brochure apmep 183 mepp

Association des Professeurs deMathmatiques de lEnseignement PublicBrochure n183

Jacques Lubczanski, alias Tonton LuluIsabelle Lallier Girot, alias La Grande Zaza

Premire Edition, fvrier 2008

www.apmep.asso.fr

A.P.M.E.P. lAssociation des Professeurs de Mathmatiques

de lEnseignement Public 26 rue Dumril 75013 Paris

Tl. 01 43 31 34 05 fax : 01 42 17 08 77 mel : [email protected] http://www.apmep.asso.fr

Fonde en 1909, toujours dynamique, lAPMEP, cest : Une rflexion collective sur le mtier denseignant de mathmatiques et les condi-tions de son exercice, de la maternelle luniversit, notamment en collge et lyce ;

des interventions suivies sur lactualit et les projets moyen terme ;

des textes de base (chartes, problma-tiques, prospective bac, ) pour des objectifs long terme ;

un observatoire (EVAPM) de limpact des programmes du second degr ;

des publications de rfrence pour apprendre, enseigner, apprendre enseigner les mathmatiques (Bulletin vert, Plot, Brochures, )

une revue pour les dbutants : PLOT ;

une information rapide des adhrents : le BGV, un site internet, Publimath,

des instances lues dfinissant ses positions ;

une organisation dcentralise en Rgionales qui ont leurs activits propres et sont les relais entre lorganisation nationale et les adhrents de tous horizons.

LAPMEP agit : en runissant commissions et groupes de travail, sur des thmes varis, permettant aux adhrents de mettre en commun leur exprience et dlaborer critiques et propositions ;

en adoptant sa ligne daction en accord avec ses adhrents ;

en la dfendant auprs de toutes les ins-tances concernes.

LAPMEP propose ainsi : ses choix et des pistes daction ; des outils pour renforcer lefficacit de lenseignement de cette discipline.

LAPMEP organise des : journes nationales, chaque anne sur un site et un thme diffrents :

- 2006 : Clermont-Ferrand, Les mathmatiques, un volcan actif ?

- 2007 : Besanon : Le temps des mathmatiques, les mathmatiques dans leur temps

- 2008 : La Rochelle, Mathmatiques en construction.

rencontres rgionales ; sminaires et des universits dt

En adhrant lAPMEP, vous pourrez : participer la vie de lassociation et la dfinition des positions quelle dfend ; contribuer ses productions, les soutenir par la cotisation et toute implication plus pousse ; recevoir chez vous les informations dactualit sur les mathmatiques et leur enseignement ; bnficier de rductions importantes sur toutes les brochures quelle propose.

AVERTISSEMENT

La brochure que vous avez sous les yeux est une premire version du travail que nous proposons.

Elle contient 18 activits, et nous en avons encore une douzaine en chantier. Entre la conception,la rdaction, la saisie, les relectures, les critiques et les rcritures, chaque activit est le fruit dunetrentaine dheures de travail, en plus de notre labeur ordinaire denseignant de Lyce.

La demande pour ce type dactivits est forte et pressante, aussi avons nous prfr dlivrer unepremire fourne, plutt que dattendre que nous ayons eu le temps de tout peaufiner. De toutesfaons, un nonc nest jamais termin, ni parfait, car il dpend avant tout de lusage quen faitle professeur, et la disposition desprit de ses lves...

Les activits de cette brochure ont toutes t exprimentes, dune faon ou dune autre, auprsdlves et de professeurs, au cours des deux dernires annes. Mais elles ne sont pas rdes pourautant : en mettant aujourdhui ce travail votre disposition, nous souhaitons obtenir de votrepart des remarques et des critiques qui permettront de lamliorer. Un lien est prvu cet effet surle site de lA.P.M.E.P.

Enfin, nous allons continuer de travailler sur les noncs qui ne figurent pas encore dans cettebrochure, pour ltoffer dans une seconde dition que nous esprons publier dici la prochainerentre scolaire.

J. Lubczanski, I. Lallier-GirotCrteil, le 27 janvier 2008

A.P.M.E.P. Association des Professeurs de Mathmatiques de lEnseignement Public www.apmep.asso.fr3

MODE DEMPLOI EN HUIT QUESTIONSJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

1. Une brochure pour quoi faire ?Le but de ces activits est dintgrer dans nos squences pdagogiques habituelles des sances de travail pratique devantcran. Lide est de faire progresser les lves dans leur acquisition des notions du programme, en largissant la palette desactivits proposes par le professeur. Notre objectif va donc au del dune prparation spcifique une preuve pratique,qui ne posera pas de problme des lves ayant travaill les noncs de cette brochure .

2. Faire desmaths avec un ordinateur ?La dmarche exprimentale est le fondement de lactivit scientifique ; en mathmatiques, cette dmarche utilise au-jourdhui loutil logiciel. Le travail pratique fait partie de lactivit mathmatique ; il sappuie sur des notions thoriqueset demande rigueur et rflexion. Cette dmarche alterne des phases dobservation et dexprimentation et des phases deconjecture et de questionnement, faisant appel aux notions du cours : cest un travail dallers-retours pour formuler,mettre lpreuve et affiner une conjecture, quon ne cherchera dmontrer que lorsquelle aura t valide exprimentalement(voir schma page suivante).

3. Que contient cette brochure ?Cette brochure contient dix-huit activits portant sur des notions travailles en Seconde, en Premire S et en Terminale S.Chaque activit comporte des parties thoriques et des parties pratiques : les parties thoriques correspondent un travailsur papier et les parties pratiques un travail sur cran. Le travail de llve se fera en plusieurs temps et en plusieurs lieux :en classe/ la maison, en salle informatique/en salle banale.

4. Comment utiliser les noncs ?Pour chaque activit, nous avons rdig un nonc et une page du prof . Il y a deux sortes dnoncs : des noncs dtaills et directifs, o llve peut thoriquement avancer de faon autonome. La page du prof apporte

des remarques, des commentaires et des complments. des noncs ouverts, qui se rduisent la question pose, sans donner dindications : le professeur peut mener lac-

tivit en direct avec ses lves, loral. La page du prof propose alors un droulement pour mettre en pratique unedmarche de recherche, et est accompagne de la spirale du travail pratique, qui montre le travail sur la conjecture.

5. Quel travail rendre pour les lves ?Dans notre pratique, chaque nonc donne lieu un travail crit de llve, constitu de deux parties rendre ensembleou sparment selon les cas : un compte rendu des parties exprimentales, avec ventuellement des impressions sur papier.

Dans ce cas, il faut que le nom de llve apparaisse dans le fichier imprimer une rdaction des parties thoriquesAutrement dit, cest une volution de la forme et du contenu du devoir lamaison : certaines parties auront t travaillesen classe, et dautres cherches par llve de faon autonome.

6. Combien de fois dans lanne ?A titre indicatif, les instructions officielles prcisent quen Terminale S, les lves devraient utiliser un outil numrique enmaths environ une heure par quinzaine. Il nous semble raisonnable de prvoir entre 6 et 10 activits au cours de lanne,qui donneront lieu autant de devoirs la maison.Nous donnons en dbut dnonc une estimation de lampleur du travail : par exemple, lindication ampleur : 1 cor-respond une activit denviron une heure avec le prof, moduler en fonction de la faon danimer la sance et le travaildemand la maison.Les activits de cette brochure concernent la partie des programmes qui se prte le mieux des aspects numriques ; ilreste dautres parties, et dautres comptences sur lesquelles il faudra aussi donner des devoirs la maison.

7. Avec quels logiciels ?Pour que les lves puissent travailler chez eux, il faut quils puissent tous avoir un accs gratuit aux logiciels. Notre choixsest donc port de faonnaturelle sur des logiciels libres, gratuits etmultiplateformes, et plus prcisment surGogbra etle tableur dOpenOffice. Les noncs se rfrent ces deux logiciels, mais les activits peuvent videmment tre travaillessur dautres logiciels.

8. Quelles comptences logicielles ?Les comptences logicielles ncessaires pour mener bien les activits sont basiques : ce sont les traductions logiciellesdes notions mathmatiques. Cest trs simple avec un logiciel comme Geogebra, qui est conu pour la classe : on peutfacilement crer des variables laide de curseurs , faire tracer la tangente une courbe ... et on a simultanment sousles yeux les quations et les courbes. Cest un peu moins simple avec le tableur, conu au dpart pour la comptabilit etpas pour les maths. Mais l on nutilisera que les fonctions dj prsentes sur une calculatrice de base, plus le recopiagevers le bas et la cration de graphiques. Cot matriel, il est indispensable que le professeur dispose dun projecteur vidopour montrer en mme temps tous les lves les choses quil estimera ncessaires.


LE TRAVAIL PRATIQUE ENMATHSJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot


LES CONSEILS AVISS DE LA GRANDE ZAZAI. Lallier-Girot

LE TABLEUR ET LESMATHS

Le tableur est un puissant outil de calcul et de reprsentation graphique. Il permet deffectuer trs rapidement des calculsrptitifs, dobtenir facilement des courbes reprsentatives. Il permet denvisager des calculs et des graphiques impensables surpapier, et ouvre ainsi llve les champs de lobservation et de la conjecture.Cependant, le tableur na pas t conu au dpart comme un outil mathmatique, mais comme un outil dentreprise, pour crerdes documents comptables. Nous devons faire un effort dadaptation, et prendre quelques prcautions.

LES NOMBRES

Le nom officiel dune "case" est une "cellule". Le contenu et laffichage dune cellule sont deux choses diffrentes : le contenu dune cellule est ce quon y a saisi : un texte, un nombre ou une formule.

Une formule commence obligatoirement par le signe = laffichage d une cellule dpend de son "format" .

Dans une cellule o il y a une formule, cest le rsultat qui est affich.

Un nombre peut tre affich avec 15 chiffres significatifs, mais pas plus. Quand le tableur affiche des # la place des nombres, cenest pas une erreur de calcul mais daffichage : il ny a pas la place dafficher tous les chiffres. Il faut alors largir la colonne.Les nombres avec lesquels le tableur calcule peuvent tre assimils des dcimaux 16 chiffres. Onpeut dire que le tableur calculeen valeur approche, avec une prcision relative gale 1015. Comme pour la calculatrice, il sagit de calculs numriques, et pasde calculs sur les nombres rels des mathmaticiens.

