande de grille est appliquée par des impulsions rectangulaires de tension à travers
une résistance Rg. Les inductances L1 et L2 représentent les inductances parasites
globales dans le module et dans le montage.
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27
Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Figure 1.15 Circuit de commutation d’un MOSFET
Commutation à la fermeture
La figure 1.16 montre l’évolution de iG, vGS, iD, vDS et de la puissance instantanée
pon ( *on D DSp i v= ) pendant la commutation à la fermeture. Nous allons procéder à
l’analyse classique de cette commutation.
Tant que vGS est inférieure à la tension de seuil VT, il n’existe pas de canal dans le
MOSFET. iD est pratiquement nul, le courant dans la diode est donc très proche de IF, la
tension vDS reste égale à VR. Un courant iG positif charge la grille. Ce qui conduit à la
croissance de VGS.
Lorsque VGS atteint, à t t , la tension de seuil, le canal devient
conducteur et la charge de la grille doit en plus compenser la variation de la ZCE P
0 ( )d ON t+ = 1
+N.
Aussi, l’augmentation de la tension de grille devient plus faible. C’est le plateau
″Miller″ , caractérisé par Vmiller(ON).
Au delà de t1, le canal est conducteur, le courant iD croit régulièrement. Et cette
phase correspond à la croissance de iD depuis zéro jusqu’à IF. Les simulations et les
expériences montrent que iD croit linéairement et vDS commence à décroître.
Le courant iD atteint un maximum à l’instant t3. Cette phase est en fait contrôlée
par la diode PiN D:
_ maxF RM DI I I+ = (1-24)
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Figure 1.16 Allure des ondes électriques de la commutation du MOSFET à la fermeture
(T: IRF740, Rg = 100Ω, VR = 150V, IF = 2A, L1 = 80mH, L2 = 80mH, D: BYT12P600)
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Commutation à l’ouverture
La commutation à l’ouverture du MOSFET évolue de façon similaire à la
fermeture (figure 1.17)
Figure 1.17 Allure des ondes électriques de la commutation du MOSFET à l’ouverture
(T :IRF740, Rg = 100Ω, VR = 150V, IF = 2A, L1 = 80mH, L2 = 80mH, D :BYT12P600)
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.3.2.3 Paramètres transitoires du MOSFET
A partir des figures 1.16 et 1.17 qui donnent les ondes électriques de commutation
pour un composant MOSFET IRF740 avec une diode BYT12PI600, nous définissons les
paramètres transitoires qui caractérisent ces ondes lors de la commutation à la fermeture
(table 1.3) et à l’ouverture (table 1.4).
Symbole Unité Signification td(ON) s délai à la fermeture
tri s temps de la montée du courant iD ton s td_on+tri, durée de la mise en conduction tfv s temps de descente de la tension vDS
Vmiller(ON) V niveau du plateau ″Miller″ IDmax A valeur maximale du courant de drain
QG(ON) C charge stockée dans le grille dID/dt A/s pente du courant de la croissance
dVDS/dt A/s pente de la tension de la descente Won J puissance de la perte pendent la commutation
VGE_ON V tension de commande de grille VR V tension appliquée IF V courant appliqué
Table 1.3 Paramètres transitoires caractérisant la phase de la commutation
à la fermeture pour MOSFET
Symbole Unité Signification td(OFF) s délai à l’ouverture
trv s temps de la montée de la tension vDS tfi s temps de la descente du courant iD
Vmiller(OFF) V niveau du plateau ″Miller″ VDSmax(OFF) V valeur maximale de la tension aux bornes de drain et
source QG(OFF) C charge stockée dans le grille
DID/dt(OFF) V/s pente du courant de la descente DVDS/dt(OFF) V/s pente de la tension de la croissance
Woff J puissance de la perte pendant la commutation VGS_ON V tension de commande de grille
VR V tension appliquée IF A courant appliqué
Table 1.4 Paramètres transitoires caractérisant la phase de la commutation à
l’ouverture pour MOSFET
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.3.3 Modèle utilisé pour le transistor MOSFET de puissance Depuis assez longtemps, de nombreux modèles du transistor MOSFET de
puissance ont été implantés dans les simulateurs tels que SPICE et SABER. Dans la
thèse de H. HELALI [Helali-95], le modèle de MOSFET [Rossel-90]disponible pour
SPICE a été implanté dans le simulateur PACTE.
