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C O U R S S i x i è m e

Grandeurs et mesures• 1Distances...............................................................................................................................................2

1Reporter une longueur. Changer d'unité...............................................................................................32Découvrir la notion de périmètres........................................................................................................43Calculer des périmètres........................................................................................................................54Calculer des distances...........................................................................................................................6

• 2Aires......................................................................................................................................................71Comparer des aires...............................................................................................................................82Différencier aire et périmètre. Mesurer des aires.................................................................................93Utiliser les unités d'aires.....................................................................................................................104Calculer une aire en utilisant des formules.........................................................................................11

• 3Volumes...............................................................................................................................................121Utiliser les unités de contenance........................................................................................................132Mesurer un volume. Volume du parallélépipède rectangle................................................................14

• 4Angles..................................................................................................................................................151Définir un angle. Découvrir des angles particuliers...........................................................................162Mesurer un angle................................................................................................................................173Construire un angle de mesure donnée...............................................................................................18

U t i l i s a t i o n p r i o r i t a i r e :

d u b l e u ( b l e u 3 ) , d u r o u g e ( r o u g e ) e t d u v e r t ( v e r t 4 )

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11 DDISTANCESISTANCES


11 Reporter une longueur. Changer d'unitéReporter une longueur. Changer d'unité

Soyons curieux

Étalon prototype du mètre avec son étui,fabriqué par Lenoir, en platine, 1799

1.1) Reporter une longueur avec une règle graduée

Énoncé : Placer sur la demi-droite d'origine C le point M tel que CM = AB.

Solution : On mesure le segment [ AB ] , puis on reporte cette mesure à partir du point C.

1.2) Reporter une longueur avec un compas

Énoncé : Placer sur la demi-droite d'origine C le point M tel que CM = AB.

Solution : On prend l'écartement du compas correspondant à la longueur du segment [AB].

On reporte la longueur de segment [ AB ] à partir du point C sur la demi-droite et on place le point M.

1.3) Tableau des unités de longueurs

Pour effectuer des changements d'unités de longueur , on utilise des multiplications et des division par 10.

km hm dam m dm cm mm

Exemples :

• 1 km = 10 hm = 100 dam = 1 000 m

• 1 m = 10 dm = 100 cm = 1000 mm


*10 *10*10*10 *10*10

:10:10 :10 :10 :10 :10

22 Découvrir la notion de périmètresDécouvrir la notion de périmètres

Soyons curieux

Le mot périmètre (du grec ancien : περίμετρος)

est composé du préfixe péri- qui signifie «autour»

et du suffixe -mètre : « mesure »

2.1) Définition

Le périmètre d'une figure est la longueur de son contour.

Exemple : Le périmètre de cette figure est la longueur dutrait en vert.

2.2) Règle

On exprime le périmètre à l'aide d'une unité de longueur.

2.3) Exemples

1. Si u est l'unité, le périmètre du rectangle est 10 * u.

2. Si v est l'unité, le périmètre du rectangle est 5 * v.

3. Le périmètre du triangle est :

4 cm + 5 cm + 3 cm = 12 cm


33 Calculer des périmètresCalculer des périmètres

Soyons curieux

Quand le rouleau, de 1dm de diamètre exécute un tour la longueur de la feuille dérouléemesure 3,14 dm.

π ≈ 3.141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 10…

Quelques décimales du nombre pi (π).

3.1) Carré

Périmètre du carré = 4 * c = 4c

3.2) Rectangle

Périmètre du rectangle = 2 * (L + l) = 2 ( L+l )

= (2 * L) + (2 * l) = 2L + 2l

3.3) Cercle

Périmètre du cercle = 2 * π * r


44 Calculer des distancesCalculer des distances

Soyons curieux

Pour traverser les Champs Élysées, le chemin le plus court est le passage protégé.

4.1) Définition

La distance entre deux points A et B est la longueur du segment [AB].

On note AB = 3 cm

4.2) Mesurer la distance entre une droite et un point

Énoncé : Mesurer la distance entre le point A et la droite (d)

Solution : On commence par tracer une droite perpendiculaireà (d) passant par A. Elle coupe (d) en H. La distance entre lepoint A et la droite (d) est égale à AH.

4.3) Mesurer la distance entre deux droites parallèles

Énoncé : Mesurer la distance entre les droites parallèles (d) et (d').

Solution : On commence par tracer une droite perpendiculaire à (d) et à (d'). Elle coupe (d) en A et (d') en B. La distance entre les deux droites parallèles (d) et (d') est égale à AB.


