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BTS DOMOTIQUE Fiabilit 2008-2010

Fiabilit

Table des matires

I Premires notions de fiabilit 2

I.1 Fonction de dfaillance, fonction de fiabilit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

I.2 Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3I.3 Taux davarie instantan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4I.4 MTBF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5I.5 Fiabilit dun systme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

II Loi exponentielle 6

II.1 Fonction de fiabilit et de dfaillance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6II.2 MTBF, cart-type . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

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I Premires notions de fiabilit

la fiabilit est la caractristique dun dispositif exprime par la probabilit par la probabilit que ce dispositifaccomplisse une fonction requise dans des conditions dutilisation et pour une priode de temps dtermines(AFNOR).

Dans tout ce chapitre, on dsigne par T la variable alatoire qui, tout dispositif choisi au hasard, associeson temps de bon fonctionnement ou sa dure de vie avant une dfaillance.Pour simplifier, on choisit t = 0 comme origine des temps lorsque le dispositif est mis en marche pour lapremire fois.La variable T est donc une variable alatoire continue valeurs dans [ 0 ; + [. On note f la densit deprobabilit de la variable T.

I.1 Fonction de dfaillance, fonction de fiabilit

Dfinition 1

On appelle fonction de dfaillance la fonction F dfinie pour tout t 0 par

F(t) = P(T t)

0 t x

y

F(t) y = f(x)

Le nombre F(t) reprsente la probabilit

quun dispositif choisi au hasard dans la po-pulation ait une dfaillance avant linstant t.On a galement F(t) = f(t).

On a alors : P(T t) = P(T > t) = 1 P(T t) = 1 F(t).Do la dfinition suivante :

Dfinition 2

On appelle fonction de fiabilit R dfinie pour tout t 0 par

R(t) = 1 F(t)

0 t

y

1

y = F(t)

y = R(t)

Le nombre R(t) reprsente la probabilitquun dispositif choisi au hasard dans la po-pulation nait pas de dfaillance avant lins-

tant t.



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I.2 Estimation

Dans la pratique, on ne connait pas (en gnral) les fonctions F et R. Dans ce cas, on peut, partir dtudesstatistiques, obtenir des estimations de F(t) et R(t) pour des valeurs de t donnes.

Exemple 1

On a mesur pour 20 micro-ondes du mme type le temps en heures coul avant la premire panne. On obtient :

Temps t [0; 500] ]500; 1000] ]1000;1500] ]1500;2000] ]2000;2500] ]2500;3000] ]3000;4000]

Nombre dappareils 7 4 3 2 2 1 1

On souhaite estimer les valeurs de la fonction F(t) suivant les valeurs de t.

On note ni le nombre de dispositifs dfaillants linstant ti et n leffectif total de lchantillon.on peut utiliser 3 mthodes :

Mthode des rangs bruts :

On calcule les valeurs de F grce la formule F(ti) =ni

n

Mthode des rangs moyens :

Avec la mthode prcdente, la probabilit quun dispositif nait pas eu de dfaillance linstant t = 4000est estime 0, ce qui dans la ralit nest pas forcment vrai. Pour remdier cette erreur, lorsque

lchantillon nest pas trs grand, on prend F(ti) =ni

n + 1

Mthode des rangs mdians :

Enfin, quand lchantillon est petit, on a prend F(ti) =ni 0, 3n + 0, 4

Pour notre exemple 1, on obtient le tableau suivant :

Instant ti 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000

Rangs bruts F(ti) 0, 35 0, 55 0, 70 0, 80 0, 90 0, 95 1

R(ti) 0, 65 0, 45 0, 30 0, 20 0, 10 0, 05 0

Rangs moyens F(ti) 0, 33 0, 52 0, 67 0, 76 0, 86 0, 90 0, 95

R(ti) 0, 67 0, 48 0, 33 0, 24 0, 14 0, 10 0, 05

Rangs mdians F(ti) 0, 33 0, 52 0, 67 0, 77 0, 87 0, 92 0, 97

R(ti) 0, 67 0, 48 0, 33 0, 23 0, 13 0, 08 0, 03



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I.3 Taux davarie instantan

Sur la courbe reprsentative de la fonction de dfaillance F, on sintresse la pente de la tangente pour uninstant t donn. (Cette pente est gale F(t).) :

Dfinition 3

On appelle taux davarie instantan linstant t le nombre (t) dfini pour tout t 0 par

(t) =f(t)R(t)

Remarque 1

Comme R(t) = 1 F(t), on montre facilement que lon a galement :

(t) = R(t)R(t) et (t) =

f(t)

1 F(t)

Les relations prcdentes permettent donc de trouver (t) si lon connat F(t) ou R(t).