FONCTIONS & VARIABLES

Il ny a pas de variable dans un tableur, il y a des cellules. Une opration ou une fonction sapplique au contenu dune ou plusieurscellules. On aura donc besoin de spcifier de quelles cellules il sagit laide de leurs "adresses". Ladresse dune cellule est lenumro de sa ligne et le numro de sa colonne : cest le nom de la cellule par dfaut. On peut dire que dans un tableur, ladressedune cellule joue le rle de la variable dans lexpression dune fonction.

Il est naturel de saisir "n" dans la premire cellule dune colonne o on va faire afficher les entiers naturels, et ensuite de saisir"n" dans les formules de calcul. Cela fonctionne dans certains tableurs. Cependant, nous prfrons que les lves shabituent rdiger les formules saisir avec les adresses des cellules plutt quavec un nom, parce que cest une comptence fondamentalepour utiliser un tableur en maths.

RECOPIAGE & RECURRENCE

Un des intrts du tableur en maths est la fonctionnalit de "recopiage". Pour pouvoir lutiliser, il faut savoir distinguer adresses"absolues", adresses "relatives" et adresses "mixtes".

Les adresses absolues sont celles qui resteront inchanges dans le recopiage.Elles sont caractrises par le symbole $, qui bloque la ligne, la colonne ou les deux la fois.

Les adresses relatives seront celles qui seront modifies et adaptes la cellule o on recopie.

Le recopiage peut se faire la souris, mais aussi par les menus ( Edition/Remplir dans OpenOffice ). Cest utile quand il sagit derecopier sur une trs grande plage de cellules. Par exemple, pour recopier dans la colonne B les entiers naturels de 1 jusqu 200 :

saisir "n" en B1, puis "1" en B2 et "= B2+1" en B3 slectionner B3 . Dans la "zone de nom" en haut gauche, modifier "B3" en "B3 : B201".

Validez : la plage est slectionne. slectionner dans la barre des menus Edition/Remplir/Vers le bas. Validez : le tour est jou !

Le tableur reconnat automatiquement le dbut de certaines listes, et en particulier le dbut de toute suite arithmtique, commecelle des entiers naturels. Nous prfrons ne pas faire appel cet automatisme, et demander systmatiquement aux lves desaisir la formule recopier, pour quils sachent ce quils sont en train de faire.

Il est intressant de remarquer que la recopiage vers le bas a quelque chose voir avec la rcurrence. Le fait de pouvoir recopiervers le bas jusqu nimporte quelle ligne est la transposition au tableur du principe de rcurrence : la premire ligne correspondau premier rang, la deuxime ligne la formule de rcurrence.

GRAPHIQUES & COURBES

Le type de graphique utilis le plus souvent sera le nuage de points, appel diagramme XY ou XY Dispersion dans OpenOffice,car cela correspond la notion de courbe reprsentative. Le repre utilis par dfaut ne sera pas orthonorm. Il nous sembleprfrable de shabituer observer des courbes en repre non orthonorm, plutt que de schiner le rendre orthonorm : lelogiciel nest pas fait pour a.

Le tableur affiche des courbes par points, et mme par pixels : il ne sagit pas dune courbe continue, mais cela nous donne sonallure, exactement comme la calculatrice, ou le trac la main. Les objets mathmatiques sont des abstractions pures ...


LES ATTENTIONS DE TONTON LULUJ.Lubczanski

GEOGEBRA ET LESMATHS

Le logiciel Geogebra, que nous prconisons, a t conu pour lenseignement des mathmatiques. Il intgre les objets et lesnotions que nous travaillons dans nos cours : sa prise enmain est facile et rapide, aussi bien pour un lve . . .que pour un profes-seur ! Il y a cependant des diffrences entre laffichage, le fonctionnement du logiciel et nos habitudes dcriture, nos habitudesde pense.

LES NOMBRES

En matire de calcul numrique, Geogebra na pas les performances dune calculatrice ou dun tableur. Par dfaut, il affiche lesnombres avec deux dcimales, et on peut rgler laffichage jusqu 5 dcimales. Cest bien suffisant pour le travail que nous avons faire avec nos lves.

DansGeogebra, tout objet saisi a un nom : si vous ne donnez pas de nom lobjet que vous crez aumoment de la saisie, le logiciellui en donnera un et laffichera. Vous pouvez changer ce nom aprs coup par la commande Renommer.

ATTENTION : le sparateur pour les dcimales dun nombre nest pas une virgule mais un point.

POINTS & VECTEURS

Si vous saisissez deux coordonnes entre parenthses, spares par une virgule, vous crez un point. Pour lui donner un nom aumoment de sa cration, il faut utiliser une lettremajuscule. Si vous utilisez uneminuscule,Geogebra cre alors un vecteur. Si vousmettez un point virgule entre les coordonnes dun point ou dun vecteur, ce seront alors des coordonnes polaires.

ATTENTION : le sparateur entre les coorodonnes nest pas un point virgule mais une virgule.

FONCTIONS

Les fonctions se saisissent avec la variable x, en minuscules. Si vous tapez lexpression algbrique de la fonction sans la nommer,Geogebra la nommera automatiquement. On peut donner des noms avec des indices en utilisant le tiret bas, comme dans f_1, quisaffichera f1. Geogebra accepte les expressions usuelles des traitements de texte mathmatique comme sqrt pour la racine carr,ou laccent circonflexe pour saisir un exposant.

Geogebra possde un objet particulier : le "curseur", qui correspond notre notion de variable. Il sagit dun nombre prenant desvaleurs entre deux bornes fixes , avec un certain pas. Cela permet de faire varier un nombre pour observer comment varient lesobjets qui en dpendent. Lutilisation la plus simple dun curseur a est de crer un point M de coordonnes (a, f(a)), o f est unefonction quon tudie : bouger le curseur fera se dplacer le point M sur la courbe reprsentative de la fonction f. Si la fonction at dfinie gomtriquement, on a lallure de sa courbe sans passer par son expression algbrique.

ATTENTION : Un curseur ne peut pas sappeler x.

COURBES

Saisir "y=x+3", ou "d : y=x+3" dfinit une droite par son quation, mais pas une fonction. De mme saisir "y=x2", ou "p : y=x2"dfinit une parabole, mais pas la fonction carr. Cependant, les saisies "y=1/x" et "h : y=1/x" dfinissent toutes deux la fonctioninverse ! Pour dfinir lhyperbole en tant que courbe, il faut saisir "h : y*x=1".

En cas de doute, ouvrez la fentre Proprits, par clic droit ou dans le menu Editer : vous trouverez le statut de tous les objetscres, et vous pourrez agir sur chaque objet ou sur une catgorie dobjets. Vous y trouverez aussi les lieux gomtriques cres, quinapparaissent pas dans la fentre Algbre.

ATTENTION : la fonction et sa courbe reprsentative sont le mme objet et ont le mme nom.

OBJETS AUXILIAIRES

Au del de la catgorie mathmatique laquelle appartient chaque objet, Geogebra possde trois catgories logiques : les Objetslibres, les Objets dpendants et les Objets auxiliaires, qui saffichent dans trois dossiers de la fentre Algbre. Le dossier Objets auxi-liaires peut tre affich ou non, et on peut y mettre nimporte quel objet : lide est dy mettre tout ce qui na plus besoin dtreaffich dans la fentre Algbre, et de refermer le dossier, ou de le dsafficher, pour ne pas encombrer laffichage. Pour transformerun objet en objet auxiliaire, on passe par longlet Algbre de la fentre Proprits.

APPELS AU SECOURS

Geogebra fait partie de lunivers du logiciel libre. Dans cet univers, on nest jamais tout seul, et en cas de problme, il suffit dallersur le site http ://www.geogebra.org/ o il y a des forums dutilisateurs qui changent leurs savoirs faire et se dpannent les uns lesautres . . .


TABLE DES MATIRESJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Lgende :

PO : page de lnonc type "problme ouvert"TP : page de lnonc dtaill de lactivitSP : page de la "spirale du travail pratique"PP : page de la "page du prof"

TEXTES FAISANT APPEL DES NOTIONS DE LA CLASSE DE SECONDE

PO TP PP SP

Intermezzo - 10 11 -

Une fonction dfinie par la gomtrie 12 - 13 -

Paire + Impaire = ? - 15 16 -

La ballade de linverse - 17 18 -

TEXTES FAISANT APPEL DES NOTIONS DE LA CLASSE DE PREMIRE

PO TP PP SP

A la mode hongroise 20 21 22 23

Un exercice de 1914 24 25 26 27

Diamtres conjugus/parabole 28 29 32 33

Diamtres conjugus/hyperbole 30 31 32 34

Ajustement parabolique - 35 36 -

Ajoutez vos vibrations - 37 38 -

Points en croix 39 40 41 42

TEXTES FAISANT APPEL DES NOTIONS DE LA CLASSE DE TERMINALE

PO TP PP SP

Une suite presque gomtrique 44 45 46 47

Et pourtant ils tournent ! 48 - 49 -

Les trois moyennes - 51 52 -

Rencontre avec une fonction remarquable - 53 54 -

La tasse de caf - 55 56 -

Tangentes la courbe exponentielle - 57 58 -

Une quation transcendante 59 - 60 61

Sommation par paquets - 62 63 -


ENONCS METTANT EN JEUDES NOTIONS DU PROGRAMME DE

S E COND E

Les noncs qui suivent peuvent tre poss aussi bien en Seconde quen Premire ou en Terminale.

Selon la classe et la priode de lanne scolaire, lobjectif sera lacquisition, le renforcement ou la vrifi-cation des notions mises en jeu. La dure de lactivit et le partage entre travail en classe et travail lamaison sont aussi des variables ajuster en fonction de la classe..


INTERMEZZOJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Lobjet de ce travail est dobserver, de conjecturer puis de dmontrerune proprit classique des mdianes dans un triangle quelconque.

Dans le travail ci-dessous, le termemdiane dsigne le segment qui joint un sommet au milieu du cot oppos.

A - TRAVAIL DEVANT ECRANOuvrez une figure Geogebra.

1. Le primtre du triangleConstruisez un triangle ABC : le logiciel affiche les longueurs de ses cots, et son aire.Crez le primtre p du triangle ABC.

