Available at : http ://www.ictp.trieste. it/~pub_ of f IC/99/122

United Nations Educational Scientific and Cultural Organizationand

International Atomic Energy Agency

THE ABDUS SALAM INTERNATIONAL CENTRE FOR THEORETICAL PHYSICS

CALCUL FONCTIONNEL DE WERMER ET SPECTRE LOCAL

O. El-Fallah1

Departement de Mathematiques et Informatique, Faculte des Sciences,Universite Mohammed V,

B.P 1014, Avenue Ibn Battouta Agdal, Rabat, Morocco

and

E.H. Zerouali2

Departement de Mathematiques et Informatique, Faculte des Sciences,Universite Mohammed V,

B.P 1014, Avenue Ibn Battouta Agdal, Rabat, Moroccoand

The Abdus Salam International Centre for Theoretical Physics, Trieste, Italy.

MIRAMARE - TRIESTE

September 1999

1E-mail : elfallah@fsr.ac.ma2Regular Associate of the Abdus Salam ICTP. E-mail : zerouali@fsr.ac.ma

1 Introduction

Soient X un espace de Banach et L(X) l'algebre des operateurs bornes sur X. Pour T G L(X)on designe par σ(T), σp(T) et ρ(T) respectivement le spectre, le spectre ponctuel et le resolvantdeT.

Soient x G X et λ G C, on dit que λ est dans le resolvant local de T en x, note ρ(x,T),s'il existe un voisinage V de λ et une application analytique F de V a valeurs dans X verifiantl'equation :

(/x - T)F(p) = x pour tout /x G V.

Le spectre local de T en x, note σ(x,T), est le complementaire de ρ(x,T) dans C. On dit queT admet la propriete de l'extension unique (en abrege S.V.E.P), si pour tout ouvert V de Cl'unique fonction analytique F de V a valeurs dans X veriflant l'equation

est la fonction nulle. Dans ce cas l'application

ρ(T) -^ XA —( {\-T)-lx

admet une extension analytique maximale unique definie sur ρ(x,T). Il est facile d'etablir, dansle cas ou on a la S.V.E.P, que σ(x,T) est non vide pour tout x G X non nul. Notons que siσp(T) est d'interieur vide, alors T admet la S.V.E.P. Pour plus de details voir [?], [?], [?].

On notera par Γ le cercle unite, C(Γ) l'espace des fonctions continues sur Γ et f{n) le nieme

coefficient de Fourier de f (f e C(Γ)).

Dans la suite (w(n))raez designera une suite de nombres reels satisfaisant :

ω(n) > l ( f i £ Z )1

limsupω(n)|n| = 1 (\n\—>oo

) < ω(n + 1) < c2ω(n) (c1, c2 > 0)

ou limsupω(n) |n | = Maa;{limsupw(n)«,limsupw(—n)n1}.|n|—>oo ra^+oo ra^+oo

L'ensemble Aω = {f e C(Γ) / J ^ \f(n)\u(n) < +00} muni de la norme

est un espace de Banach. Il est a noter que Aω est une algebre de Banach si, et seulement si,(w(n))raez est un poids (i.e ω(n + m) < ω(n)ω(m) (n, m G Z)).Pour tout operateur inversible T sur X on considere le poids ωT(n) = ||T r a | | (n G Z). Le calculfonctionnel de Wermer [?], [?] est l'application ΦT defini par :

Φ T : AWT -^ (X)

f -^ f(T) := ^ f(n)Tn.nez

Notons que pour tout x G X et pour tout f G Aωx, ou uωx(n) = Max (1, ||Traa;||) (n G Z), laserie ^ f(n)Tnx est convergente. On definit alors le calcul fonctionnel de Wermer local

par :ΦT,x : AΩX > X

S>TAf)--=J2Hn)Tnx.