Figure 1.18 Schéma électrique équivalent du transistor MOS implanté dans PACTE
La figure 1.18 montre le schéma électrique équivalent du transistor MOS implanté
dans PACTE. Ce modèle adapte la modélisation empirique introduite par Hefner
[Hefner-94], qui utilise deux transconductances Kplin et Kpsat pour mieux représenter le
courant dans le canal. Kplin correspond à la région linéaire et Kpsat correspond à la région
de saturation des caractéristique statiques IDS(VDS).
Le courant de canal est donc donné par: 2
( )2plin DS
D plin GS T DSpsat
k VI k V V V
k
= − −
si ( ) psatDS DS T
plin
kV
k≤ −V V (1-25)
2( )2psat
D GS
kTI V V= − si ( ) psat
DS DS Tplin
kV
k≥ −V V (1-26)
Les définitions des paramètres de ce modèle sont présentés dans le table 1.5.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Signification physique Symbole Unité
Surface équivalente de l’espace grille-drain AGD mm2
Concentration de la base NB cm-3
Tension de seuil VT V Transconductance de la région linéaire de la caractéristique statique du MOSFET
KPLIN A/V2
Transconductance de la région de saturation de la caractéristique statique du MOSFET
KPSAT A/V2
Facteur de correction permettant de prendre en compte le champs transversal
THETA V
Résistance de drain RD Ω Résistance de source RS Ω Résistance de grille RG Ω Résistance de drain-source RDS Ω Courant de saturation de la jonction de l’émetteur IS A Capacité de grille-source CGS nF Capacité de gate-drain COXD nF Capacité de drain-source CDS nF Coefficient empirique MJ - Coefficient empirique FC - Potentiel de la base PN PB V Température de jonction T K
Table 1.5 Paramètres dans la modèle du transistor MOSFET (2KP)
1.3.4 Conclusion Nous avons rappelé le comportement statique et dynamique du MOSFET de
puissance dans une cellule de commutation. Cela nous a permis de définir les paramètres
transitoires du MOS pour représenter la phase de commutation. Le modèle du MOS
utilisé a été précisé.
Nous avons donc tous les éléments nécessaires à l’application d’une méthode
d’extraction des paramètres et à la validation d’un modèle pour le MOSFET de
puissance.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.4 IGBT (Insulated Gate Bipolar Transistor)
Le transistor bipolaire à grille isolée (IGBT) [Bausiere-97][Ferrieux-
99][Hautier-99] [Lautier-98] est né du désir de marier les avantages des transistors
MOS et des transistors bipolaires. L’idée très simplifiée est de remplacer le substrat N+
du MOSFET par un substrat P+ pour l’IGBT. Sa structure permet d’atteindre l’objectif
d’avoir une faible chute de tension à l’état passant, et une forte tenue en tension à l’état
bloqué en conservant une facilité de commande par une grille isolée. En revanche, la
vitesse de commutation est dégradée par rapport au MOSFET. Ce composant est
employé de plus en plus dans les dispositifs pour remplacer les transistors bipolaires, les
thyristors et les GTOs dans le domaine des moyennes et fortes puissances.
1.4.1. Physique et technologie de l’IGBT L’IGBT est formé d’un grand nombre de cellules élémentaires mises en parallèle.
La figure 1.19 présente la coupe de deux cellules voisines. Sur cette figure, on retrouve
la même structure que celle d’un MOSFET. La source devient l’émetteur. Du côté de
collecteur C, on trouve une zone P+ fortement dopée qui forme avec la zone N- du
substrat une jonction PN, tandis que dans un MOSFET le drain est directement connecté
à travers une couche N+.
Figure 1.19 Structure de l’IGBT
On note qu’en polarisation directe, la couche P+ injecte des porteurs (trous) dans la
zone résistive du drain du MOSFET (N-). Mieux encore cette injection crée une zone de
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
plasma, comme dans la jonction PN d’un diode PiN. La chute de tension dans une zone
de plasma étant très faible à cause du mécanisme de diffusion. La résistance de la
couche N- est modulée et réduite par rapport à celle du MOSFET correspondant. Par
conséquence, la chute de tension à l’état passant est diminuée.
Cette structure ne comporte pas une diode parallèle inverse, donc elle peut
supporter une tension inverse à l’état bloqué. Cette tenue en tension inverse est toutefois
assez faible à cause des forts dopages. Dans la pratique, la majorité des applications de
l’IGBT utilisent des modules avec une diode rapide dont le calibre en tension et celui en
courant sont les mêmes que pour l’IGBT. Dans notre projet, le but est d’étudier
directement le comportement de l’IGBT, nous choisissons un composant IGBT seul
(sans diode).
