chap 1 - l2s | laboratoire des signaux et...

Module Ondelettes du DEA TIS – S. Lasaulce 1 03/09/2010

CHAP 1 : De la transformée de Fourier à la transformée en ondelettes

1. Introduction Les premières idées de Fourier sur l'analyse qui porte son nom remontent à 1807, date de publication de son mémoire sur les décompositions en série, et ont été abouties dans son livre "Théorie analytique de la chaleur" (1822). Dans ce livre, Joseph Fourier montre en particulier comment son formalisme permet de résoudre le problème du calcul de l'évolution temporelle de la température en tout point d'une barre (conductrice de chaleur) chauffée au préalable en un bout et laissée ensuite en évolution libre. Depuis, l'analyse de Fourier a été appliquée à bien d'autres problèmes physiques. Une des causes du succès de ce formalisme est qu'il constitue un outil mathématique qui décrit de manière assez naturelle de nombreuses situations physiques. Le rayonnement thermique, les transmissions radio, les rayons de couleurs du spectre visible, les rayons X, pour ne citer que ces exemples, ne sont finalement que des ondes qui ne diffèrent que par leur … fréquence! Mais l'utilisation intensive de la transformée de Fourier (TF) est aussi et surtout en partie due à la possibilité d'implanter efficacement cette transformation (ainsi que son inverse) dans un système physique. C'est en fait l'algorithme de transformée de Fourier rapide (FFT en anglais) mis au point par Cooley et Tukey en 1965 qui a permis d'exploiter la TF et d'en faire un outil mathématique de choix. On trouve ainsi des "modules FFT" dans des domaines aussi variés que la mesure (exemple: oscilloscopes numériques), les transmissions (exemples: radio numérique DAB, télévision numérique DVB, réseaux locaux sans fils de type 802.11a), l'informatique (exemple: PC), etc. Cependant, même si personne ne remettra en cause l'utilité de la transformée de Fourier ainsi que son efficacité d'implantation, on rencontre dans la réalité de nombreux signaux que la TF décrit assez mal. Il s'agit en particulier des signaux dits non stationnaires. Il a donc fallu développer de nouveaux outils mathématiques qui permettent de traiter de tels signaux et d'en extraire facilement l'information utile. C'est là que la transformation en ondelettes entre en scène. Avant de définir la transformation en ondelettes, nous allons suivre une démarche naturelle qui va nous permettre de mieux comprendre comment cet outil a été élaboré. Pour cela nous analyserons dans le paragraphe suivant les défauts de la transformation de Fourier. 2. Les limites de la transformation de Fourier Pour illustrer les limitations de la transformée de Fourier nous allons raisonner à partir d'un cas très simple que nous interpréterons mathématiquement. Considérons la figure 1. La figure 1 représente l'amplitude1 de la transformée de Fourier monolatérale en fonction de la fréquence normalisée (normalisation par la fréquence minimale 1min ff = ). La question que nous nous posons est: à quelle fonction du temps (ou signal) correspond cette transformée de Fourier?

1 Le raisonnement sur l'amplitude pourrait se faire sur la phase de la transformée de Fourier mais celle-ci est plus difficile à interpréter.


Puisqu'il il y a deux pics de fréquence en 1/ 1 =ff et en 3/ 1 =ff , un signal temporel qui convient parfaitement à la transformée de Fourier de la figure 1 est

)2sin()2sin()( 21 tftfty ππ += .

Figure 1

En réalité, le signal qui été utilisé pour la simulation de la figure 1 est le suivant:

)()2sin()()2sin()( 21 tutftutftz −×+×= ππ , où la fonction )(tu représente l'échelon d'Heaviside. Les signaux )(ty et )(tz sont pourtant très différents en ce sens que pour le premier signal les deux fréquences existent en permanence alors que pour le second la fréquence 1f n'existe que sur ] ]0;∞− et la fréquence 2f n'existe que sur [ [+∞;0 . Nous constatons ici que deux signaux très différents peuvent avoir des transformées de Fourier identiques, tout du moins à l'observation2. Mathématiquement, on peut montrer que pour une durée infinie d'observation de ces signaux, on obtient exactement les mêmes transformées de Fourier (pour l'amplitude et pour la phase). Ce résultat s'explique très simplement en regardant de plus près la définition de la TF d'un signal )(tx :

∫+∞

∞−

−= dtetxfX ftj π2)()( .

La transformée Fourier au point f est le produit scalaire entre la fonction )(tx et la fonction

ftje π2 . L'addition étant commutative, cela veut dire que l'ordre dans lequel sont sommés les différents produits qui contribuent au produit scalaire importe peu. Or la fonction ftje π2 oscillant de la même façon sur tout l'axe des réels, cela signifie que tous les points de la fonction sont traités (pondérés) de la même façon. C'est précisément pour cela que l'événement "changement de fréquence de 1f à 2f " dans la fonction )(tz est noyé dans la somme infinie de termes de chacun des produits scalaires (pour chacune des fréquences f ). Il 2 Les simulations des figures 1 et 2 ont été réalisées en échantillonnant les signaux sur environ 164 périodes de signal ( 1/164 f ) avec une fréquence d'échantillonnage 1100 ff e = ( 142 échantillons plus exactement).


faut donc bien comprendre ici que la transformation de Fourier ne fait pas disparaître l'information (c'est précisément une des vertus d'un changement de base3) mais une information4 qui peut intéresser fortement le traiteur de signal peut se retrouver répartie sur l'étendue des fréquences et devenir ainsi non détectable sur la transformée de Fourier. Il nous donc modifier la base de fonctions analysantes de manière à être capable de localiser les éventuelles non-stationnarités du signal d'intérêt. Une première idée est de modifier la transformée de Fourier pour lui donner ce pouvoir de localisation, c'est l'idée de la transformation de Fourier à fenêtre. 3. Transformation de Fourier à fenêtre glissante

3.1. Définition Pour donner un pouvoir de localisation aux fonctions analysantes de la transformée de Fourier, qui oscillent avec la même amplitude sur tout l'axe des réels, on pondère ces fonctions par une fonction fenêtre de manière à sélectionner uniquement la partie utile du signal. La fenêtre est bien sûr translatée de manière observer toutes les parties utiles du signal. Concrètement, la transformée de Fourier à fenêtre glissante s'exprime par:

∫+∞

∞−

− −= dttwetxfX ftj )()(),( *2 ττ π

où )(tw est la fonction fenêtre qui est à choisir et ""τ est le paramètre de translation de la fenêtre. On notera que la transformée dépend maintenant de deux variables: une variable de fréquence et une variable de localisation temporelle du contenu fréquentiel. Cette transformée nous permet donc bien d'atteindre le but recherché qui était d'avoir des informations sur le signal en temps et en fréquence à partir de la transformation réalisée. Une question qui se pose est de savoir comment choisir cette fonction fenêtre.

