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ISSN 0760-9825

BULLETIN DE LA REacuteGIONALE LORRAINE DE LrsquoAPMEP

Ndeg95 SEPTEMBRE 2008

Points et cercle de Brocard (voir page 8)

Points et cercle de Brocard

P AGE 2 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

SOMMAIRE

EDITORIAL 4

VIE DE LrsquoASSOCIATION

Journeacutee Reacutegionale 2009 appel agrave ateliers 3Rallye matheacutematique 2008 5Site Internet 30Objets matheacutematiques 31

DANS NOS CLASSES

Remboursement dun emprunt (J Verdier) 16

ETUDE MATHEMATIQUE

Henri Brocard 9

MATH ET MEDIA 12

RUBRIQUE PROBLEMES

Cryptographie 7Solution problegraveme 94 33Problegraveme 95 33

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 3

Journeacutee reacutegionale 2009 appel agrave ateliersLa prochaine Journeacutee reacutegionale des matheacutematiques aura lieu le mercredi 18 mars 2008 agrave NancyNous pouvons deacutejagrave vous annoncer que le confeacuterencier sera Jean LEFORT speacutecialiste de la cartographie Un des gages de reacuteussite de cette journeacutee est la preacutesentation drsquoATELIERS varieacutes et nombreux il serait bon quil y en ait au moins quinze et nous avons deacutejagrave quelques pistes Nous lanccedilons donc un appel aupregraves de tous les collegravegues qui voudraient en preacutesenter un Ces ateliers se deacuterouleront lapregraves-midi durant 1 h 30 et pourront rassembler de 15 agrave 30 participants Envoyez vos propositions le plus rapidement possible agrave la preacutesidente de la reacutegionale Apmep Ceacuteline Coursimault (jbccptlu) (avec copie agrave jacverdierorangefr )

MERCi

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laquo LE PETIT VERT raquo est le bulletin de la Reacutegionale Lorraine APME PNeacute en 1985 il complegravete les publications nationales que sont le bulletin (le lsquoGrosrsquo Vert) PLOT et le BGV Il paraicirct quatre fois dans lrsquoanneacutee (mars juin septembre et deacutecembre)Son but est drsquoune part drsquoinformer les adheacuterents lorrains sur lrsquoaction de la Reacutegionale et sur la laquo vie matheacutematique raquo locale et drsquoautre part de permettre les eacutechanges entre les adheacuterentsOn y trouve un eacuteditorial (reacutedigeacute par un membre du Comiteacute) et diverses annonces les rubriques laquo problegravemes raquo laquo dans la classe raquo et laquo maths et meacutedia raquo et parfois une laquo eacutetude matheacutematique raquo Il est alimenteacute par les contributions des uns et des autres chacun drsquoentre vous est vivement solliciteacute pour y eacutecrire un article et cet article sera le bienvenu les propositions sont agrave envoyer agrave jacquesverdierfreefr et christophewalentinwanadoofr

P AGE 2 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

SOMMAIRE

EDITORIAL 4

VIE DE LrsquoASSOCIATION

Journeacutee Reacutegionale 2009 appel agrave ateliers 3Rallye matheacutematique 2008 5Site Internet 30Objets matheacutematiques 31

DANS NOS CLASSES

Remboursement dun emprunt (J Verdier) 16

ETUDE MATHEMATIQUE

Henri Brocard 9

MATH ET MEDIA 12

RUBRIQUE PROBLEMES

Cryptographie 7Solution problegraveme 94 33Problegraveme 95 33

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 3

Journeacutee reacutegionale 2009 appel agrave ateliersLa prochaine Journeacutee reacutegionale des matheacutematiques aura lieu le mercredi 18 mars 2008 agrave NancyNous pouvons deacutejagrave vous annoncer que le confeacuterencier sera Jean LEFORT speacutecialiste de la cartographie Un des gages de reacuteussite de cette journeacutee est la preacutesentation drsquoATELIERS varieacutes et nombreux il serait bon quil y en ait au moins quinze et nous avons deacutejagrave quelques pistes Nous lanccedilons donc un appel aupregraves de tous les collegravegues qui voudraient en preacutesenter un Ces ateliers se deacuterouleront lapregraves-midi durant 1 h 30 et pourront rassembler de 15 agrave 30 participants Envoyez vos propositions le plus rapidement possible agrave la preacutesidente de la reacutegionale Apmep Ceacuteline Coursimault (jbccptlu) (avec copie agrave jacverdierorangefr )

MERCi

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laquo LE PETIT VERT raquo est le bulletin de la Reacutegionale Lorraine APME PNeacute en 1985 il complegravete les publications nationales que sont le bulletin (le lsquoGrosrsquo Vert) PLOT et le BGV Il paraicirct quatre fois dans lrsquoanneacutee (mars juin septembre et deacutecembre)Son but est drsquoune part drsquoinformer les adheacuterents lorrains sur lrsquoaction de la Reacutegionale et sur la laquo vie matheacutematique raquo locale et drsquoautre part de permettre les eacutechanges entre les adheacuterentsOn y trouve un eacuteditorial (reacutedigeacute par un membre du Comiteacute) et diverses annonces les rubriques laquo problegravemes raquo laquo dans la classe raquo et laquo maths et meacutedia raquo et parfois une laquo eacutetude matheacutematique raquo Il est alimenteacute par les contributions des uns et des autres chacun drsquoentre vous est vivement solliciteacute pour y eacutecrire un article et cet article sera le bienvenu les propositions sont agrave envoyer agrave jacquesverdierfreefr et christophewalentinwanadoofr

Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 3

Journeacutee reacutegionale 2009 appel agrave ateliersLa prochaine Journeacutee reacutegionale des matheacutematiques aura lieu le mercredi 18 mars 2008 agrave NancyNous pouvons deacutejagrave vous annoncer que le confeacuterencier sera Jean LEFORT speacutecialiste de la cartographie Un des gages de reacuteussite de cette journeacutee est la preacutesentation drsquoATELIERS varieacutes et nombreux il serait bon quil y en ait au moins quinze et nous avons deacutejagrave quelques pistes Nous lanccedilons donc un appel aupregraves de tous les collegravegues qui voudraient en preacutesenter un Ces ateliers se deacuterouleront lapregraves-midi durant 1 h 30 et pourront rassembler de 15 agrave 30 participants Envoyez vos propositions le plus rapidement possible agrave la preacutesidente de la reacutegionale Apmep Ceacuteline Coursimault (jbccptlu) (avec copie agrave jacverdierorangefr )

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laquo LE PETIT VERT raquo est le bulletin de la Reacutegionale Lorraine APME PNeacute en 1985 il complegravete les publications nationales que sont le bulletin (le lsquoGrosrsquo Vert) PLOT et le BGV Il paraicirct quatre fois dans lrsquoanneacutee (mars juin septembre et deacutecembre)Son but est drsquoune part drsquoinformer les adheacuterents lorrains sur lrsquoaction de la Reacutegionale et sur la laquo vie matheacutematique raquo locale et drsquoautre part de permettre les eacutechanges entre les adheacuterentsOn y trouve un eacuteditorial (reacutedigeacute par un membre du Comiteacute) et diverses annonces les rubriques laquo problegravemes raquo laquo dans la classe raquo et laquo maths et meacutedia raquo et parfois une laquo eacutetude matheacutematique raquo Il est alimenteacute par les contributions des uns et des autres chacun drsquoentre vous est vivement solliciteacute pour y eacutecrire un article et cet article sera le bienvenu les propositions sont agrave envoyer agrave jacquesverdierfreefr et christophewalentinwanadoofr

P AGE 4 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

eacuteditoRENTREE(S) 2009

Crsquoest lorsque je me retrouve face agrave mon eacutecran pour reacutediger lrsquoeacutedito de rentreacutee que je me rends compte agrave quel point les anneacutees passent vitehellip et jrsquoaimerais pouvoir dire qursquoelles ne se ressemblent pas toutes Voici venu le temps des rentreacutees rentreacutee des classes rentreacutee litteacuteraire rentreacutee de la reacutegionalehellip Certaines sont remplies de nouveauteacutes et offrent des milliers de pages et drsquohistoires agrave deacutecouvrir drsquoautres permettent de deacutecouvrir de nouveaux eacutelegraveves de nouveaux eacutetablissements mais peuvent parfois paraicirctre un peu moroses

Heureusement la reacutegionale lorraine est lagrave pour essayer de donner du baume au cœur agrave chacun drsquoentre nous qui regrette deacutejagrave les vacances le soleil le sable chaud La grande nouveauteacute de cette rentreacutee cocircteacute reacutegionale crsquoest le tout nouveau site (httpapmeplorrainefreefr) qursquoil ne faut surtout pas heacutesiter agrave aller consulter (voir article page 30)

Nous sommes preneurs de toutes les ideacutees ou remarques qui peuvent vous passer par la tecircte Cela peut parfois donner un nouvel eacuteclairage agrave nos pratiques ou agrave nos reacuteflexionsNrsquoheacutesitez pas agrave nous envoyer des activiteacutes en classe pour le Petit Vert Si ccedila a bien fonctionneacute avec vos eacutelegraveves cela fonctionnera certainement avec drsquoautres Vous pouvez aussi venir preacutesenter agrave drsquoautres collegravegues les travaux que vous avez exeacutecuteacutes en classe avec vos eacutelegraveves que ce soit sous la forme drsquoun atelier lors de la journeacutee reacutegionale ou lors drsquoun goucircter que nous pouvons vous aider agrave organiser dans votre eacutetablissement Les sujets ne manquent pas Lrsquooutil informatique mais aussi les probas au collegravege les jeuxhellip Cela peut peut-ecirctre contribuer agrave (re)dynamiser les eacutequipes peacutedagogiques Et si vous relevez dans la presse des boulettes commises par les journalistes ou les publicitaires lorsqursquoils se mettent agrave parler pourcentages et statistiques (si si ccedila arrive tregraves souvent ) nrsquoheacutesitez pas agrave nous les communiquer Elles viendront enrichir notre rubrique MathampMeacutedia Quant aux inquieacutetudes concernant ce qui nous attend dans les grandes reacuteformes annonceacutees nrsquoayez crainte la reacutegionale veillehellip et saura vous tenir informeacutes

Voilagrave il ne me reste plus qursquoagrave vous souhaiter une bonne rentreacutee

A tregraves bientocirct Ceacuteline COURSIMAULT

Preacutesidente de la Reacutegionale

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 5

Rallye matheacutematique 2008Rallye matheacutematique 2008Nous vous rappelons le palmaregraves du Rallye organiseacute par notre reacutegionale 55 classes de troisiegraveme et 56 classes de seconde ont participeacute cette anneacuteePour les collegraveges 1er prix classe de 3e 3 du collegravege Jean Rostand de Metz 2e prix classe de 3e 5 du collegravege Jean Mermoz de Marly3e prix classe de 3e 2 du collegravege G Pierneacute de Ste Marie aux Checircnes Pour les lyceacutees 1er prix classe de 2e GT2 du lyceacutee Boutet de Monvel de Luneacuteville2e prix classe de 2e C du lyceacutee franccedilais Vauban de Luxembourg3e prix classe de 2e 2 de lrsquoensemble scolaire ND St Sigisbert agrave Nancy

Voici quelques commentaires drsquoeacutelegraveves de seconde au sujet de cette compeacutetition

Le concours est tregraves agreacuteable agrave faire crsquoest convivial et amusant Il y a des exercices plus ou moins durs il est donc accessible agrave tout le monde Ceacuteline

Le Rallye matheacutematique eacutetait une bonne expeacuterience Ludique et amusante elle srsquoest deacuterouleacutee dans un esprit tregraves collectif On a eacuteteacute seacutepareacute en plusieurs groupes et chaque groupe cherchait son exercice Quand un exercice eacutetait fini un autre groupe se chargeait de veacuterifier les reacuteponses Ainsi nous pouvions travailler vite et efficacement Pour lrsquoexercice du message codeacute toute la classe a chercheacute ensemble mais malheureusement pas trouveacute ce qui fut fort dommage En conclusion ce rallye fut tregraves instructif et on srsquoest bien amuseacute

Jrsquoai beaucoup appreacutecieacute lrsquoambiance de la classe tregraves conviviale accompagneacutee drsquoun veacuteritable travail drsquoeacutequipe Tous ensemble tous ensemble Meacutegane

Ainsi que celles du lyceacutee Vauban recueillies par Daniel qui eacutetait venu leur remettre leur prix

bull 23 eacutelegraveves signalent que le fait davoir travailleacute en groupe en eacutequipe avait eacuteteacute le point le plus fort les compleacutements les plus citeacutes font reacutefeacuterence au fait que cela renforce les liens que cela soude la classe ils sont mecircme deux agrave souligner que vraiment ceacutetait bien car ceacutetait la premiegravere fois que lon travaillait en groupes en matheacutematiques

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P AGE 6 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

8 eacutelegraveves soulignent la neacutecessiteacute de sorganiser (et il y en a un qui souligne que lheure consacreacutee agrave la preacuteparation avait eacuteteacute beacuteneacutefique et ils sont deux agrave reacuteclamer un rallye blanc ) bull 6 ont appreacutecieacute la qualiteacute des exercices (meacutelange math-logique ni trop

difficile mais pas trop faciles) et deux ajoutent le fait que cela permet dappreacutecier les matheacutematiques

bull 5 parlent du plaisir agrave participer agrave une compeacutetition (en particulier avec les autres secondes du lyceacutee ) et du coup la relative deacuteception lieacutee agrave la deuxiegraveme place

bull 5 soulignent laspect sympathique convivialbull le reste est plus anecdotique agrave refaire agrave eacutetendre au classes de

premiegraveres agrave dautres reacutegions que la Lorraine il faudrait des ravitaillement pendant leacutepreuve on a manqueacute de temps

Et un extrait du courrier que nous a envoyeacute Olivier Peacutetry professeur au lyceacutee Boutet de Monvel agrave Luneacuteville Feacutelicitations agrave chacun des 28 eacutelegraveves pour leur motivation et leurs reacutesultatsCe type drsquoeacutepreuve beacuteneacutevole ludique et exigeante permet agrave chaque eacutelegraveve de se confronter agrave des petits problegravemes matheacutematiques ineacutedits et non eacutevidents en faisant appel agrave leurs ressources personnelles agrave celles du groupe et de la classeJrsquoai eacuteteacute tregraves agreacuteablement surpris de voir certains eacutelegraveves rarement dynamiques en classe avec de faibles reacutesultats scolaires se montrer moteurs creacuteatifs et performantsIl srsquoest reacuteveacuteleacute un vrai esprit drsquoeacutequipe Ce rallye reacutevegravele tous les avantages peacutedagogiques drsquoune activiteacute matheacutematique en travail par groupe

Remerciements agrave lrsquoAPMEP pour lrsquoorganisation et particuliegraverement Pierre-Alain Muller pour sa disponibiliteacute agrave chacun des 28 eacutelegraveves de la classe 2degGT2 du lyceacutee qui mrsquooffrent indirectement un beau cadeau pour ma premiegravere anneacutee drsquoenseignement agrave mes formateurs de lrsquoIUFM de Nancy certes perfectibles mais visiblement efficaces aux eacutequipes peacutedagogiques et agrave la direction et personnel du lyceacutee Boutet de Monvel

Rappel la totaliteacute du sujet est teacuteleacutechargeable sur httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telecharger_rallyeamprallye_id=2008ampfichier=sujet

Rendez-vous en avril prochain pour le rallye 2009Rendez-vous en avril prochain pour le rallye 2009

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P AGE 6 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

8 eacutelegraveves soulignent la neacutecessiteacute de sorganiser (et il y en a un qui souligne que lheure consacreacutee agrave la preacuteparation avait eacuteteacute beacuteneacutefique et ils sont deux agrave reacuteclamer un rallye blanc ) bull 6 ont appreacutecieacute la qualiteacute des exercices (meacutelange math-logique ni trop

difficile mais pas trop faciles) et deux ajoutent le fait que cela permet dappreacutecier les matheacutematiques

bull 5 parlent du plaisir agrave participer agrave une compeacutetition (en particulier avec les autres secondes du lyceacutee ) et du coup la relative deacuteception lieacutee agrave la deuxiegraveme place

bull 5 soulignent laspect sympathique convivialbull le reste est plus anecdotique agrave refaire agrave eacutetendre au classes de

premiegraveres agrave dautres reacutegions que la Lorraine il faudrait des ravitaillement pendant leacutepreuve on a manqueacute de temps

Et un extrait du courrier que nous a envoyeacute Olivier Peacutetry professeur au lyceacutee Boutet de Monvel agrave Luneacuteville Feacutelicitations agrave chacun des 28 eacutelegraveves pour leur motivation et leurs reacutesultatsCe type drsquoeacutepreuve beacuteneacutevole ludique et exigeante permet agrave chaque eacutelegraveve de se confronter agrave des petits problegravemes matheacutematiques ineacutedits et non eacutevidents en faisant appel agrave leurs ressources personnelles agrave celles du groupe et de la classeJrsquoai eacuteteacute tregraves agreacuteablement surpris de voir certains eacutelegraveves rarement dynamiques en classe avec de faibles reacutesultats scolaires se montrer moteurs creacuteatifs et performantsIl srsquoest reacuteveacuteleacute un vrai esprit drsquoeacutequipe Ce rallye reacutevegravele tous les avantages peacutedagogiques drsquoune activiteacute matheacutematique en travail par groupe

