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Chap. 1 : Magnétostatique du vide SMP/S3 : Electricité 2 J. EL KHAMKHAMI 1

Nous avons étudié, en S2, l’interaction électrique qui intervient entre deux corps électrisés. Nous allons considérer, à présent, une autre interaction, l’interaction magnétique, qui fait intervenir le champ magnétique.


La magnétostatique est la partie du magnétisme qui ne fait intervenir que des phénomènes indépendants du temps.


Les sources du magnétisme sont soit des aimants permanents immobiles, soit des circuits électriques fermés parcourus par des courants continus.

En électrostatique, on suppose que : • toutes les charges sont au repos, • toutes les densités de charges sont constantes dans le temps, • les charges sont des sources de champ électrique.

Électrostatique = étude des phénomènes dus aux charges électriques immobiles.


En électrostatique, on s’intéresse à la détermination : • du champ électrique et de ses propriétés, • de la distribution de potentiel, • de l’interaction entre les charges, • de la distribution de l’énergie électrique dans l’espace, • de la façon dont les condensateurs stockent de l’énergie.

En magnétostatique, on suppose que : • tous les courants électriques sont constants (stationnaires), • toutes les densités de courants sont constantes dans le temps,

Magnétostatique = complément d’électrostatique, étude des phénomènes associés au champ magnétique produit par des charges mobiles


En magnétostatique, on s’intéresse à la détermination :

• du champ magnétique et de ses propriétés,

• du flux magnétique, • des interactions dues au champ magnétique, • de la distribution de l’énergie magnétique dans l’espace.


1ères sources du champ magnétique

Corps naturels (magnétite) ayant la propriété d’attirer de petits morceaux de fer. On donne le nom de magnétisme à la cause de cette propriété.

L’attraction se manifeste seulement dans quelques régions qu’on appelle des pôles : pôle nord et pôle sud.


• deux pôles de même nom se repoussent alors que deux pôles, de noms contraires, s’attirent;

• il est impossible de séparer le pôle nord du pôle sud d’un aimant.

L’expérience montre que :

• si on casse un aimant en 2 parties, on obtient 2 autres petits aimants ayant chacun un pôle nord et un pôle sud. Si on répète cette opération, on obtient, à chaque fois, des aimants de plus en plus petits dotés chacun d’un pôle nord et d’un pôle sud.


Les aimants usuels:

• le barreau aimanté,

• l’aiguille aimantée (boussole),

• l’aimant en U.


Pôle magnétique nord proche du pôle géographique sud.

Pôle magnétique sud proche du pôle géographique nord.

Oersted plaça l'aiguille aimantée d'une boussole directement en dessous d'un long fil conducteur horizontal.


• Initialement, l'aiguille, orientée par le champ terrestre, reste en équilibre.

• Quand le fil fut relié aux bornes d'une source de courant, l'aiguille de la boussole pivota vers une direction presque perpendiculairement au fil.


aiguille

Fil conducteur

I

Donc, le passage d'un courant dans un fil conducteur modifie les propriétés de l'espace proche du fil. Cette modification est traduite par les forces qui obligent la boussole à tourner et est caractérisée par le vecteur appelé induction magnétique (ou bien le vecteur appelé excitation magnétique:

𝐵 𝐻

𝐵 = 𝜇0𝐻

la perméabilité du vide

𝜇0 = 4𝜋10−7T.m/A ou encore 4𝜋10−7N/𝐴2


Le voisinage d’un circuit électrique est caractérisé par l’existence d’un champ magnétique de la même manière qu’un champ gravitationnel existe au voisinage de la terre et un champ électrique autour d’une charge électrique. De même, il existe au voisinage d’un aimant un champ magnétique.

En physique, le champ magnétique est une grandeur ayant le caractère d'un champ vectoriel, c'est-à-dire caractérisée par la donnée d'une intensité et d'une direction, définie en tout point de l'espace, permettant de modéliser et quantifier les effets magnétiques du courant électrique ou des matériaux magnétiques comme les aimants permanents. Wikipédia


Expérience de la limaille de fer = aimant plongé dans de la limaille de fer

Les grains de limaille placés dans le champ du barreau s’aimantent par influence.

Les attractions entre pôles de noms contraires disposent bout à bout les grains successifs et dessinent les lignes du spectre magnétique.

Les lignes le long desquelles se répartit la limaille de fer

sont appelées lignes de champ magnétique ou

lignes d’induction.

