CAHIERS D’OPTIQUE OCULAIRE

8.Les Verres Progressifs

1

SOMMAIRE

INTRODUCTION ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 03

I

II

III

PHYSIOLOGIE VISUELLE

La vision fovéale ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 04

La vision extra-fovéale ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 04

La vision binoculaire ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 05C

B

A

CONCEPTION DES VERRES PROGRESSIFS

Le verre ophtalmique en tant que système optique ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 06

Logiciel “d’optimisation” et “fonction de mérite” oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 07

Exigences optiques spécifiques d’un verre progressif1) Exigences de progression de puissance ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 082) Exigences de perception visuelle oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 10

Études cliniques et prototypes oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 10

Contrôle de la conformité des surfaces progressives ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 11E

D

C

B

A

AMÉLIORATION DES CARACTÉRISTIQUES DES VERRES PROGRESSIFS FINIS

Verres progressifs équilibrés ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 12

Verres progressifs finis ronds et prédécentrés ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 12

Précalibrage oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 12C

B

A

3

IV

LE CONFORT DES VERRES PROGRESSIFS

Confort postural oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 13

Confort en vision périphérique et dynamique ooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 15

Confort binoculaire et multidesign oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 16C

B

A

SUPPLÉMENT

DESCRIPTION MATHÉMATIQUE DES SURFACES PROGRESSIVES

Description mathématique locale des surfaces oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 19

Caractérisation mathématique de surfaces dans un domaine circulaire ooo 19-20

Modélisation mathématique de surfaces avec fonctions polynomialespar B-splines oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 21

C

B

A

V

REPRÉSENTATION GRAPHIQUE D’UN VERRE PROGRESSIF

1) Profil de puissance oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 17

2) Relevés isométriques oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 17

3) Graphique à grille oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 18

4) Graphiques tridimensionnels oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo 18

4

INTRODUCTION

INTR

OD

UCT

ION

Si les Unifocaux étaient les premiers

correcteurs de la presbytie, puis les

doubles, voire triples foyers, les verres

progressifs, depuis leur introduction par

Essilor en 1959 se sont peu à peu

imposés comme les verres ophtalmiques

les plus performants pour la correction

de la presbytie, de par leur faculté

d’assurer une vision nette et confortable

à toutes les distances.

Le présent volume des Cahiers

d’Optique Oculaire d’Essilor explicite

le concept des verres progressifs à partir

des données d’optique physiologique,

géométrique et d’ergonomie visuelle.

VERRES PROGRESSIFS

Figure 1 : Principe de base de la vision.a) Unifocale.b) Bifocale.c) Trifocale.d) Progressive.

Figure 1

ooooooooooooooooooooooooooo a ooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooo b ooooooooooooooooooooooooooo

ooooooooooooooooooooooooooo c ooooooooooooooooooooooooooo ooooooooooooooooooooooooooo d ooooooooooooooooooooooooooo

5

PHYSIOLOGIEVISUELLE

Un verre progressif a non seulement pour rôlede redonner à un presbyte la capacité de voirnettement à toutes les distances, mais éga-lement de respecter l’ensemble des fonctionsvisuelles physiologiques, en particulier :

A/ La vision fovéale• La zone fovéale de la rétine permet la visionnette des détails, à toute distance, dans unchamp très petit qui suit la rotation de l’œil.

Elle correspond aux parties des verresprogressifs balayées par les lignes de regardpour toutes les tâches nécessitant unediscrimination fine.

Les zones d’un verre utilisées en vision fovéaledoivent donc produire des images parfaites.

B/ La vision extra-fovéale• La vision extra-fovéale correspond à laperception visuelle assurée par la périphériede la rétine.

Les zones extra-fovéales d’un verre progressifsont celles utilisées en vision périphériquelorsque le porteur regarde devant lui. Il ne voitpas les objets nettement, mais les situe dansl’espace, perçoit leurs formes et détecte leursmouvements.

• La perception de l’espace et des formesassurée par la périphérie de la rétine estdirectement influencée par la distribution deseffets prismatiques sur la surface du verreprogressif. En fonction de l’orientation et del’importance de ces effets prismatiques, leporteur peut percevoir de légères déformationsdes lignes horizontales et verticales.

• Le mouvement est perçu par la totalité de larétine de façon quasi homogène. La variationdes effets prismatiques doit être douce etrégulière sur l’ensemble du verre pour assurerau porteur une vision dynamique confortable.

