caractérisation des guides circulaires par l’analyse spectrale de leurs défectuosités

pp. 339-358 339

par Marc B R A Y E R

Doeteur Os-seienees physiques, Ing~nieur eontraetuel *

Andr6 B O U L O U A R D

Ing~nieur ESE IngOnieur eontraetuel *

Caract6risation des guides circulaires I'analyse spectrale de leurs d6fectuosit6s

Analyse

Les auteurs rappellent tout d'abord la correspondance fondamentale qui existe, dans un guide circulaire grande distance, entre l'affaiblissement additionnel provenant des d~formations al~atoires de son rayon et de son axe, et la densit~ spectrale de ces d~fectuosit~s.

Ils d~crivent ensuite quelques disposit(fs destinOs d mesurer ces dOformations, notamment les eourbures de la paroi et de l'axe du guide. Ils pr~cisent alors les fonctions de transfert en courbure de ces appareils.

Ils dOveloppent enfin le r6le important que joue le spectre de ees d~formations lors de la sOlection ou du contr6le des guides, en usine ou sur le terrain. Ces spectres sont obtenus gt l'aide de dispositifs de mesure auto-propulsOs gt l'intkrieur des guides. Les auteurs indiquent diverses prockdures permettant d' amO- liorer la fidOlitk, la prOcision et la robustesse des estimations spectrales ?l obtenir.

These spectra are achieved with the help of through the waveguides self-propelled mechanical gauges. The authors outline different means allowing to improve the fidelity, accuracy and robustness of the spectral estimates which should be obtained.

Sommaire

I. Calcul de l'affaiblissement additionnel d~ aux dOformations gOomOtriques.

II. Estimation des dkformations gkomktriques.

III . Problbmes relatifs ?l l'estimation spectrale des dOfeetuositOs.

IV. Application de l' analyse spectrale ~ la specification des guides.

V. Conclusion.

Bibliographie (17 rOf).

CIRCULAR WAVEGUIDE CHARACTERIZATION BY MEANS OF SPECTRAL ESTIMATION

OF THEIR DEFORMATIONS

I. C A L C U L DE L'AFFAIBLISSEMENT A D D I T I O N N E L

DU AUX DI~FORMATIONS GI~OMI~TRIQUES

Abstract

At once, the authors recall the underlying corres- pondence existing, in a long-haul circular waveguide, between the added attenuation arising from its radius and axis' random deformations, and the corresponding spectral density.

Then they describe some devices designed for measuring these deformations, especially the curvature of the waveguide's wall and axis. In that case, they define the curvature transfert function of these apparatus.

Finally they develop the prominent part plaid by these deformations spectrum during the waveguide's selection or control, at the .factory or on the field.

1.1. l~quation aux modes normaux couples [1, 2].

Dans un guide d'ondes non d&orm6 se propage un ensemble de modes normaux que nous num6ro- terons : 1 (onde TE01), 2 .... m .... Ces modes, lorsque le guide est d6form6, diffractent 16g6rement et se couplent ainsi entre eux. Ils doivent donc, pour continuer ~ se propager, satisfaire au syst6me diff6-

rentiel de couplage :

(1) dAm(z) - - - - hmAm(z) + ~ Kmn(z)An(z) : Vm6 N .

dz n~m

* Au CNET-Lannion, groupement ESPACE ET TRANSMISSION NUMISRIQUE, d6partement TRANSMISSIONS NUMERIQUES SUR FRI~QUENCE PORTEUSE.

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340 M. BRAYER. - CARACTI~RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L'ANALYSE SPECTRALE

Dans ce dernier, Am(z) et hm repr6sentent respectivement l ' ampl i tude et l ' exposant de p ropaga t ion du m ~ mode normal. Le terme Kmn regroupe l 'ensemble des couplages existant entre les modes m e t n. Toutes ces quantit6s sont des grandeurs complexes.

Les couplages sont dus aux diff6rentes d6formations g6om6triques rencontr6es tout le long de la ligne, et engendr6es par des processus % ( 0 presque toujours al6atoires, discrets ou continus. On pose donc :

(2) Kmn(Z) = Cmn ~a cp(z) = Cmn c(z) . P

Le coefficient Cmn v6rifie, comme t o u s l e s modes normaux, les sym6tries impos6es par la nature du guide. En se l imitant fi la conservat ion de l '6nergie dans une structure bidirectionnelle, il vient :

(3) C,,, -- C*mn.

1.2. A p p r o x i m a t i o n de Picard [3].

Elle permet la r6solution du syst6me (1) dans les cas usuels off l ' ampl i tude A~(z) des modes excit6s reste relat ivement faible. Elle consiste, apr~s avoir pos6 :

An(z) = an(z) e -hnz , V n ,

int6grer sur [0, L], en tenant compte des condit ions aux limites impos6es, toutes les 6quations m @ 1 de (1). Chaque expression int6grale de an(z), correctement approxim6e, est r6ins6r6e dans la premi6re 6quation, que l ' on peut alors int6grer. II vient ainsi, dans le cas de deux modes :

AI(L) = A,(0) e -h'L I1 + An(L)] ,

avec :

A d L ) = e (hl-hn)v d'r Kin(Z) Kn~(z + -r) d z . �9 0 c 0

On en d6duit aussit6t que la contr ibut ion du mode n au suppl6ment d 'affaibl issement dfi aux couplages, est :

(ot~L)n = - - Re {log~[l + An(L)]}.

En pratique, c o m m e JAn(L)] ,~ 1, on se contente d'Ocrire, plus s implement :

(~L)n ~ - - Re {An(L)} .

Nous adoptons d6sormais cette simplification : car elle convient par fa i tement ~ un r6gime normal de per turbat ions. Cependant , d~s qu' i l y a t ransformat ion de modes, il faut revenir h l 'expression logar i thmique rigoureuse.

A l 'a ide de (2) et (3), et en posant :

h i - - hn = Am + jA[3 , (A0c toujours < O)

ICa.I = Ic. : l = c ,

1 i L-'r - - c (z) c (z + "r) dz ; Pz(V) L - - v 0

l 'affaiblissement lin6ique addit ionnel (exprim6 en

n6per/m~tre) devient :

(0~0. C a eA~':i = 1 - - tZz('r) cos (A[3-r) dz

Dans cette expressmn, pz('r) s ' interpr~te comme la fonction d 'autocorr61ation temporel le du processus c(z). Cela convient dans certains cas ; mais en r6gime al6atoire, il faut une valeur moyenne pr6cise de l 'affaiblissement. On l 'obt ient en prenant l 'esp6rance math6mat ique de cette sym6tris6e par :

1 IL-['I -- L - - b l .0

0~L(~) = 0

fonction, convenablement

E c(z) c(z + I l)} dz

dans [ - - L , L ] ,

: ailleurs.

Dans ces conditions, l ' augmenta t ion moyenne d 'affaiblissement due au mode n peut prendre la forme :

(4)

< ~ > n = ~ - ] _ ~ 1 - - p2L(T) e jh~-r d z .

En r6p6tant ces calculs pour N modes utiles, la valeur moyenne du suppl6ment total d 'affaibl issement lin6ique dO aux couplages devient :

N

(5) < ~ > = E < ~ a > n .

Sur ligne longue, l ' approx ima t ion de Picard tombe parfois en d6faut : soit fi cause des courbures, lorsqu'i l y a t rop de conversion de m o d e s ; soit parce que Kin ou p2L(L) ne sont pas connus avec assez de pr6cision.

Mais elle convient par fa i tement pour une ligne courte exp6rimentale. D ' au t an t plus que l ' approximation effectu6e sur le logar i thme est alors justifi6e, car elle agit dans le bon sens.

1.3. Formule de convolution.

En d6finissant les t ransform6es de Fourier :

e A~I'[ (1 - - = fn('r) ~ Fn(~) = oo fn(z) e -jc~ d-r

�9

92L('r) ~ S(o~) = -L 02L('r) e -l~'r d r ;

et en appl iquant le th6or~me du produi t :

1 f( '0 g(z) ~ ~ F (o ) ~- G ( o )

au second membre de (4) consid6r6 c o m m e une t ransformat ion de F o u r i e r ; on obtient la formule fondamenta le :

C 2 1 (6) < 7 ~ > n = -}- • ~ [Fn(o) ~ S(o)lo~=A ~

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M. BRAYER. - CARACFI~RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L'ANALYSE SPECTRALE 341

dans laquelle intervient la densit6 spectrale S(60) des d6fectuosit6s de la ligne.

On notera que sur ligne courte, ou encore lorsque le mode parasite est faiblement att6nu6, Fn(60) d6pend de la longueur L du parcours.

En explicitant (6) sous la forme :

C 2 i +~176 < e ~ > n = ~ Fn(A[3 --60) S(60) d60, --c,o

on constate que F~ joue, relativement h S(60), le r61e d'une fen~tre spectrale centr6e sur la pulsation 60 = A~. Comme la bande de fr6quence utilis6e sur le guide est relativement consid6rable, le domaine d'application des fen~tres est relativement 6tendu ; et c'est au spectre tout entier qu'est due, en g6n6ral, la loi d'affaiblissement < ~ ( f ) > du guide.

Par contre, ~ une fr6quence donn6e, c'est seulement la partie de S(60) int6rieure/~ la fenatre qui intervient. Plus pr6cis6ment, si sa bande passante est d6finie par :

B = Fn(60) d60 4 = [A~ I

(Fn(60)) 2 d60 1 z_ 1 - -

c'est la partie du spectre d6coup6e par B qui contr61e la valeur de l'affaiblissement.

On peut illustrer l'intervention de Fn en envisageant les cas limite suivants de la convolution (6) :

1.3.1. [Ag] grand.

si [A~IL >> 1 , B - + 2 rc I~1 >> 2 r~/L. La fenStre est alors trSs largement ouverte, et

S(60) pratiquement utilis6e dans son ensemble. Bien mieux, si la bande passante du spectre est elle-mSme trSs inf6rieure ~t B (cas de certains d6fauts quasi p6riodiques, ou relativement constants sur une longueur de corr61ation), il est possible d'approximer (6) par l'int6grale :

C 2 1 i +~~ < ~ > n ~ ~- • ~ F.(A~) S(60) de0. --co

On retrouve alors, puisque :

1 f +~ C 2 S(60) d60 = E {IK .I ; ~ td--oo

la forme asymptotique bien connue :

Er (7-1) <~a>n (~x~)~ + (A~)~"

Si, en outre, I:X~I >> (mais ce n'est pas possible pour tous les modes), il reste :

C 2 i +~176 (7-2) < ~ > n ~ 2 r: [A~ _~ S(60) d60 .

L'affaiblissement devient non seulement ind6pen- dant des phases diff6rentielles dans le guide; mais insensible aux d6fauts de fabrication plus ou moins p6riodiques qui subsistent dans ce dernier, car

l'int6gration du spectre, 6quivalente h u n filtrage passe-bas, le pond6re n6cessairement. En pratique, pour parvenir h une valeur acceptable de l'affaiblissement, il faut contr61er les d6fectuosit6s du guide sur une large dtendue des pulsations m6ca- niques (tant pour v6rifier les hypoth6ses admises, que pour tenter de minimaliser l'int6grale f S(60) d60 ; et imposer, d6s la conception du guide, une valeur importante de [A~ I : c'est le cas type des guides h61icoidaux utilis6s pour le filtrage des modes, par exemple.

1.3.2. ]Au] faible.

Si A0~-+ 0, la fen~tre se ferme tr6s rapidement comme [A0@ On peut alors approximer (6) sous la forme :

C 2 1 - (+co 2 IA~I S( :~ --60) 060 - - T • T60

C ~ f + ~ (A~)~__603 2~L S(• ~-= ((A~)~ + 602)~ d60

Mais la seconde int6grale est nulle. Et en observant que :

,im I i A~-+0 (Ae) 2+602 = 2 ~ 8 ( 6 0 ) ;

on constate que la fen&re est devenue quasi 6quiva- lente fi une impulsion de Dirac. D'ofi la seconde formule classique :

C 2 (7-3) < ~ > n ~ ~ S(A~).

