Diapositive 1

Cadran solaire de temps moyen sur une surface rgleFrancis Ziegeltrum16 octobre 2010Runion CCS113/10/2012Horloge hlio-caustique de temps moyenXhYhZhGnomon

S

Coordonnes horizontalesIl y a un an je vous avais prsent ma mthode de calcul des coordonnes du Soleil dans le repre horizontal utilisant les matrices de rotation.Cest une mthode qui fait abstraction de la trigonomtrie et utilise un outil de lalgbre.Je vous rappelle en quelques mots la mthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repre pour arriver au repre local que lon nomme le repre horizontal. A chaque changement de repre correspond une matrice de rotation.Il y a un an je vous avais prsent ma mthode de calcul des coordonnes du Soleil dans le repre horizontal utilisant les matrices de rotation.Cest une mthode qui fait abstraction de la trigonomtrie et utilise un outil de lalgbre.Je vous rappelle en quelques mots la mthode: partant de la longitude moyenne du Soleil, on effectue 3 changements de repre pour arriver au repre local que lon nomme le repre horizontal. A chaque changement de repre correspond une matrice de rotation.2XhYhZhGnomon

S

PM

La projection du point P sur la surface plane revient dterminer le point dintersection de la droite passant par S et P avec la surfaceProjection sur une surface planeConnaissant les coordonnes cartsiennes du Soleil tout instant, on peut facilement calculer la projection dun point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractrisent les cadrans solaires de temps moyen.Connaissant les coordonnes cartsiennes du Soleil tout instant, on peut facilement calculer la projection dun point sur une surface plane. On peut ainsi calculer les courbes en huit qui caractrisent les cadrans solaires de temps moyen.3 XhYhZhGnomon

S

PM

Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point dintersection avec une droite?GnralisationQuestion: Existe-t-il des familles de surfaces permettant de trouver facilement le point dintersection avec une droite?

4(Rappel de gomtrie analytique

Espace euclidien

Lespace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent seffectuer les calculs de la gomtrie analytique.Pour cela il faut un repre pour les coordonnes cartsiennes et un espace vectoriel pour dcomposer les vecteurs.Le plus petit lment de lespace est le point. Celui-ci est localis dans lespace laide de ces coordonnes.Llment suivant est le vecteur reprsent par une flche. Tout vecteur de lespace se dcompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appels coordonnes du vecteur u.Par un point passe un infinit de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite scrit en utilisant les coordonnes de A et de u. a est le paramtre.Lespace euclidien est un espace imaginaire dans lequel peuvent seffectuer les calculs de la gomtrie analytique.Pour cela il faut un repre pour les coordonnes cartsiennes et un espace vectoriel pour dcomposer les vecteurs.Le plus petit lment de lespace est le point. Celui-ci est localis dans lespace laide de ces coordonnes.Llment suivant est le vecteur reprsent par une flche. Tout vecteur de lespace se dcompose en somme des vecteurs i,j et k. u1, u2 et u3 sont appels coordonnes du vecteur u.Par un point passe un infinit de droite ayant chacune son vecteur directeur. Tout point de la droite scrit en utilisant les coordonnes de A et de u. a est le paramtre.6Gomtrie analytiqueOpration sur les vecteursProduit scalaire

Produit vectoriel

Norme dun vecteur

Produit mixte

En dehors des opration sur les vecteurs classiques daddition de 2 vecteurs ou la multiplication par un scalaire, il existe 4 oprations trs intressantes pour

7Gomtrie analytiqueFonctions visual basicFunction produit_scalaire(u1, u2, u3, v1, v2, v3)produit_scalaire = u1 * v1 + u2 * v2 + u3 * v3End Function