En laboratoire, nous procédons à des mesurespermettant de définir les seuils de sensibilitédes porteurs en vision extra-fovéale. Nous avonsobservé que les porteurs sont plus sensibles auxvariations, c’est-à-dire aux gradients de cesquantités, qu’à leurs valeurs.

I

IP

HYS

IOLO

GIE

VISU

ELLE

6

PHYSIOLOGIEVISUELLE

C/ La vision binoculaire

La vision binoculaire intègre la perceptionsimultanée, la fusion des images et le sensstéréoscopique. Avec un verre progressif, lecritère de qualité binoculaire est de permettreune fusion naturelle par le respect del’horoptère et de l’identité de perception desdeux yeux. Pour que la fusion soit optimale,les images produites par les verres droit etgauche doivent se former sur des pointsrétiniens correspondants et présenter descaractéristiques optiques similaires dans toutesles directions du regard.

Les yeux convergent naturellement lorsquele regard du porteur s’abaisse pour la visionde près. La progression de puissance doit suivrele trajet de convergence nasale du regard.

Le couple oculaire est particulièrement sensibleaux écarts OD/OG des effets prismatiquesverticaux.

Pour optimiser la fusion motrice des imagesrétiniennes, les effets prismatiques verticauxdoivent être égaux pour tous les couples depoints correspondants des verres droits etgauches.

La conception asymétrique des surfacesprogressives permet de maintenir la symétriedes perceptions visuelles lors des mouvementslatéraux des yeux.

Figure 2

Figure 2 : Vision binoculaire avec verres progressifs.

7

CONCEPTIONDES VERRES

PROGRESSIFS

A/ Le verre ophtalmiqueen tant que système optique

Un verre ophtalmique est un système optiqueconçu pour former l’image des objets éloignéssur la sphère du remotum. Cette sphèreabstraite représente le conjugué optique de lafovéa de l’œil en rotation, sans accommodation.L’image d’un point objet formé sur cettesphère est en général une tache floue et nonun point net en raison des aberrations.Pour mesurer la qualité de l’image d’un pointobjet quelconque, le concepteur du verre“envoie” un ensemble de rayons lumineuxréfractés à travers le verre et calcule alorsleurs intersections avec la sphère du remotum.La qualité de l’image est déterminéepar le diamètre de la tache floue crééesur cette sphère. Les concepteurs de verress’efforcent d’améliorer la qualité de cette imageen maîtrisant dans toute la mesure du possibleles aberrations optiques du verre.

II

CO

NC

EPTI

ON

DES

VER

RES

PR

OG

RES

SIFS

II

sphère du remotum

Figure 3

Figure 3 : Formation de l’image sur la sphère du remotum.

Figure 4 : Calcul de l’image.

8

CONCEPTIONDES VERRES

PROGRESSIFS

B/ Logiciel “d’optimisation”et “fonction de mérite”

La conception de systèmes optiques optimisésne peut se réaliser en une seule étape. Elle agénéralement recours à un processus itératiffaisant appel à un logiciel d’optimisation.Au préalable, un système optique initial etune “fonction de mérite” destinée à noter lesperformances globales du système optique sontdéfinis. La fonction de mérite est le nombre, oula note, que l’on donne au verre pour mesurersa performance.

Après avoir évalué le système optiqueinitial, le logiciel d’optimisation calcule lesnouveaux paramètres d’un système amélioré.Ce processus est répété jusqu’à l’obtention d’unsystème optique de caractéristiques optimales.

La fonction de mérite est une méthode decalcul couramment utilisée pour la définition desystèmes à contraintes multiples partiellementcontradictoires. Elle permet une bonne prise en

compte des exigences physiologiques dans le calcul des verres ophtalmiques. La fonction demérite calculée en chaque point est la sommepondérée des différences quadratiques entre lescaractéristiques optiques souhaitées Tj et lescaractéristiques réelles Aj du système.