La figure 1.20 montre le schéma de principe simplifié (figure 1.20-a) et le symbole
d’un IGBT (figure 1.20-b).
a) b)
Figure 1.20 Schéma équivalent simplifié du composant IGBT et son symbole
Généralement, on distingue deux types d’IGBT, selon leurs technologies de
fabrication :
• la structure homogène (Non Punch Through, NPT) (Figure 1.21 a) )
• la structure épitaxiale ( Punch Through, PT) (Figure 1.21 b))
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
a) b)
Figure 1.21 Principales technologies utilisées pour la réalisation du composant IGBT
Les IGBT de type PT possèdent une couche N+ (buffer) de faible épaisseur entre
les zones P+ du côté de collecteur et N-. Cette couche permet de réduire l’épaisseur de la
zone N- pour une valeur donnée de la tension de claquage de la jonction J1 et sert de
centre de recombinaison pour les électrons de la zone N- à la fin de la phase de blocage.
Ce type de structure est la plus utilisée en pratique, surtout dans la gamme de tension
inférieure à 1200V. Les caractéristiques résultent d’un compromis entre la durée
d’élimination du courant de queue et la chute de tension directe à l’état passant.
Les IGBT de type NPT, où la zone N- n’est pas complètement envahie par la zone
de déplétion à l’état bloqué, ne comportent pas de couche N+. En revanche, la jonction J2
est réalisée de façon à réduire l’injection de trous de P dans N-. La technologie
homogène est utilisée dans la gamme de tension supérieur à 1200V.
1.4.2 Comportements de l’IGBT
1.4.2.1 Caractéristiques statiques
Les caractéristiques statiques d’un IGBT (BUP202), mesurées par la même
technique qu’au chapitre précédent et donnant le courant ic en fonction de la tension vCE
pour diverses valeurs de la tension de commande vGE, sont représentées à la figure 1.22.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Figure 1.22 Caractéristiques statiques pour le composant IGBT (BUP202)
Lorsque vGE est inférieure à la tension de seuil VT, le transistor est bloqué et la
caractéristique iC(vCE) est pratiquement confondue avec l’axe des tensions, pour autant
que la tension vCE reste inférieure à la tension d’avalanche VBR de la jonction J1 qui
supporte la tension appliquée.
Lorsque VGE dépasse VT, la création du canal permet au transistor de conduire.
Mais les porteurs doivent traverser la jonction NP+ coté collecteur. Ce n’est donc que
pour des valeurs de vCE supérieures au volt qu’on observe une rapide croissance de iC
avec vCE.
Lorsque vCE a dépassé cette valeur, les caractéristiques iC (vCE) ont une pente
beaucoup plus forte que celles du MOSFET en raison de la forte diminution de la
résistance de la zone N- grâce à la zone de plasma.
1.4.2.2 Comportements dynamiques
Plusieurs aspects du comportement dynamique d’un IGBT sont similaires à ce que
l’on obtient avec un transistor MOSFET. La particularité essentielle de l’IGBT se situe à
l’ouverture. Nous allons la présenter dans ce paragraphe.
On étudie le cas usuel où un IGBT, T, est placé dans une cellule de commutation
(figure 1.23). C’est le même circuit que le circuit de commutation RL du MOSFET.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Figure 1.23 Circuit de la commutation d’un IGBT
Commutation à la fermeture
La figure 1.24 montre l’évolution de iG, vGE, iC, vCE et de la puissance instantanée
pon ( *on C CEp i v= ) pendant la commutation à la fermeture.
Avant l’instant t = t0, la diode D est à l’état passant avec courant IF. L’IGBT T est
bloqué, iG = 0. Les bornes de l’IGBT supportent la pleine tension, vCE = VR.
A t = 0, on applique une tension positive de commande VG. De t = 0 à t = t1, vGE
étant inférieure à VT, vCE reste égale à VR, iC reste nul.
De t = t1 à t = t2, vGE continue à croître et atteint le niveau VT. L’IGBT commence
à conduire. iC croît très rapidement de zéro à IF. Cette croissance de iC correspond à la
chute du courant iD à travers la diode D. vCE reste proche de VR.
A l’instant t2, le courant iD passe à zero et la tension inverse aux bornes de la diode
D augmente. Le courant dans l’IGBT atteint IF, la valeur de la source de courant.
De t = t2 à t = t3, vGE reste presque constant (effet Miller), le courant iC atteint une
amplitude maximale correspondant au courant de charge IF plus le courant de
recouvrement inverse de la diode D (IRM). La croissance du courant collecteur provoque
une petite diminution de la tension vCE due à la présence des inductances de câblage.
