canal radio rayleigh pr ceux qui veuleut les demonstrations

Etude des canaux de Rayleigh

et des canaux sélectifs

Diversité de Transmission

Master en Science de l’ingénieur Electronique et Systèmes de Communication ESCO

Vallet Robert Département COMELEC ENST 46 rue Barrault 75634 Paris Cedex 13 Email : [email protected] Tél. 33 1 45 81 76 33 Fax 33 1 45 89 00 20

R. Vallet Canaux de Rayleigh et canaux sélectifs 1 19/10/04

Table des Matières

LES CANAUX DE TRANSMISSION SÉLECTIFS .......................................................1 Introduction..............................................................................................................1 Les différents canaux de transmission .....................................................................1

Les canaux stationnaires ......................................................................2 Les canaux non stationnaires ...............................................................2

Performances sur un canal à bruit additif blanc gaussien .................................................3 Performances des modulations binaires...................................................................3

Transmission dans un canal de Rayleigh ..........................................................................6 Equivalent en bande de base ....................................................................................6 Le canal de transmission radioélectrique élémentaire ou rayon ..............................6 Définition d'un canal de Rayleigh............................................................................6 La probabilité d’erreur sur un canal de Rayleigh ....................................................8

Loi du module du gain instantané.........................................................8 Loi du rapport signal sur bruit instantané............................................9 Performance d’une modulation MDP2 dans un canal de Rayleigh ...10 Conclusions.........................................................................................11

Techniques de Diversité ..................................................................................................12 Notions de diversité ...............................................................................................12 Diversité de transmission.......................................................................................12

Le détecteur optimal cohérent ...........................................................12 Probabilité d’erreur............................................................................13 Probabilité de non-fonctionnement (Poutage en anglais US) ............14

Codage sur les canaux à évanouissements.............................................................15 Décodage à entrée pondérée ..............................................................15 Probabilité d’erreur dans un canal de Rayleigh à gains

indépendants ............................................................................................16 Diversité de réception ............................................................................................17

Eléments de propagation radio-mobiles..........................................................................19 Introduction............................................................................................................19

Affaiblissement en fonction de la distance..........................................19 Effets de Masque : Loi Lognormale 4 1dBdB dB2α< < ......................20

Les canaux de transmission dispersifs non stationnaires. ...............................................22 Présentation simplifiée...........................................................................................22

Le canal de Rummler ..........................................................................22 Spectre Doppler ..................................................................................23

Présentation générale des canaux de transmission linéaires non stationnaires......24


Réponse impulsionnelle instantanée...................................................24 Mesure de la réponse impulsionnelle instantanée..............................24 Fonction de transfert instantanée d'un filtre non-stationnaire...........25 Fonction de corrélation en temps et en fréquence..............................25 Variations fréquentielles, durée d'étalement, bande de cohérence ....26 Variations temporelles, Etalement ou fréquence Doppler, durée de

stationnarité.............................................................................................28 Fonction d'étalement du canal, (Scattering Function) .......................28

Exemple : Le canal de Transmission GSM.....................................................................31 Modèles de canaux COST 207 ..............................................................................31 Conclusion .............................................................................................................33

Annexes...........................................................................................................................34 Annexe 1 ................................................................................................................34

Loi du rapport S/B avec une diversité d'ordre L. ...............................34 Annexe 2 : ..............................................................................................................34

Calcul des performances d'une transmission avec diversité ..............34 Annexe3 .................................................................................................................35

Calcul direct du spectre Doppler........................................................35 Références..............................................................................................................36


LES CANAUX DE TRANSMISSION SÉLECTIFS

Introduction Nous assistons à un développement très rapide des communications mobiles. Le développement de la technologie et l’optimisation des algorithmes de traitement de l'information permettent de réaliser des mobiles de taille réduite. (Poids < 100 g). Un mobile doit pouvoir rester dans la poche d’un vêtement sans la déformer. L’utilisateur est prêt à payer pour un service simple à utiliser, fiable en toutes circonstances et en tout lieu : A l’intérieur d'un immeuble, d'un bureau, dans un appartement, dans une voiture ou dans une maison de campagne. Le canal de transmission a un rôle ombilical. De ses performances résulteront la qualité de service, la couverture et aussi le nombre d’utilisateurs simultanés, donc les revenus pour les opérateurs. La puissance du signal reçu par un mobile dépend de la puissance émise par la station de base correspondante, de l’affaiblissement dû à la distance de propagation, de l’affaiblissement provoqué par des masques présents sur le trajet radio électrique et de la recombinaison des différentes ondes radioélectriques qui se propagent de l’émetteur vers le récepteur. Tous ces paramètres vont évoluer très rapidement au cours du temps à cause du déplacement du mobile. La largeur de la bande de fréquence allouée pour réaliser l’ensemble des communications mobiles est somme toute très faible. L’ensemble des 2 opérateurs du système GSM 900 dispose de 25 MHz dans chaque sens de transmission pour plus de 15 millions d’utilisateurs. Dans une première partie, on présente les caractéristiques d’un canal de transmission de Rayleigh et les performances obtenues lorsque l’on utilise une modulation numérique binaire antipodale (MDP2, MDP4). Dans une deuxième partie, on montre que les différentes méthodes de diversité de transmission, de réception et de codage sont des moyens très efficaces pour transmettre sur un canal de Rayleigh à gains indépendants. Dans la troisième partie, on s’intéresse aux canaux sélectifs stationnaires et non stationnaires. On montre pour quelles modulations numériques ces canaux peuvent être considérés comme des canaux de Rayleigh à gains indépendants. Dans une quatrième partie, on présente les caractéristiques du canal radio mobile et des paramètres de la liaison radio du système de communications mobiles GSM.

Les différents canaux de transmission Les canaux de transmissions peuvent êtres classés en deux groupes Les canaux stationnaires dont les paramètres sont fixes au cours du temps : fibres optiques, câbles métalliques...

R. Vallet Canaux de Rayleigh et canaux sélectifs 1/40 19/10/04

Les canaux non stationnaires dont les paramètres évoluent au cours du temps : les communications avec les mobiles, communications sans fils ‘wireless’.

Les canaux stationnaires Parmi les canaux stationnaires, le plus utilisé, celui sur lequel l'évaluation des performances des systèmes de communications est aussi la plus simple est le canal AGB (bruit Additif Gaussien Blanc ) ou AWGN (Average White Gaussian Noise). Ce canal de transmission est rencontré dans les transmissions par faisceaux hertziens à faible débit ou dans les liaisons entre des satellites ou des sondes spatiales et des stations terriennes, c’est l’ensemble des transmissions radio électriques en espace libre. L'Ellipsoïde de Fresnel est dégagé de tout obstacle. L'ellipsoïde de Fresnel est défini par l'ensemble des points tel que la différence de longueur entre le trajet direct et le trajet réfléchi sur le point considéré est d'une demi-longueur d'onde. Les deux signaux correspondant atteignent l'antenne de réception en opposition de phase, s'ils ont la même amplitude, le signal composé de leur somme (fonction normale d'une antenne) est nul. Soit d la distance émetteur récepteur, le grand axe de l'ellipsoïde, le petit axe a pour demi-longueur h dλ= . Il est bien évident que cet ellipsoïde n'est pas dégagé dans le domaine des communications radio mobiles. Dans les communications par faisceaux Hertziens et satellites terre, ceci nécessite la construction d'infrastructures un peu trop voyantes et contraignantes pour l'utilisateur. Les canaux sélectifs comportent un filtre linéaire et un bruit AWGN. Ceci représente beaucoup de systèmes de transmission sur câbles métalliques ou sur fibres optiques.

Les canaux non stationnaires Les canaux de Rayleigh où le gain complexe du canal est un processus aléatoire gaussien complexe, par exemple les communications radio mobiles à faible débit. Les canaux sélectifs non stationnaires, qui comportent un ensemble discret ou continu de canaux de Rayleigh associés à des temps de propagation différents. Ils peuvent être représentés par un filtre linéaire non stationnaire, par exemple les communications radio mobiles à haut débit.

Classification de canaux de transmission

Canaux de transmission

Non sélectifs Sélectifs

Stationnaires

Signal

Bruit blanc gaussienN0

2Signal+bruit

D.S.P.

Filtre linéaireSignal


2Signal filtré +bruit

D.S.P.

H f( ) Non

stationnaires Signal


2Signal+bruit

D.S.P.Processus gaussiencomplexe

Filtre linéaire non stationnaire

Signal


2Signal filtré +bruit

D.S.P.

H f ;t( )


Performances sur un canal à bruit additif blanc gaussien Ce petit rappel sur les modulations linéaires transmises sur un canal AGB est réservé aux néophytes ou à ceux qui ont encore quelques doutes.

Performances des modulations binaires Les modulations d’Amplitude en Quadratures (MAQ) sont des modulations linéaires représentées par la relation.

