cadran solaire de temps moyen sur une surface réglée francis ziegeltrum 16 octobre 2010 réunion...

Cadran solaire de temps moyen

sur une surface réglée

Francis Ziegeltrum

16 octobre 2010

Réunion CCS

Xh

Yh

Zh

Gno

mon

h

h

h

z

y

xS

0

lsin

lcos

RLMSTR 2

R

z

y

x

xzy

h

h

h

Coordonnées horizontales

Il y a un an je vous avais présenté ma méthode de calcul des coordonnées du Soleil dans le repère horizontal utilisant les matrices de rotation.C’est une méthode qui fait abstraction de la trigonométrie et utilise un outil de l’algèbre.Je vous rappelle en quelques mots la méthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repère pour arriver au repère local que l’on nomme le repère horizontal. A chaque changement de repère correspond une matrice de rotation.

Xh

Yh

Zh

Gno

mon

h

h

h

z

y

xS

p

p

p

z

y

xP

M

m

m

m

z

y

x

La projection du point P sur la surface plane revient à déterminer le point d’intersection de la droite passant par S et P avec la surface

Projection sur une surface plane

Connaissant les coordonnées cartésiennes du Soleil à tout instant, on peut facilement à calculer la projection d’un point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractérisent les cadrans solaires de temps moyen.

Xh

Yh

Zh

Gno

mon

h

h

h

z

y

xS

p

p

p

z

y

xP

M

m

m

m

z

y

x

Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point d’intersection avec une droite?

Généralisation

…( Rappel de géométrie analytique

A

A

A

z

y

x

A

kujuiu

u

u

u

u 321

3

2

1

u,AD

u

Espace euclidien

3A

2A

1A

u.zz

u.yy

u.xx

L’espace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent s’effectuer les calculs de la géométrie analytique.Pour cela il faut un repère pour les coordonnées cartésiennes et un espace vectoriel pour décomposer les vecteurs.Le plus petit élément de l’espace est le point. Celui-ci est localisé dans l’espace à l’aide de ces coordonnées.L’élément suivant est le vecteur représenté par une flèche. Tout vecteur de l’espace se décompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appelés coordonnées du vecteur u.Par un point passe un infinité de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite s’écrit en utilisant les coordonnées de A et de u. a est le paramètre.

Géométrie analytique

Opération sur les vecteurs

Produit scalaire 332211 v.uv.uv.u)v.u(

Produit vectoriel

1221

3113

2332

vuvu

vuvu

vuvu

vu

Norme d’un vecteur )u.u(u

Produit mixte wvuwvuw,v,u


Fonctions visual basic

Function produit_scalaire(u1, u2, u3, v1, v2, v3)

produit_scalaire = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3

End Function

Function produit_vectoriel(u1, u2, u3, v1, v2, v3)

Dim pproduit_vectoriel(3) As Double

pproduit_vectoriel(1) = u2 * v3 - u3 * v2

pproduit_vectoriel(2) = u3 * v1 - u1 * v3

pproduit_vectoriel(3) = u1 * v2 - u2 * v1produit_vectoriel = Array(pproduit_vectoriel(1), pproduit_vectoriel(2), pproduit_vectoriel(3))

End Function

Function produit_mixte(u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2, w3)

produit_mixte = produit_scalaire(u1, u2, u3, produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(0), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(1), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(2))

End Function

Comme toujours je me sers d’un tableur et surtout de la programmation visual basic qui permet de créer des fonctions qui sont de véritable super opérateurs de calcul.


Droites coplanaires

Positionnement d’une droite dans l’espace

A

Da

B

u

v

Db

Deux droites sont coplanaires si et seulement si les vecteurs sont coplanaires,C’est-à-dire si le produit mixte

vet u,AB

0v,u,AB


Positionnement d’une droite dans l’espace

Droites sécantes

A

I

Da

B

u

v

Db

Deux droites sont sécantes si et seulement si elles sont coplanaires et non parallèles


Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes

A

I

Da

B

u

v

Db

3B3AI

2B2AI

1B1AI

u.zu.zz

u.yu.yy

u.xu.xx

Le point d’intersection I appartient aux deux droites donc:

En éliminant b on trouve l’expression de a:

2112

A1A2B1B2

u.vu.v

y.vx.vy.vx.v


Calcul de point d’intersection de deux droites sécantes

A

I

Da

B

u

v

Db

3AI

2AI

1AI

u.zz

u.yy

u.xx

Les coordonnées de I sont:

Avec:

2112

A1A2B1B2

u.vu.v

y.vx.vy.vx.v

)Rappel de géométrie analytique

Une surface est dite réglée si elle est engendrée par des droites où est une courbe paramétrée et est un vecteur également paramétré.

