chaleur hyperbolique

7/25/2019 Chaleur Hyperbolique

1/10

Rev G&J Therm (1997) 36, 826-835

0 Elsevier, Paris

Analyse de la conduction de la chaleur

aux temps ultra-courts dans un solide

par la thermodynamique irrkversible &endue

et la dynamique mokculaire

Sebastian Volz , Michel Lallemand *, Jean-Bernard Saulnier

Laboratoire detudes thermiques (LET), UMR 6608, ENSMA, 86960 Futuroscope cedex

(Recu le 17 mars 1997 ; accepte le 8 octobre 1997)

Abridged English version at the end of the text

Summary - Analysis of short time heat conduction in solids by extended irreversible thermodynamics and

molecular dynamics. Instantaneous heat propagation and thermodynamic local equilibrium cannot be assumed when

solving space and time microscale problems. Therefore, we reconsider the thermodynamics basis of the Fourier law in

order to obtain the new heat conduction models: the hyperbolic heat equation (EH) and the modified hyperbolic equation

(EHM). We have performed molecula r dynamics (DM) experiments which are indepe ndent of any thermodynamic mode l,

to test the macroscopic approaches. We show that the solutions of the EH and the EHM do not agree with the numerica l

experiments and that the MD results are strongly depend ent on the way from which the macroscopic conditions are

simulated in the microscopic point of view.

hyperbolic heat equations / conduction / microscale / Cattaneo-Vernotte equatio n / extended irreversible thermodynamics

Resume - Lhypothhse de la propagation instantanee de la chaleur, comme celle de Iequilibre thermodynamique local, ne

peuvent plus etre mainten ues si /es &he//es despace et de temps considerees sont microscopiques. Nous revisitons done

/es bases thermodynamiques de la loi de Fourier pour Ctablir les modeles de conduction de remplacement : hyperbolique

(EH) et hyperbo lique modi fie (EHM). Afin de tester ces approches macroscopiques, nous avons utilise une techniqu e de

simulation independante de tout a priori thermodynamique : la technique de la dynamique moleculaire (DM), permettant

de simuler des regimes thermiques transitoires. II a etC possible de montrer que les modtles hyperbolique et hyperbolique

modifi k n e satisfaisaient pas aux conclusions des experiences numerique s dont les rksultats se trouvent forrement lies a

la facon dont sent reproduites, au niveau microscopique, /es conditions l/mites macroscopiques.

equations hyperboliques de la chaleur / conduction / thermique / microkhelle / 6quatio n de Cattaneo-Vernotte / thermodynam ique

irreversible &endue

Nomenclature

CP

capaci te thermique massique a

pression constante

d epaisseur de f i lm.

E energie interne.

JS

densi te surfacique de f lux den-

tropic... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

kB

constante de Boltzmann

h l mass e de l atome. .

P

pression ._ ,. . . . .__...___ ....

Q

f lux de chaleur sar is dimension

4

flux de chaleur

IL

vecteur posi t ion de l atome i

s densi te volumique dentropie

J.kggK

m

J

W.mP2.K-

J.K-

kg

J.m -

W.m--

m

J.m-.K-

T

SV

:I-

densite volumiqu e dentropie

au sens classique.

temperature . . . . . . . . . . . . . . .

temps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v i tesse de la chaleur

energie interne

energie interne au sens classi-

que.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

v i tesse moyenne des phonons

vecteur vi tesse de l atome i

variation volumique saris di-

mension

volume elementaire

variable despace

Symboles grecs

* Correspondance et t i res-a-part.

w

diffusivi te thermique m2.s m

J.m- .K--

K

J.m-

m.s

m:s

m

826


2/10

Analyse de la conduction de la chaleur aux temps ultra-courts

0 temperature de non-Cquilibre

E unite denergie en DM.

23 Bnergie potentielle dinterac -

tion entre latome i et latome j

P

masse volumique . .

x conductivite thermique . .

A libre parcours moyen de pho-

nons .

P

potentiel chimique .

lr pression de non-equilibre . .

VI

unite de temps en DM .

u unite de distance en DM .

0s

source volumique dentropie . .

Exposants

*

variables dimensionnees dans

les unites DM

derivee temporelle

Caractkres

Gras vecteurs

Abrhiations

DM dynamique molecula ire

EP equation parabolique

K

J

kg.me3

W.m-.K-

J.mp3.Kf:

J.mm3

S

m

W.mp3.Kp1

EH equation hyperbolique de la conduction

EHM equation hyperbolique modifiee

TIE thennodynamique irreversible &endue

TPI thermodynamique des processus ii-reversibles

1 I INTRODUCTION

La loi de Fourier, etablie depuis plus de 170 ans,

decrit la reponse thermique dun solide conducteur

de la chaleur soumis a un gradient de temperature,

sous la forme dune rela tion algebrique lineaire

entre la cause - le gradient de temperature -, et

leffet - la densite de flux de chaleur - ; elle presente

un caractere local, et se traduit par lexpression :

q=-AgradT

(1)

Observons que la reponse ainsi definie setabli t

instantanement avec la mise en place du gradient,

qui constitue lexcita tion appliquee au solide Btudie.

