cahier louis bachelier n°3

MIEUX COMPRENDRE LA RECHERCHE EN FINANCE

Numéro spécial

Avec le concours de

Aurélien AlfonsiNicole El KarouiEmmanuel GobetJulien GuyonCharles-Albert LehalleNizar TouziPeter Tankov

DE L’ILBCAHIERSL E S

JUILLET 2011

N°3

CAHIER ILB-FR N3_Mise en page 1 15/06/11 15:56 Page1

LES CAHIERS DE L’ILB - 2

Valorisation et diffusion de la recherche

■ Prix de la recherche en Finance en partenariat avec l’InstitutEuroplace de Finance (EIF).

■ “Les Cahiers de l’ILB” font découvrir quelques uns des travauxde recherche des chaires. Les chercheurs y présentent leursrésultats dans un langage accessible à un large public. Fairepartager les enjeux de la recherche à tous ceux qui s’intéressentà la finance, tel est l’objectif des Cahiers de l’ILB.

■ Portail “Recherche en Finance” en partenariat avec l’AGEFI :celui-ci a pour vocation de diffuser et de vulgariser les travauxde chercheurs sous forme d’une interview de présentation etd’explication (http://www.agefi.fr/dossiers/recherche-finance.aspx).

■ Partenariats presse : L’Institut Louis Bachelier fournit régu-lièrement des articles au comité de rédaction de revues tellesque Revue Banque, Revue Risques et Bank Market Investors(BMI).

■ Réseau communautaire en ligne de chercheurs pour l’industrie financièrewww.e-fern.org

Création d’équipes scientifiquesd’excellence

■ Coopération avec des universités et centres de rechercheeuropéens, américains et asiatiques positionnant l’ILBcomme un carrefour international pour la recherche en banque,finance et assurance.

■ Contribution et soutien à l’émergence de programmesde recherche en lien direct avec l’industrie financière : 25 chaires et initiatives de recherche ont été créées sous l’égidede l’Institut Europlace de Finance (EIF) et de la Fondation duRisque (FDR) depuis 2007.

■ Montage de projets de recherche multidisciplinaire : L'ILBmutualise son expertise en matière de partenariats publics/privés au service des chaires et initiatives de recherche afin defaciliter la gestion des projets de recherche.

Espace de réflexion et de débats à l’échelleeuropéenne

■ Le Forum International des Risques Financiers : cette manifestation a pour objectif de présenter, chaque année, lesmeilleurs travaux de recherche internationaux et de dialoguer,par le biais de débats et de tables rondes, sur les préoccupationsdes acteurs financiers.

■ Les Semestres Thématiques : organisés sous forme deconférences, de séminaires et de cours, les semestres théma-tiques visent à favoriser les échanges entre académiques etprofessionnels sur une problématique commune.

■ Les Ateliers Thématiques : répondent à la volonté de confronterles chaires de recherche à un questionnement de la profession.

■ Le Job Market Européen de la recherche en finance :cette manifestation annuelle vise à mettre en relation les jeuneschercheurs doctorants, post-doctorants français et internationauxavec les universités et les professionnels français et européens.

Promouvoir, partager et éclairer sur les enjeuxde la recherche française en banque, finance et assurance


Exécution optimale d’ordresET MANIPULATION DE PRIX

Par Aurélien Alfonsi

Formules rapides de valorisation d’optionsET CALIBRATION TEMPS-RÉEL

Par Emmanuel Gobet, Eric Benhamou et Mohammed Miri

Le smile dans les modèlesÀ VOLATILITÉ STOCHASTIQUEPar Julien Guyon

Modeling and Managing Financial RisksCONFÉRENCE DE LA CHAIRE RISQUES FINANCIERSPar Peter Tankov

Le trading quantitatifUNE RATIONALISATION DE LA NÉGOCIATIONSUR LES MARCHÉSPar Charles-Albert Lehalle

Bornes de non-arbitragePOUR LES OPTIONS LOOKBACH

Par Pierre Henry-Labordère et Nizar Touzi

Le master “Probabilités et Finance”FÊTE SES VINGT ANSPar Nicole El Karoui

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éditoRisques financiers : un défi pour les mathématiciens

Voilà au moins 40 ans que les mathématiciens s’associent avec l’industrie financière pour réfléchir aux modèles des fluctuations descours de la bourse, afin de développer des méthodes de valorisationd’actifs et de contrôler les risques. Cependant, la crise récente dessubprimes a montré que nous avons un long chemin à parcouriravant de comprendre le fonctionnement des marchés et les risquesassociés. Les modèles utilisés sont encore loin de la réalité, notam-ment en ce qui concerne la prise en compte du risque de liquidité etdes interactions entre les agents.

La chaire “Risques Financiers” de la Fondation du Risque a été crééepeu avant la crise pour promouvoir une meilleure utilisation des mathématiques au sein des institutions financières. Portée par Nicole El Karoui, cette chaire réunit les équipes de recherche enmathématiques financières de l’Ecole Polytechnique et de l’Ecoledes Ponts ParisTech avec l’équipe de recherche quantitative de laSociété Générale, dirigée par Lorenzo Bergomi. Ces équipes sontà la pointe de la recherche en finance en région parisienne et, danscertains domaines, elles en sont les leaders mondiaux. L’objectif dela chaire est d’un côté de “passer à la vitesse supérieure” en termesde recherche, en augmentant notamment les collaborations interna-tionales pour rendre la place parisienne plus attractive pour les chercheurs, et d’un autre côté de promouvoir les collaborationsavec les praticiens, pour identifier les sujets de recherche pertinentset rapprocher la recherche universitaire des préoccupations des industriels.

Les sujets de recherche sur lesquels nous travaillons sont, entre autres :

• Méthodes numériques efficaces pour les problèmes de valorisationet gestion des risques.

• Modélisation du risque de liquidité, c’est-à-dire le risque lié à l’im-possibilité de trouver rapidement un acheteur ou un vendeur pourune grande quantité d’actifs.

• Problèmes non-linéaires, et notamment les questions liées à l’interaction entre les agents.

• Modélisation de microstructure du marché et des carnets d’ordres ;traitement des données financières à très haute fréquence.

• Méthodes mathématiques pour la résolution des problèmes d’op-timisation en finance, utilisant notamment les équations différen-tielles stochastiques “rétrogrades”.

La conférence “Modeling and Managing Financial Risks” a été pournous l’occasion de faire un bilan préliminaire des 3 premières annéesde la chaire. Les équipes de recherche ont grossi, parce que la présence de la chaire a permis, d’une part, d’avoir un soutien des établissements et, d’autre part, de faire des excellents recrutements.Nous avons pu inviter un grand nombre de chercheurs étrangers de premier plan, et initier des collaborations permanentes avec certains d’entre eux. Des collaborations entre les universitaires et les chercheurs de la Société Générale sont également en cours. Des nombreuses avancées ont été faites dans les domaines de recherche de la chaire. Ce cahier présente la conférence “Modelingand Managing Financial Risks” en mettant un accent particulier sur les contributions des membres de la chaire, pour donner un panorama de leurs réalisations.

Nicole El Karoui et Nizar TouziDirecteurs scientifiques de la Chaire Risques Financiers

Publicationde l'Institut Louis BachelierPalais Brongniart28 place de la Bourse75002 ParisTél. : 01 49 27 56 40www.institutlouisbachelier.orgwww.e-fern.org

DIRECTEUR DE LA PUBLICATIONJean-Michel Beacco

CHEF DE PROJETSCyril Armange

RÉDACTEUR EN CHEFMedhi Ramdani

[email protected]

CONTRIBUTEURSChaire Risques Financiershttp://www.cmap.polytechnique.fr/financialrisks/

Correspondant chaire Peter Tankov [email protected]

CONCEPTION GRAPHIQUEVega Conseil45 rue Garibaldi 94100 Saint MaurTél. : 01 48 85 92 01

COUVERTURECaléis62 avenue de l’Europe 78140 VélizyTél. : 01 39 46 16 71

RÉALISATIONBusiness Digest19 rue Martel 75010 ParisTél. : 01 56 03 55 91

IMPRIMEURIRO : Z.I. rue Pasteur 17185 Périgny cedexTél. : 05 46 30 29 29

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Partenaires de la Chaire Risques Financiers


BIOGRAPHIE

Aurélien Alfonsi

Aurélien Alfonsi est chercheur en

probabilités et finance à l'Ecole des

Ponts ParisTech, au CERMICS (Centre

d'Enseignement et de Recherche en

Mathématiques et Calcul Scientifique).

