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Cadre théorique des MEGC et propriétés mathématiques des principales fonctions de comportement

3 types de fonction

• Fonctions de production,• Fonction d’utilité,• Fonctions de transformations.

Les fonctions de production• Les firmes font des choix sous contraintes. • Les intrants utilisés dans le processus de

productions sont habituellement : la terre, le capital, le travail.

• Le capital physique est à la fois un intrant et un extrant.

• Les intrants et les extrants sont des flux.• Les contraintes technologiques : L’entreprise est

limité par son ensemble de possibilité de production (combinaison d’input-output techniquement possible).

Fonction de production (suite)

• Puisque les intrants ont un coût pour l’entreprise

Le producteur souhaite maximiser sa productionla frontière de l’ensemble de production ==

fonction de production.

• Si 2 intrants : l’ensemble des toutes les combinaisons d’intrants donnant la même quantité d’output ==isoquant.

Fonction de Production (suite)

• Classe de fonction à élasticité de transformation constante (CET)

• L’élasticité de transformation (ET) :

où( ) σ=

=

=

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

rr

rrdx

xx

xd

TmsTTmsTd

xxx

xd

ET

2

1

1

2

xqx

q

dxdxTmsT

δδ

δδ

=−=

Fonctions de Production (suite)

• TmsT mesure le taux pour lequel la firme doit substituer un intrant par un autre étant donné une quantité d’output.


σσρ −=1

• Forme générale d’une fonction CET :

– q = production,– xi (i=1,2) = inputs,– A > 0, constante de niveau,– 0<α<1 paramètre distributif,– -1<ρ<• paramètre tel que :

[ ] ρρρ αα1

21 )1(−−− −+= xxAq


• Propriétés :– Rendement d’échelle constant ie homogène de

degré 1 (HD1),

– Les productivités marginales des deux intrants

sont décroissantes, " i=1,2

– L’isoquant est strictement convexe.ixq

δδ


2 cas limites :I. ρ → ∞ la substitution est impossible

complète complémentarité ie le producteurs est indifférent au prix relatif des intrants. L’isoquanta un angle à 90°.

Fonction de production Leontiefq = Min {ax1, bx2}

Les intrants sont utilisés en proportions fixes

Fonction de Production (suite)

II. ρ → -1 les intrants sont des substituts parfaits et l’isoquant est une droite confondue avec la ligne des prix relatifs. Pour un prix donné, le producteur est indifférent à toutes combinaisons sur la ligne.


Cas intermédiaire : fonction Cobb-Douglas (σ = 1 et ρ = 0)

α (resp. 1 - α) = élasticité de production relative à l’intrant 1 (resp. à l’intrant 2).

αα −= 121 xAxq

Fonctions de demande d’intrants

Minimisation des coûts : produire un niveau d’output, q, lorsque les prix des facteurs sont égaux à ri (i=1,2).

Condition de minimisation: TmsT = rapport des prix

ou21

21 x

rr

1x

σ

α−α

= 12

12 x

rr1x

σ

αα−

=

Fonctions de demande d’intrants (suite)

Maximisation de la fonction de profit:Condition de maximisation:

Valeurs des productivités marginales = Prix des inputs

qArPx 1

11

−σ

σ

α= ( ) qA

rP1x 1

22

−σ

σ

α−=

Propriétés des fonctions de demande d’intrants

Fonctions de demande : HD0

Si σ = 1 et ρ = 0 (CB)

Les fonctions de demande sont linéaires,

α et 1 − α = parts relatives de la

rémunération des intrants dans la valeur

totale de la production.Pq

xr 11=α

Fonctions d’utilité

La théorie du consommateur s’exprime en terme de préférences. La fonction d’utilité alloue une valeur à différents paniers de biens et la valeur associée au panier désiré est plus grande que toutes les autres.Les paniers sont classés.L’utilité est un concept ordinal : le rang est important et non sa valeur.

Fonctions d’utilité (suite)Courbes d’indifférence: panier sur la frontière de l’ensemble faiblement préféré.

Toute transformation monotone d’une fonction d’utilité caractérise les mêmes préférences que la fonction d’utilité initiale.

Tous les paniers sur la courbe d’indifférence donnent la même utilité.

Fonction d’utilité (suite)

Classe des fonctions d’utilité à élasticité de substitution constante (CES).L’élasticité de substitution (ES)

où( )

( )TmsTmSdqqqqd

ES 12

12

//

=2

1

1

2

qUqU

dqdqTmS

δδδδ

==


Forme générale d’une fonction d’utilité CES :

qi : quantités consommées de bien i =1,2 0<γ<1, paramètre de distribution,

-1<φ<• paramètre tel que oùξ représente l’élasticité de substitution >0.