Remarquons que ΦT,X est un " prolongement local " de ΦT (i.e ΦT,x(f) = ΦT(f)x pour tout/ S AωT). On posera alors ΦT,x(f) = f(T)x pour tout f G A^- Notons aussi que la suite ωx

n'est pas necessairement un poids, par consequent Aωx n'est pas toujours une algebre de Banach.Le but de ce travail est d'etudier le spectre local de T en f(T)x. La section 3 est consacree

au cas du shift Sω sur l'espace Aω. Plus precisement, nous demontrons que si l'algebre desmultiplicateurs de Aω est reguliere, alors σ(f,Sω) = suppf (f G Aω), ou suppf est le supportde f. Dans la section 4 nous demontrons, sous certaines conditions, les inclusions suivantes :

σ(x, T) n (Γ \ Z(f)) C σ(f(T)x, T) C σ(x, T) n supp(f)

ou Z(f) l'ensemble des zeros de f. Nous donnons ensuite des exemples montrant que l'enca-drement ci-dessus est le meilleure possible et nous introduisons une classe d'operateurs pourlaquelle nous avons l'egalite :

2 Preliminaires

Nous commengons cette section par introduire certaines notations necessaires pour enoncerle theoreme de Beurling [?].Soient λo G Γ et D(λo, r) le disque de centre λo et de rayon r. On note D+(λo, r) = D(λo, r)DDet D~(XO, r) = D(λo, r) n (C \ D) ou D est le disque unite.

Soient η > 0 et ρ une application continue, positive et symetrique (i.e ρ(r) = ρ(1r)) sur[1+1η, 1 + η] . On designe par Cρ(D(λo,r)) l'espace des fonctions f continues sur D(λo,r) \ Γ

telles que la fonction z —>• (|z|)f(z) se prolonge en une fonction continue sur D(λo, r), nulle surl'arc D(λo,r) n P . L'espace Cρ(D(λo,r)) muni de la norme

| | / | | , = sup ρ(|z|)|f(z)|.zeD(Xo,r)

est un espace de Banach. On pose finalemant :-Aρ(D±(λo,r)) = {f G Cρ(D(λo,r))/f holomorphe sur D+(λo,r) U D"(Ao,r)}-Aρ(D(λo,r)) = {f G Aρ(D±(λo,r))/f se prolonge analytiquement sur D(λo,r) nP}.

Theoreme 2.1 ([?]) : Aρ(D(λo,r)) est un sous espace ferine de Aρ(D±(λo, r)) pour la normeH-llp si, et seulement si,

/•!+»? l

/ loglog1dt < +oo. (2)

On dit qu'une suite (w(n))raez est une suite de Beurling si y~]( n2) < oo. Le resultat

que nous enongons ci-dessous est la version discrete du theoreme de Beurling-Malliavin [?] ([?],lemma 2.1).

Theoreme 2.2 Soit (w(n))raez une suite satisfaisant (1). Il existe une fonction non nulle f GAω a support arbitrairement petit si, et seulement si, (w(n))raez est une suite de Beurling.

On dit qu'une fonction f G C(Γ) est un multiplicateur de Aω si f Aω c Aω. L'ensemble desmultiplicateurs de Aω sera note Mω. Puisque l'application

Tf : g^fg

est une injection, on peut identifier tout multiplicateur de Aω a un operateur borne sur Aω.

Muni de la multiplication ponctuelle et de la norme d'operateur, note | | . | |MW> Mω est une algebre

de Banach commutative unitaire. En remarquant que ||o;n||Mw = w(n) ou Cj(n) = suPkez ω

ω(k) ,

on obtient aisement les inclusions suivantes :

Aco C M ω c Aσ n Aω ou σ(n) =1 + n 2 .

Ainsi l'ensemble des caracteres de l'algebre M ω s'identifie a Γ si, et seulement si, lim —.—.— =\n\—>oo \n\

0. En utilisant le theoreme 2.2 et les inclusions ci-dessus, on peut verifier facilement que M ω estune algebre reguliere si, et seulement si, (w(n)) r a ez est un poids de Beurling.

