chap8_theorie des jeux
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7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
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Introduction la
thorie des jeux
David Bounie
Thomas Houy
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Introduction
Nous avons tudi la firmeconcurrentielle et le monopole.
Il existe des structures de marchintermdiaires : loligopole.
Une forme particulire de loligopole est
le duopole : deux firmes.
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Choisir une stratgie
2 firmes produisent un bien identique.
4 variables sont considrer.
Le prix de chaque entreprise.
Loutput de chaque entreprise.
Plusieurs cas peuvent tre analyss.
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Les jeux squentiels
La firme connat les choix effectus parlautre entreprise.
La 1ere firme est le leader.
La 2me firme est le suiveur.
Les interactions stratgiques entre 1 et 2
constituent un jeu squentiel. Les variables stratgiques peuvent tre
les prix ou les output.
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Les jeux simultans
La firme ne connat pas les choixeffectus par lautre entreprise.
La firme doit prvoir les dcisions delautre lorsquelle fixe le prix ou le niveaudoutput produire.
Les interactions stratgiques entre 1 et 2constituent un jeu simultan.
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Elle permet de modliser lecomportement stratgique des agentsqui comprennent que leur comportement
dpend de leur action mais galement delaction des autres agents.
Le rle de la thorie des jeux
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Ltude des oligopoles
Ltude des cartels
Jeux militaires Biologie Ethologie
Quelques applications
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Un jeu se compose de :
Un ensemble dejoueurs.
Un ensemble de stratgies pour chaquejoueur.
Des gains associs chaque stratgie desjoueurs.
Quest ce quun jeu ?
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Exemple trs simple dejeu entre 2 agents
(sous forme normale)
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Jeu 2 joueurs avec 2 stratgies possibles
Les joueurs sappellent A et B.
Le joueur A a deux stratgies : up oudown.
Le joueur B a deux stratgies : Left ou
Right.
La matrice des gains est reprsente commesuit :
Exemple
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Joueur B
Joueur A
Les gains du joueur B sont ( , ici)
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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Exemple : Si A joue Up et B joue Rightalors A gagne 1 et B gagne 8
Joueur B
Joueur A
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Une situation de jeu est une paire
(ex : (U,R) ) o le premier lment est lastratgie choisie par le joueur A et le
deuxime lment est la stratgie choisie
par le joueur B
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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Quel est le rsultat de ce jeu ?
Joueur B
Joueur A
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
(U,R) est-ilun rsultatpossible ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Si B joue Right alors la meilleure rponse deA est Down. Ainsi les gains de A passerontde 1 2. Donc (U,R) nest pas possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(U,R) est-ilun rsultatpossible ?
Thorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
(D,R) est-ilun rsultatpossible ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Si B joue Right alors la meilleure rponse de
A est Down.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(D,R) est-ilun rsultatpossible ?
Thorie des jeux
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Joueur B
Joueur A
Si B joue Right alors la meilleure rponse de
A est Down.Si A joue Down alors la meilleure rponse deB est Right. Donc, (D,R) est possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(D,R) est-ilun rsultatpossible ?
Thorie des jeux
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Th i d j
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Joueur B
Joueur A
Si A joue Down, la meilleure rponse de Best R, donc (D,L) nest pas possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(D,L) est-ilun rsultatpossible ?
Thorie des jeux
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Th i d j
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Joueur B
Joueur A
Si A joue Up, la meilleure rponse de B est Left.Si B joue Left, la meilleure rponse de A est Up.Donc (U,L) est possible.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
(U,L) est-ilun rsultatpossible ?
Thorie des jeux
Th i d j t ti
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Un jeu en forme normale est dcrit comme suit:
1. Un ensemble de Njoueurs, I {1,2,,N}
2. Chaque joueur i, i I, a un ensemble dactions Ai
qui est lensemble de toutes les actions possibles
pour i. Soit ai Ai, une action particulire de Ai.
On appelle ai un rsultat du jeu.
3. Chaque joueur a une fonction de payoff, i qui
assigne un nombre rel i(a), chaque action du
joueur i.
Thorie des jeux: notation
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Dfinition dunquilibre du jeu
ilib d N h
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Une situation du jeu o chaque stratgie
est la meilleure rponse lautre est un
quilibre de Nash.