Chaque grain devient un petit aimant qui s’oriente dans la direction du vecteur d’induction magnétique . 𝐵


le sens du vecteur d’induction magnétique est celui des lignes d’induction d’un aimant qui sortent du pôle nord et entrent au pôle sud,

𝐵

l’intensité de est donnée par la densité de lignes de champ. Elle s’exprime en Tesla (T). On utilise aussi un sous-multiple : le gauss.

𝐵

1𝑇 = 104G = 1N. 𝐴−1. 𝑚−1

Lignes de champ magnétique autour d’un aimant en forme de barreau allongé.

La direction du vecteur d’induction magnétique est tangente en chaque point à la ligne d’induction,

𝐵


1. Le champ magnétique terrestre a une intensité de l’ordre de 5.10-6 T.

3. Un aimant NdFeB (néodyme-fer-bore) de la taille d'une pièce de monnaie (créant un champ de l'ordre de 1,25 T) peut soulever un objet de 9 kg et effacer les informations stockées sur une carte de crédit ou une disquette.

Ordre de grandeur :

2. Electro-aimant dans l’entrefer (bobines de Helmholtz) : 0.1T à 2T.


1. Les lignes de champ magnétique forment des boucles fermées.

2. Plus les courbes sont serrées, plus l'intensité du champ magnétique est grande.

Lignes de champs magnétiques dues à un fil conducteur parcouru par un courant.

Remarques :

Lignes de champs magnétiques dues à un aimant en U

3. Deux lignes de champ ne se coupent jamais.


La combinaison du champ électrique et du champ

magnétique permet de définir un nouveau champ dit

champ électromagnétique, d’où le nom de théorie de

l’électromagnétisme ou électromagnétisme.


Une composante électrique, la force de Coulomb : 𝐹𝑒 = 𝑞𝐸

Une composante magnétique : 𝐹𝑚 = 𝑞𝑣 ∧ 𝐵

Une charge q, ayant une vitesse soumis à un champ électromagnétique subit une force constituée de deux composantes :

𝑣

𝐸 , 𝐵

La résultante des deux composantes constitue la force de Lorentz :

𝐹 = 𝑞(𝐸 + 𝑣 ∧ 𝐵 )


La force magnétique permet de faire circuler la charge q sur une trajectoire circulaire.

La force électrique permet d’accélérer uniformément la charge q. Il peut également dévier sa trajectoire (oscilloscope).

La force de Lorentz permet de faire animer la charge q d’un mouvement hélicoïdale. 𝐸


𝐹𝑚 = 𝑞𝑣 ∧ 𝐵

C’est la force exercée par un champ magnétique sur une charge q ayant une vitesse : 𝑣

𝐵

Remarques : 1. Le module est proportionnel à et à . 𝐹𝑚

𝑣 𝐵

2. est nul soit lorsque la charge est au repos soit lorsque les vecteurs et sont colinéaires.

𝑣 𝐵

𝐹𝑚

3. est à la fois perpendiculaire aux vecteurs et . 𝑣 𝐵

𝐹𝑚

La force n’effectue pas de travail. 𝑭𝒎

Cas d’une charge ponctuelle


𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑆 . 𝑑𝑙 = 𝑆 . 𝑣 𝑑𝑡

• n porteurs de charges par unité de volume (densité).

• Chaque porteur transporte une charge q et se déplace à la vitesse . 𝑣

𝐵

Cas d’une portion de circuit électrique parcourue par un courant I

• Pendant temps dt, toutes les particules contenues dans le volume S.v.dt traversent la section S.

et la charge totale est :

• Donc, le nombre de particules dans le volume est : 𝑆 . 𝑣 𝑑𝑡 𝑛𝑆 . 𝑣 𝑑𝑡

𝑑𝑞 = 𝑞𝑛𝑆 . 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑞

𝑑𝑡= 𝑞𝑛𝑆 . 𝑣 = 𝐼 : le courant circulant dans le fil


𝐵 Donc, la force subie par toute la portion est :

Or 𝑞𝑛𝑆 . 𝑣 = 𝐼

Dans la portion de fil, chaque charge qi subit une force magnétique : 𝐹𝑚𝑖

= 𝑞𝑣 ∧ 𝐵

𝐹 = 𝑛𝑆𝑙(𝑞𝑣 ∧ 𝐵 )

𝐹 = 𝐼𝑙 ∧ 𝐵

𝐼𝑑𝑙 D’une manière générale, un élément de courant se trouvant dans une région où règne le champ magnétique subit de la part de celui-ci l’ élément de force :

𝐵

𝑑𝐹 = 𝐼𝑑𝑙 ∧ 𝐵 C’est la loi de Laplace


𝐵

Exemples :


𝐵 (𝑀) =𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 ∧ 𝑢

𝑟2

Le champ magnétique créé en un point M par une charge q située en un point P animée d’une vitesse dans un référentiel galiléen vaut : 𝑣

Le champ est perpendiculaire au plan formé par . (𝑣 , 𝑢 )

est la perméabilité du vide, il définit la capacité du vide à laisser passer le champ magnétique.