2. La somme desmdianesConstruisez les milieux D, E et F des cots du triangle, puis ses mdianes : le logiciel affiche leurs longueurs.Crez la somme s des longueurs des mdianes.

3. Amlioration de laffichageOuvrez la fentre Proprits, et utilisez longlet Algbre pour transformer en objets auxiliaires les points D, E et F,les longueurs des cots et des mdianes, ainsi que laire du triangle.Fermer le dossier Objets auxiliaires : il ne doit rester que p et s dans le dossier Objets dpendants.

4. Observations et conjectureEn dplaant un de ses sommets, faites varier la forme du triangle ABC, et observez comment varient s et p.Quelle conjecture pouvez-vous faire ?

5. Travail sur la conjectureCrez le nombre t = s/p.Faites nouveau varier la forme du triangle ABC, et observez entre quelles limites le nombre t varie.Quelle conjecture pouvez-vous faire ?

B- TRAVAIL SUR PAPIERSur une feuille de papier, tracez un triangle ABC, puis les milieux de D, E et F des cots [AB], [BC] et [CA],et enfin les mdianes [AE], [BF] et [CD].

1. Majorations

a. Quelle relation existe-t-il entre les longueurs AB et AD ? Entre BC et BE ? Entre CA et CF ?

b. Dans le triangle ABE, utilisez lingalit triangulaire pour majorer AE.Utilisez la mmemthode pour majorer BF et CD.

c. En ajoutant membre membre les trois majorations obtenues, quelle majoration du rapport t = s/p arrivez-vous ?

d. Est-ce que ce rsultat est conforme votre conjecture ?

2. MinorationsOn note G le point de concours de mdianes : cest le centre de gravit du triangle.

a. Quelle relation existe-t-il entre les longueurs AG et AE ? Entre BG et BF ? Entre CG et CD ?

b. Dans le triangle ABG, utilisez lingalit triangulaire pour minorer AB.Utilisez la mmemthode pour minorer BC et CA.

c. En ajoutant membre membre les trois minorations obtenues, quelle minoration du rapport t = s/p arrivez vous ?


3. Nouvelles majorations

a. Soit L le point tel que CABL soit un paralllogramme.Dans le triangle ABL, utilisez lingalit triangulaire pour majorer AL.Quelle relation existe-t-il entre BL et AC ? Entre AL et AE ?En dduire une majoration de AE.

b. Soit M et N les points tels ABCM et BCAN soient des paralllogrammes.Utilisez la mmemthode pour obtenir une majoration de BF et de CD.

c. En ajoutant membre membre les trois majorations obtenues, quelle majoration du rappport t = s/p arrivez-vous ?



INTERMEZZOJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

La page du profLongueurs dans le triangle Ampleur : 1Ingalit triangulaire Geogebra

A - TRAVAIL DEVANT ECRAN

Le travail propos ici sur Geogebra peut aussi se faire avec un autre logiciel de gomtrie :on a besoin de faire varier la forme dun triangle, et dafficher des longueurs et leur somme.

Amlioration de laffichageOn utilise ici une modalit spcifique Geogebra : la fentre Objets Auxiliaires, qui est une espce de fourre-tout o on peutplacer tout ce qui ne sert plus rien. Ensuite, on ferme ce dossier (en cliquant dessus), et on na plus sous les yeux que cequi nous intresse. Pour ceux que a nintresse pas de faire le mnage dans la fentre Algbre, o qui prfrent fermer cettefentre dans une activit de gomtrie, on peut aussi crer et afficher un texte o on collera les nombres s, p et t.

Observations et conjecturesNous sommes ici dans une phase de travail exprimental, o llve dispose dune certaine libert de mouvement ... lasouris. Au cours de lexprimentation, la question va se poser de savoir si un triangle reste un triangle quand ses sommetssont aligns : cest un cas limite que nous appellerons "triangle dgnr", mais triangle quandmme, car les trois sommetscontinuent dexister. Le passage du "vrai" triangle au triangle "dgnr" se fait de faon quasi continue la souris, sansposer de problme existentiel aux lves. Limportant est davoir unmot pour en parler, pas de "pinailler" sur une dfinition.

La premire observation est que s reste toujours plus petit que p, mais jamais de beaucoup. Une fois cette constatation faitepar lensemble des lves, il faut affiner cette conjecture, et lui donner un aspect plus quantitatif : on cre le rapport t = s/p.On peut alors remarquer que la taille du triangle nintervient pas dans la valeur du nombre t : pour un triangle deux fois plusgrandmais de mme forme, s et p seront deux fois plus grands et le rapport t restera le mme. Il ny a donc plus que la formedu triangle qui compte.

Pour animer la recherche, on peut proposer des dfis : qui aura la plus grande valeur de t ? La plus petite ? Une notion intres-sante explorer est celle des formes extrmes que peut prendre le triangle, dont on peut penser intuitivement quelles vontamener des valeurs extrmes pour le rapport t.

B- TRAVAIL SUR PAPIER

Pour cette partie du travail, il nous semble important que llve fasse leffort de refaire la figure sur papier. Cette figure napas besoin dtre trs soigne, ni trs exacte : cest un support pour raisonner, pas un but en soi. Elle pourrait tre faite mainleve, avec des lves quon aurait habitu cette pratique ...

Dans chacune des trois questions, on va utiliser la mmemthode : on applique trois triangles analogues lingalit triangulaire :

dans un triangle, un cot est toujours plus court que la somme des deux autres. on ajoutemembre membre les trois ingalits obtenues, et on obtient une ingalit o interviennent neuf longueurs. on utilise des galits entre longueurs pour faire apparatre s et p, puis t dans lingalit obtenue.

La premire majoration de t utilise les points de la figure, sans avoir besoin den construire de nouveaux. Elle nest pas lameilleure possible, mais cest le moment dexpliquer que cest un rsultat thorique dmontr par le raisonnement : cetitre, cette majoration est valable pour tous les triangles possibles, passs, prsents et futurs, pour les triangles quon a djtrac et pour ceux quon na pas trac, pour tous les triangles quon peut imaginer ...

La minoration de t passe par la centre de gravit du triangle : ce point tait dj prsent sur la figure, mais il navait pasencore t nomm. La valeur obtenue est la meilleure possible. Pourtant le rapport t natteint jamais 0,75 pour un "vrai"triangle, cest--dire avec trois sommets non aligns. La valeur 0,75 sobtient pour un triangle "dgnr" o C est au milieude [AB]. Cest le cas limite dun triangle isocle o le sommet tend vers le milieu de la base. Nous avons choisi de travailleravec des ingalits larges, ce qui inclut les cas des triangles dgnrs.

La seconde majoration ncessite la construction de nouveaux lments. Mais avec les paralllogrammes, nous restons dansles objets de la gomtrie lmentaire connus des lves. La valeur obtenue est la meilleure : l encore, elle nest obtenuepour aucun "vrai" triangle, mais pour un triangle "dgnr" o les sommets B et C sont confondus. Cest le cas limite duntriangle isocle o les deux sommets de la base tendent lun vers lautre.


UNE FONCTION DEFINIE PAR LA GEOMETRIEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Dans un repre orthonorm, on considre le point P ( 3 ; 2 ).

Soit Q un point quelconque de laxe des abscisses.On construit le point R o la droite (PQ) recoupe laxe des ordonnes.

On note x labscisse du point Q, et y lordonne du point R.On demande dtudier la fonction f : x y



La page du profEtude lmentaire de fonction Ampleur : 1Tableau de variation ; courbe reprsentative Geogebra

La question est pose de faon ouverte, sans nonc dtaill : nous proposons ci-dessous un droulement possible de la sance.La correspondance gomtrique Q 7 R sappelle une projection centrale, de centre P, de la droite (Ox) sur la droite (Oy).En gomtrie, la projection centrale fait partie de la famille des homographies,

do le nom de fonction homographique donn la fonction associe : x 7 ax+bcx+d

Nous donnons la page suivante dautres exemples de fonctions homographiques dfinies partir dune situation de gomtrie lmentaire, et qui peuvent tre lobjet dun travail analogue.

1 - LES ETAPES DU TRAVAIL PRATIQUE

A - TABLEAUDE VARIATION

1. Figure et observationsOn construit une figure dans Geogebra, on fait varier le point Q et on observe comment varie le point R :ils varient "en sens inverse" par rapport lorigine.On peut remarquer que si Q est lorigine, alors R est aussi lorigine, et que si Q a pour abscisse 3,il ny pas de point R car la droite (PQ) est parallle laxe (Oy).Pour tre plus prcis, on observe dans la fentre algbre, comment varie lordonne de R. On peut alors faire un pre-mier tableau de variations issu de lobservation : la fonction nest pas dfinie pour x = 3, et est toujours dcroissante( dans les ngatifs, on est plus petit quand on est plus grand en valeur absolue ... ).On indiquera les bornes effectivement observes, et pas des infinis.

2. Premire conjectureMettre des limites dans le tableau de variation relve dune premire conjecture : cest le moment de le dire.Pour mettre lpreuve cette conjecture, on pousse le point Q au del des bornes observes : soit en rtrcissant lunit du repre et en bougeant Q la souris soit en dfinissant un curseur q entre des bornes convenables, puis le point Q =(q,o) :on pilote alors le dplacement du point Q par le curseur, mme sil nest plus visible lcran.

B - COURBE REPRESENTATIVE

1. Construction et observationPour faire apparatre des points de la courbe reprsentative, on rinvestit les connaissances du cours :on dfinit M = (x(Q) ; y(R)), et on active sa trace. Faire varier le point Q amne alors lallure de la courbe qui confirmele tableau de variation observ.

2. Asymptotes : conjecture et mise lpreuveLa courbe semble avoir deux asymptotes, dont on peut conjecturer la position. Question : quelle est leur quation ?Rponse x = 3 et y = 2. On les construit pour avoir une confirmation. On utilise la fonction "lieu" pour amliorer laconfirmation (mettre le lieu en rouge pour le distinguer).