Remerciements agrave lrsquoAPMEP pour lrsquoorganisation et particuliegraverement Pierre-Alain Muller pour sa disponibiliteacute agrave chacun des 28 eacutelegraveves de la classe 2degGT2 du lyceacutee qui mrsquooffrent indirectement un beau cadeau pour ma premiegravere anneacutee drsquoenseignement agrave mes formateurs de lrsquoIUFM de Nancy certes perfectibles mais visiblement efficaces aux eacutequipes peacutedagogiques et agrave la direction et personnel du lyceacutee Boutet de Monvel

Rappel la totaliteacute du sujet est teacuteleacutechargeable sur httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telecharger_rallyeamprallye_id=2008ampfichier=sujet

Rendez-vous en avril prochain pour le rallye 2009Rendez-vous en avril prochain pour le rallye 2009

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 7

CRYPTOGRAPHIEDans le numeacutero 94 du Petit Vert nous vous preacutesentions un texte agrave deacutecrypter Voici la solution Il srsquoagit des conceptions du matheacutematicien Alexis Clairaut (1713-1765) concernant lrsquoenseignement de la geacuteomeacutetrie

Texte original

Quoique la Geacuteomeacutetrie soit par elle mecircme abstraite il faut avouer cependant que les difficulteacutes qursquoeacuteprouvent ceux qui commencent agrave srsquoy appliquer viennent le plus souvent de la maniegravere dont elle est enseigneacutee dans les eacuteleacutements ordinaires On y deacutebute toujours par un grand nombre de deacutefinitions de demandes drsquoaxiomes et de principes preacuteliminaires qui semblent ne promettre rien que de sec au lecteur Les propositions qui viennent ensuite ne fixant point lrsquoesprit sur des objets plus inteacuteressants et eacutetant drsquoailleurs difficiles agrave concevoir il arrive communeacutement que les commenccedilants se fatiguent et se rebutent avant que drsquoavoir aucune ideacutee distincte de ce qursquoon voulait leur enseignerIl est vrai que pour sauver cette seacutecheresse naturellement attacheacutee agrave lrsquoeacutetude de la Geacuteomeacutetrie quelques auteurs ont imagineacute de mettre agrave la suite de chaque proposition essentielle lrsquousage qursquoon en peut faire pour la pratique mais par lagrave ils prouvent lrsquoutiliteacute de la Geacuteomeacutetrie sans faciliter beaucoup les moyens de lrsquoapprendre Car chaque proposition venant toujours avant son usage lrsquoesprit ne revient agrave des ideacutees sensibles qursquoapregraves avoir essuyeacute la fatigue de saisir des ideacutees abstraitesQuelques reacuteflexions que jrsquoai faites sur lrsquoorigine de la Geacuteomeacutetrie mrsquoont fait espeacuterer drsquoeacuteviter ces inconveacutenients en reacuteunissant les deux avantages drsquointeacuteresser et drsquoeacuteclairer les commenccedilants Jrsquoai penseacute que cette science comme toutes les autres devait srsquoecirctre formeacutee par degreacutes que crsquoeacutetait vraisemblablement quelque besoin qui avait fait faire les premiers pas et que ces premiers pas ne pouvaient pas ecirctre hors de la porteacutee des commenccedilants puisque crsquoeacutetaient des commenccedilants qui les avaient faitsPreacutevenu de cette ideacutee je me suis proposeacute de remonter agrave ce qui pouvait avoir donneacute naissance agrave la Geacuteomeacutetrie et jrsquoai tacirccheacute drsquoen deacutevelopper les principes par une meacutethode assez naturelle pour ecirctre supposeacutee la mecircme que celle des premiers inventeurs observant seulement drsquoeacuteviter toutes les fausses tentatives qursquoils ont neacutecessairement ducirc faire

Quelques explications sur la faccedilon dont a eacuteteacute codeacute le texte

Commenccedilons tout drsquoabord par une statistique des lettres utiliseacutees

a b c d e f g h i j k l m120 13 44 55 318 20 16 7 126 7 0 74 49n o p q r s t u v w x y z 116 76 55 34 104 142 131 96 33 0 5 4 1 35

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P AGE 8 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Nombre total de caractegraveres du texte 1681

On constate que cette reacutepartition correspond bien agrave celle de la langue franccedilaise usuelle on fera lrsquohypothegravese que les lettres nrsquoont pas eacuteteacute modifieacutees (le A repreacutesente bien un A le B un B etc seul le laquo raquo demeure un mystegravere mais on peut supposer qursquoil srsquoagit drsquoune ponctuation) Mais le nombre total de caractegraveres utiliseacutes 1681 nous met la puce agrave lrsquooreille crsquoest le carreacute de 41 Rangeons donc le texte dans un tableau carreacute de 41 lignes et 41 colonnes

La premiegravere colonne est la suivante (nous lrsquoeacutecrivons horizontalement pour des questions de mise ne page)

QUOIQUELAGEOMETRIESOITPARELLEMEMEABSTRAIT

On devine une phrase eacutecrite en franccedilais (la premiegravere du texte ci-dessus)hellip Nous sommes sur la bonne voie il ne reste plus qursquoagrave continuer colonne par colonne agrave reconstituer le texte Reste agrave seacuteparer les mots on constate au passage que les laquo raquo correspondent aux points des fin de phrase (avec 16 laquo raquo suppleacutementaires agrave la fin pour compleacuteter le carreacute car le texte original ne comportait que 1665 caractegraveres points compris

Reprenons la faccedilon dont a eacuteteacute codeacute le texte Premiegravere eacutetape suppression des caractegraveres accentueacutes mise en majuscule du texte remplacement des points par des et suppression des autres caractegraveres de ponctuation et des espacesSeconde eacutetape mise laquo au carreacute raquo 41 lignes de 41 caractegraveres (41 est le premier entier supeacuterieur ou eacutegal au nombre de caractegraveresTroisiegraveme eacutetape conversion du texte en tableau de 41times41 (la derniegravere ligne sera compleacuteteacutee par des )Quatriegraveme eacutetape transposition du tableau (utilisation eacuteventuelle drsquoun tableur)Sixiegraveme transformation conversion du nouveau tableau en texte suppression des marques de fin de ligne (on nrsquoobtient qursquoun seul laquo bloc raquo de 1681 caractegraveres)

Voilagrave Vous pouvez vous amuser avec vos eacutelegraveves (en prenant des textes plus courts par exemple des theacuteoregravemes) Comme celui-ci DNGDUASDCAGLESLCEONLELEAAUTSELHESRXEUREYSORASNECPTMEUTCAOEMSTRTRTGEDRIAREADEEANENLESS

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 9

Pierre Reneacute Jean Baptiste Henri BROCARDPierre Reneacute Jean Baptiste Henri BROCARDHenri Brocard (crsquoest son preacutenom usuel) est neacute le 12 mai 1845 agrave Vignot (pregraves de Commercy) et meurt le 16 janvier 1922 agrave Bar-le-Duc Il est enterreacute avec ses parents au petit cimetiegravere de VignotIl fait ses eacutetudes secondaires agrave Marseille et agrave Strasbourg puis integravegre Polytechnique et rejoint le Geacutenie la plus grande partie de sa carriegravere militaire a eacuteteacute consacreacutee agrave lrsquoenseignement et la recherche en matheacutematiquesPendant la guerre de 1870 il est agrave Metz affecteacute dans lrsquoArmeacutee du Rhin sous les ordres de Mac Mahon puis agrave Sedan ougrave il est fait prisonnier Il part ensuite en Algeacuterie (de 1874 agrave 1884) ougrave il participera activement agrave lrsquoanimation de lrsquoAssociation Franccedilaise pour lrsquoAvancement de la Science Crsquoest lagrave qursquoil preacutesente un article laquo Eacutetude drsquoun nouveau cercle du plan du triangle raquo appeleacute maintenant cercle de Brocard (voir ci-dessous)Il rentre en France prend sa retraite de lieutenant-colonel en 1910 et passe les derniegraveres anneacutees de sa vie en solitaire agrave Bar-le-Duc il eacutetait fils unique sans famille proche et ne srsquoeacutetait jamais marieacute Cependant il continue agrave y avoir une activiteacute matheacutematique en tant que bibliotheacutecaire de la Socieacuteteacute des Lettres des Sciences et des Arts barisienne et assiste agrave de nombreux congregraves internationaux Il a eacuteteacute retrouveacute mort dans son bureau le 16 janvier 1922

Les points de Brocard du triangle

Les points de Brocard drsquoun triangle ABC sont les deux points U et V tels que les angles UAB UBC UCA drsquoune part et VBA VCB VAC drsquoautre part soient eacutegaux (les trois premiers sont drsquoailleurs eacutegaux aux trois suivants leur valeur commune eacutetant laquo lrsquoangle de Brocard du triangle raquo)

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P AGE 10 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008Comment construire ces points Pour le point U on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (AB) le cercle passant par B et A et tangent agrave (BC) et le cercle tangent passant par C et B et tangent agrave (CA) Ces trois cercles concourent en U

Pour le point V on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (BC) etcCes constructions ne sont pas trop difficiles avec un logiciel de geacuteomeacutetrie dynamique et on pourra veacuterifier que les six angles sont eacutegaux

Voici un certain nombre de formules permettant de calculer lrsquoangle de Brocard ω drsquoun triangle ABC de cocircteacutes respectifs a b c et drsquoaire S (pour des simpliciteacutes drsquoeacutecriture nous nrsquoavons pas mis les chapeaux sur les angles)

cot cot A cot B cot Cω = + +sin A sin Bsin Ctan

1 cos A cos Bcos Cω =

+

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 11

2 2 2a b ccot4S

ω + +=

2 2 2 2 2 2

2Ssina b b c c a

ω =+ +

etc

Le cercle de Brocard du triangle

Dans tout triangle les deux points de Brocard U et V le centre O du cercle circonscrit et le point L de Lemoine sont sur un mecircme cercle appeleacute cercle de Brocard du triangle (ces deux derniers points en sont drsquoailleurs un diamegravetre)Qursquoest-ce que le point de Lemoine drsquoun triangle (Eacutemile LEMOINE matheacutematicien franccedilais 1840-1912) Crsquoest le point de concours des trois symeacutedianes Dans un triangle ABC soit (mA) la meacutediane issue de A et (bA) la bissectrice inteacuterieure de lrsquoangle A La droite (sA) symeacutetrique de (mA) par rapport agrave (bA) est la symeacutediane issue de A Les trois symeacutedianes (sA) (sB) et (sC) sont concourantes au point LOn peut deacutemontrer que les distances de ce point L aux trois cocircteacutes du triangle sont proportionnelles aux longueurs de ces cocircteacutesPar ailleurs L est le barycentre du systegraveme pondeacutereacute

( ) ( ) ( ) 2 2ABC BCA CAB

Reacutefeacuterences httpwww-historymcsst-andrewsacukBiographiesBrocardhtmlhttpfrwikipediaorgwikiHenri_Brocardhttpsergemehlfreefranxcer_brocardhtmlhttpmathworldwolframcomBrocardAnglehtmlhttpsergemehlfreefrchronoLemoinehtmlPour aller plus loin (triangles de Brocard) httpmathworldwolframcomFirstBrocardTrianglehtmlNdlr figures reacutealiseacutees agrave lrsquoaide du logiciel libre GeoGebra

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Nombre total de caractegraveres du texte 1681

On constate que cette reacutepartition correspond bien agrave celle de la langue franccedilaise usuelle on fera lrsquohypothegravese que les lettres nrsquoont pas eacuteteacute modifieacutees (le A repreacutesente bien un A le B un B etc seul le laquo raquo demeure un mystegravere mais on peut supposer qursquoil srsquoagit drsquoune ponctuation) Mais le nombre total de caractegraveres utiliseacutes 1681 nous met la puce agrave lrsquooreille crsquoest le carreacute de 41 Rangeons donc le texte dans un tableau carreacute de 41 lignes et 41 colonnes

La premiegravere colonne est la suivante (nous lrsquoeacutecrivons horizontalement pour des questions de mise ne page)

QUOIQUELAGEOMETRIESOITPARELLEMEMEABSTRAIT

On devine une phrase eacutecrite en franccedilais (la premiegravere du texte ci-dessus)hellip Nous sommes sur la bonne voie il ne reste plus qursquoagrave continuer colonne par colonne agrave reconstituer le texte Reste agrave seacuteparer les mots on constate au passage que les laquo raquo correspondent aux points des fin de phrase (avec 16 laquo raquo suppleacutementaires agrave la fin pour compleacuteter le carreacute car le texte original ne comportait que 1665 caractegraveres points compris

Reprenons la faccedilon dont a eacuteteacute codeacute le texte Premiegravere eacutetape suppression des caractegraveres accentueacutes mise en majuscule du texte remplacement des points par des et suppression des autres caractegraveres de ponctuation et des espacesSeconde eacutetape mise laquo au carreacute raquo 41 lignes de 41 caractegraveres (41 est le premier entier supeacuterieur ou eacutegal au nombre de caractegraveresTroisiegraveme eacutetape conversion du texte en tableau de 41times41 (la derniegravere ligne sera compleacuteteacutee par des )Quatriegraveme eacutetape transposition du tableau (utilisation eacuteventuelle drsquoun tableur)Sixiegraveme transformation conversion du nouveau tableau en texte suppression des marques de fin de ligne (on nrsquoobtient qursquoun seul laquo bloc raquo de 1681 caractegraveres)

Voilagrave Vous pouvez vous amuser avec vos eacutelegraveves (en prenant des textes plus courts par exemple des theacuteoregravemes) Comme celui-ci DNGDUASDCAGLESLCEONLELEAAUTSELHESRXEUREYSORASNECPTMEUTCAOEMSTRTRTGEDRIAREADEEANENLESS

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 9

Pierre Reneacute Jean Baptiste Henri BROCARDPierre Reneacute Jean Baptiste Henri BROCARDHenri Brocard (crsquoest son preacutenom usuel) est neacute le 12 mai 1845 agrave Vignot (pregraves de Commercy) et meurt le 16 janvier 1922 agrave Bar-le-Duc Il est enterreacute avec ses parents au petit cimetiegravere de VignotIl fait ses eacutetudes secondaires agrave Marseille et agrave Strasbourg puis integravegre Polytechnique et rejoint le Geacutenie la plus grande partie de sa carriegravere militaire a eacuteteacute consacreacutee agrave lrsquoenseignement et la recherche en matheacutematiquesPendant la guerre de 1870 il est agrave Metz affecteacute dans lrsquoArmeacutee du Rhin sous les ordres de Mac Mahon puis agrave Sedan ougrave il est fait prisonnier Il part ensuite en Algeacuterie (de 1874 agrave 1884) ougrave il participera activement agrave lrsquoanimation de lrsquoAssociation Franccedilaise pour lrsquoAvancement de la Science Crsquoest lagrave qursquoil preacutesente un article laquo Eacutetude drsquoun nouveau cercle du plan du triangle raquo appeleacute maintenant cercle de Brocard (voir ci-dessous)Il rentre en France prend sa retraite de lieutenant-colonel en 1910 et passe les derniegraveres anneacutees de sa vie en solitaire agrave Bar-le-Duc il eacutetait fils unique sans famille proche et ne srsquoeacutetait jamais marieacute Cependant il continue agrave y avoir une activiteacute matheacutematique en tant que bibliotheacutecaire de la Socieacuteteacute des Lettres des Sciences et des Arts barisienne et assiste agrave de nombreux congregraves internationaux Il a eacuteteacute retrouveacute mort dans son bureau le 16 janvier 1922

Les points de Brocard du triangle

Les points de Brocard drsquoun triangle ABC sont les deux points U et V tels que les angles UAB UBC UCA drsquoune part et VBA VCB VAC drsquoautre part soient eacutegaux (les trois premiers sont drsquoailleurs eacutegaux aux trois suivants leur valeur commune eacutetant laquo lrsquoangle de Brocard du triangle raquo)

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P AGE 10 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008Comment construire ces points Pour le point U on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (AB) le cercle passant par B et A et tangent agrave (BC) et le cercle tangent passant par C et B et tangent agrave (CA) Ces trois cercles concourent en U

Pour le point V on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (BC) etcCes constructions ne sont pas trop difficiles avec un logiciel de geacuteomeacutetrie dynamique et on pourra veacuterifier que les six angles sont eacutegaux

Voici un certain nombre de formules permettant de calculer lrsquoangle de Brocard ω drsquoun triangle ABC de cocircteacutes respectifs a b c et drsquoaire S (pour des simpliciteacutes drsquoeacutecriture nous nrsquoavons pas mis les chapeaux sur les angles)

cot cot A cot B cot Cω = + +sin A sin Bsin Ctan

1 cos A cos Bcos Cω =

+

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 11

2 2 2a b ccot4S

ω + +=

2 2 2 2 2 2

2Ssina b b c c a

ω =+ +

etc

Le cercle de Brocard du triangle

Dans tout triangle les deux points de Brocard U et V le centre O du cercle circonscrit et le point L de Lemoine sont sur un mecircme cercle appeleacute cercle de Brocard du triangle (ces deux derniers points en sont drsquoailleurs un diamegravetre)Qursquoest-ce que le point de Lemoine drsquoun triangle (Eacutemile LEMOINE matheacutematicien franccedilais 1840-1912) Crsquoest le point de concours des trois symeacutedianes Dans un triangle ABC soit (mA) la meacutediane issue de A et (bA) la bissectrice inteacuterieure de lrsquoangle A La droite (sA) symeacutetrique de (mA) par rapport agrave (bA) est la symeacutediane issue de A Les trois symeacutedianes (sA) (sB) et (sC) sont concourantes au point LOn peut deacutemontrer que les distances de ce point L aux trois cocircteacutes du triangle sont proportionnelles aux longueurs de ces cocircteacutesPar ailleurs L est le barycentre du systegraveme pondeacutereacute