Les performances globales du verre sont alorsévaluées par la somme pondérée des valeurs dela fonction de mérite trouvées en tous les pointsdu verre, selon la formule suivante :

Fonction de mérite = oùPi est le “poids” du point iWj est le “poids” de la caractéristique optique jTj est la valeur cible de la caractéristique jAj est la valeur courante de la caractéristiqueoptique j

Pour chacun des points, une valeur cible affectéed’un coefficient est attribuée à chaquecaractéristique optique : puissance, astigmatisme,effets prismatiques et leurs gradients.

point image

point objet

faisceau de rayons incidents

diagramme de points de l'image

profil du front d'ondequi forme l'image

réfraction du faisceau à travers une surface simple(Loi de Snell-Descartes)

Q'

0 4-4

4

2

0

-2

-4

-3

0

3

0

3

Figure 4

Pi .

i=1

i=m

∑ Wj .(Tj –j=1

j=n

∑ Aj )2

9

CONCEPTIONDES VERRES

PROGRESSIFS

C/ Exigences optiques spéci-fiques d’un verre progressif

Les caractéristiques d’un verre progressif sontélaborées par expérimentation clinique dans lerespect de la physiologie de la vision dans lesdifférentes postures des porteurs. Ces caractéristiques sont réparties en deuxcatégories :

1) caractéristiques respectant des valeurs biendéterminées ou contraintes obligatoires

2) caractéristiques devant être maintenues endessous de seuils donnés.

La fonction première d’unverre progressif consiste àrestituer au porteur une bonneefficacité visuelle en vision de

près et à distance intermédiaire, tout en luiconservant une vision de loin nette. Cetteefficacité repose essentiellement sur le confortd’utilisation par le respect impératif despuissances de vision de loin et de près. En cequi concerne la définition de la progression, elleest plus libre de par :

1/ Exigencesde progressionde puissance

a) Le positionnement en hauteur de la zonede vision de près : des considérations physio-logiques telles que la tension des muscles oculo-moteurs ou la plage limitée de fusion binoculairevers le bas, plaident en faveur d’une positionélevée de la zone de vision de près sur le verre.Ce choix induit une progression courte,entraînant une variation rapide des aberrationspériphériques. Un bon compromis a consisté àcentrer la vision de près selon une ligne deregard de 25° vers le bas.

b) Le profil de la progression de puissance :la puissance étant connue entre deux pointsfixés (vision de loin et vision de près), le profilde la progression de puissance qui les relie estdéterminée physiologiquement par uneobservation statistique.

Le profil de progression doit respecterl’horoptère vertical qui est le lieu des pointsde l’espace vus binoculairement de manièrenaturelle.

Une progression de puissance adéquate le longde la méridienne, permet au porteur d’explorerle champ objet sans lui imposer de fatigantsmouvements verticaux de la tête.

Figure 5

10

CONCEPTIONDES VERRES

PROGRESSIFS

c) La position horizontale (latérale) de la zonede vision de près : le profil de puissance étantdéfini, son positionnement latéral sur le verredoit être adapté à la convergence naturelle desyeux et à la valeur de l’addition. Des études ontmontré que l’acuité visuelle diminuait avec l’âge.Ceci se traduit par un rapprochement du plande lecture afin d’augmenter la taille apparentedes caractères lorsque la presbytie se confirme.

Pour prendre en compte l’augmentation deconvergence nécessitée par le rapprochementdu plan de lecture, la méridienne est déplacéeen direction nasale au fur et à mesure que croîtl’addition.

Figure 7

Figure 5 : Logiciel d’optimisation.

Figure 6 : Profil géométrique des méridiennes.

Figure 7 : Profils de puissance.

Figure 6

11

CONCEPTIONDES VERRES

PROGRESSIFS

Pour une vision fovéale opti-male, les aberrations d’imagedoivent être minimisées le longde la méridienne.

Dans la zone centrale du verre, il imported’équilibrer le prisme vertical entre les yeuxdroit et gauche pour le bon respect de la fusiondes images en vision binoculaire. Ceci est réalisépar une conception asymétrique de la surfacedu verre progressif couplée à un positionnementlatéral adéquat de la méridienne.

Dans la périphérie du verre, utilisée en visionextra-fovéale, les aberrations ne peuvent pasêtre complètement éliminées. Dans cette région,les exigences de qualité d’image sont moinsélevées mais la maîtrise des effets prismatiquesreste importante. La perception du mouvementest une fonction clé de la périphérie du verre, oùle gradient de variation des aberrationsrésiduelles importe davantage que leur valeurabsolue.