(I.1)

( ) ( )kk

s t d g t kT+∞

=−∞

= −∑Où les symboles d appartiennent à une constellation, ou ensemble de M points d’affixes

complexes, en général un sous-ensemble du réseau Z2. La fonction de mise en forme spectrale est une fonction en “racine de Nyquist” c’est à dire que sa transformée de

Fourrier G f satisfait la condition.

k

( )g t

( )

2

constanten

nG fT

+∞

=−∞

− =

∑ (I.2)

Le schéma de principe d'une modulation MAQ est représenté sur la figure I-1, celui du récepteur associé à une modulation MAQ transmise sur un canal AGB sur la figure I-2. Le schéma de principe correspondant à l'ensemble modulation et démodulation, en équivalent en bande de base, est représenté sur la figure I-3. Dans ce document, nous ne nous intéresserons qu’aux canaux de transmissions linéaires, donc nous utiliserons toujours la représentation en équivalent en bande de base des signaux et des filtres linéaires. Cette représentation est sans doute acquise et parfaitement maîtrisée. Nous utiliserons la représentation suivante du signal réel à bande étroite ( ) ( ) ( )02 cos2 2 sin 2r p qs t s t f t s t f t= π − 0π (I.3)

et de son équivalent en bande de base ( ) ( ) ( )p qs t s t js t= + (I.4)

Qui possède l'intérêt de conserver la norme des signaux, donc la puissance et l'énergie. La modulation de phase à deux états MDP2 est un cas particulier d'une modulation linéaire générale MAQ, où les valeurs des symboles sont réelles et antipodales { },n bd E∈ − bE . Le

détecteur cohérent est composé d'un démodulateur cohérent, d'un filtre adapté de réponse impulsionnelle ( ) ( )rg t g t= − , d'un échantillonneur et d'un comparateur à seuils. Si les

filtres d'émission et de réception sont normés, le signal à l'entrée de l'échantillonneur est défini par n ny d bn= + (I.5) Où le bruit { } est complexe blanc gaussien de variance et est l'énergie par élément

binaire du signal réel passe bande transmis. La distance Euclidienne d entre les signaux réels est définie par

nb 0N bE


s t( )

Signal réel passe bande

αs t( ) = sp t( ) + jsq t( )

Equivalent en bande de base

sp t( )

sq t( )

+

-

ep t( ) = dpkk = −∞

∞

∑ δ t −kT( )

eq t( ) = dqkk = −∞

∞

∑ δ t − kT( )

g t( )

g t( )

2 cos2πf0t

2 sin 2πf0t

Figure I-1 Schéma de principe d'un modulateur sur fréquence porteuse

Passe bas

αs t( )= sp t( ) + jsq t( )


s t( )

Signal réel passe bande

s t( )

Passe bas

sp t( )

sq t( )

Re gr t( ){ }

Re gr t( ){ }

Im gr t( ){ }

Im gr t( ){ }

++

-+

t0 + nT

t0 +nT

ˆ d qn

ˆ d pn

Filtre de réception

2 cos2πf0t

− 2 sin 2πf0t

Figure I-2 Schéma de principe d'un démodulateur sur fréquence porteuse

t 0 + nT

ˆ d qn

α s t( ) = sp t( ) + jsq t( )


Bruit équivalent en bande de base

e t( ) = dkk = −∞

∞

∑ δ t − kT( )gr t( )g t( )

Filtre d'émission

Filtre de réception

Figure I-3 Schéma de principe, en équivalent en bande de base d'une

transmission sur fréquence porteuse

( ) ( )( )( ) ( ) ( )2 22 2

_

4b b b bd E g t E g t g t dt E E∞

∞

= − = +∫ bE= (I.6)

Soit 2 bd = E (I.7)

Après transmission dans un canal AGB, les performances d’une modulation binaire sont définies à partir de la distance entre les signaux à discriminer par :

2

02edP QN

=

(I.8)

Où Q x est la fonction de Marcum ( )

( )2

212

u

x

Q x due∞

−=π∫ (I.9)

Ou à partir de la fonction erfc(.)

( ) 12 2

xQ x erfc =

(I.10)

Pour une modulation binaire à valeurs antipodales, on utilise les relations (2) et (3) pour obtenir la relation de référence de la probabilité d'erreur par bit.


0

2 be

EP QN

= (I.11)

Elle ne dépend que de l'énergie par bit et de la densité spectrale du bruit additif. 0 / 2N

Performances des modulations binaires antipodales. Les performances de cette modulation représentent la référence en communications numériques. Deux chiffres, dont on peut se souvenir : 7,8% d’erreurs à O dB et 10-5 à 9,6 dB. Un majorant usuel, souvent utilisé pour obtenir un majorant de la probabilité d’erreur des codes correcteurs d’erreurs

0 5 10 1510

-10

10-8

10-6

10-4

10-2

100Modulations Binaire antipodale TEB dans un canal à bruit additif blanc gaussien

Eb/N0 en dB

TEB

Modulation binaire antipodale

( )2

212

x

Q x e−≤ (I.12)

Notons que ( )( )( )2

0

12

nb

n

Var yEN E y

= (I.13)


Transmission dans un canal de Rayleigh

Equivalent en bande de base Les signaux transmis sur un canal radioélectrique sont toujours à bande étroite, de largeur de bande cB , petite devant la valeur de la fréquence porteuse 0f , donc 0 cf B>> . Soit ( )s t le

signal réel émis ( ) ( ) ( ) ( )02

0Re 2 2 cos 2j f ts ss t t t f t te πα α π = = sφ+ (I.14)

Où ( ) ( ) ( )sj ts st t e φα α= est l'enveloppe complexe ou l'équivalent en bande de base associé au

signal à bande étroite pour la fréquence porteuse ( )s t 0f . ( )s tα et ( )s tφ sont

respectivement l'enveloppe et la phase instantanée du signal ( )s t .

On peut aussi utiliser la représentation en phase et en quadrature ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02

0 0Re 2 2 cos 2 2 sin 2j f ts p qs t t s t f t s t f te πα π = = − π (I.15)

avec ( ) ( ) ( )qt s t js t= +s pα

Le canal de transmission radioélectrique élémentaire ou rayon Un canal de transmission élémentaire est caractérisé par un gain, une phase associée aux coefficients de réflexion, un temps de propagation relié à la longueur du rayon considéré

lc

τ = et à la vitesse de propagation proche de celle de la lumière. Soit l’expression du signal

réel à bande étroite reçu ( ) ( ) ( ) ( )02 cos 2sr t t f t tsα α τ π τ φ τ= − − + − +φ (I.16)

et de son équivalent en bande de base ( ) ( ) ( )0exp 2s sr t t j f tα α τ π τ φ τ φ= − − + − +

Soit ( ) ( ) 02. j fsr t t e π τα α τ −= − (I.17)

La rotation de phase est produite par les coefficients de réflexions mais surtout par le produit 02 fπ τ temps de propagation*fréquence porteuse. Un allongement de la longueur du rayon

d'une demi-longueur d'onde, produit un temps de propagation supplémentaire 2Cλτ∆ = ,

donc une rotation de phase de 0 02 22

f f rC

dsλφ τ∆ = π ∆ = π = π .

Exemple GSM : f0 =900 MHz -> λ=30 cm.

Définition d'un canal de Rayleigh Si le signal émis est une modulation numérique MDP2, le signal reçu par un trajet physique m , de gain , lentement variable, et de temps de propagation ( )m tα mτ fixe, pour simplifier, a


pour expression

r t( ) ( ) ( ) 02 mj fm m k m

k

t d g t kT e π τα τ+∞

−

=−∞

= − −∑ (I.18)

Un canal de Rayleigh peut être représenté par un canal composé d’un grand nombre de canaux indépendants, de temps de propagation quasiment identiques et de l’addition d’un bruit additif blanc gaussien. Le signal reçu a pour expression

( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )01 1

exp 2M M

m m k m mm m k

r t r t t d g t kT j f b tα τ π+∞

= = =−∞

= = − − − +∑ ∑ ∑ τ

( )+

+

)m

On permute les signes sommes

( ) ( ) [ ] ( )01

exp 2M

k m m mk m

r t d t j f g t kT b tα π τ τ+∞

=−∞ =

= − − −∑ ∑

soit ( ) ( ) ( );kk

r t d h t t kT b t+∞

=−∞

= −∑

Dans le cas général, la fonction ( ) ( ) [ ] (01

; exp 2M

m mm

h t u t j f g uα π τ τ=

= −∑

m

− ne satisfait plus

le critère de Nyquist, le récepteur doit contenir un égaliseur adaptatif. Mais, si on considère que les différents temps de propagation τ sont quasiment identiques par rapport à la durée d’un symbole d’information mτ τ≈ , m Tτ τ− << , mais pas nécessairement par rapport à la

période de la porteuse, de sorte que 0 1/T = 0f ( )0 1mf τ τ− >> , on a alors la double inégalité

00

1mT T

fτ τ= << − << .

On s'assure ainsi que les différents gains complexes sont statistiquement indépendants. D’où une expression particulièrement simple du signal reçu

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02

1

. .mM

j fk m

k m

r t d g t kT t b t c t s t b te π ττ α τ+∞

−

=−∞ =

= − − + = − +∑ ∑A la sortie du filtre adapté, à l'instant .n T τ+ , si l'IES est nulle, on obtient simplement n n ny c d bn= + (I.19)

Le gains évoluent lentement au cours du temps, pour obtenir un canal à gain indépendants, on utilise un entrelaceur à l’émission et un désentrelaceur en réception suffisamment long []. Définition : Un canal de Rayleigh, représenté en équivalent en bande de base, est composé d’un canal AGB à temps discret précédé d’un gain aléatoire c à valeurs complexes

, de loi gaussienne. n

,nj

n n r n ic ce φρ= = + ,njc

Les parties réelles et imaginaires du gain instantané sont gaussiennes centrées, indépendantes et de variances identiques 2σ . Le schéma de principe d'un canal de Rayleigh, à temps discret, est représenté sur la figure ci après. Le gain instantané complexe représente l'effet de la transmission par trajets multiples. C'est effectivement un inconvénient comme on le verra sur les performances, qui sont très mauvaises. Mais c'est aussi un avantage très important puisque la présence de réflexions et de diffractions très nombreuses permet de réaliser une transmission radio électrique sans que le récepteur soit en vue directe de l'émetteur. En R. Vallet Canaux de Rayleigh et canaux sélectifs 7/40 19/10/04

pratique on utilise un canal de Rayleigh dans une transmission radio électrique sans vue directe entre l’émetteur et le récepteur.