Définition

)(u),(AD )(A )(u

A

Courbe paramétrée

Gén

érat

rice

u

Surface réglée

X

Y

Z

1

0

0

uG

énér

atri

ces

Surface réglée de révolution

Nous allons nous intéresser plus particulièrement aux surfaces réglées de révolution.Soit un cercle qui représente la courbe paramétrée A et une droite appelée génératrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallèle à l’axe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirigée par u. L’ensemble de ces droites forment la surface d’un cylindre.

X

Y

Z

Gén

érat

rice

s

1

0

0

u

0

sin.R

cos.R

A

X

Y

Z

Première surface:Un cylindre


J’ai donc généré une surface réglée à partir d’une droite parallèle à l’axe z et s’appuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle à une certaine distance du premier. Toutes les génératrices coupent ce cercle.

Gén

érat

rice

s

)(u

0

sin.R

cos.R

A

X

Y

Z

Rotation du cercle supérieur d’un angle jDeuxième surface: un hyperboloïde à une nappe

Si je suppose que les génératrices sont accrochées à ces 2 cercles et que je tourne celui du haut d’un angle phi, les génératrices ne sont plus parallèles à l’axe z mais s’inclinent. La surface engendrée par les droites n’est plus un cylindre. La surface est un hyperboloïdes à une nappe. Si l’on continu de tourner le cercle supérieur on finit par obtenir un cône.


=j 0 : Cylindre0< <18j 0 : Hyperboloïde=18j 0 : Cône


Un point I projection de P appartient à la surface régléesi et seulement si il appartient à une des droites génératrices.

S

Gnomon

P

PBSP

A

B

AB

Zh

Xh

Yh

I

Cadran solaire sur une surface réglée de révolution

S

Gnomon

P

PBSP

A

B

AB

Zh

Xh

Yh

I

Un point I projection de P appartient à la surface régléesi et seulement si les vecteurs sont coplanairesSP PBAB


S

P

PBSP

A

B

AB

Zh

Xh

Yh

I

Un point I projection de P appartient à la surface régléesi et seulement si le produit mixte

0PB,AB,SP

h

h

h

z

y

x

S

h

h

h

z

y

x

SP

R

H)sin(

R

L)cos(

PB

b

R

HH)sin()sin(

)cos()cos(

AB

ab


0PB,AB,SP La résolution de permet de déterminer la valeur q

max

min

Variation de pour )(PB,AB,SP 180180

La fonction a une forme sinusoïdale et passe donc par une valeur mini et une valeur maxi.Entre ces deux extrema, la fonction s’annule.

)(PB,AB,SP


max

min

On détermine la valeur q pour laquelle le produit mixte s’annule en utilisant la méthode numérique de résolution dite de dichotomie sur l’intervalle [qmin, qmax] .


Résumé de la méthode

1. Calculer les coordonnées du Soleil dans le repère horizontal à l’aide de la méthode décrite dans le Traité abrégé de gnomonique.

2. Calculer les coordonnées des vecteurs

3. Déterminer q en résolvant par la méthode de dichotomie

4. Calculer les coordonnées de I point d’intersection de la droite passant par

S et P avec la génératrice de la surface.

5. Calculer la norme du vecteur

SP PBAB

0PB,AB,SP

IA


S

Gnomon

P

A

B

Zh

Xh

Yh

I

IAAI

Tracé sur la surface

Pour chaque point I on connait l’angle q positionnant le point A sur le cercle de base, sur le segment AB on marque la distance


Cadran solaire sur un hyperboloïde

Centrale nucléaire de Civaux-Simulation

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