( ) ( ) ( ) 2 2ABC BCA CAB

Reacutefeacuterences httpwww-historymcsst-andrewsacukBiographiesBrocardhtmlhttpfrwikipediaorgwikiHenri_Brocardhttpsergemehlfreefranxcer_brocardhtmlhttpmathworldwolframcomBrocardAnglehtmlhttpsergemehlfreefrchronoLemoinehtmlPour aller plus loin (triangles de Brocard) httpmathworldwolframcomFirstBrocardTrianglehtmlNdlr figures reacutealiseacutees agrave lrsquoaide du logiciel libre GeoGebra

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 9

Pierre Reneacute Jean Baptiste Henri BROCARDPierre Reneacute Jean Baptiste Henri BROCARDHenri Brocard (crsquoest son preacutenom usuel) est neacute le 12 mai 1845 agrave Vignot (pregraves de Commercy) et meurt le 16 janvier 1922 agrave Bar-le-Duc Il est enterreacute avec ses parents au petit cimetiegravere de VignotIl fait ses eacutetudes secondaires agrave Marseille et agrave Strasbourg puis integravegre Polytechnique et rejoint le Geacutenie la plus grande partie de sa carriegravere militaire a eacuteteacute consacreacutee agrave lrsquoenseignement et la recherche en matheacutematiquesPendant la guerre de 1870 il est agrave Metz affecteacute dans lrsquoArmeacutee du Rhin sous les ordres de Mac Mahon puis agrave Sedan ougrave il est fait prisonnier Il part ensuite en Algeacuterie (de 1874 agrave 1884) ougrave il participera activement agrave lrsquoanimation de lrsquoAssociation Franccedilaise pour lrsquoAvancement de la Science Crsquoest lagrave qursquoil preacutesente un article laquo Eacutetude drsquoun nouveau cercle du plan du triangle raquo appeleacute maintenant cercle de Brocard (voir ci-dessous)Il rentre en France prend sa retraite de lieutenant-colonel en 1910 et passe les derniegraveres anneacutees de sa vie en solitaire agrave Bar-le-Duc il eacutetait fils unique sans famille proche et ne srsquoeacutetait jamais marieacute Cependant il continue agrave y avoir une activiteacute matheacutematique en tant que bibliotheacutecaire de la Socieacuteteacute des Lettres des Sciences et des Arts barisienne et assiste agrave de nombreux congregraves internationaux Il a eacuteteacute retrouveacute mort dans son bureau le 16 janvier 1922

Les points de Brocard du triangle

Les points de Brocard drsquoun triangle ABC sont les deux points U et V tels que les angles UAB UBC UCA drsquoune part et VBA VCB VAC drsquoautre part soient eacutegaux (les trois premiers sont drsquoailleurs eacutegaux aux trois suivants leur valeur commune eacutetant laquo lrsquoangle de Brocard du triangle raquo)

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P AGE 10 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008Comment construire ces points Pour le point U on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (AB) le cercle passant par B et A et tangent agrave (BC) et le cercle tangent passant par C et B et tangent agrave (CA) Ces trois cercles concourent en U

Pour le point V on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (BC) etcCes constructions ne sont pas trop difficiles avec un logiciel de geacuteomeacutetrie dynamique et on pourra veacuterifier que les six angles sont eacutegaux

Voici un certain nombre de formules permettant de calculer lrsquoangle de Brocard ω drsquoun triangle ABC de cocircteacutes respectifs a b c et drsquoaire S (pour des simpliciteacutes drsquoeacutecriture nous nrsquoavons pas mis les chapeaux sur les angles)

cot cot A cot B cot Cω = + +sin A sin Bsin Ctan

1 cos A cos Bcos Cω =

+

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2 2 2a b ccot4S

ω + +=

2 2 2 2 2 2

2Ssina b b c c a

ω =+ +

etc

Le cercle de Brocard du triangle

Dans tout triangle les deux points de Brocard U et V le centre O du cercle circonscrit et le point L de Lemoine sont sur un mecircme cercle appeleacute cercle de Brocard du triangle (ces deux derniers points en sont drsquoailleurs un diamegravetre)Qursquoest-ce que le point de Lemoine drsquoun triangle (Eacutemile LEMOINE matheacutematicien franccedilais 1840-1912) Crsquoest le point de concours des trois symeacutedianes Dans un triangle ABC soit (mA) la meacutediane issue de A et (bA) la bissectrice inteacuterieure de lrsquoangle A La droite (sA) symeacutetrique de (mA) par rapport agrave (bA) est la symeacutediane issue de A Les trois symeacutedianes (sA) (sB) et (sC) sont concourantes au point LOn peut deacutemontrer que les distances de ce point L aux trois cocircteacutes du triangle sont proportionnelles aux longueurs de ces cocircteacutesPar ailleurs L est le barycentre du systegraveme pondeacutereacute

( ) ( ) ( ) 2 2ABC BCA CAB

Reacutefeacuterences httpwww-historymcsst-andrewsacukBiographiesBrocardhtmlhttpfrwikipediaorgwikiHenri_Brocardhttpsergemehlfreefranxcer_brocardhtmlhttpmathworldwolframcomBrocardAnglehtmlhttpsergemehlfreefrchronoLemoinehtmlPour aller plus loin (triangles de Brocard) httpmathworldwolframcomFirstBrocardTrianglehtmlNdlr figures reacutealiseacutees agrave lrsquoaide du logiciel libre GeoGebra

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P AGE 10 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008Comment construire ces points Pour le point U on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (AB) le cercle passant par B et A et tangent agrave (BC) et le cercle tangent passant par C et B et tangent agrave (CA) Ces trois cercles concourent en U

Pour le point V on trace le cercle passant par A et C et tangent agrave (BC) etcCes constructions ne sont pas trop difficiles avec un logiciel de geacuteomeacutetrie dynamique et on pourra veacuterifier que les six angles sont eacutegaux

Voici un certain nombre de formules permettant de calculer lrsquoangle de Brocard ω drsquoun triangle ABC de cocircteacutes respectifs a b c et drsquoaire S (pour des simpliciteacutes drsquoeacutecriture nous nrsquoavons pas mis les chapeaux sur les angles)

cot cot A cot B cot Cω = + +sin A sin Bsin Ctan

1 cos A cos Bcos Cω =

+

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 11

2 2 2a b ccot4S

ω + +=

2 2 2 2 2 2

2Ssina b b c c a

ω =+ +

etc

Le cercle de Brocard du triangle

Dans tout triangle les deux points de Brocard U et V le centre O du cercle circonscrit et le point L de Lemoine sont sur un mecircme cercle appeleacute cercle de Brocard du triangle (ces deux derniers points en sont drsquoailleurs un diamegravetre)Qursquoest-ce que le point de Lemoine drsquoun triangle (Eacutemile LEMOINE matheacutematicien franccedilais 1840-1912) Crsquoest le point de concours des trois symeacutedianes Dans un triangle ABC soit (mA) la meacutediane issue de A et (bA) la bissectrice inteacuterieure de lrsquoangle A La droite (sA) symeacutetrique de (mA) par rapport agrave (bA) est la symeacutediane issue de A Les trois symeacutedianes (sA) (sB) et (sC) sont concourantes au point LOn peut deacutemontrer que les distances de ce point L aux trois cocircteacutes du triangle sont proportionnelles aux longueurs de ces cocircteacutesPar ailleurs L est le barycentre du systegraveme pondeacutereacute

( ) ( ) ( ) 2 2ABC BCA CAB

Reacutefeacuterences httpwww-historymcsst-andrewsacukBiographiesBrocardhtmlhttpfrwikipediaorgwikiHenri_Brocardhttpsergemehlfreefranxcer_brocardhtmlhttpmathworldwolframcomBrocardAnglehtmlhttpsergemehlfreefrchronoLemoinehtmlPour aller plus loin (triangles de Brocard) httpmathworldwolframcomFirstBrocardTrianglehtmlNdlr figures reacutealiseacutees agrave lrsquoaide du logiciel libre GeoGebra

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 11

2 2 2a b ccot4S

ω + +=

2 2 2 2 2 2

2Ssina b b c c a

ω =+ +

etc

Le cercle de Brocard du triangle

Dans tout triangle les deux points de Brocard U et V le centre O du cercle circonscrit et le point L de Lemoine sont sur un mecircme cercle appeleacute cercle de Brocard du triangle (ces deux derniers points en sont drsquoailleurs un diamegravetre)Qursquoest-ce que le point de Lemoine drsquoun triangle (Eacutemile LEMOINE matheacutematicien franccedilais 1840-1912) Crsquoest le point de concours des trois symeacutedianes Dans un triangle ABC soit (mA) la meacutediane issue de A et (bA) la bissectrice inteacuterieure de lrsquoangle A La droite (sA) symeacutetrique de (mA) par rapport agrave (bA) est la symeacutediane issue de A Les trois symeacutedianes (sA) (sB) et (sC) sont concourantes au point LOn peut deacutemontrer que les distances de ce point L aux trois cocircteacutes du triangle sont proportionnelles aux longueurs de ces cocircteacutesPar ailleurs L est le barycentre du systegraveme pondeacutereacute

( ) ( ) ( ) 2 2ABC BCA CAB

Reacutefeacuterences httpwww-historymcsst-andrewsacukBiographiesBrocardhtmlhttpfrwikipediaorgwikiHenri_Brocardhttpsergemehlfreefranxcer_brocardhtmlhttpmathworldwolframcomBrocardAnglehtmlhttpsergemehlfreefrchronoLemoinehtmlPour aller plus loin (triangles de Brocard) httpmathworldwolframcomFirstBrocardTrianglehtmlNdlr figures reacutealiseacutees agrave lrsquoaide du logiciel libre GeoGebra

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P AGE 12 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Sandwich au cheddar

Cette eacutequation qui prend en compte neuf variables a eacuteteacute mise agrave disposition du public sur le site Internet wwwcheddarometercom pour permettre aux internautes de reacutealiser un sandwich sur mesure en adaptant la quantiteacute de cheddar speacutecialiteacute fromagegravere britannique neacutecessaire en fonction des ingreacutedients choisis

Pour les matheacutematiciens la formule est 2 1001

65 2 7 100times minus + + = + minus + + times

b d m c v p lW st

(sur le site crsquoest moins lisible)

W est leacutepaisseur de cheddar en millimegravetres b leacutepaisseur du pain et d sa particulariteacute (blanc ceacutereacuteales) s est la quantiteacute de margarine ou de beurre et m le volume de mayonnaise Les autres paramegravetres pris en compte sont notamment la quantiteacute de laitue (l) de pickles (p) de tomates (v)Comme quoi on peut utiliser les maths pour faire nrsquoimporte quoi Merci agrave Andreacute qui a transmis lrsquoinfo agrave la reacutedaction

Clairefontaine

Moins 66 Et nous qui pensions que 200 feuilles gratuites sur les 500 que contient ce laquo Giant pack raquo cela faisait 40 de feuilles gratuiteshellip Merci agrave Clairefontaine de corriger nos fausses opinions sur les pourcentages et drsquoaider par lagrave mecircme nos eacutelegraveves (et leurs parents) lorsqursquoils font leurs courses de rentreacuteehelliplaquo On eacutecrit mieux sur du papier Clairefontaine raquo lit-on en haut de lrsquoeacutetiquette Mais calcule-t-on mieux

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MATH amp

MEDIA

Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 13

Franccedilois qui est un lecteur tregraves critique de lrsquoEst Reacutepublicain et dont lrsquoœil est tregraves attentif agrave ce qui pourrait convenir agrave notre rubrique laquo Math amp Media raquo a repeacutereacute ce graphique dans lrsquoeacutedition du 7 aoucirct 2008Il indique pour huit dates donneacutees le taux drsquoaugmentation du prix du gaz pour les particuliers

Premiegravere remarque le titre du graphique nrsquoest pas correct Il ne repreacutesente pas lrsquoeacutevolution du prix du gaz mais lrsquoeacutevolution des taux drsquoaugmentation de ce prix Un lecteur peu assidu pourrait mecircme peut-ecirctre penser que la gaz a baisseacute de novembre 2004 agrave juin 2005hellipDeuxiegraveme remarque si on nrsquoy prend garde on pourrait penser que les augmentations ont lieu agrave des intervalles reacuteguliers (toutes les dates donneacutees sont laquo eacutequidistantes raquo en abscisse) or il srsquoest eacutecouleacute 20 mois entre la 5e et la 6e augmentation contre seulement 7 mois entre la 6e et la 8e

Le graphique ci-apregraves est beaucoup plus repreacutesentatif de la reacutealiteacute

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100

110

120

130

140

150

aoucirct-04 feacutevr-05 sept-05 mars-06 oct-06 avr-07 nov-07 juin-08

P AGE 14 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Comme on ne connaicirct pas les prix (ils ne sont pas donneacutes dans lrsquoarticle) nous avons choisi une laquo base 100 raquo en septembre 2004 et appliqueacute les augmentations conformeacutement au graphique de lrsquoEst ReacutepublicainNB Ce graphique comporte une laquo courbe de tendance raquo exponentielle calculeacutee automatiquement par le tableur (meacutethode des moindres carreacutes)Il devrait tregraves certainement ecirctre possible en classe drsquoamener les eacutelegraveves agrave concevoir et agrave construire (mecircme sans tableur) un tel graphique (fonction laquo en escalier raquo) qui correspond beaucoup plus agrave la reacutealiteacuteIls pourront noter au passage que lrsquoaugmentation totale est drsquoenviron 42 su la peacuteriode concerneacutee (alors que la somme des pourcentages indiqueacutes sur le graphique donne 359 Ceci est aussi un point agrave travailler avec les eacutelegraveves

Remarque pour GDF-Suez il srsquoagit de lrsquoaugmentation des tarifs laquo moyens raquo du gaz pour les particuliers Il serait peut-ecirctre inteacuteressant de calculer agrave quoi correspond ce prix laquo moyen raquohellip

Lu dans Libeacuteration du 7 juillet 2008 Sept Franccedilais sur dix (71 exactement) estiment que la nomination du preacutesident de France Teacuteleacutevisions par lexeacutecutif est une laquo mauvaise chose raquo [hellip] indique un sondage CSA publieacute hier dans le Parisien (1) [hellip](1) Reacutealiseacute les 2 et 3 juillet aupregraves de 1001 personnes

Crsquoest le laquo 71 exactement raquo qui mrsquoa fait laquo tiquer raquohellip Drsquoabord comment sur 1 001 personnes peut-on avoir 71 laquo exactement raquo Ils devaient ecirctre 711 agrave reacutepondre ainsi (ce qui fait environ 7103 ) Mais ils auraient pu ecirctre 706 ou 715 (ce qui arrondi au pourcentage laquo entier () raquo le plus proche aurait aussi donneacute 71 )

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 15

Mais surtout pour un pourcentage estimeacute par un sondage il y a une certaine marge

drsquoincertitude qui vaut (1 )minus= times p pi k

n n eacutetant la taille de

lrsquoeacutechantillon et k une valeur deacutependant du seuil de risque Avec un seuil de risque de 5 on a k asymp 196 drsquoougrave i asymp 0028 Ce qui en langage concret signifie qursquoon a dix-neuf laquo chances raquo sur vingt de ne pas se tromper si on affirme que le pourcentage de Franccedilais ayant reacutepondu laquo est une mauvaise chose raquo est compris entre 68 et 74 (jrsquoai arrondi ) Et encore agrave condition que lrsquoeacutechantillon ne soit pas laquo biaiseacute raquohellip [Voir Petit vert ndeg94 article laquo Qualiteacute drsquoun sondage raquo]Si la phrase avait eacuteteacute laquo Sept Franccedilais sur dix estiment etc raquo je nrsquoaurais rien trouveacute agrave redire Car tout le monde comprend que laquo 7 sur 10 raquo crsquoest approximatif Ccedila donne un ordre de grandeur et crsquoest une information correcte et suffisante

JV

Quelques infos suppleacutementaires dans le cadre de laquo math et citoyenneteacute raquo Lu sur le site du Conseil Supeacuterieur de lrsquoAudiovisuel laquo Le CSA ne reacutealise aucun

sondage ou enquecircte dopinion Lorsquil est fait mention agrave la radio agrave la teacuteleacutevision ou dans la presse eacutecrite dun sondage CSA ou dune enquecircte CSA il sagit de linstitut de sondage CSA homonyme du Conseil raquo