Bruit blanc gaussien complexeProcessus gaussien

complexe

cn

yn

variance 2σ 2

dn

bn

variance N0

γ n = cn2 Eb

N0

Le canal de Rayleigh

La probabilité d’erreur sur un canal de Rayleigh On suppose que l’on connaît la valeur c du gain du canal pour chaque symbole transmis d . Pour une valeur connue, la probabilité d’erreur sur le symbole d est donnée par celle

obtenue par la même modulation sur un canal AWGN mais avec une énergie par bit reçue

n n

nc n

2 2,b n n b n bE c E Eρ= = (I.20)

Soit la probabilité d’erreur conditionnellement à un gain connu c n

( ) ( )2

0

2 n be n e n

EP c P QN

ρρ

= = (I.21)

On définit le rapport signal sur bruit instantané par 2

0

n bn

EN

ργ =

n

. D’où l’expression de la

probabilité d’erreur pour un rapport signal sur bruit instantané γ

( ) ( )2e n nP Qγ γ=

La probabilité d’erreur moyenne, peut être évaluée par l’intégrale suivante sur la loi du rapport S/B instantané ( ) ( ) ( ) ( )

0 02e e n n n n nP P p d Q p d nγ γ γ γ γ γ

∞ ∞= =∫ ∫ (I.22)

Pour effectuer cette intégrale, nous allons déterminer la loi du module du gain instantané et ensuite celle du rapport signal sur bruit instantané.

Loi du module du gain instantané Le module nρ du gain instantané suit une loi de Rayleigh

2

222( )

nn

nP eρσ

ρρσ

−= (I.23)

Avec { }2 22nE ρ σ=

D’où le nom donné à ce canal de transmission particulier. Preuve : On pose ; soit ,

njn n r n ic ce φρ= = + ,njc ( ) ( ), , , ,, ,r n i n r n i n n n n nP c c dc dc P d dρ φ ρ= φ

et ( ) ( ) ( )2

22, , , , 2

1,2

nc

r n i n r n i nP c c P c P c e σσ

−=π

Le changement de variable est : , cosr n n nc ρ φ= et c , sini n n nρ φ=


Le Jacobien de la transformation est :

, ,

, ,

sin coscos sin

i n r n

n n n nn

n n n ni n r n

n n

dc dcd d

Jdc dcd d

ρ ρ φ φρ

ρ φ ρ φφ φ

= = =−

d’où ( ) ( )2

22, , 2, .2

nn

n n r n i nP P c jc J eρσ

ρρ φσ

−= + =π

Soit ( ) ( )2

22

220

,n

nn n n nP P d e

ρσ

ρρ ρ φ φσ

π −= =∫ . (I.24)

La moyenne du module du gain instantané est { }2nE πρ σ= et { }2 22

nE ρ σ= .

Loi du rapport signal sur bruit instantané

Le rapport signal sur bruit instantané est défini par :

2

0

n bn

EN

ργ = (I.25)

Le rapport signal à bruit moyen est défini par l’espérance mathématique du rapport signal sur bruit instantané

{ }2 2

0 0

2n b bE E E

N Nρ σγ = = (I.26)

La loi du rapport signal sur bruit est définie à partir de celle du module du gain instantané

par le changement de variable 0nn

b

NE

γρ = .

( ) ( )n n nP d P d nρ ρ γ= γ et le Jacobien 012

n

n n

d NJd E

ργ γ

= =b

soit ( )0

2 2

0

0

02 222

0

1 122

n

b n

b

n NE

b EnNbn b

NE NP

EEN

e eγ

1 n

eγ γ

γσ σ

γ

γσσ γ

− −= =γ

−=

Le rapport signal sur bruit instantané suit une loi exponentielle de paramètre γ

( ) 1 n

nP eγγγ

γ−= (I.27)

Cette relation, somme toute très simple, est utilisée pour calculer les performances des modulations numériques transmises sur un canal de Rayleigh. Nous allons l’appliquer à la modulation MDP2.


0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1Figure 1 : Lois de Rayleigh et loi exponentielle variance = 1

x

densitédeprobabilité

Loi de rayleighLoi exponentielle

Figure 1 Loi de Rayleigh et loi exponentielle

Performance d’une modulation MDP2 dans un canal de Rayleigh Pour un rapport signal sur bruit instantané nγ , la probabilité d'erreur associée à une

modulation MDP2 démodulée en cohérent est ( ) ( )2nP Q nγ γ= . Soit l'expression de la

probabilité d'erreur moyenne :

( )0

1 12 12 1

n

e n nP Q deγγ

γγ γγ γ

∞ − = = +

∫ − (I.28)

On réalise une intégration par parties

( )2

2

2

122

n

w

nu Q dweγ

γ∞

−= =π ∫ => 1

2 2n n

n

ddu e γ γγ

−−=

π

1 n

ndv deγγ γ

γ−= =>

n

v eγγ

−= −

( )0 0

122 2

n nn n

e nn

dP Qe e eγ γ γγ γ

γγγ

∞ ∞− − − = − + π ∫

−

Soit 1

0

1 12 2 2

n ne

n

dP eγγ

γγγ

∞ +−

= −π∫

On réalise le changement de variable suivant

1 2 nw γ γ

γ +

=

d'où 12

n

n

ddw γ γγ γ

+=

,

Pour obtenir l'intégrale d'une fonction gaussienne normalisée.

2

2

0

1 12 1 2

w

eP deγγ

∞ −

= − + π ∫ w

d'où 1 12 1eP γ

γ

= − +

(I.29)

Lorsque 1γ >> , la probabilité d'erreur moyenne tend vers


1 1 1 11 1 1lim 12 2 21eP

γ

14γ γ

γ→∞

= − = − − = +

14ePγ

= (I.30)

On peut généraliser le calcul effectué aux autres modulations numériques, MAQ, FSK, détection cohérente ou non cohérente, on propose au lecteur attentif de compléter l’exposé, sinon on peut se référer à Proakis 1989. Sur la figure suivante, on compare les performances d'une modulation MDP2 transmise sur un canal AGB et sur un canal de Rayleigh. Pour une probabilité d'erreur de 10-3, il faut un rapport s/b de 24 dB sur un canal de Rayleigh alors que 6,5 dB suffisent sur un canal AWGN.

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 5010-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100TEB dans un canal de Rayleigh

Eb/N0 en dB

TEB

1/(4*Eb/N0)TEB RayleighTEB gaussien

Figure 2 Taux d'erreur binaire sur un canal de Rayleigh

Conclusions

Les performances d’une modulation numérique transmise sur un canal de Rayleigh sont très mauvaises. La figure 2 le montre aisément. La technique, générale, qui permet d’obtenir de bonnes performances est la diversité. C’est l’objet du prochain chapitre.


Techniques de Diversité

Notions de diversité La notion de diversité est très importante pour l'étude des systèmes de communication sur les canaux de Rayleigh. Un message est transmis en même temps sur deux ou plusieurs canaux de Rayleigh indépendants entre eux. Exemples : - Un même message est transmis sur deux porteuses suffisamment espacées en fréquence. On parle alors de diversité en fréquence, ou sur deux intervalles de temps suffisamment espacés. - On peut utiliser deux ou plusieurs antennes de réception suffisamment espacées ( demi ou quart de la longueur d'onde de la porteuse), c'est une diversité de réception.

- On peut réaliser un codage correcteur d'erreurs de rendement R= kn

et transmettre chaque

élément d'un mot de code de façon indépendante.

Diversité de transmission Un élément binaire d'énergie est transmis sous la forme de symboles d'énergie identique

bE L

c bE E= L .

Les différents canaux ont le même gain carré moyen { }2 1iE c = .

Le rapport signal sur bruit moyen par branche est 0

cc

ELN

γ γ= = .

Le rapport signal sur bruit moyen est { }2

0 0

i b bb

E c E EN N

γ = = .

L’énergie moyenne reçue par symbole sur l’ensemble des L branches est . r bE E=

Le détecteur optimal cohérent

Pour simplifier, on omet l'indice temps n. On définit les vecteurs complexes de dimension L : Les gains instantanés des canaux { }1 2, ,....,T

Lc c c=c , le vecteur de bruit additif blanc gaussien

{ }1 2, ,....,TLb b b=b

{de variance (et non comme sur la figure) et l’observation 0 / 2N 02N

}1 2, ,....,TLz z z=z . Elle est représentée par l’équation cd E= +cz . Le récepteur selon le

critère du maximum de vraisemblance (M.L.) recherche la valeur du symbole

b

{ }ˆ 1, 1∈ − +d

telle que la norme 2ˆ

cd E−z c soit minimale.

Soit le critère de décision M.L. ( )( )ˆ Re ( )Td sign sign y= =z c (II.1)


donnée émise

Bruit blanc gaussien complexe

Processus gaussien complexe

Sommateur

c 1c1

c2

c Lc L

c 2

b1

b2

bL

var iance 2N0

Filtre adapté

Détecteur à seuil

Canal

Emetteur

Récepteur

z1

z2

zL

y ˆ d

d EbPartie Réelle

et

Schéma de principe d'une diversité de transmission d'ordre L.