3 Cas du shift

Soit (w(n)) raez une suite satisfaisant (1). Nous designons par S^ Poperateur shift defini par :

Sω : Aω -^ Aω

f -^ «/

ou α est l'application donnee par α(eit) = eit.

T h e o r e m e 3.1 Soient (w(n)) r a ez une suite satisfaisant (1) et Sω le shift defini sur Aω. Si

(w(n)) r a ez est un poids de Beurling, alors pour tout f G Aω on a

σ(f,Sω) = supp(f).

• ^ , , NN , , ^ , / v ^ logCoin) . , loguoiri)Preuve : Puisque (w(n)) r a ez est un poids de Beurling (i.e > 5- < 00), on a lim = : — : —

nez 1 + n | r a |^°° | n |

0 et par consequent σ(Sω) C Γ ([?], theoreme 7).Pour tout λ0 G Γ \ σ(f, Sω) = ρ(f, Sω) f] Γ, il existe un voisinage ouvert V de λ0 et une fonctionanalytique F de V a valeurs dans A^ verifiant :

Ceci entraine que f(λ) = 0 pour tout λ eV DT, donc supp(f) C σ(f, Sω).

Inversement, soit λ0 G Γ \ supp(f). Il existe alors un voisinage ouvert V de λ0 tel que f = 0

sur V (IT. L'ensemble

I = {<peAa/<p = 0surΓ\V}

est un ideal ferine de A& et Z(I) := DfeiZ(f) = Γ \ V en vertu de la regularity de A& etl'ensemble des caracteres de A&/I s'identifie a T \ F ([?] p.223 ). Ce qui donne, Σ(Π(Α)) = Γ\V,ou π la surjection canonique de A& sur A^/I. Ainsi l'application :

G : V —Aω A&IIX -^ (A-vr(a))- 1

est analytique. Soit W C V un voisinage compact de λ0. Puisque G est borne sur W, il existe

c > 0 tel que

| |G(A) | |<c (XeW).

Donc pour tout λ G W il existe gλ G A& tel que :

(\-a)gx e 1 + I e t \\gx\\u> < c.

Or f = 0 sur V, donc f = (λ — α)gλf. Comme gλ G A& c Mω, G Λ f -Aw- Nous pouvons alorsconsiderer l'application F definie par :

F : V —> Aω

A - ^ F(λ)=gλf.

Notons que (λ — α)F(λ) = f. Pour montrer que λ0 /σ(f, Sω), il suffit de demontrer que F estanalytique sur W.Puisque σ (α) = Γ, pour tout λ G V \ Γ on a :

donc F est analytique sur V \ Γ. De plus pour tout λ, /x G W on a :

= \\gxf-g,f\\= \\9\(cx -

Ceci prouve que F est continue sur W et par consequent F est analytique sur W. D'ou leresultat.

R e m a r q u e 3.2 Lorsque (uj(n))nez n'estpas unpoids de Beurling, I'egalite (3) n'estpas toujourssatisfaite. En effet, considerons la suite (w(n)) raez definie par :

ω(n) = { 1 i U ~ °

La suite (w(n)) raez satisfait (1) et un calcul simple montre que

„, , \ 1 n < 0W ( n ) = 1 2 n n > 0 .