22 AAIRESIRES


11 Comparer des airesComparer des aires

Soyons curieux

La surface grise est la zone de tirs à trois points.

L'aire de la surface grise est plus grande que l'airede la surface blanche

1.1) Comparer des aires par superposition

Énoncé : Quelle surface a la plus grande aire ?

Solution : En superposant les surfaces poly1 et poly2, on constate que la surface poly1 aune plus grande aire que la surface poly2.

1.2) Comparer des aires par déplacement

Énoncé : Quelle surface a la plus grande aire ?

Solution : En déplaçant un morceau de la surface A et le recollant à un autre endroit, on constate que la surface A et la surface B ont la même aire.


22 Différencier aire et périmètre. Mesurer des aires.Différencier aire et périmètre. Mesurer des aires.

Soyons curieux

Le cadre mesure 1,3 m sur 0,80 m .

Pour protéger ce tableau, il faut une vitre de 1,04 m²entourée d'un fil de 4,20 m.

2.1) Propriété 1

Deux figures peuvent avoir le même périmètre mais pas la même aire.

La figure B a le même périmètre que la figure C mais son aire est plus grande que celle de la figure C.

2.2) Propriété 2

Deux figures peuvent avoir la même aire mais pas le même périmètre.

La figure D a la même aire que la figure E mais son périmètre est le plus petit que celui de la figure E.

2.3) Mesurer l'aire d'une figure avec une unité d'aire

Pour mesurer l'aire d'une figure, on peut utiliser un pavage enchoisissant d'abord une unité d'aire.

Énoncé : Mesurer l'aire de la figure rouge en utilisant :

• le carré gris comme unité d'aire

• le rectangle gris comme unité d'aire

Solution :

• L'aire de la figure rouge est de 5 unités d'aire avec le carré griscomme unité d'aire.

• L'aire de la figure rouge est de 2,5 unités d'aire avec lerectangle gris comme unité d'aire.


33 Utiliser les unités d'airesUtiliser les unités d'aires

Soyons curieux

L'aire de la surface d'un court de tenniset équivalente à l'aire de la surface desalvéoles pulmonaires.

3.1) Remarques

L'unité du Système international est :

• le mètre (noté m) pour les longueurs,

• le mètre carré (noté m²) pour les aires

3.2) Définition

1 m² est l'aire d'un carré de 1 mètre de côté, 1 dm² est l'aire d'un carré de 1 dm de côté et ainsi de suite.

3.3) Effectuer des conversions d'unités d'aire

Énoncé : Convertir 3,6 m² en dm² et 15 cm² en m².

Solution : Pour convertir des mesures d'aires, on peut utiliser le tableau suivant :

km² hm² dam² m² dm² cm² mm²

3 , 6 0

0 , 0 0 1 5

On inscrit 3,6 m² dans le tableau ci dessus puis on déplace la virgule jusqu'à l'unité voulue eton complète par des zéros. On a 3,6 m² = 360 dm².

On inscrit 15 m² dans le tableau ci-dessus puis on déplace la virgule jusqu'à l'unité voulue eton complète par des zéros. On a 15 cm² = 0,0015 m².


44 Calculer une aire en utilisant des formulesCalculer une aire en utilisant des formules

Soyons curieux

Le papyrus Rhind est un célèbre papyrus quia été écrit par le scribe Ahmès entre 1650 et1550 av. J.-C.

Dans les problèmes 48 et 50, Ahmès étudiele rapport liant l'aire d'un disque à sondiamètre en cherchant à ramener l'aire ducercle à celle d'un carré équivalent.

Ahmès précise en effet une premièreapproche de la quadrature du cercle(construction d'un carré de même aire qu'undisque donné).

En d'autres termes, l'aire d'un disque de diamètre 9 cm est sensiblement égal à l'aire d'uncarré de 8 cm de côté.

4.1) Carré

Aire du carré = c×c

4.2) Rectangle

Aire du rectangle = L×l

4.3) Triangle rectangle

Aire du triangle rectangle = a×b

2= (a×b) : 2

4.4) Triangle quelconque

Aire du triangle quelconque = b×h

2= (b×h) : 2

4.5) Disque

Aire du disque = π×R×R

= π×R2


33 VVOLUMESOLUMES


11 Utiliser les unités de contenanceUtiliser les unités de contenance

Soyons curieux

En chimie la plupart des récipients de verrerie (ballons, béchers ou erlenmeyers)sont gradués en mL.

