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7/23/2019 chaines_de_solides.pdf

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Chanes de solides

B) CHANES DE SOLIDES

ObjectifsCette thorie a pour but d'analyser les comportements statique et cinmatique d'un mcanisme partir

d'un modle dfini par le schma cinmatique du mcanisme.

De cette analyse, et en fonction des objectifs viss, peuvent ressortir les lments suivants :

la capacit du mcanisme remplir correctement sa fonction de transformation de mouvement, en tradui-

sant la (les) loi(s) entre/sortie souhaites ;

la possibilit de pouvoir calculer les vitesses relatives au sein des liaisons, en vue de leur conception (choix

qualitatif et dimensionnement) ;

la ncessit de modifier des liaisons, ou bien d'imposer des contraintes gomtriques svres ou, toutau contraire, de faire apparatre la ncessit d'introduire des jeux dans certaines liaisons, afin d'obtenir un

mcanisme viable et fiable, en particulier dans l'optique d'une production en srie (contexte conomique

de fabrication) ;

la possibilit de pouvoir calculer tous les efforts transmissibles par les liaisons, en vue de leur conception

(choix qualitatif et dimensionnement) ;

La description des objectifs viss met en vidence les caractres indissociables et complmentaires des

aspects statiques et cinmatiques.

REMARQUE L'aspect statique est mis en avant, mais il pourrait tre remplac par l'aspect dynamique sans

que la dmarche ni qu'aucune conclusion ne soient modifies.

1. MISE EN QUATION

1.1. Analyse gomtriqueLanalyse gomtrique dun mcanisme permet de mettre en vidence la (ou les) relation(s) entre/sor-tie qui relie(nt) le (ou les) paramtre(s) de sortie et le (ou les) paramtre(s) dentre.

Pour un couple de paramtres entre/sortie, cette relation dfinit la fonction de transfert gomtrique dela chane cinmatique correspondante du systme.

Elle est issue de lcriture de la relation vectorielle qui traduit la fermeture gomtrique de chane :

Le point O est lorigine du repre fixe et les points Ai sont les centres des liaisons qui dfinissent la chane

cinmatique. La projection de cette relation dans une base donne permet dcrire les 2 (problme plan) ou

3 (problme spatial) relations scalaires desquelles on tire la relation entre/sortie.

1.2. Analyse cinmatiqueLanalyse cinmatique dun mcanisme permet dtablir des relations entre les vitesses issues de la fermetu-

re cinmatique de chane.

La fermeture cinmatique de chane est lcriture de la loi de composition des mouvements sous la forme :

V VR R

i

n

R Ri i n

{ } + { } ={ }=

1 0

1

0/ /

OA A A A Oi i

i

n

1 1

1

1

1 0

+ + =+=

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Cette relation torsorielle se traduit par lcriture de deux quations vectorielles qui, projetes dans un rep-

re, vont donner 6 quations scalaires.

On peut, de la mme faon que pour ltude gomtrique, en tirer une (ou des) relation(s) entre les para-

mtres cinmatiques dentre et ceux de sortie. On dfinit ainsi la fonction de transfert cinmatique du

mcanisme.

1.3. Analyse des actions mcaniquesLanalyse des actions mcaniques permet dtablir des relations entre le torseur deffort dentre et

celui de sortie dun mcanisme. Cette tude peut tre mene soit en statique soit en dynamique.

On dfinit ainsi la fonction de transfert du mcanisme au niveau des efforts.

2. DFINITIONSDegrs de libert

Le positionnement dun solide S2par rapport un solide S1 est dfini

lorsque les 6 paramtres indpendants X, Y, Z, X, Y, Z appels

degrs de libertsont dtermins (fig. 1).

Mobilit cinmatique

La mobilit cinmatique dun mcanisme (note mc)est le nombre de

mouvements indpendants (en relation avec les degrs de libert) que

lon peut imposer certaines pices de ce mcanisme pour dfinir

compltement son comportement cinmatique.

Elle est constitue de la mobilit cinmatique utile (note mcu) et de la mobilit cinmatique interne

(note mci) :

La mobilit cinmatique utile mcu correspond au nombre de relations indpendantes qui existent entre les

paramtres cinmatiques dentre et de sortie du mcanisme.

La mobilit cinmatique interne mcicorrespond au nombre de relations indpendantes qui existent entre les

paramtres cinmatiques des pices internes du mcanisme.

La mobilit cinmatique interne, dans un mcanisme, est une mobilit indpendante entre 2 solides qui ne

modifie pas le fonctionnement du mcanisme (par exemple la rotation dune pice sur elle-mme).

Inconnues statiques de liaison

Ce sont les composantes (indpendantes) du torseur statique associ une liaison.

Dans la suite, on notera Li le nombre de ces inconnues relativement la ime liaison.