Probabilité d’erreur La distance Euclidienne minimale est définie par 22 4 cd E= c (II.2)

Soit l’expression de la probabilité d'erreur pour un rapport signal sur bruit 2

0

cEN

γ =c

donné

(22

0 0

22

2c

eEdP Q Q Q

N N )γ = = =

c (II.3)

Chaque voie est un canal de Rayleigh donc ces v.a. sont de loi exponentielle. La loi de γ est le produit de convolution de l’ensemble des L lois de mêmes paramètres. Le résultat est calculé en Annexe par récurrence sur le produit de convolution de fonctions exponentielles. La loi du rapport signal sur bruit instantané, pour une transmission de diversité de trajets d’ordre L , est définie par

( ) ( )11

1 !i

cL

L i iLc

PL e

γγγ γ

γ−−=

− (II.4)

Avec { }c E kγ γ= est le rapport s/b moyen par trajet, il est le même sur tous les trajets.

Pour un démodulateur MDP2 cohérent, on calcule la probabilité d'erreur moyenne par la relation suivante, voire annexe,

( )0

2e L i iP P Q d iγ γ γ∞

= ∫ ( )

1

0

21 !

i

c

Li

i iLc

Q dL e

γγ

γ γ γγ

∞ −−=

−∫

On pose 1

c

c

γµγ

=+

d'où ( )21

2 11

1 12 4

lLl

eb ll

P C µµ−

−=

−= − −

∑ 1

(II.5)

Pour une modulation MDP2, la probabilité d'erreur exacte est aussi calculée dans Proakis


1983 p. 474 , elle est exprimée sous une forme un peu différente

et 1

10

1 12 2

L kLk

e L kk

P Cµ µ−

− +=

− + =

∑

(II.6)

1 1lim 2cγ

µ→∞

+= ; 1 1

lim 2 4c cγ

µγ→∞

−=

La valeur asymptotique pour γc >>1 est obtenue à partir de 1 1lim 2cγ

µ→∞

+= ; 1 1

lim 2 4c cγ

µγ→∞

−=

par la relation très utilisée

2 11

4

LL

eb Lc

P Cγ−

≈

(II.7)

La visualisation des performances dans un canal de Rayleigh est donc caractérisée par la pente des courbes pour γc >>1. On représente habituellement les performances d’un système sur le graphe de la fonction eLogP 2 1 ,. 4 .L

e L cLogP LogC L Log Cste L c dBγ γ−= − = −

La pente des courbes permet de déterminer le coefficient de diversité équivalent d'un système. .

Probabilité de non-fonctionnement (Poutage en anglais US) La Probabilité de non-fonctionnement Pout est la probabilité pour que le système considéré fonctionne avec une probabilité d'erreur inférieure à un seuil Pth fixé, pour un rapport signal sur bruit moyen γ. On définit un seuil de rapport signal sur bruit γth correspondant, par la

relation ( ) 122

th

th thP Q e γγ −= < . Pour réaliser des calculs plus simples, on utilise la borne

supérieure de la probabilité d'erreur d'une modulation binaire. La Probabilité de non-fonctionnement Pout est définie à partir de la loi du rapport signal sur bruit instantané pour une transmission en diversité d'ordre L L sur un canal de Rayleigh


0 5 10 15 2010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 TEB dans un canal de Rayleigh avec une diversité de transmission

Eb/N0 en dB

TEB

L=1L=2L=3L=5L=10gaussien

( ) ( )11

1 !c

LL L

c

PL e

γγγ γ

γ−−=

−

Soit ( )0

th

out LP P dγ

γ γ= =∫ ( )1

0

11 !

th

cL

Lc

dL e

γ γγγ γ

γ−−

−∫ =( )

1

0 1 !

th

c Luu du

L eγγ −

−

−∫

Après L-1 intégrations par parties, on obtient

1

0

1!

th

c

l

thL

cout

l

Ple

γγ

γγ−

−

=

= −

∑

Pour Pth = 10-3 , L=1 => Pout =30% et pour L=4 => Pout =10-3.

Codage sur les canaux à évanouissements On évalue les performances des codes en bloc pour un décodeur à entrée pondérée et pour un décodeur à entrée non pondérée. Les performances obtenues sont très différentes, elles justifient l'emploi de décodeurs à entrée pondérée malgré leur plus grande complexité.

Décodage à entrée pondérée On considère des codes en bloc ( , : min, )n k d

Taux de codage = ckRn

= (II.8)

et est la distance minimale du code, c’est à dire le nombre de symboles codés différents

minimum entre deux mots quelconques du code. mind

Les symboles sont transmis à l’aide d’une modulation binaire antipodale. On suppose que les symboles d’un mot de code sont transmis sur un canal de Rayleigh avec des gains indépendants. On peut se ramener au problème précédent de la transmission en diversité. On cherche à déterminer la probabilité d’erreur entre deux mots du code à la distance minimale. On peut considérer le schéma de transmission parallèle précédent avec n branches, l’entrée de chaque branche est le symbole associé de l’un des k mots du code en bloc utilisé. Recherche du récepteur optimal Avec les mêmes notations vectorielles, cette fois ci en dimension n des gains, du bruit et des observations, on introduit le vecteur de données { }1 2, ,......,T

nd d=d d .

Le récepteur optimal, selon le maximum de Vraisemblance, recherche le mot de code

{ }1 2ˆ ˆ ˆˆ , ,......,T

nd d d=d tel que la norme 2ˆ 2 cE−z d co sera minimale, par rapport à

l’ensemble des mots du code, où est le vecteur produit composante par composante. La modulation est binaire et antipodale, donc la détection peut se mettre sous la forme

d̂ co

( ){ }ˆReˆTMax

Code∈z c d

do . (II.9)


Prenons un exemple très simple, le code (7,3,4) défini, de façon exhaustive, par la liste des mots du code et des bits d’information correspondants et la troisième colonne représente les symboles transmis sur les n branches du canal de transmission avec 3 / 7c bE E= . Bits d’information Mots de code Signal émis 000 0000000

cE (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1) 001 0011101

cE (-1,-1,1,1,1,-1,1) 010 0100111

cE (-1,1,-1,-1,1,1,1) 011 0111010

cE (-1,1,1,1,-1,1,-1) 100 1001110

cE (1,-1,-1,1,1,1,-1) 101 1010011

cE (1,-1,1,-1,-1,1,1) 110 1101001

cE (1,1,-1,1,-1,-1,1) 111 1110100

cE (1,1,1,-1,1,-1,-1)

On note que tous les mots sont à la même distance de Hamming les uns des autres, donc les signaux associés sont à la même distance Euclidienne. Laissons au lecteur le soin de déterminer la figure géométrique correspondante, ce qui est en dehors de notre propos.

Probabilité d’erreur dans un canal de Rayleigh à gains indépendants Décodeur à entrée pondérée

Les modules des gains des n canaux sont des v.a. IID de Rayleigh. Supposons que l’on cherche à décider entre les mots de code 0000000 et 0111010 soit entre les signaux transmis

cE (-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1) et cE (-1,-1,1,1,1,-1,1).

Le critère de détection ML a pour expression ( ) ( ){ } ( ){ }Re 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1 . ' Re ( 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1).z c z c>

<− − − − − − − − − + + + − +o o

Seules les composantes 3, 4, 5 et 7 sont différentes. Ce critère se réduit à

Bruit blanc

gaussien complexeProcessus gaussien

complexe

Sommateur

c1c1

c2

c2

b1

b2

var iance 2N0

Filtre adapté

Détecteur à seuil

Canal

Emetteur

Récepteur

z1

z2

y d̂

d1

Ec

d2

Ec

dn

Ec

cn

bn c

n

Mot de code

zn

Récepteur associé à un code en blocs k/n.


( )3 3 4 4 5 5 7 7Re 0z c z c z c z c ><

+ + +

C’est un critère équivalant à celui obtenu pour une diversité de transmission d’ordre

L=dmin =4. L’énergie par symbole codé, par trajet, est 37c bE E= et 3

7c bγ γ= . Donnons

simplement la probabilité d’erreur asymptotique

4 44

4 47 7

1 7 1 1037.4 3 4e

c b

P C C4

14 bγ γ γ

= = ≈

La probabilité d’erreur par bit est 4 4

1 1 11037. 500.2 4 4e

b b

Pγ γ

≈ ≈

En référence, sans codage, la probabilité d’erreur est de 14e

b

Pγ

= . On obtient un gain de

codage à partir si 7b dBγ > . On obtient une diversité d'ordre 4.

Le degré de diversité équivalent d’un code correcteur d’erreurs est défini par sa distance minimale. L'influence du codage est beaucoup plus importante sur un canal de Rayleigh que sur un canal AGB.

Diversité de réception On utilise plusieurs antennes de réception suffisamment espacées, de plusieurs longueurs d'onde, de telle sorte que les signaux provenant des différentes antennes aient été transmis sur des canaux statistiquement indépendants. Le rapport signal sur bruit par antenne de réception reste inchangé donc L'=1 et cγ γ= . Si l'on réalise un récepteur à combinaison des signaux

optimale, le coefficient de diversité est égal au nombre d'antennes. Les performances sont obtenues en utilisant la relation

( )1

10

1 1Pr2 2

L kLkL k

k

Cµ µε−

− +=

− + =

∑

Cette relation est représentée sur le graphique suivant.

0 5 10 15 2010

-5

10-4

10-3

10-2

10-1

100 TEB dans un canal de Rayleigh avec une diversité de ré ception

Eb/N0 en dB

TEB

L=1L=2L=3L=5L=10gaussien

Performances avec diversité de réception d'ordre 1 à 10


Dans une transmission radio électrique, la plus grande partie de la puissance émise est perdue puisque le signal émis n'atteint pas l'antenne de réception. Utiliser plusieurs antennes de réception augmente la puissance reçue sans avoir à modifier la puissance émise. Mais ceci nécessite de réaliser plusieurs chaînes de réception avec des caractéristiques quasiment identiques, et de traiter au niveau du récepteur des signaux vectoriels. Pour mémoire, les performances asymptotiques des modulations MDP2 et FSK avec et sans diversité sont représentées sur le tableau I-1.