Dans Le Monde lrsquoinfo est donneacutee sous le titre laquo Une large majoriteacute de Franccedilais contre la nomination par lexeacutecutif du preacutesident de France Teacuteleacutevisions raquo (reprenant ainsi lrsquoannonce de lrsquoAgence France-Presse) lrsquoarticle commenccedilant par laquo Sept Franccedilais sur dix sont opposeacutes agrave la nomination du preacutesident de la teacuteleacutevision publique par lexeacutecutif hellip raquo avec la preacutecision suivante laquo Ce sondage a eacuteteacute reacutealiseacute les 2 et 3 juillet au domicile des personnes interrogeacutees aupregraves dun eacutechantillon national repreacutesentatif de 1 001 personnes acircgeacutees de 18 ans et plus dapregraves la meacutethode des quotas raquo

LrsquoAFP preacutecise la question qui eacutetait poseacutee Inviteacutees agrave choisir entre deux formulations celle qui se rapproche le plus de leur opinion 71 des personnes interrogeacutees ont opteacute pour Cest une mauvaise chose parce que la nomination du preacutesident de France Teacuteleacutevisions par lexeacutecutif pourrait entraicircner un controcircle politique des chaicircnes publiquesSeuls 18 des sondeacutes ont choisi Cest une bonne chose car il est logique que lactionnaire nomme le preacutesident de France Teacuteleacutevisions Les 11 restants ne se sont pas prononceacutesContrairement agrave ce que laisse sous-entendre Le Monde on nrsquoa pas demandeacute laquo Ecirctes-vous pour ou contre la nominationhellip raquo une telle formulation nrsquoaurait drsquoailleurs peut-ecirctre pas donneacute les mecircmes pourcentages

Le Parisien qui a laquo commandeacute raquole sondage au CSA titre lui laquo Teacuteleacute publique les Franccedilais opposeacutes agrave Sarkozy raquo Ce qui est un raccourci assez eacutetonnant de lrsquoinfohellip

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P AGE 16 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

DANS NOS CLASSES

Remboursement drsquoun emprunt

Par Jacques Verdier(1)

Je vous paierai lui dit-elleAvant laoucirct foi danimal

Inteacuterecirct et principal(La Cigale et la Fourmi Jean de La Fontaine)

Lrsquoactiviteacute proposeacutee ici a pour but de faire comprendre aux eacutelegraveves quelles sont les relations entre les diverses variables qui interviennent (amortissement part du capital rembourseacute nombre de mensualiteacutes inteacuterecirct coucirct du creacutedit etc) et comment on peut les calculer agrave lrsquoaide drsquoun tableur Elle reprend mais en la compleacutetant une fiche de TD qui avait eacuteteacute publieacutee dans Le Petit Vert ndeg 46 de juin 1996 (2) La premiegravere partie de lrsquoactiviteacute a sa place au collegravege (quatriegraveme ou troisiegraveme) la fin srsquoadresse plutocirct aux eacutelegraveves de premiegravereJrsquoai essayeacute le plus possible de me mettre dans la peau du citoyen consommateur (et non dans celle du creacuteancier banque ou organisme de creacutedit) crsquoest la raison pour laquelle je parle drsquoemprunt plutocirct que de precirct

Emprunt agrave amortissements constants

Imaginons la situation suivante

Kevin emprunte agrave Laura cinq jeux videacuteo qursquoelle a eus agrave Noeumll Ils conviennent du laquo deal raquo suivant pour chaque jeu emprunteacute pendant un mois Kevin devra payer agrave Laura deux canettes de K-cola (3) Cette redevance est proportionnelle agrave la fois agrave la dureacutee de lrsquoemprunt et agrave la quantiteacute de jeux emprunteacutes (4) Kevin emprunte les 5 jeux le 1er janvier et propose agrave Laura de lui rendre un jeu agrave la fin de chaque mois ce qursquoelle accepte

1 Retraiteacute jacverdierorangefr 2 Teacuteleacutechargeable agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=573 Marque non deacuteposeacutee Toute ressemblance avechellip est purement fortuite 4 Cest-agrave-dire que pour 1 jeu emprunteacute pendant 3 mois crsquoest 6 canettes pour 4 jeux emprunteacutes pendant 1 mois crsquoest 8 canettes etc

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Comme on ne connaicirct pas les prix (ils ne sont pas donneacutes dans lrsquoarticle) nous avons choisi une laquo base 100 raquo en septembre 2004 et appliqueacute les augmentations conformeacutement au graphique de lrsquoEst ReacutepublicainNB Ce graphique comporte une laquo courbe de tendance raquo exponentielle calculeacutee automatiquement par le tableur (meacutethode des moindres carreacutes)Il devrait tregraves certainement ecirctre possible en classe drsquoamener les eacutelegraveves agrave concevoir et agrave construire (mecircme sans tableur) un tel graphique (fonction laquo en escalier raquo) qui correspond beaucoup plus agrave la reacutealiteacuteIls pourront noter au passage que lrsquoaugmentation totale est drsquoenviron 42 su la peacuteriode concerneacutee (alors que la somme des pourcentages indiqueacutes sur le graphique donne 359 Ceci est aussi un point agrave travailler avec les eacutelegraveves

Remarque pour GDF-Suez il srsquoagit de lrsquoaugmentation des tarifs laquo moyens raquo du gaz pour les particuliers Il serait peut-ecirctre inteacuteressant de calculer agrave quoi correspond ce prix laquo moyen raquohellip

Lu dans Libeacuteration du 7 juillet 2008 Sept Franccedilais sur dix (71 exactement) estiment que la nomination du preacutesident de France Teacuteleacutevisions par lexeacutecutif est une laquo mauvaise chose raquo [hellip] indique un sondage CSA publieacute hier dans le Parisien (1) [hellip](1) Reacutealiseacute les 2 et 3 juillet aupregraves de 1001 personnes

Crsquoest le laquo 71 exactement raquo qui mrsquoa fait laquo tiquer raquohellip Drsquoabord comment sur 1 001 personnes peut-on avoir 71 laquo exactement raquo Ils devaient ecirctre 711 agrave reacutepondre ainsi (ce qui fait environ 7103 ) Mais ils auraient pu ecirctre 706 ou 715 (ce qui arrondi au pourcentage laquo entier () raquo le plus proche aurait aussi donneacute 71 )

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Mais surtout pour un pourcentage estimeacute par un sondage il y a une certaine marge

drsquoincertitude qui vaut (1 )minus= times p pi k

n n eacutetant la taille de

lrsquoeacutechantillon et k une valeur deacutependant du seuil de risque Avec un seuil de risque de 5 on a k asymp 196 drsquoougrave i asymp 0028 Ce qui en langage concret signifie qursquoon a dix-neuf laquo chances raquo sur vingt de ne pas se tromper si on affirme que le pourcentage de Franccedilais ayant reacutepondu laquo est une mauvaise chose raquo est compris entre 68 et 74 (jrsquoai arrondi ) Et encore agrave condition que lrsquoeacutechantillon ne soit pas laquo biaiseacute raquohellip [Voir Petit vert ndeg94 article laquo Qualiteacute drsquoun sondage raquo]Si la phrase avait eacuteteacute laquo Sept Franccedilais sur dix estiment etc raquo je nrsquoaurais rien trouveacute agrave redire Car tout le monde comprend que laquo 7 sur 10 raquo crsquoest approximatif Ccedila donne un ordre de grandeur et crsquoest une information correcte et suffisante

JV

Quelques infos suppleacutementaires dans le cadre de laquo math et citoyenneteacute raquo Lu sur le site du Conseil Supeacuterieur de lrsquoAudiovisuel laquo Le CSA ne reacutealise aucun

sondage ou enquecircte dopinion Lorsquil est fait mention agrave la radio agrave la teacuteleacutevision ou dans la presse eacutecrite dun sondage CSA ou dune enquecircte CSA il sagit de linstitut de sondage CSA homonyme du Conseil raquo

Dans Le Monde lrsquoinfo est donneacutee sous le titre laquo Une large majoriteacute de Franccedilais contre la nomination par lexeacutecutif du preacutesident de France Teacuteleacutevisions raquo (reprenant ainsi lrsquoannonce de lrsquoAgence France-Presse) lrsquoarticle commenccedilant par laquo Sept Franccedilais sur dix sont opposeacutes agrave la nomination du preacutesident de la teacuteleacutevision publique par lexeacutecutif hellip raquo avec la preacutecision suivante laquo Ce sondage a eacuteteacute reacutealiseacute les 2 et 3 juillet au domicile des personnes interrogeacutees aupregraves dun eacutechantillon national repreacutesentatif de 1 001 personnes acircgeacutees de 18 ans et plus dapregraves la meacutethode des quotas raquo

LrsquoAFP preacutecise la question qui eacutetait poseacutee Inviteacutees agrave choisir entre deux formulations celle qui se rapproche le plus de leur opinion 71 des personnes interrogeacutees ont opteacute pour Cest une mauvaise chose parce que la nomination du preacutesident de France Teacuteleacutevisions par lexeacutecutif pourrait entraicircner un controcircle politique des chaicircnes publiquesSeuls 18 des sondeacutes ont choisi Cest une bonne chose car il est logique que lactionnaire nomme le preacutesident de France Teacuteleacutevisions Les 11 restants ne se sont pas prononceacutesContrairement agrave ce que laisse sous-entendre Le Monde on nrsquoa pas demandeacute laquo Ecirctes-vous pour ou contre la nominationhellip raquo une telle formulation nrsquoaurait drsquoailleurs peut-ecirctre pas donneacute les mecircmes pourcentages

Le Parisien qui a laquo commandeacute raquole sondage au CSA titre lui laquo Teacuteleacute publique les Franccedilais opposeacutes agrave Sarkozy raquo Ce qui est un raccourci assez eacutetonnant de lrsquoinfohellip

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Remboursement drsquoun emprunt

Par Jacques Verdier(1)

Je vous paierai lui dit-elleAvant laoucirct foi danimal

Inteacuterecirct et principal(La Cigale et la Fourmi Jean de La Fontaine)

Lrsquoactiviteacute proposeacutee ici a pour but de faire comprendre aux eacutelegraveves quelles sont les relations entre les diverses variables qui interviennent (amortissement part du capital rembourseacute nombre de mensualiteacutes inteacuterecirct coucirct du creacutedit etc) et comment on peut les calculer agrave lrsquoaide drsquoun tableur Elle reprend mais en la compleacutetant une fiche de TD qui avait eacuteteacute publieacutee dans Le Petit Vert ndeg 46 de juin 1996 (2) La premiegravere partie de lrsquoactiviteacute a sa place au collegravege (quatriegraveme ou troisiegraveme) la fin srsquoadresse plutocirct aux eacutelegraveves de premiegravereJrsquoai essayeacute le plus possible de me mettre dans la peau du citoyen consommateur (et non dans celle du creacuteancier banque ou organisme de creacutedit) crsquoest la raison pour laquelle je parle drsquoemprunt plutocirct que de precirct

Emprunt agrave amortissements constants

Imaginons la situation suivante

Kevin emprunte agrave Laura cinq jeux videacuteo qursquoelle a eus agrave Noeumll Ils conviennent du laquo deal raquo suivant pour chaque jeu emprunteacute pendant un mois Kevin devra payer agrave Laura deux canettes de K-cola (3) Cette redevance est proportionnelle agrave la fois agrave la dureacutee de lrsquoemprunt et agrave la quantiteacute de jeux emprunteacutes (4) Kevin emprunte les 5 jeux le 1er janvier et propose agrave Laura de lui rendre un jeu agrave la fin de chaque mois ce qursquoelle accepte

1 Retraiteacute jacverdierorangefr 2 Teacuteleacutechargeable agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=573 Marque non deacuteposeacutee Toute ressemblance avechellip est purement fortuite 4 Cest-agrave-dire que pour 1 jeu emprunteacute pendant 3 mois crsquoest 6 canettes pour 4 jeux emprunteacutes pendant 1 mois crsquoest 8 canettes etc

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 15

Mais surtout pour un pourcentage estimeacute par un sondage il y a une certaine marge

drsquoincertitude qui vaut (1 )minus= times p pi k

n n eacutetant la taille de

lrsquoeacutechantillon et k une valeur deacutependant du seuil de risque Avec un seuil de risque de 5 on a k asymp 196 drsquoougrave i asymp 0028 Ce qui en langage concret signifie qursquoon a dix-neuf laquo chances raquo sur vingt de ne pas se tromper si on affirme que le pourcentage de Franccedilais ayant reacutepondu laquo est une mauvaise chose raquo est compris entre 68 et 74 (jrsquoai arrondi ) Et encore agrave condition que lrsquoeacutechantillon ne soit pas laquo biaiseacute raquohellip [Voir Petit vert ndeg94 article laquo Qualiteacute drsquoun sondage raquo]Si la phrase avait eacuteteacute laquo Sept Franccedilais sur dix estiment etc raquo je nrsquoaurais rien trouveacute agrave redire Car tout le monde comprend que laquo 7 sur 10 raquo crsquoest approximatif Ccedila donne un ordre de grandeur et crsquoest une information correcte et suffisante

JV

Quelques infos suppleacutementaires dans le cadre de laquo math et citoyenneteacute raquo Lu sur le site du Conseil Supeacuterieur de lrsquoAudiovisuel laquo Le CSA ne reacutealise aucun

sondage ou enquecircte dopinion Lorsquil est fait mention agrave la radio agrave la teacuteleacutevision ou dans la presse eacutecrite dun sondage CSA ou dune enquecircte CSA il sagit de linstitut de sondage CSA homonyme du Conseil raquo

Dans Le Monde lrsquoinfo est donneacutee sous le titre laquo Une large majoriteacute de Franccedilais contre la nomination par lexeacutecutif du preacutesident de France Teacuteleacutevisions raquo (reprenant ainsi lrsquoannonce de lrsquoAgence France-Presse) lrsquoarticle commenccedilant par laquo Sept Franccedilais sur dix sont opposeacutes agrave la nomination du preacutesident de la teacuteleacutevision publique par lexeacutecutif hellip raquo avec la preacutecision suivante laquo Ce sondage a eacuteteacute reacutealiseacute les 2 et 3 juillet au domicile des personnes interrogeacutees aupregraves dun eacutechantillon national repreacutesentatif de 1 001 personnes acircgeacutees de 18 ans et plus dapregraves la meacutethode des quotas raquo

LrsquoAFP preacutecise la question qui eacutetait poseacutee Inviteacutees agrave choisir entre deux formulations celle qui se rapproche le plus de leur opinion 71 des personnes interrogeacutees ont opteacute pour Cest une mauvaise chose parce que la nomination du preacutesident de France Teacuteleacutevisions par lexeacutecutif pourrait entraicircner un controcircle politique des chaicircnes publiquesSeuls 18 des sondeacutes ont choisi Cest une bonne chose car il est logique que lactionnaire nomme le preacutesident de France Teacuteleacutevisions Les 11 restants ne se sont pas prononceacutesContrairement agrave ce que laisse sous-entendre Le Monde on nrsquoa pas demandeacute laquo Ecirctes-vous pour ou contre la nominationhellip raquo une telle formulation nrsquoaurait drsquoailleurs peut-ecirctre pas donneacute les mecircmes pourcentages

Le Parisien qui a laquo commandeacute raquole sondage au CSA titre lui laquo Teacuteleacute publique les Franccedilais opposeacutes agrave Sarkozy raquo Ce qui est un raccourci assez eacutetonnant de lrsquoinfohellip

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P AGE 16 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

DANS NOS CLASSES

Remboursement drsquoun emprunt

Par Jacques Verdier(1)

Je vous paierai lui dit-elleAvant laoucirct foi danimal

Inteacuterecirct et principal(La Cigale et la Fourmi Jean de La Fontaine)

Lrsquoactiviteacute proposeacutee ici a pour but de faire comprendre aux eacutelegraveves quelles sont les relations entre les diverses variables qui interviennent (amortissement part du capital rembourseacute nombre de mensualiteacutes inteacuterecirct coucirct du creacutedit etc) et comment on peut les calculer agrave lrsquoaide drsquoun tableur Elle reprend mais en la compleacutetant une fiche de TD qui avait eacuteteacute publieacutee dans Le Petit Vert ndeg 46 de juin 1996 (2) La premiegravere partie de lrsquoactiviteacute a sa place au collegravege (quatriegraveme ou troisiegraveme) la fin srsquoadresse plutocirct aux eacutelegraveves de premiegravereJrsquoai essayeacute le plus possible de me mettre dans la peau du citoyen consommateur (et non dans celle du creacuteancier banque ou organisme de creacutedit) crsquoest la raison pour laquelle je parle drsquoemprunt plutocirct que de precirct

Emprunt agrave amortissements constants

Imaginons la situation suivante

Kevin emprunte agrave Laura cinq jeux videacuteo qursquoelle a eus agrave Noeumll Ils conviennent du laquo deal raquo suivant pour chaque jeu emprunteacute pendant un mois Kevin devra payer agrave Laura deux canettes de K-cola (3) Cette redevance est proportionnelle agrave la fois agrave la dureacutee de lrsquoemprunt et agrave la quantiteacute de jeux emprunteacutes (4) Kevin emprunte les 5 jeux le 1er janvier et propose agrave Laura de lui rendre un jeu agrave la fin de chaque mois ce qursquoelle accepte

