campo magnetico e forza di lorentz (ii)
TRANSCRIPT
Campo magnetico e
forza di Lorentz (II)
Moto di particelle cariche in un campo magnetico
Leggi elementari di Laplace
Principio di equivalenza di Ampere
Moto di una particella carica
in un campo magnetico
vF q B vdp
q Bdt
vv
dm q B
dt (per v << c)
vv
d
dt
qB
m
precessione intorno a B
con velocita` angolare
Moto di una particella carica
Supponiamo il campo magnetico ortogonale al
piano del moto
v B
F
Non compie lavoro
Forza centripeta
2v
F vm q BR
vR m
qB
p
qB
Moto di una particella carica
Supponiamo il campo magnetico ortogonale al
piano del moto
v B
F
Non compie lavoro
Forza centripeta
2v
F vm q BR
senza correzioni
relativistiche2 2 2
v
R mT
qB
Moto di una particella carica
Se la velocità ha componente non nulla
nella direzione di B, il percorso e`
elicoidale
Il passo dell’elica e` determinato dalla
componente della velocita` parallela al
campo magnetico
Se la carica e` positiva, il moto – dalla
punta del campo magnetico appare
orario (antiorario se q<0)
Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Moto degli elettroni di conduzione
vD
J ne
Su ciascun elettrone si esercita la forza
ve D
F e B
Filo indeformabile: la forza e` trasmessa alla
massa del filo attraverso l’interazione (urto)
degli elettroni con il reticolo cristallino
Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Su un tratto di conduttore di sezione A e lungheza dl sono contenuti elettroni
eAddF n Fl
Orientando il filo (dl) come la densita` di
corrente e scrivendo AJ=i, si ottiene:
dF idl B seconda legge elementare di Laplace
(approssimazione: si considera B
costante sulla sezione del filo)
nAdl
vD
n eAdl B BAdlJ
Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Su un filo di lunghezza finita con estremi A, B si esercita la forza:
B
A
F i dl B
Forza perpendicolare al filo e al campo
magnetico, orientata secondo la regola della vite
destrorsa
E` un espediente di calcolo, un tratto infinitesimo di filo
percorso da corrente non e` fisicamente realizzabile (un loop si)
Forza come risultante di contributi
elementari
Applicata al centro di massa
Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Filo rettilineo
B B
A A
F i dl B i dl B
Il modulo del campo e` costante
L’angolo q tra il campo e il filo e` costante
F il B sinF ilB q
Filo conduttore percorso da
corrente elettrica (con B)
Filo su un piano
( )
B B
x y
A A
F i dl B i dxe dye B
( )x y
i xe ye B i AB B
La forza su un filo che giace in un piano dipende solo dalla
posizione dei suoi estremi
Se il filo e` chiuso la forza e` nulla (gli estremi coincidono
AB=0)
Esempio
Bm
ia
a = 5 cm
i = 1 A
m = 0.5 g
B = ???
F F il B ia B
F iaB all’equilibrio F mg
iaB mgmg
Bia
3
2
2
0.5 10 9.89.8 10
1 5 10
T
Esempio
y
x
i
R
A B
B
yB Be 2
xAB Re
F i AB B tratto rettilineo
2 2x y z
iRBe e iRBe
Il circuito e` chiuso sul tratto circolare: 2z
F iRBe
Verifica x ydl dxe dye
( )x y y
dF idl B i dxe dye Be z
iBdxe
2
R
z z
R
F iBe dx iBRe
Momento meccanico. Principio
di equivalenza di Ampere.
Momento magnetico di una spira piana di
area A percorsa dalla corrente i
m iAn
n
Ai
Connessione con il momento meccanico
quando e` immersa in un campo magnetico
Spira in un campo magnetico
Spira piana rigida
Campo magnetico uniforme
La forza totale e` nulla
La spira non si sposta e non si deforma
Il momento meccanico puo` essere diverso
da zero
La spira puo` compiere una rotazione
Spira in un campo magnetico
Ba
b
nq
i
3F
4F
3 4F F stessa retta di azione
q
n
B
1F
2F
sinb q
1 2F F F iaB
sin sin sin sinM b F iabB iAB mBq q q q
M m B
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
( ) cosAB B A y x
F i r r B iae B iaB eq
yae
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
cos
)
)
(
(
C
AB
D D C
B A y x
AB
F i r r B iae B
F
i B
i r
a
r B
e
F
q
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
(
( ) cos
(
) sin cos
)
AB B A y x
CD D C A
BC C B x z
B
y
F i r r B iae B iaB e
F i r r
F i r r B
B
ibe B ibB e ibB e
F
q
q
q
xbe
Spira in un campo magnetico
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
( ) cos
( )
( ) sin cos
( )
AB B A y x
CD D C AB
BC C B x z y
AD A D BC
F i r r B iae B iaB e
F i r r B F
F i r r B ibe B i
F i
bB e i
r
bB
r B
e
F
q
q q
Spira in un campo magnetico
( ) cos
( )
( ) sin cos
( )
AB B A y x
CD D C AB
BC C B x z y
AD A D BC
F i r r B iae B iaB e
F i r r B F
F i r r B ibe B ibB e ibB e
F i r r B F
q
q q
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
sin cosy z
BB e B eq q
Spira in un campo magnetico
sin cosy z
BB e B eq q
Momento meccanico
2 2y BC y AD
