8/6/2019 C4M-Formules_Euler(cours)

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Applications des formules d'Euler : mthode de l'arc moiti

Pr requis: pour tout rel ,i i

e ecos

2

et

i ie e

sin2i

Astuces: pour tout rel ,2

ii2e e

et

i i2 2e .e 1

.

Proposition:

Pour tout rel ,i i

i i2 2e 1 2 cos e et e 1 2i sin e2 2

.

Preuve:

Pour tout rel , on a :

2

i i i i i i ii 2 2 2 2 2 2 2e 1 e e e e e e 2 cos e

2

et

2

i i i i i i ii 2 2 2 2 2 2 2e 1 e e e e e e 2i sin e

2

Pour sexercer:

1. A laide des formules dEuler, exprimer sin2

.

2. Vrifier que : ii i 2e e 2i sin e2

.

Solution:

1. On a :i i

2 2e e

sin

2 2i

.

i i i i i i ii i 2 2 2 2 2 2 2

i2

ii i 2

2. e e e .e e .e e e e

e 2i sin2

Ainsi e e 2i sin e2

Anne scolaire 2008-09 www.mathsecondaire.net

4 AMr ABIDI FARID