2/ Exigencesde perceptionvisuelle

D/ Études cliniques etprototypes

Différents designs de surfaces progressivesoptimisées sont proposés à l’issue des séries decalculs. De nombreux prototypes de verres dechaque type sont alors produits et soumis à desessais cliniques. Des évaluations comparativessont effectuées après analyse approfondie desrésultats cliniques et des remarques desporteurs, conduisant à la sélection définitive decertains types de verres.

Soulignons qu’il s’avère difficile d’établir unerelation formelle entre les calculs de conceptiondes verres et la satisfaction du porteur.Les informations fournies par les expériencescliniques sont donc largement utilisées pouraméliorer la fonction de mérite. Celle-cireprésente la somme des connaissances et dusavoir-faire théorique et clinique de l’équipe deconception.

Figure 8

Figure 8 : Représentation des courbes d’isodifférences desprismes verticaux entre OD et OG.

12

CONCEPTIONDES VERRES

PROGRESSIFS

E/ Contrôle de la conformitédes surfaces progressives

Le contrôle de la conformité des surfaces desverres progressifs est une activité cruciale desconcepteurs et fabricants de verres.

Durant la phase de conception desverres progressifs, le contrôle de laconformité d’un verre fini aux

besoins d’un porteur exige que soient recrééesles conditions réelles dans lesquelles l’œilutilisera le verre. On peut procéder de deuxmanières.a) La méthode directe, qui fait appel à un fronto-focomètre spécial simulant les conditions deport des verres.

b) La méthode indirecte dans laquelle lescaractéristiques du verre progressif sontmesurées en simulant l’œil du porteur par lecalcul.

1/ En déve-loppement

Les méthodes tridimensionnelles de mesuremécaniques ou déflectrométriques (analyse dela déviation des rayons lumineux produite par lasurface) peuvent être utilisées pour mesurer lagéométrie de la surface d’un verre progressif.

Lors de la production ensérie, la conformité d’un

verre à ses spécifications techniques et sareproductibilité sont contrôlées soit parfocométrie traditionnelle, soit par mesuregéométrique directe ou interférométrique de lasurface du verre.

2/ En production

Figure 9 : Machine de mesure de coordonnées.

Figure 9

13

AMÉLIORATION DESCARACTÉRISTIQUES DES VERRES

PROGRESSIFS FINIS

A/ Verres progressifséquilibrés

En raison de l’augmentation de la courbure dela surface progressive dans la zone de vision deprès, un verre progressif est naturellement findans sa partie inférieure et épais dans sa partiesupérieure (voir Figure 9). Pour produire desverres plus minces, les surfaceurs de verreutilisent en général la technique dite“d’équilibrage” qui consiste à incliner la facearrière du verre afin d’égaliser l’épaisseur de lapartie supérieure et de la partie inférieure(Figure 10). Ce procédé “d’équilibrage” induit un prisme à base inférieure ; sa valeur, expriméeen dioptries prismatiques, est généralementégale aux deux tiers de la valeur de l’additionet peut être mesurée à son point de contrôlespécifique. Par exemple, dans un verre progressif“équilibré” de 3,00 D d’addition, un prisme àbase inférieure de 2 dioptries serait lu.Des prismes “d’équilibrage” de valeur identiquedoivent être réalisés sur les verres droitet gauche afin d’éviter l’introduction d’undéséquilibre des prismes verticaux.

B/ Verres progressifs finisronds et prédécentrés

Le prédécentrage des verres progressifs estune méthode utilisée par les fabricants pourproduire des verres “convexes” ronds plusminces. Pour amincir les verres, on en réduit lediamètre, et afin de ne pas perdre de capacitétemporale, la surface progressive est décentréedans la direction nasale. Les verres finisprédécentrés sont produits, par exemple en65/70 mm de diamètre, ce qui veut dire que leverre a un diamètre géométrique de 65 mmmais un diamètre effectif de 70 mm.

C/ Précalibrage

La manière la plus efficace de réduire l’épaisseurau centre des verres convexes est de lesproduire sous forme “précalibré”. Ceci consisteà surfacer le verre aussi fin que possible enfonction de la monture choisie et de laprescription du porteur. L’écart pupillaire duporteur, les hauteurs de montage, la forme et lataille de la monture sont transmis au fabricantdu verre, qui calcule l’épaisseur au centreoptimal du verre fini.

Figure 10

Figure 10 : Verre progressif équilibré.

Figure 11 : Verres progressifs ronds prédécentrés.