Ses thèmes de recherche portent sur la

modélisation des marchés financiers et

les méthodes numé[email protected]

Introduction

Ces ordres, appelés ordres limites, nepeuvent être placés que sur une grille deprix déterminée par le marché. Lorsqu'unintervenant souhaite acquérir cet actif, il peut soit placer un ordre limite d'achatet attendre que celui-ci trouve preneur,soit acheter au meilleur offrant enconsommant les ordres de vente lesmoins chers. La première solution al'avantage de présenter un coût moinsélevé, mais la réalisation et l'instant de latransaction sont incertains. La deuxièmesolution est plus chère mais immédiate.Dans notre étude [AS], nous considérons,pour simplifier, uniquement cette dernièrepossibilité.

Lorsqu'un agent achète une petite quantitéd'actifs sur le marché, il ne consommeraque les offres les moins chères.

Le coût de la transaction sera alorsproche du produit “quantité” × “prix coté”,et par conséquent l'information donnéepar le carnet d'ordres est superflue. Lasituation est différente si l'intervenantachète une grande quantité d'actifs.Plus précisément, nous entendons icique la quantité achetée est d'un ordrede grandeur comparable au nombred'ordres limites de vente en attente dansle carnet d'ordres. Dans ce cas, l'agentconsommera des ordres limites de venteà un prix bien supérieur au prix coté. Laconnaissance du carnet est alors néces-saire pour déterminer le coût de la trans-action qui sera, de toute façon,supérieurau produit “quantité” × “prix coté”. Enréalité dans ce cas, l'agent n'a pas intérêtà acheter tous les actifs en une seuletransaction. Il est préférable pour lui demorceler son achat, afin que de nouveaux

Exécution optimale d'ordres ET MANIPULATION DE PRIX


A RETENIR

■ Dans leur étude [AS], Aurélien Alfonsi et Alexander Schied proposentune modélisation simple et intuitive de la dynamique des carnets d’ordres dans les marchés financiers.

■ Cela leur permet d'obtenir une stratégie optimale explicite pour placer un ordre d'achat.

De façon usuelle, la valeur d'un actif coté sur un marché est résumée àun prix. Ce prix corr espond à la moyenne entr e la plus haute of fred'achat et la plus basse of fre de vente en attente sur cet actif. Il necontient pas toute l'information donnée par le mar ché. Celle-ci est décrite par le carnet d'ordres qui regroupe tous les ordres d'achat et devente en attente sur l'actif.

Par Aurélien Alfonsi Ecole des Ponts ParisTech - Université Paris-Est Marne-la-Vallée


Le problème de l'exécution optimale d'ordres est étroitement lié à la question de la viabilité du marché.

A p p l i c a t i o n spour les acteurs concernés

■ Résoudre le problème d'exécution op-timale est non seulement intéressantpour les praticiens qui cherchent à ré-duire leur coût de transaction mais peutpermettre également aux régula teursd'identifier comment les mécanismesde cotations influent sur les stra tégiesoptimales et le comportement desagents du marché.


ordres limites de vente moins chers apparaissent entre ses ordres d'achat.Cela nous amène au problème d'exécu-tion optimale que nous avons étudié :étant donné un horizon de temps(quelques heures ou quelques jours),comment découper de façon optimalel'ordre d'achat pour minimiser l'espé-rance du coût total de la transaction ?

Méthodologie

Pour apporter une réponse à cette question, nous avons proposé [AS] une modélisation très simple du carnet d'ordres et de sa dynamique. Le carnetd'ordres est représenté par une fonctionde forme qui décrit le nombre d'ordresde vente en attente à un prix donné.Lorsque l'intervenant achète des actifs,il consomme les offres les moins chèresen attente dans le carnet d'ordres. Celaa pour effet d'augmenter le prix de lameilleure offre de vente. Lorsque l'inter-venant est inactif, de nouvelles offres de vente apparaissent dans le carnetd'ordres à une vitesse que nous suppo-sons proportionnelle soit au volume, soit au déplacement du prix causé parl'intervenant. Dans les deux cas, nousobtenons une structure similaire de lastratégie optimale lorsque les transac-tions ont lieu sur une grille de temps homogène. Pour minimiser son coût,l'intervenant doit commencer par faire un premier achat de taille importante.Ensuite, aux instants intermédiaires, ildoit effectuer des petits achats quiconsomment exactement tous les nou-veaux ordres apparus dans le carnet. A la dernière date, il doit acheter la quantité qui lui manque pour atteindreson objectif.

L'heuristique de ce résultat est trèsclaire. Plus la taille du premier ordred'achat est grande, plus cela permettrad'attirer de nouveaux ordres limites dans

le carnet d'ordres. Sous un autre angle,plus la taille des ordres est grande, plusle coût marginal de l'actif est élevé. Ainsi,la stratégie optimale est un compromisentre réduire le coût des ordres et attirerde nouvelles offres de vente dans le carnet. En outre, notre étude donne uneexpression explicite de la stratégie opti-male. Cela permet de connaître d'unpoint de vue quantitatif l'impact de laforme du carnet d'ordres et de la rési-lience du marché sur la stratégie opti-male et son coût. Nous obtenonsnotamment que la stratégie optimale est relativement peu sensible à la formedu carnet d'ordres, ce qui est un bon indicateur quant à sa robustesse.

Le problème de l'exécution optimaled'ordres est étroitement lié à la questionde la viabilité du marché. Selon Hubermanet Stanzl [HS], une manipulation de prixest une stratégie pour laquelle on disposeà la date finale du même nombre d'actifsrisqués qu'à la date initiale, mais dontl'espérance du coût est négative. Unmarché est viable s'il n'existe pas detelle stratégie. L'idée est que si ce typede stratégie existait, on pourrait gagnersûrement de l'argent en les répétant àl'infini, ce qui constituerait un arbitrageclassique. De notre point de vue, unemanipulation de prix est un cas particulierdu problème d'exécution optimalelorsque l'on souhaite acheter zéro actif.S'il était possible de n'acheter aucunactif avec un coût moyen négatif, il y aurait des manipulations de prix. Dansnotre modèle de carnet d'ordres, nousavons pu montrer que cela n'est pasréalisable si bien que le marché qu'il représente est viable.

“”

Pour al ler plus loin

■ [AS] Alfonsi, A., Schied, A. (2010), OptimalTrade Execution and Absence of PriceManipulations in Limit Order BookModels. SIAM J. Finan. Math., Vol. 1, pp.490-522.

■ [HS] Huberman, G., Stanzl, W. (2004).Price manipulation and quasi-arbitra ge,Econometrica, Vol. 72, No. 4, pp. 1247-1275.


BIOGRAPHIE

Emmanuel Gobet

Professeur de mathématiques appliquées

à l'Ecole Polytechnique, Emmanuel Gobet

a soutenu sa thèse en 1998 et son habilita-

tion à diriger des recherches en 2003. Il a

écrit une quarantaine d'articles scientifiques

dans des revues internationales. Ses travaux

portent principalement sur les méthodes

numériques probabilistes, la statistique

des processus et les mathématiques finan-

cières. Par ailleurs, il a de multiples collabo-

rations industrielles avec les établissements

financiers, d’assurances ou les énergéticiens.

[email protected]

Eric Benhamou

PDG de Pricing Partners, Eric Benhamou

a une longue expérience de la salle de

marché ayant travaillé successivement

chez Goldman Sachs et Natixis avant de

fonder Pricing Partners, société indépen-

dante qui fournit à la communauté financière

un logiciel de valorisation et de gestion

des risques reposant sur les modèles

mathématiques de dernière génération.

[email protected]

La finance de marché a besoin de calculs temps réel

Cette expansion a été accompagnée etrendue possible par de nombreux progrèsinformatiques et un développement simultané des outils de mathématiquesfinancières, en particulier en analyse mathématique et en calcul numérique.

Alors qu'on pourrait croire que les progrèstechnologiques (via la fameuse loi deMoore) permettent maintenant d'évaluerde plus en plus rapidement les produitsfinanciers et les risques associés, noussommes toujours loin des calculs tempsréel souhaités par tout opérationnel des

salles de marché. Les raisons en sont

multiples : d'une part, les modèles ont

tendance à s'enrichir sans cesse pour

mieux capturer les phénomènes phy-

siques des marchés financiers et ainsi

mieux reproduire les données ou infor-

mations disponibles. Ce raffinement des

modèles engendre inévitablement une

inflation du temps-calcul. D'autre part,

la gestion des risques est abordée de

façon plus globale notamment dans

le cadre des calculs des fonds règle-

mentaires à travers la Value At Risk, ou

encore celui des risques de contrepartie

appelés Credit Valuation Adjustment.

Formules rapides de valorisation d’options ET CALIBRATION TEMPS-RÉEL

Par Emmanuel Gobet, Ecole Polytechnique ; Eric Benhamou, PricingPartners et Mohammed Miri, Pricing Partners


A RETENIR

■ Les exposés des auteurs (conférence plénière d'E. Gobet, contribution mini symposium de M. Miri) lors de la conférence, “Modeling and Managing Financial Risks” en janvier dernier apportent des solutions nouvelles et efficaces à certains problèmes de calcul entemps réel de prix d'options et de leur couverture.