3.2. Choix de la fonction fenêtre La forme la plus simple de fenêtre semble être la fonction porte, qui vaut "un" à l'intérieur de la fenêtre et "zéro" partout ailleurs. En supposant ce choix de forme de fenêtre pertinent, il nous reste à choisir la largeur de cette fenêtre. Essayons d'avancer la réalisation de ce choix en appliquant une transformée à fenêtre sur le signal )(tz défini dans la partie précédente. En choisissant une fenêtre carrée de largeur 11 /1 fT = et un pas de 5/1T pour le paramètre de translation ""τ , nous obtenons la TF à fenêtre de la figure 2. Avec cette fenêtre nous voyons clairement apparaître les deux "régimes" du signal )(tz , la démarcation entre les deux régimes est très nette sur l'axe du paramètre de translation (le temps). Cependant, selon l'axe des fréquences on ne retrouve pas deux raies en fréquence telles que celles données par la transformée de Fourier. Nous avons donc perdu en résolution fréquentielle en multipliant le signal par une fenêtre étroite. Les lobes que nous voyons sur la figure 2 sont ceux de la transformée de Fourier de la porte. Il est donc clair que plus la porte sera étroite, meilleure

3 La version discrète de la transformation de Fourier, qui est celle utilisée dans les systèmes réels, n'est qu'un simple changement de base au sens vectoriel du terme. 4 En théorie de l'information où l'on considère des signaux aléatoires, les changements, les variations brusques, l'inattendu sont précisément l'essence même de l'information.


sera la localisation en temps des phénomènes mais d'un autre côté nous perdons sur la précision en fréquence car les lobes s'élargissent et nous n'obtenons plus une seule raie bien localisée même pour un signal sinusoïdal. Ainsi, on voit que pour une porte plus large, par exemple d'une durée de 110T , on obtient une bien meilleure résolution fréquentielle (figure 3) et nous perdons en résolution temporelle comme le montre la figure 4 qui met encore mieux en évidence l'intervalle de temps (entre 50 et 100 avec la convention de la figure 4) où co-existent deux fréquences, alors que physiquement cet intervalle n'existe pas dans le signal

).(tz

Figure 2: transformée de Fourier à fenêtre (porte étroite)

Figure 3: transformée de Fourier à fenêtre (porte large)


Figure 4: vue de dessus de la figure 3

Ces observations mettent en évidence un compromis entre résolution fréquentielle et résolution temporelle qui correspond au principe d'incertitude d'Heisenberg formulé en mécanique quantique pour le couple position – quantité de mouvement par exemple. En mathématiques, dans la théorie des opérateurs, ce principe est devenu un théorème qui s'applique à toute paire de variables dites conjuguées. Le temps et la fréquence sont précisément deux grandeurs conjuguées et il y aura toujours un compromis à accepter entre résolution temporelle et résolution fréquentielle. Le principe d'incertitude peut se quantifier en ayant défini au préalable un paramètre qui caractérise la résolution. En notant )(tψ une fonction d'énergie finie (dans le cas de la TF à fenêtre ce serait la fonction )(*2 twe ftj π ), nous caractériserons la résolution temporelle et la résolution fréquentielle par:

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

Ψ

Ψ=

=

∫∫

∫∫

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

∞+

∞−

dff

dfff

dtt

dttt

f

t

2

22

2

22

)(

)(

)(

)(

σ

ψ

ψσ

.

Ces dispersions ou écarts-types caractérisent "l'étendue" spatio-temporelle de la fonction considérée; plus la dispersion est petite meilleure est la résolution. Dans le plan temps fréquence, la majeure partie de l'énergie de la fonction considérée est située dans un rectangle5 de dimensions ft σσ × . Le principe d'incertitude se traduit alors par le théorème suivant.

5 Par défaut nous considérons toujours la représentation mono-latérale de la transformée de Fourier, ce qui revient à dire ici que l'énergie de la fonction considérée ne se trouve que dans les fréquences positives.


Théorème1 (relation d'incertitude) Pour toute fonction d'énergie finie )(tψ telle que les fonctions )(ttψ et )( ffΨ soient

également d'énergie finie, on a: π

σσ41

≥ft .

Pour faire une comparaison simplifiée on pourrait dire que "l'image" qu'une transformée (dans notre cas la transformée de Fourier à fenêtre) nous fournit du signal d'intérêt ne peut pas être vue avec des pixels dont l'aire serait plus petite que π4/1 . Si nous revenons au choix de la fenêtre que nous avons fait, nous nous rendons compte que celui-ci n'est pas pertinent car l'aire du pavé élémentaire avec lequel nous analysons le signal dans le plan temps-fréquence est en fait infinie6. On peut vérifier que pour une fonction porte de largeur tΔ et d'amplitude tΔ/1 on a: ∞=Δ= ft t σσ et 12/ . Un choix plus pertinent de la fonction fenêtre est de choisir une gaussienne. C'est ce choix qu'à fait Dennis Gabor dans ses travaux sur la transformation de Fourier à fenêtre7. En adoptant ce choix on atteint l'aire minimale du pavé élémentaire du plan temps-fréquence. On peut vérifier que pour la fonction

2/24/1 2

)( tftj eet −−= ππψ (appelée parfois gaborette) on a: π

σσ22

1et 2

1== ft .

Concluons quant au choix de la fonction fenêtre. En passant de la fenêtre rectangulaire à la fenêtre gaussienne nous avons optimisé l'aire du pavé d'analyse du plan espace-temps. Cependant, un inconvénient, que nous avons souligné, demeure. La "largeur" (caractérisée ici par tσ ) de la fenêtre temporelle est constante sur tout le plan temps-fréquence (figure 5), ce qui signifie que nous analysons les basses fréquences et les hautes fréquences de la même manière alors que nous avons souligné l'intérêt d'avoir une fenêtre étroite pour localiser les hautes fréquences (phénomènes brefs) et une fenêtre large pour pouvoir observer les basses fréquences (phénomènes qui tendent à s'étendre sur l'axe des temps).