Modulation Démodulation

Gaussien Rayleigh Rayleigh asymptotique

Rayleigh 1bγ >>

Diversité L MDP2 Cohérente Q ( )2 bγ 1 1

2 1b

b

γγ

− +

14 bγ

( )2 11

4L

Lc

L

γ−

MDP2 Différentielle 12

e bγ− 1 12 1 bγ

+

1

2 bγ

( )2 112

LL

c

L

γ−

FSK orthogonale

Cohérente Q ( )bγ

12 bγ

( )2 11

2L

Lc

L

γ−

FSK orthogonale

Non Cohérente

12

e 2bγ

−

12 bγ+

1

bγ

( )2 11 LL

c

L

γ−

1 12 2

b

b

γγ

− +

Tableau : Performances des modulations MDP2 et FSK dans un canal gaussien et dans un canal de Rayleigh sans diversité et avec une diversité L.


Eléments de propagation radio-mobiles

Introduction Le canal de Rayleigh est un cas idéal, en un certain sens, d’un canal de transmission radioélectrique. Pour définir les paramètres d’une modulation, il faut connaître les paramètres statistiques du canal de transmission qui sera utilisé. Pour une transmission avec un mobile, le canal de transmission radioélectrique est composé d’un ensemble, presque infini, de trajets radioélectriques. Les paramètres d’un trajet sont : - L’affaiblissement produit par la distance émetteur récepteur et les coefficients d’atténuation dus aux différentes réflexions. - Les fluctuations des valeurs de ces affaiblissements définissent l’effet de masque. - Les fluctuations dues à l’addition des signaux qui définissent le canal de Rayleigh. - Si le mobile ou les obstacles sont en mouvement, ces paramètres dépendent évidement

du temps. La puissance reçue exprimée en dB est de la forme ( )10 logrdB edB antennesdB dB dBP P G d masque Rayleighα= + − + + (III.1)

Affaiblissement en fonction de la distance Le mobile se situe au niveau du sol, en général, la puissance reçue décroît en fonction de la

distance par un terme en reçue émiseKP Pdα= (III.2)

Où K est un terme qui dépend du gain des antennes et d est la distance mobile base. α est un coefficient compris entre 3 et 4. A l'aide d'une approximation continue, si les émetteurs, qui utilisent la même fréquence sont équi-répartis. Si α =2 alors la puissance moyenne reçue est infinie

22 dreçue émiseR

KP P d dd

∞

= π =∫ ∞

)

Example : Transmission sur un sol réfléchissant avec α =2 Soient et les hauteurs des antennes d'émission et de réception et leur distance.

Soient et les carrés des longueurs du rayon direct et

du rayon réfléchi. La différence de longueur est au premier ordre

Th

1

Rh

= +

d

( )22 2T Rl d h h− ( 22 2

2 T Rl d h h= + +

2 1T Rh hl ld

− ≈2 soit une

différence de phase 2 2. 1T Rh hd

<<φ∆ =λπ et un signal reçu d'amplitude proportionnelle à

41 sin .j T Rh hde φ φ φ

λ∆ π

− ≈ ∆ ≈ ∆ = (III.3)

Le signe moins provient de la réflexion sur un sol conducteur, le champ réfléchi est en opposition au champ incident. D'où une puissance reçue


( )222

44T R

reçue émise T R émise T Rh h

P P G G P G Gd d

λ φ = ∆ = π (III.4)

Pour un système radio mobile, un grand exposant α d'atténuation permet de diminuer les interférences donc de diminuer la distance de réutilisation des fréquences et d'augmenter le nombre d'utilisateurs par unité de surface. Dans certains cas, pour des soucis de confidentialité, on utilise des fréquences absorbées par les molécules d'eau ou d'oxygène de l'air pour augmenter l'atténuation et limiter la portée des communications, au-delà du destinataire.

Effets de Masque : Loi Lognormale 4 1dBdB dB2α< <

Emetteur

Th

Rh

d

( )22 21 T Rl d h h= + −

( )22 22 T Rl d h h= + +

Sol réfléchissant

Récepteur

Dans une transmission avec un récepteur radio mobile, la puissance moyenne reçue suit une loi lognormale. La puissance exprimée en dB suit une loi gaussienne d'écart type en fonction de la nature des bâtiments, des masques, situés dans l'environnement du mobile (zone pavillonnaire -> 4 dB, zone de tours de Bureaux -> 8 à 12 dB). L’effet de masque varie plus lentement (taille des masques, 10 a 30 m) que l’atténuation de Rayleigh (longueur d’onde 10 à 30 cm). Une justification physique simple, on considère que les coefficients de réflexion des ondes sont statistiquement indépendants, l’affaiblissement total, en dB, est la somme des affaiblissements, donc c’est une v.a., notée gaussienne, de moyenne . et de variance rdBP m

rdBP2dBα .

( ) ( )2

2

1 exp22

mrdB rdB

rdBdBdB

P PP P

αα

− = − π

(III.5)

avec où est la puissance recue. ( )10.log PrdB rP = Pr

{ } ( ) ( )r rdB rdB rdB r r rE P P P P dP P P P∞ ∞

−∞ −∞= =∫ ∫ dP

Attention { }mrdB rdBP E P= est différent de { }10logmdB rP E= P


{ } ( )2ln10

102

1 exp22

umdBr

dBdB

u PE P dueαα

∞

−∞

− = − π

∫

{ }22 2

2

ln10210

21

2

m mrdB dB rdB

dB

u u P P

rdB

E P dueα

αα

− + + ∞ −

−∞ =

π∫

{ }

22

22

2

ln1010ln10 ln10

10 2 10 21

2

mrdB dB

m dBrdB

dB

u PP

rdB

E P due e eα

αα

α

− + ∞ −

−∞

=π∫

{ }22 ln10

10 2 1010m

rdB dBP

rE P eα

= (III.6)

La puissance moyenne reçue en dB est plus grande que la moyenne de la puissance en dB . Pour corriger les fluctuations lentes de l'effet de masque on réalise un contrôle de puissance. La puissance instantanée reçue est maintenue constante. La loi de la puissance émise en dB est aussi lognormale de même écart type dBα . Donc la puissance moyenne émise est

multipliée par le facteur 22 ln10

2 10dB

MK eα

= par rapport à celle déterminée sans prendre en

compte l'effet de masque.


Les canaux de transmission dispersifs non stationnaires. Pour simplifier la présentation, considérons d'une part un canal stationnaire à deux trajets pour comprendre l'effet de la propagation par trajets multiples et ensuite un canal non stationnaire à un seul trajet, pour comprendre l'influence de l'effet Doppler.

Présentation simplifiée Le canal de Rummler

Le canal de Rummler est un canal stationnaire à deux trajets d’amplitudes complexes et de temps de propagations respectifs { }1

1 1 1,je φα α τ= et { }2

2 2 2,je φα α τ= . Le signal est

placé à son entrée. L’expression du signal de sortie du canal est

( )s t

{ }1

1 1 1,je φα α τ=

{ }2

2 2 2,je φα α τ=

( )s t

( ) ( ) ( )0 1 0 22 21 1 2 2

j f jr t s t s te eτ ττ α τ α− π − π= − + − f

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 0 221 2 1 1 2 2

j f j fr t r t r t s t s te 2eτ ττ α τ α− π − π= + = − + − (III.7)

Pour simplifier la présentation, on factorise l’expression précédente

( ) ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2 1 0 2 12 221 1

1

j f j j fr t s t s te e eτ φ φ τ τα2α τ τ

α− π − − π −

= − +

−

1

Le temps τ1 représente le temps de propagation moyen et le temps 2τ τ τ= − et le coefficient

2

1

ααα

= et la phase ( ) ( )2 1 0 2 12 fφ φ φ τ τ= − − π − sont respectivement la différence de temps

de propagation, le rapport d’amplitude et la différence de phase entre les deux trajets considérés. ( ) ( ) ((' jr t s t s te φ ))α τ= + − (III.8)

La réponse impulsionnelle de ce filtre est ( ) ( ) ( )'h t t tδ αδ τ= + − (III.9)

Sa fonction de transfert est ( ) 2' 1 j fH f e τα − π= + (III.10)

Le module de la fonction de transfert est ( ) (2 2' 1 2 cos 2H f f )α α τ= + + π −φ (III.11)

C’est une fonction sinusoïdale de moyenne 21 α+ , de valeur minimale ( )21 α− .


L’affaiblissement maximum est défini en dB par ( )( )

2

2

1log

110

α

α

−

+, il est obtenu lorsque les

signaux sont reçus en opposition de phase. Le creux est d’autant plus profond que les deux signaux reçus ont même amplitude. Pour un canal à deux trajets, on définit la Bande de Cohérence cohB par la période de la

fonction de transfert. Le temps de dispersion dτ représente la différence entre les temps de propagation des

différents trajets d'un canal radio, c'est aussi l'inverse de la bande de cohérence définie ci dessus.

Pour un canal de Rayleigh d Tτ << et 1coh signzlB

T>> = B (III.12)

Spectre Doppler Lorsque l’émetteur ou le récepteur sont mobiles, les amplitudes complexes et les temps de propagation sont des processus aléatoires stationnaires ergodiques.