Inconnues cinmatiques de liaison

Ce sont les composantes (indpendantes) du torseur cinmatique associ une liaison.

Dans la suite, on notera Mi le nombre de ces inconnues relativement la ime liaison.

Degr dhyperstaticit

Une liaison entre deux solides est faite pour imposer une certaine mobilit entre eux.

mc= mcu + m ci

Mcanique

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z

y

x

X

Y

Z

O

x

y

z

S2

S1

Fig 1 : Degrs de libert


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Si le nombre de composantes de liaisons pour assurer cette fonction est minimum, la liaison est dite iso-

statique . Dans le cas contraire, les composantes en surnombre sont qualifies de composantes hypersta-

tiques et leur nombre dfinit le degr dhyperstaticit de la liaison. On le note h.

Modle d'tude - Structures des mcanismes

Les mcanismes sont raliss partir de n pices modlises comme indformables et relies entre elles par

les lliaisons mcaniques parfaites, c'est--dire, sans jeux et sans frottement. Les ensembles ainsi forms sont

appels chanes de solides. Ces chanes peuvent tre classes en trois types de structures qui sont dfinis

par le graphe des liaisons. On distinguera :

figure 2-a : les chanes continues ouvertes (l= n 1) ;

figure 2-b : les chanes continues fermes (l= n) ;

figure 2-c : les chanes complexes fermes (l> n).

La thorie des mcanismes prsente ici ne s'intressera qu'aux chanes fermes, continues ou complexes.

Toute chane complexe ferme pouvant tre considre comme l'association de plusieurs chanes continues

fermes, ce sont ces dernires qui, dans un premier temps, feront l'objet de l'tude.

3. DTERMINATION DU DEGR DE MOBILIT ET DU DEGR DHYPERSTATISME3.1. Analyse des chanes continues fermes

3.1.1. Approche statique

Inconnues statiques de liaison

Pour la chane continue ferme, le nombre total d'inconnues statiques de liaison est :

Nombre d'quations statiques

C'est le nombre total des quations issues de l'application du principe fondamental appliqu chaque soli-de moins un, puisque, pour une chane ferme, l'criture de l'quilibre de (n-1) solides contient les informa-

tions relatives l'quilibre du nime (actions rciproques). Le solide n'tant pas pris en considration est

gnralement le bti. Dans l'espace, et pour chacun des (n-1) solides, on peut crire 6 quations.

Is= Li

i = 1

n

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Chanes de solides

Fig 2 : Chanes de solides


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Le nombre total maximal des quations statiques que l'on peut crire est : 6 (n 1).

Mais, cela ne signifie pas que les 6 (n 1) quations soient indpendantes et significatives. On notera rs le

rang du systme d'quations statiques ainsi obtenu.

RAPPEL Le rang rs est le rang de la matrice issue du systme des ne quations de statique ni inconnues. Il

est toujours gal ou infrieur la plus petite des deux valeurs ne ou ni.

Mobilit cinmatique

Pour une chane continue ferme, la mobilit cinmatique se dfinit de la faon suivante :

mc = 6 (n 1) rs

Or la diffrence entre le nombre dinconnues statiques de liaisonIs et rs correspond au degr dhyperstatis-

me : h = Is rs ou encore rs = Is h

On obtient donc en dfinitive : 6 (n 1) Is = mc h

Indice de mobilit

On appelle indice de mobilit les quantits 6 (n 1) Is ou mc h.

Formule de mobilit

[1]

Interprtation des diffrentes valeurs de h

h = 0 Le mcanisme est isostatique. Toutes les actions de liaisons sont dfinies partir des actions ext-

rieures connues.

h > 0 Le mcanisme est hyperstatique, il existe h inconnues surabondantes. Toutes les actions de liai-

sons ne peuvent pas tre dfinies partir des quations de la statique. En dautres termes, ilmanque h quations entre les inconnues defforts que lon va puiser dans le domaine de la rsis-

tance des matriaux par exemple.

h < 0 Pour une chane continue ferme, si le calcul conduit h < 0, il est probable que la dtermination

de mc n'a pas t faite correctement.

3.1.2. Approche cinmatique

Inconnues cinmatiques de liaison

Pour la chane continue ferme, le nombre total d'inconnues cinmatiques dans les liaisons est :

Puisque les torseurs cinmatique et statique sont complmentaires (comoment nul = puissance nulle dve-loppe au sein de la liaison parfaite), alors pour une liaison : Li + Mi = 6.

Pour la chane continue ferme, le nombre total d'inconnues cinmatiques de liaison sera donc :

Nombre d'quations cinmatiques

C'est le nombre total des quations issues de la fermeture de la chane cinmatique par application de la

composition des torseurs cinmatiques et qui traduit :

Cette quation torseurielle dans l'espace est susceptible de fournir 6 quations scalaires.Mais, cela ne signifie pas que ces 6 quations soient indpendantes et significatives. On notera rc le rang du

systme d'quations cinmatiques ainsi obtenu.