Figure 5: pavage du plan temps-fréquence avec une TF à fenêtre

6 Ce résultat est vrai pour tout 0≠Δt et se base sur la normalisation de l'énergie de la porte à l'unité. 7 "Theory of communications", Dennis Gabor, Journal of IEE (London) ,1946, November ,Vol. 93 , Part III ,No. 26 , Pages 429-457


3.3. Nécessité d'une nouvelle transformée L'inconvénient de la transformation de Fourier que nous avons mis en exergue dans le paragraphe précédent est lié au fait que la taille de la fenêtre est fixe et ne dépend donc pas des fréquences analysées. Par conséquent, les résolutions temporelles et fréquentielles ne peuvent être qu'indépendantes. Une idée astucieuse, utilisée par Jean Morlet vers 1975 pour la détection de nappes de pétrole, est d'adapter la résolution temporelle aux fréquences analysées. Ainsi, au lieu de vouloir analyser (comme l'a fait Dennis Gabor) le signal utile avec une fenêtre de taille fixée et contenant un nombre d'oscillations qui varie avec la fréquence, Morlet a proposé d'utiliser une fenêtre de taille dépendant de la fréquence analysée mais avec un nombre d'oscillations fixe [Figure]. Les fonctions d'analyse correspondantes se comportent comme un accordéon. Ces fonctions analysantes sont précisément les ondelettes de Morlet. Nous verrons dans le paragraphe suivant comment les ondelettes permettent à la fois

• d'observer les hautes fréquences avec une haute résolution temporelle et donc de fournir une des informations précises sur la localisations des phénomènes brefs;

• et à la fois d'observer les basses fréquences sur une durée suffisante d'analyse pour rendre compte des phénomènes lents.

Figure 6: : partie réelle de l'ondelette de Morlet pour différentes résolutions temporelles


4. La transformation en ondelettes continue

4.1. Définition La transformée en ondelettes dépend de deux paramètres:

• Un paramètre d'échelle, noté " a " qui joue le rôle de la fréquence dans la transformée de Fourier à fenêtre. Un paramètre d'échelle petit correspond à des fréquences élevées et inversement.

• Le paramètre de translation, noté "b " qui joue le rôle de la position de la fenêtre dans la transformée de Fourier à fenêtre. Ce paramètre correspond donc à l'axe des temps.

La transformée en ondelettes du signal )(tx est donc définie par:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=

= ∫+∞

∞−

abt

at

dtttxbaX

ba

ba

ψψ

ψψ

1)(

)()(),(

,

*,

.

Les fonctions analysantes { }Ρ∈> batba ,0 );(,ψ sont déduites d'une seule et même fonction

)(tψ que l'on appelle ondelette mère. D’un point de vue terminologie, précisons que la fonction )(tψ peut être effectivement « ondelette » à partir du moment où sa moyenne temporelle est nulle. La pondération en a/1 permet d'avoir des fonctions analysantes de

même normes: 1)()(,,022

, ==∈∀>∀ ∫∫+∞

∞−

+∞

∞−dttdttba ba ψψΡ .

4.2. Propriétés de résolution Vérifions que la transformée en ondelettes a bien les propriétés que nous cherchions, à savoir une résolution temporelle croissante pour des fréquences croissantes et inversement. Pour la dispersion temporelle, nous avons à l’échelle « a »:

( )

t

at

a

dttta

dtttba

σ

ψ

ψσ

=

=

==

∫

∫∞+

∞−

∞+

∞−

22

20,

2

)(

)(0,

.

Pour la dispersion fréquentielle, nous avons à l’échelle « a »:

( )

a

dfffa

dfffba

f

af

σ

σ

=

Ψ=

Ψ==

∫

∫∞+

∞−

∞+

∞−

22

20,

2

)(

)(0,

.


On voit que la transformée en ondelettes permet d'avoir un pavage du plan temps-échelle (ou temps-fréquence) qui possède les propriétés recherchées (figure 6): à une petite échelle (donc à une fréquence élevée) correspond une haute résolution temporelle (petite valeur de la dispersion temporelle) et inversement. L'aire de chaque pavé est constante et sa valeur peut s'approcher ou égaler π4/1 selon le choix de l'ondelette.

Figure 7: pavage du plan temps-échelle

(le paramètre "a" a été discrétisé pour faciliter la représentation)

4.3. Inversion de la transformation en ondelettes (formule de reconstruction) Pour pouvoir reconstruire le signal originel à partir de ses coefficients en ondelettes, l'ondelette mère doit nécessairement vérifier la condition suivante, dite condition d'amissibilité de l'ondelette:

∞<Ψ

= ∫∞+

dfff

C0

2)(ψ .

Si la condition d'admissibilité est vérifiée, alors on peut montrer que8

dadbbaXaC

tx ∫ ∫∞+ ∞+

∞−

−=0

2 ),(1)( ψψ

.

On peut remarquer que pour que la condition d'admissibilité soit vérifiée, il faut

nécessairement que 0)( =Ψ f c'est-à-dire que ∫+∞

∞−= 0)( dttψ . Notons que cette condition est

8 "Intermediate space and interpolation, the complex method", A. Calderon, Stud. Math., Pages: 113-190, 1964. "Decomposition of Hardy functions into square intergrable wavelets of constant shape", A. Grossman et J. Morlet, SIAM Journal of Math. Anal., Pages: 723-736, juillet 1984.


"presque" suffisante. En effet, en pratique, on utilise assez souvent la condition suivante d'admissibilité9. Théorème 2 (condition suffisante d'admissibilité). Toute fonction )(tψ réelle appartenant à )( )( ΡΡ 21 LL I , telle que )()( Ρ1L∈ttψ et

∫+∞

∞−= 0)( dttψ vérifie la condition d'admissibilité ∞<

Ψ= ∫

∞+df

ff

C0

2)(ψ .

4.4. Classification des ondelettes Dans ce chapitre nous avons évoqué un seul type de transformation en ondelettes, la transformation en ondelettes continue. Tout comme pour la transformation de Fourier, il existe aussi une version discrète de la transformation en ondelettes qui correspond au cas où les paramètres d’échelle et de translation appartiennent à des ensembles discrets. Une particularité fondamentale pour classer les ondelettes est leur degré de redondance. La transformée en ondelettes continue est par construction très redondante mais la transformée en ondelettes discrète peut ne pas l’être et l’absence de redondance est même recherchée dans des applications comme la compression de données. 5. Conclusion Nous avons vu comment, de l’analyse de Fourier, en passant par l’analyse de Gabor, nous sommes aboutis à l’analyse en ondelettes. La transformée de Fourier doit son succès à sa capacité à bien décrire un grand nombre de signaux (tous les signaux stationnaires en fait) et à être implanté dans un système réel très efficacement. La transformation en ondelettes, elle aussi, a connu un grand succès qui repose sur le même type d’arguments. Précisons ici que la transformée par ondelettes a une ambition bien plus grande que celle de la transformée de Fourier car la classe des signaux qu'elle vise à décrire, c'est-à-dire les signaux non-stationnaires, est d'une bien plus grande diversité. Nous étudierons dans le chapitre suivant, l’analyse multi-résolution (AMR), qui a conduit en particulier, à la conception d’algorithmes rapides. 9 "Les ondelettes et leurs applications", M. Misiti, Y. Misiti, G. Oppenheim et JM Poggi, Hermes Sciences, Page 64, 2003.