■ Bien souvent, une formule approchée du prix peut être amplementsuffisante pour un objectif de calibration (détermination des paramètres du modèle) ou de valorisation de grands portefeuilles.

■ Si de plus, la formule est analytique et donc très rapide à évaluer(comme peut l’être la fameuse formule de Black-Scholes), alors leprocédé résultant se fait en temps réel et permet de répondre efficacement aux problématiques industrielles de calcul par millier de prix d‘options.

Depuis l'ouverture des mar chés d'options à Chicago en 1973 et les travaux fondateurs de Black-Scholes et Merton, l'ingénierie financièr ea connu un développement spectaculaire, à la fois dans le domaine destypes de mar ché, dans celui des pr oduits financiers pr oposés, maisaussi dans celui des pr oblématiques : valorisation et couvertur e de produits, gestion de portefeuilles, détermination et gestion des risques...



■ E. Gobet, A. Suleiman. New Approximationsin Local Volatility Models. To appear in MarekMusiela Festschrift. Springer Verlag, 2011

■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Analyticalformulas for local vola tility model withstochastic rates. Quantitative Finance, 2011

■ E. Gobet, P. Etore. Stochastic expansion forthe pricing of call options with discretedividends. Preprint, 2010

■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Timedependent Heston model. SIAM Journal onFinancial Mathematics, Vol.1, pp.289-325,2010

■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Expansionformulas for European options in a localvolatility model. Interna tional Journal ofTheoretical and Applied Finance, Vol.13(4),pp.602-634, 2010

■ E. Benhamou, E. Gobet, M. Miri : Smartexpansion and fast calibra tion for jumpdiffusion. Finance and Stochastics, Vol.13(4),pp.563-589, 2009



■ Les outils développés par E. Gobet et ses coauteurs permettent de calculer les prix etles indices de couverture d'options en tempsréel dans les modèles relativement sophisti-qués. Les établissements financiers pourrontainsi prendre en compte les facteurs derisque qui étaient auparavant écartés sous lapression des contraintes du temps de calcul.

■ D'autre part, a vec une meilleure prise encompte des effets non-linéaires dans les portefeuilles d'options, ces nouveaux algo-rithmes améliorent le calcul des indica teurspour l'estimation du capital règlementaire oudes ajustements pour le risque de contrepartieet contribuent à une vision plus c laire durisque à l'échelle d’une banque.

Cela demande donc de faire des calculssur de très larges portefeuilles et d'agrégerles risques infinitésimaux de chaque option ou produit financier au niveau du portefeuille du trader, puis de la salle de marché, puis de la banque.

Méthodologie

L'idée présentée lors de la conférenceconsiste à choisir un modèle approchédit proxy ou un contrat financier approchédit proxy, dans lequel des calculs expli-cites sont possibles. On s’appuie ensuitesur ce proxy pour approcher les quantitésd'intérêt, en proposant éventuellementdes termes correctifs à cette approxima-tion. Le choix du proxy se fait au cas par cas. Mentionnons quelque situationsoù il a été possible d'obtenir des for-mules approchées précises et rapidesd'évaluation.

■ Dans le modèle à volatilité stochas-tique de Heston (avec paramètreséventuellement dépendant du temps),un modèle proxy possible peut être le modèle de Black et Scholes en prenant la volatilité de la volatilitéégale a 0.

■ Dans les modèles à volatilité locale, lemodèle de Black et Scholes peut êtreun modèle proxy en figeant la fonctionde la volatilité locale soit au spot, soitau strike.

■ Lorsque des sauts gaussiens sontajoutés à la volatilité locale, le mêmetype d'approximation mène au modèlede Merton.

Dans ces trois exemples, on peut calculerles prix d'options vanille de manière approchée comme somme du prix dans le modèle proxy plus des termescorrectifs égaux à une combinaison de sensibilités (grecs) calculés dans lemodèle proxy. Les tests numériques effectués montrent en général un gainimpressionnant de l’ordre d’un facteur100 sur le temps-calcul par rapport à lameilleure méthode numérique jusqu'alorsdisponible (FFT dans le cadre du modèled’Heston, résolution de l’EDP duale pourle modèle à volatilité locale avec sauts).Un travail complémentaire permet ausside déduire un développement sur lesvolatilités implicites, facilitant encore lacalibration.

Le cas d'options exotiques est aussi pos-sible. Des travaux en cours de finalisationtraitent des options sur moyenne (optionsasiatiques) ou des options sur panier. Incorporer des dividendes linéaires permet enfin d'obtenir de nouvelles approximations très précises et rapides.

Bien que les formules d'approximationsoient finalement simples et précises, leurdérivation mathématique est assez com-plexe et demande un détour par l'ana-lyse stochastique (calcul de Malliavin) etles perturbations stochastiques, combi-nées à des paramétrisations astucieuses.En plus des formules, de fines estimationsd'erreur sont établies, montrant bien lerôle des paramètres du modèle ou dupayoff dans la précision des formules, etainsi définissant le cadre d'application raisonnable de ces approximations entemps-réel.

Loin d'être clos, le sujet est en pleine extension et promet donc de bellesavancées.

Les modèles onttendance à s’enrichirsans cesse.“

”

Mohammed Miri

Responsable de l’équipe de Recherche et

Développement de Pricing Partners, ancien

élève de l'Ensimag, il a soutenu en 2009 sa

thèse de doctorat sur les méthodes d’approxi-

mation pour obtenir des calculs en temps réel.

[email protected]


BIOGRAPHIE

Julien Guyon

Julien Guyon travaille à Paris dans

l'équipe de recherche quantitative de

la Société Générale. Il est docteur en

mathématiques appliquées de l'Ecole

des Ponts ParisTech, avec une expertise

particulière en probabilités et statistiques.

Il est diplômé de l'Ecole Polytechnique

(Paris), de l'Université Paris VI et de

l'Ecole des Ponts ParisTech. Il est

également professeur à l'Ecole des

Ponts [email protected]

Introduction

Si le modèle de Black-Scholes parvenaità expliquer les prix observés sur le marché, toutes les volatilités implicitesσBS(T,K) seraient égales, quels quesoient la maturité et le prix d'exercice de l'option. Or, ce n'est pas ce qu'onobserve. Typiquement, on constate queles volatilités implicites dépendent de lamaturité T et, pour une maturité fixée, on observe un “smile” de volatilité, c'est-à-dire que la volatilité implicite dépenddu prix d'exercice K. On parle de smile,car le graphe K → σBS(T,K) a souventl'allure d'un sourire, i.e., est souventconvexe, décroissant puis croissant. Lafigure 1 montre un exemple de smile.

Dans le cas des marchés actions, lesmile est nettement décroissant dans lazone des prix d'exercice bas. Dans cettezone, les traders corrigent les prix pro-duits par le modèle de Black-Scholes en

augmentant les volatilités implicites, essentiellement pour deux raisons :d'abord, pour tenir compte de la possi-bilité d'un krach ou d'un grand mouve-ment à la baisse des prix, événementsque le modèle de Black-Scholes sous-pondère (on observe par exemple que,typiquement, la volatilité historique d'uneaction est plus grande quand son coursest plus petit) ; ensuite, pour tenir comptedu manque de liquidité des options loin

Le smile dans les modèles À VOLATILITÉ STOCHASTIQUE

Par Julien GuyonSociété Générale, Global Markets Quantitative Research


A RETENIR

■ Julien Guyon et Lorenzo Bergomi s’intéressent aux modèles à “volatilité stochastique”. De manière absolument générale, ils calculent un développement limité exact du smile de volatilité impliciteà l'ordre 2 en la volatilité de la volatilité.

Louis Bachelier, en 1905, puis Francis Black et Myron Scholes, en 1973,ont proposé les deux pr emières théories de l'évaluation des pr oduits dérivés, aussi appelés options. Dans ces deux modèles, le prix d'une option ne dépend que d'un paramètre, la volatilité. Par exemple, dans lemodèle de Black-Scholes, qui est la référ ence de mar ché, le prix des options d'achat (call options) est donné par la célèbre formule de Black-Scholes, et à chaque prix observé sur le marché, pour une maturité T etun prix d'exer cice K donnés, corr espond une et une seule volatilitéconstante σBS(T,K), appelée volatilité implicite, obtenue en inversant laformule.

Figure 1 : Un smile observé sur le marché des swaptions 5 ans - 10 ans




■ Les résultats obtenus ont une double valeur,quantitative et qualita tive. D’un côté, ils permettent de préciser les contraintes structurelles sur la volatilité implicite.

■ D’un autre côté, ils peuvent être utilisés à des fins de calibra tion de paramètres et permettent de réduire sensiblement le risquede modèle lié à la valorisa tion d’une optionexotique.

de la monnaie, c'est-à-dire dont le prixd'exercice est loin de la valeur courantede l'actif. Ce deuxième motif expliquequ'on observe aussi souvent le smile“remonter” pour les prix d'exercices trèsélevés.