a ae F eM F
sin cosy z y
ae ibB e ibB eq q siny z
iabB e eq
sinz y
iabB e eq iAn B m B
y BCae F
BCF
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
Spira in un campo magnetico
sin cosy z
BB e B eq q
Momento meccanico
M m B m iAn
x
y
z
AB
CD
q
ab
zn e
i
Spira in un campo magnetico
Vale per un circuito piano di forma arbitraria
un circuito puo` sempre essere approssimato da
un reticolo di spire rettangolari infinitesime
i lati adiacenti sono percorsi da correnti opposte e
non contribuiscono al momento della forza
// 0m B M
0q Equilibrio stabile
q Equilibrio instabile
Spira in un campo magnetico
Spira con momento di inerzia I rispetto ad un
asse di rotazione parallelo a M
dLM
dt sinmB q mBq
dL I
dt
q
2
20
dI mB
dt
Spira in un campo magnetico:
piccole oscillazioni
Spira con momento di inerzia I rispetto ad un
asse di rotazione parallelo a M
2
20
dI mB
dt
mB
I
Principio di equivalenza di
Ampere
Un ago magnetico sottoposto ad un campo
magnetico si comporta come una spira
percorsa da corrente
Una spira piana di area dA percorsa dalla
corrente i equivale agli effetti magnetici a un
dipolo magnetico di momento magnetico
dm idAn n perpendicolare al piano della
spira e orientato rispetto al verso
della corrente secondo la regola
della vite destrorsa
Principio di equivalenza di
Ampere
Un ago magnetico sottoposto ad un campo
magnetico si comporta come una spira
percorsa da corrente
Una spira piana di area dA percorsa dalla
corrente i equivale agli effetti magnetici a un
dipolo magnetico di momento magnetico
dm idAndm
dAi
dm
Interazione dipolo magnetico
campo magnetico
Analogia con il dipolo elettrico
U m B cosmB q cosiAB q
Energia potenziale
dUM
dq sinmB q
Momento meccanico
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Circuito C percorso da corrente
Superficie S contorno
Circuiti elementari: resta il contorno n
B
q
dAC
SB
i
dm idAn
U dU ( )i B ndA i BS
S
energia potenziale del circuito C
0B B A
dU dm B
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Circuito C percorso da corrente
Superficie S contorno
Circuiti elementari: resta il contorno n
B
q
dAC
SB
i
dm idAn
U dU ( )i B ndA i BS
S
energia potenziale del circuito C
U i A ndAS
C
i A dl Stokes
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
n
B
q
dAC
SB
i
Il flusso del campo magnetico attraverso
una superficie dipende solo dal
contorno C della superficie
flusso concatenato con il circuito
L’energia potenziale di interazione di un
circuito C percorso da una corrente i con un
campo magnetico B attraverso una
superficie S e` data dal prodotto della
corrente per il flusso del campo magnetico
concatenato con il circuito, cambiato di
segno.
( )C
U i B i A dlS
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Moto del circuito relativamente al campo
magnetico:
variazione del flusso concatenato
variazione dell’energia di interazione
A A dAUW U Ud d
( )id B
se la corrente resta costante durante lo spostamento
2 1( ) ( ) ( )W i B i B B
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Traslazione infinitesima
( ) ( )dW i x x x
x
i x
dW F x F forza che agisce sul circuito
( )F U i B
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Rotazione rigida infinitesima
dW dU Mqq
q
i qq
UM iq
q q
Forza, lavoro, momento,
flusso magnetico
Circuito piano di area A molto piccola (campo
uniforme su A)
- Valide anche per un piccolo ago
magnetico
- Equivalenza con il dipolo elettrico
in un campo elettrostatico
( ) ( )
( ) ( )
F U m B i B nA
M m B i B nAqq q
Unita` di misura del flusso
Flusso magnetico: campo x superficie
2B A Tm
21 1 1Wb T m
Weber
Momento magnetico:2 J
AmT
Momenti magnetici correnti microscopiche
-23 2
-27 2
elettrone ~ 10 Am
protone ~ 5 10 Am
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
Su ciascun portatore agisce la forza di Lorentz
DvF e B
Campo elettromotore (non conservativo)
Dv
H
F JE B B
e ne y
JBe
ne
il verso del campo elettromotore dipende dal segno della carica
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
Il campo elettromotore genera una deflessione
delle cariche in moto e tende ad accumulare
cariche su un lato della barretta conduttrice
Equilibrio tra campo elettrostatico e campo elettromotore
Dv 0
HB E E E
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
Tensione del campo elettromotore
HHE a
JBa
ne
i Ba
ab ne
iB
neb
V V Vabi
dR d
ab
Vab B
d neb
Ba V
ne d
d
Effetto Hall
zB Be
Dv
x
iJ e ne
ab
H
Ba V
ne d
segno di Hsegno dei portatori di carica
moduli di H e B densita` di carica ne
H BV
dalla misura della tensione di Hall si puo` misurare B