Donc la suite (uj(n))nez n'est pas de Beurling et σ(Sω) = {z e C / 1 < |z| < 2}.Puisque Sω n' as pas de valeurs propres, Sω admet la S. V.E.P et par consequent | J (f, Sω) =

(Sω) ([?], p.8 ) . On en deduit, puisque supp(f) C Γ (f G Aω), qu'il existe f G Aω tel que

4 Localisation spectrale

Soient X un espace de Banach, T G L(X) un operateur inversible et x G X. Si lim sup ||Traa;||ra|

1, alors l'application R(x, T) : C \ Γ —>• X definie par :

ra>0

— V^ )n>0

est analytique et verifie Pequation (X-T)R(x,T)(X) = x (λ G C\Γ), donc σ(x,T) c Γ. Notons

que la suite ωx(n) = Max{\\Tnx\\, 1} (n G Z) satisfait (1) et que ^ ( n ) = supfc€Z ^^"(t)(n G Z) est un poids. Il est bien connu que Cox est un poids de Beurling si, et seulement si,ρx verifie (2) ou ρjpr = ρ 1(1) = Max{^2 &x{—n — 1)rn, ux(n)rn+l} pour tout r G]0, 1[ et

r n>0 n>0

ρx(1) = 0.

5

1

Lemme 4.1 Soient T G ( X ) un operateur inversible et x G X tels que limsup ||Traa;|| n | = 1|ra|

et lim ^(n)™ = 1. Pour tout f G A&x on a\n\—>+oo

σ(f(T)x,T) CP

R(f(T)x, T)(λ) = f(T)R(x, T)(λ) λ G C \ Γ.

Preuve : Pour tout p G Z on a :

,xU>x(j>).

Il decoule de ce qui precede que σ(f(T)x,T) C Γ.Soit λ G C tel que |λ| > 1. Pour tout p G Z on a :

||™(a;,T)(A)|| < ^ra>0

ra>0 | λ |

< ωx(p)ρx(|λ|).

De meme pour |λ| < 1 on obtient ||Tp

JR(a;,T)(A)|| ω x(p)ρx(|λ|), (p G Z). On en deduit alorsfacilement l'egalite :

R(f(T)x, T)(λ) = f(T)R(x, T)(λ) λ G C \ Γ.

Theoreme 4.2 Soient T G L(X) un operateur inversible admettant la S.V.E.P, x G X tel que1

limsup ||Traa;|| n | = 1 et w un poids de Beurling. Pour tout f G Aωx on an\—>+oo

Preuve : Comme UJX est un poids de Beurling, lim ujx(n)~> = 1. On en deduit, d'apres le\n\—>+oo

lemme 4.1, que σ(f(T)x,T) C Γ. Il suffit alors de montrer que (Γ \ suppf) U (Γ \ σ(x,T)) CΓ\σ(f(T)x,T).

Soit λ0 G Γ \ suppf. D'apres le theoreme 3.1 on a σ(f,Sωx) = suppf, il existe alors unvoisinage ouvert V de λ0 et une application analytique F :

F: V -^ Aωx

A - ^ F(λ)

telle que (λ — T)F(λ) = f. Ceci permet de definir l'application :

G: V —> XA - ^ F(λ)(T)x.

Comme l'application G est analytique et verifle :

(A-T)G(A) = f(T)x (XeV),

6

Aoer\<7(/(2>,T).Soit maintenant λ0 G Γ \σ(x,T), il existe un voisinage ouvert V de λ0 et une application

analytique H de V a valeurs dans X telle que

(X-T)H(X)=x (XeV).

Puisque T admet la S.V.E.P et limsup ||Traa;|| | = 1, on a

H(λ) = R(x,T)(λ) (XeV\T).

Or d'apres le lemme 4.1 nous avons :

| | ™ ( A ) | | < LUX(P)PX(\X\) (XeV\T,peZ).

Donc pour tout g G Aωx l'application :

V\Γ —> XX -^ g(T)H(λ)

est analytique et verifle

\\g(T)H(X)\\<\\g\Upx(\X\) (XeV\T).

Posons fn=^2 f(k)ak. Il est clair que l'application :

V —> XX fn (T)H(λ)

est analytique. De plus on a

\\f(T)H(X) - fn(T)H(X)\\ < | |/ - / n | k P x ( | A | ) ( X e V \ T ) .