Figure 11

III

AM

ÉLIO

RAT

ION

DES

CAR

ACT

ÉRIS

TIQ

UES

DES

VER

RES

PR

OG

RES

SIFS

FIN

ISIII

IV

LEC

ON

FORT

DES

VER

RES

PR

OG

RES

SIFS

IV

14

LE CONFORTDES VERRES

PROGRESSIFS

La dernière génération de verres progressifs,introduite sous le nom de Varilux Comfort®(1993), offre au porteur une vision plus naturelleque les verres progressifs de générationsprécédentes.

A/ Confort postural

Des études menées avec des chercheursergonomes ont permis d’évaluer l’effortnécessaire pour maintenir des directions deregard excentrées.

Les résultats militent pour un positionnementassez haut de la vision de près sur le verre, cequi a conduit pour Varilux Comfort® à faire ensorte que 85 % de l’addition soit disponiblepour un abaissement de regard de 25°.

Le passage de la vision de loin à la vision deprès se fait avec un effort oculaire réduit. Leporteur explore ainsi son champ de vision deprès et intermédiaire de manière plus naturelleet plus confortable.

Ces avantages sont rendus possibles par le profilde progression spécifique des verres progressifsVarilux Comfort® : pour une addition de 2,00 D,85 % de l’addition sont atteints 12 mm endessous de la croix de montage.

+4

-8

-14

-20

085 % 100 % add.

VISION de LOIN

VISION de PRÈS

( add. 2.00 )

VISION INTERMÉDIAIRE

Figure 12

Figure 12 : Courbe de puissance de Varilux Comfort® (plan add. 2).

Figure 13 : Position comparée de la tête et de l’œil.Observation de la partie supérieure d’un document A4.

Figure 14 : Mouvements comparés de la tête et de l’œil(plan vertical). Lecture d’un document A4.

15

LE CONFORTDES VERRES

PROGRESSIFS

Figure 13 Figure 14

45°

15°

Situation naturelle

25°

35°

Varilux Comfort®

30°

30°

Progressif classique

45°

20°

Situation naturelle

5°

5°

15°

35°

Varilux Comfort®

10°

10°10°

30°

Progressif classique

16

LE CONFORTDES VERRES

PROGRESSIFS

B/ Confort en visionpériphérique et dynamique

Une surface douce a pu être réalisée pourVarilux Comfort® afin d’assurer au porteur unevision périphérique et dynamique naturelle.

Les recherches menées sur la vitesse devariation des caractéristiques optiques(puissance, astigmatisme...), montrent que c’estle facteur fondamental qui qualifie la douceur dela surface et le confort, par rapport à la simplevaleur des caractéristiques optiques.

Figure 15

Figure 15 : Représentation tridimensionnelle de la vitessede variation de la puissance.

Verre progressif classique“de type doux”

Verre progressif classique“de type dur”

Varilux Comfort®

17

LE CONFORTDES VERRES

PROGRESSIFS

Figure 16

Situation naturelle Varilux Comfort® Progressif classique

C/ Confort binoculaireet multidesign

L’utilisation de design asymétrique OD/OG estindispensable au parfait respect de la visionbinoculaire. Cette conception asymétriqueassure une symétrie des perceptions visuelles :naso-temporal et temporo-nasal.

Le confort binoculaire est également assuré parun positionnement latéral des zones de visionintermédiaire et de près adapté pour chaquevaleur d’addition.

Une fois ce critère rempli, il importe quepour toutes les directions de regard possibles,la différence de valeur des caractéristiquesoptiques entre les deux verres ne soit pas tropimportante.

Pour donner au porteur une vision équilibrée etconfortable, les différences de prismes verticauxpour Varilux Comfort® ne dépassent pas 0,25 ∆.

Figure 16 : Observation en vision intermédiaire d’un objetexcentré à 25°.

Figure 17 : Représentation des courbes d’isodifférences desprismes verticaux entre OD et OG avec Varilux Comfort® (plan add. 2).

Figure 17

Figure 18

Figure 19

Figure 20

18

REPRÉSENTATIONGRAPHIQUE

D’UN VERRE PROGRESSIF

Les concepteurs de verres utilisent différentesméthodes de représentation graphique descaractéristiques optiques des verres progressifs,en particulier :

La courbe représente laprogression de puissance du verrele long de sa méridienne, de la

vision de loin à la vision de près. Cetteprogression de puissance est le résultat d’uneréduction continue du rayon de courbure de laface avant du verre.