Dans ce cas (guide h rev~tement di61ectrique, ou h61ice renforc6e), l'affaiblissement additionnel est sensiblement proportionnel fi la densit6 spectrale des d6fectuosit6s de la ligne. Mais lfi encore, pour n'obtenir que des valeurs acceptables de <ct~>, il faut contr61er avec pr6caution le maximum de S(60). Mais cette fois sur un support [601, 60~] bien d6termin6 des pulsations m6caniques.

1.4. Conclusion.

L'approximation de Picard, mise sous la forme d'une convolution dans le domaine des pulsations m6caniques, permet de repr6senter l'affaiblissement additionnel dfi aux d6formations g6om&riques du guide. En pratique, la formule se simplifie dans deux cas : guides tr6s filtrants, guides peu filtrants. Dans ce dernier cas, les contr61es m6caniques sont plus faciles & mettre en eeuvre ; puisqu'il suffit, pour chaque d6faut envisag6, de rechercher sa densit6 spectrale dans une zone d6termin6e (cf. w

Mais tous ces raisonnements supposent une connaissance pr6cise de S(60), morceaux par morceaux. Or sa recherche est une op6ration d61icate qui ne peut ~tre atteinte qu'avec l'emploi, simultan6 :

- - de dispositifs de mesure (capteurs) tr6s perfor-

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mants ; et qui doivent &re introduits dans le guide sur au moins plusieurs centaines de m~tres ;

- - d 'un syst6me de contr61e, stockage et traitement des informations (6chantillonnage) ainsi obtenues ;

- - et surtout d'une technique 61abor6e d'estimation spectrale. Car elle dolt reconstruire, 5. partir des donn&s exp6rimentales (n&essairement incompl~tes ou d6form6es), une valeur 5. peu pr& conforme du spectre S(~o) mesur&

II. ESTIMATION DES DI~FORMATIONS GI~OMI~TRIQUES

II.1. Es t imat ion des d~formations radiales.

II.l.1. Mesure et d&eloppement de Fourier du rayon interne [4, 5] (*).

Parmi les premiers objectifs 5. atteindre en usine, se trouvent : une section droite aussi circulaire que l:o3sible, et un rayon interne moyen constant. Cependant, tant que les procSdds de fabrication n 'ont pas 6t~ v~ritablement mis au point, le profil interne du guide n'est jamais parfaitement circulaire. Et les notions de centre et d'axe peuvent m~me, eu 6gard 5. la pr&ision finale exig6e (**), rester real d6finies. I1 faut donc, pour aboutir aux r6sultats recherch6s, effectuer toute une s6rie de contr61es et r6glages successifs.

Le rayon interne d 'un guide se mesure 5. l'aide d 'un capteur tournant, associ6 ~ un syst6me de rep& rage angulaire. Le centre 0 du rep6re est le centre de rotation du capteur (Fig. 1). On mesure les coordon- n6es polaires (a, ?) du point de contact M du capteur avec la paroi du guide. On en d6duit, par la m&hode indiqu6e ensuite, les coordonn6es du centre C de la section droite. On peut alors, par le calcul, d6ter-

M

O- . x

FIG. 1. - - Les coordonn6es du dispositif de mesure dans une section droite.

O : centre de rotat ion du capteur, C : centre recherch6 de la section droite, M : point de contact du capteur.

The measuring device coordinates in a cross section. 0 : captor rotating center, C : requested center o f the cross section, M : captor contact point.

(*) LAMI (P.), ARCHAMBAULT (C.). Caract~risation g6om6- trique d 'un guide d ' onde 16g6rement d6form6. CNET-Lannion NT/CPM/FMI/77-1977, 23 p.

(**) Par exemple tol6rances ~< 10,30 ou 50 ~m (selon le cas), pour un diam~tre nominal de 60 mm.

miner le rayon instantan6 r(0) du guide. Si le centre de rotation du capteur se d6place

parall61ement 5. la direction fixe Oz, les rayons apparent et instantan6 varient. On les d6veloppe par les s6ries de Fourier :

a(z, q~) = ao(z) + ~] (an(z) cos n? + bn(z) sin nqo), (8) .~>1

r(z, 0) = r0(z) + ~] (rn(z) cos nO + Sn(Z) sin nO), n~>l

dont chaque coefficient correspond 5. un d6faut de sym&rie bien d&ermin&

Ce sont ces d6fauts qui, lorsqu'ils apparaissent, excitent les familles de modes satisfaisant au syst6me (1). On a ainsi, selon leur ordre p :

a0(z) : changement de diam&re -~ TEon (mode dange-

reux : TE0a ) ,

al(z), bl(z) : courbure, d6centrage --> TEI~ et TX-II~ (TEl l , TEI2, THll) ,

aa(z), b~(z) : ovalisation --> TE~,n et THan (TEal , TH21),

aio(z), bp(z) : p-d&ormations -+ TEpn et THpn.

Finalement, 5. l 'exception des modes de r6volution, les modes parasites sont, en g6n6ral, excites en polarisation elliptique. I1 leur correspond done 2 modes 5. polarisation rectiligne, orient6e selon les axes Ox et Oy du repSre.

d'ofi :

II.1.2. Calcul du centre de la section droite du guide.

Par d6finition, le centre de la section droite est le point C pour lequel on a, pour tout z : rl(z) : Sl(Z) : 0. Le lieu des centres de section droite est appel6 axe du guide. II diff6re, en g6n~ral, de la droite Oz.

Pour d6terminer le centre 5. partir du repSre initial, on utilise la transformation (cf. Fig. 1) �9

a e j~ = z e jc~ + r e j0.

La condition pour que C soit le centre du guide est alors, par d6finition m6me des coefficients de Fourier de r(0) �9

rl + j Sx = ~ r e j0 dO = O.

Les points O et C restant alors invariants lors d'une rotation du capteur ; il vient, en int6grant sur 0 la transformation pr6c6dente :

e j0 dO = d) a e j~ dO - - 2 z: "r e j~ = 0 r f f

�9 1 ~ e j~ dO (9) z e It~ = ~ a .

L'angle 0 &ant fonction de a et % on choisit q~ comme nouvelle variable d'int6gration. A partir des projections de la transformation g6om&rique initiale :

COS COS COS r s i n O = a . q o - - z r sm sin

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M. BRAYER. - CARACTI~RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L'ANALYSE SPECTRALE 343

on obtient :

tan 0 =

d'ofi :

d tan 0 -- 1 q - t a n ~ 0 =

dO

a sin ? - - v sin to

a cos ~ - - r cos to

a 2 @ "r ~ - - 2 av cos(? - - to)

(a cos ? - - "r cos to)2

e t

d tan 0

dq0

En 6crivant :

dO dO - - • d~p d(tan0)

a Z - - a z c o s ( ? - - t o )

(a cos q~ - - �9 cos to)2 �9

d(tan O) a ~ - - a'r cos(? - - to)

d? a ~ + v 2 - - 2 a v c o s ( ? - - t o ) '

il vient, tous calculs faits �9

~ a e iq~ dO = ~ a "elq~dO d9 = ~ . r eD cos(qo__to) d9 q-

~ a e D f d 9 ;

avec :

1 [ 2"r f = f(z, co, a , g ) = ~ 1 - - - - a co s (q~ - - t o )§

2 T 2 v a ] a2 cos2(q~ - - to) - - ~ cos(q~ - - to) ] ,

2 z ,-72 D = D('r, to, a, 9) = 1 - - - - c o s ( ? - - t o ) q- a ~ "

La quantit6 -r 6tant constante, la premi6re int6grale du second membre est rapidement calcul6e. Compte tenu de (9), il vient alors �9

2 = r e it~ = ~zve i~ + s

d'ofi finalement �9

(i0) �9 1 ~ ei v f & , t o , . v e !r - - - a a, r d9 7~

Cette relation est une 6quation int6grale en -r et to. On la r6sout 5. l'aide d 'un algorithme convergent, en posant :

f(O, to, a, ~) -- 1,

f('~n, ton, a, ~) = fn(a, 9),

d'ofi la relation de r6currence :

% eJ% :r~-I ~ a e j~d~0,

approximation convenable au second ordre. L'algorithme propos6 converge donc tr6s rapidement, avec n = 1, 2, 3 selon la pr6cision demand6e. Sa forme restant invariante quel que soit son rang, les fonctions fn peuvent ~tre microprogramm6es sur l 'ordinateur d'acquisition et de traitement des donn6es ; de sorte que l'int6gration de (10) peut finalement &re obtenue en temps r6el.

11.2. Estimation des d6formations axiales.

11.2.1. Mesure de la courbure.

Parmi les constituants du processus de couplage, les d6formations de l 'axe du guide, et plus pr6cis6- ment sa courbure dans l'espace, jouent un r6le important. En fait, pour r6soudre le probl6me, on projette l'axe du guide sur deux plans x O z et y O z orthogonaux du rep6re ; et on 6tudie la courbure plane de chacune de ces projections. Ces courbures sont alors en relation directe avec l 'une des composantes polaris6es du mode normal excit6 [2].

On est donc ramen6 ~ un probl6me plan off la premi6re 6tape consiste ~t d6terminer la courbure de la paroi du guide, et la deuxi6me ~ e n d6duire la courbure de la projection de l'axe. Un syst6me classique permet d'obtenir la courbure de la paroi ; ~t l'aide d'une diff6rence seconde finie. II comprend une barre prenant appui sur deux supports (pieds) ; et un capteur qui est plac6, selon le syst6me : soit entre les pieds, soit fl l'ext6rieur. Cette! derni6re position est pr6f6rable, lorsque la pression des pieds sur la paroi risque d 'y introduire une d6formation 61as- tique locale.

11.2.2�9 Fonction de transfert du systbme [5].

On illustre figures 2 et 3 le principe des syst6mes de mesure : x(z) est le d6placement indiqu6 par le capteur, et l(z) l 'ordonn6e de la paroi mesur6e relativement

( ) z-ph z Z*L~h - z

FIG. 2. - - Sch6ma du dispositif de mesure des courbures de la paroi.

Capteur plac6 entre les piecls. Measuring device diagram for the wall curvatures.

Captor placed between its feet.

% el% = re-1 ~ a e i9 fl(a, q~) d~0 ,

rn ei~ = 7z-1 ~ a e j~ f n _ l ( a , q~) dq0.

Les points 0 et C 6tant toujours tr~s rapprochds, la quantit6 z / a est toujours tr~s inf6rieure fi 1. L'approche de rang 1 pr6cddente est donc ddjgt une

, I I ' l zl . ,

0 z-ph Z-llh z

FIG. 3. - - Sch6ma du dispositif de mesure des courbures de la paroi.

Capteur plac6 fi l'ext6rieur des pieds.

Measuring device diagram for the wall curvatures. Captor placed outside its feet.

5/20 ANN. TI~LI~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979

344 M. BRAYER. -- CARACTERISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L 'ANALYSE SPECTRALE

un axe fixe Oz. Selon que le point d 'appui du capteur passe en dessus ou en dessous de la base (*), on compte x(z) positivement, ou n6gativement. I1 est possible de relier x(z) h l(z) par une diff6rence seconde finie [5]. Deux cas sont possibles, selon la position du capteur par rappor t aux points d 'appui :

a) eapteur plaeO entre les pieds (Fig. 2)

O n a : p + p ' = 1 ; e t

x(z) = l(z) - - pl(z + p'h) - - p ' l (z - - ph ) .

b) eapteur plaeO en dehors des pieds (Fig. 3)

On a cette fois : p - - p ' = 1 ; et l 'expression pr6c6- dente dans laquelle on change p ' en - - p ' . A c e changement de signe prSs, les deux syst~mes sont 6quivalents. Nous d6velopperons donc, sauf cas particulier, la th6orie de ces syst~mes, sur le premier.

