8/6/2019 C4M-Fonction_ln(cours)

1/2

Drivabilit et continuit de la fonction ln

ln est continue et drivable sur ]0;+[.

pour tout x > 0, que ln 'x =1

x

Approximation affine au voisinage de 1

limh0

ln 1hh

=1 ou limx1

ln x x1

=1

Remarque, une quation de la tangente la courbe Cln est : y =x 1

Limites

limx

ln x= limx0

ln x =

limx

ln x

x=0

+

limx0

x ln x =0-

Les Fonctions logarithmes

La fonction logarithme nprien

Dfinition :

La fonction logarithme nprien, note ln, est la primitive sur ]0;+[ de la fonction

x

Donc : y=exx=ln y

ln est une bijection de ]0;+[ sur .ln x=ln y x=y

e ln x=x avec x0

ln ex =x

Les proprits de la fonction ln

x , y +*

ln x y =ln x lny , ln1

x=lnx , ln xy =ln x ln y

p , ln xp=pln x

,

ln x =1

2lnx

1

x--> qui s'annule ne 1.l

Pour tout de

dePour tout

4AMrABIDIFARID

www.mathsecondaire.com pag

8/6/2019 C4M-Fonction_ln(cours)

2/2

tude du sens de variation de ln et tude de la fonction lnu

ln 'x =1

xavec x0 donc ln est strictement croissante

Donc :a b +

* , ln a ln bab

ln a0 a1 ln a0 a1

Soit I un intervalle de Si u est drivable et strictement positive sur I alors f=ln u et dfinie et drivable sur I et

on a xI, f 'x=u 'x 1

u x =u 'x

u x

Cln est le symtrique de Cexp par la droite d'quation y=x

Fonction logarithme dcimal

La fonction logarithme dcimal, note log, est dfinie sur ]0;+[ par logx=ln x

ln 10 .

On a donc log1=0 et log10=1 .

Toutes les proprits algbriques de la fonction ln sont vrifies par la fonction log

En

particulier, on a log10n

=n .

0

+* ,

,

sur ]0;+[.

.

4AMrABIDIFARID

Les Fonctions logarithmes

www.mathsecondaire.com page