Le domaine de validite de la loi de Fourier est

tres large et savere aujourdhui encore tout a fait

suffisant dans la plupart des problemes usuels de

lingenieur. I1 apparait cependant des situations

nouvelles, notamment avec les nano-fabrications et

les technologies photoniques, ou les densites de

flux intenses mises en jeu comme la faiblesse des

echelles despace ou de temps amenent a revisi ter

les bases physiques qui conduisent a letablisse-

ment de la loi de Fourier et a reformuler la rela-

tion flux instantanelgradient, adaptee aux micro-

Bchelles spatiales et temporelles. Ceci implique de

reconsiderer :

- les definitions de flux et de force au sens

donsager (cf equation (14)) ;

- le caractere instantane de cette loi dans le

cas ou lon etudie la reponse d echantillons sur des

durees tres courtes (de lordre de la nano-seconde ou

en dessous, pour preciser ici ces Bchelles de temps

dites courtes) ; en effet la nature microscopique des

agents porteurs denergie que sont les excitations

Blementaires du reseau - les phonons - et les

electrons ne per-met pas de concevo ir leur transport

comme seffectuant a vitesse non finie, ce qui

entrainerait lapparition dun flux en tout point

dun milieu immediatement apres lapplica tion dun

gradient de temperature entre ses faces ;

- lhypothese, sous-jacente a la loi de Fourier,

dun equilibre thermodynamique local, admettant

lexistence de sous-systemes macroscopiques dans

lesquels les grandeurs d&at sont uniformes mais

evoluent dans le temps ; cette hypothese devient en

effet difficilement acceptable lorsque on sinteresse

a des perturbations thermiques apparaissant sur

des dimensions de lordre de quelques dizaines de

distances interatomiques, cest-a -dire de lordre des

libres parcours moyens des porteurs denergie.

Les exemples justifiant la necessite de preciser

les domaines de non-validite de la loi de Fourier

ne manquent pas. Mentionnons tout dabord le

comportement thermique de solides soumis a de

tres breves impu lsions laser de durees inferieures

a la picoseconde (Chen, 19951, celui des compo-

sants optoelectroniques du laser lui-meme qui sont

sieges dimpulsions electriques ultracourtes aux-

quelles sont associees des impulsions thermiques

(Majumdar, 1993), ou encore le traitement ther-

mique des materiaux inertes et de la biomatiere,

traitement dont lefficacite depend de la bonne

connaissance de la profondeur de penetration de

lenergie (Tien et Chen, 1994). Relevent de la meme

problematique la reponse dun solide soumis a une

source de chaleur en mouvement tres rapide, situa-

tion donnant naissance a des


3/10

S Volz, M Lallemand, JB Saulnier

relier flux et gradient. Nous examinerons ensuite

la dkmarche macroscopique de la thermodynami-

que des phkomknes irrkversibles (TPI) qui &a-

blit une compatibilitb avec la loi de Fourier. Puis

nous verrons comment une thborie plus rkcente, la

thermodynamique irreversible Btendue (TIE) , peut

conduire B la loi proposke par Vernotte et Cattaneo

sans rkfkrence & lhypothkse de lbquilibre ther-

modynamique local. Enfin, g r&ce aux expkriences

num6riques de simulation effectuGes au niveau mi-

croscopique sur un solide de Lennard-Jones par

la technique de la dynamique molkcu laire (DM),

nous disposerons dinformations indkpendantes de

toute thkorie thermodynamique, qui nous permet-

tront de confronter les rbsultats des diverses ap-

proches phknomknologiques sur le cas simple du

mur conducteur semi-infini soumis & un Echelon de

tempkature sur lune de ses faces.

2. LAPPROCHE DE VERNOTTE

Vernotte est parti du fait que la loi de Fourier

impose une vitesse infinie de la propagation de

la chaleur, ce qui est physiquement inacceptable.

Ceci est bien illustrk par lexemple classique dun

mur semi-infini de diffusivitb o, initialement &

la temperature T,, et soumis k un Echelon de

temperature T, sur sa face (z = 0), dont le champ

de temperature T(z, t) est don& par lexpression :

(2)

avecAT=T,-T,.

Ainsi, quelle que soit la position dobservation 2,

il apparait quasi-instantankment un signal thermi-

que, ce qui est inadmissible. Vernotte supposa alors

quil existe un retard T entre leffet (le flux), et la

cause (le gradient), de telle sorte que la relation

flux/gradient peut skc rire :

q(t + 7) = -A grad T

(3)

laquelle, laide dun d&eloppement de Taylo r

tronque au premier ordre, conduit A lexpression :

as

q(t) + 7x = -XgradT

(4)

On peut dkj& voir dans cette Bcriture que

la rbponse & cette excitation est assimilable 51

celle dun systGme du premier ordre, et que son

Btablissement perd aussi le caract&re instantan

denonce pr&kdemment. Cette formulation peut

Bgalement sbcr ire sous la forme dune loi de

relaxation simple :

aq

-q

- XgradT

at= 7-

(5)

T fig-want un temps caractkristique qui reste alors

B identifier.

D&s lors, en combinant (4) avec 16quation de

conservation de lkertie, on aboutit A lkuation

hyperbolique de la cha&& (EH) :

dT dT

r atn + x = ndiv(gradT)

CI

reprksente la diffusivitk thermique

i )

x

a=-- .

p c,,

11 est possible de montrer que lkqua-

tion (6) :

a) se ram&ne ?I lkquation parabolique (EP)

classique lorsque le temps t >> 7 (cest-&-dire

lorsque le signal thermique est principalement

constituk de modes diffusifs , de frequences faibles,

nettement infkieures & celle associee A 7-l) :

aT

z = o div(grad T)