Méthodologie

Pour tenir compte des observations, ilest donc nécessaire de modifier le mo-dèle de Black-Scholes afin de lui fairegénérer du smile. Une solution souventutilisée consiste à remplacer la volatilitéconstante σ par un processus qui a lui-même des fluctuations aléatoires. C'està ces modèles à “volatilité stochastique”que nous nous sommes intéressés avecLorenzo Bergomi, responsable de la recherche quantitative chez Société Générale. En utilisant des techniques dedéveloppement perturbatif, nous avonsdémontré qu'en fait il existe une formuletout à fait générale pour le smile des modèles à volatilité stochastique. Nousavons présenté nos résultats lors de la conférence “Modeling and ManagingFinancial Risks”, organisée par la chaireRisques Financiers à Paris du 10 au 13janvier 2011.Notre principal résultat est le suivant.Tout comme les fluctuations du prix sontmesurées par la volatilité σ, les fluctua-tions de volatilité peuvent être mesuréespar la “volatilité de volatilité” ω. De ma-nière absolument générale, dans les modèles à volatilité stochastique, onpeut calculer un développement limitéexact du smile à l'ordre 2 en la volatilitéde la volatilité ω. A cet ordre, le smile estdécrit par une forme fonctionnelle trèssimple :

où FT est la valeur initiale du forward etles coefficients, IT

ATM ,ST et KT qui repré-sentent respectivement la volatilité impli-cite “à la monnaie” (c’est-à-dire, pour lavaleur du prix d’exercice égale au prix dusous-jacent), sa pente et sa courbure,s'expriment simplement à l'aide des pa-ramètres du modèle. Quel que soit lemodèle à volatilité stochastique consi-déré, on peut calculer ces trois nombreset en déduire le smile. L'expression dusmile et les expressions des coefficientsIT

ATM, ST et KT montrent que le smile desmodèles à volatilité stochastique eststructurellement contraint.

Par exemple :

■ La pente à la monnaie est générée par la covariance entre le prix dusous-jacent et sa volatilité.

■ Le smile à la monnaie est convexedans le cas où le prix du sous-jacentet sa volatilité sont décorrélés, maisce n’est pas nécessairement vrai dansle cas général.

■ On sait écrire, pour les faibles maturi-tés, comment la pente à la monnaieet la courbure du smile dépendent dela volatilité implicite à la monnaie.

En particulier, nos travaux nous permet-tent de retrouver le développement limitédu smile à l'ordre 2 en volatilité de la vo-latilité effectué par Alan Lewis [5] dans lecas du modèle d'Heston. Notre résultatest bien sûr beaucoup plus puissant,puisque nous ne supposons aucuneforme particulière pour le modèle à vo-latilité stochastique. Nous obtenons ainsile développement à l'ordre 2 en volatilitéde la volatilité du modèle de Bergomi [1].Le calcul exact du smile par Monte-Carlo nous a permis de vérifier que ledéveloppement à l'ordre 2 est très pré-cis pour un large spectre de volatilités devolatilité ω et pour une large gamme dematurités et de prix d'exercice.

La figure 2 montre des smiles obtenuspour des valeurs typiques de volatilité devolatilité (ω=200%) et de corrélationsentre spot et volatilités, pour trois matu-rités (1, 3 et 8 ans) :• d'une part le smile exact obtenu en utili-

sant une simulation Monte-Carlo (MC),• d'autre part le smile issu de notre

nouvelle formule (order 2).

L'approximation est très satisfaisante.


■ [1] Bergomi L., Smile Dynamics 2, Risk Magazine, pages 67-73, Octobre 2005

■ [2] Hagan, P., Kumar, D., Lesniewski, A. et Woodward, D., Managing smile risk, Wilmott Magazine,pages 84-108, Septembre 2002

■ [3] Heston, S., A Closed-Form Solution for Options with Stochastic Volatility with Applications to Bondand Currency Options, Review of Financial Studies, Oxford University Press for Society for FinancialStudies, 6(2):327-343, 1993

■ [4] Hull, J. White, A., The pricing of options on assets with stochastic volatilities, Journal of Finance,42:281-300, 1987

■ [5] Lewis A., Option valuation under stochastic volatility, Finance Press, 2000

■ [6] Renault, E. et Touzi, N., Option pricing and implied vola tilities in a stochastic vola tility model, Mathematical Finance, 6:279-302, 1996

Figure 2 : Smile exact (MC) et notre formule du smile (order 2) dans le modèle de Bergomi

Pour conclure, nous précisons que nosrésultats peuvent être utilisés à des finsde calibration des paramètres, maisnous ne pensons pas qu'il soit toujoursjudicieux de calibrer les paramètres d'unmodèle à volatilité stochastique sur lesmile qu'il produit. En particulier, si l'onutilise le modèle pour évaluer des op-tions exotiques dont les risques sont orthogonaux à ceux des options d'achatusuelles, une telle calibration n'offriraitqu'un confort psychologique infondé etpeut avoir des conséquences néfastes(mispricing). Cependant, il arrive fréquem-ment que certaines options d'achat bienchoisies permettent de réduire sensible-ment le risque d'une option exotique.Dans ce cas, notre formule peut servir àchoisir les paramètres du modèle afinque celui-ci évalue correctement le prix de ces instruments de couverture.Insistons enfin sur le fait que nos travauxpermettent non seulement de quantifierprécisément le smile produit par les mo-dèles à volatilité stochastique, mais aussiet surtout de préciser les contraintesstructurelles de ce smile. Ils ont ainsiselon nous une double valeur, quantitativeet qualitative.



La conférence internationale ``Modeling

and Managing Financial Risks'' a été

l’événement scientifique principal des

cinq premières années de la chaire “ Risques

Financiers ”. Cette manifestation de 4 jours a

été organisée en janvier 2011 par l’équipe de

mathématiques financièr es du CMAP . Les

exposés de la conférence, dédiés à différents

aspects du risque financier ont eu lieu dans

les amphithéâtres du Campus des Cordeliers.

Situés à l’emplacement de l’ancien monastère

des Cordeliers, ces locaux historiques appar-

tiennent maintenant à l’Université Paris VI,

et sont utilisés pour organiser des manifes-

tations de prestige.

Les conférences plénières ont été données

par des orateurs de mar que invités par le

comité scientifique, et les exposés des ses-

sions parallèles ont été sélectionnés parmi

les nombreuses contributions reçues par le

comité d’organisation. L’appel aux contribu-

tions a été dif fusé très largement en France

et à l’étranger et un ef fort tout particulier

a été fait pour attir er celles de jeunes

chercheurs.

Quelques statistiques :66 exposés au total dont 12 par des praticiens, 25 par les orateurs venus de l’étranger, 9 par lesmembres de la chaire “Risques financiers”, 21 en session plénière.219 participants inscrits dont 53 praticiens et 87venus de l’étranger.

Parmi les orateurs en session plénièr e destrois premiers jours :

■ Ioannis Karatzas a parlé des modèles pour lesmarchés d’actions de grande taille. Il étudie notam-ment le lien entre la taille d’une société cotée, c’est-à-dire la part de son titre dans le volume global, etson rendement, ainsi que les implications de ce liensur l’optimisation de portefeuille à long terme.

■ Emmanuel Gobet a présenté une méthode pourle calcul de prix d’options en présence de dividendes.Il développe des approximations très précises pourla valorisation en temps réel (Contribution en page 6).

■ Nicole El Kar oui a fait un mini-cours de troisséances sur les différents aspects d’interaction historique entre les mathématiques et les marchés financiers. Les deux principaux sujets abordés étaientd’un côté la gestion de portefeuille sous la contraintede drawdown et son lien avec la théorie de martin-gales et de l’autre côté les équations différentiellesstochastiques rétrogrades et leurs applications pourla mesure des risques.

MODELING AND MANAGING FINANCIAL RISKS une conférence de la chaire “Risques Financiers”

Peter Tankov CMAP-Ecole Polytechnique



■ Xunyu Zhou a parlé du timing optimal pour acheterou vendre un actif, dans le cas ou l’acheteur / vendeurn’est pas complètement rationnel mais sous-estime ousurestime certaines probabilités.

■ Paul Embrechts a présenté ses réflexions sur le rôlede l’ingénierie financière dans les crises financières etleur prévention. L’accent a notamment été mis sur lerôle social des mathématiques financières pour assurerla gestion des retraites.

■ Jean-Pierre Fouque a présenté des nouvelles approximations pour les modèles à volatilité stochas-tique, c’est-à-dire les modèles où la variabilité des actifspeut elle-même changer de manière aléatoire d’un jourà l’autre.

■ Walter Schachermayer a présenté un travail nova-teur sur les mesures de risque multidimensionnelles.L’objectif est de pouvoir agréger des risques de naturedifférente dans une unique mesure.