Dans notre exemple, il y a deux quilibres
de Nash : (U,L) et (D,R).
quilibre de Nash
Th i d j
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Joueur B
Joueur A
(U,L) et (D,R) sont deux quilibresde Nash pour ce jeu
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
Th i d j
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joueur B
joueur A
(U,L) et (D,R) sont des quilibres de Nash
pour ce jeu. Mais, lequel va apparatre ?Nous remarquons que (U,L) est prfr (D,R) par les deux joueurs. Pour autant
est-ce que (U,L) va apparatre ?
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
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L dil d i i
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Deux bandits se font arrter par la police.
Les policiers nont pas assez de preuves
pour les inculper.
Les policiers interrogent les bandits
sparment.
Les bandits peuvent :
soit garder le silence (S)
soit se confesser (C), i.e. ils avouent.
Le dilemme du prisonnier
Thorie des je
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Quel est le rsultat de ce jeu ?
Clyde
Bonnie
(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Thorie des jeux
Thorie des jeux
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Si Bonnie joue le Silence alors la meilleure
rponse de Clyde est la Confession.
Clyde
Bonnie
(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Thorie des jeux
Thorie des jeux
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Si Bonnie joue le Silence alors la meilleure
rponse de Clyde est la Confession.
Clyde
Bonnie
(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Si Bonnie joue la Confession alors lameilleure rponse de Clyde est la
Confession
Thorie des jeux
Thorie des jeux
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Donc, quelle que soit la strat. de Bonnie,
Clyde doit toujours se Confesser.Se Confesser est la stratgie dominantepour Clyde.
Clyde
Bonnie
(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Thorie des jeux
La stratgie dominante
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Df.: on appelle une stratgie dominante une stratgie
dont le payoff est suprieur toute autre action et ce que
quelle que soit la stratgie des autres joueurs.
Formellement:
On enlve laction a de i de Ai; on note les actions des
autres
Jouer maximise le profit de i ; donc :
, , ,i i i i i ii ia a a a pour tout a A
La stratgie dominante
i ia A
ia
ia
Thorie des jeux
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Donc, le seul quilibre de Nash pour ce
jeu est (C,C), mme si (S,S) donne Bonnie et Clyde de meilleurs gains.Lquilibre de Nash est inefficace
Clyde
Bonnie
(-5,-5) (-30,-1)
(-1,-30) (-10,-10)
S
C
S C
Thorie des jeux
Le jeu de la poule mouille
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Quel est le rsultat de ce jeu ?
B
A(6,6) (1,10)
(10,1) (-20,-20)
Coopre
Trahit
Coopre Trahit
Le jeu de la poule mouille
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Jeu squentiel(sous forme extensive)
Jeux squentiels
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Dans nos deux exemples, les joueursjouaient simultanment.
Il existe des jeux o les joueurs jouent lun
aprs lautre :jeux squentiels.
Le joueur qui joue en premier est le
leader , celui qui joue en deuxime est le
fo l lower .
Jeux squentiels
Exemple
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Parfois, un jeu a plusieurs quilibres de
Nash et il est difficile de savoir lequel va
sortir du jeu
En revanche, quand un jeu est squentiel,
il est possible de dire quel quilibre deNash va sortir du jeu.
Exemple
Thorie des jeux
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joueur B
joueur A
(U,L) et (D,R) sont deux quilibres de Nash
quand le jeu est simultan. Et, il estimpossible de savoir quel quilibre va arriver
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
Thorie des jeux
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joueur B
joueur A
Supposons maintenant que le jeu est
squentiel : A est le leader et B le follower.Nous pouvons rcrire ce jeu sous sa formeextensive
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Thorie des jeux
Thorie des jeux
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U D
L LR R
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B BA jour en premierB jour en second
Thorie des jeux
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Thorie des jeux
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U D
L LR R
(3,9) (1,8) (0,0) (2,1)
A
B B
Si A joue U alors B joue L; A gagne 3.Si A joue D alors B joue R; A gagne 2.Donc (U,L) est lquilibre de Nash qui sortira
Thorie des jeux
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Fonctions de
meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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Soit un jeu 22; i.e., un jeu avec deux joueurs A
et B, qui ont chacun deux actions possibles
A peut choisir entre deux actions : aA1 et aA
2
B peut choisir entre deux actions aB1 et aB
2
Il y a 4 paires dactions possibles :
(aA1, aB
1), (aA
1, aB
2), (aA
2, aB
1), (aA
2, aB
2)
Chaque paire dactions donnera des gains
diffrents aux joueurs
Fonctions de meilleures rponses
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Fonctions de meilleures rponses
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, a
B1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, a
B2) = 5
UA
(aA
2, aB
1) = 4 et UB
(aA
2, aB
1) = 3UA(aA2, a
B2) = 5 et U
B(aA2, aB
2) = 7
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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UA(aA1, aB1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4UA(aA1, a
B2) = 3 et U
B(aA1, aB
2) = 5
UA(aA2, aB1) = 4 et UB(aA2, aB1) = 3
UA(aA2, aB
2) = 5 et UB(aA2, a
B2) = 7
Si B choisit laction aB1, quelle est lameilleure rponse de A ?