1/ Profil depuissance

Il s’agit d’une carte bi-dimensionnelle du verre,représentant la distribution soit

de la puissance, soit de l’astigmatisme. La carte montre des lignes de valeur dioptriqueégale (iso-puissance ou iso-astigmatisme). Entre deux lignes consécutives, la puissance oul’astigmatisme varie d’une valeur constante,0,50 D dans ces exemples.

2/ Relevésisométriques

Figure 18 : Profil de puissance d’un verre progressif(plan add. 2.50).

Figure 19 : Courbes isométriques de la puissance d’un verreprogressif (plan add. 2.50).

Figure 20 : Courbes isométriques de l’astigmatisme d’un verreprogressif (plan add. 2.50).

V

REP

RÉS

ENTA

TIO

NG

RA

PH

IQU

ED’U

NVE

RR

EP

RO

GR

ESSI

F

V

19

REPRÉSENTATIONGRAPHIQUE

D’UN VERRE PROGRESSIF

-20-30-40-50-60-70 -10 605040302010 70

-60

-50

-40

-30

-20

-10

1020

3040

5060

7080

90

Figure 21

0

1020

30

-10

-20

-30

0

-10

-20

1020

30

Beta en degrés

Alpha en

degrés

0

-2

-4

-6

2

4

6

Pui

ssan

ceen

diop

trie

s

Figure 22

La grille met en évidencela distribution des effetsprismatiques du verre en

montrant comment ils affectent une grillerectangulaire observée à travers le verre.

La représentation tri-dimensionnelle projetteverticalement la valeur d’une

caractéristique optique donnée en chaque pointdu verre par rapport à un plan de référence. Ellepeut être utilisée pour montrer une distributionde puissance, l’astigmatisme, les effetsprismatiques, les gradients de variation depuissance, etc. Ces graphiques tridimensionnelssont plus démonstratifs des caractéristiques duverre que les tracés isométriques.

La dernière représentation tridimensionnelle,décrivant les pentes ou vitesse de variationde puissance d’un verre progressif permet demontrer plus précisément les balancementsressentis par le porteur quand il se déplace.

Bien qu’ils soient utiles auprocessus de conception, tousces graphiques ne sont que de

simples représentations des caractéristiques desverres progressifs et ne corrèlent pas vraiment lasatisfaction du porteur. En tant que tels, cesgraphiques ne peuvent pas être utilisés pour descomparaisons qualitatives de verres progressifsou pour prédire le confort visuel des patients.Seules des études cliniques bien conduites etimpliquant un nombre statistiquementsignificatif de porteurs, peuvent fournir les basesfiables d’évaluation et de comparaisonqualitative des verres progressifs.

Interprétationdes graphiques

4/ Graphiquestridimensionnels

3/ Graphiqueà grille

Figure 21 : Graphique à grille représentant un verre progressif(plan add. 2.50).

Figure 22 : Graphique en trois dimensions de la puissance d’unverre progressif (plan add. 2.50).

Figure 23 : Graphique en trois dimensions de l’astigmatismed’un verre progressif (plan add. 2.50).

Figure 24 : Graphique en trois dimensions des gradients de puissance d’un verre progressif (plan add. 2.50).

0

1020

30

-10

-20

-30

0

-10

-20

1020

30

Beta en degrés

0

-2

-4

-6

2

4

6

Ast

igm

atis

me

endi

optr

ies

Alpha en

degrés

Figure 23

0

1020

30

-10

-20

-30

0

-10

-20

1020

30

X en mm

Y en mm

0

0,5

0,5

Gra

dien

t de

puis

sanc

e ∆

1

Figure 24

20

SUPPLÉMENTDESCRIPTION MATHÉMATIQUEDES SURFACES PROGRESSIVES

SUP

PLÉ

MEN

T-

DES

CR

IPTI

ON

MAT

HÉM

ATIQ

UE

DES

SUR

FAC

ESP

RO

GR

ESSI

VES

A/ Description mathématiquelocale des surfaces

Toute surface définie par une équation z = f(x, y) peut être exprimée mathématiquementdans un système de coordonnées 3D deréférence Oxyz, xOy étant le plan tangentiel à lasurface au point O, par une équation du seconddegré, plus des termes de degré plus élevé.Cette surface du second degré est osculatriceavec la surface au point O (c’est-à-dire que sescourbures sont identiques à celles de la surfaceréelle) et définie par l’équation :

z = rx2 + 2sxy + ty2

où r, s, t sont des dérivées locales de la surface :

r=d2z/dx2, s=d2z/dxdy, t=d2z/dy2.

