janvier 2008 Henry THONIER (T8) 1

FLEXION EN ELU

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Généralités

Hypothèses rappelées par l’EC2 :

- une section plane reste plane après déformation avec conservation des sections

planes et non-gauchissement (principe de Navier-Bernoulli),

- non-glissement entre l’acier et le béton

- non prise en compte de la résistance du béton tendu

C’est en ELU que l’on détermine les aciers de flexion, quitte à vérifier ensuite les contraintes en ELS si cela est exigé.

Diagramme béton parabole-rectangle ou diagramme rectangulaire simplifié

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Généralités (suite)

• En ELU : détermination des aciers de flexion• En ELS, vérification éventuelle des contraintes

• Pour les aciers, intérêt à utiliser le diagramme avec droite inclinée à la place du palier (économie non négligeable)

Aciers à palier : pas de limite d’allongement pourAciers à droite inclinée : 25 ‰, 45 ‰ ou 67,5 ‰ (au lieu de 10 ‰

pour le BAEL)s

0 so ud uk s

k fyd

fydpalier

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Flexion simple – Section rectangulaire – Détermination des

aciers• on peut considérer, même pour de petites hauteurs de béton comprimé, que celui-ci a une déformation de 3,5‰ en section partiellement tendue : le pivot 1 du BAEL n’a plus de sens

• béton comprimé de section b . x  • contrainte fcd = fck / c avec cc = 1 c = 1,5 (sauf en situation accidentelle)• fyd = fyk / s avec s = 1,15 (sauf en situation accidentelle) • hauteur rectangle 0,8 x et contrainte fcd pour fck ≤ 50 MPa (pour plus de 50 MPa, les coefficients 0,8 et la contrainte fcd diminuent)

• En flexion simple, l’équilibre des efforts intérieurs s’écrit :

Nc = 0,8 b . x . fcd = Ns = As . fyd bras de levier du couple  : z = d – 0,4 . x

égalité du moment agissant et du moment résistant :

MEd = MRd = Nc . z = Ns . ZMEd = 0,8 b. x . fcd (1 – 0,4 x) = x / d = MEd / (b.d2.fcd) = 0,8 x (1 – 0,4 )de racine x = 1,25 d (1 – (1 - 2x)0,5)z = d – 0,4 x = 0,5 d (1 + (1 - 2x)0,5)As = MEd / (z.s)

x

b

dh

As

c

s

fcd (pour f ck <= 50)

z

Fs

Fc

axe neutre

0,8 x (pour f ck <= 50)

0,4

x

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Flexion simple et composée – Section

en Té – Détermination des aciers

• Sollicitations agissantes : moment MEd et effort normal NEd • Cas particuliers : flexion simple : NEd = 0 section rectangulaire : bw = b et hf = 0• On suppose que l’axe neutre est dans l’âme, sinon on est ramené au cas d’une section

rectangulaire b . h • On suppose que la table est entièrement comprimée à la contrainte fcd (diagramme

rectangulaire simplifié). On détermine le moment résistant de la partie extérieure de la table que l’on déduit du moment agissant pour connaître le moment qui est repris par l’âme.

• = distance du point d’application de l’effort normal par rapport aux aciers tendus• Moment en flexion composée par rapport aux aciers tendus : M1 = MEd + . NEd

x

b

dh

As

c

s

z

Fs

Fcaxe neutre

bw

hfd' F's

fcd (pour f ck <= 50)

0,8 x (pour f ck <= 50)A's

NEd

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Flexion simple et composée – Section en Té – Détermination des aciers (suite)

• Effort de compression de la partie extérieure de table : Nfe = (b – bw) . hf . fcd

• Bras de levier de cet effort par rapport aux aciers tendus : zfe = d – 0,5 hf

• Moment résistant de cette partie de table : Mfe = Nfe . Zfe

• Moment à reprendre par l’âme : Mw = MEd – Mfe

• Moment réduit correspondant : = Mw / (bw.d2.fcd)

• Bras de levier des efforts de l’âme : z = 0,5 d(1 + (1 – 2)0,5)

• Section d’acier nécessaire : As = (Mw/z + Nfe – NEd) / fyd

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Flexion déviée [&5.8.9]

Il est rappelé que les coefficients d’élancement valent : y = L0 / iy  ; z = L0 / iz avec iy = (Iy / A)0,5 et iz = (Iz / A)0,5 pour une longueur de flambement Lo.c) – si un dimensionnement précis n’est pas recherché : (MEdz / MRdz)a + (MEdy / MRdy)a + ≤ 1

NRd = Ac fcd + As fyd

MRdy et MRdz moments résistants et MEdy et MEdz moments agissant de calculd) – sinon effectuer un calcul au flambement en flexion déviée.

Remarque. Pour de faibles élancements ( ≤ 20 par exemple), on peut effectuer, sans trop d’erreur, un calcul en flexion déviée sans prise en compte des effets du deuxième ordre

z

y

h

b

ez

NEd

ey0

Sections rectangulaires circulaires NEd/NRd 0,1 0,7 1 elliptiques

a 1 1,5 2 2

L’EC2 propose :a) - de calculer la section au flambement comme un poteau, successivement dans les deux directions indépendamment l’une de l’autre, b) - de n’effectuer aucune vérification complémentaire par rapport au a) ci-dessus si les conditions suivantes sont vérifiées :

0,5 ≤ y/z ≤ 2 et l’une des deux conditions : (ey/h) / (ez/b) < 0,2 ou bien (ey/h) / (ez/b) ≥ 5