1 Retraiteacute jacverdierorangefr 2 Teacuteleacutechargeable agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=573 Marque non deacuteposeacutee Toute ressemblance avechellip est purement fortuite 4 Cest-agrave-dire que pour 1 jeu emprunteacute pendant 3 mois crsquoest 6 canettes pour 4 jeux emprunteacutes pendant 1 mois crsquoest 8 canettes etc

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DANS NOS CLASSES

Remboursement drsquoun emprunt

Par Jacques Verdier(1)

Je vous paierai lui dit-elleAvant laoucirct foi danimal

Inteacuterecirct et principal(La Cigale et la Fourmi Jean de La Fontaine)

Lrsquoactiviteacute proposeacutee ici a pour but de faire comprendre aux eacutelegraveves quelles sont les relations entre les diverses variables qui interviennent (amortissement part du capital rembourseacute nombre de mensualiteacutes inteacuterecirct coucirct du creacutedit etc) et comment on peut les calculer agrave lrsquoaide drsquoun tableur Elle reprend mais en la compleacutetant une fiche de TD qui avait eacuteteacute publieacutee dans Le Petit Vert ndeg 46 de juin 1996 (2) La premiegravere partie de lrsquoactiviteacute a sa place au collegravege (quatriegraveme ou troisiegraveme) la fin srsquoadresse plutocirct aux eacutelegraveves de premiegravereJrsquoai essayeacute le plus possible de me mettre dans la peau du citoyen consommateur (et non dans celle du creacuteancier banque ou organisme de creacutedit) crsquoest la raison pour laquelle je parle drsquoemprunt plutocirct que de precirct

Emprunt agrave amortissements constants

Imaginons la situation suivante

Kevin emprunte agrave Laura cinq jeux videacuteo qursquoelle a eus agrave Noeumll Ils conviennent du laquo deal raquo suivant pour chaque jeu emprunteacute pendant un mois Kevin devra payer agrave Laura deux canettes de K-cola (3) Cette redevance est proportionnelle agrave la fois agrave la dureacutee de lrsquoemprunt et agrave la quantiteacute de jeux emprunteacutes (4) Kevin emprunte les 5 jeux le 1er janvier et propose agrave Laura de lui rendre un jeu agrave la fin de chaque mois ce qursquoelle accepte

1 Retraiteacute jacverdierorangefr 2 Teacuteleacutechargeable agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=573 Marque non deacuteposeacutee Toute ressemblance avechellip est purement fortuite 4 Cest-agrave-dire que pour 1 jeu emprunteacute pendant 3 mois crsquoest 6 canettes pour 4 jeux emprunteacutes pendant 1 mois crsquoest 8 canettes etc

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Essayons de preacutesenter dans un petit tableau ce qui va se passer

DateNb de jeux que

Kevin avait en sa possession

Montant de la laquo redevance raquo (les

laquo inteacuterecircts raquo)

Nombre de jeux que Kevin

rend agrave cette date

Ce que Kevin rend en tout agrave Laura agrave cette

dateFin janvier 5 jeux 10 K-cola 1 jeu 1 jeu +10

K-colaFin feacutevrier 4 jeux 8 K-cola 1 jeu 1 jeu + 8 K-

colaFin mars 3 jeux 6 K-cola 1 jeu 1 jeu + 6 K-

colaFin avril 2 jeux 4 K-cola 1 jeu 1 jeu + 4 K-

colaFin mars 1 jeu 2 K-cola 1 jeu 1 jeu + 2 K-

colaTotaux 30 K-cola 5 jeux 5 jeux + 30

K-cola

Cet exemple tregraves concret a pour but de bien faire comprendre aux eacutelegraveves les diverses variables en jeu (5) ce qui nrsquoest pas toujours eacutevident dans les tableaux drsquoamortissement en euros ougrave inteacuterecircts et part du capital rembourseacutes srsquoagglomegraverentQuelques notions (et du vocabulaire) agrave mettre en place Ce que posseacutedait Laura et qursquoelle a precircteacute agrave Kevin srsquoappelle le capital (6) ici composeacute de 5 jeux La quatriegraveme colonne du tableau correspond agrave la part du capital qui est rendue on lrsquoappelle lrsquoamortissement La seconde colonne correspond agrave la quantiteacute de capital restant due La troisiegraveme colonne calculeacutee suivant le laquo deal raquo passeacute entre Kevin et Laura correspond agrave ce qursquoon appelle les inteacuterecircts (crsquoest le laquo loyer raquo qui sert agrave deacutedommager Laura de la perte drsquoutilisation de ses jeux videacuteo pendant une certaine peacuteriode) Le total de ce que Keacutevin rend chaque mois srsquoappelle la mensualiteacuteLe total de la quatriegraveme colonne correspond au capital emprunteacute au deacutepart cela est primordial (quand on a laquo fini raquo de rembourser on a rendu exactement ce qursquoon avait emprunteacute Le total de la troisiegraveme colonne (total des inteacuterecircts) est ce qursquoon appelle le coucirct du creacutedit crsquoest ce qursquoaura coucircteacute agrave Kevin le droit de disposer de jeux qui ne lui appartiennent pas

5 Ce qui nrsquoest pas toujours eacutevident dans les tableaux drsquoamortissement en euros comme ceux qui suivront ougrave inteacuterecircts et part du capital rembourseacutes srsquoagglomegraverent6 Le laquo principal raquo dans la fable de La Fontaine

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P AGE 18 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Bien eacutevidemment la seconde colonne (capital restant ducirc) est deacutecroissante et par conseacutequent la troisiegraveme colonne (les inteacuterecircts) lrsquoest aussi (puisqursquoil y a proportionnaliteacute entre ces deux colonnes)Le total de la seconde colonne nrsquoaurait eacutevidemment aucune significationEnfin le dernier amortissement est neacutecessairement eacutegal au dernier laquo capital restant ducirc raquo crsquoest ce qui marque le fait que lrsquoon termine le remboursement du capital emprunteacute

Nous allons maintenant laquo moneacutetiser raquo la situation preacuteceacutedente un jeu videacuteo coucircte 80 euro et une cannette de K-cola coucircte 050 euro Voici ce que devient ce tableau

Mois Capital restant ducirc Inteacuterecircts Amortissement Remboursement

1 400 euro 5 euro 80 euro 85 euro2 320 euro 4 euro 80 euro 84 euro3 240 euro 3 euro 80 euro 83 euro4 160 euro 2 euro 80 euro 82 euro5 80 euro 1 euro 80 euro 81 euro

Totaux 15 euro 400 euro 415 euro

On va deacutefinir alors une nouvelle notion le taux drsquointeacuterecirct mensuel crsquoest le rapport calculeacute dans le laquo deal raquo preacuteceacutedent 2 K-cola pour 1 jeu soit 1 euro drsquointeacuterecirct pour 80 euro de capital emprunteacute pendant un mois Le taux est de 180 Usuellement on eacutecrit ce taux sous forme de pourcentage ici crsquoest 125 (7) La seule chose qui compte pour les calculs crsquoest ce taux mensuel (on verra plus loin le lien entre le taux mensuel et le taux annuel)

A partir de lagrave il est normal drsquoutiliser un tableur pour construire ces tableaux appeleacutes tableaux drsquoamortissements (ou plans de remboursement ou eacutecheacuteanciers)Il y a trois donneacutees le capital emprunteacute le taux drsquointeacuterecirct mensuel le nombre de mensualiteacutes Les formules du tableur devront laquo traduire raquo les notions qui ont eacuteteacute eacutevoqueacutees ci-dessus

Voici ce qursquoon voudrait obtenir

7 Suivant le niveau des eacutelegraveves le professeur pourra leur faire rappeler la faccedilon dont on calcule un pourcentage Ici 180 = 00125 = 125100 Mais lrsquoensemble de lrsquoactiviteacute proposeacutee ici suppose qursquoun certain nombre de connaissances sur les pourcentages (et les augmentations en pourcentages) soient deacutejagrave bien assimileacutees avant drsquoaborder la situation nouvelle que sont les emprunts

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 19

Bien entendu tous les reacutesultats de ce tableau sont calculeacutes en fonction des donneacutees (qui sont dans les cellules jaunes) laquo Les compeacutetences tableur raquo mise en jeu sont la recopie vers le bas (compeacutetence fondamentale) lrsquoadressage relatif ou absolu des cellules et la sommation automatiqueOn peut laquo agreacutementer raquo en utilisant le format moneacutetaire pour les euros (ccedila et le coloriage les eacutelegraveves comprennent vite )Voici un exemple des formules que jrsquoai utiliseacutees Crsquoest bien entendu agrave lrsquoeacutelegraveve de construire sa feuille de calcul et pas au professeur de donner comme consigne laquo mettez telle formule dans telle cellule raquo

Il reste ensuite agrave faire varier le montant du capital le taux drsquointeacuterecirct et le nombre de mensualiteacutes et de regarder ce que cela donneUn exemple drsquoexercice Manon voudrait un scooter elle a trouveacute une excellente occasion agrave 540 euro agrave prendre immeacutediatement mais elle nrsquoa pas drsquoargent Elle va voir sa grand-megravere pour lui emprunter 540 euro Elle la remboursera en 12 mois (elle fera du baby-sitting pour trouver lrsquoargent) Mais sa grand-megravere pour la

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P AGE 20 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

responsabiliser lui precirctera au taux mensuel de 075 Calculer le montant des 12 remboursements mensuels de MarionOu encore

Le pegravere de Florian va acheter une nouvelle voiture 13 450 euro Il emprunte pour cela sur 4 ans Lrsquoorganisme de creacutedit lui precircte lrsquoargent au taux de 15 par mois Quel sera le coucirct total du creacutedit (8)La copie drsquoeacutecran suivante donne le deacutebut et la fin du tableau

On peut constater que le coucirct total du creacutedit est important (pregraves de 37 du prix de la voiture et cela nrsquoest pas seulement ducirc au taux eacuteleveacute mais aussi agrave la longue dureacutee) qursquoau premier mois les inteacuterecircts sont presque eacutegaux agrave la part de capital restant due alors qursquoagrave la fin les inteacuterecircts sont neacutegligeables (les premiegraveres mensualiteacutes sont beaucoup plus eacuteleveacutees que les derniegraveres) Crsquoest pour pallier cet inconveacutenient que nous allons aborder les emprunts agrave remboursements mensuels constants

On pourra eacutegalement remarquer que les amortissements eacutetant constants les trois colonnes capital restant ducirc inteacuterecircts et remboursements (mensualiteacutes) constituent des suites arithmeacutetiques (9) ce qui permettrait de calculer directement le coucirct du creacutedit (10)

8 On supposera que le precirct est agrave amortissements constants ce qui laquo dans la vraie vie raquo nrsquoest geacuteneacuteralement pas le cas Il srsquoagit ici drsquoun laquo exercice drsquoeacutecole raquo 9 En theacuteorie Mais il peut y avoir des problegravemes drsquoarrondi au centime drsquoeuro Par exemple dans le tableau ci-dessus lrsquoamortissement nrsquoest qursquoapproximativement eacutegal agrave 28021 euro (1345048) la raison de la suite des inteacuterecircts est donc de 1345048x0015 ce qui fait approximativement 420 euro Dans le tableau il y a de temps en temps un 421 euro qui se laquo glisse raquo pour reacutecupeacuterer les cumuls drsquoerreurs drsquoarrondis10 Cela nrsquoa qursquoun inteacuterecirct theacuteorique ce type drsquoemprunt nrsquoexistant pratiquement plus la plupart des precircts sont faits agrave mensualiteacutes constantes

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 21

Emprunt agrave remboursements constants

On voudrait maintenant que les remboursements soient constants Comme les inteacuterecircts vont deacutecroissant les amortissements devront ecirctre croissants et non plus constants Le problegraveme est comment calculer ces amortissements Crsquoest-agrave-dire quelles formules mettre dans la colonne D du tableur ci-dessous

A B C D E1 Capital emprunteacute donneacutee2 Taux drsquointeacuterecirct (mensuel) donneacutee3 Nombre de mensualiteacutes 54

5 MoisCapital restant

ducircInteacuterecircts Amortissement Remboursement

6 1 =$E$1 =$E$2B6 =C6+D67 =A6+1 =B6-

D6=$E$2B7 =C7+D7

8 =A7+1 =B7-D7

=$E$2B8 =C8+D8

9 =A8+1 =B8-D8

=$E$2B9 =C9+D9

10 =A9+1 =B9-D9

=$E$2B10 =C10+D10

11 Totaux =SOMME(C6C10) =SOMME(D6D10) =SOMME(E6E10)

Il est inutile drsquoessayer par tacirctonnement la tacircche est quasi impossibleNous allons donc guider les eacutelegraveves en leur proposant un (ou plusieurs) tableaux totalement remplis sur papier ou sur tableur (11) et en leur demandant drsquoeacutetudier la colonne des amortissements Suivant le niveau des eacutelegraveves concerneacutes (collegravege ou premiegravere) on pourra se contenter de leur faire trouver que les amortissements augmentent de t (t eacutetant le taux drsquointeacuterecirct mensuel) cest-agrave-dire qursquoils sont multiplieacutes par (1+t) ou bien de deacutemontrer qursquoon a bien une suite geacuteomeacutetrique (12)Mais mecircme en troisiegraveme on peut aborder cette deacutemonstration en travaillant sur les deux premiegraveres lignes du tableau

11 Dans ce cas les formules de la colonne D devront ecirctre masqueacutees sinon lrsquoactiviteacute nrsquoa plus aucun inteacuterecircthellip Pour savoir comment masquer une cellule on pourra teacuteleacutecharger la fiche correspondante du Petit Vert ndeg 73 de mars 2003 agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=34 12 Voir les fiches de TD du Petit Vert ndeg 46 annonceacutees plus haut dans la note 2 Elles srsquoadressent agrave des eacutelegraveves de premiegravere En se souvenant qursquoagrave cette eacutepoque on ne travaillait pas en classe sur des ordinateurs tout se faisait sur papier y compris la construction des tableaux drsquoamortissement (mais avec la calculette quand mecircme )

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Bien eacutevidemment la seconde colonne (capital restant ducirc) est deacutecroissante et par conseacutequent la troisiegraveme colonne (les inteacuterecircts) lrsquoest aussi (puisqursquoil y a proportionnaliteacute entre ces deux colonnes)Le total de la seconde colonne nrsquoaurait eacutevidemment aucune significationEnfin le dernier amortissement est neacutecessairement eacutegal au dernier laquo capital restant ducirc raquo crsquoest ce qui marque le fait que lrsquoon termine le remboursement du capital emprunteacute

Nous allons maintenant laquo moneacutetiser raquo la situation preacuteceacutedente un jeu videacuteo coucircte 80 euro et une cannette de K-cola coucircte 050 euro Voici ce que devient ce tableau

Mois Capital restant ducirc Inteacuterecircts Amortissement Remboursement

1 400 euro 5 euro 80 euro 85 euro2 320 euro 4 euro 80 euro 84 euro3 240 euro 3 euro 80 euro 83 euro4 160 euro 2 euro 80 euro 82 euro5 80 euro 1 euro 80 euro 81 euro

Totaux 15 euro 400 euro 415 euro

On va deacutefinir alors une nouvelle notion le taux drsquointeacuterecirct mensuel crsquoest le rapport calculeacute dans le laquo deal raquo preacuteceacutedent 2 K-cola pour 1 jeu soit 1 euro drsquointeacuterecirct pour 80 euro de capital emprunteacute pendant un mois Le taux est de 180 Usuellement on eacutecrit ce taux sous forme de pourcentage ici crsquoest 125 (7) La seule chose qui compte pour les calculs crsquoest ce taux mensuel (on verra plus loin le lien entre le taux mensuel et le taux annuel)

A partir de lagrave il est normal drsquoutiliser un tableur pour construire ces tableaux appeleacutes tableaux drsquoamortissements (ou plans de remboursement ou eacutecheacuteanciers)Il y a trois donneacutees le capital emprunteacute le taux drsquointeacuterecirct mensuel le nombre de mensualiteacutes Les formules du tableur devront laquo traduire raquo les notions qui ont eacuteteacute eacutevoqueacutees ci-dessus

Voici ce qursquoon voudrait obtenir

7 Suivant le niveau des eacutelegraveves le professeur pourra leur faire rappeler la faccedilon dont on calcule un pourcentage Ici 180 = 00125 = 125100 Mais lrsquoensemble de lrsquoactiviteacute proposeacutee ici suppose qursquoun certain nombre de connaissances sur les pourcentages (et les augmentations en pourcentages) soient deacutejagrave bien assimileacutees avant drsquoaborder la situation nouvelle que sont les emprunts

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Bien entendu tous les reacutesultats de ce tableau sont calculeacutes en fonction des donneacutees (qui sont dans les cellules jaunes) laquo Les compeacutetences tableur raquo mise en jeu sont la recopie vers le bas (compeacutetence fondamentale) lrsquoadressage relatif ou absolu des cellules et la sommation automatiqueOn peut laquo agreacutementer raquo en utilisant le format moneacutetaire pour les euros (ccedila et le coloriage les eacutelegraveves comprennent vite )Voici un exemple des formules que jrsquoai utiliseacutees Crsquoest bien entendu agrave lrsquoeacutelegraveve de construire sa feuille de calcul et pas au professeur de donner comme consigne laquo mettez telle formule dans telle cellule raquo