C - EXPRESSIONDE LA FONCTION

On se limite dans cette partie x 3.1. Construction et observation

On construit le rectangle MSPT de diagonale [MP], et de cots parallles aux axes :pour cela on cre les points S =(3,y(M)) et T=(x(M),2), puis le rectangle MSPT.On observe laire de ce rectangle lorsque le point Q varie. :cette aire semble constante, et gale 6 units ; ce sera notre nouvelle conjecture.

2. Calcul de lexpressionLaire est gale au produit (x3) (y 2). Daprs notre conjecture, cela vaut 6.On en dduit lexpression : y = 2+ 6

x3 =2x

x33. Mise lpreuve

On construit la courbe reprsentative de cette fonction et on observe si elle concide avec le lieu de M (changerlpaisseur de la courbe pour la voir superpose au lieu). Cest le cas, do la validation exprimentale de lexpressionde la fonction. En plus, il semble que cette expression soit valable pour toutes les valeurs de x, et pas seulement pourx 3.



Suite de la page du prof

2 - VERS UN TRAVAIL THEORIQUE

Le travail thorique passe par lapplication du thorme de Thals, en distinguant trois cas de figure selon que x est ngatif,compris entre 0 et 3 ou suprieur 3. Il permet de dmontrer que lexpression de la fonction est bien celle laquelle abouti letravail pratique.

3 - AUTRES EXEMPLES : TROIS FONCTIONS AUTOURDUNDEMI CERCLE

Les trois exemples ci-dessous partent de la mme configuration gomtrique :un demi cercle et ses tangentes aux extrmits dun diamtre.Chaque construction associe un point M dune des tangentes un point de lautre tangente.

Les trois fonctions obtenues sont de la forme x 7 ax. Elles sont multiples lune de lautre car BS = 2 BQ et BQ = 2 BP.

Le travail gomtrique est lmentaire : il y a de nombreux triangles rectangles, et de nombreuses galits entre les angles.On peut organiser un travail collaboratif, chaque groupe ou chaque lve travaillant sur une des fonctions,avec des temps de mise en commun et des temps de synthse.

On considre un demi-cercle de diamtre [AB],et les deux demi-droites [Ox) et [Oy) qui lui sont tangentes en A et en B.

Si M est un point de [Ox), on dfinit : le point R o la droite (MB) coupe le demi-cercle le point S o la droite (AR) recoupe la demi-droite [Ox)

On pose x= AM et y=BS, et on demande dtudier la fonction x y


Si M est un point de [Ox), on dfinit : le point de contact T de la tangente au demi-cercle issue de M le point P o cette tangente recoupe la demi-droite [Ox)

On pose x= AM et y=BP, et on demande dtudier la fonction x y


Si M est un point de [Ox), on dfinit : le point de contact T de la tangente au demi-cercle issue de M le point Q o la droite (AT) recoupe la demi-droite [Ox)

On pose x= AM et y=BQ, et on demande dtudier la fonction x y


PAIRE + IMPAIRE = ?J. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Il y a les fonctions paires, comme x 7 x2, les fonctions impaires, comme x 7 1/x.Mais une fonction peut tout fait tre ni paire, ni impaire, et cest mme ce qui arrive la plupart du temps !

Lobjectif de ce travail est de montrer sur un exemple comment une fonction quelconque peut se ramener la somme dune fonction paire et dune fonction impaire.

A - La fonction h

On considre la fonction h, dfinie pour x 6= 1, par h(x)= 11x .

TRAVAIL SUR PAPIERPouvez vous trouver une valeur de x telle que h(x)= h(x) ?Telle que h(x) 6= h(x) ? Telle que h(x) nexiste pas ?La fonction h est-elle paire ? Est elle impaire ?

B - Les fonctions p et i

Pour x 6= 1 et x 6= 1, on dfinit partir de la fonction h deux fonctions p et i de la faon suivante :p(x)= h(x)+h(x)

2et i (x)= h(x)h(x)

2TRAVAIL DEVANT CRANOuvrez une figure Geogebra.

1. Saisissez la fonction h : sa courbe reprsentative apparat.

2. Saisissez p(x)= h(x)+h(x)2

Mettez la courbe en couleur : quelle symtrie observez-vous ?Quelle proprit de la fonction p pouvez-vous conjecturer ?

3. Saisissez i (x)= h(x)h(x)2

Mettez la courbe en couleur : quelle symtrie observez-vous ?Quelle proprit de la fonction i pouvez-vous conjecturer ?

TRAVAIL SUR PAPIER

1. Calculez lexpression algbrique de p(x) en fonction de x.Pouvez vous en dduire la symtrie observe pour sa courbe reprsentative ?

2. Calculez lexpression algbrique de i (x) en fonction de x.Pouvez vous en dduire la symtrie observe pour sa courbe reprsentative ?

C - La fonction s

Pour x 6= 1 et x 6= 1, on dfinit partir des fonctions p et i la fonction s par : s(x)= p(x)+ i (x)TRAVAIL DEVANT CRANRevenez la figure Geogebra.

1. Faites apparatre la courbe reprsentative de la fonction s. Quobservez-vous ?

2. A quelle conjecture conduisent vos observations ?

TRAVAIL SUR PAPIER

1. Calculez lexpression algbrique de s(x) partir de celles de p(x) et i (x).

2. Pour x 6= 1 et x 6= 1, quelle relation pouvez vous en dduire entre les fonctions h, p et i ?3. Les fonctions p et i sappellent la partie paire et la partie impaire de la fonction h : pourquoi ?

D - Une autre fonction

TRAVAIL SUR PAPIER ET DEVANT CRAN

On considre la fonction g dfinie sur pour x 6= 2 et x 6= 2 par g (x)= 12x +

4

2+x .Trouvez une fonction paire et une fonction impaire dont g est la somme.Vrifiez votre rsultat en construisant leurs courbes reprsentatives.


PAIRE + IMPAIRE = ?J. Lubczanski, I. Lallier-Girot

La page du profParit et imparit dune fonction Ampleur : 1Courbe reprsentative Geogebra

La correspondance entre une fonction et sa courbe reprsentative est une notion quon travaille tous les niveaux du Lyce, aupoint que la courbe devient limage que nous nous faisons de la fonction : au tableau, le professeur montre la courbe mais cestde la fonction quil est en train de parler ! Face au concept trs abstrait de fonction numrique, il est normal et profitable de saisirloccasion de le reprsenter par un dessin.

Un logiciel commeGeogebrapermet de travailler enmme temps sur les aspects algbriques et graphiques : cest un outil prcieuxpour mettre en vidence la correspondance entre une fonction sa et courbe. Toutefois, il faut savoir que pour le logiciel, fonctionet courbe sont le mme objet, dsign par la mme lettre : dans le travail pratique fonction et courbe ne font plus quun !

Lnonc propose un travail sur la parit et limparit des fonctions, et en particulier sur la proprit :

toute fonction peut scrire comme la somme dune fonction paire et dune fonction impaire.

A - La fonction h

Nous savons que face des proprits prsentes ensemble comme "paire"/"impaire" ou bien "arithmtique"/"gomtrique",les lves ont naturellement tendance penser que toute fonction est soit paire, soit impaire, ou bien que toute suite est soitarithmtique, soit gomtrique. La premire question est loccasion de parler de fonction paire et de fonction impaire, et desapercevoir que la fonction h nest ni lun ni lautre, en exhibant des valeurs de x qui forment un contre-exemple.Remarquons au passage quune fonction ne peut-tre paire ou impaire que si son domaine de dfinition est "symtrique" parrapport 0 : la fonction h, dfinie sur R\ {1}, ne peut donc pas a priori tre paire ni impaire.Mais le but de cette partie tait dabord de manipuler les expressions h(x) et h(x) quon retrouvera dans la suite de ce travail.B - Les fonctions p et i

Nous prfrons commencer par une approche graphique directe des fonctions p et i , plutt que par leur expressions algbriques,dautant que le calcul de ces expressions de p(x) et i (x) nest pas ncessaire pour tracer leurs courbes reprsentatives.

En effet, si la fonction h est dj dfinie, en saisissant directement p(x)= h(x)+h(x)2

et i (x)= h(x)h(x)2

,

on obtient les courbes reprsentatives de p et de i , et on peut observer leurs symtries.

Lors de la phase suivante de travail sur papier, le calcul des expressions p(x)= 11x2 et i (x)=

x

1x2permet de dmontrer que p est paire, et que i est impaire, ce qui explique les symtries observes.

On pourrait dmontrer ces proprits de p(x) et i (x) directement sous la forme p(x)= h(x)+h(x)2

et i (x)= h(x)h(x)2

Mais cela nous semble trop thorique, et fait perdre tout lintrt du travail sur lexemple de la fonction h.

C - La fonction s

La fonction s(x) concide avec la fonction h(x). Lobservation de la concidence des courbes est intressante : "Je narrive pas faire apparatre la courbe de la fonction s ! Ca ne marche pas ! ". Cela peut tre loccasion de montrer comment on peut colorer etpaissir une courbe, pour voir les deux courbes en mme temps, la plus fine par dessus la plus paisse.

Il sagit ensuite de comprendre la correspondance entre les courbes et les fonctions, et de dmontrer ce quon a observ.

A nouveau, on pourrait additionner directement p(x) et i (x) sous la forme p(x)= h(x)+h(x)2

et i (x)= h(x)h(x)2

,

mais nous nen sommes pas partisans, pour les mmes raisons que ci-dessus.On repart donc des expressions algbriques de p et i , et une simple identit remarquable permet alors de retrouver h(x).

D - Une autre fonction

Cette partie donne loccasion de vrifier si les lves ont compris ce quils ont fait avec la fonction h, et sils sont capables de fairela mme chose avec une autre fonction.

Pour calculer la partie paire et la partie impaire de g , on na pas besoin de rduire au dnominateur commun lexpression de g (x).

Par exemple dans le calcul de p, on aura simplement : g (x)+ g (x)=(

1

2x +4

2+x +1

2+x +4

2x)=

(5

2x +5

2+x)= 20

4x2


LA BALLADE DE LINVERSEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

La courbe reprsentative de la fonction f dfinie par f (x)= 1xsappelle une hyperbole.

On va sintresser limage de cette hyperbole par une translation.La translation ne change pas la forme des objets : limage dune hyperbole par une translation sera une nouvelle hyperbole.Ce sera la courbe reprsentative dune nouvelle fonction : la question pose ici est de dterminer cette nouvelle fonction.