Canal à un seul trajet : Le Spectre Doppler Considérons un mobile en déplacement à la vitesse v uniforme. Il reçoit une porteuse pure à la fréquence f0 sous un angle θ . Soit l'expression du signal reçu ( ) ( ) ( )2 cosdj fr t A e tθθ π= (III.13)

Où la fréquence Doppler est définie par : 0dvf fC

= . (III.14)

Lorsqu'un mobile est au niveau du sol, l'angle d'arrivée des ondes est équiréparti sur [ ]0,2π .

On détermine la fonction de corrélation du signal reçu en faisant l'espérance mathématique par rapport à l'angle d'arrivée θ :

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( )( ){ }2 cos 2 cos2 d dj f t j f tsR E r t r t A E e eθ θ ττ τ π π= − = −

( ) ( ){ } (2 cos2 20 2dj f

s )dR A E A J fe θ ττ τπ= = π (III.15)

Soit en prenant la Transformée de Fourier de la fonction de corrélation, on obtient la densité spectrale de puissance du signal reçu

( )( )2

2

1dd

AS fff f

=

π −

pour ] [,d df f f∈ − (III.16)

L'entrée du canal est une sinusoïde pure, une constante en équivalent en bande de base. La relation précédente représente la densité spectrale de puissance du processus gain instantané d'un canal de Rayleigh. Cette relation est très utilisée pour simuler un canal de transmission multitrajets en radiomobiles. C'est la signification du terme CLASS dans la colonne de droite des tableaux qui décrivent les canaux pour le COST 207.

Pour un canal de transmission non stationnaire, on définit la fréquence Doppler 0dvf fC

= .


Le temps de cohérence ou temps de stationnarité, est l'inverse de la Fréquence Doppler. C'est le temps pendant lequel, on peut considérer que les paramètres d'un canal de transmission restent "constants".

Densité Spectrale Doppler fD=1

Présentation générale des canaux de transmission linéaires non

stationnaires Réponse impulsionnelle instantanée

Un canal dispersif non stationnaire est déterminé par sa réponse impuslionnelle instantanée et par sa réponse en fréquence instantanée, qui sont comme pour les filtres stationnaires, transformées de Fourier l'une de l'autre. A chaque valeur du temps de propagation, on associe une amplitude complexe ( ;t)α τ , qui dépend aussi du temps t. La réponse impulsionnelle

instantanée d'un canal de transmission passe bande non stationnaire est définie par une relation similaire à (I.17): h t( ) ( ) 02; ; j f

c t e π ττ α τ −= (III.17)

D'où l'expression du signal reçu, en fonction du signal émis : ( ) ( ) ( ) ( ) ( )02

; ;j f

cr t h t s t s t dt e π ττ τ τα τ

−∞ −

∞= ⊗ = −∫ (III.18)

Un canal de transmission sélectif est un filtre linéaire non stationnaire. Comme pour un filtre linéaire, la mesure de la réponse impulsionnelle instantanée peut être réalisée à partir de la transmission d'un bruit blanc. On montre sur la figure III-1, que hc(t;τ) est la valeur de la sortie du filtre non stationnaire à une impulsion de Dirac émise à l'instant t-τ.

Mesure de la réponse impulsionnelle instantanée On peut mesurer la réponse impulsionnelle instantanée d'un filtre non stationnaire en plaçant à son entrée un signal aléatoire blanc, ou pseudo-aléatoire, de largeur de bande cB . Si l'on

effectue l'inter-corrélation entre l'entrée et la sortie de ce filtre, on obtient sa réponse


impulsionnelle instantanée. En pratique, pour un canal à bande étroite, on utilise une modulation de phase binaire, MDP2, d'un signal numérique pseudo-aléatoire de débit binaire

1b cD T= ≈ cB . On obtient la corrélation souhaitée en multipliant l'observation par le même

signal pseudo-aléatoire retardé de τ et filtré par un filtre passe-bas de largeur de bande comprise entre la bande du canal de transmission et la fréquence Doppler associée au canal de transmission que l'on considère. On réalise ensuite cette opération pour différentes valeurs du temps de propagation τ, en particulier pour les valeurs de τ multiples du temps chip T .

On dit que l'on effectue une mesure en bande large du canal de transmission dont le schéma de principe est représenté sur la figure III-2.

c

( )e t

s t

Fonction de transfert instantanée d'un filtre non-stationnaire On définit la fonction de transfert instantanée d'un filtre non stationnaire par la transformée de Fourier de sa réponse impulsionnelle instantanée : ( ) ( ) 2; ; j f

c cH f t h t de ττ τ∞ − π

−∞= ∫ (III.19)

On peut exprimer la sortie d'un filtre linéaire non stationnaire à une entrée exponentielle complexe par la relation : 2 j fte π=

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2; j f j ft j f tc ch t t d h t t de e eτ ; ττ τ τ

∞ ∞π π π −

−∞ −∞= − = −∫ ∫ τ

( ) ( ) 2; j ftcs t H f t e π= (III.20)

C'est le produit de l'entrée exponentielle par la fonction de transfert instantanée du filtre. On pourra caractériser les propriétés d'un canal de transmission en observant la transmission d'une ou de plusieurs fréquences pures. Pour une fréquence donnée, on peut observer les valeurs de la fonction de transfert instantanée en observant l'amplitude du signal à la sortie du filtre dont l'entrée est une exponentielle complexe ou une fonction sinusoïdale. On dit alors que l'on effectue une caractérisation à bande étroite du canal de transmission.

Fonction de corrélation en temps et en fréquence La physique de la propagation des ondes électromagnétiques ne permet pas de calculer la fonction de transfert instantanée ( );cH f t d'un canal de transmission, pour toutes les

fréquences et pour tous les instants. On considère que la fonction de transfert instantanée est une réalisation d'un processus aléatoire à deux indices {( ;cH f t ) };f t , qui sont la

fréquence et le temps. On caractérise ce processus par ses moments du premier et du deuxième ordre. On peut admettre sans démonstration que les moments du premier ordre, les moyennes, sont nuls. Les moments du deuxième ordre sont représentés par la fonction de corrélation de , qui est définie par une fonction à quatre variables : ( ;cH f t )

) ( ) ( ) ({ }1 2 1 2 1 1 2 2, , , ; ;H c cR f f t t E H f t H f t= (III.21)

Où {}.E est l'espérance mathématique. Il est naturel de considérer que les conditions

générales de propagation ne dépendent pas du temps, donc que le processus aléatoire à 2


indices est stationnaire en temps. La fonction de corrélation du processus ne

dépend plus du temps, soit une définition plus simple :

( ;cH f t

22 j f te π

( ) ( )}

)

) ( ) ( ) ({ }1 2 1 2, , ; ;H c cR f f t E H f t H f t t∆ = − ∆ (III.22)

Pour simplifier la caractérisation d'un canal non stationnaire, on décompose la caractérisation de cette fonction de corrélation en deux parties : - on définit à un instant donné pour ∆ = , la corrélation en fréquence : 0t ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, ,0 ; ;H c cR f f E H f t H f t= (III.23)

A partir de cette fonction de corrélation, on peut définir la dispersion temporelle et la bande de cohérence d'un canal de transmission dispersif. - On définit pour une fréquence donnée 1 2f f f= = , la corrélation en temps :

( ) ( ) ( ){ }, ; ;H c cR f t E H f t H f t t∆ = − ∆ (III.24)

A partir de cette deuxième fonction de corrélation, on peut définir la durée de stationnarité et la dispersion Doppler d'un canal de transmission non stationnaire. On montre que cette corrélation ne dépend que de f1-f2, donc que le canal est stationnaire en fréquence.

Variations fréquentielles, durée d'étalement, bande de cohérence On cherche à exprimer la corrélation entre l'amplitude de deux sinusoïdes ( ) 12

1j f tx t e π= et

transmises aux fréquences ( )2x t = [ ]1 2 2, 2c cf et f B B∈ − , où 0cB f<< est la largeur de bande du canal et 0f sa fréquence centrale. Cette corrélation s'exprime par :

{ ( ) ( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }1 2 1 1 2 2 1 2; ; ;c c c cE s t s t E H f t x t H f t x t E H f t H f t= = ;

C'est aussi la corrélation entre les valeurs pour les fréquences 1f et 2f de la réponse en

fréquence instantanée du canal définie par : ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, ,0 ; ;H c cR f f E H f t H f t= (III.25)

On exprime cette corrélation en fonction de la réponse impulsionnelle instantanée du canal par :

( ) ( ) ( )1 1 2 221 2 1 1 2, ,0 ; ;j f j f

H c cR f f E h t d h te ττ τ τ∞ ∞− π − π

−∞ −∞

= ∫ ∫

2e τ

Soit :

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )2 2 1 1 2 2 1 12 21 2 1 2 1 2 1 2 1 2, ,0 ; ; ,j f f j f f

H c c hR f f E h t h t d d R d de eτ τ τ ττ τ τ τ τ τ∞ ∞ ∞ ∞π − π −

−∞ −∞ −∞ −∞= =∫ ∫ ∫ ∫ τ τ

Où ( ) ( ) ( ){ }1 2 1 2, ,0 ; ;hR E h t h tτ τ τ τ= est la fonction de corrélation de la réponse

impulsionnelle instantanée du canal. On étudie le comportement de cette fonction, on effectue le changement de variable suivant : 1τ τ= et 2τ τ θ= −

et on utilise la relation (I-7), soit :

