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CHAPITRE 6

PRECISION ET RAPIDITE DES SYSTEMES DISCRETS

6.1. PRECISION STATIQUE

Nous nous proposons de donner dans ce paragraphe quelques notions sur la

précision des systèmes à temps discret en régime établi aux instants d'échantillonnage ;

ces notions ne sont que des extensions de celles concernant les systèmes continus.

6.1.1. Constantes d'erreur

Soit un asservissement à temps discret, représenté en z.

Hbo(z) = D(z).R(z)

e(z) = _S®_l+Hbo(z)

Automatique - S.A.E. chapitre 6 : Précision et Rapidité

NOTES PERSONNELLES

© [A. JUTARD M.BETEMPS], [1998], INSA de Lyon, tous droits réservés.

Sollicité par une commande, il présentera après disparition du régime transitoire

une erreur statique permanente, obtenue à partir de :

e(oo)= lim e(t) = lim e(nT)= lim (z -1)—^Z\t-^oo n-^oo z->l 1+ 1^0(7)

L'erreur permanente dépend de la forme de l'entrée et évidemment de celle de la

fonction de transfert du système échantillonné étudié. Pour calculer cette erreur, il est

intéressant d'introduire la notion de constante d'erreur, liée à l'ordre de l'entrée

appliquée.

Considérons les entrées-test classiques de la forme :

jne(t) = eoJ-r(t)

m !

On peut calculer ces constantes pour les quelques entrées canoniques

couramment utilisées :


NOTES PERSONNELLES


Echelon de position (m = 0) :

ep(z) = e0 -Z-Z~ 1

e0H= lim(z -1) ̂ L \ = lim £2 s £o_z-»l z-1 l + Hbo(z) z-»l l + Hbo(z) kp

la constante d'erreur de position est telle que :

k = lim [1 + Hbo(z)]ï-^\

Echelon de vitesse (m = 1) :

ev(z) = e0-^

ev(oo)= lim -f£- = £2!z->i (z-l)[l + Hbo(z)] kv

et: kv = lim(z-l)[l + Hbo(z)]Z->1


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESEchelon d'accélération (m = 2) :

, , T2 z(z+l)ea(z) = e0 —2(z-l)3

e T2 e T2

£a(oo)= lim £2J ^ £°_Lz->i(z-l)2[l + Hbo(z)] ka

ka = lim(z-l)2[l + Hbo(z)]z-*l

Généralisation à une entrée d'ordre m quelconque

D'après ce qui précède, on voit qu'à une entrée :

em(t) = e0^r(t)

correspondra une constante d'erreur :

k m ^l im(z- l ) m [ l + Hbo(z)]z-^1

et une erreur :

/ \ Tm

em(oo) = e0^—&m



NOTES PERSONNELLESRemarque : Les signaux d'entrée d'ordre très élevé sont rares : par contre, une entrée

quelconque peut être décrite par un polynôme d'ordre élevé, tel que :

e(t) = a T(t) + P t T(t) + y £ T(t) + ... + X-^- T(t)2 m!

Le système étant linéaire, l'erreur résultante sera la somme des erreurs

constatées pour chaque type d'entrée.

6.1.2. Evaluation de l'erreur statique

Les constantes d'erreur que nous venons de déterminer dépendent en particulier

de l'expression de la fonction de transfert en boucle ouverte du système étudié.

Celle-ci peut s'écrire sous la forme :

K.P(z)Hbo(z)-HrQ^où : P(z) et Q(z) sont des polynômes en z qui ne possèdent pas de racines égales à 1 et

qui tendent vers une constante quand z tend vers 1. De plus, P(z) est de degré au plus

égal à celui du dénominateur de la transmittance en boucle ouverte considérée.

n représente le nombre de pôles égaux à 1 de la fonction considérée (n joue un

rôle équivalent au nombre d'intégrations de Hbo(p) des systèmes continus).

La valeur de la constante d'erreur, et donc de Verreur, dépend des valeurs relatives de

m et de n.



NOTES PERSONNELLESEn particulier, si m = n :

km = lim(z-l)m 1+ K^(Z)

^1 L (Z-l)mQ(z)_

k^ tend vers une constante non-nulle :

Selon l'ordre de l'entrée appliquée au système étudié et le nombre de pôles

égaux à 1 de sa fonction de transfert en boucle ouverte, on peut établir le tableau

d'erreurs statiques ci-dessous :

^^ ordre de c c p c^s^ °p °v °a °j^\^ l'entrée m

Nbre de ^^s. n 1 9 ^X V I ^^^ U 1 £ Jpôles ^v^^

(z=l)deHh o(z)n \^

0 £« 00 00 00

kp

1 0 e Of ooKv

2 0 0 T2e°T~Ka

3 0 0 0 T3

e°k~KJ


NOTES PERSONNELLES

Conséquences : . lorsque l'erreur existe (m=n), celle-ci est d'autant plus faible que la

constante d'erreur est plus élevée.

. On peut obtenir une précision parfaite si la fonction de transfert en

boucle ouverte du système possède au moins (m+1) pôles égaux à 1,

Remarque : Comme pour les systèmes asservis continus, on peut développer le même

type d'études à propos de l'effet des perturbations sur la précision statique

des systèmes asservis à temps discret (c.f. cours S.A.L.C. chapitre 5.§ 5.2.2.).