On remarque que la valeur de x(z) reste invariante, tant que l(z) varie lin6airement. Cela est dfi ~t ce que, conform6ment au d6veloppement limit6 :

[ dl(z) h2d21(z) ] x ( z ) = l ( z ) - - p l ( z ) + p ' h ~ z z + p , Z 2 dz 2 + " " - -

[ dl(z) h2dZl(z) ] p' l ( z ) - - P h d z z + p2 2 dz z "'" ;

il vient : - - pp 'h 2 d 2 l(z)

(11) x(z) -- 2 dz z + ....

Le d6placement x(z) ne d6pend donc que.des d6riv6es d 'o rdre sup6rieur ou 6gal ~t 2 du pro]]l local l(z). Or en pratique, ce dernier est presque toujours ~t variations lentes : [d(l(z))]dz] < 1. Sa d6riv6e seconde reste donc une excellente approximat ion de sa courbure exacte cb(z) :

d 2 l(z) 1 cb(z) -- dz z • (1 + [d l(z)/dz]2) 3~

I1 en est donc de mSme de (11). Si la courbure ~t mesurer est constante ; le profil l(z) est circulaire ; et (11) restitue la courbure exacte aux points z6nithaux :

pp' h 2 1 (d l(z) ..... 2_ ~ • - \ dz - - 0 ' ) . X

I1 existe, pour tou t appareillage donn6, une valeur minimale mesurable du rayon de courbure. Elle est reli6e ~ l '61ongation maximale du capteur par la relation :

pp' h 2 1 Rmin- - 2 X ]xJ~x "

Le terme pp'h2[2 repr6sente la sensibilit6 de l 'appareillage. Elle doit &re aussi grande que possible. Or la base h ne peut ~tre choisie arbitrairement longue, sous peine de voir le syst6me se bloquer dans un guide tr6s for tement courb6 ; ou encore

(*) Droite virtuelle passant par les points de contact des deux pieds.

pour une simple question de poids. En pratique, h = 50 cm semble une longueur convenable. On peut par contre optimaliser le produi t pp' en faisant :

p + p ' = 1 : (pp ' )max=0 ,25 l o r s q u e p = p ' = 0 , 5 ;

p - - p' = 1 : (pp')max correspond ~ la plus grande valeur tol6rable de p.

Introduisons les t ransformations de Fourier :

x(z) ~ x( ,o)

l(z) @ L(o~)

c(z) ~- - - cb(z) ~ C ( ~ ) .

La diff6rence x(z) = l(z) - - pl(z + p 'h) - - p ' l (z - - ph) a pour transform6e :

X(co) = (1 - - p e jp'h~ - - p ' e -jphc~ L(co).

Mais comme l 'on a toujours, d 'apr6s ce qui pr6cMe :

c(z) = - - d21(z)/dz 2 ~ C(co) = to z L(o~) ;

on obtient, en 61iminant D(co), l 'expression de la fone t ion de transfert en eourbure du dispositif' :

C(co) co~ 0 2 )

X(co) 1 - - p e jp'h~ - - p ' e -jphc~ "

Elle poss6de des p61es sur l 'axe r6el to. Or, tant pour valider les hypoth6ses pr6c6dentes que pour conserver une signification aux formules d6duites de (6 ) ; il faut imp6rativement rejeter ces p61es le plus loin possible du domaine [co~, o~2] explor6. Ces p61es sont racines du syst~me :

p cos p'ho~ + p' cos phr = 1, p + p ' = 1.

p sin p'ho~ - - p ' sin pho~ = 0 ,

dont la solution 6vidente est :

pho~ = 2kr: p]p' = k / k ' ,

p'ho~ = 2k'rc ~ ~ = 0 4 2 r: = k l p h = k ' l p ' h

En choisissant pour k et k ' deux valeurs premikres entre elles, et pas t rop 61oign6es de 500, comme par exemple :

k = 509, 569, 581 , p = 0,509, 0,569, 0,581,

k ' = 491, 431, 419 , p' = 0,491, 0,431, 0 ,419;

on r6alise une sensibilit6 correcte de la mesure. Et dans tous ces cas, avec h = 50 cm, on rejette le premier p61e de la fonction de transfert ~t la fr6quence m6ca- nique :

�9 ~ (1 ) : k / p h : 1 O00/h : 2 000 c/m (cycles/m6tre).

La borne sup6rieure du domaine utile des fr6quences m6caniques valant ~t peine 30 c/m, la protect ion obtenue est excellente.

Remarque.

Dans certains dispositifs, on impose d61ib6r6ment p = p ' = 0,5. Mais alors, le premier p61e s 'obtient pour k = k ' = 1 ; d'ofi :

vo) = k / p h = l[h = 2 c / m .

ANN. T~L~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979 6/20

M. BRAYER. - CARACTI~RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES P A R L ' A N A L Y S E SPECTRALE 345

Ce p61e est tr6s mal situ6, puisqu'il est en plein milieu de la zone critique du domaine ~t explorer.

De tels dispositifs ne peuvent donc 8tre utilis6s pour mesurer le spectre de courbure des guides /t grande distance. Cette remarque s'6tend aux dispositifs /l capteurs externes, plac6s selon des nombres f rac t ion- naires.

11.2.3. Relation entre d6formations radiales et axiales.

L'estimation de la courbure plane de la paroi constitue la premiere 6tape impos6e au paragraphe 11.2.1. Pour parvenir /l la seconde, il faut 6tablir une correspondance entre cette courbure, et celle de la projection de l'axe dans le plan de mesure.

11.2.3.1. Influence des d~formations d'ordre 1.

Supposons que la formule (8) se r6duise h :

a(z, ~) = a0 + al(z) cos q0 + bl(z) sin ? .

La relation (10) se r6duit alors ~t :

1 o

f e ]~ d? ---- al(z ) -Jr- j bl(Z ) . T e j r~ = - - a 7~

Le centre de section ayant pour coordonn6es a I e t bl ; l'axe du guide se projette selon ax(z )dans le plan x O z ; et selon bl(z) dans le plan yOz.

Le terme a0 6tant constant, les traces de la paroi dans les plans de projection sont, h une translation d'amplitude a0 pros, identiques h celles de l'axe. I1 est donc 6quivalent, dans ce cas tr6s particulier, de mesurer la courbure de l'axe ou celle de la paroi. On obtient alors, avec (11) :

d 2 al(z ) cz(z) dz ~ ,

d ~ bl(Z) cu(z) = dz z

11.2.3.2. Influence des d~formations r~elles.

Les hypoth6ses admises au paragraphe pr6c6dent sont malheureusement insuffisantes. Tout d 'abord parce que le calcul de la section droite n'est effectu6 qu 'au premier ordre en z [ a ; et surtout parce que le d6veloppement r6duit propos~ ne peut representer la paroi r6elle du guide, m~me parfaitement circulaire. Le d6veloppement (8) dolt donc comprendre des termes d'ordre sup6rieur h 2. Mais dans ce cas, la courbure de l'axe diffkre de celle de la paroi ; et une nouvelle m&hode doit ~tre recherch6e.

Elle consiste/~ modifier le dispositif, en lui donnant une double base form6e par deux paires de pieds orthogonaux (:~ 45 ~ ; et un capteur tournant plac6 /t l'ext6rieur de celle-ci. Darts chacune des 3 sections droites d6finies par les pieds 2 h 2 et le capteur, il est possible de calculer la position du centre confor- m6ment au paragraphe II.I.2. ; et d'obtenir ainsi les coordonn6es centr~es de la paroi

X + j Y = r e jO = a e j q ~ - z e j~

dans le nouveau r6f6rentiel de centre O.

Consid6rons alors une longueurf0 voisine du rayon moyen du guide. I1 est alors possible, sur chacune des deux bases, de d6finir comme au paragraphe II.1.2., un algorithme permettant la localisation pr6cise du point P (Fig. 4).

, o X

.X lo4o Xo

Fl~. 4. - - Principe de dispositif de mesure de la courbure de l'axe.

D6finition de la trace P de la corde virtuelle de l'axe dans une section droite.

M o : point de d6part de l'algorithme de recherche, C : centre de la section droite.

Measuring device principle of the axis curvature. P is the trail of the axis virtual chord in a cross section, M'o4 starting point of the resolving algorithm, C : cross section center.

Ce dernier est le point de concours de deux segments de droite (de longueur f0) orthogonaux, issus de la paroi parall61ement aux axes OX et O Y. Mais il est aussi le point d'intersection des deux courbes obtenues en translatant la paroi de f0 , parall61ement/t ces axes. Si f0 est assez grand, le point M 0 (X 0 - - f 0 , Y0--f0) est suffisamment proche de P pour servir, tout au moins dans le cas des faibles perturbations, de point de d6part pour l'algorithme.

Si l 'on projette ce systbme dans l 'un des deux plans longitudinaux passant par une base, on obtient la figure 5.

~ __ P2

/

~ a x 6

,P

fo

z-ph z-*

FIG. 5. - - Principe de la mesure de la courbure d'une projection de l'axe.

C 1 C 2 Q : corde r6elle sur l'axe, PIP~P : corde virtuelle de la paroi.

Measure principle of the axis projection curvature. C1C2Q : real chord on axis, P1P2P : virtual chord on wall.

7/20 ANN. Tt~LI~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979

346 M. BRAYER. - CARACFERISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L 'ANALYSE SPECTRALE

En d6calant (par la pens6e) l 'axe du guide de f o v e r s le bas, on r6alise une c o r d e v i r t ue l l e de m e s u r e CIC2Q ,

associ6e 5- un capteur virtuel en Q, dont le d6placement est y(z) (Fig. 6).

~ - a x e glz) dGcal~

~ ~ paroi I{z) X[Z)

- Z

z-ph z-I~h z

FIG. 6. - - Principe de la mesure de la courbure d'une projection de l'axe apr6s un d6placement virtuel de l'axe permettant de retrouver une corde r6elle P1PzQ sur la paroi.

Measure principle o f the axis projection curvature but after an axis virtual displacement had been made

to replace a real chord P1P2Q on the wall.

- - p p ' h 2 d 2 g(z) (14) y(z) - - 2 dz 2 4- . . . .

La sensibilit6 de la mesure reste formel lement inchan- g6e ; mais devient, pour h donn6e, une fonction croissante de p. En fait, on peut conserver la sensibilit6 du capteur interne en imposant ici �9 p p ' = p ( p - - 1) = 0,25. En choisissant les valeurs premi6res :

p = (1 4- ~/2-)/2 = 1,207,

p ' = ( ~ / 2 - - 1)/2 = 0 ,207;

on rejette le premier p61e 5. la fr6quence num6rique :

1 207 1 1 000 v( 1 ) = k / p h : 1,20~ • h c / m .

Avec h = 50 cm, on retrouve ~ ( 1 ) - - 2 0 0 0 c / m ; d 'of l une excellente protect ion contre les erreurs de mesure.

I1.3. Conclusion.

Le profil de l 'axe d6cal6 6tant d6fini par g(z), on peut 6crire �9

y(z) = P C - - P Q = u - - P Q .

Or PQ peut se renseigner par l ' in terpola t ion lin6aire (cf. fig. 6) �9

PQ - - ul u2 - - Ul - - - ~ PQ = p u 2 - - p ' u l ;

p h h

&off �9 y ( z ) : u - - p u 2 4- p'Ux. Cette quantit6 est connue, car u, u2 et ul proviennent des calculs de centre, effectu6s lors des mesures de rayon dans leurs plans respectifs.

Au d6placement virtuel de l 'axe correspond la diff6rence forme/le :

y(z) = g(z) - - p g ( z - p ' h ) 4- p ' g ( z - p h ) ,

et sa t ransform6e :

Y(to) = (1 - - p e - jp'hc~ 4- p ' e -jphc~ G(to) .

En d6signant par cbg(z) la courbure recherch6e de l 'axe ; et en posant c o m m e pr6c6demment �9

d 2 g(z) Cg(Z) - - d z 2 z:~ Cg((,.o) = 0) 2 G(to) ;

On peut construire des guides qui, grS.ce 5- un con- tr61e serr6 de l 'usinage et de leurs tol6rances m6ca- niques, ont un rayon moyen presque parfait . Mais en revanche, il est bien plus difficile de r6duire 5- z6ro, sur tout apr6s la pose, les variat ions longitudinales des coefficients an(z ) et bn(z) de (8 ) ; n o t a m m e n t ceux d 'o rd re l, directement responsables des courbures r6siduelles du guide.