A l’instant t3, la diode a retrouvé son pouvoir de blocage. Le courant iC décroît et
se stablise à une amplitude imposée par la charge. La tension vCE chute.
Après t = t4, vCE termine sa décroissance, vGE tend vers sa valeur finale VG.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Les surfaces hachurées de la puissance instantanée pon correspondent aux énergies
Won fournies pendant la commutation à la fermeture de l’IGBT.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Figure 1.24 Allure des formes électriques de la commutation de IGBT à la fermeture
(T :BUP202, Rg = 387Ω, VR = 150V, IF = 2A, L1 = 80mH, L2 = 80mH, D :BYT12P600)
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Commutation à l’ouverture
Le transistor IGBT est à l’état passant. L’amplitude IF du courant collecteur est
fixée par la charge. Le générateur de commande de grille impose une tension de
polarisation positive de +15V. La chute de tension à l’état passant de l’IGBT est faible.
Le transistor IGBT est bloqué par une tension de commande de grille de VG à zéro
ou, le plus souvent, à une valeur négative pour accélérer la décharge de la capacité
d’entrée. Cette valeur négative est maintenue pendant toute la phase de blocage de
l’IGBT pour assurer son blocage en évitant un amorçage par le bruit inopiné.
Les signaux électriques à l’ouverture de IGBT peuvent s’analyser en deux phases
(figure 1.25).
La première phase.
De t = t0 à t = t1, la grille commence à se décharger à travers RG tandis que vCE et
iC restent presque constants.
De t = t1 à t = t2, la jonction J1 s’étend et la tension vCE augmente, d’abord
lentement puis de plus en plus vite. Le courant iC reste proche de IF, tandis que la diode
reste bloquée.
De t = t2 à t = t3, le courant dans la diode augmente tandis que iC diminue. Cette
première partie de la descente de iC correspond à l’interruption du courant d’électrons
qui passait par les canaux. Le diC/dt est très élevé et le temps de descente tfi = t3 –t2,
varie peu avec IF.
A la fin de cette première phase, la courant dans le transistor ne constitue plus
qu’une petite fraction de IF mais reste nettement plus grand que le courant de fuite à
l’état bloqué. En effet à cet instant il existe encore beaucoup d’électrons dans la zone de
plasma qui s’était formée dans la couche N-.
La deuxième phase.
De t = t3 et t = t4, le courant iC qu’on appelle courant de queue (tail current)
décroît progressivement au fur et à mesure que la charge stockée dans la zone de plasma
disparaît par recombinaison des paires électron-trou. Le courant de queue dépend de la
durée de vie ambipolaire dans cette région, donc cela peut être relativement long.
A l’instant t = t4, le courant iC a retrouvé sa valeur de régime à l’état bloqué. C’est
durant la phase t3-t4 qu’apparaît la part la plus importante des pertes par commutation à
l’ouverture. L’existence de cette phase est la principale cause qui limite la fréquence
maximale de commutation d’un IGBT par rapport à un MOSFET.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Figure 1.25 Allure des formes électriques de la commutation de l’IGBT à l’ouverture
(T :BUP202, Rg = 387Ω, VR = 150V, IF = 2A, L1 = 80mH, L2 = 80mH, D :BYT12P600)
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.4.2.3 Paramètres transitoires de l’IGBT
Pour identifier les paramètres du modèle d’IGBT et valider le couple modèle-
paramètres, nous devons définir les grandeurs qui peuvent caractériser les ondes
électriques pendant la commutation.
Les phases de la commutation à la fermeture (turnon) (figure 1.24) et la
commutation à l’ouverture (turnoff) (figure 1.25) de l’IGBT sont caractérisées par les
paramètres transitoires fournis dans les tables 1.6 et 1.7.