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
-
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UA(aA1, aB1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, a
B2) = 5
UA
(aA
2, aB
1) = 4 et UB
(aA
2, aB
1) = 3UA(aA2, a
B2) = 5 et U
B(aA2, aB
2) = 7
Si B choisit laction aB1, la meilleure
rponse de A est aA1 (car 6 > 4)
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, a
B1) = 4
UA(aA1, aB2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5
UA
(aA
2, aB
1) = 4 et UB
(aA
2, aB
1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7
Si B choisit laction aB1, la meilleure
rponse de A est aA1 (car 6 > 4)
Si B choisit laction aB2, quelle est la
meilleure rponse de A ?
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, a
B1) = 4
UA(aA1, aB2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5
UA
(aA
2, aB
1) = 4 et UB
(aA
2, aB
1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7
Si B choisit laction aB1, la meilleure
rponse de A est aA1 (car 6 > 4)
Si B choisit laction aB2, la meilleure
rponse de A est aA2
(car 5 > 3)
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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Si B choisit aB1 alors A choisit aA
1
Si B choisit aB2 alors A choisit aA
2
La courbe de meilleure rponse de
A est donc :
Meilleuresrponses
de AaA1
aA2
aB
2aB
1Actions de B
+
+
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, a
B1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, a
B2) = 5
U
A
(a
A
2, a
B
1) = 4 et U
B
(a
A
2, a
B
1) = 3UA(aA2, a
B2) = 5 et U
B(aA2, aB
2) = 7
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5
U
A
(a
A
2, a
B
1) = 4 et U
B
(a
A
2, a
B
1) = 3UA(aA2, a
B2) = 5 et U
B(aA2, aB
2) = 7
Si A choisit laction aA1, quelle est la
meilleure rponse de B ?
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
-
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, aB1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, aB2) = 5
U
A
(a
A
2, a
B
1) = 4 et U
B
(a
A
2, a
B
1) = 3UA(aA2, a
B2) = 5 et U
B(aA2, aB
2) = 7
Si A choisit laction aA1, la meilleure
rponse de B est aB2 (car 5 > 4)
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
-
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UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, a
B1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, a
B2) = 5
U
A
(a
A
2, a
B
1) = 4 et UB
(aA
2, aB
1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7
Si A choisit laction aA1, la meilleure
rponse de B est aB2 (car 5 > 4)
Si A choisit laction aA2, quelle est la
meilleure rponse de B ?
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
-
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60/131
UA(aA1, aB
1) = 6 et UB(aA1, a
B1) = 4
UA(aA1, aB
2) = 3 et UB(aA1, a
B2) = 5
U
A
(a
A
2, a
B
1) = 4 et UB
(aA
2, aB
1) = 3UA(aA2, aB2) = 5 et UB(aA2, aB2) = 7
Si A choisit laction aA1, la meilleure
rponse de B est aB2 (car 5 > 4)
Si A choisit laction aA2, la meilleure
rponse de B est aB2 (car 7 > 3)
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
-
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Si A choisit aA
1 alors B choisit aB
2 Si A choisit aA2 alors B choisit a
B2
La courbe de meilleure rponse de B est
donc :
Actionsde A a
A1
aA2
aB
2aB
1
Meilleures rponses de B
Fonctions de meilleures rponses
Fonctions de meilleures rponses
-
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aA1
aA2
aB
2aB
1
Notons que aB2 est uneaction strictement
dominante pour B
Fonctions de meilleures rponses
Si A choisit aA1
alors B choisit aB2
Si A choisit aA2 alors B choisit aB
2
La courbe de meilleure rponsede B est donc :
Actionsde A
Meilleures rponses de B
Meilleures rponses & quilibre de Nash
-
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Rponse de A
aA
1
aA2
aB2aB1
aA
1
aA2
aB2aB1
+
+
Choix de A
Choix de B Rponse de B
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleuresrponses pour localiser les quilibres de Nash du jeu ?