(7w)

b) induit aux temps courts (t < 7) une propa-

gation de la chaleur sous forme donde, de vitesse

u = (U/T) ./ En effet, dans ce domaine de temps, la

contribution des basses fi+quences au signal ther-

mique devient nbgligeable et lbquation (6) se reduit,

pour les temps les plus faibles, B 16quation donde

rkversible suivante :

a2T

-x

2 div(grad T)

at2 r

En guise dillustration, la figure 1 montre la dis-

tribution spatiale (la grandeur X = r/2 r U est indi-

quke en absc isses ) des temperatures dans un mur

semi-infini soumis B un kchelon de tempkature,

obtenue par les modkles parabolique (P) et hyper-

bolique (H) h diffkrents instants (~0 =

t/2

7 =

0,s

et

0.8

I-

0.6

4

h

k

t

0.4

0.2

0

0 2 4 6 8 10

X=x/?U1

Fig 1. Comparaison ti

des temps diffirents

(IQ = t/27 = 0,5 et IQ = 8) des distributions spatiales

obtenues par /es modtiles EP et EH de la tempkature duns

un mur semi-infini soumis ti un echelon de temp&ature

(la grandeur X = x/2 T U est indiqke en abscisse).

Fig 1. Comparison of the space temperature distribution

at several times (~0 = t/2, 7 = 0.5 et uILg = t/27 = 0,5)

for a semi-in finite slab subjected to a temperature step,

according to models EP and EH (the quantity X = x/2 T U

is plotted in the x-coordinate).

828


4/10


2~0 8). On note lextreme difference des predictions

des dew modeles aux temps courts.

Concernant les Bche lles despace, un examen

simple de lequation (6) permet de cerner le domaine

de validite de la loi de Fourier (Fl ik et al, 1992).

Considerons en effet un mur d epaisseur d, oti lon

peut definir le temps caracteristique de diffusion

Atdi ff par : Atd,ff = d2/a. Lequation parabolique

ne sera done valable que lorsque Atd,ff verifiera

Iinegalite A&f >> r, qui secrit encore :

d >> (a#

(84

lorsque la quantite Atd,ff est remplacee par son

expression.

Introduisons maintenant le libre parcours moyen

A des porteurs de chaleur (supposes ici de type

phonon uniquement), defini par A = r vp, oti up

est la vitesse de propagation du son. Dapres la

relation de la theorie cinetique, la conductivite

thermique A est reliee a la vitesse wp et au

temps r par lexpression X = f pC, uz r, de sorte

que la diffusiv ite thermique N peut se reecrire sous

la forme cy= & 3 uup . Lorsque la diffusivite

est remplacee par sa nouvelle expression dans

linega lite (8a), on obtient la condition spatiale de

validite de lequation parabolique : d > > L.

En resume. la loi de Fourier sera done aunli-

cable sans restriction lorsque

suivantes seront reunies :

t>>7

et

d>>$

les dew condi&s

(8b)

(8~)

Dans le cas ou la relation (8b) nest pas verifiee,

les Bchanges de chaleur seront gouvernes par la

relation de dependance temporelle des flux (51, et

lorsque linegalite (8~) nest pas satisfaite, nous

aurons affaire a un transport de phonons de

type balistique d&-it par lequation de Boltzmann

(Majumdar, 1993).

3. L~~QUATION DE FOURIER

DANS LE CADRE DE LA

TPI

Soit p la pression, s et u lentropie et 1energie

interne par unite de masse, ck et pk les titres mas-

siques et potentiels chimiques associes a lespece k .

A lbqu ilibre thermodynamique, la relation de Gibbs

sh-it :

Tds=du+pdv-xpdc

(9)

&T-l =

as

( 1,

u

est la temperature. Lequation (91

se ramene, dani le cas dun systeme a volume

constant et a une seule espece, a :

Tds = du

(10)

La thermodynamique des processus irreversi-

bles (TPI ) est une description, en termes de mi-

lieux continus, des phenomenes thermodynamiques

hors-bquilib re. Ell e repose sur lhypothese que, loca-

lement, dans tout volume elementaire (macroscopi-

que) 6V, la relation de Gibbs (9) est satisfaite, ce

qui per-met notamment de definir une tempera-

ture locale et une equation detat independante des

gradients ; cela suppose du point de vue microsco -

pique que les effets de colli sion au sein du volume

consider-e compensent les effets de gradients (Glans-

dorff et Prigogine, 1971).

Dans le cadre de lhypothese de lequ ilibre

thermodynamique local (ETL), le taux de variation

de lentropie secrit :

pS=-divJ,+~,~

(11)

ou us > 0 apparait comme le taux de creation den-

tropie interne et J , le flux surfacique dentropie

&hang& p represente ici la masse volumique et

le point marque la derivee temporelle de transport.

Compte tenu de lequation de conservation de lener-

gie (en ne considerant toujours que les phenomenes

thermiques) :

il vient :

pti = -divq

(12)

doti, apres identification :

(13)

(14)

et

Js= ;

( >

(15)

Lecriture de us =

c

JyXy(y= l , . . . ,n) seg&&-

ralise, dans le cas dun systeme oti sexercent

n flux dissipatifs, sous une forme bilineaire par

rapport aux flux (telle Jq = q) et aux fo rces (par

exemple X4 = grad(l/T)). Les flux constituent des

quantites qui, contrairement aux forces (qui sont

des fonctions des variables d&at), demeurent

inconnues. Un developpement de Jq autour de

sa valeur dequilibre, Jz, = 0, permet decrire le

developpement lineaire suivant :

J4 z Lqq X4

(16)

et son identification avec la loi de Fourier (1)

conduit a prendre le coefficient phenomenologique :

Lq4 = X

T2.

La TPI admet done une relation lineaire

entre le flux de chaleur et le gradient de tempera-

ture, couramment connue comme &ant la loi de

Fourier.