I1 en r6sulte un processus al6atoire centr6 ; mais dont la moyenne quadrat ique, et par tan t la dispersion, peut devenir importante . L 'exp6rience confirme alors que les couplages ainsi cr66s (qui met tent essentiellement en oeuvre les modes TEll , TEl2, TH11 , TH21 ) peuvent introduire un suppl6ment d 'a t t6nuat ion non n6gligeable [6, 2].

Cet affaiblissement s ' interpr6te 6videmment comme indiqu6 au paragraphe I. En ce sens, la connaissance pr6cise de la densit6 spectrale des courbures et autres d6fectuosit6s du guide est indispensable. Des dispositifs de mesure perfectionn6s permet tent d ' y parvenir. Mais leur pr6cision ne pour ra s 'am61iorer qu ' en les pla~ant dans des conditions optimales de fonctionnement ; et en d6terminant, avec pr6cision, leurs diff6rentes fonctions de transfert en charge.

on t rouve finalement, par analogie 5- (12) :

Cg(oO ~2

(13) Y(to) - - 1 - - p e - jp 'h t~ + p ' e - jpht~ "

C'es t la v6ritable fonct ion de transfert en courbure des projections de l 'axe. A la permuta t ion p ' - > - p ' pr+s, ses p61es sont racines du syst~me obtenu au pa ragraphe II.2.2. ; et s '6crivent finalement :

v : o~/2 • = k l p h = k ' [ p ' h .

On doit remplacer (11) par :

I lL P R O B L E M E S R E L A T I F S A L ' E S T I M A T I O N S P E C T R A L E

DES DI~FECTUOSITI~S

III.l . Recherche des domaines et gabarits spectraux.

III.1.1. D6termination des plages de fr6quence m6canique.

Dans un guide h61icoidal, des fluctuations de diam6tre existent tout d ' a b o r d 5- cause de l'h61ice.

ANN. T~L~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979 8/20

M. BRAYER�9 - CARACTERISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L~ANALYSE SPECTRALE 347

Celle-ci cr6e, dans les guides franqais, des tres- sautements de 105 ~m ~t la fr6quence m6canique : ~hel = 4 000 c/m. En principe il faudrait donc, pour appliquer (6) ou (7), mesurer la densit6 spectrale S(o)) jusqu'au moins 4,5 kc/m. En r6alit6 il n 'en est rien, h cause de la bande de fr6quence ( f r o , f lu) choisie pour rexploitation du guide (*). En effet, les longueurs d 'onde propre ou de battement des modes propaga- tifs v6rifient les relations, v f ~ f lu :

propre " I Xm(/)l i : m > 1, battement IXln(/)l I > 1/vhel �9 . : n ~ 2 .

Tout accord syntonique (en Xm[2 ou en Xln[2) entre ces modes et l 'enroulement h61icoldal devient alors impossible. Ce dernier ne r6agit sur les ondes que sous forme d'un dioptre homogSne, anisotrope et dissipatif.

Ce principe d'exclusive se g6n6ralise 5. d'autres d6fauts du guide. Et on peut admettre, finalement. que le domaine des fr6quences m6caniques mesurables a pour borne sup6rieure :

(15) l (en cycle/m~tre)

= s u p n,f I l k ' I n ( f ) / ) (~.ln en mStre).

Dans ces conditions, Um~ est une fonction d6crois- sante, qui doit ~tre calcul6e 5. la fr6quence fm d'entrde de la bande millim6trique.

En pratique, aprSs avoir choisi les indices m et n de modes, on construit une grille comme l'indique la figure 7. Elle s'applique h u n guide de 60 mm, et

correspond aux modes tels que :

[Xln(fm)] >~ 1/30 = 0,0333333 m (fro = 30 GHz).

Elle d6signe les 48 premiers modes susceptibles d'interagir avec les d6fauts normalement rencontr6s dans un guide�9 Ce choix ayant 6t6 confirm6 par l'exp6rience, nous admettrons que le domaine utile des fr6quences m6caniques est, dans le guide franqais de 60 mm :

(16) 0 ~ [ v I ~ 30 c/m.

Exceptionnellement, il existe quelques d6rogations 5. cette rSgle. Par exemple, pour 6tudier l'influence d 'un pas de rubannage de 31,25 mm situ6 au dessus de l'h61ice, il faut, th6oriquement, d6passer 32 c/m. Mais pour lever le doute, et s'assurer que d'autres d6formations ne d6coulent pas de cette imbrication ; il faut, avec 4 6chantillons au moins par p6riode (th6orie de Shannon), pousser l 'exploration jusqu'h 140 c/m. D'ailleurs, la v6rification exp6rimentale des fonctions de transfert pr6c6demment calcul6es, s'effectue dans un rapport de bande analogue [5]; ne serait-ce que pour y constater l'absence des p61es.

A priori, l'inverse de la longueur l des 616ments de guide est un 616ment d6terminant des fr6quences m6caniques de la ligne. En r6alit6, ces longueurs sont syst6matiquement dispersdes, selon des lois statistiques bien 6tablies, pour 6touffer tout ph6nom6ne de r6so- nance cumulative au niveau des raccords. En cons6- quence, les d6fauts de fabrication ne peuvent introduire en ligne des cycles sup6rieurs h 1. La fr6quence m6canique, h rusinage, a donc pour borne inf6rieure 1/sup (I).

Finalement, pour permettre un choix entre les diff6rents domaines h explorer, nous proposons le classement suivant des fr6quences m6caniques :

- - courbures continues de la ligne : 0,001 ~< v ~< 0,03 c/m ,

- - installation et pose du guide : 0,004 ~< ~ ~<0,4 c / m ,

- - fabrication du guide : 0,1 ~< v ~< 30 c /m .

La figure 8 donne un bon exemple d'estimation

FIG. 7. - - Grille des longueurs d'ondes de battement telles que IXl > 1/30 (fro = 30 GHz, diam6tre = 60 mm).

. . . . : fronti6re du cas : IXl > 1/10 (fro = 40 GHz). Beat wavelengths pattern for ]X I > 1/30

(fro = 30 GHz, diameter = 60 ram). . . . . : boundary for I)~ I > 1/10 (fm = 40 GHz).

(*) Les guides actuels travaillent avec : f,, -- 30 ou 40 GHz, f)t = 60, 80 ou 110 GHz.

MICRONS 3 0

20"

,o

o vt -10

-20

-30 l m

A

FIG. 8. - - F luc tua t ions apparentes du rayon.

Apparent radius fluctuations.


348 M. BRAYER. -- CARACTERISATION DES GUIDES CIRCULMRES PAR L'ANALYSE SPECTRALE

spectrale. A premiare vue, le d6faut principal de la paroi provient de ses oscillations quasi p6riodiques, centr6es vers 4,5 c/re. Mais l 'analyse spectrale prouve que la raie principale du d&aut est due au cycle de leurs variations, situs fi 0,86 c/m. Par chance, cette raie est inaccessible /~ la plupart des modes en cause ; et le d6faut observ6 n'est finalement pas tr6s important.

faut encore l'am61iorer d 'au moins 4 d6cades, si l 'on veut ~tre certains que les d6tails obtenus proviennent bien de la fabrication et non des fluctuations des mesures ou des calculs. Et c'est en immunisant les donndes par des filtres sp6ciaux (cf. w IV.4), qu'il est finalement parvenu au spectre 3 de la figure 9, ayant une dynamique de l0 -~n.

III.1.2. N6cessit6 d'un gabarit spectral profond.

Les guides 5, h61ice renforc6e ont toujours 6t~ sensibles aux ph6nom~nes de raies. I1 est donc logique d 'admettre que la formule (7-3) les concerne effectivement. Cela suppose que la dynamique de S(o~) puisse rendre compte des variations extremes mesur6es de < ~ ( f ) > , h savoir : valeurs & peine mesurables

sommet des raies culminant ~t 20 dB.

Avec : 1 ,5• 10 - ~ Re(h~) ~ < 5 • 10 -~ ;

cela impose d 'obtenir S(~o)/t une profondeur d 'environ 3 • I0 -~.

C'est d6jh consid6rable. Et pour y parvenir (cf. lrac6 2, fig. 9), il faut traiter avec soin tousles enregis-

1

10"2

10"

10"6

10"8

10"1o

10 ~2

10-~,

10 4e

DENSffE SPECTRALE (U.A)

t'~,,., 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

" ITE04 tTE03

ITE02 11() 30GHz

I I ~ I i i I �9 2 rr~(rad/m) 2 0 4 0 6 0 8 0 100 120 140

FIG. 9. - - Quelques exemples typ,~ de dynamique spectrale. 1 : P6riodogramme classique. 2 : Estimation directe adoucie par une fen0.tre sph6roidale

C = 4 7 z .

3 : Estimation finale ~. la sortie du filtre de robustesse. En encart : les fluctuations r6~iduefles, d'apr~s Thomson [10].

Some examples o f typical spectral dynamics. I : Classical periodogram. 2 : Smoothed (c = 4 ~ prolate window) direct estimate. 3 : Last estimate at the robust filter output. In the insert : the residual fluctuations, a:cording Thomson [10].

trements, et adoucir le p~riodogramme initial par une fen&re spectrale non rebondissante, dont les lobes secondaires sont largement inf6rieurs ~t - - 60 dB. Mais D. Thomson, dans son remarquable article relatif aux techniques spectrales mises au point pour le d6veloppement du guide wr-4 [9], pr6cise qu'il

III .2 . Recherche d'un bon es t imateur .

III.2.1. Introduction.

Tout enregistrement peut Stre consid6r6 comme une suite al6atoire u(t), dont la longueur T varie entre quelques dizaines de m~tres et (parfois) beaucoup plus d 'un kilom~tre. Bien que la plupart des capteurs travaillent en continu, le codage puis la retransmission dans le guide (*) des informations obtenues imposent un 6chantillon- nage. Les donn6es forment ainsi une suite temporelle discr6te {up} : p - 0, 1, 2 . . . . . L. La taille L e s t tr~s variable : entre 5 000 et 20 000 points pour le contr61e des guides ou des 616ments de ligne ; 50 000 ~_ 80 000 points pour les banques de donn6es ; et 100 000 points/kin pour une mesure pr6cise de courbure, comme indiqu6 ensuite.

Ind6pendamment du point de rue 61ectromagn6tique la fr6quence m6canique dans le guide est n6cessaire- ment limit6e par :

- - la macro-homog6n6it6 de la paroi ;

- - l ' i n e r t i e du capteur ou de l 'appareillage.

La suite {up} est donc strictement ~. bande limit6e. D'apr~s le th6or~me de Nyquist, elle restitue toutes les informations contenues dans u(t), d6s que son pas d'6chantillonnage h v~rifie la relation :

1 1

h ~ 2 N 0 - 2• Vmax'

• 6tant une marge de s6curit6 correctement choisie entre 1,5 et 2 [11]. Avec Vmax = 30 c/m et • = 1,6666, on trouve h = 1 cm. Sur ligne longue, il parait difficile de faire mieux.

Admettons (cf. w IV.l) que u(t) soit un processus ergodique et stationnaire au sens large (cette hypoth~se est confirm6e ~ p o s t e r i o r i par la port6e m~me du guide, qui d6passe 50 km). On le centre en posant :

(17) x(t) = u(t) - - E{u(t)} ;

ou plut6t, en pratique :

(17-1) z2(0 = u(t) - - T ~ 0 u(t) d t .

Ce centrage est indispensable en eourbure continue sur la ligne. Dans les autres cas, le processus u(t)

(*) En France : codage ~_ 12 bit ; transmission ~ 9 600 bauds par ruban ultra-16ger, ou canal millim6trique, selon le cas.

ANN. TI~Lt~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979 10/20


est centr6 par nature. Le profil moyen des courbures pouvan t toujours atre contr616 sur le parcours , l ' e r reur commise est n6gligeable en confondant d6sormais (pour soulager l '6criture) x(t) et ~(t).