B A
p q
-
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-
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Meilleures rponses & quilibre de Nash
-
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66/131
aA
1
aA2
aB2aB1
+
+ Oui, (aA2, aB2). Pourquoi ?
p q
Rponse de A
Rponse de B
Existe-t-il un quilibre de Nash ?
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleures
rponses pour localiser les quilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes
Meilleures rponses & quilibre de Nash
-
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aA
1
aA2
aB2aB1
+
+
p q
Oui, (aA2, aB2). Pourquoi ?aA2 est une meilleure rponse a
B2
aB2 est une meilleure rponse aA
2
Rponse de A
Rponse de B
Existe-t-il un quilibre de Nash ?
Comment peut-on utiliser les courbes de meilleures
rponses pour localiser les quilibres de Nash du jeu ?=> Superposez les courbes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
68/131
Meilleures rponses & quilibre de Nash
-
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69/131
6,4 3,5
5,74,3
aA1
aA2
aB1 aB
2Joueur B
Joueur A
aA2 est la seule meilleure rponse aB2
aB2 est la seule meilleure rponse aA
2
Existe-t-il un 2eme
Equilibre de Nash ?
p q
Meilleures rponses & quilibre de Nash
-
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70/131
6,4 3,5
5,74,3
aA1
aA2
aB1 aB
2Joueur B
Joueur AExiste-t-il un 2
eme
quilibre de Nash ?Non, car aB2 est uneaction strictement
dominante pour B
aA2 est la seule meilleure rponse aB2
aB2 est la seule meilleure rponse aA
2
p q
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
71/131
Une applicationLa fixation simultane des
quantits
Le modle de Cournot
Concurrence en quantit
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
72/131
Les firmes se concurrencent en choisissantleurs niveaux doutputsimultanment.
Le mathmaticien franais Cournot a tudi
le premier ce type dinteraction (1838). Si la firme 1 produit y1 units et la firme 2
produit y2 units alors la quantit totale
offerte sur le march est y1 + y2. Le prix de march sera alors p(y1+ y2).
Les fonctions de cot sont c1(y1) et c2(y2).
Concurrence en quantit
Concurrence en quantit
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
73/131
Supposons que la firme 1 prenne le niveau
doutput y2 produit par la firme 2 comme
donn.
La fonction de profit de la firme 1 est alors :
Etant donn y2, quel niveau doutput y1
maximise le profit de la firme 1 ?
1 1 2 1 2 1 1 1( ; ) ( ) ( ).y y p y y y c y
Concurrence en quantit
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
74/131
Supposons que la fonction de demande
inverse du march est :
et que les fonctions de cot des firmes
sont :
p y yT T
( ) 60
c y y1 1 12
( ) c y y y2 2 2 2215( ) .et
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
75/131
( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260 Etant donn y
2, la fonction de profit de 1 est
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
76/131
( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260 Etant donn y
2, la fonction de profit de 1 est
Etant donn y2, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 1 est y y y y1 1 2 160 2 2 0 .
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
77/131
( ; ) ( ) .y y y y y y1 2 1 2 1 1260 Etant donn y
2, la fonction de profit de 1 est
Etant donn y2, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 1 est y y y y1 1 2 160 2 2 0 .i.e. la meilleure rponse de 1 y2 est
y R y y1 1 2 21514
( ) .
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
78/131
y2
y1
60
15
Courbe de raction de la firme 1
y R y y1 1 2 2151
4 ( ) .
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
79/131
( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15 Idem, tant donn y
1
, la f.d. profit de 2 est
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
80/131
( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15 Idem, tant donn y
1
, la f.d. profit de 2 est
Etant donn y1, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 2 est
y y y y2 1 2 260 2 15 2 0 .
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
81/131
( ; ) ( ) .y y y y y y y2 1 1 2 2 2 2260 15 Idem, tant donn y
1
, la f.d. profit de 2 est
Etant donn y1, le niveau doutput quimaximise le profit de la firme 2 est
y y y y2 1 2 260 2 15 2 0 .i.e. la meilleure rponse de 2 y1 est
y R y y2 2 1145
4 ( ) .
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
82/131
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
83/131
Un quilibre merge lorsque le niveaudoutput produit par chaque firme est tel
quaucune des firmes na intrt dvier.