829


5/10

5 Volz, M Lallemand, JB Saulnier

4

I LAPPORT DE LA THERMO-

DYNAMIQUE IRRhERSIBLE

ETENDUE

et pour lesquelles les termes de second ordre O(q.q)

sont negligeables.

En derivant lexpression (17) par rapport au

temps il vient :

Cest essentiellement dans le but dapporter a la

description thermodynamique des regimes de non-

equilibre un fondement saffranchissant de lhy -

pothese de lequil ibre thermodynamique local que

les batisseurs de la thermodynamique des proces-

sus u-reversibles Btendue (T IE) ont admis que len-

tropie est., non plus seulement fonction des varia-

bles independantes (T, p) ou (u, v), mais egalement

des flux dissipatifs, de sorte que lentropie secrit

S(u,w,q ,PV) oii P est le tenseur de pression vis-

queuse (Jou et al, 1993). La TIE constitue ainsi

une theorie mesoscopique dont le terrain dinvesti-

gation setend en de@ de la limite que represente

le volume Blementaire 6V, dans un domaine spatial

caracte rise par des dimensions de lordre de quel-

ques libres parcours moyens des phonons. Dans ces

conditions, la distribution des porteurs thermiques

peut seloigner de celle de lequilibre, puisque le

nombre des colli sions se reduit. La thermodyna-

mique &endue semble done pouvoir donner acces

aux petites Bchelles despace et de temps, pour les-

quelles lhypothese de lequ ilibre thermodynamique

local nest plus valable.

S=TPLti+2.q.Q

(20)

qui, associee a lequation de conservation de lener-

gie pti = -divq, conduit a identifier cette fois-ci la

production dentropie a :

u,s =q (grad( ) +2n$) (21)

Afln dassurer la linearite entre les flux et les

forces, et Bgalement de satisfa ire a la positi vite de

du taux de creation dentropie us, on est conduit a

Btablir la relation suivante :

grad $

( 1

+y=xq avecX>O

(22)

qui se ram&e a la relation (3) si lon pose :

)iE (XT)-

(23a)

et

--7

u=ZpXT

(23b)

en imposant a lequation de la chaleur la forme

hyperbolique (6).

4.1. LA TIE ET LA LOI DE VERNOTTE

4.2.

MODIFICATION DE L~QUATION

HYPERBOLIQUE

Dans un solide soumis a une transformation

isochore, la TIE propose la definition de lentropie

suivante :

s(w 21, ) = SPq(lL, 1)+ a q2

(17)

\

On peut auss i songer a etendre a lenergie interne la

dependance a legard des flux. Dans ces conditions

on part des deux equations couplees (Coleman et al,

1982 & 1986) :

ou sgq est lexpression de lentropie a lequilibre lo-

cal. A noter quen toute generalite le parametre u

peut i%re dependant de la temperature, mais, afin

de simp lifier lexpose, nous le supposerons indepen-

dant de celle -ci. Les grandeurs d&at classiques,

pression et temperature, ne pouvant 6tre utilisees

sans lhypothese de lbquil ibre thermodynamique lo-

cal, il nous faut done r&k -ire la temperature 0 et la

pression r de non-equilibre et selon les expressions :

s(u, w.q) = so + a q2

(24)

u=UO+bq2

(25)

ou b est egalement suppose independant de la

temperature. Cette extension amene aux equations

phenomenologique (5) et de conservation (dans le

cas monodimensionnel) :

et

En suivant les fondateurs de la

TIE, nous

pouvons nous limiter a des situations

du premier

ordre qui font apparaitre le developpement des

grandeurs 0 et R autour de leur valeur dequilibre

respective T et p :

(184

(18b)

8-l = T-(u, u) + O(q.q)

fT7r(u, II, q) = T-lp(u, 71) + O(q.q)

l3T

aq.72

pC,sdt+2bq.cj+x=0

(26)

On designe lequation (26) par lappellation dqua-

tion hyperbolique modifike (EHM). La comparaison

analytique fournie par ces trois modeles (EP, EH

et EHM), qui a ete realisee par Bai et Lavine

(1993), permet de montrer que IEHM conduit non

seulement a une vitesse finie de la chaleur, mais

assure aussi au systeme un comportement thermi-

que conforme au second principe, ce qui nest pas le

cas de lEH . Lanalyse de ces auteurs sappuie tout

a la fois sur lequation (26) et sur une revision des

conditions thermiques aux limites applicables aux

nano/micro-objets.

830


6/10


4.3. CONDITION DE SAUTS DE TEMPERATUR E

AUX LIMITES

Aux nanolmicro-echelles, lorsque lhypothese du mi-

lieu continu perd sa validite , de nouvelles conditions

aux limites thermiques issues de la theorie cineti-

que doivent se substituer a la description macro-

scopique standard. Bai et Lavine (1993) ont discute

de plusieurs possib ilites, et notamment du modele

de transfert radiatif de phonons, du modele des

gaz rarefies, ainsi que du modele de resistance de

Kapitza.

Le modele issu de lequation de transfert des

phonons sapparente a celui de la theorie de

lequilibre radiatif des photons ; ses conclusions sont

familie res en transfert par rayonnement pur au sein

des milieux absorbants-emettants. Ainsi, pour un

mur conductif horde de dew frontieres isothermes,

apparait un saut de temperature separant celle

de la frontier-e de celle dun point immediatement

voisin du milieu. On retrouve a la limite de Casimir

(Casim ir, 1938) des transferts de chaleur dus aux

Cchanges a distance de phonons Bmis par des

interfaces de temperatures differentes (transport

balistique).