Il reste ensuite agrave faire varier le montant du capital le taux drsquointeacuterecirct et le nombre de mensualiteacutes et de regarder ce que cela donneUn exemple drsquoexercice Manon voudrait un scooter elle a trouveacute une excellente occasion agrave 540 euro agrave prendre immeacutediatement mais elle nrsquoa pas drsquoargent Elle va voir sa grand-megravere pour lui emprunter 540 euro Elle la remboursera en 12 mois (elle fera du baby-sitting pour trouver lrsquoargent) Mais sa grand-megravere pour la

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responsabiliser lui precirctera au taux mensuel de 075 Calculer le montant des 12 remboursements mensuels de MarionOu encore

Le pegravere de Florian va acheter une nouvelle voiture 13 450 euro Il emprunte pour cela sur 4 ans Lrsquoorganisme de creacutedit lui precircte lrsquoargent au taux de 15 par mois Quel sera le coucirct total du creacutedit (8)La copie drsquoeacutecran suivante donne le deacutebut et la fin du tableau

On peut constater que le coucirct total du creacutedit est important (pregraves de 37 du prix de la voiture et cela nrsquoest pas seulement ducirc au taux eacuteleveacute mais aussi agrave la longue dureacutee) qursquoau premier mois les inteacuterecircts sont presque eacutegaux agrave la part de capital restant due alors qursquoagrave la fin les inteacuterecircts sont neacutegligeables (les premiegraveres mensualiteacutes sont beaucoup plus eacuteleveacutees que les derniegraveres) Crsquoest pour pallier cet inconveacutenient que nous allons aborder les emprunts agrave remboursements mensuels constants

On pourra eacutegalement remarquer que les amortissements eacutetant constants les trois colonnes capital restant ducirc inteacuterecircts et remboursements (mensualiteacutes) constituent des suites arithmeacutetiques (9) ce qui permettrait de calculer directement le coucirct du creacutedit (10)

8 On supposera que le precirct est agrave amortissements constants ce qui laquo dans la vraie vie raquo nrsquoest geacuteneacuteralement pas le cas Il srsquoagit ici drsquoun laquo exercice drsquoeacutecole raquo 9 En theacuteorie Mais il peut y avoir des problegravemes drsquoarrondi au centime drsquoeuro Par exemple dans le tableau ci-dessus lrsquoamortissement nrsquoest qursquoapproximativement eacutegal agrave 28021 euro (1345048) la raison de la suite des inteacuterecircts est donc de 1345048x0015 ce qui fait approximativement 420 euro Dans le tableau il y a de temps en temps un 421 euro qui se laquo glisse raquo pour reacutecupeacuterer les cumuls drsquoerreurs drsquoarrondis10 Cela nrsquoa qursquoun inteacuterecirct theacuteorique ce type drsquoemprunt nrsquoexistant pratiquement plus la plupart des precircts sont faits agrave mensualiteacutes constantes

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Emprunt agrave remboursements constants

On voudrait maintenant que les remboursements soient constants Comme les inteacuterecircts vont deacutecroissant les amortissements devront ecirctre croissants et non plus constants Le problegraveme est comment calculer ces amortissements Crsquoest-agrave-dire quelles formules mettre dans la colonne D du tableur ci-dessous

A B C D E1 Capital emprunteacute donneacutee2 Taux drsquointeacuterecirct (mensuel) donneacutee3 Nombre de mensualiteacutes 54

5 MoisCapital restant

ducircInteacuterecircts Amortissement Remboursement

6 1 =$E$1 =$E$2B6 =C6+D67 =A6+1 =B6-

D6=$E$2B7 =C7+D7

8 =A7+1 =B7-D7

=$E$2B8 =C8+D8

9 =A8+1 =B8-D8

=$E$2B9 =C9+D9

10 =A9+1 =B9-D9

=$E$2B10 =C10+D10

11 Totaux =SOMME(C6C10) =SOMME(D6D10) =SOMME(E6E10)

Il est inutile drsquoessayer par tacirctonnement la tacircche est quasi impossibleNous allons donc guider les eacutelegraveves en leur proposant un (ou plusieurs) tableaux totalement remplis sur papier ou sur tableur (11) et en leur demandant drsquoeacutetudier la colonne des amortissements Suivant le niveau des eacutelegraveves concerneacutes (collegravege ou premiegravere) on pourra se contenter de leur faire trouver que les amortissements augmentent de t (t eacutetant le taux drsquointeacuterecirct mensuel) cest-agrave-dire qursquoils sont multiplieacutes par (1+t) ou bien de deacutemontrer qursquoon a bien une suite geacuteomeacutetrique (12)Mais mecircme en troisiegraveme on peut aborder cette deacutemonstration en travaillant sur les deux premiegraveres lignes du tableau

11 Dans ce cas les formules de la colonne D devront ecirctre masqueacutees sinon lrsquoactiviteacute nrsquoa plus aucun inteacuterecircthellip Pour savoir comment masquer une cellule on pourra teacuteleacutecharger la fiche correspondante du Petit Vert ndeg 73 de mars 2003 agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=34 12 Voir les fiches de TD du Petit Vert ndeg 46 annonceacutees plus haut dans la note 2 Elles srsquoadressent agrave des eacutelegraveves de premiegravere En se souvenant qursquoagrave cette eacutepoque on ne travaillait pas en classe sur des ordinateurs tout se faisait sur papier y compris la construction des tableaux drsquoamortissement (mais avec la calculette quand mecircme )

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 19

Bien entendu tous les reacutesultats de ce tableau sont calculeacutes en fonction des donneacutees (qui sont dans les cellules jaunes) laquo Les compeacutetences tableur raquo mise en jeu sont la recopie vers le bas (compeacutetence fondamentale) lrsquoadressage relatif ou absolu des cellules et la sommation automatiqueOn peut laquo agreacutementer raquo en utilisant le format moneacutetaire pour les euros (ccedila et le coloriage les eacutelegraveves comprennent vite )Voici un exemple des formules que jrsquoai utiliseacutees Crsquoest bien entendu agrave lrsquoeacutelegraveve de construire sa feuille de calcul et pas au professeur de donner comme consigne laquo mettez telle formule dans telle cellule raquo

Il reste ensuite agrave faire varier le montant du capital le taux drsquointeacuterecirct et le nombre de mensualiteacutes et de regarder ce que cela donneUn exemple drsquoexercice Manon voudrait un scooter elle a trouveacute une excellente occasion agrave 540 euro agrave prendre immeacutediatement mais elle nrsquoa pas drsquoargent Elle va voir sa grand-megravere pour lui emprunter 540 euro Elle la remboursera en 12 mois (elle fera du baby-sitting pour trouver lrsquoargent) Mais sa grand-megravere pour la

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P AGE 20 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

responsabiliser lui precirctera au taux mensuel de 075 Calculer le montant des 12 remboursements mensuels de MarionOu encore

Le pegravere de Florian va acheter une nouvelle voiture 13 450 euro Il emprunte pour cela sur 4 ans Lrsquoorganisme de creacutedit lui precircte lrsquoargent au taux de 15 par mois Quel sera le coucirct total du creacutedit (8)La copie drsquoeacutecran suivante donne le deacutebut et la fin du tableau

On peut constater que le coucirct total du creacutedit est important (pregraves de 37 du prix de la voiture et cela nrsquoest pas seulement ducirc au taux eacuteleveacute mais aussi agrave la longue dureacutee) qursquoau premier mois les inteacuterecircts sont presque eacutegaux agrave la part de capital restant due alors qursquoagrave la fin les inteacuterecircts sont neacutegligeables (les premiegraveres mensualiteacutes sont beaucoup plus eacuteleveacutees que les derniegraveres) Crsquoest pour pallier cet inconveacutenient que nous allons aborder les emprunts agrave remboursements mensuels constants

On pourra eacutegalement remarquer que les amortissements eacutetant constants les trois colonnes capital restant ducirc inteacuterecircts et remboursements (mensualiteacutes) constituent des suites arithmeacutetiques (9) ce qui permettrait de calculer directement le coucirct du creacutedit (10)

8 On supposera que le precirct est agrave amortissements constants ce qui laquo dans la vraie vie raquo nrsquoest geacuteneacuteralement pas le cas Il srsquoagit ici drsquoun laquo exercice drsquoeacutecole raquo 9 En theacuteorie Mais il peut y avoir des problegravemes drsquoarrondi au centime drsquoeuro Par exemple dans le tableau ci-dessus lrsquoamortissement nrsquoest qursquoapproximativement eacutegal agrave 28021 euro (1345048) la raison de la suite des inteacuterecircts est donc de 1345048x0015 ce qui fait approximativement 420 euro Dans le tableau il y a de temps en temps un 421 euro qui se laquo glisse raquo pour reacutecupeacuterer les cumuls drsquoerreurs drsquoarrondis10 Cela nrsquoa qursquoun inteacuterecirct theacuteorique ce type drsquoemprunt nrsquoexistant pratiquement plus la plupart des precircts sont faits agrave mensualiteacutes constantes

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 21

Emprunt agrave remboursements constants

On voudrait maintenant que les remboursements soient constants Comme les inteacuterecircts vont deacutecroissant les amortissements devront ecirctre croissants et non plus constants Le problegraveme est comment calculer ces amortissements Crsquoest-agrave-dire quelles formules mettre dans la colonne D du tableur ci-dessous

A B C D E1 Capital emprunteacute donneacutee2 Taux drsquointeacuterecirct (mensuel) donneacutee3 Nombre de mensualiteacutes 54

5 MoisCapital restant

ducircInteacuterecircts Amortissement Remboursement

6 1 =$E$1 =$E$2B6 =C6+D67 =A6+1 =B6-

D6=$E$2B7 =C7+D7

8 =A7+1 =B7-D7

=$E$2B8 =C8+D8

9 =A8+1 =B8-D8

=$E$2B9 =C9+D9

10 =A9+1 =B9-D9

=$E$2B10 =C10+D10

11 Totaux =SOMME(C6C10) =SOMME(D6D10) =SOMME(E6E10)

Il est inutile drsquoessayer par tacirctonnement la tacircche est quasi impossibleNous allons donc guider les eacutelegraveves en leur proposant un (ou plusieurs) tableaux totalement remplis sur papier ou sur tableur (11) et en leur demandant drsquoeacutetudier la colonne des amortissements Suivant le niveau des eacutelegraveves concerneacutes (collegravege ou premiegravere) on pourra se contenter de leur faire trouver que les amortissements augmentent de t (t eacutetant le taux drsquointeacuterecirct mensuel) cest-agrave-dire qursquoils sont multiplieacutes par (1+t) ou bien de deacutemontrer qursquoon a bien une suite geacuteomeacutetrique (12)Mais mecircme en troisiegraveme on peut aborder cette deacutemonstration en travaillant sur les deux premiegraveres lignes du tableau

11 Dans ce cas les formules de la colonne D devront ecirctre masqueacutees sinon lrsquoactiviteacute nrsquoa plus aucun inteacuterecircthellip Pour savoir comment masquer une cellule on pourra teacuteleacutecharger la fiche correspondante du Petit Vert ndeg 73 de mars 2003 agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=34 12 Voir les fiches de TD du Petit Vert ndeg 46 annonceacutees plus haut dans la note 2 Elles srsquoadressent agrave des eacutelegraveves de premiegravere En se souvenant qursquoagrave cette eacutepoque on ne travaillait pas en classe sur des ordinateurs tout se faisait sur papier y compris la construction des tableaux drsquoamortissement (mais avec la calculette quand mecircme )

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responsabiliser lui precirctera au taux mensuel de 075 Calculer le montant des 12 remboursements mensuels de MarionOu encore

Le pegravere de Florian va acheter une nouvelle voiture 13 450 euro Il emprunte pour cela sur 4 ans Lrsquoorganisme de creacutedit lui precircte lrsquoargent au taux de 15 par mois Quel sera le coucirct total du creacutedit (8)La copie drsquoeacutecran suivante donne le deacutebut et la fin du tableau

On peut constater que le coucirct total du creacutedit est important (pregraves de 37 du prix de la voiture et cela nrsquoest pas seulement ducirc au taux eacuteleveacute mais aussi agrave la longue dureacutee) qursquoau premier mois les inteacuterecircts sont presque eacutegaux agrave la part de capital restant due alors qursquoagrave la fin les inteacuterecircts sont neacutegligeables (les premiegraveres mensualiteacutes sont beaucoup plus eacuteleveacutees que les derniegraveres) Crsquoest pour pallier cet inconveacutenient que nous allons aborder les emprunts agrave remboursements mensuels constants

On pourra eacutegalement remarquer que les amortissements eacutetant constants les trois colonnes capital restant ducirc inteacuterecircts et remboursements (mensualiteacutes) constituent des suites arithmeacutetiques (9) ce qui permettrait de calculer directement le coucirct du creacutedit (10)

8 On supposera que le precirct est agrave amortissements constants ce qui laquo dans la vraie vie raquo nrsquoest geacuteneacuteralement pas le cas Il srsquoagit ici drsquoun laquo exercice drsquoeacutecole raquo 9 En theacuteorie Mais il peut y avoir des problegravemes drsquoarrondi au centime drsquoeuro Par exemple dans le tableau ci-dessus lrsquoamortissement nrsquoest qursquoapproximativement eacutegal agrave 28021 euro (1345048) la raison de la suite des inteacuterecircts est donc de 1345048x0015 ce qui fait approximativement 420 euro Dans le tableau il y a de temps en temps un 421 euro qui se laquo glisse raquo pour reacutecupeacuterer les cumuls drsquoerreurs drsquoarrondis10 Cela nrsquoa qursquoun inteacuterecirct theacuteorique ce type drsquoemprunt nrsquoexistant pratiquement plus la plupart des precircts sont faits agrave mensualiteacutes constantes

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Emprunt agrave remboursements constants

On voudrait maintenant que les remboursements soient constants Comme les inteacuterecircts vont deacutecroissant les amortissements devront ecirctre croissants et non plus constants Le problegraveme est comment calculer ces amortissements Crsquoest-agrave-dire quelles formules mettre dans la colonne D du tableur ci-dessous

A B C D E1 Capital emprunteacute donneacutee2 Taux drsquointeacuterecirct (mensuel) donneacutee3 Nombre de mensualiteacutes 54

5 MoisCapital restant

ducircInteacuterecircts Amortissement Remboursement

6 1 =$E$1 =$E$2B6 =C6+D67 =A6+1 =B6-

D6=$E$2B7 =C7+D7

8 =A7+1 =B7-D7

=$E$2B8 =C8+D8

9 =A8+1 =B8-D8

=$E$2B9 =C9+D9

10 =A9+1 =B9-D9

=$E$2B10 =C10+D10

11 Totaux =SOMME(C6C10) =SOMME(D6D10) =SOMME(E6E10)

Il est inutile drsquoessayer par tacirctonnement la tacircche est quasi impossibleNous allons donc guider les eacutelegraveves en leur proposant un (ou plusieurs) tableaux totalement remplis sur papier ou sur tableur (11) et en leur demandant drsquoeacutetudier la colonne des amortissements Suivant le niveau des eacutelegraveves concerneacutes (collegravege ou premiegravere) on pourra se contenter de leur faire trouver que les amortissements augmentent de t (t eacutetant le taux drsquointeacuterecirct mensuel) cest-agrave-dire qursquoils sont multiplieacutes par (1+t) ou bien de deacutemontrer qursquoon a bien une suite geacuteomeacutetrique (12)Mais mecircme en troisiegraveme on peut aborder cette deacutemonstration en travaillant sur les deux premiegraveres lignes du tableau

11 Dans ce cas les formules de la colonne D devront ecirctre masqueacutees sinon lrsquoactiviteacute nrsquoa plus aucun inteacuterecircthellip Pour savoir comment masquer une cellule on pourra teacuteleacutecharger la fiche correspondante du Petit Vert ndeg 73 de mars 2003 agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=34 12 Voir les fiches de TD du Petit Vert ndeg 46 annonceacutees plus haut dans la note 2 Elles srsquoadressent agrave des eacutelegraveves de premiegravere En se souvenant qursquoagrave cette eacutepoque on ne travaillait pas en classe sur des ordinateurs tout se faisait sur papier y compris la construction des tableaux drsquoamortissement (mais avec la calculette quand mecircme )

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Emprunt agrave remboursements constants

On voudrait maintenant que les remboursements soient constants Comme les inteacuterecircts vont deacutecroissant les amortissements devront ecirctre croissants et non plus constants Le problegraveme est comment calculer ces amortissements Crsquoest-agrave-dire quelles formules mettre dans la colonne D du tableur ci-dessous

A B C D E1 Capital emprunteacute donneacutee2 Taux drsquointeacuterecirct (mensuel) donneacutee3 Nombre de mensualiteacutes 54