Une paire de niveaux doutput (y1*,y2*) estune quilibre dit de Cournot-Nash si
y R y2 2 1* *( ).y R y1 1 2* *( ) et
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
84/131
y R y y1 1 2 2
151
4
* * *( ) y R y y
2 2 1
145
4
* **
( ) . et
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
85/131
y R y y1 1 2 2
151
4
* * *( )
y R y
y
2 2 1
145
4
* **
( ) . et
Nous substituons y2*
y
y
1
1
15
1
4
45
4
**
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
86/131
y R y y1 1 2 2
151
4
* * *( ) y R y y
2 2 1
145
4
* **
( ) . et
Nous substituons y2*
y
y
y11
115
1
4
45
4 13
**
*
Un exemple
-
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87/131
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
88/131
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
89/131
y2
y1
La courbe de raction de la firme 2
60
15
La courbe de raction de la firme 1
y R y y1 1 2 21514
( ) .
y R yy
2 2 1 145
4
( ) .
45/4
45
Un exemple
Un exemple
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
90/131
y2
y1
La courbe de raction de la firme 2
45
60
La courbe de raction de la firme 1
y R y y1 1 2 21514
( ) .
8
13
Equilibre de Cournot-Nash
y y1 2 13 8* *, , .y R y
y2 2 1 1
45
4
( ) .
Un exemple
Concurrence en quantit
-
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91/131
1 1 2 1 2 1 1 1( ; ) ( ) ( )y y p y y y c y
11
1 2 11 2
11 1 0
yp y y y
p y y
yc y ( ) ( ) ( ) .
Globalement, tant donn le niveau doutput
y2 choisi par la firme 2, la f.d. profit de 1 est
et la valeur de y1
qui max le profit est
La solution, y1 = R1(y2), est la raction deCournot-Nash de la firme 1 y2.
Co cu e ce e qua t t
Concurrence en quantit
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
92/131
2 2 1 1 2 2 2 2( ; ) ( ) ( )y y p y y y c y
22
1 2 21 2
22 2 0
yp y y y
p y y
yc y ( ) ( ) ( ) .
De mme, tant donn le niveau doutput y1
de la firme 1, la fonction de profit de 2 est :
Et la valeur de y2
qui max le profit est
La solution, y2 = R2(y1), est la raction deCournot-Nash de la firme 2 y1.
q
Concurrence en quantit
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
93/131
y2
y1
Courbe de raction de 2Courbe de raction de 1 y R y1 1 2( ).
Equilibre de Cournot-Nash
y1* = R1(y2*) et y2* = R2(y1*)y2*
y R y2 2 1( ).
y1*
q
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
94/131
Jeu en Stratgies Mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
95/131
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
96/131
joueur B
joueur A
Le joueur A a le choix entre U ou D, mais pas
une combinaison des deux. On parle dans cecas de stratgies pures
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
97/131
joueur B
joueur A
De mme, L and R sont les stratgies pures
de B.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
98/131
joueur B
joueur A
Par consquent, (U,L) et (D,R) sont les
quilibres de Nash en stratgies pures.
L R
U
D
(3,9)
(0,0)
(1,8)
(2,1)
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
99/131
joueur B
joueur A
Considrons un nouveau jeu... Existe-t-il un
quilibre de Nash en stratgie pure ?
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
100/131
joueur B
joueur A
(U,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
101/131
joueur B
Joueur A
(U,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(U,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
102/131
joueur B
joueur A
(U,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(U,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !(D,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
103/131
joueur B
joueur A
(U,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(U,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !(D,L) est-il un quilibre de Nash ? Non !(D,R) est-il un quilibre de Nash ? Non !
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratgies pures
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
104/131
joueur B
Joueur A
Donc le jeu na pas dquilibre de Nash.
En revanche, ce jeu peut avoir des quilibresde Nash en stratgies mixtes.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U
D
L R
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
105/131
Au lieu de choisir de manire exclusiveentre Up ou Down, le joueur A peut
attribuer chaque stratgie des
probabilits (
U,1-
U) cest dire que lejoueur A jouera Up avec la prob. U et
Down avec la prob. 1-U.
Le joueur A fait un mix de stratgies pures.
La distribution de probabilit (U,1-U) est la
stratgie mixte du joueur A.
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
106/131
De mme, le joueur B peut choisir unedistribution de probabilit : (L,1-L) cest
dire que le joueur B jouera Left avec la
prob. L
et Right avec la prob. 1-L.
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
107/131
joueur A(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
108/131
joueur A
Si B joue Left son esprance de gain sera :
2 5 1 U U( )
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
109/131
joueur A
Si B joue Left son esprance de gains sera :
Si B joue Right son esprance de gains sera:2 5 1 U U( ).4 2 1 U U( ).