■ L’exposé de Nizar Touzi a été consacré aux bornessur les prix en présence de contraintes de calibration. Ils’agit de calculer l’ensemble des valeurs possibles d’unactif sans faire d’hypothèse sur son comportement,mais en utilisant uniquement les prix des autres actifsdisponibles sur le marché (Contribution en page 14).

Le dernier jour a été dédié plus spécifiquement à l’interaction entre universitaires et praticiens avec les exposés de Bruno Dupire, Julien Guyon, Lor enzoBergomi, Salah Amraoui, Alex Lipton, Jean-PhilippeBouchaud, Charles-Albert Lehalle, Rama Cont etFrédéric Abergel. Cependant, la participation des praticiens a été forte pendant les quatre jours de laconférence.

L’après-midi du 2e jour de la conférence a été l’occasionde célébrer le 20e anniversaire du master “Probabilitéset Finance”. De nombreux anciens du master ont assistéà cet événement avec des exposés de Hélyette Geman,Nicole El Karoui, Shige Peng, Gilles Pagès, Jean Jacodet Bruno Dupire. Cette journée s’est achevée par uncocktail.

De manière générale, la conférence a été un grand succès, à la fois en termes de qualité des présentationset en termes d’interaction entre les communautés universitaires et praticiens. Le programme de la confé-rence ainsi que les présentations sont disponibles surle site web de l’événement à l’adresse suivante :

www.cmap.poly technique. f r / f inanc ia l r isks/conference2011/

BIOGRAPHIE

Peter Tankov est enseignant-cher-cheur en mathématiques financières àl’Ecole Polytechnique. Auteur du livre“Financial Modelling with Jump Pro-cesses”, ses travaux de recherche portent sur la modélisation du risque de

saut en finance et sur les processusstochastiques avec sauts. Avec C. Hillairet et J. Guyon, il était l’un des organisateurs de la conférence “Mode-ling and Managing Financial Risks”.


BIOGRAPHIE

Charles-Albert Lehalle

Charles-Albert Lehalle est responsable

de l'équipe de recherche quantitative

de Crédit Agricole Cheuvreux, en

charge de l'optimisation de la

négociation sur les marchés action.

Il a publié de nombreux articles sur le

contrôle optimal du trading, l'estimation

du market impact et la mesure de

l'efficacité d'un processus de

négociation. Il donne le cours de

“trading quantitatif” au Master de

Probabilités et Finance de l'Université

Paris VI et à l'[email protected]

Afin de rationaliser cet équilibre (évitertrop d'impact en négociant lentement,éviter une trop forte exposition au risquede marché en négociant rapidement), il est tout d'abord nécessaire de modé-liser la nature du market impact, et doncd'étudier la microstructure des marchés.Il est aussi important de mesurer correc-tement le risque couru dû à l'attente (la part d'aléa dans le processus de formation des prix) et donc de recourir à des résultats de statistique des pro-cessus. Une fois ces deux choses faites,on peut poser clairement un problèmed'optimisation correspondant à une problématique de négociation et le résoudre.

La microstructure des marchésOn appelle communément microstruc-ture des marchés l'ensemble des règleset des comportements qui structurentles jeux d'enchères mis en place pourformer des prix. Pour ce qui est desmarchés tirés par les ordres, il y a prin-cipalement deux types de jeux d'en-chères. Les enchères de fixing, quidébutent et clôturent habituellement lesjournées de cotation, et les enchères encontinu, en vigueur le reste du temps decotation.

Les enchèr es de fixing ressemblentbeaucoup aux mises aux enchères habituelles d'objets d'art, à l'exception

Le trading quantitatif UNE RATIONALISATION DE LA NÉGOCIATION SUR LES MARCHÉS

Par Charles-Albert Lehalle, Crédit Agricole Cheuvreux


A RETENIR

■ Le trading optimal est un domaine récent qui établit un lien entre une stratégie d'investissement au sens large et l'état de l'offre et la demande sur un marché électronique. Il permet par ce biais une meilleure compréhension d'un type de risque jusque-là peu exploré,en conjuguant des résultats de mathématiques appliquées et de finance quantitative avec une forte expertise en modélisation deprocessus discrets sur de larges échantillons.

■ C.-A. Lehalle et ses collaborateurs développent des outils numériquespuissants pour le trading optimal ainsi que pour l’optimisation géographique de l’envoi d’ordres.

Le trading quantitatif regroupe les techniques permettant de rationaliserl'implémentation sur les marchés des décisions d'investissement. Cestechniques sont nées autour de l'achat et la vente de grosses quantitésd'actions sur les marchés électroniques. Si on achète ou que l'on vend troprapidement, le prix sera dégradé (cet effet est appelé “market impact”)alors que si on achète ou vend très lentement pour éviter de perturberle processus de formation des prix, on court le risque que le prix changependant l'implémentation de la décision, la rendant ainsi caduque.




■ L’optimisation des interactions a vec les carnets d'ordres des marchés électroniques,si elle peut paraître infinitésimale dans son implémentation (décider d'intervenir à quelquessecondes près), est une véritable sourced'économie pour une grande partie de l'acti-vité des acteurs de la finance de marché telsque les market makers et les gestionnairesde fonds.

près que les vendeurs y participent aumême titre que les acheteurs.Cela est rendu possible grâce à la fon-gibilité des actions d'une même sociétécotée. Durant la phase de “mises auxenchères”, les acheteurs et les vendeursdéclarent leurs intérêts simultanémentsous la forme de quantités et de prix. Lasomme des offres d'achat et de venteforment deux carnets d'ordres cumulés.Au moment du “fixing” un prix d'équilibreest calculé qui correspond à l'intersec-tion des deux carnets d'ordres.

Les enchères continues se déroulentselon une autre logique ; les carnetsd'ordres cumulés ne se recouvrent jamais : l'appariement des ordres d'achatet de vente se fait au fil de l'eau. Dèsqu'un ordre d'achat se déclare à un prixplus élevé qu'un ordre de vente déjà présent dans le carnet (ou qu'un vendeurse déclare à un prix inférieur à celui d'unacheteur déjà présent), une transactionest générée qui “nettoie” en temps réelle carnet. Dans le cadre des enchèrescontinues, il est utile de distinguer lesapporteurs de liquidité, présents dans le carnet d'ordres, des consommateursde liquidité, dont les ordres génèrent immédiatement des transactions en rencontrant les ordres des apporteursde liquidité. Les apporteurs de liquiditésont patients, prêts à attendre avant de prendre part à une transaction ; lesconsommateurs de liquidité sont impa-tients, acceptent de “payer” la fourchetteoffre-demande en contrepartie de la certitude d'une transaction.

Le processus de formation des prix provient donc de l'enchaînement desenchères de fixing et continues, et naîtde la dynamique des carnets d'ordres.L'augmentation récente (continue enEurope depuis 2007) de la fréquence de modification des ordres par les diversintervenants conduit à qualifier aujourd'huila plupart des modes de négociation surles marchés électroniques de “tradinghaute fréquence”, par opposition avecles ordres passés par téléphone il y a encore quelques années. En 2011, unevaleur liquide du CAC 40 génère environ50.000 transactions en une journée,portées par quelques 600.000 mouve-ments des dix premiers prix du carnetd'ordres.

La modélisation des processus d'arrivéedes ordres en fonction du prix, de leurquantité, de l'état des carnets et dupassé récent fait l'objet d'études nom-breuses sans qu'une conclusion défini-tive n'ait pu émerger. Les règles desdifférents carnets d'ordres disponibles et les comportements des différents acteurs évoluant sans cesse, il est difficilede tirer des conclusions sur une “meil-leure” modélisation du processus de formation des prix. Il faut noter néan-moins l'émergence de certaines propo-sitions prometteuses telles que lesprocessus ponctuels (Bacry et al. 2011),les modèles du mouvement de prix im-médiat après une transaction suivie d'une

période de relaxation du carnet d'ordres(Bouchaud, Mezard, Potters, 2002 etGatheral, 2010), ainsi qu’une modélisa-tion jointe des volumes des ordres etdes prix cotés (Cont, De Larrard 2011).

Méthodologie : La problématique dela négociationUne fois le problème bien posé entermes de jeux d'enchères, la probléma-tique de l'achat ou la vente d'un grandnombre d'actions apparaît clairement.

Une première partie de la rationalisationde la négociation consiste à en contrôlerle risque. Plusieurs cadres formels équi-valents ont été proposés en toute fin des années 90 par divers universitaires(Almgren, Chriss 2000). Le principe estd'écrire un critère à minimiser : ce fut initialement un équilibre moyenne – va-riance qui permet de retranscrire l'envied'aller lentement (pour minimiser le coûtde market impact qui est du côté de lamoyenne) et d'aller vite (pour minimiserla variance du prix pendant la période detrading). Aujourd'hui on utilise commu-nément des techniques plus sophisti-quées (Bouchard, Dang, Lehalle 2011).Cela permet d'obtenir, via une optimisa-tion numérique des “courbes optimalesde trading” qui encadrent le nombred'actions qu'il est judicieux d'acheter ou de vendre pour ne pas être trop fortement exposé aux différents risques.