Cette surface du second degré définit l’axe localet les courbures principales de la surface en O.En outre, toute surface pouvant être assimiléelocalement à une surface torique, caractériséepar ses courbures principales orthogonales C1et C2 et par son axe dérivé des équationssuivantes :

où p = dz/dx, q = dz/dy,

Axe = Arctg (m) où m est la solution del’équation quadratique :

B/ Caractérisationmathématique de surfacesdans un domaine circulaire

Toute partie d’une surface complexe peut êtredéfinie en utilisant le système de référenceappelé polynômes de Zernike. Ce système estutilisé pour exprimer la surface sous formemathématique par la somme d’une série depolynômes spécifiques. Les dix premierspolynômes de Zernike permettent deremarquables applications mathématiques etphysiques : la 5e donne accès à la courburemoyenne de la surface, le 4e et le 6e à soncylindre et à son axe, et les 7e et 10e à sa pentede variation de courbure. Les polynômes deZernike sont également utilisés pour ladétermination de la puissance locale, del’astigmatisme, de la coma et de l’aberrationsphérique du verre pour l’analyse de frontsd’onde. La surface du verre est exprimée sousforme mathématique par la formule :

Pi: polynômes de Zernikeoù Zi: coefficients

y, z: variables réduites

Piston Z0

Déviation en y Z1

Déviation en z Z2

Asti ±45° Z3

Défocalisation Z4

Asti 0,90° Z5

Coma tr y Z6

Coma y Z7

Coma z Z8

Coma tr z Z9

Expansion d’une surface dans les 10 premierspolynômes de Zernike.

z3 − 3.z.y2

−2.z + 3.z.y2 + 3.z3

−2.y + 3.y.z2 + 3.y3

3.y.z2 − y3

z2 − y2

−1+ 2.y2 + 2.z2

2.y.z zy 1

f y,z( )= Zi .Pi

i=0

i=9

∑

C1.C2 = r .t − s2

(1+ p2 + q2)2

C1 + C2

2 =

t .(1+ p2) + r .(1+ q2) − 2.p.q.s

2.(1+ p2 + q2)3

2

t .p.q − s.(1+ q2)[ ].m2 + t .(1+ p2) − r .(1+ q2)[ ].m+s.(1+ p2) − r .p.q = 0

(courburemoyenne)

(courbure totale)

Figure A

Figure B

SUPPLÉMENTDESCRIPTION MATHÉMATIQUEDES SURFACES PROGRESSIVES

21

Figure C

SUPPLÉMENTDESCRIPTION MATHÉMATIQUEDES SURFACES PROGRESSIVES

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3/ Modélisation mathématiquede surfaces avec fonctionspolynomiales par B-splines

Toute surface bi-régulière peut être représentéepar un ensemble d’abscisses et d’ordonnéesréparties uniformément sur la surface selon unegrille de référence régulière. Les caractéristiqueslocales de la surface z = f (x, y), p, q, r, s, t, enun point de coordonnées x, y, sont déduites desvaleurs des ordonnées discrètes au voisinage dece point par leur combinaison sur une matricecarrée. Ces caractéristiques sont calculées selonles formules suivantes :

Figure A : Description locale d’une surface.

Figure B : Représentation graphique du 8e polynôme de Zernike.

Figure B : Modélisation d’une surface avec fonctions par B-splines.

z= λ i , j .ai,ji, j∑

p=df

dx= wi,j

x .i,j∑ (ai+1, j – ai,j )

q=df

dy= w

i,jy .(ai,j+1 – ai,j )

i , j∑

r=d2f

dx2= wi,j

xx .(ai+2, j – 2.ai+1, j + ai,j )i , j∑

s=d2f

dxdy= w

i,jxy .(ai+1, j+1 – ai+1, j + ai,j – ai,j+1)

i , j∑

t=d2f

dy2= w

i,jyy .(ai,j+2 – 2.ai,j+1 + ai,j )

i , j∑

avec λ i,j ,wi,jx ,w

i,jy ,wi,j

xx ,wi,jxy ,w

i,jyy , sont

des coefficients tabulés.