A - UNE PREMIEREMETHODE

On considre la translation de vecteuru =i +3j .

TRAVAIL DEVANT CRANOuvrez une figure Geogebra.

1. Construction

a. Dans le champ de saisie, tapez f (x)= 1/x : la courbe reprsentative de la fonction f apparat.b. Crez le vecteur

u de coordonnes (1,3).

Crez un point A sur la courbe.

Construisez limage A de A par la translation de vecteuru .

Faites varier A sur la courbe de f , pour vrifier votre construction :A doit dcrire une courbe de mme forme que celle de A.

2. Observation

a. Tracez le lieu des points A lorsque A varie : cest limage par la translation de la courbe reprsentative de f .Renommez ce lieu H, et coloriez le.

b. Soit B le point de H dabscisse 3 : quelle est son ordonne ?Soit D le point de H dabscisse -3 : quelle est son ordonne ?

TRAVAIL SUR PAPIER

On suppose que H est la courbe reprsentative dune fonction h dont lexpression est de la forme : h(x)= a+ 1x+b .

1. Quelle galit pouvez vous crire sachant que B est sur cette courbe ?Quelle galit pouvez vous crire sachant que D est sur cette courbe ?

2. En soustrayant membre membre ces deux galits, calculez la valeur de b2, puis les valeurs possibles de b.

3. Dterminez lexpression algbrique de h(x).

TRAVAIL DEVANT CRANRevenez votre figure Geogebra.

1. Tracez la courbe reprsentative de h

2. Est-ce que cette courbe confirme lexpression algbrique que vous avez obtenue pour h(x) ?

B - UNEDEUXIEMEMETHODE

On considre prsent la translation de vecteurv =i +4j .

On note G limage par cette translation de la courbe reprsentative de f ,et on cherche la fonction g dont G est la courbe reprsentative.

TRAVAIL SUR PAPIER

1. Soit A un point de la courbe la courbe reprsentative de f .Quelle relation y a-t-il entre labscisse x et lordonne y de A ?

2. Soit A limage de A par la translation de vecteurv .

Quelles relations y a-t-il entre les coordonnes (x ; y ) de A et celles de A ?3. Utilisez toutes les relations prcdentes pour obtenir y en fonction de x .

En dduire lexpression algbrique g (x) de la fonction g .

TRAVAIL DEVANT CRANOuvrez une nouvelle figure Geogebra.

1. Tracez les courbes reprsentatives de la fonction f et de la fonction g

2. Placez un point A sur la premire courbe, et le point A correspondant.

3. Faites varier le point A : quelle est la trajectoire du point A ?Est-ce que cela confirme le rsultat de vos calculs ?


LA BALLADE DE LINVERSEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

La page du profFonction inverse et translation Ampleur : 1Courbe reprsentative Geogebra

On construit limage par une transformation simple, de la courbe reprsentative de la fonction inverse.On cherche ensuite quelle est lexpression algbrique de la fonction ainsi reprsente.Le travail propos dans ce texte se fait avec une translation. Il est galement possible de le faire faire avec une symtrie centrale.Nous avons choisi dutiliser la dfinition dune courbe reprsentative comme ensemble des points (x; f (x)), car cela nous sembleune notion fondamentale pas toujours bien matrise par les lves.Il serait possible de trouver plus rapidement lexpression algbrique cherche en observant les asymptotes, mais cela nous sem-blerait plus appropri pour des lves de Premire.

Pour trouver lquation de la nouvelle courbe deux mthodes sont proposes.

A - UNE PREMIEREMETHODE

Cette premire mthode consiste construire la courbe H comme lensemble des images des points de la courbe de la fonctioninverse. Pour trouver lexpression algbrique de la fonction, on utilise la lecture des coordonnes de deux points B et D de lacourbe H.

TRAVAIL DEVANT CRAN

1. Construction Pour matrialiser les positions du point A, nous proposons que les lves activent la trace de ce point. Onpourrait aussi crer son lieu gomtrique, mais cela nous loignerait de la vision "un point de la courbe de f a pour imageun point de la courbe H".

2. Observation Pour simplifier les calculs on demande la lecture de points dont les abscisses sont opposes et dont lordonnea une valeur simple et clairement lisible.

TRAVAIL SUR PAPIER

Au niveau Seconde, nous avons choisi de donner la forme de lexpression algbrique de la fonction h : h(x)= a+ 1x+b .

Le travail sur papier permet de rinvestir le fait que si un point est sur la courbe reprsentative de h,alors ses coordonnes vrifient y = h(x).La diffrence des deux galits amne 0,75= 6

b29 , ce qui entrane b2 = 1.

La fin de la rsolution permettra de choisir lune ou lautre des solutions pour b.

TRAVAIL DEVANT CRANCe retour sur cran permet de vrifier que la fonction obtenue a bien pour courbe reprsentative la courbe trace prcdemment,en remarquant que les deux courbes se superposent.

B - UNEDEUXIEMEMETHODE

Cette deuximemthode, est la mthode "classique" de changement de repre.On na pas besoin de donner la forme gnrale de lexpression algbrique de la fonction cherche.

Cette fois le travail sur papier prcde le travail devant cran, qui en sera une confirmation exprimentale.

On fait ce travail sur un autre exemple, avec la translation de vecteurv =i +4j .

TRAVAIL SUR PAPIEROn utilise le lien entre les coordonnes dun point et de son image par la transformation propose,et le fait que le point de dpart est sur la courbe de la fonction inverse.

Le passage de la relation y = f (x) y = y +4= f (x+4)= f (x 1)+4 conduit g (x)= 1x1 +4.

On peut ici faire remarquer la dcomposition en fonctions de rfrence de la fonction g .

TRAVAIL DEVANT CRANLe travail se termine par la validation visuelle de lexpression obtenue, le travail de llve est de comprendre que si le lieu de pointet la courbe reprsentative de g sont confondus, son travail thorique est confirm exprimentalement.


ENONCS METTANT EN JEUDES NOTIONS DU PROGRAMME DE

P R EM I E R E

Les noncs qui suivent peuvent tre poss aussi bien en Premire quen Terminale.

Selon la classe et la priode de lanne scolaire, lobjectif sera lacquisition, le renforcement ou la vrifi-cation des notions mises en jeu. La dure de lactivit et le partage entre travail en classe et travail lamaison sont aussi des variables ajuster en fonction de la classe..


A LA MODE HONGROISEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Lide du travail ci-dessous provient dun manuel scolaire de mathmatiques hongrois :"Matematikai fogalmak, ttelek" ( Hajnal Imre, Szeged, 1997 ).

On note un la somme des entiers de 1 n, et vn la somme des carrs des entiers de 1 n :

un = 1+2+3+ . . . +n ; vn = 12+22+32+ . . . +n2

Observez et tudiez la suite des quotients wn = vnun

.

Pouvez-vous en dduire lexpression de vn en fonction de n ?



Lide du travail ci-dessous provient dun manuel scolaire de mathmatiques hongrois :"Matematikai fogalmak, ttelek" ( Hajnal Imre, Szeged, 1997 ).

On note un la somme des entiers de 1 n, et vn la somme des carrs des entiers de 1 n :

un = 1+2+3+ . . . +n ; vn = 12+22+32+ . . . +n2

Lobjectif de ce travail est dobserver et dtudier la suite des quotients wn = vnun

,pour en dduire lexpression de vn en fonction de n.

A -MISE EN PLACEDUCALCUL

1. Ouvrez une nouvelle feuille de classeur. Crer cinq colonnes, intitules : n, u, n2, v et w .

2. La ligne sous les enttes correspondra n = 1 : saisir les valeurs correspondantes dans chacune des colonnes.3. Dans la ligne suivante, saisir les formules qui permettront dobtenir par recopiage vers la bas

les valeurs successives de n , un , n2 , vn et wn . Recopier vers le bas jusqu n = 20.

B - OBSERVATIONS ET CONJECTURES

1. Ecriture dcimale de wn

a. Observez les valeurs obtenues pour wn : quest-ce qui est remarquable ?

b. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur lcriture dcimale des nombres wn ?

c. Recopiez plus loin vers le bas : votre conjecture reste-t-elle valable ?

2. Nature de la suite wn

a. Crez un graphique reprsentant wn en fonction de n.

b. Quelle allure a ce graphique ? A quel type de suite cela correspond-il ?Quelle conjecture pouvez-vous faire sur la nature de la suite wn ?

c. Quelle nouvelle colonne pouvez-vous crer pour mettre lpreuve cette conjecture ? Faites le !

3. Expression de wn en fonction de n

a. A quelle formule wn = f (n) conduit votre conjecture prcdente ?b. Crez une colonne intitule f (n), o vous saisirez la formule permettant dobtenir

les valeurs successives de f (n) par recopiage vers le bas.

c. Les valeurs obtenues avec la formule f (n) concident-elles avec celles obtenues pour wn ?

C - TRAVAIL THEORIQUE

1. Quelle est lexpression de un en fonction de n ?Dterminez la formule vn = g (n) laquelle conduit la conjecture wn = f (n) obtenue ci-dessus.

2. Cette question a pour but de dmontrer la formule vn = g (n) ; deux mthodes sont proposes.Mthode avec rcurrence :Dmontrez que la formule vn = g (n) est vraie pour tout n.Mthode sans rcurrence :On note En lgalit : (n+1)3 = n3+3n2+3n+1Ecrivez les galits En pour n allant de 1 n. Combien y a-t-il dgalits ?En ajoutant ces n galits membre membre, montrez quon obtient : (n+1)3 = 1+3vn +3un +nEn dduire lexpression de vn en fonction de n. Est-elle gale g (n) ?

3. Est-ce que le rsultat prcdent dmontre la conjecture wn = f (n) ?



La page du profSuite arithmtique Ampleur : 1Rcurrence possible mais pas ncessaire Tableur

Cet nonc a un double objectif : au niveau contenu, proposer plusieurs approches exprimentales de la notion de suite arithmtique : variation des dcimales destermes, allure du graphique nwn . Ces approches dbouchent au final sur lcriture du terme gnral comme fonction affine de n. au niveau mthode, effectuer un vritable travail scientifique dlaboration et de mise lpreuve de conjectures simples issues delobservation. Le tableur est ici loutil qui permet facilement ce travail.