𝜇0


Le champ magnétique créé par les n charges en un point M est donné par :

Principe de superposition : s’il existe 2 charges ou plus en mouvement

alors le champ magnétique créé en un point M est la somme

vectorielle des champs créés par chaque charge.

𝑣

Soient n particules, chacune porte la charge q et animée d’une vitesse .

𝐵 (𝑀) =𝜇0

4𝜋

𝑞𝑣 ∧ 𝑢𝑖

𝑟𝑖2

𝑛

𝑖=1


Pour un très grand nombre de charges contenues dans un volume V, l’expression donnant le champ magnétique devient:

Distribution volumique de charges

𝐵 (𝑀) =𝜇0

4𝜋

𝑑𝑞𝑣 ∧ 𝑢

𝑟2𝑉

Si on considère la densité volumique de charges et la densité volumique de courant :

𝜌

𝒋

𝑗 = 𝜌𝑣 𝑑𝑞𝑣 = 𝜌𝑑𝜏𝑣 = 𝜌𝑣 𝑑𝜏 = 𝑗 𝑑𝜏

𝐵 (𝑀) =𝜇0

4𝜋

𝑗 ∧ 𝑢

𝑟2𝑑𝜏

𝑉

𝜌 =𝑑𝑞

𝑑𝜏

Relation générale, valable quelque soit la forme du conducteur.


On considère un circuit filiforme de section S (S négligeable devant sa longueur) parcouru par un courant continu I :

Chaque élément de courant centré sur un point P orienté dans le sens de I crée un champ élémentaire en M donné par :

𝐼𝑑𝑙

𝑑𝐵 (𝑀) =𝜇0

4𝜋

𝑗 ∧ 𝑢

𝑟2𝑑𝜏

Or 𝑗 𝑑𝜏 =𝐼

𝑆. 𝑆. 𝑑𝑙

Soit : 𝑑𝐵 (𝑀) =𝜇0

4𝜋

𝐼𝑑𝑙 ∧ 𝑢

𝑟2 C’est la formule de Biot et Savart

𝑢 =𝑃𝑀

𝑃𝑀

𝑟 = 𝑃𝑀


Le champ créé par tout le fil est la somme de toutes les contributions, soit :

La loi de Biot et Savart permet

d’effectuer un calcul direct du champ B

créé par une distribution de courants.

𝐵 (𝑀) = 𝑑𝐵 (𝑀)𝑓𝑖𝑙

=𝜇0

4𝜋

𝐼𝑑𝑙 ∧ 𝑢

𝑟2𝑓𝑖𝑙

Le vecteur a le même sens et la même direction que le courant I.


Le courant entre par la base du pouce et ressort par son extrémité, l’index indique le sens du vecteur et le sens de est donné par le majeur. Le pouce, l’index et le majeur formant une base orthogonale directe.

𝑃𝑀

𝐵


On considère un fil infiniment long parcouru par un courant d’intensité I. On cherche le champ magnétique créé en un point M distant de ρ du fil.

Champ créé par un fil rectiligne infini


4𝜋

𝐼𝑑𝑧 ∧ 𝑢

𝑟2

L’élément de courant situé en P crée le champ élémentaire :

𝐼𝑑𝑧

𝑢 𝜌

z

dz

𝑢 𝜃 𝛼

𝛽

𝜌

𝑢 =𝑃𝑀

𝑃𝑀

=𝜇0

4𝜋

𝐼𝑑𝑧 𝑠𝑖𝑛𝛽

𝑟2𝑢 𝜃 𝑐𝑜𝑠𝛼


Moyennant les relations :

𝑢 𝜌

z dz

𝑢 𝜃 𝛼

𝛽

𝜌

𝑧 = 𝜌𝑡𝑔𝛼 → 𝑑𝑧 =𝜌𝑑𝛼

𝑐𝑜𝑠𝛼2

𝑐𝑜𝑠𝛼 =𝜌

𝑟


4𝜋

𝐼𝑐𝑜𝑠𝛼𝑑𝛼

𝜌𝑢 𝜃 on peut écrire :

Le champ créé par tout le fil est :

𝐵 (𝑀) = 𝑑𝐵 (𝑀)𝑓𝑖𝑙

=𝜇0𝐼

4𝜋𝜌 𝑐𝑜𝑠𝛼 𝑑𝛼

𝜋2

−𝜋2

𝑢 𝜃

𝐵 (𝑀) =𝜇0𝐼

2𝜋𝜌𝑢 𝜃

Le champ magnétique est orthoradial


On considère une spire circulaire de rayon R parcourue par un courant d’intensité I. On cherche le champ magnétique créé en un point M de l’axe de la spire.

