Année 2016-2017

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Séquence 02 : Initiation à la démonstration

Objectifs :

Connaitre les propriétés des symétries ; Connaitre les droites particulières des triangles ; Propriétés sur les quadrilatères particuliers ; Propriétés sur les angles et le parallélisme .

Compétences visées :

Construire une image par symétrie centrale Trouver un centre de symétrie éventuel Utiliser la définition des médiatrices d’un triangle Utiliser la définition des médianes d’un triangle Placer le centre de gravité d’un triangle Démontrer qu’un quadrilatère est un parallélogramme Démontrer qu’un parallélogramme est un parallélogramme particulier Caractériser deux droites parallèles par les angles qu’elles forment avec une sécante Utiliser les propriétés des angles formés par deux droites parallèles.

Faire marquer le devoir de recherche dans le cahier de textes. Il est à rendre pour le Vendredi 16 Septembre 2016. Objectif : poser des opérations successives avec des nombres relatifs et les effectuer Sur la feuille de Devoir Maison, écrire DR 1

Activité 1.: Réflexion.

Travail de l'élève : Une transformation étrange. Emeline décide de tracer une figure qui serait une transformation de la figure ci-dessus

1. Symétrie axiale. Tracez la droite (d) parallèle à (BC) et qui passe par le point O. Placez en bleu les points A1, B1, C1, D1, E1, F1, G1, H1, et I1 les symétriques respectifs par la symétrie d’axe (d) des points A, B, C, D, E, F, G, H, et I

2. C’est joli un milieu. Placez en vert les points A2, B2, C2, D2, E2, F2, G2, H2, et I2 tels que O soit le milieu des segments [AA2], [BB2], [CC2], [DD2], [EE2], [FF2], [GG2], [HH2], et [II2]

3. Le rapporteur ou reporteur ? Quelles sont les mesures des angles

𝐴𝑂𝐴1 , 𝐵𝑂𝐵1 , 𝐶𝑂𝐶1 , 𝐷𝑂𝐷1 , 𝐸𝑂𝐸1 , 𝐹𝑂𝐹1 , 𝐺𝑂𝐺1 , 𝐻𝑂𝐻1 , 𝑒𝑡 𝐼𝑂𝐼1 . 4. Bis Repetita placent.

Quelles sont les mesures des angles

𝐴1𝑂𝐴2 , 𝐵1𝑂𝐵2

, 𝐶1𝑂𝐶2 , 𝐷1𝑂𝐷2

, 𝐸1𝑂𝐸2 , 𝐹1𝑂𝐹2 , 𝐺1𝑂𝐺2

, 𝑒𝑡 𝐻1𝑂𝐻2 . Sans le

mesurer, à votre avis combien mesure l’angle 𝐼1𝑂𝐼2 ? Vérifiez votre réponse en vous servant du rapporteur.

Séance 1

Année 2016-2017

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TAF : Exercices à Finir pour le lendemain. Faire marquer le Devoir Maison dans le cahier de textes, il est à rendre pour le Vendredi 23 Septembre 2016. Objectif : Ecrire une expression correspondant à une succession d’opérations. Produits et quotients de nombres relatifs Sur la feuille de Devoir Maison, écrire DM 1

Activité 2.: Problématique.

Au billard Lorsqu’une boule de billard tape une bande en un point M, la boule est renvoyée selon une trajectoire symétrique par rapport à la perpendiculaire à la bande en M. Sur la figure ci-contre, le rectangle ILKJ représente une table de billard. Que peut-on dire des droites (AB) et (CD) ? Expliquer.

Le point le plus proche

Vous avez un segment dont une extrémité est rouge et l’autre verte et de

nombreux autres points noirs.

A. Pour chacun des points, vous

devez :

- le colorer en rouge si il est

situé plus près du point rouge

que du point vert

- le colorer en vert si il est

situé plus près du point vert

que du point rouge

B. Relier les points non colorés

par des segments. Qu’observe-

t-on ?