La suite (wn) quon va observer et tudier est dfinie comme le quotient de deux suites classiques, mais ces suites ne sont pas assezfamilires aux lves pour quil puissent en dterminer immdiatement la nature, ce qui justifie une approche exprimentale.

Nous supposons en particulier que la formule de vn en fonction de n ne fait pas partie du bagage disponible, puisque ce sera lersultat final de ce travail.

A -MISE EN PLACEDUCALCUL

Dans nos textes, "crer" une colonne signifie simplement saisir un texte en entte dans la premire ligne de cette colonne, pourdcrire son contenu. Le calcul au tableur des termes un et vn dcoule de la dfinition rcurrente de ces suites :

u1 = 1 et pour n 2,un = un1+n ; v1 = 1 et pour n 2,vn = vn1+n2La contenu de la case contenant un est la somme des contenus de la case du dessus et de la case de gauche. On na pas besoin deladressage absolu avec les $. Ce calcul peut-tre loccasion de remarquer que le tableurmet en pratique le principe de rcurrence :une fois la premire valeur saisie, la formule permet le recopiage vers le bas aussi loin quon veut, cest dire pour tout entier n.

B - OBSERVATIONS ET CONJECTURES

1. Ecriture dcimale de wnIl apparat quon obtient la suite des impairs tous les trois rangs, et que la partie dcimale des autres termes se rpte aussitous les trois rangs. Il est prfrable de limiter le nombre de dcimales affiches 2, car le but nest pas de reconnatre lesdcimales associes aux tiers, mais darriver formuler une conjecture pour dcrire la rptition cyclique dordre 3.

2. Nature de la suite wnLe graphique est rectiligne : cest le moment de faire percevoir que daprs ce graphique, quand n augmente dune unit,wn augmente toujours de la mme quantit, ce qui est le propre dune suite arithmtique.Pour mettre lpreuve cette conjecture, on peut crer la colonne des diffrences dun terme lautre, pour vrifier quonobtient toujours le mme rsultat : ce sera la raison de la suite, quon trouvera gale 0,67 avec laffichage 2 dcimales.

3. Expression de wn en fonction de nUne fois quon a le premier terme 1 et la raison 0,67, on peut tablir la formule wn = 1+ (n1)0,67, et crer une nouvellecolonne pour mettre lpreuve cette formule. Il est bon de garder la valeur 0,67 pour la raison car cela provoque un ques-tionnement intressant : on saperoit que la formule ne donne que des rsultats trs approchs, et il faut alors se demanderpourquoi.Une ide naturelle est dajouter une ou plusieurs dcimales laffichage : cela augmente la prcision sur la "raison", maisne rsout pas le fond du problme. La solution est de revenir aux nombres impairs conscutifs quon a obtenu tous les troisrangs : si on augmente de 2 en trois fois, cest quon augmente de 2/3 chaque fois.

Ce point acquis, on arrive au bout du travail pratique la conjecture : f (n)= 1+2/3(n1).Pour la suite du travail, il est intressant de rduire au mme dnominateur pour obtenir f (n)= 2n+1

3.

C - TRAVAIL THEORIQUE

La premire ide est dtudier la consquence de la dernire conjecture sur la formule de la somme des carrs : on connat laformule de un , et on a une formule de wn , conjecture et valide exprimentalement. On en dduit une formule pour vn , qui estdonc aussi une conjecture.La suite du travail consistera la dmontrer, ce qui dmontrera par la mme occasion la formule obtenue pour wn :

si un = n(n+1)2

et si vn = n(n+1)(2n+1)6

alors on a : wn = 2n+13

Si les lves connaissent le raisonnement par rcurrence, il leur faut une ide du rsultat dmontrer pour pouvoir lutiliser : cestprcisment ce que fournit la conjecture.Si les lves ne connaissent pas encore le raisonnement par rcurrence, nous proposons unemthode alternative, parfois appele"mthode des cascades". Cest unemthode classique : on peut lutiliser ensuite pour calculer la sommedes cubes partir de celledes entiers et des carrs en crivant le dveloppement de (n+1)4. On peut continuer ainsi pour calculer toutes le sommes de laforme 1k +2k +32+ . . . +nk , dites "Sommes de Newton" . . .



LA SPIRALE DU TRAVAIL PRATIQUE

La question pose

Etudier la suite

12 +22 +32 + +n2

1+2+3+ +n

Mise en oeuvre 1

Calcul sur tableur

de 20 valeurs

Observations 1

Rptition des dcimales

Il y a des valeurs entires

La suite est croissante

Conjecture 1

La suite

est arithmtique

Mise lpreuve 1

Tester la diffrence de

deux termes conscutifs

Mise en oeuvre 2

Calcul sur tableur

des diffrences

Observations 2

Les diffrences

sont constantes

et gales 0,67

Conjecture 2

La suite est

arithmtique

de raison 0,67

Mise lpreuve 2

Tester la formule

du terme gnral

un = u1 + (n 1)0,67

Mise en oeuvre 3

Calcul sur tableur

des valeurs de wndaprs la formule

Observations 3

Les valeurs obtenues

ne concident pas !

Conjecture 3

En trois rangs

wn augmente de 2 :

la raison est 2/3

Mise lpreuve 3

Tester la formule

du terme gnral

un = u1 +2/3 (n 1)

Mise en oeuvre 4

Calcul sur tableur

des valeurs de wndaprs la formule

Observations 4


concident.

Conjecture valide

exprimentalement

wn est arithmtique de raison 2/3

Le terme gnral scrit wn =2n +1

3


UN EXERCICE DE 1914J. Lubczanski, I. Lallier-Girot

647 Le produit de quatre entiers conscutifs, augment de 1, est un carr parfait.(*)

(*) Cet nonc est tir des Exercices dArithmtique de J. Fitz-Patrick ,1914 (red. J. Gabay).Cest le 647me exercice du livre, qui en contient 1223.A cette poque, lnonc dun exercice se rduisait la proprit quil fallait dmontrer.



Lobjectif de ce travail est de retrouver un rsultat dhier avec des outils daujourdhui :

Le produit de quatre entiers conscutifs, augment de 1, est un carr parfait.

Cette phrase constitue lnonc n 647 des Exercices dArithmtique de J. Fitz-Patrick ,1914 (red. J. Gabay) :le but de cet nonc est de comprendre et de dmontrer cette proprit.

Les calculs ncessaires pourront tre faits la calculatrice ou au tableur.

A - SENSIBILISATION

1. Choisissez votre bon plaisir cinq entiers neuf chiffres.Calculez leurs racines carres : est-ce que ce sont des nombres entiers ?

2. a. Combien y a-t-il dentiers neuf chiffres ?

b. Combien y a-t-il dentiers dont le carr est un entier neuf chiffres ?

3. On appelle "carr parfait" un entier qui est le carr dun entier.

a. Combien vaut la probabilit quun entier neuf chiffres tir au hasard soit un carr parfait ?

b. Combien faudrait-il tirer au sort dentiers neuf chiffres pour esprer que lun dentre eux soit un carr parfait ?

B - EXPRIMENTATION

1. Choisissez votre bon plaisir un entier entre 100 et 200.Faites le produit de cet entier par les trois entiers suivants, et ajoutez un ce produit : combien de chiffres a ce nombre ?Prenez la racine carre du rsultat : combien y a-t-il de chiffres aprs la virgule ?

2. Recommencez partir dun autre entier.

3. Allez, encore une fois ! Quest-ce quil y a de remarquable ?

C - CALCULS &GRAPHIQUE

Pour n N, on note f (n) le produit de n par les trois entiers suivants, augment de 1, et r (n) la racine carre de f (n).1. Donnez lexpression de f (n) en fonction de n .

2. a. Calculez les valeurs de r (n) pour n entre 0 et 10.

b. Faites le graphique de la fonction n r (n) pour n entre 0 et 10.3. a. A quelle courbe ressemble le graphique obtenu ?

b. Quelle conjecture pouvez-vous faire sur la formule donnant r (n) en fonction de n ?

D - RECHERCHEDE LA FORMULE

1. En utilisant les premires valeurs de n et de r (n), et partir de la conjecture faite ci-dessus,dterminez la formule de r (n) en fonction de n.

2. a. Vrifiez que cette formule donne les mmes rsultats que la calcul dj fait pour n entre 0 et 10.

b. Vrifiez le pour n entre 100 et 200.

c. Est-ce que cela suffit pour affirmer que cette formule est exacte pour tout entier naturel n ?

3. a. Ecrivez, pour n quelconque, lgalit entre lexpression de r (n) dduite de f (n) et la formule obtenue ci-dessus.

b. Pouvez-vous dmontrer que cette galit est vrifie pour tout entier n ? Concluez.



La page du profTrinme du second degr Ampleur : 1Systme dquations Tableur

La dmarche suivie pour arriver au rsultat final est la mme, quon pose cette activit sous forme de "problme ouvert",ou bien quon suive lnonc dtaill :

on vrifie par le calcul que la proprit dmontrer est vraie sur de nombreux exemples. on dcouvre que la racine du "produit de quatre entiers conscutifs, augment de 1" est un trinme du second degr en n. on dtermine les coefficients de ce trinme, et on vrifie que a marche sur les exemples dj calculs. on dmontre par le calcul littral lgalit qui se cache derrire lnonc.

Le droulement de cette dmarche de recherche est dcrit la page suivante dans la "spirale du travail pratique".

La seule difficult rencontre au cours de cette activit est de sensibiliser les lves au fait quobtenir un carr parfait est un v-nement rare. En "problme ouvert", on peut voquer cette question lOral. Dans lnonc du T.P. nous avons choisi de prendrele temps de calculer la probabilit quun entier de neuf chiffres tir au sort soit un carr. La notion de probabilit utilise ici estlmentaire, et ne ncessite pas davoir travaill cette notion au pralable ; cest une simple question de frquence. En voici lestapes, sans les justifications :

il y a 109108 = 9.108 entiers neuf chiffres. le plus grand carr neuf chiffres est 31 6222

le plus petit carr neuf chiffres est 10 0002

il y a 31 62210 000+1= 21623 carrs parfaits neuf chiffres. 9.10821623= 41622 : il y a une chance sur 41622 quun entier neuf chiffres soit un carr parfait.