Ensuite il s'agit de réellement acheter ouvendre ses actions en participant au jeud'enchères, on utilise pour cela des robots de trading appelés aussi “liquidityseekers” (voir figure 1). Il ne faut pas négliger dans ce cadre l'importanced'une optimisation du choix des carnetsd'ordres avec lesquels le robot de trading va interagir. En effet pour unemême action cotée, des jeux d'enchèresse déroulent en parallèle sur le marché“historique” (Nyse Euronext pour une valeur parisienne) mais aussi sur desplaces alternatives comme BATS, Chi-X,ou Turquoise, ainsi que dans des “DarkPools” (carnets d'ordres anonymes).L'optimisation géographique de l'envoid'ordres est prise en charge par cequ'on appelle généralement un “SmartOrder Router” (SOR). Des propositionsde formalisation récentes de ces problé-matiques ont été proposées (Pagès, Laruelle, Lehalle 2009).


■ (Bacry et al. 2011) Modeling microstruc-ture noise with mutually exciting point processes, par E. Bacr y, S. Dela ttre, M. Hoffmann, J. F. Muzy (18 Jan 2011), prépublication arxiv

■ (Bouchaud, Mezard, Potters, 2002)Statistical properties of stock order books:empirical results and models, par J. P. Bouchaud, M. Mezard, M. Potters (18 Jun2002) ; prépublication arxiv

■ (Gatheral, 2010) No-Dynamic-Arbitrage andMarket Impact, par Jim Ga theral ; SocialScience Research Network Working PaperSeries (31 October 2008)

■ (Cont, Larrard 2011). Price Dynamics in aMarkovian Limit Order Book Market, parRama Cont, Adrien De Larrard ; SocialScience Research Network Working PaperSeries (07 January 2011)

■ (Bouchard, Dang, Lehalle 2011) Optimalcontrol of trading algorithms: a general impulse control a pproach, par Bruno Bouchard, Ngoc-Minh Dang, Charles-AlbertLehalle, SIAM J. F inancial Ma thematics, (à paraître en 2011)

■ (Pagès, Laruelle, Lehalle 2009) Optimalsplit of orders across liquidity pools: a stochatic algorithm approach, par GillesPagès, Sophie Laruelle, Charles-AlbertLehalle (2009); prépublication arxiv

■ (Almgren, Chriss 2000) Optimal executionof portfolio transactions, par R. F. Almgren,N. Chriss in Journal of Risk, Vol. 3, No. 2.(2000), pp. 5-39

Figure 1 : Un exemple réel de la mise en œuvre d'un algorithme de négociation.


BIOGRAPHIE

Nizar Touzi

Nizar Touzi est professeur de

mathématiques appliquées à l’Ecole

Polytechnique. Ses thèmes de

recherche portent sur les

mathématiques financières, le contrôle

stochastique et les méthodes

de Monte [email protected]

Pierre Henry-Labordère

Pierre Henry-Labordère est chercheur

au département de recherche

quantitative de la Société Générale. [email protected]

Méthodologie

Nous supposons que l'actif sous-jacentest disponible pour l'échange en tempscontinu sans contrainte sur les volumesde transaction. Nous nous plaçons parailleurs dans le cadre d'un taux d'intérêtnul. Il est alors bien connu que l'absenced'arbitrage implique que le processus de prix de l’actif sous-jacent est unemartingale sous une certaine mesure de probabilité, communément appelée probabilité neutre au risque.

L'investisseur a aussi accès à un marchédes options européennes et peut échangerdes options d'achat européennes dematurité T pour tous les prix d'exercice

positifs. L’hypothèse de non-arbitrageainsi que la linéarité de la fonctionnelled’évaluation permettent alors d’identifierla distribution marginale du prix de l'actifsous-jacent à la date T sous la probabiliténeutre au risque. Il s'agit d'une ancienneobservation due à Breeden et Litzenberger.

Avec les deux hypothèses ci-dessus, àsavoir la linéarité de la fonction d’évalua-tion et l’absence d’arbitrage sur le marchéde l’actif sous-jacent et celui des optionsd’achat européennes, nous avons ainsideux conditions sur l’actif sous-jacent :sous la probabilité neutre au risque, ils’agit d’une martingale de distributionmarginale en T donnée. La questionabordée dans notre travail est de trouver

Bornes de non-arbitrage POUR LES OPTIONS LOOKBACK

Par Pierre Henry-Labordère, Société Générale et Nizar Touzi, Ecole Polytechnique, CMAP


A RETENIR

■ Nizar Touzi et ses coauteurs ont développé une méthode généralepour la recherche de bornes sur les prix des produits dérivés étantdonnée l'information du marché à une date donnée.

■ Ces bornes doivent être robustes dans le sens où elles ne dépendentpas d'un choix particulier de modélisation, mais sont fondées uniquementsur la seule loi fondamentale en finance de marché, à savoir le conceptde non-arbitrage.

■ L'hypothèse supplémentaire de linéarité de la fonctionnelle d'évaluationet de la continuité du processus de prix de l'actif sous-jacent est retenue.

Nous nous intéresserons à l'évaluation à la date d'origine d'un pr oduitdérivé écrit sur un unique sous-jacent d’un pay-of f, payable à une maturité T, dépendant de l'ensemble de la trajectoir e de l'actif sous-jacent.



R e c o m m a n d a t i o n spour les acteurs concernés

■ Les bornes sont très utiles pour la pra tiquedes marchés financiers puisqu'elles permet-tent de tester directement si un prix donnéest consistant a vec l'ensemble des prix disponibles sur le marché à une date donnée.

■ L’intervalle des prix fourni par la méthodepermet également aux banques de quantifierle risque de modèle associé à un produit exotique.

les bornes sur le prix d’une option exo-tique sur cet actif sous-jacent sans autrehypothèse sur le modèle.

Nous formulons ces bornes sous formede problèmes de couverture robuste,c'est-à-dire que la couverture doit pré-munir contre les risques quelque soit lemodèle sous-jacent. Nous montrons queces problèmes de couverture admettentune formulation duale qui se prête mieuxaux méthodes de calcul numérique ou analytique, et qui rapproche notreproblème à la fois :

■ d’un problème de transport optimal,de nature nouvelle par rapport aux pro-blèmes regardés dans la littérature clas-sique du fait de la condition de martingalequi nous est imposée par l’absenced’arbitrage,

■ et du célèbre problème d’embeddingde Skorohod qui a engendré une largelittérature dans la communauté probabi-liste.

David Hobson avait déjà remarqué lerapport avec le problème d’embeddingde Skorohod depuis 1998. En particulier,Hobson et Klimmek (2011) ont montréque pour une classe d’options Look-back, la solution dite d’Azéma et Yor du problème d’embedding de Skorohoddonne la borne supérieure optimale.Notre approche permet aussi d’obtenirce résultat explicite.

Une extension naturelle de notre pro-blème consiste à supposer que l’inves-tisseur a accès à la loi marginale du prixde l’actif sous-jacent à plusieurs datesavant la maturité. En particulier, le cas dedeux marginales et d’une option Look-back dépendant uniquement du maxi-mum a été complètement résolu parBrown, Hobson et Rogers (2001). Pourle cas à plusieurs marginales, Madan et Yor (2002) ont donné une solution explicite sous une condition de monotoniedes fonctions de barycentres associés.

Avec notre approche, nous sommes enmesure d’obtenir une solution du pro-blème dans le cas général, évitant lacondition de Madan et Yor.

Conclusion

Notre approche offre une méthodologiegénérale pour la formulation du pro-blème des bornes de non-arbitrage. Cesbornes sont très utiles pour la pratiquedes marchés financiers puisqu'elles permettent de tester directement si unprix donné est consistant avec l'ensembledes prix disponibles sur le marché à unedate donnée. Il est clair que ces bornesdonnent en général un intervalle de prixadmissibles assez large. Cependant, lataille de l'intervalle décroît avec la taillede l'information mise à disposition del'investisseur.

Plusieurs extensions de notre travail sontenvisageables. Tout d'abord, il ne fautpas espérer obtenir des formules expli-cites pour des exemples généraux deproduits structurés. La question impor-tante est de concevoir des méthodesnumériques efficaces pour l'approxima-tion de la solution de notre problème. Cetravail est partiellement abordé dans lathèse de Xiaolu Tan à l'Ecole Polytech-nique. Enfin, les voies du calcul expliciten'ont pas toutes été exploitées, mêmedans le cadre très spécifique des op-tions Lookback. Que se passe-t-il pourun payoff général ne vérifiant pas lesconditions de Hobson et Klimmek ? Quese passe-t-il si toutes les marginalessont connues ? Ce dernier point pourraitconduire à un cadre simplifié grâce à lapuissance du calcul différentiel pour lesvariables continues.