Le modele de gaz rarefie correspond a limpact

dun gaz sur une paroi, suite auquel certaines

molecules, apres reflexion, repartent avec leur

temperature initiale , alors que dautres peuvent

quitter la paroi avec la temperature de celle -ci

(phenomene daccommodation).

Le modele de Kapitza est associe a une in-

terpretation en termes de phonons de la resis-

tance thermique aux interfaces solides . 11 corres-

pond au fait quune interface possede la possib ilite

de transmettre les phonons incidents, et ce par deux

mecanismes, avec ou saris diffusion, des phonons,

dependant des proprietes acoustiques des milieux

en contact.

Ces trois aspects du transfer-t thermique aux

limites ont un point commun, celui de prevoir aux

interfaces lexistence de sauts de temperature et de

flux, et determinent des solutions de lequation (26)

possedant un sens physique, en particu lier saris

temperatures inferieures au zero absolu.

Si lon souhaite apprecier la validite des divers

modeles, il semble difficile dutiliser des elements

des theories thermodynamiques pour les equations

gouvernant le transfer-t, qui ne peuvent Btre que

dordre empirique et macroscopique, et des theo-

ries cinetiques pour les conditions aux limites. 11

convient done de se referer a un niveau descrip tif

en amont de celui de la thermodynamique. Dans ce

but nous nous proposons de co&-onter les predic-

tions de ces trois equations de la chaleur a celles

obtenues par la technique de la dynamique molecu-

laire du non-equilibre. Les experiences numeriques

quelle per-met deffectuer dans des milieux sim-

ples simulent, en effet, des transferts de chaleur

repondant a des contraintes thermiques bien deter-

minces, et ses resultats restent encore les seuls qui

peuvent Qtre compares aux solutions fournies par

les modeles continus pour des conditions initiales

et aux limites identiques.

5 I DYNAMIQUE MOLiCULAIRE

ET MODtLES MACROSCOPIQUES

5.1. LA TECHNIQUE DE LA DYNAMIQUE

MOLkULAIRE

La technique de la dynamique moleculaire consiste

a determiner au tours du temps, a laide des Bqua-

tions de la mecanique hamiltonienne, la position

r, et la vitesse vi de chacun des atomes dun

systeme de N particules constituant lechantillon

solide Btudie et interagissant selon une loi de force

realiste. En permettant, dans le cas de lequilib re, la

determination des grandeurs thermodynamiques,

et dans des situations de nondquilibre, celle de

champs de temperature et de flux de chaleur, elle

constitue une approche purement mecanique des

sciences thermiques (Volz, 1996). Nous lavons mise

en ceuvre dans le cas mur fini (de volume constant)

constitue par un cristal dargon de masse volumique

p = 2 380 kg.mP3 et de temperature initiale dequi-

libre T = 72 K, soumis a un echelon de temperature

sur lune de ses faces.

La temperature dun sous-ensemble quelconque

de N particules de masse M se deduit alors du

theoreme dequipartition de lenergie sous la forme :

N 1

;(N- l)k.~T=x ,Mv,z

(27)

t=l

ou kg est la constante de Boltzmann. Lenergie

interne E du systeme secrit simplement comme

la somme de lenergie cinetique et de lenergie

potentielle :

(rzj) figurant 16nergie potentielle dinteraction

entre les particules i et j.

Dans lexemple traite ci-apres nous considere-

rons une assemblee de N = 6 000 atomes dargon

disposes dans une structure tridimensionnelle et

interagissant selon un potentiel de paire additif de

Lennard-Jones (6-12) :

d(Q) = 4E [ ($- ($1 (29)

(oti &/kB = 119,8 K et CT 0,3405 nm), au sein dun

reseau de structure cubique face centree parfait.

831


7/10


5.2. LEXP~RIENCE DE LAPPLICATION

DE L iCHELON DE TEMPkRA TURE

On considtire un solide cristallin isolC par deux pa-

rois adiabatiques (les atomes des plans extrgmes

sont fix&). Afin de simuler lexp&ience consis-

tant B appliquer un Echelon de tempkrature sur

la face dun solide, le cristal est divid en deux

sous-syst&mes - par dew plans (001) - contenant

chacun le m&me nombre de particules et initia le-

ment temperatures uniformes contr816es par la

technique des thermostats de No&-Hoover (No&,

1984 ; Hoover, 1985). Leurs temperatures rbduites

sont

T

=

T

ICB/E=

0,55

pour lun et

T* = 0.89

pour lautre. Au temps rbduit t = 20 (en unit&

Ma II2

7-n=

C-1

= 2,16 ps), laction des deux ther-

E

mostats est interrompue, afin de laisser les dew

sous-syst8mes atteindre leur tempkrature hors

contrainte des thermostats. Au temps t* = 2ti les

deux sous-systtimes sont ensuite mis en contact,

en remettant en interaction avec leur voisines les

particules , jusque-lh immobiles, qui constituaient la

front&e de skparation. Cest cette derni&re op6ra-

tion, et la relaxation thermique qui sensuit , qui

est assimilee & laction dun Echelon de tempkrature

appliquk 21 a surface dun des dew Bchantillons.