Puisque Cux est un poids de Beurling (i.e ρx satisfait (2)) on obtient, d'apres le theoreme 2.1,que l'application :

V\Γ —> XX -^ f(T)H(λ)

se prolonge analytiquement a travars K n F (prolongement note L). On peut alors verifier faci-lement que L satisfait l'equation :

(A-T)L(A) = f(T)x (λ eF).

Par consequent λ0 G Γ \ σ(f(T)x,T). D'ou σ(f(T)x,T) C σ(x,T) n suppf.

Soient (w(n))raez et (a(n))nez deux suites reelles. On dira que σ domine Ω s'il existe C > 0tel que ω(n) < Cσ(n) pour tout n G Z.Dans le cas ou Cox n'est pas un poids de Beurling on peut demontrer, de la meme maniere quele theoreme 4.2, le resultat suivant :

Theoreme 4.2' Soient T G (X) un operateur inversible admettant la S.V.E.P et x G X tels1

que limsup ||Traa;|| | = 1. Si σ est un poids de Beurling dominant ΩX, alors pour tout f G Aσ

on aσ(f(T)x,T) C σ(x,T) n supp(f).

1

Lemme 4.3 Soient T G L(X) un operateur inversible et x G X tels que limsup ||Traa;|| n | = 1.n\—>+oo

Si σ est un poids dominant ωx, alors pour tout f G AΣ, σ domine ωf(T)x et

(fg)(T)x = g(T)(f(T)x) pour tout g e Aσ.

Theoreme 4.4 Soient T G L(X) un operateur inversible admettant la S.V.E.P et x G X tel1

que limsup ||Traa;|| | = 1. Si σ est un poids de Beurling dominant ωx, alors pour tout f G Aσ\n\—>+oo

on aa(x,T)n(T\Z(f))Ca(f(T)x,T).

Preuve : Soit λ0 G Γ \ σ(f(T)x,T) tel que f(λ0) / 0. Il existe un voisinage ferme V de λ0 etune application analytique F : V —> X satisfaisant :

(X-T)F(X) = f(T)x (λ eF).

Quitte a retrecir V, on peut supposer que f(λ) / 0 pour tout λ e F n F . L'ensemble I =/AJ + /(J(y n r ) , oil / f f (Vnr) = {f e Aa / /(A) = 0 (A e VnT)}, est un ideal de Aa. Puisquea est un poids de Beurling, Aσ est une algebre reguliere, donc Z(I)(:= Q Z(f)) = 0. Par suite

feiI = Aσ. En particulier il existe g e Aσ et h e Iσ(V n Γ) tels que 1 = fg + h. Il decoule alors dulemme 4.3 que

D'apres le theoreme 4.2', d'une part nous avons σ(g(T)(f(T)x),T) C σ(f(T)x,T)C Γ\V, et d'autre part on a σ(h(T)x, T) C supp(h) C Γ\V. Comme σ(x, T) C a{g{T){f{T)x),T)Uσ(h(T)x,T), σ(x,T) cT\V. Ceci acheve la preuve du theoreme .

Nous donnons maintenant des exemples montrant que les inclusions obtenues dans les theoremesprecedents sont les meilleurs possibles.Exemples : Soient Ω un poids de Beurling et I un ideal ferme de Aω tel que Z(I) = E. L'operateurT defini sur X = Aω/I est donne par :

T : X —• XTT(/) - ^ 7r(a/).

ou π est la surjection canonique associee a I.On peut verifier facilement que σ(T) = E. En particulier T admet la S.V.E.P. Puisque Ω domineωπ(1), nous avons pour tout f G Aω les inclusions suivantes :

<7(TT(I), T ) n (r \ z(/)) c <7(/(T)7r(i), T ) C a(7r(i), T ) n S W

Nous allons construire, grace a un bon choix de Ω et de E , deux exemples montrant que l'enca-drement ci-dessus est le meilleure possible.1. Soit E l'arc du cercle unite d'extremites eia et eib ou 0 < a < b < 2π. Posons I = {f GAω / f(eit) = 0 (a < t < b)}. Puisque Ω est un poids de Beurling, il existe f G Aω tel queZ(f) = E. On obtient alors f(T)π(1) = π(f) = 0 et par consequent :