111.2.2. Es t imateur indirect.

Le spectre recherch6 est la t ransform6e de Fourier de la fonct ion de covariance de x(t) :

S(t~) ~- Ex(z) = E{x(t) x(t + z)} ; - - o9 < z < + oe.

Mais x(t) n '6 tant connu que sur un suppor t [0, T] fini, le meilleur spectre que l ' on puisse calculer avec cette relation, est :

(18) s~,(~,) = - r ~(') e-i~" d . = ~ S ( ~ ) . P(r

avec : P(~) = [2 T sin ~ , r l /~ , r . Hormis le cas (th6orique) off x(t) peut ~tre consid6r~ c o m m e un bruit blanc tel que :

S(~) = ~ ~ ~.(t) = ~ ~(t) ;

la formule (18) entra~ne toujours :

E{Sr(to)} - ST(o~) 4: S(eo) .

Les est imations indirectes de S(t~) sont ainsi toujours biaises (*), en pratique. Et c 'es t la gageure tenue d ' u n bon est imateur spectral que de permettre , en par tan t d 'une connaissance limit6e du processus, une repr6sentat ion spectrale meilleure que (18) !

C o m m e pr6c6demment, (18) n 'es t accessible qu '~ travers une est imat ion de la covariance ~x(t). Le biais 6tant ici un probl6me essentiel, on choisit d61ib6r6- ment l ' es t imat ion non blaise : l!?+ (19) - - T--I l x(t) x(, + I+1) d t ;

conduisant /~ l ' es t imat ion spectrate effective :

(20) g(o0 = I TT~(V) e-l~ dv ;

telle que : E{g(~o)} = ST(co). Mais le probl+me n 'es t pas r6solu pour autant ,

car cette es t imat ion est inconsistante (**). Ceci se t radui t par des fluctuations telles qu ' en pratique, dans un domaine donn6, les valeurs estim6es du spectre ne sont plus assez fiables, ou t rop diff6rentes des valeurs recherch6es (Fig. 10).

On a propos6 pour am61iorer (20), certaines techniques de pond6rat ion [7, 8, 10]. L 'une des meilleures consiste /~ adoucir le spectre en introduisant, sur le suppor t [ - - M, M] = [ - - T, T], une fen~tre temporel le

(*) Par d6finition, le biais (en anglais bias) introduit par l'estimateur d~ d'une grandeur statistique 49 est :

biais(~) = E{~} - - 49.

(**) Par d6finition, une estimation S(to) est consistante si :

S(o0 --> S((o) avec la probabilit6 l, lorsque T --~ + o9.

Cela impose : lim {var('S(co))) -~ 0. Or on d6montre que cette 7+-->+0: ,

propri6t6 n'est pas pas v6rifi6e avec (20).

. S (~,)

i , +

i I

~/JI W 2

FIG. 10. - - Signifcation de l'inconsistance spectrale. S(~) : spectre r~el. S(m) : spectre estim6 inconsistant.

Le tract indique l'une des projections possibles des fluctuations de S(~). Ses (< valeurs >> forment un nuage autour de S(c0).

Meaning of the spectral inconsistency. S ( ~ ) : real spectrum. S(t~) : inconsistent estimated spectrum.

Just one of the realisable projections of the fluctuating spectrum S(t~) is plotted. Its (( values >> compase a cloud around S(o~).

w(t). On d6finit alors l ' es t imateur adouci par :

(21) ~w[CO] ---- w(v)~.(v) d r .

Sa qualit6 d6pend essentiellement du choix de la fen&re w(t). En introduisant la t ransform6e de Fourier W(t~) de celle-ci ; on obtient:

(22) E{~w[~]} = S(o~) . W(~) /2 = .

II est clair que le biais de Sw[~] -+ 0, siW(to) -+ 2 ~ 8(o~). Pour cela, il faut ouvrir au m a x i m u m la fen~tre w(t). On ne peut doric obtenir, avec (21), un biais meilleur qu ' avec (20). En revanche, en d iminuant M, on diminue ~t peu pr6s lin6airement la variance de ~w[m], et on am61iore ainsi net tement [a consistance de (21).

L 'es t imateur indirect (21) (ainsi nomm6 parce qu ' i l n 'es t pas engendr6 pa r les donn~es elles-m~mes) n6cessite le calcul pr6alable d 'une fonct ion de corr61ation. Cette op6rat ion pr6sente un int6r~t pour la d6termi- nat ion des ~ , ou de l 'e r reur s tandard associ6e. Mais dans le cas pr6sent, le calcul de ~(t) est g6n6ralement long, d61icat, dispendieux (en m6moire de calculateur), et f inatement disproport ionn6 au r6sultat obtenu. A la limite, il est en effet paradoxal d ' & t e oblig6, pour mesurer un spectre, de reconstruire un jeu de donn6es auxiliaires. D 'of i l ' abandon quasi universel de (21), d 'ai l leurs acc616r6 par l ' in t roduct ion des techniques modernes de calcul, comme la TRF, qui permettent un calcul presque simultan6 du spectre et de la corr61ation.

111.2.3. Es t imateur direct.

Cette nouvelle est imation est bas6e sur la not ion classique de p6r iodogramme [7, 8]. Mais ce dernier

11/20 ANN. TI~L~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979


6tant encore inconsistant, l'emploi d'une fen~tre de donn6es reste indispensable. En la normalisant, comme Thomson, en imposant :

rv2(t) = , (23) dt 1 0

l'estimateur direct est d~fini par :

(24) Sv(to) = v(t)x(t) e i~t dt �9 0

On notera qu'en modifiant (23), il se confond au p~riodogramme adouci de Welch :

;i S(to) = v(t) x(t) e ]~~ dt z 0 ~0

En introduisant la transform6e de Fourier de la fen~tre :

i* (25) v(t) ~-- V(~) = v(t) e - ~ t dt ; ,0

il vient :

soit encore, grgtce au changement de variable : u - - t = "r ; du = d'r :

= i T i T v(t) v(t § "r) ~t('r) e -i'~ dt d'r. EI~v(~O)} .~0 ~ - r

En imaginant alors pour la circonstance une fen~tre particuli6re, dite de retardement :

r v ( v ) = ! T o v ( t ) v ( t + v ) d t �9 - - T < ~ v < ~ T ;

on obtient :

i T e_j~ v E ( ~ ( t o ) } = - r rv('O ~ ( ' 0 dz = E{~r[~O]}.

On v6rifie ainsi, comme l 'a soulign6 Thomson, que l'adoucissement d 'un estimateur direct est essentiellement dfi h un r6arrangement de l'amplitude m~me des donn6es ; tandis que celui d 'un estimateur indirect, provient essentiellement d 'un retard.

Cela 6tant, la relation connue :

i +oo f(t + v) g*('r) d'r ~ F(to) G*(o~) - - o o

a pour cons6quence : r v ( t ) ~ IV(~o)[~.

On en d6duit, rv('r) ayant un support fini :

(26) E{~v(~o)} ~- S(ta) * [V(to)]2/2 77.

En comparant ce r6sultat t~ (22), on comprend mieux la tendance actuelle de r6server l'appellation de fen~tre spectrale aux quantit6s [V(to)[ z et W(to), respectivement.

Quoi qu'il en soit, l'estimateur (24) pr6sente sur (21) les avantages :

- - lui, et lui seul, est strictement positif ;

- - son biais n'est plus contr616 par la transform6e

de la fen~tre, mais par son module carr& I1 peut donc, sur une plage &endue, nettement s'am61iorer ;

- - sa variance, par un choix correct de la fen~tre et de son ouverture, peut 6galement s'am61iorer.

111.3. Erreur biaise introduite par l 'est imateur direct.

En th6orie spectrale, les calculs directs de biais ou de variance sont g6n6ralement inextricables. Cependant, en d6composant ici le biais en une partie locale (autour de to) et sa partie spectrale compl6mentaire ; il est possible d'obtenir, pour cette derni6re, une borne sup6rieure qui introduit naturellement la fen6tre sph6roidale. En effet, en explicitant (26), on obtient :

1 I +~~ biais{~v(to)}= ~ S(to - - ~) [V(~)[~ dE - - S(o~). - - c x )

Consid~rons alors autour de to l'intervalle de proxi- mit~ [to - - ~) ; ~ + f~]. En d6finissant l'op6rateur

~ comme une int6grale en valeur principale de Cau-

chy appliqu6e g la droite r6elle priv6e du segment precedent, il vient :

(27)

biais{gv(to)} = i +~~

- 2 d~ 277~

II n'est pas possible d'annuler (27), car [V(~)] 2 ne poss6de jamais les propri6t6s d 'un op6rateur 8(~). Mais plus cette fen~tre s'en rapproche, plus le second terme de (27) tend rapidement vers z6ro ; et r6cipro- quement. Donc, comme l'indique Thomson, une r6duc- tion suffisante du biais est obtenue en pratique, d6s que sa composante spectrale Bs (c'est-h-dire le second terme de (27)) passe par un minimum, ou ce qui revient au m~me, celle de ~v(to).

En mettant (24) sous la forme :

gv(to) = [ {X( to) . V(to)}*/2 ~12 = IX(co). V(o~)12 ~12,

cette composante spectrale s'6crit :

.~ d~12 772 hs = ~" x(~o - - ~) v (~ )

En lui appliquant le th6or6me de Schwartz, il vient :

1 ~" iX( t ~ ~)[2d~ 1 ~" < Iv( )l

La premiere int6grale se majore 6videmment en lui restituant l'intervalle manquant. D'ofi, h l'aide du th6or6me de Parseval :

1 ; 2~ ~ IX(co - - ~)12 d~ < 1 f + ~ Ix(~ ~ _ ~)1~ dE

= !To x~(t) d t .

ANN. T~L~COMMUMC., 34, n ~ 5-6, 1979 12/20

M. BRAYER. - CARACTI~RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L'ANALYSE SPECTRAL E 351

La seconde integrale, explicitee par = - - ~-~o ~1-~

se transforme de m~me en :

1 ~" [V(~)[ 2 d~ = x~(t) dt 1 - - , 2 r e ) 0

avec :

E - - 2 r : _n IV(~)]2 d~ - - o o

Or Slepian (*) a d6montr6 que ce rapport s'identifie, lorsque v(t) est une fen&re sph6roidale d 'ordre 0, ~t la valeur propre ~,0(c) du probleme correspondant au transport maximal d'dnergie it travers l'intervalle [ - - ~ , ~]. En d'autres termes, on a toujours :

1--EBIE>~ 1 - - X o ( C ) ;

l'egalite n'etant obtenue que par cette fen~tre spheroidale. Dans cette expression, la valeur propre Z0(c) est fonction du parametre principal c = ~oT[2 (Fig. 1 l)

Xo(c) 1

0,5

o 7

FIG. 11. - - Valeur propre de l'equation integrale (A-3) definie en annexe.

Eigenvalue ~o (c).

Compte tenu de ce qui precede, la borne superieure de Bs est :

Bs < [ 1 iTox(t)2dt]T(1--Zo(C)).

Mais le crochet n'est autre qu'une estimation de la variance : var [x(t)] = E[x(t) 2] = ~2x ," de sorte qu'il vient, finalement :

^2 T(1 - - Xo(C)). (28) Bs < ~x

C'est la formule de Thomson. Son inter& reside en ce que ( 1 - Xo(c)) tend rapidement vers 0, des que e depasse quelques unites, conformdment h la forme asymptotique :

1 - - Xo(c) ~ 4 ~ / ~ e -2c .

(*) Voir note p. 4. LAMI (P.), ARCHAMBAULT (C.).

Pour T donne, il est toujours possible de determiner c, et donc la fen~tre spheroidale correspondante, qui rende la composante d'erreur Bs negligeable.

IV. APPLICATION DE L'ANALYSE SPECTRALE

A LA SPI~CIFICATION DES GUIDES

IV.1 . Explorat ion du spectre et recherche de ia fidelitY.