( ) ( ) ( ){ }02, ,0 ; ;

j f

hR E t t e π θτ θ α τ α τ θ= −


Les comportements de cette fonction en t et en θ sont très différents. Le terme e 02 j fπ θ montre que sa largeur en θ est de l'ordre de grandeur de 01 f , qui est la période de la porteuse. Pour 0θ = , sa largeur en τ est définie par la durée de dispersion du canal dτ , qui est de l'ordre de grandeur du temps de propagation du trajet direct. Ces deux paramètres 01 f et dτ sont physiquement indépendants. Dès que l'on se situe en champ lointain, on a dτ >> 01 f . Exemple d'un système mobile Urbain : 0 1f GHz= donc 0 11 f ns= . La distance émetteur à récepteur est de l'ordre du km, soit un temps de propagation de 3.3 sµ , une durée d'étalement de l'ordre de la sµ . L'hypothèse champ lointain permet d'évaluer la relation (III.22) par

l'approximation : ( ) ( ) ( )( )2 1 22

1 2, , , , j f f fH hR f f t R t d de τ θτ θ τ

∞ ∞ π − −

−∞ −∞= ∫ ∫ θ

( ) ( ) ( ){ }2 1 22 21 2, , , ,j f f j f

H hR f f t R t d de eτ θτ θ θ∞ ∞π − − π

−∞ −∞= ∫ ∫ τ

h

( ) ( ) ( )2 121 2, , ,0,j f f

HR f f t R t de τ τ τ∞ π −

−∞= ∫ (III.26)

La fonction de corrélation en fréquence ne dépend que de la distance en fréquence 2 1f f∆ = − f . Le canal est dit stationnaire en fréquence, dans la limite où 2 1 0f f− << f , il est

à bande étroite. Inversement, ceci est équivalent à supposer que deux valeurs de la réponse impulsionnelle instantanée, distantes de 1 cB sont statistiquement indépendantes, même si ces deux variables et ( 1,h tτ ) ( 1 ,h )tτ τ+ ∆ ont des variances équivalentes. La non corrélation

statistique est essentiellement due au fait que la phase, les arguments de ces deux valeurs complexes sont statistiquement indépendants. On dit alors que le canal de transmission est à diffusions non corrélées ou stationnaire au sens large, en temps et en fréquence. WSSUS (Wide Sense Stationary Uncorrelated Scatters) On pose 2 1f f∆ = − f

h

, on définit à partir de (III.26) la corrélation fréquentielle par la relation

( ) ( )2 j fHR f Re τ dτ τ

∞ − π∆

−∞∆ = ∫ (III.27)

Où ( ) ( ){ }2;h cR E h tτ τ=

d

est la fonction de dispersion temporelle du canal. Le temps de

dispersion τ d'un canal de transmission est défini par la durée de la fonction de dispersion temporelle. La bande de cohérence cohB d'un canal est définie par la largeur en fréquence de

la fonction de corrélation fréquentielle. Ces deux fonctions sont des transformées de Fourier l'une de l'autre. Donc on a la relation fondamentale : . 1coh dB τ ≈ (III.28) Cela signifie que deux sinusoïdes distantes en fréquence de cohf B∆ > sont affectées par des

coefficients d'atténuation indépendants. Si la largeur de bande du signal transmis est petite devant la bande de cohérence du canal, il est dit à évanouissements non sélectifs Sinon, il est dit à évanouissements sélectifs. Pour un canal de transmission à diffusions non corrélées, on peut définir la fonction de corrélation :


( ) ( ) ( ){ }, ; ;H c cR f t E H f t H f f t t∆ ∆ = − ∆ − ∆ (III.29)

Qui montre que le canal est stationnaire en temps et en fréquence. Variations temporelles, Etalement ou fréquence Doppler, durée de stationnarité

Pour une fréquence f, on étudie les propriétés statistiques de l'amplitude de la sortie du canal de transmission excité par une exponentielle complexe. Alors, ( ),cH f t est un processus

aléatoire, à un indice, stationnaire en temps, où f est un paramètre fixé. Les propriétés statistiques sont constituées par la corrélation de la sortie du canal excité par une fonction exponentielle complexe. Cette fonction est définie par :

( ) ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }12 21 1 1, ; ;j ft j f t t

s c cR f t E s t s t t E H f t H f t te eπ π −∆∆ = − ∆ = − ∆

( ) ( ) ( ){ } ( )121 1 1 1, ; ; ,j f t j f t

s c c HR f t E H f t H f t t R f te π 12e π∆ ∆∆ = − ∆ = ∆ (III.30)

Le canal de transmission à diffusions non corrélées est tel que ( )1,HR f t∆ ne dépend pas de

la fréquence 1f . La densité spectrale de puissance de la sortie du canal est définie par la TF

de sa fonction de corrélation, soit en prenant la transformée de Fourier des deux membres de la relation (III.30), on obtient : ( ) ( )1s HS f S f f= − (III.31) L'étalement Doppler dB d'un filtre non stationnaire est défini par la largeur de bande du

signal de sortie lorsqu'il est excité par une exponentielle complexe. Pour un canal à diffusions non corrélées, l'étalement Doppler est indépendant de la fréquence. Le temps de cohérence d'un canal de transmission est défini par la durée de la fonction

de corrélation de sa sortie en régime sinusoïdal. En utilisant encore les propriétés de la transformée de Fourier, on a la relation :

ct∆

. 1c dt B∆ ≈ (III.32)

Pour caractériser un canal de transmission dispersif non stationnaire, on utilise couramment la fonction de dispersion qui représente l'énergie reçue en fonction du temps de propagation τ et de la fréquence Doppler df .

Fonction d'étalement du canal, (Scattering Function)

La fonction d'étalement représente la dispersion temporelle et fréquentielle d'un canal de transmission. Mathématiquement, elle est définie par la transformée de Fourier par rapport au temps de la fonction de dispersion temporelle du canal. Elle est définie par la transformée de Fourier, par rapport à ∆f, d'inter corrélation entre deux valeurs de la fonction de transfert instantanée, c'est une inter densité spectrale. (III.33) ( ) ( ) 2, ,0, j t

hS R t e λτ λ τ∞ − π ∆

−∞= ∆∫ d t∆

Détermination pratique :


La réponse impulsionnelle instantanée a été estimée pour des valeurs discrètes du temps de propagation. Pour différentes valeurs de τ, il faut estimer la densité spectrale de puissance du processus aléatoire ( ),0,hR tτ , qui est obtenu par une mesure en bande large.

La fonction de dispersion représente la façon dont se répartie l'énergie des signaux en même temps sur l'axe des temps et sur l'axe des fréquences Cette représentation permet d'évaluer l'étalement Doppler et temporel d'un canal dispersif non stationnaire.

hc τ;t( ) =−2 jπf0τ

α τ;t( )eδ t − τ( ) r t0( ) = hc θ;t0( )

−∞

∞

∫ δ τ − t0 − θ( )( )dθ = hc τ;t0( )

Figure III-1 Réponse impulsionnelle instantanée d'un filtre linéaire non-stationnaire

hc τ;t( ) =−2 jπf0τ

α τ;t( )eGénérateur Pseudo-aléatoire

Db = 1 / Tc

A cos 2πf0t( ) A cos 2πf0t( )

Générateur Pseudo-aléatoire

Db = 1 / Tc

Filtre Passe-bas

fD << B << Bc

ˆ h τ,t( )

Retard τ

Figure III-2 Estimation de la réponse impulsionnelle instantanée d'un filtre linéaire non stationnaire

Hc f ;t( ) = hc τ;t( ) −2 jπfτe− ∞

∞

∫ dτs t( ) = Hc f ;t( ) 2 jπftee t( ) = 2 jπfte

s t( ) = hc t − τ;t( ) 2 jπfτe− ∞

∞

∫ dτ = 2 jπfte hc t − τ;t( ) 2 jπf t− τ( )e−∞

∞

∫ dτ

Figure III-3 Réponse en fréquences instantanée d'un filtre linéaire non stationnaire.


Durée de Dispersion Bande de Cohérence

Dispersion des retards Corrélation fréquentielleEntrée impulsionnelle

Bcoh .τ d ≈ 1

Bcohτd

Rh τ( ) = E hc τ;t( )2

{ } RH ∆f( ) = E Hc f , t( )Hc f − ∆f ,t( ){ }τ <=> Λf

Figure III-4 Durée de dispersion et bande de cohérence

Temps de cohérence Doppler

Autocorrélation de la sortie Densité spectrale de la sortieEntrée sinusoïdale

Rs f1, ∆t( ) = E Hc f1;t( )Hc f1;t − ∆t( ){ }2 jπf1∆te

Rs f1, ∆t( ) = RH f1,∆t( ) 2 jπf1∆ teSs f( ) = SH f − f1( )

Bd∆tc

∆tc . Bd ≈ 1

∆t <=> λ

Figure III-5 Temps de cohérence et étalement Doppler

Figure III-6 : Fonction de dispersion, (Parsons)

Figure III-7 Fonction de dispersion (Scattering Function) (Parsons)


Exemple : Le canal de Transmission GSM Pour représenter le canal réel de transmission utilisé pour les communications radio mobiles, les concepteurs de la Norme GSM ont proposé des canaux modèles pour simuler et tester la liaison radio du système GSM

Modèles de canaux COST 207 Terrain Montagneux (HTx)

Numéro du trajet

Temps relatif µs

Puissance Relative (dB)

Spectre Doppler

1 0,0 0,0 -10,0 -10,0 CLASS 2 0,1 0,2 -8,0 -8,0 CLASS 3 0,3 0,4 6,0 6,0 CLASS 4 0,5 0,6 -4,0 -4,0 CLASS 5 0,7 0,8 0,0 0,0 CLASS 6 1,0 2,0 0,0 0,0 CLASS 7 1,3 2,4 -4,0 -4,0 CLASS 8 15,0 15,0 -8,0 -8,0 CLASS 9 15,2 15,2 -9,0 -9,0 CLASS 10 15,7 15,8 -10,0 -10,0 CLASS 11 17,2 17,2 -12,0 -12,0 CLASS 12 20,0 20,0 -14,0 -14,0 CLASS