Function produit_vectoriel(u1, u2, u3, v1, v2, v3)Dim pproduit_vectoriel(3) As Doublepproduit_vectoriel(1) = u2 * v3 - u3 * v2pproduit_vectoriel(2) = u3 * v1 - u1 * v3pproduit_vectoriel(3) = u1 * v2 - u2 * v1produit_vectoriel = Array(pproduit_vectoriel(1), pproduit_vectoriel(2), pproduit_vectoriel(3))End Function

Function produit_mixte(u1, u2, u3, v1, v2, v3, w1, w2, w3)produit_mixte = produit_scalaire(u1, u2, u3, produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(0), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(1), produit_vectoriel(v1, v2, v3, w1, w2, w3)(2))End FunctionComme toujours je me sers dun tableur et surtout de la programmation visual basic qui permet de crer des fonctions qui sont de vritable super oprateurs de calcul.Comme toujours je me sers dun tableur et surtout la programmation visual basic qui permet de crer des fonctions qui sont de vritable super oprateurs de calcul.8Gomtrie analytiqueDroites coplanairesPositionnement dune droite dans lespaceADaB

DbDeux droites sont coplanaires si et seulement si les vecteurs sont coplanaires,Cest--dire si le produit mixte

Mais voyons maintenant comment les 3 oprations sur les vecteurs nous sont dune grande utilit pour dterminer la position dune droite par rapport une autre.9Gomtrie analytiquePositionnement dune droite dans lespaceDroites scantesAIDaB

DbDeux droites sont scantes si et seulement si elles sont coplanaires et non paralllesGomtrie analytiqueCalcul de point dintersection de deux droites scantesAIDaB

Db

Le point dintersection I appartient aux deux droites donc:En liminant b on trouve lexpression de a:

Gomtrie analytiqueCalcul de point dintersection de deux droites scantesAIDaB

Db

Les coordonnes de I sont:Avec:

)Rappel de gomtrie analytiqueUne surface est dite rgle si elle est engendre par des droites o est une courbe paramtre et est un vecteur galement paramtr. Dfinition

Courbe paramtreGnratrice

Surface rgleVoici une dfinition gnrale des surfaces dites rgles. 14XYZ

GnratricesSurface rgle de rvolutionNous allons nous intresser plus particulirement aux surfaces rgles de rvolution.Soit un cercle qui reprsente la courbe paramtre A et une droite appele gnratrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallle laxe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirige par u. Lensemble de ces droites forment la surface dun cylindre.Nous allons nous intresser plus particulirement aux surfaces rgles de rvolution.Soit un cercle qui reprsente la courbe paramtre A et une droite appele gnratrice ayant comme vecteur directeur le vecteur u parallle laxe z. Par chaque point du cercle passe une droite dirige par u. Lensemble de ces droites forment la surface dun cylindre.15XYZGnratrices

XYZPremire surface:Un cylindre

Surface rgle de rvolutionJai donc gnr une surface rgle partir dune droite parallle laxe z et sappuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle une certaine distance du premier. Toutes les gnratrices coupent ce cercle.Jai donc gnr une surface rgle partir de droite parallle laxe z et sappuyant sur un cercle. Je peux placer un autre cercle une certaine distance du premier. Toutes les gnratrices coupent ce cercle.16Gnratrices

XYZRotation du cercle suprieur dun angle jDeuxime surface: un hyperbolode une nappe

Si je suppose que les gnratrices sont accroches ces 2 cercles et que je tourne celui du haut dun angle phi, les gnratrices ne sont plus parallles laxe z mais sinclinent. La surface engendre par les droites nest plus un cylindre. La surface est un hyperbolodes une nappe. Si lon continu de tourner le cercle suprieur on finit par obtenir un cne.Surface rgle de rvolutionSi je suppose que les gnratrices sont accroches ces 2 cercles et que je tourne celui du haut dun angle phi, les gnratrices ne sont plus parallles laxe z mais sinclinent. La surface engendre par les droites nest plus un cylindre. La surface est un hyperbolodes une nappe. Si lon continu de tourner le cercle suprieur on finit par obtenir un cne.17j=0 : Cylindre

0