Jusqu'~t ces dernieres annees, l'affaiblissement d 'un segment de ligne 6tait le seul qualificatif disponible pour exprimer sa qualite. Mais c'est une information compacte, et relativement peu sensible. Duns certains cas, il fallait m~me det~riorer un guide, pour con- naltre l'influence precise d 'un d6faut.

C'est dans le cadre du projet americain WT-4 que certaines techniques spectrales, essentiellement pre- vues pour contr61er la qualite, la fabrication, ou l'installation des guides, ont accompli un spectaculaire bond en avant ; de m~me certains dispositifs (souris) capables de voyager loin, ou tres loin duns le guide. Mais simultanement fut decouverte la specificit6 des mesures spectrales it effectuer.

II fut tout d 'abord constat6 que les spectres ~ mesurer pouvaient, selon les circonstances : conserver un niveau relativement constant, ou bien subir des variations quasi pathologiques. Cela a conduit Thomson h effectuer l'analyse spectrale en trois 6tapes successives : formation d 'un spectre pilote

l'aide d 'un estimateur direct; organisation des donnees en un processus auto-regressif d 'ordre fini avec preblanchiment; calcul du spectre definitif consider6 comme le quotient de la densit6 spectrale de l'energie preblanchie ~t la fonction de transfert en puissance du filtre d'auto-regression (cf. w IV.4).

I1 fut ensuite observe qu'une qualification correcte de la fabrication exigeait, en unites I[T, un domaine relativement &endu. I1 faut donc choisir, pour un contr61e donne, une base de Iongueur T convenable. Si la ligne ~. mesurer est plus Iongue que T, on l'orga- nise en sous-ensembles de longueur T, que l 'on pondere au sens de Welch (cf. w IV. 3).

I1 a 6t6 6galement constat6 la necessit6 d'epurer, apres recentrage, les donnees de t o u s l e s 61ements deterministes ou anormaux qu'elles contiennent. Duns certains cas (notamment h cause des raccords de guide) ces donnees doivent ~tre corrigees par prediction ou interpolation. Un filtre de robustesse les corrige encore, au sens statistique du terme (immunisa- tion).

Des le depart, on se libere du dilemme traditionnel impose par le choix entre biais et variance, en recher- chant deliberement A reduire la composante h large bande du biais. Conformement aux conclusions du w 111.3, cela revient h construire (24) avec une fen~tre

13/20 ANN. TELECOMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979

352 M. BRAYER. - CARACTI~RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L~ANALYSE SPECTRALE

sphdroidale allong6e d'ordre 0 [15, 141. En choisissant c = 4 ~, on trouve ainsi, pour (28) :

1 - - Z o ( e ) ~ 3 • 10 - l ~

d'ofi une r6duction draconienne de ~ /t la mesure de la dynamique spectrale ~ explorer. Les erreurs de biais, qui dans certains cas auraient bloqu6 le spectre, seront ainsi toujours localis6es. Ce choix offre en outre aux estimations g(co 0 et g(coj) s6par6es de [ c o ~ - co;[ >~ 4nc[T , une d6corr61ation effective. II garantit enfin aux spectres de forte 6tendue (les plus fr6quents) une dynamique :sup6rieure ~t 100 dB, d6s que [v] > 4[T. Avec une base T relativement grande, il en r6sulte, entre 30 et 60 GHz, une am61ioration tr6s sensible des valeurs calcul6es de < ~ a > .

La longueur de cette base d6pend des circonstances. Pour l'6tude des courbures r6siduelles, on peut prendre T entre 150 et 200 m ; ce qui entrMne [vl >~ 0,02 c/m. En pr~voyant (au maximum) une quinzaine d'intervalles se recouvrant ~ 30 ~ , on peut ainsi contr61er le sectionnement naturel de la ligne.

Le choix pr6c6dent de c n'est pas obligatoire. Dans le cas (relativement rare) off l'6tendue des amplitudes g observer est effectivement faible, il est pr~f6rable d'am61iorer au d6part la r6solution de la fen~tre, en r6duisant c /~ r:. On peut m~me utiliser une fen~tre traditionnelle, comme celle de Hann par exemple. Lorsque le spectre ~ m,esurer est presque exclusivement concentr6 autour de 1 origine':(] ,;1 < 1/T) ; la r6duc- tion de ~ perd une grande partie de son int6r&; et la fen~tre c = 4 r~ peut m~me, par l'interm6diaire de sa composante locale, r6introduire du biais. On doit alors rechercher une fen&re qui pince mieux autour de l'origine, tout en conservant une r6duction acceptable de ~ : cf. figure 12.

Une solution consiste en une fenatre compos6e, construite sur les fonctions sph6roidales +0(c, t) et d?~(c, t ) ; chacune 6tant ajust6e de fagon /~ r6duire le mieux possible les deux premiers lobes sup6rieurs de leur r6sultante. On peut m~me, l'exp6rience aidant, construire tout un jeu de fen~tres pour optimaliser plusieurs situations donn6es.

Les propri6t6s statistiques des estimations directes sont, d'apr6s Thomson �9

a) Hors de l'origine et de la fr6quence de repliement No, les estimations gv(~o,) sont approximativement distribu6es selon une loi en Z~- Cette propri6t6 est rigoureuse dans i'e cas d 'un processus x(t) gaussien [9]. Mais il a 6t6 constat6 qu'elle restait une remarquable approximation pour certains processus non normaux, pourvu qu'ils poss6dent une origine coMrente �9 comme c'est le cas d 'un usinage, ou d'une pose m~canis6e. Cette distribution impose "

(29) var {Sv((O~)} = E {[~v(~od] 2} - - [E {gv(~0}] ~ ,

= [E{gv(O~/)}] ~ .

Dans ces conditions, plus S(o 0 se rapproche de 3(o~),

U N D

4"R- P R O L A T E

/ /

' ' ' ~ . . . . l " ' u ' "T" "T" "T--

FIG. 12. - - Amplitudes normalis6es des fen~tres sph~roidales.

4 :: : fen~.tre sph6roidale allong6e c = 4 r~, : fen~tre sph6rique r (d'apr6s Thomson [9]).

Spheroidal windows normalized amplitude.

4 r~ - prolate : prolate spheroidal window with c = 4 r~, r~ - compound : compaund spheroidal window

(according Thomson [10]).

plus ~v(O~) devient inconsistant, puisque (26) entraine :

var {gv(COO} ---> [V(co,)] ' /(2 x) 2 ; et non -+ 0.

Mais elle conserve, 6videmment, son avantage relatif sur (22).

b) En admettant une approximation gaussienne pour les moments d 'ordre sup6rieur ~ 2, on montre que :

(30) cov{gv(O~ + ~), gv(O - - ~)} =

1 f +~' dx 2 2 ~ ._~o s(~ - - x) V*(x + o,) V(x - - o~) +

1 i +~ 2 S(6) - - x) V*(x + ~) V(x - - ~) dx t , _ _ o o

D6s que co s'61oigne de l'origine, le premier terme de (30) tend rapidement vers 0. Le second terme restitue alors (29) lorsque ~ = 0. Si S(co) devient localement ind@endant de co : (30) aussi ; &off l 'affirmation :

S(eo) localement blanc =~ gv( o~) localement stationnaire.

Dans le cas g6n6ral, gv(CO) apparait plut6t comme un processus non stationnaire, ~ covariance connue.

c) La densit6 de probabilit6 compos6e s'6crit, en variables r6duites :

( s l + s~)

p(sl , s~) = ~ e I0 K '

1 avec K -- (2 r0" ] V • V*] z .

ANN. TI~L~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979 14/20

M. BRAYER. - CARACTERISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L'ANALYSE SPECTRALE 353

IV.2. Adoucissement du spectre et recherche de la pr6cision.

Jusqu'ici on s'est efforc6 de conserver, voire m~me au d6triment de sa r6solution, l 'allure g6n6rale (dynamique) du spectre ~t observer. Mais les finalit6s de la mesure demeurent :

a) pr6voir, ~ l 'aide de (6), l 'affaiblissement additionnel correspondant h une situation donn6e ; c 'est un probl~me de synth6se ;

b) d6terminer, en analysant cette fois une d6fec- tuosit6 donn6e, un spectre de r6f6rence. Ces diff6rents spectres, dont on esp6re qu'ils repr6sentent le mieux chacun des d6fauts type rencontr6s, permettent apr6s normalisat ion (*), de construire un gabarit de s6curit6. Lors d 'une mesure, lorsque le spectre estim6 franchit sa fronti6re, le proc6d6 de fabrication (ou la m6thode de pose) doit ~tre am61ior~, ou rejet6.

Mais tout cela suppose que l 'on puisse accorder une cr6dulit6 suffisante h l 'est imateur ; ou am61iorer, le cas 6ch6ant, sa variance ou sa r6solution. Pour r6soudre ces probl6mes on effectue, en fr6quence m6canique, les m~mes op6rations que l 'on r6alise, en temporel, sur un signal analogique : convolution, 6chantillonnage, quantification, etc. (**).

Le signal form6 par un spectre comprend essentiellement, au tour d 'une valeur centrale ~ d6croissance plus ou moins rapide (Fig. 9), un r6gime de fluctuations auquel se superpose, ~t l 'occasion, un certain nombre de raies. Ces derni6res, lorsqu'elles existent (raccords, ou coup d'outil , par exemple) peuvent avoir une largeur de l 'ordre, ou nettement inf6rieure ~t 1 c/m. Les fluctuations sont g6n6ralement inf6rieures ~t 0,I c/m.

Or l ' intervalle de d6corr61ation 2 c[T de la fen&re sph6roidale c = 4r~ est ~ peine inf6rieures ~. 0,2 c/m. II existe donc n6cessairement, ~t l ' int6rieur de la bande [ - - 4IT, 4]T] qu'elle occupe, une certaine corr61ation entre les estimations ~v(~O~) et gv(O~;) du spectre. On pr6cise, figure 13, la signification de cette corr61ation, approxim6e par la formule (30).

Si l 'on consid6re que les fluctuations de ~v(tO) forment un bruit superpos6 au signal, une solution 6vidente du probl6me consiste h filtrer le spectre de ce signal. Et pour tenir compte du fait que ce

(*) C'est ici qu'intervient la moyenne quadratique de u(t) qui, parall61ement h S(to), doit 6tre extraite des donn6es.

(**) Pour 6viter toute confusion avec le temporel, certains th6oriciens proposent les ana

v : fr6quence m6canique

S(,~) V(v) : filtrage par filtre v(~)

s(v) ~ v(,~) : liftrage par liftre v(q)

rammes suivants : q : qu6frence (analogue au

temps ; mais se mesure en m~tre)

[z(q) * v(q)

~(q) v(q)

En fait, dans le langage courant, on appelle fen6tre temporelle (ou de donn6es, etc., selon la signification de ~.(q) ) le liftre v(q). De m~me, on remplace liftrage par adoucissement (au sens fort). Les termes appel6s fen6tres spectrales ont 6t6 pr6cis6s au w 111.2.3.

/L ~ (~)] (a)

i

A ~4_ I

(b)

FIG. 13. - - Influence d'une fen6tre sur la corr61ation, selon que la distance entre 2 raies (ou 2 estimations ponctuelles) successives est plus grande ou inf6rieure au pas de d6corr61ation :

a) d6corr61ation quasi totale, b) corr61ation partielle due ~ la fen6tre.

Window influence on the correlation according as the distance between two successive raws

(or 2 ponctual estimates) is greater or lower the decorrelation length :

a) almost complete decorrelation, b) partial correlation arising from the window.

signal est lui-m~me un spectre, on fait correspondre au retard traditionnel [(t + "r) - - t], le d6saccord :

f~ = [ (~ + f~/2) - - (co - - s

On peut ainsi construire sur D un espace fonctionnel d i rec t ; l 'espace fonctionnel inverse (obtenu par t ransformat ion de Fourier) 6tant bas6 sur une qu6- frence q (**). I1 est alors logique de faire correspondre ~t la covariance ~ v ( ~ ) des estimations, un spectre de puissance (que l 'on appellera antispectre) d6fini par :

cov lSv~r § l,gv t o - - = 1Qv(f~) ~-- r~l(q)

(31) !T e_j~ q ffa(q) ~ 1VIv(f2) = r~(q) dq ; -T

et qui n 'est autre qu 'une r6plique formelle de (20). I1 est alors clair que si l 'on r6alise sur la qu6frence,

un filtrage du signal par la fenStre sym6trique w(q) ; on effectue par le fait m~me une convolut ion effective sur l 'est imation spectrale :

gv,w(~) = ~v(O~) * W(to)/2 7z (W(f2) ~ w(q))

= ~ gv(co - - 90 W(~.) d;~.