Obvolution de la temperature de chaque partie

sera obtenue en calculant T*(z*. t*) par (27) sur

une tranche de 100 atomes pendant un interva lle

de temps de O,O2 TO. La figure 2 illust re, dans une

reprbsentation temps-espace (2*,

t),

les r&ultats

obtenus pour le champ de tempbrature, les deux

r&ervoirs isothermes ayant une rangee datomes

commune en Z* = 28. On note sur cette figure la

quasi-isothermicitk de la zone mkdiane &

T* = 0,?2,

20 0.9 0.8

0.9

0.9 ., .I'0 *;

0.9

C.8 0.9

0.9 0.7

0 / ,,

20 25 30 35

40

t*

Fig 2. lsothermes T* duns le plan (x*, t*). Duns Iinterv alle

de temps [t = 20, t* = 261 /es deux sous-systt mes

demeurent en equilibre ti deux tempkatures diffirentes

(T* = 0,89 et T* = 0,55) puis d /instant t+ = 26, la

cloison de kpararion est retirke.

Fig 2. Isotherms in (x*, t) coordinates. In the time interval

[t = 20, t* = 261, the two subsystems are in equilibrium

at two different temperatures (T* = 0.89 and T* = 0.55).

At time

t*

= 26, the separating wall is removed.

justifiant notre mbthode de simulation de lapp lica-

tion dun Echelon de temperature sur la face dun

mur.

Cependant, afin de pouvoir comparer les solu-

tions continues et les rhsultats de simulation, il

est nbcessaire de connaitre les propri&s thermo-

physiques du solide, B savoir sa conductivite ther-

mique X, sa capacitC thermique massique C,, le

temps de relaxation de Vernotte T et ce, dans les

conditions CtudiBes. Des experiences de dynamique

mol&ulaire prCalables effect&es dans les condi-

tions dhquilibre thermodynamique ont d6montr6

legalit6 entre le temps de relaxation moyen des

phonons calcu lC au sens de 16quation de Bol tz-

mann (Vo lz et al, 1996) et le temps de relaxation 7

du flux de chaleur (cf kquation (5)), et ont permis de

dCterminer la valeur de la conductivite thermique X

dans des conditions thermodynamiques proches de

celles de lexp&ience. Ainsi, & T = 66 K, les valeurs

suivantes ont BtC trouvees (a = 0,3405 nm) :

x = 357 k~/UT(, C,. = 2,8 ko/M

7 = 1,ll 7-c,

soit, en unit6 internationales :

X = 6,71 W.m~-.KP C,. = 582 J.kg-.K-

T = 2,4Ops

correspondant, pour p = 2 380 kg.rn-j, B une valeur

de la diffus ivitk a = 4.1.10- m2.se1.

5.3. COMPARAISON DES R~SULTATS

Sur la

figure

3 ont BtC rassemblees les Bvolutions

temporelles de 16nergie totale

E

calculee & partir

8 0 0 7

-

-2-L _iu_.L

0 0.5

1

1.5 2 2.5 3 3.5 4

t*

Fig 3. %olution temporelle de Idnergie interne dun mur

semi-in fini soumis d un tchelon de tempkrature, sirnuke d

laide du modkle de la dynamique moltculaire. Lknergie

interne calculke en terme de variables microscopiques

(trait p lein) et d parrir de la temp&at ure (trait inrerrompu)

a iti rep&e&e pour un ichelon de temperature de faible

amplitude (AT = 0,14, traits fins) ef de forte amplitude

(AT* = 1,46).

Fig 3. Time dependent internal energy of a semi-infinite

wall submitted to a temperature step computed by

molecula r dynamics. The interna l energy calculated in

terms of the microscopic variables (solid) and as a function

of temperature (dashed) was represented in the case of

a temperature step of high (AT* = 1.46, thick) and low

(AT* = 0.14, thin) amplitudes.

832


8/10


de la relation (29) dune part, et du terme p V CV T

(V &ant le volume de lechantillon simule et T(t)

la moyenne spatiale de la temperature dans tout

lechantillon) correspondant a lenergie interne dans

le cas de valeurs Blevee (AT* = 1,46) et faible

(AT* = 0,14) de la difference de temperature entre

les deux reservoi rs dautre part. Ces profils ont

ete obtenus a laide de simulations de la dynamique

moleculaire . On peut constater que les dew signaux

sont quasiment superposes, ce qui nous amene a

conclure quant a legalite de ces deux grandeurs et

a linu tilite de la redefinition de lenergie interne

-

cf equation (25).

11 est opportun de comparer les reponses des

modeles continus a celles obtenues par la technique

de la dynamique molecula ire du non-bquilibre que

lon vient de d&ire, et ceci dans le cas dbtude

consider& cest-a-dire celui dun systeme constitue

dun solide homogene, initialement isotherme, sou-

mis a un echelon de temperature.

Une solution analytique a lequation de conser-

vation de lenergie - &rite sous sa forme hyperbo-

lique (6) - lorsque une variation de temperature

TO+ AT est imposee sur la surface du mur homo-

gene semi- infini (initialement a la temperature To)

peut etre obtenue en utilisant la transformation de

Laplace. Elle conduit a la solution en temperature

T H suivante (Baumeister et Hamil l, 1971) :

t

uo = 27 - To

AT = H(uo -X)

ul

Cx + X

i J

e?

11 (A--q

0

&Fze

d2L

1

(30)

ou Ii est la fonction de Bess el dordre un, H la

fonction de Heaviside et U la vitesse de la chaleur :

U=

d-

5. La solution du mur semi-inf ini est ici

retenuelar le front du signal hyperbolique natteint

pas la face arriere (dans la duke de lexperience de

DM t = 3,6 7, le signal atteint labscisse z = 2,08 A).

Quant a la solution du probleme parabolique pour

le mur fini, elle a Bte obtenue par Carslaw et Jaeger

(1993).