5 MoisCapital restant

ducircInteacuterecircts Amortissement Remboursement

6 1 =$E$1 =$E$2B6 =C6+D67 =A6+1 =B6-

D6=$E$2B7 =C7+D7

8 =A7+1 =B7-D7

=$E$2B8 =C8+D8

9 =A8+1 =B8-D8

=$E$2B9 =C9+D9

10 =A9+1 =B9-D9

=$E$2B10 =C10+D10

11 Totaux =SOMME(C6C10) =SOMME(D6D10) =SOMME(E6E10)

Il est inutile drsquoessayer par tacirctonnement la tacircche est quasi impossibleNous allons donc guider les eacutelegraveves en leur proposant un (ou plusieurs) tableaux totalement remplis sur papier ou sur tableur (11) et en leur demandant drsquoeacutetudier la colonne des amortissements Suivant le niveau des eacutelegraveves concerneacutes (collegravege ou premiegravere) on pourra se contenter de leur faire trouver que les amortissements augmentent de t (t eacutetant le taux drsquointeacuterecirct mensuel) cest-agrave-dire qursquoils sont multiplieacutes par (1+t) ou bien de deacutemontrer qursquoon a bien une suite geacuteomeacutetrique (12)Mais mecircme en troisiegraveme on peut aborder cette deacutemonstration en travaillant sur les deux premiegraveres lignes du tableau

11 Dans ce cas les formules de la colonne D devront ecirctre masqueacutees sinon lrsquoactiviteacute nrsquoa plus aucun inteacuterecircthellip Pour savoir comment masquer une cellule on pourra teacuteleacutecharger la fiche correspondante du Petit Vert ndeg 73 de mars 2003 agrave lrsquoadresse httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=34 12 Voir les fiches de TD du Petit Vert ndeg 46 annonceacutees plus haut dans la note 2 Elles srsquoadressent agrave des eacutelegraveves de premiegravere En se souvenant qursquoagrave cette eacutepoque on ne travaillait pas en classe sur des ordinateurs tout se faisait sur papier y compris la construction des tableaux drsquoamortissement (mais avec la calculette quand mecircme )

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P AGE 22 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Mois Capital restant ducirc Inteacuterecircts Amortissement Remboursement1 C1 I1 A1 R1

2 C2 I2 A2 R2

On va faire eacutecrire les relations connues laquo par construction raquo entre les diverses variables C1 est donneacute I1 = C1timest R1 = I1+A1 C2 = C1-A1 I2 = C2timest R2 = I2+A2En exprimant R1 et R2 et en posant lrsquoeacutegaliteacute que lrsquoon veut obtenir (R1 = R2) les eacutelegraveves pourront deacutemontrer que A2 = (1+t)timesA1Si lrsquoexercice srsquoavegravere un peu compliqueacute on pourra prendre un exemple numeacuterique de taux (par exemple 1 et veacuterifier que A2 = 101timesA1 lrsquoamortissement a augmenteacute de 1 )On admettra au collegravege que lrsquoon obtiendrait la mecircme chose avec la seconde et la troisiegraveme ligne la troisiegraveme et la quatriegraveme etcEn premiegravere au contraire on preacutefeacuterera un raisonnement laquo geacuteneacuteral raquo portant sur deux lignes quelconques

k Ck Ik Ak Rk

k+1 Ck+1 Ik+1 Ak+1 Rk+1

A partir de lagrave il suffit de savoir calculer A1 pour que tout le reste de la colonne des amortissements soit calculable Et lagrave les eacutelegraveves de collegravege sont bloqueacuteshellip Si on veut qursquoils continuent on peut leur donner la formule

1 (1 ) 1= times

+ minusn

tA Ct (C eacutetant le capital emprunteacute n le nombre de mensualiteacutes

et t le taux drsquointeacuterecirct mensuel)Pour les eacutelegraveves de premiegravere retrouver cette formule est un bon reacuteinvestissement du cours sur les suites geacuteomeacutetriques et du calcul de la somme de n termes drsquoune telle suiteExemple drsquoexercice drsquoapplication on reprend celui de la voiture du pegravere de Florian mais cette fois avec des mensualiteacutes constantes Le pegravere de Florian va acheter une nouvelle voiture 13 450 euro Il emprunte pour cela sur 4 ans Lrsquoorganisme de creacutedit lui precircte lrsquoargent au taux de 075 par mois (13) Quel sera le coucirct total du creacutedit Et pour que vous ne soyez pas frustreacutes on vous donne la reacuteponse

13 Cette fois le pegravere de Florian a choisi drsquoemprunter agrave sa banque agrave meilleur taux le premier organisme de creacutedit qursquoil avait contacteacute pratiquant des taux exorbitants agrave son goucirct

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 23

Vous constaterez qursquoil y a des problegravemes drsquoarrondis tregraves visibles dans la colonne des remboursements le calcul du remboursement donne environ 3347038 euro par mois sur 48 mois 18 centimes se sont ainsi envoleacutes (14) A noter qursquoil nrsquoexiste pas de formule laquo simple raquo permettant le calcul du coucirct du creacutedit (total des inteacuterecircts)

En seacuterie STG un travail interdisciplinaire avec le professeur de laquo comptabiliteacute et finance des entreprises raquo serait certainement tregraves profitable

Taux mensuel et taux annuel

Tous les calculs preacuteceacutedents sont effectueacutes agrave partir du taux mensuel Or geacuteneacuteralement crsquoest le taux annuel de creacutedit qui est annonceacute au consommateur Un raisonnement simple permet de penser que le taux annuel est eacutegal agrave 12 fois le taux mensuel tA = 12timestM (autrement dit tM = tA12) Mais en y reacutefleacutechissant bien une valeur qui augmente 12 fois de suite de 1 (par exemple) nrsquoaugmente pas de 12 mais de 126825 environ le calcul est le suivant (1+tM)12 = 1+tA autrement dit tM = (1+tA)112 -1Curieusement les deux existent dans les calculs et correspondent respectivement au taux proportionnel eacutequivalent (TEG) et au taux actuariel eacutequivalent (TAEG) le G signifiant laquo global raquo sera expliqueacute ci-apregraves Le consommateur qui connaicirct le TEG ou le TAEG (annuel) peut donc

14 Au point de vue comptable de telles erreurs ne sont pas autoriseacutees Aussi existe-t-il des processus de correction dont nous ne parlerons pas ici par exemple la modification de calcul de la derniegravere mensualiteacute Voir par exemple httpwwwcbanquecomcredittableau-amortissementphp

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 23

Vous constaterez qursquoil y a des problegravemes drsquoarrondis tregraves visibles dans la colonne des remboursements le calcul du remboursement donne environ 3347038 euro par mois sur 48 mois 18 centimes se sont ainsi envoleacutes (14) A noter qursquoil nrsquoexiste pas de formule laquo simple raquo permettant le calcul du coucirct du creacutedit (total des inteacuterecircts)

En seacuterie STG un travail interdisciplinaire avec le professeur de laquo comptabiliteacute et finance des entreprises raquo serait certainement tregraves profitable

Taux mensuel et taux annuel

Tous les calculs preacuteceacutedents sont effectueacutes agrave partir du taux mensuel Or geacuteneacuteralement crsquoest le taux annuel de creacutedit qui est annonceacute au consommateur Un raisonnement simple permet de penser que le taux annuel est eacutegal agrave 12 fois le taux mensuel tA = 12timestM (autrement dit tM = tA12) Mais en y reacutefleacutechissant bien une valeur qui augmente 12 fois de suite de 1 (par exemple) nrsquoaugmente pas de 12 mais de 126825 environ le calcul est le suivant (1+tM)12 = 1+tA autrement dit tM = (1+tA)112 -1Curieusement les deux existent dans les calculs et correspondent respectivement au taux proportionnel eacutequivalent (TEG) et au taux actuariel eacutequivalent (TAEG) le G signifiant laquo global raquo sera expliqueacute ci-apregraves Le consommateur qui connaicirct le TEG ou le TAEG (annuel) peut donc

14 Au point de vue comptable de telles erreurs ne sont pas autoriseacutees Aussi existe-t-il des processus de correction dont nous ne parlerons pas ici par exemple la modification de calcul de la derniegravere mensualiteacute Voir par exemple httpwwwcbanquecomcredittableau-amortissementphp

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P AGE 24 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

retrouver le taux mensuel qui lui permettra de construire son tableau drsquoamortissement agrave lrsquoaide drsquoun tableur agrave condition de savoir srsquoil srsquoagit du TEG ou du TAEG Mais depuis 2002 suite agrave une directive europeacuteenne dans la presque totaliteacute des cas crsquoest le TAEG qui doit ecirctre porteacute agrave la connaissance du client Et pour compliquer les choses le TEG proportionnel ayant quasiment disparu le TAEG est souvent appeleacute simplement TEG

Coucirct du creacutedit

Il est facile de deacutemonter que le coucirct du creacutedit (comme lrsquoensemble drsquoun tableau drsquoamortissement) est proportionnel au capital initialement emprunteacute (15) On peut donc fixer ce capital une fois pour toutes (16) et ne faire varier que le taux drsquointeacuterecirct et la dureacutee du precirct Pour ce qui suit le coucirct du creacutedit sera exprimeacute en pourcentage du capital emprunteacute ce qui est plus laquo parlant raquoVoici quatre exemples les deux premiers correspondant agrave la variation du coucirct total du creacutedit en fonction de la dureacutee aux taux annuels de 4 et de 10 le troisiegraveme agrave la variation de ce coucirct en fonction du taux annuel pour une dureacutee de creacutedit de 20 ans le quatriegraveme pour un taux annuel de 18 mais pour une dureacutee variant de 1 mois agrave 2 ans 12

15 Sous entendu agrave condition que le taux et la dureacutee ne soient pas modifieacutees Dans ce cas un capital emprunteacute double aura pour conseacutequence des mensualiteacutes doubles donc un coucirct total du creacutedit double Cependant dans la pratique les gens sont limiteacutes par leur capaciteacute de remboursement et nrsquoont pas le choix du taux ils vont laquo jouer raquo sur la dureacutee prenons lrsquoexemple drsquoun couple dont les possibiliteacutes de remboursement sont de 1 500 euro par mois et qui emprunte agrave 5 srsquoil veut une maison agrave 100 000 euro il devra rembourser pendant 6 ans 12 (coucirct approximatif du creacutedit 17 000 euro) mais srsquoil veut une maison agrave 200 000 euro il devra rembourser pendant 16 ans (coucirct approximatif du creacutedit 89 000 euro soit plus de cinq fois plus pour un capital seulement doubleacute)16 1 euro par exemple ou 10 000 euro pour que ce soit plus laquo parlant raquo ensuite pour un capital donneacute on fera la proportion

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 25

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TAEG de 5 n variant de 1 agrave 25 ans

0

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0 5 10 15 20 25

TAEG de 10 n variant de 1 agrave 25 ans

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P AGE 26 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

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TAEG variant de 2 agrave 15 dureacutee 20 ans

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120

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160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16

TAEG 18 dureacutee 1 agrave 30 mois

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5

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25

0 5 10 15 20 25 30

Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 27

On ne le voit pas bien sur les graphiques mais les courbes ont leur concaviteacute tourneacutee vers le hautComme on peut le constater pour des emprunts de longue dureacutee le coucirct du creacutedit est tregraves important (pour un emprunt agrave 5 annuels sur 25 ans le coucirct du creacutedit repreacutesente plus de 73 du capital emprunteacute) (17)Le quatriegraveme graphique ci-dessus correspond agrave lrsquoordre de grandeur des taux qui sont proposeacutes pour de laquo petits raquo achats agrave creacutedit sur de courtes dureacutees (18)Pour ceux qui voudraient refaire des graphiques similaires voici la premiegravere ligne de la feuille de calcul que jrsquoai utiliseacutee (les cellules en blanc correspondent aux donneacutees)

Pour compliquer un peu plushellip

Revenons au laquo G raquo de global preacutesenteacute dans le paragraphe laquo taux mesnuel et taux annuel raquo Comme vous le savez quand on emprunte on doit souscrire une assurance obligatoire et il y a des frais de dossier ou frais de gestion Lrsquoassurance doit couvrir le precircteur et est proportionnelle au capital restant ducirc (ce qui est logique) Les frais de dossier eux peuvent ecirctre payeacutes en une seule fois au premier jour du precirct ou reacutepartis sur lrsquoensemble des mensualiteacutes Tout cela est assez compliqueacute mais tregraves bien expliqueacute dans un article de Hombeline LANGUEREAU paru dans le Bulletin de lrsquoAPMEP (19)On trouve sur Internet des exemples de meacutethodes de calcul des tableaux drsquoamortissement (20)

17 200 pour un creacutedit sur 25 ans au TAEG de 15 crsquoest dire que vous aurez finalement payeacute deux fois plus drsquointeacuterecircts que le capital emprunteacute (votre achat vous sera revenu trois fois le montant que vous lrsquoauriez payeacute comptant) mais un tel taux sur cette dureacutee est actuellement inusiteacute18 Au 2e trimestre 2008 le taux leacutegal drsquousure cest-agrave-dire le taux maximum autoriseacute pour un achat de moins de 1 524 euro eacutetait de 2076 (au 010708 revaloriseacute tous les 3 mois)19 Hombeline Languereau Calculs drsquointeacuterecircts en AES bulletin APMEP ndeg 475 de mars-avril 2008 pages 195 agrave 20420 Par exemple httpwwwcbanquecomcredittableau-amortissementphp qui preacutecise eacutegalement les fonctions financiegraveres disponibles sur Excel ou OpenOffice que vous pouvez utiliser

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 25

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TAEG de 5 n variant de 1 agrave 25 ans

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TAEG variant de 2 agrave 15 dureacutee 20 ans

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TAEG 18 dureacutee 1 agrave 30 mois

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On ne le voit pas bien sur les graphiques mais les courbes ont leur concaviteacute tourneacutee vers le hautComme on peut le constater pour des emprunts de longue dureacutee le coucirct du creacutedit est tregraves important (pour un emprunt agrave 5 annuels sur 25 ans le coucirct du creacutedit repreacutesente plus de 73 du capital emprunteacute) (17)Le quatriegraveme graphique ci-dessus correspond agrave lrsquoordre de grandeur des taux qui sont proposeacutes pour de laquo petits raquo achats agrave creacutedit sur de courtes dureacutees (18)Pour ceux qui voudraient refaire des graphiques similaires voici la premiegravere ligne de la feuille de calcul que jrsquoai utiliseacutee (les cellules en blanc correspondent aux donneacutees)

Pour compliquer un peu plushellip

Revenons au laquo G raquo de global preacutesenteacute dans le paragraphe laquo taux mesnuel et taux annuel raquo Comme vous le savez quand on emprunte on doit souscrire une assurance obligatoire et il y a des frais de dossier ou frais de gestion Lrsquoassurance doit couvrir le precircteur et est proportionnelle au capital restant ducirc (ce qui est logique) Les frais de dossier eux peuvent ecirctre payeacutes en une seule fois au premier jour du precirct ou reacutepartis sur lrsquoensemble des mensualiteacutes Tout cela est assez compliqueacute mais tregraves bien expliqueacute dans un article de Hombeline LANGUEREAU paru dans le Bulletin de lrsquoAPMEP (19)On trouve sur Internet des exemples de meacutethodes de calcul des tableaux drsquoamortissement (20)

17 200 pour un creacutedit sur 25 ans au TAEG de 15 crsquoest dire que vous aurez finalement payeacute deux fois plus drsquointeacuterecircts que le capital emprunteacute (votre achat vous sera revenu trois fois le montant que vous lrsquoauriez payeacute comptant) mais un tel taux sur cette dureacutee est actuellement inusiteacute18 Au 2e trimestre 2008 le taux leacutegal drsquousure cest-agrave-dire le taux maximum autoriseacute pour un achat de moins de 1 524 euro eacutetait de 2076 (au 010708 revaloriseacute tous les 3 mois)19 Hombeline Languereau Calculs drsquointeacuterecircts en AES bulletin APMEP ndeg 475 de mars-avril 2008 pages 195 agrave 20420 Par exemple httpwwwcbanquecomcredittableau-amortissementphp qui preacutecise eacutegalement les fonctions financiegraveres disponibles sur Excel ou OpenOffice que vous pouvez utiliser

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P AGE 26 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

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TAEG variant de 2 agrave 15 dureacutee 20 ans

0

20

40

60

80

100

120

140

160

180

200

0 2 4 6 8 10 12 14 16

TAEG 18 dureacutee 1 agrave 30 mois

0

5

10

15

20

25

0 5 10 15 20 25 30

Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 27

On ne le voit pas bien sur les graphiques mais les courbes ont leur concaviteacute tourneacutee vers le hautComme on peut le constater pour des emprunts de longue dureacutee le coucirct du creacutedit est tregraves important (pour un emprunt agrave 5 annuels sur 25 ans le coucirct du creacutedit repreacutesente plus de 73 du capital emprunteacute) (17)Le quatriegraveme graphique ci-dessus correspond agrave lrsquoordre de grandeur des taux qui sont proposeacutes pour de laquo petits raquo achats agrave creacutedit sur de courtes dureacutees (18)Pour ceux qui voudraient refaire des graphiques similaires voici la premiegravere ligne de la feuille de calcul que jrsquoai utiliseacutee (les cellules en blanc correspondent aux donneacutees)

Pour compliquer un peu plushellip

Revenons au laquo G raquo de global preacutesenteacute dans le paragraphe laquo taux mesnuel et taux annuel raquo Comme vous le savez quand on emprunte on doit souscrire une assurance obligatoire et il y a des frais de dossier ou frais de gestion Lrsquoassurance doit couvrir le precircteur et est proportionnelle au capital restant ducirc (ce qui est logique) Les frais de dossier eux peuvent ecirctre payeacutes en une seule fois au premier jour du precirct ou reacutepartis sur lrsquoensemble des mensualiteacutes Tout cela est assez compliqueacute mais tregraves bien expliqueacute dans un article de Hombeline LANGUEREAU paru dans le Bulletin de lrsquoAPMEP (19)On trouve sur Internet des exemples de meacutethodes de calcul des tableaux drsquoamortissement (20)