Par d6finition, l 'op6rat ion (32) est un adoucissement du spectre ~v.

Avec (26) et (32), il vient :

(33)

Z{gv ,w(~) } = E { g d ~ ) } -~ W ( ~ ) 1 2 r:

1 : S ( t o ) . [ ~ Iv ( to ) J2 . W(r 12 ~ .

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Les calculs directs de var {gv,w(to)} et cov {Sv,w(to'), Sv,w(to")} sont tr6s difficiles. Mais par analogie h la d4finition mSme d'une densit6 spectrale sur l'axe to :

1 i § S(to) dto ; var{u(t)} = Ez(0) = ~ ~,-~

on peut d6finir une densit6 antispectrale sur l'axe q, par la relation :

I T

var{gv(to)} = ~v(0) = fin(q) dq . , t - T

Apr6s adoucissement, w(q) s'identifiant fl la fonction de transfert de la fen~tre utilis6e, cette relation devient :

(34) var{go,~(to)} ---- lql~ w(0) = ~(q)lw(q)[ s dq ' T

= ffnw(q) dq . -T

On peut obtenir, sur (29) une r6duction importante de variance, si la fenatre est bien choisie. Pour le prouver, consid&ons un adoucissement par une fen~tre en sinus cardinal (Sa), ouverte en fr6quencejuste sur le lobe fondamental de la fen~tre sphdroidale c = 4 ~ :

8 sin(87zqlT) i 1 : Iv[ < 4 I T , w ( q ) - - T 8rcq/T ~ w ( v ) = / 0 " Iv] > 4 I T .

Les variations des arttlspectres r6duits ffa(q]T) et ffaw(q[T) correspondants ont 6t6 trac6es par Thomson ([9] w I, fig. 6). Nous en avons d6duit le gain de variance (en densit4) donn6 tableau I :

TABLEAU I

Gain de variance (en densitd) d~ g~ la fen~tre d'adoucissement : Sa(8 7~q/T) 8/T

qlT ~nu,(qlT)l(ql~nT)

0,1 0,2 0,3 0,4 0,6

0,17 3,45 • 10 -2 2,03 x 10 .2 8,37 • 10 -3 3,77 x 10 .3

M1 = Dq/2 =- ~ qS ]w(q)[Z dq; --oo

M s -- w(q) dq ; Wm&x --to

etc. Dans l'exemple pr6c6dent, M1 conduit b, une ind6termination ; tandis que Ms donne I"]8. La r6gle g6n6rale n'est donc finalement pas viol6e.

Si l 'on choisit les points to~ aux points harmoniques adoucis : top = 2r:p]M (p entier), le degr6 de libert6 des estimations adoucies ~v,w(tod est approximativement donn6 par :

2 [E{~v,w(top)}] s

vl ~ var{~v,w(tov)}

Elles suivent alors une loi en X~.

Thomson a propos6, pour l 'exploration spectrale des guides, le crit6re suivant :

- - l o r s q u e l'enregistrement est unique, l 'adoucissement est indispensable ;

- - lorsqu'il comprend un certain nombre de sous ensembles; leur recouvrement fl 30 % (cf. w IV. I) cr6e une pond6ration non n6gligeable. Mais un adoucissement additionnel du spectre subsiste, ne serait-ce que pour am61iorer localement sa coh6sion.

La d6termination de la fen~tre w(q) fl utiliser pose, d'apr6s Thomson, un probl6me complexe. I1 provient de ce que la variance des estimations initiales n'est pas uniform6ment distribu6e dans la bande [-- T, T]. I1 est dfi aussi fl ce que la fen~tre sph6roidale c = 4r: condense cette variance au voisinage de q =-0, relativement plus que les fen6tres traditionnelles. Dans certains cas, on peut obtenir des degr6s de libert6 nettement inf6rieurs h ceux qu'aurait donn6 l'hypoth6se des estimations ~'v parfaitement d6corr6- 16es. En d'autres termes, si le d6faut de variance dfi 5- v(t) est exag6r6, il ne faut pas compter sur w(q) pour l'61iminer. On retrouve ici, fen~tre fl fen~tre, le compromis traditionnel fl respecter entre biais et variance.

I1 existe 6videmment bien d'autres m6thodes 6quivalentes au liftrage ; mais nous renvoyons le lecteur fl l'article original et son importante bibliographie [9]. Par contre, nous allons revenir sur la m6thode de Welch, qui est indispensable sur ligne longue.

Si les variations de fin(q/T) sont assez 6tal6es en qu6frence, le gain effectif dfi 5. (34) peut atteindre 1 ou 2 d6cades.

La r6gle g6n6rale de l'adoucissement consiste "5. choisir le support [ - - M , M] de w(q) de fa9on que M ] T devienne suffisamment inf6rieur h 1. On augmente ainsi le degr6 v z de l'estimation adoucie. Or dans certains cas (cf. exemple pr6c6dent), le support math6matique de w(q) est infini. On retient alors son ouverture 6quivalente, d6finie au mieux par les formules traditionnelles :

I V . 3 . P o n d 6 r a t i o n par la m6 th o d e de W e l c h [11].

L'estimation obtenue est simultan6ment directe et adoucie. L'enregistrement total est form6 d'une suite discr6te de L points, tous 6quidistants de h : {xn} - - xo, Xl ..... XL_l. Cet ensemble est d6compos6 en k sous-intervalles comprenant chacun T points. Ces intervatles se recoupent 6ventuellement sur b points �9 1 ~< b ~< T ; comme l'indique la figure 14.

En discr6tisant (23) et (24) sur chaque sous-

ANN. TI~Lt~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979 16/20

M. BRAYER. - CARACTI6RISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L'ANALYSE SPECTRALE 355

(

j:~

j=2

)

T-1

- ) )

b b .T -1

j=i . . . . . . . . . . . . . . . , I

( i -1)b ( i-1)b+T-1

j=k . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . L-T

L-1

L-1

FIG. 14. - - SchOma du recouvrement darts la m6thode de Welch ( t o u s l e s nombres sont des entiers).

Overlapping diagram o f the Welch method (the whole numyers are integers).

intervalle, il vient : T ~ - I 2

(35) (Sv(o~))l= Z Vn(Xn)j e i~ ; 11=0

avec :

7"1 L + b - - T z = 1 �9 (xn)j Xn+Jb-b ; k - - Y ~ "P rt ~ =

ii =0 b

L'estimation finale est donn6e, soit par la moyenne arithm6tique des estimations partieIles (35) :

1 k (36) Sv(o0 = fr ~ (Sv(~))~;

j = l

soit par la formule (38). La fenStre ~t utiliser est de pr6f6rence sph6roidale

avec c = 4 r~. En particulier, si l 'on retient la fenStre sym6trique Doo(4r~, x) de Thomson, on posera ici pour la recentrer :

2 n + l

= 2--T--- -"

Le cas 6ch6ant, on pourra utiliser une fen&re dont la transform6e d6crNt au moins comme 1 /o 4 : fen&re n ~ 2 de Welch [11], ou fenStre de Parzen [8, 7].

Comme pr6c6demment, les estimations (Sv)j de chaque sous-intervalle suivent une loi en X~- Les estimations totales ~v(COl) sont alors distribu6es comme Z~k ; mais h condition que la corr61ation introduite par le recouvrement reste n6gligeable, d 'un sous- intervalle ~ l'autre. Dans le cas contraire, le spectre gv(eO) peut pr6senter de tr~s fines raies de r6sonance, ou de brutales discontinuit6s. Une telle situation exp6rimentale a d'ailleurs 6t6 plusieurs fois obtenue. La formule (36) ne conduit alors plus h la r6duction de variance attendue.

Lorsque le spectre est relativement plat, on d6montre que �9

1 ~+~' z

= (rv(b)) z ; puisque : tv(~)t2 ~- rv(t) (cf. w III.2.3.).

De mSme :

(37) var {gv(t~)} ~ [E{gv(tO)}] ~ Qk(b),

avec �9

Qe(b) = ~: J=, - - .

La corr61ation entre sous-intervalles d6pend donc de la fenStre et de b. Or si l 'on fait croitre b vers T la variance diminue, mais aussi l ' information pon- d6r6e (spectre adouci) par ces derniers. A la limite, on obtient un p6riodogramme non pond6r6 dont la fenStre est la juxtaposition de k fen~tres v(t) d'ouverture T. Le processus x(t) &ant stationnaire ; (35) reprend k fois la mSme valeur et (36) correspond finalement au p6riodogramme 616mentaire de longueur T.

I1 existe donc un compromis entre �9

- - l a r6duction de variance (b croit),

- - l a pond6ration du spectre (b d6crolt).

Pour la fen~tre spMroidale c = 4 ~, Thomson l'estime b = 0,29. Dans le cas d'une fenStre plus tradition-

nelle, le gain maximal en information pond6r6e baisse au moins de moiti6 ; de sorte que l 'on peut se contenter de d6terminer b par le minimum de Qk(b). Mais on notera qu'il faut b / T >~ 0,57 pour que deux sous-intervalles adjacents soient suffisamment d6corr616s. I1 y a donc, dans la zone 0,3 < b [ T < 0,6, un risque contr616 h prendre : &off le test de stationnarit6 d-U projet am6ricain. C'est pour 6viter cet 6cueil que Thomson propose, au lieu de (36), l'estimation robuste de Lloyd [13] :

k '

(38) ~v(t0) ----- E 0j(k') (gv(t~))j ; k' < k . i = t

Pour une fenfitre rectangulaire, il pr6cise :

1 k + l - - k ' O j = ~ ; O k ' - - k '

Dans le cas g6n6ral, il renvoie aux r6f6rences. Mais il est certain qu'avec k = 12 et k' ----- 6, il a am61ior6 de presque 2 d6cades l'estimation n ~ 2 de la figure 9, pour 2 r~v > 50 rad/m.

IV.4. Calcul du spectre d6finitif et recherche de la robustesse.

L'dpuration des donn6es (essentiellement par interpolation) sert 6videmment ~t 6viter que quelques grains de poussi6re ; ou certaines discontinuit6s rencontr6es ~h et lh au niveau des raccords, ne fausse intempesti- vement les mesures.

Mais on peut aller beaucoup plus loin, si l 'on observe que le processus h mesurer est finalement :

- - c e n t r 6 , et stationnaire au sens large;

- - s ta t i s t iquement r6gulier (c'est-h-dire non pr6- visible (rigoureusement) darts son ensemble);


356 M. BRAYER. - CARACTERISATION DES GUIDES CIRCULAIRES PAR L 'ANALYSE SPECTRALE

- - p r i v 6 de toute composante d6terministe : soit par un centrage correct dans le cas d'une courbure ; soit par l'61imination de raies additionnelles dues 5. un processus presque p6riodique surimpos6 (*) aux d6formations normales du guide ou de la ligne.

En effet, le th6or6me de Wold, permet alors d'affir- mer que x(t), ou plut6t ici sa discr6tisation X n , est repr6sentable [17, 18] :

a) soit par un processus ~t moyenne mobile unilat6re: +oa

(39) xn = Y~ bk ~n-~ ; k=o

b) soit par un processus auto-r6gressif, d 'ordre p fini ou non :

P (40) xn = Z ~ x n - k + ~n.

k=t

Dans ce dernier cas, certaines techniques puissantes de pr6diction peuvent &re utilis6es. Et c'est tout le m6rite de l'6quipe am6ricaine d'avoir r6ussi ~t immu- niser le spectre recherch6 contre route erreur occa- sionnelle, c'est-h-dire, contre tout 616ment ne suivant pas la loi statistique locale transport6e par les donn6es.