V1/1 O

= V1/2 O

+ V2/3 O

+ ... + Vn/1 O

= 0

Ic= 6 Li

i = 1

n

= 6 n Lii = 1

n

= 6 n I s

Ic= Mi

i = 1

n

6 (n 1) Is= m

cu+ m

ci h avec I

s= L

ii = 1

n

Mcanique

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Mobilit cinmatique

Pour une chane continue ferme, elle est dfinie par le nombre mc de paramtres cinmatiques indpen-

dants et surabondants pris parmi les inconnues cinmatiques, qu'il faut imposer afin de dfinir complte-

ment toutes les autres inconnues cinmatiques par rsolution du systme d'quations cinmatiques :

mc = Ic rc

Or ici, le degr dhyperstatisme correspond : h = 6 rc ou encore rc = 6 h

On obtient donc en dfinitive : Ic 6= mc h

Indice de mobilit

On appelle indice de mobilit les quantits Ic 6 ou mc h.

Formule de mobilit

[2]

Interprtation des diffrentes valeurs de h

h = 0 Toutes les inconnues cinmatiques sont calculables partir des mc paramtres d'entre. Le mcanis-

me peut se monter et fonctionner sans contraintes gomtriques particulires. La loi entre/sor-

tie est parfaitement dfinie.

h > 0 Il existe h quations dpendantes qui constituent autant de conditions gomtriques qui, dans la

pratique, doivent tre parfaitement respectes. La chane est rigide et surabondante.

h < 0 Le mcanisme nest pas viable car mal conu.

3.1.3. Cas particulier d'une chane mobilit nulle

Une telle chane est dfinie, par exemple, par la figure 3. On vrifieraque sa mobilit est nulle et qu'elle rpond au critre d'isostatisme h =

0. Nanmoins, il s'agit plus d'un assemblage que d'un mcanisme

au sens cinmatique du terme, puisqu'il n'y a pas mouvement. Le

mcanisme ne possde pas de loi entre/sortie.

3.2. Analyse des chanes complexesUne chane complexe ferme est dcomposable en une juxtaposition

de chanes continues fermes.

La dcomposition n'est pas unique. Soit :

n : le nombre de solides qui constituent la chane complexe ;

l : le nombre de liaisons qui constituent la chane complexe.

On montre (thorie des graphes) que le nombre de chanes continues fermes qu'il est ncessaire et suffi-

sant d'tudier, afin d'obtenir toutes les quations de fermetures de chanes possibles (fermetures gom-

triques ou/et fermetures cinmatiques), est donn par le nombre dfini par la relation :

= l n + 1

Le nombre est appel nombre cyclomatique de la chane complexe.

REMARQUE Il est indispensable d'extraire les chanes continues fermes de la chane complexe de telle

manire que chaque liaison apparaisse au moins une fois.

En consquence, dans le cas des chanes complexes, on peut crire 6 quations cinmatiques (au lieu de 6

pour les chanes continues) correspondant aux fermetures des chanes indpendantes. Par ailleurs, l'tude

Ic

6 = mcu

+ mci

h avec Ic

= Mi

i = 1

n

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Chanes de solides

3

1

2

Fig 3 : Chane mobilit nulle


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des chanes complexes est en tout point identique l'tude des chanes continues. La seule nouveaut

consiste donc modifier l'expression du nombre d'quations de cinmatique.

Toutes les relations vues prcdemment restent donc valables l'exception de la formule de mobilit

concernant le point de vue cinmatique qui devient (cas gnral):

[3]

4. CONCLUSIONSProblmes technologiques poss par un mcanisme hyperstatique

Il se produit des dformations de pice par apparition de torseurs defforts indsirables, ce qui a pour cons-

quence dentraner de lusure, de rduire le rendement et dobliger le concepteur surdimensionner les

pices.

Solutions technologiques pour rendre le mcanisme isostatique

Usiner prcis (tolrances serres sur la forme et sur la position des surfaces fonctionnelles).

Introduire des rglages.

Prvoir une priode de rodage importante.

Introduire des lments dformables.

Reconcevoir le mcanisme en apportant de nouveaux degrs de libert par transformation des liaisons.

Cette solution est souvent la meilleure.

Conclusion

Il est important de remarquer quun mcanisme hyperstatique nest pas forcment un mauvais mcanis-

me. Un mcanisme hyperstatique ncessite cependant des contraintes de fabrication plus importantes (diffi-

cults dusinage, augmentation des cots,).

Ic

6= mcu

+ mci

h avec Ic

= Mi

i = 1

n

Mcanique

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