La figure 4 represente lisotherme T = 72 K

(T* = 0,601 dans le plan spatio-temporel (X,~LO =

A), obtenue selon les approches macroscopiques

paraboliques pour le mur fini (Pl) et semi-infini

(P2, don&e par la solution (211, selon lapproche

hyperbolique (H), ainsi qua partir des resultats de

la dynamique molecula ire (rep&-es DM). A noter

que :

- le modele EH ne permet une representation

de cette isotherme qua partir du moment ou

lamplitude du front de discontinuite thermique

atteint cette temperature @g 3) ;

- les isothermes (P l) dune part et (H) dautre

part semblent diverger pour les temps longs, car

le front du signal hyperbolique natteint pas la

face arriere dans le temps imparti h lexperience ;

dans ces conditions, la face arriere, qui occasionne

1.4

1.2

1

Q 0.8

2

2

&

0.6

0.4

f,,q ,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,I,, L

0

0.2 0.4 0.6 0.6 1 1.2 1.4 1.6 1.6

t/27

Fig 4. lsotherme T = 72 K duns le plan (x,uo) se/on IE P

(PI mur semi-infini ; P2 mur fini), IEHC (H) et Iexptrience

de /a figure 2 (MD).

Fig 4. Isotherm T = 72 K in the (x*, uo) plane according

to the oarabolic eauation (Pl semi-infinite wall : P2 finite

wall), tb the condktive hyperbolic equation (Hj and the

experiment of figure 2 (MD).

une accumulation denergie thermique dans le cas

du signal parabolique, ninfluence pas la reponse

hyperbolique ;

-

une difference nette de comportement distin -

gue pour les temps inferieurs a quelques valeurs

de 7 les resultats de la dynamique molecula ire de

ceux des modeles continus ; il convient cependant

de se rememorer que dans ce domaine temporel, les

distances de propagation thermique mises en jeu

sont tres faibles (z est compris entre 0 et 1,15 A),

de sorte quaux petites Bchelles spatiales, la validite

de lhypothese de milieu continu, et par consequent

celle des equations parabolique et hyperbolique,

nest plus assuree. Par ailleurs, la relative bonne

convergence des isothermes (PZ) , (H) et (MD) tend

a montrer que la reponse thermique predite par

la dynamique molecula ire reste independante de

lexistence de la face arriere du mur dans la duke

observee.

Ainsi, par linter-comparaison des resultats

modeles/exp&iences, il apparait quaux temps

ultra-courts aucun modele continu nest satisfai-

sant. Ces divergences peuvent trouver leur explica-

tion dans le fait que les modeles macroscopiques ne

prennent pas en compte le comportement thermique

aux conditions limites, qui depend principalement

dune physique des petites Bchelles despace. Ce

point de vue, amen6 par lanalyse de Bai et La-

vine (1993), est appuye par les resultats obtenus

en dynamique moleculaire, puisque ces derniers va-

rient selon la faGon particulie re dont les conditions

aux limites sont physiquement imposees du point

de vue microscopique (Volz, 1996).

De sorte que pour ces Bche lles spatio-temporelles

extremes de transfer-t par conduction entre deux

sous-microsystemes de taille

d

x A aux temps t < r,

la comparaison des modeles de transfer% de cha-

leur avec lexperimentation necessite soit la prise

en compte dans les modeles des processus micro-

scopiques reels dinteraction a linterface des sous-

833


9/10


systemes thermiques consider&, soit la realisation

dexperiences ou sont assurees les conditions limites

et initia les theoriques des modeles macroscopiques.

6

I CONCLUSIONS ET PERSPECTIVES

Bien quon ait demontre la coherence existant

entre la loi de Fourier - conduisant a lequation

parabolique de la chaleur (EP ) - et la theorie de la

TPI, les insuffisances de cette description classique,

en particu lier pour ce qui concerne lanalyse des

petites Bche lles de temps et despace, nous ont

amen& a prendre en compte une ecriture plus

complete faisant intervenir dans un premier temps

la dependance quadratique de lentropie au flux

de chaleur (TIE), puis y ajoutant la dependance

a lenergie interne dans un second temps. Ce

dernier modele conduit alors & une equation de

bilan hyperbolique dite modifiee (EHM).

Le formalisme de la TIE, qui saffranchit de

lhypothese de lequ ilibre thermodynamique local

et qui est, de plus, compatible avec lequation

de Vernotte, a permis de proposer une solution

au paradoxe de la propagation instantanee de

la chaleur, mais aboutit cependant a un second

paradoxe, puisque certaines situations sopposent

aux prescript ions du second principe (Ba i et Lavine,

1993).

Afm de departager les modeles, la confronta-

tion avec lexperimentation devrait jouer un role

determinant. Cependant, celle-ci fait intervenir des

echelles de temps et despace a ce point reduites quil

est encore trop diffi cile de mesurer une tempera-

ture ou un flux de chaleur dans ces conditions.

Neanmoins les recherches actives de Goodson et

Ashegh i (1996) en thermometric h champ proche et

de Majumdar et al (1992) en imagerie par micro -

scopie a force atomique ouvrent des voies experi-

mentales prometteuses pour la thermique des nano-

structures.

La voie de la simulation directe, telle celle uti-

lisant la technique de la dynamique molecula ire,

sest averee ici interessante en permettant dbcar-

ter les hypotheses menant a lequation hyperbo-

lique modifiee et de contester les resultats issus

de lequation hyperbolique simple. En outre elle a

connu quelques succes dans lapproche des trans-

ferts aux temps courts en donnant acces aux valeurs

du temps de relaxation du flux de chaleur. Elle ne

semble cependant pas encore etre en mesure de

permettre de trancher quant a la phenomenologie

a retenir.