CHAP 2 : Analyse multirésolution et bases d’ondelettes orthogonales

6. Intérêt de l'analyse multirésolution Dans ce chapitre, nous nous restreignons à l'étude des ondelettes orthogonales qui sont un cas particulier des ondelettes discrètes. Ce type d'ondelettes est extrêmement utile en pratique car les ondelettes orthogonales sont non redondantes (la non redondance est à la fois bénéfique pour la rapidité de calcul de la transformation et pour les performances en terme de taux de compression) et leur inversibilité est assurée. Dans le chapitre précédent nous avons vu qu'il est "facile" de construire une transformation en ondelettes continue puisqu'il il suffit de trouver une fonction de moyenne nulle (l'ondelette mère). Par contre, il est beaucoup plus difficile de trouver des ondelettes orthogonales. Les travaux pionniers dans cette recherche sont ceux de J. Strömberg10 (1981) et ceux de Y. Meyer (1985). Dans ces travaux, des exemples de bases d'ondelettes orthogonales sont proposés mais aucune méthode générique pour trouver de telles bases n'a alors été proposée. C'est précisément là que l'analyse multirésolution (AMR) entre en scène. L'une des vertus de l'analyse multirésolution est de produire "facilement" des bases d'ondelettes orthogonales. C'est en voulant expliciter le lien entre les algorithmes pyramidaux11 du traitement d'image et la théorie des ondelettes que Stéphane Mallat a mis au point l'analyse multirésolution12. Deux autres vertus de l'AMR est qu'elle est très adaptée à décrire certaines situations physiques telles que celles rencontrées en traitement d'image où l'information est répartie à des échelles qui peuvent très différentes, et elle se prête naturellement à une implantation rapide. L’AMR ne sert pas qu’à la construction des bases d’ondelettes orthogonales, on s’en sert aussi pour former des paquets d’ondelettes et des bases d’ondelettes biorthogonales. On notera que les ondelettes orthogonales sont un cas particulier des ondelettes discrètes (par abus de langage on appelera ondelettes discrètes les séries d’ondelettes discrètes). Dans ce chapitre, le paramètre d’échelle a et le paramètre de translation temporelle b seront donc discrets. On choisira une discrétisation dyadique du paramètre d’échelle a. 7. Définition de l'analyse multirésolution

10 "A modified Franklin system and higher-order spline systems on

nνΡ as unconditional bases for Hardy spaces", J. Strömberg, Conference on Harmonic Analysis in Honor of Antoni Zygmund, vol. 2, 1983, pages: 475-494. 11 "Image data compression with the Laplacian Pyramid", E. Adelson et P. Burt, Proceedings on Pattern Recognition and Information Processing Conference, Dallas, 1981, pages: 218-223. Voir aussi "The Laplacian Pyramid as a Compcat Image Code", P. Burt et E. Adelson, IEEE Trans Comm, vol.31, April 1983, pages: 482-540. 12 "A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation", S. Mallat, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, July 1989, 674-693.


7.1. Exemple d'approximation multirésolution Avant de donner la définition mathématique d'une analyse multirésolution, nous citerons un exemple de ce type d'analyse pour saisir le concept considéré. Supposons que l'on veuille approximer le nombre 8/7 (1.142857…). Une première approximation est le nombre 0. Une telle approximation serait obtenue par exemple avec un quantificateur, à arrondi au plus proche, de pas 10 dont la première marche démarre de zéro. Une seconde approximation peut être le nombre 1. Une troisième peut être 1.1 et une quatrième pourrait être 1.14. Les erreurs respectives seraient alors 1.142857…, 0.142857…, 0.042857 et 0.002857. On voit donc que les nombres décimaux permettent d'approximer n'importe quel nombre avec une précision arbitraire. L'analyse multirésolution permet d'en faire autant pour n’importe quelle fonction d’énergie finie pourvu que certaines conditions soient vérifiées, ces conditions définissent en fait l’AMR.

7.2. Définition d'une analyse multirésolution Soient { }2Ζ∈),(),(, njtnjψ une base d'ondelettes et )(tf une fonction d'énergie finie. Pour

une résolution donnée j−2 , la somme )()(),( ,, tttf njn

nj ψψ∑ peut être interprétée comme la

différence entre les deux approximations de )(tf aux deux résolutions 12 +− j et j−2 . Approximer )(tf à la résolution j−2 se traduit mathématiquement par une opération de projection orthogonale sur un sous-espace vectoriel que nous noterons jV . Cet espace est

appelé espace d'approximation à la résolution j−2 . Nous noterons jA le projecteur orthogonal

sur le sous-espace jV . Par définition, ce projecteur minimise 2

ffAj − pour une résolution j−2 donnée. Avec ces notations, nous pouvons maintenant définir une analyse

multirésolution. Une analyse multirésolution est une suite de sous-espaces vectoriels { }Ζ∈jVj , de )(L2 Ρ telle que:

a. 1, −⊂∈∀ jj VVZj b. { }0lim =

+∞→ jjV

c. (R)L2=−∞→ jj

Vlim

d. 1)2/()( +∈⇔∈ jj VtfVtf

e. il existe une base orthonormale de 0V notée { }Znnt ∈− ),(ϕ où )(L2 Ρ∈)(tϕ . Nous pouvons commenter13 chacune de ces propriétés. La première propriété est une propriété d'inclusion qui signifie qu'une approximation à une résolution donnée contient toute l'information nécessaire pour obtenir les approximations aux résolutions inférieures (plus grossières). Exemple : d’une carte géographique précise (échelle 1/100) on en déduit facilement une carte plus grossière (1/10000). La seconde propriété indique que pour une résolution nulle ("infiniment grossière") on perd toute l'information sur la fonction que l'on veut analyser. Inversement, la propriété (c) signifie que pour une résolution infinie, 13 "A wavelet tour of signal processing", S. Mallat, pages: 221-222, Academic Press, Second Edition 2001.


l'approximation du signal converge bien vers le signal original. La propriété (d) permet d'assurer que la dilatée de l'approximation du signal à une résolution donnée est bien une approximation du signal à la résolution juste inférieure. La dernière condition implique que, pour tout Ζ∈j ,l'espace jV est invariant par translation: j

jj VntfVtfZn ∈−⇔∈∈∀ )2()(, .