Sachant quon rpte cette exprience plusieurs fois, et quon tombe chaque fois sur un carr, la probabilit que cela soit le faitdu hasard fond comme neige au soleil ...

En 1638, Galile, dans le Dialogue sur deux sciences nouvelles, voquait dj la raret des carrs pour poser le problmes desinfinis de grandeur diffrentes :

SALVIATI. Cest bien l une des difficults qui surgissentquand nous discutons, avec notre esprit fini, des chosesinfinies, et leur attribuons les pithtes que nous utili-sons pour les choses finies et limites ; ce qui, mon avis,est incorrect, car jestime que des pithtes comme plusgrand, plus petit et gal ne conviennent pas aux gran-deurs infinies, dont il est impossible de dire que lune estplus grande, plus petite ou gale une autre. Mais voicipour le prouver un raisonnement qui me revient a lesprit ;pour plus de clart je vais lexposer en interrogeant le sei-gneur Simplicio, qui a formul la difficult. Vous savez par-faitement, je suppose, quels nombres sont carrs et quelsnombres ne le sont pas.SIMPLICIO. Je sais parfaitement quun nombre carr pro-vient de la multiplication dun autre nombre par lui-mme ; ainsi quatre, neuf, etc., sont des nombres carrsrsultant de la multiplication de deux, trois, etc., par euxmmes.SALV. Fort bien ; et vous savez aussi que comme les pro-duits sont appels carrs, les facteurs, cest dire les termesque lon multiplie, sont appels cts ou racines ; quantaux autres nombres qui ne proviennent pas de nombresmultiplis par eux-mmes, ce ne sont pas des carrs. Parconsquent si je dis que les nombres pris dans leur tota-lit, en incluant les carrs et les non-carrs, sont plus nom-breux que les carrs seuls, jnoncerai, nest-ce pas, uneproposition vraie ?SIMP. Trs certainement.SALV. Si je demande maintenant combien il y a de nombrecarrs, on peut rpondre, sans se tromper, quil y en a

autant que de racines correspondantes, attendu que toutcarr a sa racine et toute racine son carr, quun carr napas plus dune racine, et une racine pas plus dun carr.SIMP. Exactement.SALV.. Mais si je demande combien il y a de racines, on nepeut nier quil y en a autant que de nombres, puisque toutnombre est la racine de quelque carr ; cela tant, il fau-dra donc dire quil y a autant de nombre carrs quil y a denombres, puisquil y en a autant que de racines, et que lesracines reprsentent lensemble des nombres ; et pourtantnous disions au dbut quil y a beaucoup plus de nombresque de carrs, tant donn que la plus grande partie desnombres ne sont pas des carrs. A quoi sajoute le faitque la proportion des carrs diminue toujours davantagequand on passe des nombres plus levs ; si en effet jus-qu cent il existe dix carrs, cest--dire la dixime partiede tous les nombres, jusqu dix mille un centime seule-ment des nombres sont des carrs, et jusqu un million lamillimepartie seulement ; pourtant, dans unnombre infi-niment grand, il faudrait admettre que les carrs sont aussinombreux que tous les nombres pris ensemble.SAGREDO. Quen conclure dans ces conditions ?SALV. A mes yeux la seule issue possible est de dire quelensemble des nombres est infini, que le nombre des car-rs est infini, et le nombre de leurs racines pareillement ;que le total des nombres carrs nest pas infrieur len-semble des nombres, ni celui-ci suprieur celui-l, et,finalement, que les attributs gal, plus grand et pluspetit nont pas de sens pour les quantits infinies, maisseulement pour les quantits finies.

(extrait de la traduction Clavelin, Ed. A. Colin, 1972)




La question pose

Le produit de quatre

entiers conscutifs,

augment de 1,

est un carr parfait.

Mise en forme

Pour n N , on poseF (n) = n(n +1)(n +2)(n +3)+1

et R(n) =p

F (n)

Mise en oeuvre 1

On calcule au tableur

les valeurs de F (n) et

de R(n) pour n de 1 20

Observations 1

Les valeurs calcules

pour R(n) sont toutes

des nombres entiers.

Conjecture 1

la proprit

dmontrer

est vraie

Question thorique

Est-ce que n 7 R(n)est une fonction connue ?

Mise en oeuvre 2

On fait apparatre

le graphique de

n 7 R(n)

Observations 2

La courbe ressemble

une parabole

Conjecture 2

la fonction n 7 R(n)est de la forme

R(n) = an2 +bn +c

Travail thorique

Le calcul de a, b et c

partir de R(0),R(1) et R(2)

donne a = 1 ; b = 3 et c = 1.

Mise en oeuvre 3

On calcule les valeurs

de n2 +3n +1pour n de 1 20

Observations 3


sont identiques

aux valeurs

trouves pour R(n)

Conjecture valide

exprimentalement

n(n +1)(n +2)(n +3)+1 = (n2 +3n +1)2


DIAMETRES CONJUGUES/PARABOLEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Dans le plan muni dun repre orthonormon considre la parabole P dquation y = 1,5x2,et une droite d de coefficient directeur gal 2.

Lorsque la droite d varie dans le plan,o se trouvent les milieux des points dintersection de P et de d ?



Lobjectif de ce travail est dobserver et de dmontrer une proprit classique de la parabole.La parabole fait partie de la famille des "coniques", et toutes les courbes de cette famille partagent cette proprit ...

A - Observations et conjectures

Ouvrez une figure Geogebra.

1. Crez la parabole dquation y = 1,5x2, et renommez la P.Crez un curseur q, que vous placerez dans un coin de la figure.

Crez la droite dquation y = 2x+q , et renommez la d2. Faites varier q, et observez , selon la valeur de q, en combien de points la droite d coupe la parabole P.

Notez vos observations au brouillon.

3. Donnez q une valeur pour laquelle la droite d coupe la parabole P en deux points.

Crez ces deux points A et B, ainsi que leur milieu C.

Activez la trace du point C ; faites varier q, et observez les positions du point C.

Lensemble des positions de C sappelle le lieu gomtrique de C. On le note L.

Quelle conjecture pouvez-vous formuler sur la nature de L ?

4. Modifiez la borne suprieure du curseur pour permettre q daller jusqu 20,

et mettez lpreuve votre conjecture : est-elle encore valable ?

5. Faites nouveau varier q, et observez les coordonnes du point C :

quelle conjecture pouvez-vous formuler sur lquation de L ?

6. Crez le lieu gomtrique L daprs lquation que vous avez conjecture.

Est-ce que votre conjecture est confirme ?

B - Calculs et dmonstrations

Soit (P ) la parabole dquation y = 1,5x2, et (d) la droite dquation y = 2x+q , o q est un rel donn.1. Quelle quation du second degr doit vrifier labscisse x dun point dintersection de (P ) et (d) ?

On notera (E) cette quation.

2. Pour quelle valeur de q lquation (E) admet-elle une racine double ?

Quelle est alors la position relative de la droite et de la parabole ?

3. Pour quelle valeur de q lquation (E) admet-elle deux racines distinctes ?

Est-ce que cela recoupe vos observations ?

On note a et b ces racines, A et B les points dintersection correspondants.

4. Calculez a et b, ainsi que labscisse x dumilieuC de A et B .

Que pouvez-vous en dduire sur lensemble des positions du pointC lorsque q varie ?

5. Comparez les conjectures o vous ont menes vos observations

et les rsultats obtenus par les calculs et les raisonnements.

Sil y a des diffrences, comment pouvez vous les expliquer ?

C - Travail sur papier

Rdigez un compte rendu de la partie A et vos rponses aux questions de la partie B.


DIAMETRES CONJUGUES/HYPERBOLEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Dans le plan muni dun repre orthonormon considre lhyperbole H dquation x . y = 1,et une droite d de coefficient directeur gal -2.

Lorsque la droite d varie dans le plan,o se trouvent les milieux des points dintersection de H et de d ?



Lobjectif de ce travail est dobserver et de dmontrer une proprit classique de lhyperbole.Lhyperbole fait partie de la famille des "coniques", et toutes les courbes de cette famille partagent cette proprit ...

A - Observations et conjectures

Ouvrez une figure Geogebra.

1. Soit H la courbe dquation xy = 1. H est une "hyperbole".Pour crer lhyperbole H, tapez dans le champ de saisie : H : x*y=1

Crez un curseur q, que vous placerez dans un coin de la figure,puis crez la droite dquation y =2x+q , et renommez la d

2. Faites varier q, et observez , selon la valeur de q, en combien de points la droite d coupe lhyperbole H.

Notez vos observations au brouillon.

3. Donnez q une valeur pour laquelle la droite d coupe lhyperbole H en deux points.

Crez ces deux points A et B, ainsi que leur milieu C.

Activez la trace du point C ; faites varier q, et observez les positions du point C.

Lensemble des positions de C sappelle le lieu gomtrique de C. On le note L.

Quelle conjecture pouvez-vous formuler sur la nature de L ?

4. Modifiez les bornes du curseur pour permettre q daller de -20 20,

et mettez lpreuve votre conjecture : est-elle encore valable ?

5. Faites nouveau varier q, et observez les coordonnes du point C :

quelle conjecture pouvez-vous formuler sur lquation de L ?

6. Crez le lieu gomtrique L daprs lquation que vous avez conjecture.

Est-ce que votre conjecture est confirme ?

B - Calculs et dmonstrations

Soit (H) lhyperbole dquation xy = 1, et (d) la droite dquation y =2x+q , o q est un rel donn.1. De quelle fonction (H) est-elle la courbe reprsentative ?

En dduire lquation du second degr que doit vrifier labscisse xdun point dintersection de (H) et (d). On notera (Eq ) cette quation.

2. Pour quelle valeur de q lquation (Eq ) admet-elle une racine double ?

Est-ce que cela recoupe vos observations ? Comment pouvez-vous expliquer la diffrence ?

Quelle est alors la position relative de la droite et de lhyperbole ?

3. Pour quelle valeur de q lquation (Eq ) admet-elle deux racines distinctes ?

Est-ce que cela recoupe vos observations ?

On note a et b ces racines, A et B les points dintersection correspondants.

4. Lorsquelles existent, calculez les racines a et b, puis leur somme et leur produit.En dduire labscisse x et lordonne y dumilieuC de A et B .Nota Bene : le nombre q apparat dans les rsultats de cette question.