La question abordée dans notre travail est detrouver les bornes sur le prix d’une option exotiquesur cet actif sous-jacent sans autre hypothèse sur le modèle.

“”


■ [1] Galichon, A., Henr y-Labordère P . etTouzi, N. (2011), A stochastic controlapproach to no-arbitrage bounds givenmarginals, a pplication to Lookback options. Preprint

■ [2] Henry-Labordère P. et Touzi, N. (2011), Noarbitrage bounds for Lookback optionsgiven multiple marginals. Preprint

U n e x e m p l e : Nous avons utilisé nos résultats analy-tiques pour déterminer la borne haute optimale d’une option call écrite sur lemaximum de l’Eurostoxx entre 2 dates t1 = 1 an et t2 = 2 ans pour différentsstrikes. Pour comparaison, nous avonsévalué ce produit en Monte-Carlo avec lemodèle à volatilité locale introduit par Dupire (1993).

StrikeBorneHaute

Vol.Locale

80 41,24 33,15

90 32,10 24,78

100 23,49 17,17

110 15,77 10,73

120 9,40 5,86

130 4,83 2,75



Nicole El Karoui est chercheuse

au centre de mathématiques

appliquées (CMAP) de l'École

Polytechnique et professeur de

mathématiques au Laboratoire

de Probabilités et Modèles

Aléatoires (LPMA) de l'Université

Pierre et Marie Curie (Paris VI).

Nicole El Karoui est également

responsable du Master 2

“Probabilités et Finance” (cohabi-

lité avec l'École Polytechnique).

Directrice du bureau scientifique

de l’Institut Louis Bachelier, elle

dirige les chaires de recherche

sur les risques financiers pour

la Fondation du Risque et sur les

dérivés du futur, en partenariat

avec la Fédération Bancaire

Française.

BIOGRAPHIE

L’enseignement des mathématiques financièr es en Franceest de très haut niveau et les jeunes diplômés de cette discipline sont très r echerchés sur le mar ché de l’emploi.Avec ses 900 diplômés, ses vingt ans d’existence, le Master“Probabilités et Finance” (UPMC/EP) a joué un rôle déterminantdans cette évolution, comme l’atteste un article du Wall StreetJournal en 2006.

En Chiffres

Le Master a formé à ce jour900 diplômés, pour la plupartdes étudiants scientifiquesdont la moitié est issue deGrandes Ecoles. Un fort

pourcentage d’étudiants étrangerssuivent la formation. Le métier de“quants” (ingénieur quantitatif) est deloin le métier dominant, devant le trading, le risk-management, puis leshedge funds. Un tiers des diplômésau moins est actuellement dans une des quatre grandes banquesfrançaises, un autre tiers dans lesbanques étrangères à Londres ouau Japon. Depuis 5 ans, plus de la moitié des premiers emplois sont àLondres.

En Dates

A la fin des années 1980, les premiersmarchés financiers de produits àterme ouvrent à Paris (MATIF (1986),MONEP(1987)). Antoine Paye montel’activité des produits optionnels à laSociété Générale. Le Lundi Noir (Oct1987) de la bourse de New York estdans tous les esprits.

En 1990, Nicole El Karoui (Professeurà l'Université Pierre et Marie CurieParis VI) et Helyette Geman (Professeurà l’ESSEC) créent une option Proba-bilités et Finance du DEA de Proba-bilités de l’Université Pierre et MarieCurie-Paris VI (Directeur Jean Jacod).Le DEA est cohabilité avec l’EcolePolytechnique, l’ENPC et l’ESSEC.Il s’agit de la première formation dece genre en milieu scientifique.

20 ans de formation,900 étudiants, 2 crises majeures !

LE M

AS

TER

LE MASTER “PROBABILITÉS ET FINANCE”

FÊTE SES VINGT ANS



L’objectif est de former des “quants”qui comprennent et utilisent les métho-dologies mises en place aux Etats Unisdepuis une quinzaine d’années, toutparticulièrement dans le domaine destaux d’intérêt, pour lequel la demandeest très forte. Le schéma de formationmis en place est encore d’actualitécomme expliqué ci-dessous.

1990-2000

Un départ modeste, (6 diplômés lapremière année), mais à croissancerapide car la demande est grande.Deux difficultés spécifiques : faireconnnaître la formation en dehorsdes salles de marchés, auprès desDRH notamment. Par ailleurs, lesbanques anglo-saxonnes à Londresn’ont pas l’habitude de prendre desstagiaires pour une longue durée(problème du secret professionnelentre autres). Il faudra attendre quede nombreux responsables soientfrançais pour que cela change.

Période très excitante tant pour nosétudiants que pour les équipes dansles banques, car tout se met en placeà une vitesse hallucinante, en groscelle de la puissance de calcul desordinateurs. Des outils qui parais-saient impossibles à utiliser sontcomplètement intégrés moins de

trois ans après. Il n’y a pas de pro-blèmes de débouchés, les salairessont élévés mais restent raisonna-bles, les bonus des “quants” sont loind’être exorbitants.

La recherche académique se déve-loppe parallèlement de manière trèsactive, souvent en liaison avec lesbanques. Marc Yor, Professeur àParis VI, Membre de l’Académie desSciences, joue un rôle très important,ainsi que les autres enseignants duMaster. Une nouvelle discipline de recherche, “les mathématiques finan-cières” s’impose en Europe en parti-culier. Les mathématiciens ne voientpas toujours cela d’un “bon oeil”.

Plusieurs crises, LTCM, la crise asia-tique, ENRON, la Baring, (entre au-tres) viennent ponctuellement rappelerque ces marchés peuvent engendrerde très “grandes pertes”, et que latentation de jouer avec d’énormes leviers est permanente. 1998 voit lademande du régulateur de produireune Value at Risk quotidienne sur les risques de marché, c’est à diresur l’activité agrégée d’une salle demarché. Même si les ordinateurs ontbeaucoup gagné en puissance etbaissé en coût, c’est un vrai chal-lenge. C’est un grand chantier pourles institutions financières, et pour les structures de formation qui four-nissent les quants qui auront à mettreen place cette nouvelle mesure. Leséchanges académiques avec le mar-ché s’intensifient, notamment autourde la pertinence de la VaR commemesure de risque.

Les étudiants des Grandes Ecolessont de plus en plus nombreux dansnotre formation, et dans les autresqui se sont créées à l'Université ParisVII, à l'Université Paris-Dauphine, àl'Université Paris I, puis à l'UniversitéParis-Est Marne-La-Vallée et ensuitedans les dernières années de GrandesEcoles.

Entre 1995 et 2000, Nicole El Karouipart à l’Ecole Polytechnique créerune équipe de recherche en mathé-matiques financières, mais reste trèsengagée dans la formation au titre de l’Ecole Polytechnique, HélyetteGeman prend la direction du DEA203 de l’Université Paris-Dauphine etquitte la formation, Gilles Pagès arriveà Paris VI pour développer les proba-bilités numériques et participer à ladirection du Master, avec Marc Yor.

2000-2008

Le passage à l’an 2000 voit exploserla bulle des valeurs Internet, ce qui vaperturber le recrutement de nos étudiants pendant au moins un an et demi (2001-2002) mais pas la demande de formation. Les fusionsentre banques se font plus nom-breuses. Les premiers dérivés decrédit font leur apparition, et de nom-breux stages portent sur leur modéli-sation. Le milieu académique estréservé sur les modèles proposés.

Le label “DEA El Karoui” se vend bienet nos étudiants commencent à avoirune visibilité internationale, qui abou-tira en 2006 à l’enquête du Wall StreetJournal sur les 30% de “quants” fran-çais dans les marchés financiers, puisà celui du Monde peu après. Nousavons créé là un autre produit de luxe(les bonus ont atteint des niveaux astronomiques, surtout pour les traders) à exporter. La formation des “ingénieurs” à la française, avec desacquis solides en mathématiques etune grande capacité d’adaptation,complétée par une formation univer-sitaire de haut niveau d’exigence estparticulièrement bien adaptée à cegenre de métiers.



2008-2010

La faillite de Lehman Brother en septembre 2008 touche le Master deplein fouet. Les mathématiques financières sont montrées du doigt,et accusées de bien des maux. Mêmesi les critiques méthodologiques sontsouvent très superficielles, la ques-tion de la place des scientifiquesdans le monde réel se trouve poséeavec acuité d’autant que la financeest loin d’avoir la “neutralité” suppo-sée d’autres disciplines plus tradition-nelles.

La crise des subprimes avait peu tou-ché l’activité de produits dérivés endehors du crédit. Les candidaturesau Master (Annuaire 2009) avaient atteint un niveau exceptionnel, ce quitout en sélectionnant sévèrementnous avait amené à accepter beau-coup de candidats. L’année 2009 a été très difficile pour trouver desstages, presque moins pour des embauches. Cela a été très néfasteaux étudiants étrangers pour qui les problèmes de “papiers” se sontposés de manière cruciale et difficile.