Zone urbaine TUx (12 Taps)

Numéro du trajet

Temps relatif µs


Spectre Doppler

1 0,0 0,0 -4,0 -4,0 CLASS 2 0,1 0,2 -3,0 -3,0 CLASS 3 0,3 0,4 0,0 0,0 CLASS 4 0,5 0,6 -2,6 -2,0 CLASS 5 0,8 0,8 -3,0 -3,0 CLASS 6 1,1 1,2 -5,0 -5,0 CLASS 7 1,3 1,4 -7,0 -7,0 CLASS 8 1,7 1,8 -5,0 -5,0 CLASS 9 2,3 2,4 -6,5 -6,0 CLASS 10 3,1 3,0 -8,6 -9,0 CLASS 11 3,2 3,2 -11,0 -11,0 CLASS 12 5,0 5,0 -10,0 -10,0 CLASS


Canal de test pour l'égalisation EQ x

Numéro du trajet

Temps relatif µs


Spectre Dopple

r 1 0,0 0,0 CLASS 2 3,2 0,0 CLASS 3 6,4 0,0 CLASS 4 9,6 0,0 CLASS 5 12,8 0,0 CLASS 6 16,0 0,0 CLASS

Retards Le retard relatif entre les différents trajets est exprimé-en ms. Les retards relatifs sont provoqués par des différences de longueurs des trajets de 3,3 km/µs. Pour des stations de base associées à de petites cellules, on peut s'attendre à obtenir une dispersion des retards plus faible. On atteint 20 µs de dispersion pour les canaux en région montagneuse, 5 µs en ville et 1 µs en campagne. A chaque retard est associé une puissance moyenne du signal reçu. Les puissances sont exprimées en dB par rapport au trajet le plus puissant. On peu noter que ce n'est pas celui qui arrive le premier sur le récepteur.


Conclusion Pour réaliser une transmission numérique, il faut déterminer la rapidité de modulation 1/T en fonction de la fréquence Doppler et de la bande de cohérence du canal de transmission. Il existe plusieurs méthodes de modulation. Les modulations à bande étroite sans égaliseur. Dans ce cas on considère que les distorsions apportées par la dispersion temporelle et celle apportées par la dispersion Doppler sont de même nature donc ont choisit le rythme de la modulation tel que

11

c

d

T Bf T

= soit 1 .c dB fT

=

Les modulations à bande étroite avec un égaliseur. Dans ce cas on considère que les distorsions apportées par la dispersion temporelle sont corrigées par l'égaliseur si le temps de dispersion est de quelques durées symboles et on minimise l'effet Doppler en prenant le rythme de modulation le plus élevé

1d cf B

T<< ≈

Exemple GSM : 1 270 /kb sT

= , 250df Hz< et 50cB kHz> .

Les modulations à étalement de spectre (CDMA). La rapidité de modulation, le débit binaire est plus petit que la valeur de la bande de cohérence. Le gain d'étalement est suffisamment grand pour que la largeur de bande du signal transmis soit de plusieurs fois celle de la bande de cohérence. Ce choix permet d'obtenir une diversité de transmission. L'important est de bien choisir les paramètres de la modulation en fonction de ceux du canal de transmission et des méthodes de traitement dont on dispose. Les protocoles et la structure des trames permettent de fournir aux l'utilisateurs les ressources dont ils ont besoin. Examples : En GSM, le débit binaire de 270 kb/s permet de transporter 8 communications vocales simultanées sur la même porteuse. L'accès est réalisé en TDMA (Time Division Multiple Access). En UMTS, Mobiles de 3 ième génération, un débit utilisateur de 2 Mb/s pourra être obtenu par 4 modulations CDMA à 500 kb/s, qui utilisent 4 codes différents de facteur d'étalement 8 au lieu d'une seule modulation de facteur d'étalement 2. La diversité pourra être augmentée en utilisant plusieurs antennes en émission et en réception, des codes correcteurs d'erreurs, des techniques de sauts de fréquences lents. Dans les systèmes radio mobiles cellulaires, les gains en performances se traduisent par une augmentation de la capacité des réseaux donc des revenus pour l'opérateur.


Annexes

Annexe 1 Loi du rapport S/B avec une diversité d'ordre L.

On démontre facilement cette relation par récurrence

P1 γ( )=

1γ c

− γγ ce ; ( )2 2 2

0

1 1c c

u u

c c

P due e eγ

c

γ γγ γ γγ γ

γ γ

−− − −= =∫

( ) ( ) ( )1 10

L LP P u P uγ

γ γ+ = −∫ du

Soit ( ) ( )1

1 10

11 !

c c

u uL

L Lc

P uL e e

γ γγ γγ

γ

−− −−

+ +=− ∫ du

( ) ( )1

1 10

11 !

cL

L Lc

P uL e

γγγγ

γ− −

+ +=− ∫ du

et ( )1 1!c

L

L Lc

PL e

γγ

γγγ

−+ +=

Annexe 2 : Calcul des performances d'une transmission avec diversité

Calcul de la probabilité d'erreur d'une modulation MDP2 avec diversité d'ordre L. Pour un démodulateur MDP2 cohérent, on calcul la probabilité d'erreur moyenne par la relation suivante

( ) ( )0

2L LP P Q dε γ γ∞

= ∫ γ( )

1

0

21 !

c

L

Lc

Q dL e

γγ

γ γ γγ

∞ −−=

−∫

Intégration par parties

( )11 !

cLc

du dL e

γγ γ

γ−=

− =>

( )1 !c

cLc

uL e

γγ

γγ

−−=

−

211 2

2

22

LLv Q e

ξ

γ

γ dγ γ ξ∞−

−−= =π ∫ => ( )

121 2

2 2

LL ddv L Q e γγ γγ γ

γ

−−−= − −

π

( ) ( ) ( ) ( )1

1 2

00

12 1 21 ! 1 ! 2 2

c c

LL Lc c

L L Lc c

P Q L QL Le e

γ γ γγ γ

γ γ γ deε γ γ γ γγ γ γ

∞ ∞ −− −− − − −

= − − − − − π ∫ γ−

Pour L>1 le premier terme est nul. On développe le 2 ième terme

( ) ( ) ( )2 1

1 1 10 0

2 12 ! 1 ! 2 2

c c

c

L L

L L Lc c

Q dP dL Le e

γ γγ γ

γ

γ γ γ γε γγ γ γ

∞ ∞− −− −

− − +

= −− − π∫ ∫

on pose 1

c

c

γµγ

=+

=> ( ) (1 1 11 c

)µ µγ

= − ++

et 1 2γ γµ

′ = => 12

dd γγµ γ

′ =

Soit l'expression de la probabilité d'erreur


( ) ( ) ( ) ( )( )

2 2 21 1

21 1

1 1 11 !2 2 2

LL L

L L LP P dL e

γµ µ µ γε ε γ−− − ∞ ′

−− −

−∞

− + ′′= −

− π∫

L'intégrale est égale au moment d'ordre 2 3L − d'une v.a. gaussienne centrée de variance

unitaire soit : ( ) ( )( )2

2 3 !2 3 !!

2 2L

LL

L−

−− =

− !, le produit des termes impairs.

( ) ( )1 1

11 2 3

1 12 2

L LL

L L LP P C µ µε ε µ− −

−− −

− + = −

avec ( )11 12 1

c

c

P γεγ

= − +

d'où ( ) ( )1 1

11 2 3

2

1 112 2

l lLll

l

P C µ µε µ µ 12

− −−−

=

− + = − −

∑

ou ( ) ( )21

1 2 11

1 112 4

lLll

l

P C µε µ µ−

−=

−= − −

∑

Il reste à obtenir la formule (Proakis P 374)

Annexe3 Calcul direct du spectre Doppler

Le spectre Doppler s'exprime par la Transformée de Fourier de la fonction de corrélation du signal reçu correspondant à l'émission d'une sinusoïde pure.

( ) ( )2 22 2 ( cos )

02dj f j f j f

sAS f R d d de eτ θ 2eτ ττ τ θ

∞ ∞ π− π π − π

−∞ −∞= =

π∫ ∫ ∫ τ

On permute les intégrales et on effectue l'intégrale en temps

( ) ( )2 22 22 ( cos )

0 0cos

2 2dj f f

dA AS f d d f f de θ τ τ θ δ θ

π ∞ ππ −

−∞= =

π π∫ ∫ ∫ θ−

On effectue un changement de variable u f cosd θ= soit sinddu f dθ θ= −

Le Jacobien est 2

1 1sin

1d

dd

ddu f uf

f

θθ

= =

−

Soit ( ) ( )2 1

21

122

1dd

AS f u f duuff

δ−

=π

−

∫ −

d'où ( )2

2

1dd

AS ffff

=

π −



Références [1] J.G. PROAKIS "Digtal Communications" Mac Graw Hill 1983 et 1989 [2] S. BENEDETTO, E BIGLIERI and V.CASTELLANI "Digital Transmission Theory" Prentice All 1987 [3] A.J. VITERBI and J.K. OMURA "Principles of Digital Communications and Coding" Mac Graw Hill 1978 [4] J.C.BIC, D.DUPONTEIL et J.C. IMBEAUX "Eléments de Communications Numériques" Tome 1 et 2 CNET ENST Dunod 1986 [5] E.A.LEE and D.G. MESSERSCHMITT "Digital Communications" Kluwer Academic Publishers 1988 [6] D. PARSONS "Mobile Radio Propagation Channel " 1992

canal radio rayleigh pr ceux qui veuleut les demonstrations

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