8. Lien entre l'AMR et les ondelettes

8.1. Discussion à partir de l’analyse du nombre 8/7 Dans l'exemple de l'analyse d'un nombre selon les nombres décimaux, nous avons mis en évidence les erreurs d'approximation correspondant à chacune des résolutions. Notons que pour l'approximation la plus grossière (0) l'erreur est égale au nombre que l'on cherche à approximer (1.142857). Un point important que nous voulons mettre en évidence sur cet exemple est que le nombre que l'on cherche à approximer peut s'écrire comme la somme des erreurs entre deux approximations successives soit:

...02857.0)1.114.1()11.1()01(...142857.17/8 +−+−+−==

Le dernier terme de la somme ci-dessus peut également s'écrire comme une somme de différence mais pour cela nous aurions du poursuivre l’analyse en explicitant les approximations plus précises que 1.14 (1.142, 1.1428, …). C’est précisément aux erreurs entre deux approximations successives que nous nous intéressons dans ce paragraphe. Revenons au cas de l’analyse d’une fonction d’énergie finie. Aux nombres

7/8...,,142.1,14.1,1.1,1,0 correspondent les projections de la fonction considérée (disons )(tf ) sur les sous-espaces d’approximations, ces projections sont fAfAfA ∞−− ,...,,, 10 . A

quoi correspondent alors les erreurs ( ...,04.0,1.0,1 ) entre deux approximations successives ? C’est ce que nous allons voir dans le sous paragraphe suivant.

8.2. Le retour des ondelettes Dans le sous paragraphe 2.2. nous avons dit que la somme )()(),( ,, tttf nj

nnj ψψ∑ peut être

interprétée comme la différence entre les deux approximations de )(tf aux deux résolutions 12 +− j et j−2 . On peut donc définir une fonction (un vecteur dans le langage des sous-espaces

vectoriels) d’erreur entre l’approximée de la fonction )(tf à la résolution 12 +− j et l’approximée de la fonction )(tf à la résolution j−2 . Cette fonction d’erreur correspond aux détails que nous perdons en passant de la résolution 12 +− j à la résolution j−2 . Ceci se traduit mathématiquement par :

jjj wfAfA +=−1 . Dans l’équation ci-dessus nous avons noté jw la fonction (le vecteur) qui représente les détails gagnés en passant d’une résolution donnée à la résolution immédiatement supérieure. Ces à ces fonctions { }Zjw j ∈, que correspondent, dans notre analogie, les nombres

...,04.0,1.0,1 de l’exemple relaté précédemment.


Tout comme nous avons défini les sous-espaces d’approximation jV nous pouvons aussi définir les sous-espaces de détails. Le sous-espace de détails pour l’indice j , noté jW , est défini par la relation suivante :

jjj WVV ⊕=−1 .

La somme directe du sous-espace d’approximation à la résolution j−2 et du sous-espace de détails à la résolution j−2 donne le sous-espace d’approximation à la résolution 12 +− j . Le résultat fondamental auquel nous arrivons maintenant est que la somme directe de tous les sous-espaces de détails donne précisément l’espace )(L2 Ρ . Mathématiquement cela se traduit par :

)(2 RLWjZj=⊕

∈.

Cela signifie qu’en réunissant les fonctions de bases de chacun des sous-espaces de détails jW on obtient une base de l’espace des fonctions d’énergie finie. Or, on peut vérifier14 que les propriétés de l’AMR assure l’orthogonalité de chacune des bases ainsi construites. Une telle base, que nous notons { }2

, ),(, Znjnj ∈ ψ , correspond précisément à une base d’ondelettes orthogonales. La démonstration de l’orthogonalité peut être trouvée par exemple dans l’ouvrage de S. Mallat cité en bas de page. Ici, nous démontrerons simplement la relation sur la somme directe des sous-espaces de détails. Le résultat que nous voulons démontrer est assez intuitif car nous avons déjà vu que sur l’exemple de l’analyse du nombre 8/7 la somme des erreurs entre deux approximations successives fournit bien le nombre original, soit :

...)14.1142.1()1.114.1()11.1()01(7/8 +−+−+−+−= . Montrons ce résultat à partir des propriétés de l’AMR. Par définition , jjj WVV ⊕=−1 . De même nous pouvons écrire que :

1112 −−−− ⊕⊕=⊕= jjjjjj WWVWVV ,

21211223 −−−−−−−− ⊕⊕⊕=⊕⊕=⊕= jjjjjjjjjj WWWVWWVWVV .

Par récursivité, nous avons donc pour un entier naturel N quelconque :

j

ji

NjijNj WVV=

+−=− ⊕=1

.

En posant NJKNjJ +=−= et , cette relation se réécrit de la manière suivante :

j

Ki

JiKJ WVV=

+=⊕=

1.

14 "A wavelet tour of signal processing", S. Mallat, pages: 236-238, Academic Press, Second Edition 2001.


En faisant tendre J et K vers ∞− et ∞+ respectivement, on obtient bien le résultat recherché en utilisant (b) et (c) de l’AMR. 9. Lien entre l’AMR et les filtres miroirs en quadrature15 : application à la construction

de bases d’ondelettes orthonormales

9.1. Objectif L’un des buts de cette partie est de montrer que l’AMR équivaut à une mise en cascade de filtres. Cette équivalence a été établie par Stéphane Mallat16. L’intérêt de cette équivalence est fondamental : la « vision filtrage » conduit à la fois à mise en œuvre d’algorithmes rapides de transformations en ondelettes (transformations directe et inverse) et à la construction de bases d’ondelettes orthonormales juste en spécifiant un filtre qui sera défini dans l’équivalence dont il est question. L’AMR permet de générer :

• des bases d’ondelettes orthogonales ; • des bases d’ondelettes biorthogonales ; • des paquets d’ondelettes.

9.2. « Vision filtrage » de l’AMR

9.2.1. Algorithme de Mallat : analyse Sous les conditions de l’AMR, nous avons vu que pour chacun des sous-espaces d’approximation jV , il existe une base de fonctions orthonormales que nous notons { }Znnj ∈ ,,ϕ . La fonction )(tϕ est appelée fonction d’échelle (parfois appelée ondelette père). De même pour chacun des sous-espaces de détails jW , il existe une base de fonctions orthonormales que nous notons { }Znnj ∈ ,,ψ . La fonction )(tψ est l’ondelette mère. De plus nous noterons respectivement jA et jD les projecteurs orthogonaux sur les sous-epaces d’approximation de et de détails jV et jW . Avec ces notations, les projections orthogonales de la fonction )(tf sur ces deux sous-espaces s’écrivent :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

==

==

∑ ∑

∑ ∑

∈ ∈

∈ ∈

Zn Znnjnjnjnjj

Zn Znnjnjnjnjj

fdfD

fafA

,,,,

,,,,

,

,

ψψψ

ϕϕϕ.

15 "Application of quadrature mirror filters to split-band voice coding schemes", D. Esteban et C. Galland, Proceedings IEEE International Conference on Acoustics and Signal Speech Processing 1977, Hardford, pages: 191-195. 16 "A theory for multiresolution signal decomposition: the wavelet representation", S. Mallat, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, July 1989, 674-693.