Inversement, si lon connat (t), on peut obtenir R(t) et F(t) comme solutions des quations diffrentiellesdu premier ordre : R(t) + (t)R(t) = 0 et F(t) + (t)F(t) = (t).

On a alors : R(t) = e

t

0(x)dx et F(t) = 1 e

t

0(x)dx

On constate exprimentalement que, pour la plupart des matriels, la courbe reprsentative du taux dava-rie instantan t (t) a la forme donne par la figure ci-dessous. Elle est appele courbe en baignoire et comporte trois parties distinctes :

0

pannesprcoces vie utile

usure

gauche, la priode de dbutde fonctionnement, o le tauxdavarie instantan dcrot avecle temps, car les pannes prcoces

dues des dfauts de fabricationou de conception sont de moinsen moins nombreuses.

Au centre, la priode de maturit,ou vie utile , o le taux dava-rie instantan reste peu prs

constant ; pendant cette priode,les pannes paraissent dues au ha-sard.

A droite, la priode dusure, ole taux davarie instantan aug-mente avec le temps, car les

pannes sont dues lusure crois-sante du matriel.



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I.4 MTBF

Dfinition 4

On appelle Moyenne des Temps de Bon Fonctionnement (MTBF) lesprance mathmatique de lavariable alatoire T. On a donc

M T B F = E(T) =

+

0tf(t) dt

A lorigine, le sigle M T B F provient de lexpression Mean Time Between Failures qui signifie tempsmoyen entre deux dfaillances .

I.5 Fiabilit dun systme

Fiabilit dun systme mont en srie :

Pour un systme constitus de n composants monts en srie (le bon fonctionnement de chacun tantindpendant du bon fonctionnement des autres), on montre que lon a

R(T) =R1(t) R2(t) Rn(t)

o R1, R2, . . ., Rn sont les fonctions de fiabilits respectives des n composants. (En effet, le systme estdfaillant ds quun seul composant est dfaillant.)

Fiabilit dun systme mont en parallle :

Pour un systme constitus de n composants monts en parallles (le bon fonctionnement de chacun tantindpendant du bon fonctionnement des autres), on montre que lon a

F(T) =F1(t) F2(t) Fn(t)

o F1, F2, . . ., Fn sont les fonctions de dfaillances respectives des n composants. (En effet, le systme estfonctionnel ds quun seul composant est fonctionnel.)



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II Loi exponentielle

II.1 Fonction de fiabilit et de dfaillance

Dfinition 5La loi exponentielle est la loi suivie par la variable alatoire T lorsque le taux davarie est constant.Autrement dit, pour tout t 0, on a

(t) =

o est une constante relle strictement positive.

Cette loi concerne tous les matriels pendant une dure de leur vie (vie utile) et les matriels lectroniquespendant presque toute leur vie.

Proprit 1

o La fonction de fiabilit est dfinie pour tout t 0 par R(t) = et.

o La fonction de dfaillance est dfinie pour tout t 0 par F(t) = 1 et.

o La densit de probabilit de la variable alatoire T est dfinie pour tout t 0 par f(t) = et.

0

t0 t

y

F(t0)

R(t0)y = f(t)

Si la variable alatoire T suit une loi exponentielle de paramtre , alors on aura ln R(t) = t, et lareprsentation graphique de la courbe y = R(t) sur un papier semi-logarithmique sera une droite.

II.2 MTBF, cart-type

On admettra que, pour la loi exponentielle de paramtre , on a

M T B F = E(T) =1

On admet galement que lcart-type de la variable alatoire T est

(T) = 1

= M T B F


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