Symbole Unité Signification td_on S Délai à la fermeture tri S Temps de la montée du courant iC ton S td_on+tri, durée de la mise en conduction tfv S Temps de descente de la tension vCE
Vmiller_on V Niveau de l’effet Miller ICmax A Valeur maximale du courant de collecteur QG C Charge stockée dans le grille
dIC/dt A/S Pente du courant de la croissance dVCE/dt V/S Pente de la tension de la descente
Won J Puissance de la perte pendant la commutation VGE V Tension de commande de grille VR V Tension appliquée IF A Courant appliqué
Table 1.6 Paramètres transitoires décrivant la phase de commutation à la
fermeture(IGBT)
Symbole Unité Signification td_off S Délai à l’ouverture trv S Temps de la montée de la tension vCE tfi S Temps de la descente du courant iC tq S Durée de la queue du courant iC
Vmiller_off V Niveau de l’effet Miller VCE_max V Valeur maximale de la tension aux bornes de
collecteur- émetteur; Iq A Niveau de queue du courant
QG C Charge stockée dans le grille dIC/dt A/S Pente du courant de la descente
dVCE/dt V/S Pente de la tension de la croissance Woff J Puissance de la perte pendent la commutation VGE V Tension de commande de grille VR V Tension appliquée IF A Courant appliqué
Table 1.7 Paramètres transitoires décrivant la phase de commutation à l’ouverture
(IGBT)
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.4.3 Modèle utilisé pour l’IGBT
Un modèle électrique analytique de l’IGBT développé par Hefner [Hefner-88]
[Hefner-90(1)] [Hefner-90(2)] [Hefner-91] [Hefner-93] [Hefner-94] publié dans la
littérature est adopté pour notre projet.
Les équations pour représenter les modèles de deux types d’IGBT, soit NPT et PT,
sont décrit dans la thèse de Annis Ammous [Ammous-98]. La figure 1.26 illustre le
schéma équivalent représentant ces équations.
Figure 1.26 Circuit représentatif des équations du modèle électrique de l’IGBT
Ces modèles sont implantés dans le simulateur PACTE.
Les tables 1.8 et 1.9 résument la description des paramètres dans le modèle de
l’IGBT (Hefner) pour la structure de NPT et celui de PT.
Signification physique Symbole Unité Surface active de l’IGBT A cm2
Surface équivalente de l’espace de grille-drain du MOSFET Agd cm2 Longueur totale de base Wb um Tension de seuil du MOSFET Vth V Tension de seuil de la zone de désertion grille-drain Vtd V Transconductance de la région linéaire de la caractéristique
statique du MOSFET Kplin0 A/V2
Transconductance de la région de saturation de la caractéristique statique du MOSFET
Kpsat0 A/V2
Capacité grille-source Cgs nF Capacité de l’oxyde de grille-drain COXD nF
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
Courant de saturation de la jonction de l’émetteur Isne A Duré de vie des porteurs minoritaires dans la base en forte
injection tau_HL us
Concentration de la base Nb cm-3
Constante empirique BVf - Constante empirique BVn - Facteur de correction permettant de prendre en compte le
champs transversal dans le MOSFET teta1 V
Table 1.8 Description des paramètres dans le modèle de l’IGBT (NPT) (Hefner)
Signification physique Symbole Unité Surface active de l’IGBT A cm2
Surface équivalente de l’espace de grille-drain du MOSFET Agd cm2 Longueur totale de la base Wl um Longueur totale de la couche tampon Wh um Tension de seuil du MOSFET Vth V Tension de seuil de la zone de désertion grille-drain Vtd V Transconductance de la région linéaire de la caractéristique
statique du MOSFET Kplin0 A/V2
Transconductance de la région de saturation de la caractéristique statique du MOSFET
Kpsat0 A/V2
Capacité grille-source Cgs nF Capacité de l’oxyde de grille-drain COXD nF Courant de saturation de la jonction de l’émetteur Isne A Duré de vie des porteurs minoritaires dans la base en forte
injection tau_L us
Duré de vie des porteurs minoritaires dans le buffer tau_H us Concetration de la base Nl cm-3 Concentration de la couche tampon Nh cm-3
Coefficient empirique BVf - Coefficient empirique BVn - Facteur de correction permettant de prendre en compte le
champs transversal dans le MOSFET teta1 V
Table 1.9 Description des paramètres dans le modèle de l’IGBT (PT)
(Hefner)
1.4.4 Conclusion Nous avons fait un rappel de physique de l’IGBT et analysé son comportement
dans une cellule de commutation. Cela nous permet de définir les paramètres transitoires
représentant les phases de commutation. Nous avons exposé le modèle de l’IGBT utilité,
le modèle de Hefner. Ces éléments sont les bases pour l’identification et la
caractérisation du domaine de validité.
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Extraction des paramètres et domaine de validité du modèle d’un composant de puissance
1.5 Conclusion
Nous venons de rapidement rappeler des éléments sur la fabrication, le
fonctionnement et la modélisation des 3 principaux composants de puissance, utilisés
dans ce travail.
Nous en avons profité par définir des paramètres transitoires décrivant les
commutations de chacun de ces composants.
Nous avons donc les éléments nécessaires à l’application d’une procédure
d’extraction des paramètres et de détermination du domaine de validité pour ces
composants.
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