La suite numérique { }Zna nj ∈ ,, caractérise l’approximation de la fonction )(tf à la

résolution j−2 . La suite numérique { }Znd nj ∈ ,, représente les coefficients de la

transformation ondelettes à la résolution j−2 . Nous allons montrer qu’il existe un lien simple entre a suite numérique { }Zna nj ∈ ,, et la suite numérique { }Zna nj ∈− ,,1 et de même un lien simple relie { }Znd nj ∈ ,, à { }Znd nj ∈− ,,1 . Notons que c’est la simplicité de ces liens qui va assurer la « facilité du calcul » de la transformation en ondelettes directe.

Sous-espaces d’approximation.

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=<

>=<

j

j

njnj

ttf

ttfa

j 22),(

)(),(

21

,,

ϕ

ϕ

( )

∑

∑

∈

∈−

−

−

−=⇒

=∃⇒

∈⇒∈⇒⊂

Zk

Zkk

ktkht

tkhtkhVtVt

VV

)2(2)()(

)()()(),()()(

,1

10

10

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

)2)((

)2(

)2(

)(),()(

1

,1

,1

2,1,

nah

amnh

anmh

ttfkha

j

Zmmj

Zmmj

Zknkjnj

−

∈−

∈−

∈+−

∗=

−=

−=

><=

∑

∑

∑ ϕ

Sous-espaces de détails

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −=<

>=<

j

j

njnj

ttf

ttfd

j 22),(

)(),(

21

,,

ψ

ψ


( )

∑

∑

∈

∈−

−

−

−=⇒

=∃⇒

∈⇒∈⇒⊂

Zk

Zkk

ktkgt

tkgtkgVtWt

VW

)2(2)()(

)()()(),()()(

,1

10

10

ϕψ

ϕψ

ψψ

)2)((

)2(

)2(

)(),()(

1

,1

,1

2,1,

nag

amng

anmg

ttfkgd

j

Zmmj

Zmmj

Zknkjnj

−

∈−

∈−

∈+−

∗=

−=

−=

><=

∑

∑

∑ ϕ

9.2.2. Algorithme de Mallat : synthèse Nous allons montrer qu’il existe un lien simple entre a suite numérique { }Zna nj ∈− ,,1 et la suite numérique { }Zna nj ∈ ,, et de même un lien simple relie { }Znd nj ∈− ,,1 à { }Znd nj ∈ ,, . Notons que c’est la simplicité de ces liens qui va assurer la « facilité du calcul » de la transformation en ondelettes inverse.

>=< −− )(),( ,1,1 ttfa njnj ϕ

><+><=

>+<=

>+<=

><=

=

><=

−−−

−−

−−

−−−

−−

−−−

∑∑

∑ ∑∑

∑

∑

∑−

njjjnjk

kjkjnj

njn

njjjk

kjkj

njn

njjj

njn

njj

jj

njn

a

njj

daa

da

fDfA

fA

fAA

ffAnj

,1,,,1,,,1

,1,1,,,,

,1,1

,1,11

11

,1,11

,,

,

,

,

)(

,,1

ϕψϕϕ

ϕϕψϕ

ϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

lll

lll

43421

On utilise alors les relations trouvées dans l’analyse :

⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

=

∑

∑

+−

+−

'2',1,

'2',1,

)'(

)'(

mmjj

nknjkj

mg

nh

ll ψψ

ϕϕ


On montre alors que : ∑∑ −+−=−l

l l)2()2( ,,,1 ngdknhaa jk

kjnj .

On introduit la notion de filtrage et on montre que les a(j,n) et les d(j,n) se calcule récursivement : tout comme la carte à une échelle plus grossière, il n’est pas question de refaire tout le travail, la division par 2 simplifie rapidement les calculs.

9.3. Comment construire simplement une base d’ondelettes orthonormales Deux stratégies : à partir de la réponse impulsionnelle du filtre passe-bas h(.) ou de la fonction d’échelle. Relations entre les filtres passe-bas les filtres passe-haut, les fonctions d’échelles et les ondelettes. On raisonne en fréquence.

• On part de la définition de h(.) :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ=

=

−=

=Φ

−=

=∃

∫∑

∫ ∑∫

∑

∑

∞+

∞−

+−

∈

∞+

∞−

−

∈

∞+

∞−

−

∈

∈−

2221

2)(2)(

)2(2)(

)()(

)2(2)(

)()()(),(!

2

,1

ωω

ϕ

ϕ

ϕω

ϕ

ϕϕ

ω

ω

ω

H

dueunh

dtentnh

dtet

ntnh

tnhtnh

nuj

Zn

tj

Zn

tj

Zn

Znn

D’où H(.) à partir de Phi(.).

De manière équivalente, si l’on cherche la fonction d’échelle à partir du filtre passe-bas, on a :

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=Φ ∏

+∞

=j

j

H22

1)(1

ωω

• On part de la définition de g(.)

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛Φ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=Ψ

−=

=∃

∑

∑

∈

∈−

2221)(

)2(2)(

)()()(),(! ,1

ωωω

ψ

ψψ

G

ntng

tngtng

Zn

Znn


• Reste à trouver G(.). Ce sont les contraintes d’orthogonalités qui vont permettre de trouver la relation spécifiant G(.). En temps, les contraintes d’orthogonalités sont :

⎩⎨⎧

>=−<∈∀>=−<∈∀

0)(),(,)()(),(,

nttZnnnttZn

ψϕδϕϕ

Démontrons le résultat pour la première condition d’orthogonalité :

∑

∑

∑

∫∫

+Φ=

+Γ=Γ

=

−=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+×>=−<

+=

−>=−<

−=

∈

∈

ke

ke

ce

e

e

nTke

Rt

Rt

k

k

nR

nR

kTtRntt

dtttR

dtnttntt

e

2

)()(

)(

)(

*

*

)(

)()(

)(

)(

)()()(),(

)()()(

)()()(),(

ωω

ωωω

δτϕϕ

τϕϕτ

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

ϕϕ

ϕϕ

τϕϕ

ϕϕ

Donc en utilisant la relation entre PHI et H, on trouve :

( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]

( )[ ] ( )[ ]

2)()(

22)(2)(

1)12()12(2122

21

121

122

1)22()22(

1)2()2(

)()(2

1)2(

221

12

22

1

2

22

2

12

22

2

2

**

*

*

*

=++

=++Φ+++Φ

=++++Φ+++Φ

=++Φ++Φ

=+Φ+Φ

=+Φ+Φ

=+Φ+Φ

Φ=Φ

∑∑

∑∑

∑

∑

∑

∑

+==

+==

πωω

ππωπωπωω

πωπωπωπω

πωπωπωπω

πωπω

πωπω

πωπω

ωωω

HH

pHpH

pHppHp

kHkkHk

kk

kk

kk

H

pkpk

pkpk

k

k

k

k

4444 34444 21444 3444 21

De même la deuxième condition d’orthogonalité conduit à la relation suivante :