C. Observer la ligne tracée. Enoncer les propriétés de cette droite.

D. Tracer une droite possédant les propriétés évoquées dans l’activité. Placer un point

sur cette droite et montrer qu’il vérifie la propriété énoncée àla fin de la première

partie même quand on déplace ce point.

(Ceci est la première approche des techniques de démonstration, qui serviront de transition

vers les activittés sur les médianes).

Séance 2

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M

P O

Activité 3.: Vocabulaire, définitions, Propriétés

Techniques sur la démonstration, sur la base des propriétés connues en 6eme : droites parallèles et perpendiculaires. Application sur les nouvelles médiatrices. Appui sur le manuel page 11. Si …………… Comme ……….. Alors ///////////// Je sais que …….. Or ………. Donc Une démonstration permet de justifier la réponse à une question en utilisant les données de l’énoncé, ET les définitions ou propriétés du cours. La démonstration part des données utiles de l’exercice pour répondre à la question. La démonstration utilise ensuite une propriété vue en cours adaptée à la consigne. La démonstration arrive enfin à la conclusion souhaitée qui est la réponse à la question. 1ère étape de la rédaction : écrire les données utiles : On sait que données utiles 2ème étape de la rédaction : Citer la propriété de cours : Or propriété 3ème étape de la rédaction : Ecrire la conclusion : Donc conclusion Certains préfèrent rédiger ainsi (ce qui est aussi équivalent) 1ère étape de la rédaction : écrire les données utiles : Si propriété 2ème étape de la rédaction : Citer la propriété de cours : Comme données utiles 3ème étape de la rédaction : Ecrire la conclusion : Alors conclusion Illustration : Si il pleut alors mes chaussures sont

mouillées

Comme il pleut des cordes Alors mes chaussures sont mouillées.

On sait que il pleut des cordes Or quand il pleut mes chaussures sont

mouillées

Donc mes chaussures sont mouillées.

Résumé Symétries :

Le symétrique d’un point A dans la symétrie d’axe t la médiatrice du segment [AB]

Si A appartient à alors son symétrique est A lui-même. Le symétrique d’un point M dans la symétrie de centre O est le point P tel que O soit le milieu de [MP]. Le symétrique de O est O lui-même. Propriétés de la médiatrice d’un segment : 1) Tout point de la médiatrice d’un segment est équidistant des extrémités de ce segment. Si M appartient à la médiatrice de [AB] alors MA = MB. 2) Tout point équidistant des extrémités d’un segment appartient à la médiatrice de ce segment. Si MA = MB alors M appartient à la médiatrice de [AB].

Séance 3

A B

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Résumé Parallélogrammes : Définition : Un parallélogramme est un quadrilatère dont les supports des côtés opposés sont parallèles. Propriétés : Dans un parallélogramme, - les diagonales se coupent en leur milieu et leur point d’intersection est centre de symétrie - les côtés opposés ont même longueur - les angles opposés sont égaux les angles consécutifs sont supplémentaires. Définition : Un losange est un quadrilatère qui a ses quatre côtés de même longueur. Propriétés du losange :

Un losange est un parallélogramme. Dans un losange : - les diagonales se coupent en leur milieu et ont des supports perpendiculaires - les angles opposés sont égaux

Comment reconnaître un losange ? - par sa définition - Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur alors c’est un losange. - Si un quadrilatère a ses diagonales de même milieu et de supports perpendiculaires alors c’est un losange.

Définition : Un rectangle est un quadrilatère qui a trois angles droits. Propriétés du rectangle :

- le rectangle est un parallélogramme. - dans un rectangle les quatre angles sont droits - les diagonales se coupent en leur milieu et ont la même longueur.

Comment reconnaître un rectangle ? - par sa définition - Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur et de même milieu alors c’est un rectangle. - Si un parallélogramme a un angle droit alors c’est un rectangle.

Définition : Un carré est un rectangle qui a deux côtés consécutifs de même longueur. Propriétés du carré : Dans un carré :

- les quatre côtés ont même longueur - les diagonales se coupent en leur milieu, ont même longueur et des supports perpendiculaires.