( )[ ] φ−φ−φ− γ−+γ= /121 q1qU

ξξ−

=φ1

Fonctions d’utilité (suite)

Pourquoi absence de constante de niveau?

A = 1 puisqu’il est impossible d’associer une valeur cardinale à l’utilité, U.

Fonctions d’utilité (suite)

Propriétés:

Rendement d’échelle constant (HD1),Utilités marginales décroissantes,TmS est décroissant ==> stricte convexité des courbes d’indifférence.


2 cas limites:• φ → ∞ la substitution est impossible

parfaites complémentarité des biens.• φ → -1 les biens sont des substituts

parfaits.

Cas intermédiaire:

φ → 0 = Fonction d’utilité Cobb Douglas

Fonctions de demande de biens

Maximisation de l’utilité totale sous la contrainte de budgétaire pour des prix donnés :

Condition de maximisation: TmS = Prix relatif des biens

et YM = P1 q1 + P2 q2 γ−

= 12 P1qξ

γ 21 Pq

Fonctions de demande de biens (suite)

Si ξ = 1 (Cobb-Douglas)

où γ et (1-γ) sont les parts dépensées pour chaque produit dans la dépense totale.

Propriétés : . Demandes linéaires. HD0

11 P

YMq γ=

( )2

2 PYM1q γ−

=

Fonction de Transformation

• Classe à élasticité constante de transformation des produits (CETP)

• L’élasticité de transformation des produits (ETP)

où( ) σ=

=

=

2

1

2

1

1

2

1

2

1

2

1

2

pp

ppd

qqq

qd

TmTPTmTPd

qqq

qd

ETP

2

1

1

2

xqx

q

dqdqTmTP

δδ

δδ

=−=

Fonction de Transformation (suite)

ττκ −=1

• Forme générale de la fonction CETP :

– Q = production totale,– qi (i=1,2) = quantités de biens inputs,– B > 0 : constante de niveau,– 0<β <1 paramètre distributif– - • <κ <-1 paramètre tel que :

( )[ ] κκκ ββ1

21 1 −−− −+= qqBQ


• Propriétés :– Homogène de degré 1 (HD1),

– Les productivités marginales des deux inputs sont

décroissantes, " i=1,2

– Stricte concavité de la frontière des possibilités de production.

iqQδδ

Fonctions de transformation (suite)

2 cas limites :

I. κ → −∞ parfaite complémentarité des produits dans la production totale. L’ensemble des possibilités de production ont un angle à 90°inversé. Les biens sont produits en quantités fixes.

Fonctions de Transformation (suite)

II. κ → −1 Les deux produits sont des substituts parfaits et la frontière des possibilités de production est confondue avec la ligne de prix relatifs Pour un prix donné, le producteur est indifférent à toutes les combinaisons sur la ligne.


Cas intermédiaire : Fonction Cobb-Douglas (τ = −1 et κ = − 2)

ββ −= 121 qqBQ

Fonctions d’offre de produits

Maximisation de la fonction de profit: Condition de maximisation:

TmTP = Ratio des prix

ou ( )1

1212

2

1

τ

ββ

−+

=

PPPP

PQq( ) τβ

β

−+

=

2121

11

PPPP

PQq

Propriétés des fonctions d’offre de produits

PQ

Si σ = 1 et ρ = 0 (CB)

Les fonctions d’offres sont linéaires,

β et 1 − β = parts relatives de la

rémunération des produits dans la valeur

totale de l’output.qp 11=β

EXEMPLES D’UTILISATION DE FORMES FONCTIONNELLES

Présentation

2 exemples seront présentés :

• Modèle sur la filière Coton au Bénin• Modèle SAVARD et ADJOVI

Présentation

Pour chacun on présentera :

* la fonction de production* la fonction de demande de produits* la fonction de transformation de la Production en exportation et en ventes sur le marché local

Modèle Filière Coton

• Fonction de ProductionTRAVAIL CAPITAL

Cobb-Douglas

CI VA

Léontief

PRODUCTION

Modèle Filière Coton (suite)

Fonction de demande de produits :Linear Expenditure System

fonction de transformation (CETP) Fonction de demande d’exportation

ci

hi

ciihh

ihi

hi p

mvvpCtmmvvCm ∑−+=

)(α

Modèle Filière Coton(suite)

fonction CES du bien composite Fonction d’offre d’importation

Modèle SAVARD et ADJOVI

• Même chose que le précédent pour les fonctions liées au commerce extérieur

• Différence au niveau de la fonction de production parce que on distingue :

• * 3 types de travail• * le capital• * les consommations intermédiaires

Modèle SAVARD et ADJOVI(suite)

LDI LDM

CES

LLD

CES

Capital

VA CILEONTIEF

Production

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