)()()(0)()()()(

*

**

πωωω

πωπωωω

+Λ−=

=+++

HGHGHG

Par construction, la fct lambda doit vérifier les deux conditions suivantes :

⎩⎨⎧

=Λ++Λ=Λ−+Λ0)()(0)()2(

ωπωωπω

Un choix pertinent de la fct lambda consiste à conserver la linéarité de phase en choisissant :

ωω je−−=Λ )(


En résumé, le lien entre les filtres passe-bas et passe-haut se traduit par les deux relations suivantes, qui sont équivalentes :

⎪⎩

⎪⎨⎧

−−=

+−= −

)1()1()()()(

nhngHeG

n

j πωω ω

10. Choix des ondelettes

10.1. Nombre de moments nuls Le nombre de moments nuls conditionne la vitesse de décroissance des coefficients selon l’axe des fréquences (inverse de l’échelle). Nous allons établir le lien entre le nombre de moments nuls de la l’ondelette mère et la vitesse de décroissance des coefficients en ondelettes en fonction de la résolution. On dit que ψ a « p » moments nuls si l’on a :

[ ] ∫+∞

∞=−∈∀

- 0)(,1,0 dtttpi iψ .

Considérons le développement de Taylor de la fonction à analyser f(t) autour d’un point u. L’analyse en ondelette se « déplaçant » le long de la fonction avec le paramètre de translation, on posera jnu 2= . En supposant f(t) p fois dérivable, on a donc :

pppk

k

kk

utp

cfutk

uftf )(!

)()(!

)()()(1

1

)(

−+−= ∑−=

=

Il s’agit d’analyser les coefficients en ondelettes donnés par :

jp

jj

pp

jj

pppk

k

kk

j

j

j

M

ututp

cf

ututp

cfutk

uf

nttf

)5.0(

)(

)(1

0

)(

2

221,)(

!)(

221,)(

!)()(

!)(

22

21),(

+

−=

=

≤

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−=<

>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

−+−=<

>⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −<

∑

ψ

ψ

ψ

.

Un grand nombre de moments nuls permet donc d’avoir une représentation en ondelettes très creuse, ce qui est très favorable pour :

• La compression • Le débruitage • La vitesse de calcul.

10.2. Taille du support La taille du support joue aussi un rôle important pour le nombre de coefficients significatifs. Un support court permet à la fois d’avoir une représentation creuse mais aussi des temps calculs plus courts. Une irrégularité de la fonction f(t) génère L coefficients significatifs. Un bon ordre de grandeur du temps de calculs :

DLTOO ∝)(


où L est la longueur du support et D est la dimension de l’espace des signaux d’entrées (D = 2 pour une image bidimensionnelle). A priori, il n’y a pas de lien entre le nombre de moments nuls et la longueur du support de l’ondelette. Cependant, pour les ondelettes orthogonales, les conditions d’orthogonalité impose un lien qui empêche d’avoir à la fois un grand nombre de moments nuls et une petite longueur du support. Ingrid Daubechies a établi qu’une ondelette orthogonale qui a « p » moments nuls a nécessairement un support de longueur d’au moins 2p+1. L’égalité est atteinte pour les ondelettes de Daubechies. Quel caractéristique privilégier ? Le nombre de moments nuls ou la taille du support ? La réponse dépend de l’application mais on peut dire intuitivement qu’une ondelette à grand nombre de moments nuls convient plutôt pour les signaux comportant peu d’irrégularité. Si la densité d’irrégularité augmente, il vaut sûrement mieux privilégier une petite longueur du support. Il y a un compromis temps-fréquence à trouver selon le signal à analyser.

10.3. Régularité de l’ondelette La régularité est particulièrement importante pour la reconstruction du signal à partir de ses coefficients en ondelettes. Par exemple en TI, une ondelette qui varie brutalement peut faire apparaître des contours qui n’existent pas. De plus, une ondelette douce produit un signal restitué régulier même s’il y a une petite erreur sur les coefficients en ondelettes qui peut venir de la quantification.

10.4. Symétrie Discutée un peu plus tard. 11. Paquets d’ondelettes 12. Exemple d’application : l’ondelette de Haar

12.1. Reconstruction de la base d’ondelettes de Haar à partir de l’AMR Une fonction d’approximation simple sur un intervalle de longueur 1 est la fonction constante. L’approximation correspondante est donc une fonction constante par morceau de taille 1 ou différente si l’on travaille dans un autre espace que Vo. La fonction d’échelle correspondante est la fonction d’échelle de Haar. On a :

sinon si

0]1,0[1

)(∈

=x

tϕ

Quelle est l’ondelette mère associée, sachant que l’on veut une base d’ondelette orthogonale ?


[ ]

ω

ω

ϕω

ω

ω

ω

ω

je

ej

dte

dtet

j

tj

tj

tj

−

−

−

+∞

∞−

−

−=

−=

=

=Φ

∫∫

1

1

)()(

10

1

0

( )ω

ω

ω

ωωω

ωωω

j

j

j

e

ee

H

H

−

−

−

+=

−−

=

ΦΦ

=

Φ=Φ

12

111

21

)()2(2)(

)()(2

1)2(

2

Donc

1n en

0n en

1n en

0n en

=−

==

−=

=

==

21

21

)()1()(2

12

1

)(

nhng

nh

n

Donc

)12()2(

)2()(2

)()()( ,1

−−=

−=

=

∑

∑

∈

−∈

tt

ntng

tngt

Zn

nZn

ϕϕ

ϕ

ϕψ

12.2. Signification des sous-espaces d’approximation et de détails On calcule les projections du signal

12.3. Paquets d’ondelettes de Haar


CHAP 3 : AMR et bases d’ondelettes biorthogonales

1. Définition de la biorthogonalité de deux bases Soient B, Btilde deux bases d’un espace donné. Les deux bases sont biorthogonales si et seulement si :

jiji eeji ,~,,, δ>=<∀

Exemple graphique. Noter que si la première base est normée, l’autre ne peut l’être. Dans ces bases, on a pour tout vecteur x :

>=<>=<

== ∑∑

ii

ii

iii

iii

euxeux

exexu

~,~,

~~

Exemple graphique. Noter que si la première base est normée, l’autre ne peut l’être. On le retrouve sur un exemple simple à deux vecteurs.