R kF eR EN C ES

Bai C, Lavine AS (1993) Thermal boundary conditions for

hyperbolic heat conduction. In:

Heat

Transfer on the

Microscale, ASME, HTD, voi 253, 37-44

Baumeis ter KJ, Ham ill TD (1971) Hyperbolic heat conduc-

tion equation - a solution for the semi-infinite body

problem. J Heat Trans-TASME 93, 126-l 28

Carslaw HS, Jaeger JC (1993) Conduct ion ofHeat in Solids .

Oxford Science Publishers

Casimir HBG (1938)Note on the conduction of heat in

crystal. Physica 5, 495-500

Cattaneo C (1958) A form of heat conduction equation

which eliminates the paradox of instantaneous propa-

gation. CR Acad Sci 247, 431-433

Chen C (1995) Heat transfer in micro- and nanoscale

photonic devices. Annu Rev Heat Transfer VII

Coleman BD et al (1982) On the thermodynamics of

second sound in dielectric crystal. Arch Ration Mec h

An 80, 132-l 58

Coleman BD et al (1986) Stability of equilibrium for a non-

linear hyperbolic system describing heat propaga tion

by second sound in solids. Arch R ation Mech An 94,

267-289

Flik MI, Choi BI, Coodson KE (1992) Heat transfer regimes

in microstructures. J Heat Trans-T ASM E 1 14, 666-674

Glansdorff P, Prigo gine I (1971) Structure stab/it& et

fluctuations. Masson, Paris

Coodson KE, Asheghi M (1996) Near-field optical ther-

mometry. In : US-Japan Joint Meeting on Molecular

and Microscale Transport Phenomena, Santa Barbara,

California

Hoover WC (1985) Phys Rev A 31, 1965

Jou D, Casas-Vazquez J, Lebon C (1993) Extended irre-

versible thermodynamics. Springer-V erlag, Berlin

Majumdar A (1993) Microscale heat conduction in dielec-

tric thin films. J Heat Trans-TASME 1 15, 7-16

Majumdar A, Carrejo JP, Lal J (1992) Thermal imaging

using the atomic force microscope. App l Phys Lett 62,

2501-2503

Nose S (1984) MO/ Phys 52, 255

Ozisik MN, Tzou DY (1992) On the wave theory in heat

conduction. In : Fundamental Issues in Small Scale Heat

Transfert, ASME, HTD, vol 227

Tien CL, Chen C (1994) Challen ges in microscale conduc-

tive and radiative heat transfer. J Heat Trans-T ASM E

1 16, 799-807

Tzou DY (1990) The thermal shock wave induced by a

moving front. Int J Heat Mass Tran 3 3, 877-885

Tzou DY (1995) A unified field approach for heat

conduction from macro- to microscales. J Heat Trans-

TASME 117, 8-16

Vernotte P (1958) Les paradoxes de la theorie continue de

Iequation de la chaleur. CR Acad Sci 246, 3 154-3 155

Volz S (1996) Transfert de chaleur aux temps ultra-courts

par la technique de la dynamique moleculaire. These

de doctorat, Universite de Poitiers

Volz 5, Saulnier JB, Lallemand M, Perrin B, Depondt P,

Mareschal M (1996) Transient Fouriers law deviatio n

by molecula r dynamics in solid argon. Phys Rev 61 54,

340-347

834


10/10


ABRIDGED ENGLISH VERSION

Analysis

of

short time heat conduction in solids by extended

irreversible thermodynamics and molecular dynamics

Interests towards time and space microscale heat

transfer have increased continuously since the mi-

niaturisation of chips (semi-conductor technology);

the improvement of data storage capac ities and op-

toelectron ic device use and fabrication has become

an industrial challenge.

In thermal engineering, the Cattaneo-Vernotte

relation and the associated energy equation, the

Conductive Hyperbolic Equation (CHE), are com-

monly accepted as the correct model desc ribing short

time heat transfers. But no experimental proof of any

sort has already been presented to fund such an em-

pirical and macroscopic model.

We explore first the thermodynamical hypothesis

responsible for the evident defects of the Fourier

Law: the instantaneous heat propagation and the

local thermodynamic equilibrium (LTE) hypothesis.

Accord ing to the Extended Irreversible Thermody-

namics (EIT) (Jou et al, 1993), one postulates that

entropy depends not only on two state variables but

also on the heat flux. The derived constitutive equa-

tion appears to be in agreement with the CV model.

In those conditions, the heat veloc ity remains finite

and the LTE assumption is not necessary. Following

Coleman and a l (1982 & 1986), we also use an inter-

nal energy definition including the temperature and

the heat flux. A new energy equation is obtained: the

Modified Hyperbolic Equation (MHE).

In order to give the MHE and the CHE a micro-

scopic basis, we performed a numerical experiment

using the molecular dynamics (MD) technique. The

experiment consists of dividing an isolated argon

sample into two subsystems set to two different

equilibrium temperatures. When removing the sepa-

rating plane, we consider that at the beginning, the

area of lowest temperature can be assimilated to a

wall submitted to a temperature step.

It was shown that:

i) the internal energy is accurately estimated

thanks to its clas sica l definition; therefore the MHE

model seems to be incorrectly funded;

ii) none of the MD results can reproduce the

predictions of the CHE;

iii) the microscopic simulation of the macroscopic

boundary conditions seem to largely determine

the ulterior heat propagation behaviour; therefore

we think that a better understanding of the real

microscopic heat processes at the interfaces should

be studied.

835

chaleur hyperbolique

Documents