Calcul IntégralCalcul Intégral

Au XVIIIème siècle, les mathématiciens progressent dans deux domaines séparés : les problèmes des tangentes (et la longueur des arcs) et ceux des quadratures (ou calculs d’aires). On doit cependant à l’Anglais Newton

et à l’Allemand Leibniz d’avoir, par des approches complémentaires, clairement établi que ces deux domaines étaient liés : c’est la naissance du

calcul infinitésimal : calcul différentiel et intégral.

1. Intégrale d ’une fonction en escalier.

La fonction f présentée ci-contre est dite en escalier.Elle est constante par morceaux.

L ’intégrale de f sur [a ; b] est la somme algébriquedes aires des rectangles colorés.

On compte positivement les aires au-dessus de l’axedes abscisses et négativement celles en dessous de cet axe.

a b

L’intégrale de f sur [a ; b] est notée :b

a

dxxf )(

1§ Notion d ’intégrale sur un 1§ Notion d ’intégrale sur un intervalleintervalle

x1 x2

c1

c2

c3

+

3221211)( cxbcxxcaxdxxfb

a

On a ici :

+

-

Attention : c2 < 0

!

2. Intégrale d ’une fonction continue.

On admet que, si f est une fonction continue sur [a ; b], il existe deux suites de fonctions en escalier(gn ) et (hn ) telles que :

Pour tout n * et pour tout t [a ; b] , gn (t) f (t) hn (t)

Les suites

b

andxxg)( et

b

andxxh)( sont convergentes et ont même limite l .

Alors l'intégrale de f sur [a ; b] est le réel l et on note :

ldxxfb

a

)(

Exemple :Voici présentée la courbe d’unefonction f continue , positive et décroissante sur [-1 ; 4]

Ch2

Cg2

Les deux figures illustrent une façon« simple » de choisir des suites de fonctions en escalier qui vérifientla première condition.

Pour chaque valeur de n > 0 ,on a choisi de subdivisé l’intervalle [- 1 ; 4] en 2n intervalles de longueurégale.

On peut alors représenter et calculer :

4

12 )( dxxg

en bleu

4

12 )( dxxh

en vert

Cg3

Ch3

On peut démontrer, avec ce procédé, queles deux suites d’intégrales ainsi créessont adjacentes et donc convergentvers une même limite l qui est donc par définition :

ldxxfb

a

)(

Pour créer g3 et h3 , on a donc choisi de prendre deux fois plus d’intervalles

Et on poursuit la démarche en augmentantle nombre d’intervalles et donc en diminuantla longueur de ces intervalles.

L’exemple précédent est assez simple (!) car la fonction est positive et décroissante sur [- 1 ; 4].

Mais la démarche peut être utilisée pour toutes fonctions continues sur [a ; b] .

Remarque : les intervalles de la subdivision ne doivent pas obligatoirement être de longueur égaleet on ne doit pas avoir forcément 2n intervalles. Il y a donc beaucoup de choix différents pour créerces suites de fonctions en escalier mais on admet que toutes donneraient la même limite l .

3. Intégrale et aire.

Lorsque f est continue et positive sur [a ; b] , le nombre b

a

dxxf )(

représente l’aire « sous la courbe » de f sur [a ; b] . Cette aire est exprimée en unité d’aire (u.a.)

1 u.a.

5

2

)( dxxf

en u.a.

2§ Premières Propriétés.2§ Premières Propriétés.

1. Extension de la définition.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tout a et b de I , tel que a b on peut prolonger assez naturellement la définition donnée pour l’intégrale de f en posant :

a

b

b

a

dxxfdxxf )()(Si a > b :

Si a = b : 0)( a

a

dxxf Attention, si f est positive sur I , cette intégrale ne représente plus une aire

sous la courbe.

!

2. Relation de Chasles.

On illustre ce théorème assez facilement en prenant une fonction positive sur I et a < b < c.

Ce théorème devient alors une somme d’aires sous la courbe de f.

Soit f une fonction continue sur un intervalle I . Pour tout a , b et c de I :

c

a

c

b

b

a

dxxfdxxfdxxf )()()(

a b c

CfCf

a c

Mais ce théorème reste valable dans tous les autres cas, la seule condition étant la continuité de f.

3. Linéarité de l’intégration.

Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I . Soit et deux réels. Pour tout a et b de I :

b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf )()()()(

3§ Encadrement - Valeur 3§ Encadrement - Valeur moyenne.moyenne.

Soit f et g deux fonction continues sur un intervalle I . Pour tout a et b de I tels que a b :

0)( b

adxxf Si f 0 sur [a ; b] , alors :

Si f g sur [a ; b] , alors : b

a

b

adxxgdxxf )()(

« Preuves » : Si f est positive sur [a ; b] , l’intégrale de f sur [a ; b] représente l’aire sous la courbe de f.Or une aire est toujours positive. D’où la première assertion. Si f g sur [a ; b] , alors f - g 0 sur [a ; b] , en utilisant la propriété précédente ainsi quela linéarité de l ’intégration, on obtient :

0)()()()( b

a

b

a

b

adxxgdxxfdxxgxf

D’où la seconde propriété.

Cf

Cg

La seconde propriété peut aussi s’interpréter en termes d’aires :

Si f et g continues et positives sur [a ; b] et si f g sur [a ; b] , alors l’aire sous la courbe de f est supérieure àl’aire sous la courbe de g.

Cf

m

M

Inégalité de la moyenne

Soit f une fonction continue sur un intervalle I ; m et M deux réels. Pour tout a et b de I tels que a b :

abMdxxfabmb

a )(

Si m f M sur [a ; b] , alors :

L’ inégalité de la moyenneest une conséquence de laseconde propriété.On peut interpréter cet encadrementen termes d’aires (si m 0 sur [a ; b] )

Théorème

Soit f une fonction continue sur un intervalle I et a et b deux réels distincts de I.

Il existe au moins un réel c compris entre a et b tel que :

abcfdxxfb

a )()(

Ce théorème est une application du théorème des valeurs intermédiaires.

Valeur moyenne

Le nombre défini par :

b

adxxf

ab)(

1

est appelé valeur moyenne de f entre a et b.

Là encore, on interprète la valeur moyenne en termes d ’aires :

Si f continue et positive sur [a ; b] , la valeur moyenne est la hauteur d’un rectangle dont l’aire est égale à celle sous la courbe de f .