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
110/131
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
111/131
joueur A
2 5 1 4 2 1 U U U U ( ) ( )Si alorsB jouera seulement Right. Mais, il nexistepas dquilibre de Nash o B jouera toujoursRight.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,U
D,1-U
L,L R,1-L
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
112/131
Joueur A
Donc, pour quil existe un quilibre de
Nash, B doit tre indiffrent entre jouer Leftou Right; i.e. :2 5 1 4 2 1
3 5
U U U UU
( ) ( )/ .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L,L R,1-L
5
3
52
Joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
113/131
joueur A
Si A joue Up son esprance de gains sera :
.)1(01 LLL
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
5
3
52
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
114/131
joueur A
Si A joue Up son esprance de gain sera :
).1(3)1(30 LLL
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-L
U,
D,
5
3
52
.)1(01 LLL
joueur B
Si A joue Down, son esprance de gain sera :
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
115/131
Joueur A
L L3 1( )si Alors A jouera toujours Up.Mais il nexiste pas dquilibre de Nash ou AJouera toujours Up.
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-LU,
D,
5
3
52
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
116/131
joueur A
If
Down. Mais il nexiste pas dquilibre deNash ou A jouera toujours Down.
L L3 1( ) Alors A jouera toujours
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-LU,
D,
5
3
52
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
117/131
joueur A
Donc, pour quil existe un quilibre de Nash
A doit tre indiffrent entre jouer Up ouDown : L L3 1( )
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-LU,
D,
5
3
52
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
118/131
joueur A
Donc, pour quil existe un quilibre de Nash,
A doit tre indiffrent entre Up et Down :i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L,L R,1-LU,
D,
5
3
52
joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
119/131
joueur A
Donc, pour quil existe un quilibre de Nash,
A doit tre indiffrent entre Up et Down :i.e. L L L 3 1 3 4( ) / .
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
L, R,
U,
D,
5
3
52
4
3
4
1
Joueur B
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
120/131
joueur B
joueur A
Donc, le seul quilibre de Nash du jeu existe
si A a une stratgie mixte (3/5, 2/5) et Ba une stratgie mixte (3/4, 1/4).
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
5
3
52
L, R,43
4
1
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
121/131
joueur B
joueur A
Les gains seront (1,2) avec la proba :
35
34
920
(1,2) (0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L, R,43
4
1
5
3
52
9/20
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
122/131
joueur B
Joueur A
Les gains seront (0,4) avec la proba :
35
14
320
(0,4)
(0,5) (3,2)
U,
D,
L, R,43
4
1
5
3
52
(1,2)9/20 3/20
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
123/131
joueur B
joueur A
Les gains seront (0,5) avec proba :
25
34
620
(0,4)
(0,5)
U,
D,
L, R,43
4
1
5
3
52
(1,2)9/20 3/20
6/20 (3,2)
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
124/131
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
125/131
joueur B
joueur A
Les gains esprs de A pour lquilibre de Nash sont :
19
200
3
200
6
203
2
20
3
4 .
(0,4)U,
D,
L, R,43
4
1
5
3
52
(1,2)9/20 3/20
(0,5) (3,2)6/20 2/20
Stratgies mixtes
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
126/131
joueur B
joueur A
29
204
3
205
6
202
2
20
16
5 .
(0,4)U,
D,
L, R,43
4
1
5
3
52
(1,2)9/20 3/20
(0,5) (3,2)6/20 2/20
Les gains esprs de B pour lquilibre de Nash sont :
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
127/131
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
128/131
La rationalit en question
Le jeu de lultimatum
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
129/131
Deux individus doivent se partager ungain (x).
Le 1erfait une offre de partage au 2me.
Le 1er(1-x) ; le 2me (x). Le 2me accepte ou refuse.
Si le 2me refuse, personne ne gagne.
Le jeu du concours de beaut
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
130/131
Chaque tudiant doit se munir dun bout de
papier et doit crire un nombre entre [0 et100].
Le vainqueur du jeu: ltudiant ayant crit lenombre le plus proche de la moiti de la
moyenne de tous les nombres choisis. Le vainqueur du jeu gagne une tablette de
chocolat. En cas dgalit, partage des gains. Le jeu est rpt plusieurs fois.
Le jeu du concours de beaut
-
7/28/2019 Chap8_Theorie Des Jeux
131/131
Un seul quilibre de Nash.
Mthode de la dominance itre.
Les capacits cognitives sont limites.
Le rsultat thorique est trs peu observ
A part pour des tudiants dous enmathmatiques