1.1) Propriété

Pour mesurer certains volumes (liquides, air…), on parle souvent de contenance.

L'unité utilisée est le litre.

multiples unité sous-multiples

hL daL L dL cL mL

hectolitre décalitre litre décilitre centilitre millilitre

3 5 0

1.2) Effectuer des conversions d'unités de contenance

Énoncé : Convertir 3,5 hL en litres.

Solution : On place dans le tableau 3,5 hL. Le chiffre des unités est 3 donc le 3 se placedans la colonne des hL et le 5 dans la colonne suivante à droite. On ajoute un « 0 » dans lacolonne des litres et on supprime la virgule afin que le « 0 » soit le chiffre des unités.

3,5 hL = 350 L

Le L est une centaine d'hectolitres : 3,5 hL * 100 = 350 L


22 Mesurer un volume. Volume du parallélépipède Mesurer un volume. Volume du parallélépipède rectangle.rectangle.

Soyons curieux

Le compteur d'eau est un appareil demesure permettant d'évaluer laconsommation d'eau d'une installation.

Le coût du traitement de l'eau étant trèsimportant, la surveillance et le calculexact de la consommation est unenécessité pour les consommateurs(principe pollueur-payeur).

2.1) Propriété

Pour mesurer des volumes, on peut utiliser le m³.

km³ hm³ dam³ m³ dm³ cm³ mm³

c d u c d u c d u c d u c d u c d u c d u

kL hL daL L dL cL mL

0 0 3 7

2.2) Effectuer des conversions d'unités de volume

Énoncé : Convertir 37 m³ en dam³

Solution : On place dans le tableau 37 m³ (« 7 » dans la case des unités de m³). On ajoute deux « 0 » dans les colonnes jusqu'aux unités de dam³.

37 m³ = 0,037m³

2.3) Calculer un volume

Le volume du parallélépipède rectangle est V = a×b×c (a, b et c sont dans la même unité)

Le volume du cube est V = a×a×a = a3


a

cb

44 AANGLESNGLES


11 Définir un angle. Découvrir des angles Définir un angle. Découvrir des angles particuliersparticuliers

Soyons curieux

1.1) Définition

Deux demi-droites de même originedéfinissent un angle.

Cette origine est le sommet de l'angle et lesdeux demi-droites sont appelées côtés del'angle.

1.2) notation

Pour noter un angle, on utilise trois lettres :

• la lettre du milieu est le sommet de l'angle,

• les deux autres lettres sont chacune sur un côtéde l'angle.

1.3) Angles particuliers

Nom Angle plat Angle droit Angle obtus Angle aigu

Propriétéformé de troispoints alignés

moitié d'un angleplat

plus grand qu'unangle droit

plus petit qu'unangle droit

Exemple


22 Mesurer un angleMesurer un angle

Soyons curieux

BÂTON DE JACOB

Il permet de relevé l’azimut d'un astre comme le Soleil par exemple.

2.1) Définition

L'unité de mesure des angles est le degré, noté °.

Pour mesurer un angle, on peut utiliser un rapporteur.

2.2) Exemples

• On lit la mesure de l'angle FED sur les graduations intérieures : FED = 108°

• On lit la mesure de l'angle CEF sur les graduations extérieures : CEF = 72°

• On lit aussi CED = 180°

2.3) Remarques

• Deux angles de même mesure sont codés de lamême façon.

• ABC=FED

• Il existe des angles particuliers :

• l'angle droit mesure 90°

• l'angle plat mesure 180°


33 Construire un angle de mesure donnéeConstruire un angle de mesure donnée

Soyons curieux

Le mot « angle » vient du grec « agkon » (= coude).

Le grec, Thalès de Milet (-624 ; -548) considérait que l’angle était la 4ème mesure géométrique après la longueur, la surface et le volume.

3.1) Tracer un angle de mesure donnée

Énoncé : Tracer un angleBAC de mesure 137°.

Solution :

Le sommet de l'angle est A,il faut donc commencer partracer une demi-droite, parexemple [AB), et placer lerapporteur afin d'avoir le« 0 » de la graduation sur lademi-droite [AB).

Comme la graduation « 0 »est sur l'extérieur, oncherche la mesure 137° surcette ligne extérieure puison fait une marque aucrayon.

Il ne reste plus qu'a tracer lademi-droite d'origine Apassant par la marquelaissée au crayon.

On place C sur cette demi-droite.


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