Σ(Π(1), T) n (Γ \ Z(f)) = σ(f(T)π(1), T) =

et

2. Soit Ω le poids defini par :/ 1 n > 0

uj(n) = < A—rV e | VM < 0

On considere I = {f e A ω / est nulle au voisinage de 1}. D'apres [?], il existe f e Aω\Itel que f(1) = 0. Nous obtenons alors :

<7(7r(i),T)n(r\z(/)) = 0.

D'autre part nous avons f(T)π(1) = π(f) / 0. Puisque T admet la S.V.E.P, σ(f(T)π(1),T)On obtient alors

Soit E C Γ, la frontiere de E dans Γ sera notee dE.Nous obtenons facilement du theoreme 4.2' et du theoreme 4.4 le corollaire suivant :

Corollaire 4.5 Soient T G L(X) un operateur inversible admettant la S.V.E.P et x G X tels1

que limsup ||Traa;|| n | = 1. Si σ est un poids de Beurling dominant ΩX, alors pour tout f G Aσ

on aσ(f(T)x,T) \ a(x,T)n(T\Z(f)) C da{x,T).

Nous introduisons maintenant une classe d'operateurs pour laquelle nous avons une caracterisa-tion de σ(f(T)x, T) dans le cas ou da(x, T) est au plus denombrable.

Definition 4.6 Soit T e (X)admettant la S.V.E.P, on dira que T verifie la condition C sipour tout x G X on a σ(x, T) fini ou vide, implique x = 0 .

On a le resultat suivant :

Theoreme 4.7 Soient T G (X)un operateur inversible satisfaisant la condition C et x G Xtels que da(x,T) est au plus denombrable. Si σ est un poids de Beurling dominant ωx, alorspour tout f G Aσ on a

σ(f(T)x, T) = a(x,T)n(T\Z(f)).

Preuve : On a d'apres le theoreme 4.2' :

a(x,T)n(T\Z(f))Ca(f(T)x,T).

Supposons que cette inclusion est stricte. D'apres le corollaire 4.5σ(f(T)x,T) \ o{x,T)C\{T\Z{f)) c do{x,T). Puisque da{x,T) est un ferine denombrable,σ(f(T)x,T) \ σ(x,T) n (Γ \ Z(f)) admet un point isole (note λ). Il est alors evident que λ estaussi isole dans σ(f(T)x,T). Soient W et V deux voisinages ouverts de λ tels que :

WcV et VDa(f(T)x,T) = {λ}.

Puisque σ est un poids de Beurling, Aσ est une algebre reguliere et par consequent il existeg G Aσ tel que supp(g) cVetg = 1 sur W. D'apres le lemme 4.3

f(T)x = g(T)(f(T)x) + (1 -g)(T)(f(T)x)

Il decoule alors du theoreme 4.2' que σ(g(T)(f(T)x),T) C a(f(T)x,T)Dsupp(g) = {λ}. CommeT satisfait C , g(T)(f(T)x) = 0 et par consequent

Or d'apres le theoreme 4.2'on a :

σ(f(T)x, T) = σ((1 - g)(T)(f(T)x)) C supp(1 - g),

ce qui est absurde puisque λ e σ(f(T)x,T). D'ou σ(f(T)x,T) = σ(x,T) n (Γ \ Z(f)).

Remerciements : Nous tenons a remercier les Professeurs J. Esterle et M. Mbekhta pourtoutes les discussions que nous avons eu avec eux lors de la preparation de ce travail. This workwas done within the framework of the Associateship Scheme of the Abdus Salam InternationalCentre for Theoretical Physics, Trieste, Italy.

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