Comment reconnaître un carré ? - par sa définition - Si un quadrilatère a ses diagonales de même longueur , de même milieu et de supports perpendiculaires alors c’est un carré. - Si un losange a un angle droit alors c’est un carré.

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Résumé Angles et Parallélismes Deux angles sont adjacents quand ils ont le même sommet, un côté commun et sont situés de part et d’autre de ce côté commun. Deux angles sont opposés par le sommet quand les côtés de l’un sont les demi-droites opposées aux côtés de l’autre. Deux angles opposés par le sommet ont même mesure. xÔy et yÔz sont adjacents. xÔy et x’Ôy' sont opposés par le sommet.

Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles alternes-internes formés sont égaux.

D // D’ et Â3 et 1B sont alternes-internes

donc Â3 = 1B . Si deux droites parallèles sont coupées par une sécante alors les angles correspondants sont égaux.

D // D’ et Â1 et 1B sont correspondants

donc Â1 = 1B . Si deux droites forment avec une sécante des angles alternes-internes égaux alors elles sont parallèles.

Â4 et 2B sont alternes-internes. Et Â4 = 2B alors (D) // (D’) Si deux droites forment avec une sécante des angles correspondants égaux (ou des angles alternes-internes égaux) alors elles sont parallèles.

Â2 et 2B sont correspondants. et Â2 = 2B alors (D) // (D’)

O

y

y’

x

z

x’

A

B

1

2 3

4

1

2 3

4

D

D’

A

B

1

2 3

4

1

2 3

4

D

D’

(D)

()

2

3 A

1

4

1 2

3 B 4

(D’)

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Activité 4.: Applications. (A.A)

Application 1 : Construire un triangle ABC équilatéral tel que AB = 4 cm. Construire ensuite un triangle BEC isocèle de base [EC] tel que EC = 6 cm. 1°) Quelle est la nature du triangle BAE ? 2°) Montrer que les points A, C et E appartiennent à un même cercle dont on précisera le centre et le rayon. 3°) Calculer la longueur du cercle et l’aire du disque délimité par ce cercle. Application 2 : Soient une droite (xy) et deux points A et B n’appartenant pas à (xy). Construire les points M et N symétriques respectifs de A et de B par rapport à la droite (xy). Montrer que les droites (AM) et (BN) sont parallèles. Application 3 : Construire un triangle isocèle ABC de base [BC] et tel que AB = 4 cm.

Construire un autre triangle isocèle DBC de base [BC] tel que AD = 4 cm.

Quelle est la nature du quadrilatère ABDC ?

Application 4 : Soit un parallélogramme ABCD, A’ le pied de la perpendiculaire à (DC) passant par A, C’ le

pied de la perpendiculaire à (AB) passant par C.

1°) Montrer que AA’CC’ est un rectangle.

2°) Montrer que AA’ = CC’

Application 5 : Soit un triangle AOM rectangle et isocèle en O. Construire les points H et T symétriques respectifs des points A et M par rapport au point O. Montrer que le quadrilatère MATH est un carré. Application 6 :

I) Sur la figure ci-contre, ABC est un triangle quelconque et (xy) la droite passant par A et parallèle à la droite (BC). 1°) Montrer que :

xÂB= CBA ˆ et yÂC = BCA ˆ . 2°) En déduire que

CBA + BCA + CAB = 180° Enoncer le résultat obtenu.

Construire un triangle EFG isocèle en E tel que EF = 6 cm et GEF = 50°.

Calculer GFE et FGE .

Application 7 :

Sur la figure ci-contre, les droites (xy) et (rs) sont

parallèles et l’angle xÂO vaut 110°.

Tracer les bissectrices respectives [Au) et [Ov) des

angles OÂx et AÔs.

1°) Comparer les angles uÂO et vÔA.

2°) Montrer que les droites (Au) et (Ov) sont

parallèles.

Séance 4

A

y

C B

x

x y

r s

A

O

Année 2016-2017

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Activité 5.: Scratch

Objectif : Programmer des scripts d’algorithmique qui se déroulent en parallèle. (Etape : Jeu de Course de lutins)

Séance 5