CPGE ESG prépas Casablanca Année scolaire : 11/12 Filère MP Prof : M.Tarqi Devoir libre n ◦ 1 CORRECTION ••••••••• Exercice 1 1. (a) Sup pos onssup(A) ≤sup(B). Si x ∈A ∪ B, on a soit x ∈A et x ≤sup(A) ≤ sup(B), soit x ∈ B et x ≤ sup(B), il en résulte que sup(A ∪B )sup(B). Pour ε > 0 donné, on peut trouver x ∈ B ⊂ A ∪ B tel que sup(B) − ε < x ≤ sup(B). On a donc sup(A ∪ B) = sup(B). (b) On montre de manière analogue que inf(A ∪ B) = min(inf(A), inf(B)). (c) Supposons que A ⊂ B. Pour tout x ∈ A, on a x ∈ Bet inf(B) ≤ x ≤ sup(B), ce qui entraîne, par définition des bornes supérieure et inférieure, inf(B) ≤ inf(A)etsup(A) ≤ sup(B). 2. Notons M= sup(A) et M= sup(B). Pour tout z = x +yavec x∈ A et y ∈B , on a l’in éga li té : z = x + y ≤M+ M. L’ensemble A + Best donc non v ide et m ajoré et en conséq uence admet une borne supérieure MavecM≤M+M. Pour tout réel ε >0, on peut trouver x ∈Aet y ∈Btel queM − ε 2 < x ≤Met M− ε 2 < y ≤M, ce qui nous donne z = x +y ∈A+Btel que M+M− ε < z ≤M+M. le réel M+Mest donc la borne supérieure de A+B. 3. Notonsm= inf(A)et M= sup(A). Soitx ∈A ; on a m ≤x≤ MD’où −M ≤ − x≤ −m. Par suite −Aest une partie bornée de R et −M ≤ inf(−A)≤ sup(−A)≤ −m. Puisque −(−A) =A, on en déduit que − sup(−A) ≤m≤ M ≤ − inf(−A). D’où inf(−A) =−M et sup(−A) = − m. 4. En séparant les entiers pairs et les entiers impairs, on a : A=A 1 ∪ A 2 avec : A 1 = 1 + 1 2 p /p ∈ N ∗ , −1 + 1 2 p+ 1 /p ∈ N . On véri fie facile men t que inf(A 1 ) = 1 / ∈A 1 , sup(A 2 ) = 3 2 ∈ A 1 , inf(A 2 ) =−1 / ∈A 2 , sup(A 2 ) = 0 ∈A 2 ,soit : sup(A) = max(sup(A 1 ), sup(A 2 )) = 3 2 ∈ A, inf(A) = min(inf(A 1 ), inf(A 2 )) =−1 / ∈ A. Devoir libre 1 / 3 Classe MPSI