Le principe g6n6ral de la m6thode est le suivant : si l 'on fair passer le processus xn /~ travers un filtre lin6aire dont la fonction de transfert (**)es t A(0)), le processus 6mergent zn a pour densit6 spectrale de puissance :

(41) Sz.(0)) = Sz.(0))IA(0))[ ~ - s(0))IA(0))I ~ .

On en d6duit la formule fondamentale :

(42) S(0)) ---- Sz.,(0))/[A(0))]~ ;

dans laquelle on peut toujours choisir zn (c'est-h- dire finalement le filtre), de faqon que son spectre devienne particuli6rement stable et facile h mesurer.

Cela est d 'autant mieux r6alis6 que le processus zn se rapproche d 'un bruit blanc statistiquement ind6- pendant du processus d'entr6e Xn. Le filtre correspondant est alors appel6 filtre de pr6blanchiment. I1 6galise le mieux possible, tout au moins sur un intervalle (O )1 , 0)2) donn6, la densit6 spectrale Sz,(0)). Une 616gante fa9on de r6soudre le probl6me consiste

construire un filtre de pr6diction tel que :

(43) zn : X n - (pr6diction de Xn).

Mais la construction de ce filtre n6cessite, pour que sa pr6diction soit correc te , une connaissance pr6cise des propri6t6s statistiques de X n . C~, sont les estimations p i l o t e s pr6c6demrnent obtenues (comme par exemple (32) ou (38)) qui jouent ce r61e.

L'organisation g6n6rale de la chalne de pr6diction est la suivante :

(*) Comme par exemple un accord syntonique des longueurs d'onde guid6es sur un pas de ruban h61icoidal autour de l'h61ice. Ces processus sont imm6diatcment d6tect6s lors de l'exploration du spectre (cf. w IV.1.). (**) Elle doit, pour v6rifier (41) satisfaire h des conditions tr6s

larges de stabilit6 et d'adaptation. Celles-ci sont toujours satisfaites pour la classe des filtres autor~gressifs de prediction.

a) On cherche ~ d6terminer, en partant de (40), les coefficients ,r (d6pendant de p) minimalisant ~ k l 'erreur quadratique E(~) . Cela effectu6, la quantit6 �9

P (pl (44) fin = Z ~ x n _ x k=l

s'identifie ~ la meilleure pr6diction lin6aire (d'ordre p) du processus xn . L'erreur quadratique minimale �9

2 (45) E{(x, - - ~n) 2} = ~v

n'est jamais nulle, Xn 6tant r6gulier par hypothSse. Le filtre qui fait eorrespondre h Xn le r6sidu (Xn - - -~n)

est un filtre de pr6diction d'erreur.

b) Si xn suit la loi statistique normalement induite par son pass6 de longueur p, les r6sidus de rang n - - 1, n - - 2 .... sont totalement ddcorr61fs, entre eux comme avec x n �9 Ils poss6dent, jusqu'au 2 e ordre, les propri6t6s d 'un bruit blanc. Mais dSs que des 616ments anormaux apparaissent dans les donn6es, les p r6sidus qui suivent cet (ou ces) 616ment contamin6, deviennent erron6s.

On les corrige grfice h u n filtre de robustesse dont le fonctionnement se r6sume ainsi :

- - si les donn6es sont correctes, il les ressort telles quelles ;

- - s i les donn6es sont fortement contamin6es, il ressort leur pr6diction (construites sur les p donndes non contamin6es, ou d6j~ corrig6es, qui pr6cSdent) ;

- - dans le cas interm6diaire, il ressort une certaine combinaison (pond6ration) entre les donn6es et leur pr6diction.

Finalement, ~n reprdsentant la sortie du filtre de robustesse, c'est la quantit6

(46) Zn = ~n - - -'~n

qui est utilis6e, au lieu de (43), dans les calculs. On ne connait 6videmment ni la covariance, ni la densit6 spectrale de Z n . Mais celle-ci peut s'estimer fi partir des m6thodes pr6c6dentes convenablement simplifi6es, puisque Sz.(0)) est relativement plate (6nergie pr6blanchie). Par exemple, en discr6tisant (24) sur une longueur L' non n6cessairement 6gale /~ celle de l'enregistrement, on obtient :

L" t elo~hn 2 (47) Sz,,(0)) = Z 2n Pn �9

I I : k l

Si L' est suffisamment grand, la fen~tre ~t utiliser peut ~tre une fen~tre de Hann (cosinus sur61ev6 h 100 ~). Dans le cas contraire, les lobes de cette derni6re 6tant trop 61ev6s, il est pr6f6rable de revenir h une fen&re sph6roidale c :- 7~, ou sph6roidale compos6e.

c) D'apr6s (40) et (44) le filtre de pr6diction d'erreur a pour fonction de transfert :

P (48) A(0)) (~) 1 - - E o~lm e -j~

k=l

P _ _ ~ ,lp) e-JCohk.

ANN. T~,LI~COMMUNIC., 34, n o 5-6, 1979 18/20


en imposant d6sormais : a0 : a~ ') = 1 ," ~e~(v) : __ ~"("~ pour 1 ~<k ~ p . II vient donc, pour estimer (42) �9

(49) ~((o) = ~z:,(o~)l[A(co)(p)12.

La derni6re difficult6 h r6soudre, mais non la moindre, consiste en la d6termination des coefficients a(V) En pratique, il existe pour ce faire deux m6thodes k- diff6rentes �9

- - r 6 s o l u t i o n des 6quations de Yule-Walker;

- - factorisation spectrale.

Les 6quations de Yule-Walker (encore appel6es 6quations normales du processus AR(p) d6fini par (40)) sont constitu6es par le syst6me tin6aire h p 6quations :

(50) ~ a~"~tlX_~ = 0 : ! < k ~ p , i=u

construit sur la fonction de covariance 0tk : E{xnxn+lc} du processus X n . Sa forme matricielle est �9

(51) ~ : M at ;

avec tg. : (Ezl ' ~z 2 . . . . . ~%); ttz : (0c~', 0~') ; ... ~')) et -

M : bq ~Zo ~l ............. ~zv-~[ .

La matrice M &ant sym6trique et toeplitzienne (tous les 616merits de chaque diagonale sont ~gaux), il existe quelques algorithmes (Levinson, Durbin, etc.), permettant un calcul rapide et it6ratif du vecteur a ; donc des inconnus a~ '1. Mais l'inconv6nient majeur de cette m6thode r6side en ce que les ~ze ne sont pas connus mais seulement estimables. Au lieu de (19), on utilise les spectres pilotes (32) ou (38) darts Ies formules de base (trans- form6e discr6te ap6riodique de Fourier) �9

+oo S.(o3) = E ~:c e - j ~ ,

I r - cr~

(52) h (:~lh ~.(6o) e jt~ do~

~tk : ~ ,)-r:lh

Sur calculateur embarqu6, on peut remplacer (52) par une technique rapide de FFT; pourvu que la pr6cision sur ~x reste suffisante.

Lorsque l'entier p -+ + ~ dans (40), (44) et (45) �9 a~- -> ~rz> 0. En outre, les hypoth6ses admises au ddbut de ce paragraphe permettent d'int6grer Sx,(~o) et log~Sx,,(co) sur [--r~[h, ~z[h]. I I e n r6sulte, en d6veloppant cette derni6re expression en s6rie de Fourier, que le second membre de (48) peut s'exprimer sous la forme :

A((o) = Y, a t e -j~ k = 0

+ ~ e_Jo~h k (53) - Z c,. t n : l

= e

+ ~

= X {exp ( - - c ~ e-i~hk)} ; t i l= l

avec :

h ~ l h (54) c~ = ~ - ~ log~ Sx,,(eo) e j~ d(~ .

2 n~l-nlh

On a ainsi fac tor is~ la fonction de transfert A(o0. Une ou deux autres formes canoniques existent encore [17]. Les coefficients recherch6s ag se d6duisent de (53) par :

h (rrlh A((o) e j~ do~ . (55) a t = ~ ~-=lh

Bien entendu, ces r6sultats th6oriques doivent ~tre am6nag6s en pratique, car :

- - on ne connait pas Sx,(to), mais l 'une quelconque de ces estimations ~.(o) ;

- - l a longueur p de la pr6diction n'est jamais infinie, mais seulement optimale.

Enfin, pour r6duire la dur6e et le volume des calculs, un certain hombre d'algorithmes peuvent remplacer (55). C'est 1~ un probl6me difficile ; et nous renvoyons le lecteur h l'article original de Thomson, et aux remarques constructives qu'il a effectu6es sur les diff6rentes solutions possibles.

V. CONCLUSION

Les techniques d'estimation spectrale qui viennent d'etre examin6es apportent une aide substantielle au contr61e ou ~ la caract6risation des guides tant

la fabrication qu'au moment de leur pose. Par exemple, elles mettent imm6diatement en 6vidence, lors d 'un contr61e initial, les composantes quasi p6riodiques introduites par certains proc6d6s de fabrication. De m~me, elles permettent un distinguo entre des ph6nom6nes existant dans des plans diff6- rents sur la ligne. On sait ainsi qu'en courbure, certaines questions de nivellement peuvent devenir critiques.

Ces techniques permettent encore de pr6ciser l'influence du support 61astique plac6 entre le guide et son tube acier de protection. On peut alors optimaliser ce dernier (diam6tre et 6paisseur) pour obtenir

la fois une protection efficace de l'axe du guide contre le fond de fouille de la tranch6e, et un profil suffisamment 61astique (courbure lindaire) tout le long d'une courbure.

Mis /t part les probl6mes d'ellipticit6 et de p- d6formations qui ont d6j/l fait l 'objet d 'un contr61e tr6s serr6 en usine, c'est le spectre des courbures r6siduelles sur lequel porte actuellement le maximum d'attention. Il se d6compose en deux parties bien distinctes :

- - les courbures r6siduelles du guide 616mentaire. C'est un crit6re de qualit6 h la fabrication ;

- - les courbures r6siduelles de la ligne, ou serpen- tine. Elles d6pendent du support 61astique pr6cddent,

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358 M. BRAYER. - CARACTI~RISATION DES GUIDES CIRCULA|RES PAR L'ANALYSE SPECTRALE

et de l 'homog6n6it6 de la conduite r6alis6e en raccor- dan t pas ~. pas les tubes d 'ac ier . C 'es t cette fois un crit6re de la quali t6 de l ' ins ta l la t ion et de la pose.

Ce spectre a typ iquement une forte 6tendue des ampli tudes . D 'o / t l ' in t6r& de tenir compte , lors des enregistrements , de la fonct ion de t ransfer t en courbure des disposit ifs de mesure. Les proc6d6s de fabr ica t ion conservent tou jours (manipula t ions , convoyages, etc.) quelques composan tes pseudo-p6r iodiques . L ' e r r eu r de biais in t rodui te pa r les est imateurs convent ionnels devient a lors si impor tan te , que la p lupa r t des tubes g6om6tr iquement sains seraient alors impi toyab lemen t rejet6s.

C 'es t la ra ison pour laquelle la p lupa r t des auteurs [4, 5, 9] pr6conisent d ' e s t imer la densit6 spectrale en courbure pa r la formule :

n=~oZnVn e_Jo~h, n 2 (0 4 g ( ~ ) =

I1 - - P e-JP'ho - - P' e-jphol2 ~=,,~"~k e-Joh'P 2

dans laquelle le lecteur reconnai t ra sans peine le module cart6 de la fonct ion de t ransfer t en courbure du d ispos i t i f de mesure, le spectre estim6 sor tant du filtre de pr6blanchiment , et la fonct ion de t ransfer t en puissance de ce dernier.

Manuscrit r e f u l e l0 juillet 1978,

Acceptd le 18 ddcembre 1978.

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ANN. TI~LI~COMMUNIC., 34, n ~ 5-6, 1979 20/20

caractérisation des guides circulaires par l’analyse spectrale de leurs défectuosités

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