17 200 pour un creacutedit sur 25 ans au TAEG de 15 crsquoest dire que vous aurez finalement payeacute deux fois plus drsquointeacuterecircts que le capital emprunteacute (votre achat vous sera revenu trois fois le montant que vous lrsquoauriez payeacute comptant) mais un tel taux sur cette dureacutee est actuellement inusiteacute18 Au 2e trimestre 2008 le taux leacutegal drsquousure cest-agrave-dire le taux maximum autoriseacute pour un achat de moins de 1 524 euro eacutetait de 2076 (au 010708 revaloriseacute tous les 3 mois)19 Hombeline Languereau Calculs drsquointeacuterecircts en AES bulletin APMEP ndeg 475 de mars-avril 2008 pages 195 agrave 20420 Par exemple httpwwwcbanquecomcredittableau-amortissementphp qui preacutecise eacutegalement les fonctions financiegraveres disponibles sur Excel ou OpenOffice que vous pouvez utiliser

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 27

On ne le voit pas bien sur les graphiques mais les courbes ont leur concaviteacute tourneacutee vers le hautComme on peut le constater pour des emprunts de longue dureacutee le coucirct du creacutedit est tregraves important (pour un emprunt agrave 5 annuels sur 25 ans le coucirct du creacutedit repreacutesente plus de 73 du capital emprunteacute) (17)Le quatriegraveme graphique ci-dessus correspond agrave lrsquoordre de grandeur des taux qui sont proposeacutes pour de laquo petits raquo achats agrave creacutedit sur de courtes dureacutees (18)Pour ceux qui voudraient refaire des graphiques similaires voici la premiegravere ligne de la feuille de calcul que jrsquoai utiliseacutee (les cellules en blanc correspondent aux donneacutees)

Pour compliquer un peu plushellip

Revenons au laquo G raquo de global preacutesenteacute dans le paragraphe laquo taux mesnuel et taux annuel raquo Comme vous le savez quand on emprunte on doit souscrire une assurance obligatoire et il y a des frais de dossier ou frais de gestion Lrsquoassurance doit couvrir le precircteur et est proportionnelle au capital restant ducirc (ce qui est logique) Les frais de dossier eux peuvent ecirctre payeacutes en une seule fois au premier jour du precirct ou reacutepartis sur lrsquoensemble des mensualiteacutes Tout cela est assez compliqueacute mais tregraves bien expliqueacute dans un article de Hombeline LANGUEREAU paru dans le Bulletin de lrsquoAPMEP (19)On trouve sur Internet des exemples de meacutethodes de calcul des tableaux drsquoamortissement (20)

17 200 pour un creacutedit sur 25 ans au TAEG de 15 crsquoest dire que vous aurez finalement payeacute deux fois plus drsquointeacuterecircts que le capital emprunteacute (votre achat vous sera revenu trois fois le montant que vous lrsquoauriez payeacute comptant) mais un tel taux sur cette dureacutee est actuellement inusiteacute18 Au 2e trimestre 2008 le taux leacutegal drsquousure cest-agrave-dire le taux maximum autoriseacute pour un achat de moins de 1 524 euro eacutetait de 2076 (au 010708 revaloriseacute tous les 3 mois)19 Hombeline Languereau Calculs drsquointeacuterecircts en AES bulletin APMEP ndeg 475 de mars-avril 2008 pages 195 agrave 20420 Par exemple httpwwwcbanquecomcredittableau-amortissementphp qui preacutecise eacutegalement les fonctions financiegraveres disponibles sur Excel ou OpenOffice que vous pouvez utiliser

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P AGE 28 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Si pour un achat quelconque on vous propose un creacutedit dont vous ne connaissez que la dureacutee et le montant des mensualiteacutes comment retrouver le TAEG Lagrave encore pas de formule simple Mais on trouve aussi sur Internet des logiciels qui vous feront ce calcul en un clic de souris (21)

Quand vous empruntez vous deacutecidez geacuteneacuteralement de la date de paiement de vos eacutecheacuteances (par exemple le 5 de chaque mois) mais le creacutedit nrsquoa aucune raison drsquoavoir eacuteteacute deacutebloqueacute agrave cette date Si votre banque deacutebloque votre creacutedit le 22 mars et que votre premiegravere eacutecheacuteance est le 5 avril il faut calculer le montant de lrsquoamortissement correspondant agrave cette peacuteriode Ce qui lagrave non plus nrsquoest pas simple Mais les organismes de creacutedit ont de tregraves bons logicielshellip

Venons en enfin au precircts agrave taux variable bien connus du grand public depuis que lrsquoon parle de la crise des subprimes (22) aux USA (et ailleurs ) Imaginez que lrsquoon emprunte sur 25 ans (300 mois) pour lrsquoachat drsquoune maison agrave 150 000 euro Au deacutepart votre TAEG est de 5 Mais au bout de deux ans le banquier lrsquoaugmente et il passe agrave 6 Quelle sera la conseacutequence pour vous Comment faire les calculs Il suffit de creacuteer un premier tableau drsquoamortissement pour votre precirct initial et de nrsquoen conserver que les 24 premiegraveres lignes Vous construirez ensuite un second tableau pour les 23 anneacutees suivantes (276 mois) le capital initial de ce second tableau sera le capital restant ducirc apregraves paiement de la 24e mensualiteacuteVoici ce que cela donne (copies drsquoeacutecran du deacutebut de lrsquoeacutecheacuteancier du laquo passage raquo au nouveau taux et de la fin de lrsquoeacutecheacuteancier)

21 Par exemple httpwwwcalculatricecreditcomtaux-effectif-globalphp 22 Ces augmentations de taux eacutetaient baseacutees sur le principe suivant (version simplifieacutee) les banques espeacuteraient que les revenus de leurs clients allaient augmenter donc qursquoils pourraient supporter des mensualiteacutes croissantes par ailleurs les prix de lrsquoimmobilier croissant reacuteguliegraverement en cas de deacutefaillance du client les banques se laquo rembourseraient raquo le capital restant ducirc en vendant la maison Malheureusement beaucoup de foyers alleacutecheacutes par les faibles mensualiteacutes proposeacutees au deacutepart ont opteacute pour ces creacutedits ils nrsquoont pas pu faire face aux eacutecheacuteances ulteacuterieures et leurs maisons ont eacuteteacute mises en vente Conseacutequence baisse du prix de lrsquoimmobilier due agrave une forte augmentation de lrsquooffre et des banques qui nrsquoont pas pu reacutecupeacuterer leur mise et ont fait faillite Le tout avec un effet laquo boule de neige raquo

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 29

(hellip)

(hellip)

Le coucirct total du creacutedit est alors de 132 070 euro alors qursquoil aurait eacuteteacute de 110 16218 euro sans ce changement de taux

Jrsquoespegravere maintenant que vous en saurez un peu plus sur les emprunts et les tableaux drsquoamortissement et surtout que vous serez en mesure de mettre en place des activiteacutes sur ce thegraveme avec vos eacutelegraveves Nrsquoheacutesitez pas agrave nous rendre compte de ces activiteacutes en particulier si elles ont lieu en collegravege (23)

23 Pour vous aider agrave reacutediger des comptes rendus drsquoactiviteacutes en classe et nous en sommes tregraves friands au Petit Vert nous avons mis en ligne une petite fiche httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=75

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P AGE 30 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

httpapmeplorrainefreefr

Je me souviens qursquoagrave la journeacutee reacutegionale de mars 1997 il y a eu une confeacuterence fort inteacuteressante sur les matheacutematiques du Chat de Philippe Geluk comment la retrouver Je me souviens aussi drsquoun tregraves ancien article de Jacques Lubczanski dans un lointain Petit Vert sur la faccedilon drsquoorganiser une activiteacute de recherche en classe eacutevidemment dans mes deacutemeacutenagements successifs ce Petit Vert srsquoest perduhellip Que faire Jrsquoai deacutejagrave assisteacute agrave un laquo goucircter raquo de lrsquoAPMEP (le gacircteau eacutetait excellent) et je voudrais en organiser un dans mon eacutetablissement comment faire Je sais que les eacutelegraveves drsquoAudrey avaient preacutesenteacute dans leur journal de classe agrave Bar-le-Duc un puzzle jrsquoaimerais reacutecupeacuterer les fiches de travail correspondanteshellip oui mais comment Je cherche aussi des extraits de presse pour faire travailler mes eacutelegraveves sur les notions de meacutediane et de deacuteciles mais je nrsquoai pas le courage de feuilleter tous les journaux que jrsquoai entasseacutes dans le grenier pour allumer mon feu lrsquohiver prochain Dois-je abandonner cette ideacutee

A part les reacuteponses agrave ces questions preacutecises dont vous pourrez trouver en bas de cet article les adresses URL le nouveau site de la Reacutegionale Lorraine fourmille drsquoideacutees drsquoactiviteacutes drsquoextraits de presses de problegravemes agrave reacutesoudre de comptes rendus de photoshellipVous y trouverez notamment lrsquoinventaire exhaustif des rubriques laquo Activiteacutes en classe raquo laquo Maths amp Meacutedias raquo laquo Problegravemes raquo publieacutees dans Le Petit Vert Un coin jeux avec en particulier tous les laquo stands raquo de notre exposition itineacuterante la preacutesentation de nos brochures reacutegionales les comptes rendus des laquo goucircters raquo du mercredi Et aussi un laquo Coin photo raquo des photos prises au cours de nos diverses activiteacutes mais aussi des photos prises agrave droite et agrave gauche dans notre environnement et qui pourraient servir agrave laquo illustrer raquo notre enseignement (il y a mecircme Al-Kwarizmi Euler et Newtonhellip en timbres-poste )Bien sucircr le site est en construction (merci Fathi pour tout ce boulot) et quelques rubriques sont encore laquo vides raquo mais pas pour longtempshellip

Alors nrsquoheacutesitez plus Ajoutez vite lrsquoadresse ci-dessus en tecircte de vos favoris Farfouillez farfouillez encorehellip et faites nous part de vos remarques et suggestions

Reacuteponses Le Chat de Geluk httpapmeplorrainefreefrmodulesregionalejr_2007JN_200720Conf_chat_de_GeluckppsLubczanski httpapmeplorrainefreefrindexphpaction=telechargerampressource_id=70 Goucircters httpapmeplorrainefreefrindexphpmodule=regionaleamppage=goutersPuzzle httpapmeplorrainefreefrindexphpmodule=coinjeuxampchoix=3Meacutediane et deacuteciles httpapmeplorrainefreefrmodulesmath_et_mediaPV91_MampM_Breves_diversespdfet httpapmeplorrainefreefrmodulesmath_et_mediaPV90_MampM_Domicile_Travailpdfet httpapmeplorrainefreefrmodulesmath_et_mediaPV89_MampM_Decilespdf etc

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 31

laquo OBJETS MATHEacuteMATIQUES raquoUNE EXPOSITION laquo ITINEacuteRANTE raquo

Lexposition creacuteeacutee par un groupe de notre reacutegionale APMEP preacutesente actuellement dix-sept stands mecirclant jeux manipulations et matheacutematiques Son contenu agrave lorigine destineacute agrave des eacutelegraveves de collegravege a eacuteteacute utiliseacute avec profit par des classes de cycle III de leacutecole eacuteleacutementaire des eacutelegraveves de lyceacutee des professeurs stagiaires des Centres de Documentation des bibliothegraveques

municipales Ses creacuteateurs souhaitent que la manipulation des objets preacutesenteacutes montre quelques aspects culturels mais non neacutecessairement utilitaires des Matheacutematiques Ils sont eacutegalement persuadeacutes que faire des Matheacutematiques cest chercher et ne pas trouver tout de suite se poser des questions essayer de valider des reacutesultats conjectureacutes

se convaincre et convaincre ses interlocuteurs de la pertinence des reacutesultats obtenus Quatre exemplaires circulent dans les quatre deacutepartements lorrains Une modique somme (10 euro) est demandeacutee comme participation agrave sa reacutenovation La dureacutee du precirct nest pas limiteacutee cependant une dureacutee de une ou deux semaines semble ecirctre la dureacutee habituelleContacter Pour la Meurthe-et-Moselle AndreStefiecnu-nancyfr Pour la Meuse FrancoisDrouinac-nancy-metzfr Pour la Moselle michelruibaecopainsnet Pour les Vosges Marie-JoseBalivieraac-nancy-metzfr

Voir page suivante un exemple de laquo stand raquo

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P AGE 32 L E P ETIT V ERT Ndeg95 ndash- S EPTEMBRE 2008

Voici une des fiches proposeacutees aux eacutelegraveves (les piegraveces correspondantes sont agrave leur disposition sur le stand)

Stand ndeg1 POLYCUBES

En utilisant le maximum de piegraveces possibles reacutealise un paralleacuteleacutepipegravedeCombien de piegraveces as-tu utiliseacutees

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Ndeg95 - S EPTEMBRE 2008 L E P ETIT V ERT P AGE 33

Pour tout nombre entier deacutefinissons ntilde comme eacutetant lentier obtenu en deacuteplaccedilant agrave lextrecircme gauche le chiffre des uniteacutes de n (dans leacutecriture standard en base 10) Par exemple si n = 7834 alors ntilde = 4783 si n = 4500 alors ntilde = 0450 = 450 Trouver un entier n (n ge 1) tel que 7ntilde = 2n

Merci agrave Jacques Choneacute agrave Fabrice Laurent et agrave Isabelle Jacques pour leurs solutionsSoit n un entier de k+1 chiffres Posons n = 10d + u Alors ntilde = 10ktimesu + d Reacutesoudre 7ntilde = 2n eacutequivaut agrave reacutesoudre 7times(10ktimesu + d) = 2times(10d + u) soit (7times10k ndash 2)u = 13dComme 13 ne divise pas u 13 divise 7times10kminus2 A laide de la calculatrice ou de son tableur preacutefeacutereacute on trouve que le plus petit k qui convienne est k=5 et on a alors d=53846timesuPour u=1 on trouve n=538461 qui est la plus petite solution possibleFabrice Laurent montre que u1 ne donne pas de solutions et les autres solutions (pour dautres valeurs de k) sont toutes de la forme 538461538461 538461538461538461 etc

Jacques Choneacute signale quon a 7

13=0538461 et que 538461 est

le quarantiegraveme nombre de Kaprekar en effet on a 53846122=289940248521 et 289940248521=538461

Etonnant non

On lance un spaghetti de longueur d sur un sol carreleacute les carreaux eacutetant des carreacutes de cocircteacute uniteacute Quelle est la probabiliteacute que le spaghetti soit agrave linteacuterieur dun des carreaux

Envoyez le plus rapidement possible vos solutions etou toute proposition de nouveau problegraveme agrave Loiumlc Terrier 42B rue du mareacutechal Foch 57130 Ars sur Moselle (ou loicterrierATfreefr)

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Solution du problegraveme ndeg94

Problegraveme ndeg95 (proposeacute par Loiumlc Terrier)

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Pour tout nombre entier deacutefinissons ntilde comme eacutetant lentier obtenu en deacuteplaccedilant agrave lextrecircme gauche le chiffre des uniteacutes de n (dans leacutecriture standard en base 10) Par exemple si n = 7834 alors ntilde = 4783 si n = 4500 alors ntilde = 0450 = 450 Trouver un entier n (n ge 1) tel que 7ntilde = 2n

Merci agrave Jacques Choneacute agrave Fabrice Laurent et agrave Isabelle Jacques pour leurs solutionsSoit n un entier de k+1 chiffres Posons n = 10d + u Alors ntilde = 10ktimesu + d Reacutesoudre 7ntilde = 2n eacutequivaut agrave reacutesoudre 7times(10ktimesu + d) = 2times(10d + u) soit (7times10k ndash 2)u = 13dComme 13 ne divise pas u 13 divise 7times10kminus2 A laide de la calculatrice ou de son tableur preacutefeacutereacute on trouve que le plus petit k qui convienne est k=5 et on a alors d=53846timesuPour u=1 on trouve n=538461 qui est la plus petite solution possibleFabrice Laurent montre que u1 ne donne pas de solutions et les autres solutions (pour dautres valeurs de k) sont toutes de la forme 538461538461 538461538461538461 etc

Jacques Choneacute signale quon a 7

13=0538461 et que 538461 est

le quarantiegraveme nombre de Kaprekar en effet on a 53846122=289940248521 et 289940248521=538461

Etonnant non

On lance un spaghetti de longueur d sur un sol carreleacute les carreaux eacutetant des carreacutes de cocircteacute uniteacute Quelle est la probabiliteacute que le spaghetti soit agrave linteacuterieur dun des carreaux

Envoyez le plus rapidement possible vos solutions etou toute proposition de nouveau problegraveme agrave Loiumlc Terrier 42B rue du mareacutechal Foch 57130 Ars sur Moselle (ou loicterrierATfreefr)

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Solution du problegraveme ndeg94

Problegraveme ndeg95 (proposeacute par Loiumlc Terrier)