43421434210

122

1

1111

22112211

,~~,~~,

~~~~

><+><>=<+=+=

eeeeeueeeeu

αααααα

2. Pourquoi des bases biorthogonales ? Pour avoir plus de degré de liberté que les bases d’ondelettes orthogonales. En fait, on ne peut pas optimiser simultanément les quatres principales caractéristiques d’une ondelette :

• Grand nombre de moments nuls • Support de petite longueur • Grande régularité • Symétrie de l’ondelette.

Prenons l’exemple du TI. Pour avoir un fort taux de compression, on voudrait avoir pour l’analyse une ondelette avec un grand nombre de moments nuls et un support le plus petit possible : on obtient ainsi une représentation creuse. Pour la synthèse, il est utile d’avoir une ondelette régulière (robustesse aux erreurs de quantification) et symétrique (éviter les artefacts


visuels). On pourrait montrer que la seule ondelette symétrique à support temporel fini est l’ondelette de Haar. Or avoir ces deux propriétés simultanément est fortement désirable en pratique, en compression par exemple. L’idée est donc d’utiliser une ondelette pour l’analyse et autre pour la synthèse de manière à relâcher la contrainte d’orthogonalité qui empêche d’avoir une ondelette symétrique de support fini. On a ainsi :

)()()(~),(

)(~)(),()(

,,

,

,,

,

tftttf

tttftf

njnj

nj

njnj

nj

=><

><=

∑

∑ψψ

ψψ

Cependant ces formules ne sont pas équivalentes. Par exemple, si on a une erreur de quantification, la fonction régulière va lisser l’erreur et produire un signal doux. Alors que la fct à grand nombre de moments nuls va produire beaucoup de coeffs faibles.

3. L’intérêt de la symétrie sur un exemple

• AMR : la convolution provoque une avalanche de coefficients. • Idée : circulariser la convolution, en ajoutant des entrées qui sont les repétées

des autres. Le nombre de coeffs est alors maîtrisé mais, la répetition introduit des artefacts. Montrer que si les signaux sont périodiques, la sortie est périodique de même période.

• Pour éliminer les artefacts, on symétrise (antisymétrise) l’entrée. Cependant si le filtre n’est pas symétrique, la symétrie en sortie est perdue. En la maintenant grâce au bon filtre, on peut éliminer la redondance introduite, fois 2, diviser par 2.

4. L’AMR se généralise


)(~)(~2

1)2(~

)()(2

1)2(

)(~)(~2

1)2(~

)()(2

1)2(

)()(~)(~)(

1)(~)()(~)(

~~~

*

*

**

1

1

ωωω

ωωω

ωωω

ωωω

πωω

πωω

πωπωωω

ω

ω

G

G

H

H

HeG

HeG

HHHH

WVV

WVV

j

j

jjj

jjj

Φ=Ψ

Φ=Ψ

Φ=Φ

Φ=Φ

+−=

+−=

=+++

⊕=

⊕=

−

−

−

− e)orthogonal non directe (somme

Note sur la symétrie. Nb de coeff de h impairs :

• h, htilde sym autour de 0 • phi, phitilde sym autour de 0 • psi, psitilde sym autre point

Nb de coeff de h pairs :

• h, htilde sym autour de 1/2 • phi, phitilde sym autour de 1/2 • psi, psitilde sym autre point


CHAP 4 : Quelques applications des ondelettes

Applications majeures des ondelettes : compression et débruitage. 5. Généralisation de l’AMR au cas multidimensionnel Formule générale avec matrice de changement d’échelle. Hypothèse de séparabilité.

• Diminue la complexité, essentiel en TI. • Pas de perte d’information, on arrive bien à construire une base de L2(R2).

Eventuellement des problèmes d’interprétation (d’où les bandelettes). { ( ) ( )nx

Detx jjnj −= −J

Jϕϕ

)(1)(,

Idem pour psi. Que deviennent ces expressions avec l’approche séparable. Relations entre les sous-espaces. 6. Compression Observation ; pour une TOD donnée. Plusieurs histogrammes de niveau de gris d’une image (histogramme unimodal, bimodal, multimodal) mène à un même type d’histogramme des coefficients en ondelettes : un histogramme unimodal symétrique. Appliquer l’AMR à une image. Filtrage selon les lignes, sous-échantillonnage, filtrage selon les colonnes, sous-échantillonnage. A l’analyse le filtre passe-bas a le rôle d’un moyenneur. A la synthèse, le filtre passe-bas a le rôle d’un interpolateur. Une première idée du taux de compression en évaluant le nombre de sous-bandes significatives et en faisant l’hypothèse d’allocation uniforme de bits. En pratique, pour diminuer la distorsion à budget de bits limités, on fait une allocation de bits non uniforme selon les sous-bandes. Normes : images fixes : JPEG2000, visio : H26L, séquence d’images : MPEG4. La même philosophie : remplacer la DCT par une DWT. Le cas de JPEG.


Extension à JPEG 2000. Il n’est pas suffisant de comparer deux transformées seules. Il s’agit de comparer les performances de la chaîne de compression complète : avec le quantificateur et les codeurs de sources. En effet, il a fallu trouver un équivalent de la procédure zig-zag plus RLE : c’est le EZW (voir aussi travaux de Taubman cité dans l’article de Blu septembre 2003). Jerome Shapiro. Bilan. Ondelettes performantes pour la compression : scalabilité en résolution et en qualtité (progressivité). JPEG ligne par ligne. Meilleure concentration d’énergie. Pas d’effets de blocs. Possibilités de prendre en compte les dépendances hiérarchiques entre sous-bandes. L’importance de la symétrie : pour les bords. Graphe de décroissance ziz-zag et EZW. On a une décroissance globale des coefficients mais localement il peut y avoir une petite croissance. En effet, la régularité de l’image intervient. Prendre le tableau de Shapiro. 7. Débruitage Ecrire l’équation d’observation 1D ou 2D. Estimation des coefficients en ondelettes bruités au ML. Estimation par seuillage dur. Performance de l’estimateur. Commentaires sur le seuil universel. Seuillage par oracle, shrinkage. Performances. Conclusion : tout comme la compression, nécessité d’avoir une TOD creuse. Compression d’empreintes digitales (travaux du FBI). Avec 94% de mises à zéros, on récupère 98% de l’énergie. 8. Autres applications Détection de contours : Haar, détails du fond marin. Haar n’est plus un détecteur de contours lorsque la résolution change. Reconnaissance d’iris. John Daugman. Fusion d’images. Exemple : images floues. Pas possible de fusionner en espace. Fusion en fréquence OK. Cependant la DFT/CDT n’a pas de pouvoir de localisation. Implique outil adapté = DWT. Ne pas oublier que contrairement à la DFT, la DWT ressemble à l’image à cause du support court de l’ondelette (vaguement un Dirac). On prend le max des coeffs. Tatouage d’ondelettes : Pierre Duhamel, Teddy Furon. Ondes sismiques.

chap 1 - l2s | laboratoire des signaux et...

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