La crise a donné une image très négative des marchés financiers, quia préoccupé un certain nombred’étudiants. Par ailleurs, la crise de laGrèce a montré qu’il reste beaucoupd’incertitudes à lever. Sous les injonc-tions de la régulation, les structuresde contrôle à l’intérieur des établisse-ments se sont renforcées, et recrutentpour cela des ingénieurs quantitatifs.La situation à Londres est très diffé-rente, car à la suite de la crise denombreuses équipes avaient été licenciées. L’activité reprenant, les

équipes sont recréées et nos étudiantssont très demandés. Ces deux der-nières années, les grandes banquesde Londres (Anglo-saxones ou autres)ont recruté beaucoup plus de nosétudiants que les banques françaises.

Depuis plusieurs années, les banquesou les hedge funds ont développé dutrading haute fréquence pour comptepropre ou autre. Devant l’ampleur dela demande, nous avons orienté unepartie optionnelle de la formationdans cette direction, en l’associant àun large débat sur les risques. Celareprésente finalement une très faiblepart de nos débouchés, mais unelarge part de notre réflexion.

Les étudiants

Le nombre d’étudiants des GrandesEcoles a beaucoup augmenté cesdernières années, notamment grâceà la médiatisation du Master. A l’EcolePolytechnique, depuis 98 avec l’arri-vée de Nicole El Karoui, la formationen mathématiques financières s’eststructurée, l’équipe de recherches’est renforcée et est devenue très visible ; cela a conduit à une forte représentation des Polytechniciens

(notamment étrangers) dans la for-mation. Cela s’est fait au détrimentdes étudiants d’Université, un peu rebutés par cette forte présence. Lenombre d’étudiants étrangers esttrès important, puisqu’il représenteplus de 50% des étudiants bien quela formation soit toujours en français.Certains de ces étudiants font partiedu Master joint entre l’Université de Fudan et l’Ecole Polytechnique.Retournés en Chine, et recrutés pardes banques américaines, ils sont entrain d’amorcer une filière d’avenir,car de nombreux signes montrentque le marché se déplace, plus viteque prévu, vers l’Asie et la Chine enparticulier. Ce serait bien que celaprofite aussi aux banques françaises.

Le cursus

Le cursus de base des débuts duMaster a peu évolué dans ses prin-cipes, fondamentalement, les mêmesque depuis vingt ans, avec un renfor-cement de l’enseignement sur la réglementation et la gestion des risques.Il y a d’abord une initiation au mondede la finance qui s’adresse à tous, indispensable pour comprendre lemonde économique et de l’entre-prise, et celui des marchés financiers.Mais il y a surtout des enseignementsspécialisés, en finance de marché,dans le domaine des produits finan-ciers dérivés. C’est un secteur ayantune forte composante de mathéma-tiques appliquées, tant du point devue probabiliste, que des méthodesde calcul : les problèmes ont trait à lamodélisation des cours en vue ducalcul du prix du produit vendu et de la couverture des risques qu’il génère, conduisant à des calculs en



temps réel, mais nécessitant peud’analyse financière. Après la crise,nous sensibilisons les étudiants auxproblématiques de risques dans uncadre plus global par le biais de courssur les risques donnés conjointementpar des académiques et des profes-sionnels et ainsi qu’un cours spécifiquesur la régulation.

L’une des clés du succès de ce mastertient sans doute à l’esprit dans lequelil a été conçu par ses fondateurs (Nicole El Karoui, Helyette Geman)qui avaient passé, peu auparavant,une année dans une banque à dé-cortiquer et à expliquer aux praticiensles premiers modèles stochastiquesde taux d’intérêt. Cette expériencemontrait clairement qu’il ne pouvaitêtre question d’une botanique demodèles du moment (BlackScholes,Vasicek, HJM, etc.) à la Prévert, maisbien d’un socle de connaissancesfondamentales à fournir aux étudiantspour leur donner les moyens d’uneautonomie future, indispensable pourévoluer dans un secteur extrêmementdynamique sans cesse en quête d’in-novations et de nouveaux territoires.Ceci est aussi indispensable pour résister à la pression du business (“le marché a toujours raison”) quandcela devient nécessaire.

L’essentiel des enseignements théo-riques est dispensé de manière rela-tivement traditionnelle (hypothèses,théorèmes, démonstrations, etc.),l’épine dorsale de la formation estconstituée par les cours de calculstochastique, simulations numériqueset de statistiques et de leur utilisation

dans le monde des produits dérivés.Les enseignements optionnels sonteux très souples (de la calibration aucrédit, des options américaines auxmarchés de matières premières etdes dérivés climatiques, des produitsd’assurance à la gestion haute fré-quence,...). Ils permettent un parcoursindividualisé pour les uns et les autres.A cette occasion, académiques etprofessionnels interviennent à peuprès à parité, avec le souci de restertoujours au plus près des probléma-tiques émergentes de marché desmodèles d’actualité et des sujetsd’avenir, nécessité cruciale pour uneformation telle que la nôtre.

Dans un second temps de la forma-tion, il est crucial que chaque étudiantfasse un stage au sein d’une cellulede recherche de banque (ou assimiléeéditeur de logiciel spécialisé, énergé-ticien, etc.) afin d’appliquer dans uncadre opérationnel la palette des outils acquis au premier semestre,“en situation de combat”, pour re-prendre la métaphore guerrière duresponsable recherche Equity d’unegrande banque de la place. C’est leseul moyen de mesurer en temps réella complexité des marchés, leurs interactions, leur liquidité, les con-traintes opérationnelles et réglemen-taires, et bien d’autres réalités. C’est lacondition indispensable pour devenirun bon “quant” capable de mettre enplace des modèles conduisant à desstratégies pertinentes de couverturedes risques de marché des produitsdérivés.

Le dynamisme du marché se traduitpar des exigences de formation deniveau toujours plus élevé, dans unspectre de connaissances de plus en plus large ; nous offrons aussil’opportunité à ceux qui le souhaitentde consacrer un trimestre à l’agréga-tion de toutes ces connaissances, en menant des études de cas super-visées par un binôme d’académiqueset de professionnels, avant leur stagedans la banque.

La question du risque est au centrede la formation par nature puisquec’est le cœur de métier de l’ingénieur“quant”, mais aussi parce qu’il n’estpas possible de traiter les risques séparément.

Former des étudiants compétentstechniquement, conscients des risquesstructurels des marchés financiers, etde leur responsabilité “sociale” est lechallenge de notre formation.

La question du risque est au centre de la formation, par nature puisque c’est le cœur de métier de l’ingénieur “quant”.

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LES RESPONSABLESDU MASTER

POUR L'UNIVERSITÉ PARIS VI

■ Nicole El Karoui

■ Gilles Pagès

■ Marc Yor

POUR L’ECOLE POLYTECHNIQUE

■ Emmanuel Gobet

■ Nizar Touzi


4th EUROPEAN SUMMER SCHOOL IN FINANCIAL MATHEMATICS

ETH Zürich & École PolytechniqueZürich, 5-9 September 2011

An EMS Applied Mathematics school

The European Summer School in Financial Mathematics aims at br inging together themost talented young researchers in the field, looking at the v ery young who only juststarted their PhD studies . The Scientific Committee consists of European leaders andrepresentatives of financial mathematics. We warmly thank them for their encouragementand for accepting to be part of this committee. Their first and main task is to identify themost promising candidates. The successful candidates will be sponsored for their traveland living expenses during the summer school.

The fourth European Summer School is held at ETH Zurich for the first time. We gratefullyacknowledge the suppor t of the F rench Federation of Banks (Fédér ation Bancaire Française) and the ETH Foundation.

The Summer School is centred around one or tw o advanced courses taught by widely recognised experts. We are par ticularly interested in a w ell-balanced combination of theoretical and practical input. We welcome suggestions for topics to cover in the courses.There will also be some students' seminars where the y oung par ticipants can get teaching experience and discuss their research.

We hope that the Summer School leads to an activ e cooperation between the various European institutions. We also hope that the Summer School provides an opportunity toopen doors for European students amongst different research centres. Our ambition isalso to put the foundations for a more visible European network at the doctoral level inthe field of financial mathematics. We very much count on the members of the ScientificCommittee to help us make this wish a reality.

This school belongs to the series of the EMS Applied Mathematics schools.

Contact: [email protected]

CMAP UMR 7641 École Polytechnique CNRS, Route de Saclay, 91128 Palaiseau Cedex France Tel : +33 1 69 33 46 00 Fax : +33 1 69 33 46 46

ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich Switzerland Tel : +41 44 632 64 65 Fax : +41 44 632 14 74


cahier louis bachelier n°3

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