Champ magnétique créé par une spire circulaire


4𝜋

𝐼𝑑𝑙 ∧ 𝑃𝑀

𝑃𝑀3

Un élément de fil en un point P de la spire crée un champ élémentaire en un point M de l’axe :

𝑑𝐵 𝑑𝑙


L’ étude des propriétés de symétrie du système permet de trouver la direction du champ sur l’axe.

𝑑𝐵𝑧 𝑀 =𝜇0

4𝜋

𝐼 𝑑𝑙 ∧ 𝑃𝑀

𝑃𝑀3𝑠𝑖𝑛𝛼 =

𝜇0

4𝜋

𝐼𝑑𝑙

𝑟2𝑠𝑖𝑛𝛼

Si l’on considère deux éléments de fil situés de façon symétrique par rapport à l’axe en deux points P1 et P2, les champs créés et seront symétriques par rapport à l’axe. Leur somme sera donc sur l’axe.

𝑑𝐵1 𝑑𝐵2

Seule compte la projection selon l’axe (Oz), puisque les composantes perpendiculaires à cet axe s’annulent deux à deux. l’élément de champ projeté sur l’axe est :


Le champ total est donc :

α est l’angle sous lequel on voit la spire à partir du point M.

𝐵 𝑀 =𝜇0𝐼

4𝜋𝑟2𝑠𝑖𝑛𝛼 𝑑𝑙

𝑠𝑝𝑖𝑟𝑒

=𝜇0𝐼

4𝜋𝑟2𝑠𝑖𝑛𝛼2𝜋𝑅 =

𝜇0𝐼

2𝑟2𝑅𝑠𝑖𝑛𝛼

𝐵(𝑀) =𝜇0𝐼

2𝑅𝑠𝑖𝑛3𝛼

En fonction de l’abscisse z du point M, l’expression du vecteur champ devient :

𝐵 (𝑀) =𝜇0𝐼

2𝑅(1 +

𝑧2

𝑅2)−32 𝑢 𝑧


Il exprime une relation entre le champ magnétique et ses sources.

C’est l’équivalent du théorème de Gauss en électrostatique.

Il permet une détermination rapide du champ magnétique pour

des distributions de courants de symétries élevées.

Contrairement à la loi de Biot et Savart, il ne nous renseigne ni

sur la direction, ni sur le sens de . 𝐵


La circulation du champ magnétique le long d’un contour fermé Г orienté est égale à la somme des intensités algébriques des courants qui traversent toute surface s’appuyant sur Г multipliée par μ0.

Enonce du théorème d’Ampère

𝐵 . 𝑑𝑙 Γ

= 𝜇0 𝜀𝑘𝐼𝑘𝑘

• εk = 1, si Ik traverse S orienté par Г dans le sens positif. • εk = -1, si Ik traverse S orienté par Г dans le sens négatif.

𝐵 . 𝑑𝑙 Γ

= 𝜇0(𝐼1 − 𝐼2 + 2𝐼3 + 𝐼4 − 𝐼5 + 𝐼5)

Г


• La circulation du champ magnétique n’est pas conservative.

Remarques

• Contrairement au champ électrostatique, le champ magnétique ne dérive pas d’un potentiel scalaire.

𝑛

• Pour appliquer le théorème d’Ampère, il faut en premier lieu déterminer la forme du champ à l’aide des considérations de symétrie, puis procéder selon les étapes

suivantes :


• choisir le contour d’Ampère convenablement aux symétries du problème ; ce choix doit permettre un calcul simple du produit scalaire , 𝐵 . 𝑑𝑙

Orientation du contour d’Ampère fermé et de sa normale.

𝑛 𝑛

𝑛

• orienter le contour d’Ampère ; cette orientation arbitraire définit le sens du vecteur normal à la surface s’appuyant sur le contour d’Ampère.

• calculer la circulation de , 𝐵

• en déduire l’intensité de , 𝐵


C’est une grandeur physique mesurable caractérisant

l'intensité et la répartition spatiale du champ magnétique.

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