6.2. LA RAPIDITE

6.2.1. Considérations sur le régime transitoire

On peut se faire une bonne idée de la nature du phénomène transitoire dans un

système échantillonné ou discret en observant la relation existant entre la réponse

impulsionnelle et les pôles et les zéros de la fonction de transfert correspondante.



Exemple : Soit un système dont la fonction de transfert en boucle fermée est du premier

ordre :

Hbi(z) = J5-z-A,

Cette fonction possède un seul pôle A, et un seul zéro nul, c'est-à-dire à l'origine.

On peut distinguer divers cas selon la position du pôle réel À,, par rapport à

l'intervalle [-1,1] du plan des z.


La figure ci-dessus montre les six cas possibles selon que A est positif ou négatif,

|A est supérieur ou inférieur à 1. Le zéro, nul, est représenté à l'origine.

Ce cas est intéressant, car il montre que Véchantillonnage peut dans certaines

conditions avoir des effets pernicieux ; ici, on constate qu'il peut rendre oscillatoire un

système du premier ordre !

?kOn peut considérer aussi le cas où le système possède un zéro non-nul :

Hbf(z) = ̂ lz-A,

Cette fonction de transfert peut s'écrire :

Hbl(z) = -i~Y.z-U-z-A, z-A

Lors du passage dans le domaine temporel, on doit tenir compte du fait que le

deuxième terme correspond à la réponse impulsionnelle du système précédent, retardée

d'une période T. Les conditions de convergence ou de divergence sont toujours liées au

pôle A ; le zéro y n'influe que sur l'amplitude des valeurs de la réponse impulsionnelle.


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLES

6.2.2. Rapidité des systèmes discrets

Pour tester la rapidité d'un système échantillonné, on procède tout à fait comme

pour les systèmes continus :

- signal-test : échelon-unité ou échelon de position

+00

r*(t) = ]T r(nt) = ôr(t)n=o



La réponse du système n'existant qu'aux instants d'échantillonnage (suite

d'impulsions de Dirac), le temps de réponse ne peut s'évaluer qu'en un nombre entier

de périodes :

T r=j.T


NOTES PERSONNELLES- temps de réponse à ± 5% de la réponse permanente,

- la fonction de transfert à prendre en considération est H(z) si on a affaire à un

système isolé ou en chaîne ouverte, Hbf(z) si on étudie le cas d'un système

bouclé.

Les réponses indicielles des systèmes échantillonnés se présentent sous la forme

des signaux donnés ci-après :


Remarque : Comme pour les systèmes continus, la rapidité d'un système est liée à

l'étendue de sa bande passante.

6.3. SYSTEMES CONTRAINTS

6.3.1. Dilemme précision-rapidité-stabilité

La précision dynamique d'un système en réponse à une entrée donnée, ainsi que

sa rapidité sont fortement liées, puisque l'une et l'autre de ces caractéristiques

dépendent de l'évolution du régime transitoire qui affecte le système. Du fait de la

souplesse d'emploi des machines numériques et des possibilités qu'elles offrent pour

engendrer certaines fonctions uniquement par programmation, les systèmes à temps

discret se prêtent mieux à transformation ; on peut donc imposer certaines contraintes au

système en boucle fermée, permettant de biaiser le dilemme précision-rapidité, classique

dans le réglage des systèmes asservis continus.

On trouvera dans la suite de ce paragraphe, deux types de systèmes contraints,

qui sont intéressants du fait qu'ils présentent une rapidité contrôlée et une erreur statique

nulle.

6.3.2. Système minimal

Un système est dit minimal ou à temps d'établissement fini lorsque, pour une

entrée spécifiée, le régime définitif est atteint en un nombre fini des périodes ; l'erreur

correspondant à cette entrée s'annulant.


NOTES PERSONNELLES


On peut noter que cette appellation correspond à une extension de la notion de

temps de réponse, qui en toute rigueur correspond à la seule entrée indicielle F(nT). Si

de plus, le système est soumis à des contraintes qui minimisent son régime transitoire, il

est dit à temps de réponse fini minimal absolu, ou système minimal absolu. Cette

définition autorise des dépassements (oscillations) de la réponse obtenue, durant le

régime transitoire.

6.3.3. Système à réponse-pile

Le réglage de ce système rajoute une spécification supplémentaire, puisqu'un tel

système est dit à réponse-pile lorsque la sortie atteint son régime définitif, pour une

entrée-type donnée, en un nombre fini d'échantillons, sans dépassement.


NOTES PERSONNELLES


Après j périodes, sans dépassement, le système a atteint définitivement son

régime permanent.

Là aussi, l'entrée appliquée n'est pas forcément un échelon-unité. La figure

suivante montre un système à réponse-pile pour une commande en rampe de vitesse.

Pour être à réponse-pile, le système doit satisfaire à un certain nombre de

conditions pas toujours réalisables, ce qui limite considérablement la portée de cette


NOTES PERSONNELLES


NOTES PERSONNELLESapproche. C'est cependant un point de vue qui peut être intéressant lors de la

détermination des circuits correcteurs, qui permettent de compenser les systèmes

asservis échantillonnés (c.f. chapitre suivant).



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