c4m fonction exp(cours)
TRANSCRIPT
-
8/6/2019 C4M Fonction Exp(cours)
1/5
b) Limites :
limx
ex=
limx
ex=0
c) Autres limites importantes :
n, limx
ex
xn
= donc en particulier pour n=1 : limx
ex
x=
n, limx
xnex=0 donc en particulier pour n=1 : lim
xxe
x=0
limx0
ex
1x
=1
Les fonctions exponentielles
expx=ex
Rgles de calculs :
e0 =1 exy=exey e
x=1
ex
exy
= ex
ey
ex n=enx
tude et reprsentation graphique de la fonction exponentielle :
a) Sens de variation :
La fonction exponentielle est drivable et strictement positive sur . x , exp x=exp 'x d'o exp 'x 0 donc la fonction exponentielle est strictement croissante.
On dit que la fonction exponentielle est une bijection de sur +* .
Consquences :
ex=eyx=y exey xy x] ;0 [ 0 ex1 x]0 ;[ ex1; ; ;
Dfinitions et thormes :
Par dfinition, La fonction exponentielle est bijection rciproque de la fonction ln.On la note exp. Pour tout x rel,
4AMrABIDIFARID
www.mathsecondaire.com page 1 - 5
-
8/6/2019 C4M Fonction Exp(cours)
2/5
Fonctions exponentielles de base a (a > 0) :
a) Dfinition :
On appelle fonction exponentielle de base a ( a+* ) la fonction qui se note xexpa x ou
xax . ax=e
xln a
Par consquence : b et a+*
ab=e
b lna
ln ab=b lna
b) tude de variation :
Soit fa la fonction dfinie sur par fax=ax=ex ln a ( a+*
x , fa' x= ln a ex ln a= lna ax
x , ax=exln a0 donc fa' x est du signe de ln a .
Donc 3 cas possibles :
Si a = 1 : fa est la fonction x1 .
Si a > 1 :
ln a0 donc :
fa'0 et donc la fonction fa est strictement croissante sur .
limx
x lna = et limX
eX= donc limx
ex ln a=
limx
x lna = et limX
eX=0 donc lim
xexln a=0
On en dduit donc ce tableau de variation :
x 0 1
fa' x +
fax
0
1
a
Exemples :
Les fonctions exponentielles
4AMrABIDIFARID
www.mathsecondaire.com page 2 - 5
-
8/6/2019 C4M Fonction Exp(cours)
3/5
Si 0 < a < 1 :
ln a0 donc :
fa'0 et donc la fonction fa est strictement dcroissante sur .
limx
x lna = et limX
eX=0 donc lim
xexln a=0
limx
x lna = et limX
eX= donc limx
exln a=
On en dduit donc ce tableau de variation :
x 0 1
fa' x +
fax
1
a
0
Exemples :
Remarque : Les courbes reprsentatives des fonctions xax et x1a x
avec a0 sont symtriques
d'axe la droite d'quation x=0 . En effet, ax=exln a et
1
a
x
=ex ln 1a =ex ln a .
c) Primitives :
Les fonctions xax admettent pour primitives les fonctions x1
ln a axC avec C une
constante relle, a ]0,1[]1, [ . (Si a=1 alors les primitives sont les fonctions x xC)
d) Rgles de calcul :
Les rgles de calcul sont les mme qu'avec la fonction exponentielle qui n'est en fait qu'un casparticulier : ( a et b sont des rels strictement positifs)
|
||
|
|
Les fonctions exponentielles
4AMrABIDIFARID
www.mathsecondaire.com page 3 - 5
-
8/6/2019 C4M Fonction Exp(cours)
4/5
a0=1 axy=axay ax
=1
ax a
xy
=ax
ay axn=anx
ax
bx=
a
b x
abx=ax bx
Fonctions puissance :
a) Dfinition :
On appelle fonction puissance toute fonction f dfinie sur +* par f=x
=e ln x .
b) tude de variation :
f est drivable sur ]0 ;[ et fx =ln x ' x
=
x x
=x1
.
Sens de variation :
Si 0 alors f' x 0 et donc f est strictement croissante.
Si 0 alors f' x 0 et donc f est strictement dcroissante.
Limites :
Si 0 :
limx0 ln x = donc limx0 x
a
=0
limx
ln x = donc limx
xa=
Si 0 :
limx0
ln x = donc limx0
xa=
limx
ln x = donc limx
xa=0
Tableaux de variations :
0:
x 0
x
0
0:
x 0
x
0
Les fonctions exponentielles
4AMrABIDIFARID
www.mathsecondaire.com page 4 - 5
-
8/6/2019 C4M Fonction Exp(cours)
5/5
La courbe admet les
axes de coordonnes
comme asymptotes.
Reprsentation graphique :
Les fonctions exponentielles
4AMrABIDIFARID
www.mathsecondaire.com page 5 - 5