5. Etablir une relation entre x et y , o q nintervient pas.

Que pouvez-vous en dduire sur lensemble des positions du pointC lorsque q varie ?

Est-ce que cela recoupe votre conjecture sur lquation de L ?

C - Travail sur papier

Rdigez un compte rendu de la partie A et vos rponses aux questions de la partie B.


DIAMETRES CONJUGUES/PARABOLE & HYPERBOLEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

La page du profGomtrie cartsienne Ampleur : 1Equation du second degr Gogbra

Le travail propos ici se dcline en deux variantes : "Parabole" et "Hyperbole". Dans chaque cas, les donnes ont tchoisies pour que les observations ne dlivrent pas tout de suite les valeurs exactes recherches. Les observations doiventtre qualitatives avant dtre quantitatives : comprendre que la valeur de q dtermine le lexistence des points dintersectionsest plus important que de trouver la valeur frontire de q avec "plein de dcimales".

Cest pourquoi nous prfrons conserver le rglage de laffichage deux dcimales, et attendre ltude thorique pourprciser les valeurs cherches. De mme, nous prfrons dans un premier temps laisser les rglages par dfaut du curseur q( entre -5 et 5 au pas de 0,1 ), pour ne pas sparpiller dans la gestion du logiciel et rester concentr sur la question pose.

Ltude thorique des intersections de la courbe et de la droite dbouche sur une quation du second degr. Nous avonschoisi de prsenter lhyperbole comme la courbe dquation x . y = 1 plutt que y = 1/x pour obtenir directement lquationdu second degr. Cela permet aussi dans Geogebra dobtenir directement les deux points dintersection avec d au lieu dedevoir utiliser deux fois la commande "intersection".

Sans tre indispensable, lutilisation de la formule de la somme des racines facilite le travail pour la parabole, celle duproduit des racines le travail pour lhyperbole. Les calculs thoriques sont simples pour la variante "Parabole", et un petitpeu plus labors pour la variante "Hyperbole". Une des variantes pourra tre travaille en classe, et lautre donne commeun travail la maison, pour vrifier les acquis mthodologiques et thoriques des lves.

Ltude de la droite variable implique un "paramtre" q, mais ce nest pas une source de difficult. En effet la partiepratique familiarise les lves avec les variations de ce nombre q, travers lutilisation dun "curseur", et lui donne uneexistence visuelle : cest lordonne lorigine de la droite d. Lexprience nous amontr que ce nombre variable q ntait pasun problme pour les lves.

Il est aussi possible de proposer des variantes pour le coefficient directeur de la droite d : on pourra ainsi faire travailleren parallle les lves sur des sujets analogues mais diffrents : cela peut donner lieu un travail de type "collaboratif", etdboucher sur une synthse intressante. Plus prcisment, si on note a le coefficient directeur des scantes (dans le textea = 2 pour la parabole et a =2 pour lhyperbole), on obtient pour lensemble des milieux :

pour la parabole, cest la demi-droite incluse dans la droite dquation x = a3et dorigine le point

(a

3;a2

6

) pour lhyperbole, il faut prendre a ngatif ; on trouve alors la runion de deux demi-droites

incluses dans la droite dquation y =ax et dorigines les points( 1pa ;pa

)et

(1pa ;

pa)

Un peu de culture mathmatique ...

Laproprit explore et tudie dans ce travail est classique : quand on coupe une conique par des droites parallles unedirection donne, les milieux des cordes dintersection sont aligns sur une autre droite. Cest vrai de faon lmentairelorsque la conique est dgnre en deux droites parallles ou scantes, ou bien dans le cas du cercle. Cest encore vraidans le cas gnral, cest dire pour la parabole, lhyperbole et lellipse.

Si~u et~v donnent les directions de la droite do on est parti et de la droite o se trouvent lesmilieux, ces directions jouentdes rles symtriques : si on recoupe la conique par des droites de vecteur directeur~v, lesmilieux des cordes dintersectionsont aligns sur une droite de vecteur directeur ~u. On dit que ces directions sont "conjugues" par rapport la conique.Dans le cas du cercle, les directions conjugues sont orthogonales.

Enfin lensemble des milieux sappelle un "diamtre" de la conique : cela gnralise aux coniques la notion de diamtredu cercle. Dans toute conique, on aura donc des paires de diamtres conjugus, do le titre de cette activit.




La question pose

O sont les milieux des

points dintersection

de P et de d ?

Mise en oeuvre 1

Construction de PCration de q

Construction de d

Observations 1

Existence des points

dintersection :

q0,8 : pas de pointq=0,7 : un point ?

q0,6 : deux points

Conjecture 1

Il existe une valeur de q partir de laquelle

le milieu C existe

Retour la question

Construire

plusieurs milieux C

Mise en oeuvre 2

Construire le milieu CFaire varier q

Activer la trace de C

Observations 2

Les milieux Csont aligns sur

un segment vertical

Conjecture 2

Les milieux C sont

sur une demi-droite

verticale

Mise lpreuve

Tester dautres

valeurs de q

Mise en oeuvre 3

Modifier les bornes

du curseur q jusqu 20

Observations 3

Tous les milieux Csont aligns ;

xC reste constant 0,67

Conjecture 3

Les milieux C sontsur la droite

dquation x = 0,67

Approfondissement

Sur quelle partie de

la droite : x = 0,67

se trouvent les milieux ?

Mise en oeuvre 4

Construction de

et de lintersection

de et P

Observations 4

Lintersection est

le point (0,67 ;0,67)

On a toujours yC 0,67

Conjecture valide

exprimentalement

Les milieux sont sur une demi-droite

dtermine par x = 0,67 et y 0,67




La question pose

O sont les milieux des

points dintersection

de H et de d ?

Mise en oeuvre 1

Construction de HCration de q

Construction de d

Observations 1

Existence des points

dintersection :

|q| 2,7 : pas de point|q| = 2,8 : un point ?|q| 2,9 : deux points

Conjecture 1

le milieu C existesi q est en dehors

dun certain intervalle

Retour la question

Construire

pour chaque branche

plusieurs milieux C

Mise en oeuvre 2

Construire le milieu CFaire varier q

Activer la trace de C

Observations 2

Les milieux C sont alignssur deux segments situs

sur une droite passant par O

Conjecture 2

Les milieux C sont sur2 demi-droites incluses dans

une droite passant par O

Mise lpreuve

Tester dautres

valeurs de q

Mise en oeuvre 3

Modifier les bornes du

curseur q entre -20 et 20

Observations 3

Tous les milieux Csont aligns.

On a yC = 2xC

Conjecture 3

Les milieux C sontsur la droite

dquation y = 2x

Approfondissement

Sur quelle partie de

la droite : y = 2x

se trouvent les milieux ?

Mise en oeuvre 4

Construction de

et des intersections

de et H

Observations 4

2 points dintersection

(-0,71 ;-1,41) et (0,71 ;1,41)

On a toujours |yC| 1,41

Conjecture valide

exprimentalement

Les milieux sont sur 2 demi-droites

dtermine par y = 2x et |yC| 1,41


AJUSTEMENT PARABOLIQUEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

Lobjectif de ce travail est dtudier comment on peut "ajuster" une formule des donnes.On suppose qu la suite dune exprimentation, on a obtenu les valeurs suivantes pour deux grandeurs x et y ,entre lesquelles on cherche une relation y = f (x) :

x 0 1 2 3 4y 14 7 5 4 6

On supposera que les valeurs extrmes, pour x = 0 et x = 4 sont des valeurs imposes par le protocole exprimental, alors que lesautres valeurs sont le rsultat de lobservation. Autrement dit la formule y = f (x) devra tre exacte pour x = 0 et x = 4, et devratre la meilleure possible pour x = 1 ; x = 2 ; et x = 3.Dans cet exemple, on va chercher une formule y = f (x) du second degr.

A - APPROCHEHEURISTIQUE

On considre les points A(0;14), B(1;7),C (2;5),D(3;4) et E(4 ;6), qui reprsentent les donnes dans un repre.On pose f (x)= ax2+bx+ c, et on note P la parabole reprsentant la fonction f dans ce repre.Ouvrir une figure Geogebra.

Placer les points A, B ,C ,D , et E . Choisir le rapport 1 : 2 pour axeX : axeY, et recadrer la figure. Crer trois curseurs, pour a, b et c. Dfinir f (x)= ax2+bx+c

En faisant varier a, b et c, essayer de faire passer la parabole P par les points A et E ; noter les valeurs trouves pour a, b et c.

Indication : on peut modifier les valeurs extrmes des curseurs ...

B - APPROCHE THEORIQUE

1. Calculer c de faon que la parabole P passe par le point A

2. Etablir lexpression de b en fonction de a lorsque la parabole P passe par A et par E .

3. En dduire quil faut chercher la fonction f sous la forme : f (x)= ax22(2a+1)x+14

C - TRAVAIL PRATIQUE

1. Allure de la parabole. Fixer c sa valeur, et dsafficher son curseur Redfinir b en fonction de a.Faire varier a : vrifier que la parabole P passe toujours par A et E .Peut-elle passer aussi par un ou plusieurs des points B ,C ouD ?

2. Calcul de lerreur.Soit F le point de la parabole de mme abscisse que B : lerreur commise en x = 1 en utilisant la formule y = f (x)comme relation entre les donnes vaut |yF yB |, cest dire la distance BF . Construire les points F ,G et H de la parabole dont les abscisses sont celles des points B ,C etD . Crer le nombre u =BF + CG + DH : cest lerreur globale.

3. Optimisation. Faire varier a dans lintervalle [0;3], et observer la valeur de u : Dresser le tableau des variations observes de u pour a [0;3]. Pour quelle valeur de a lerreur u est-elle minimale ? Amliorer la prcision sur cette valeur en modifiant le pas du curseur. Combien vaut lerreur u correspondante ? Quelle est alors lexpression numrique de f (x) ?

D - TRAVAIL THEORIQUE

On part de la formule f (x)= ax22(2a+1)x+141. a. Montrer que lerreur commise en x = 1, en utilisant la formule y = f (x) comme relation entre x et y , vaut |3a + 5|

b. Etablir lexpression de lerreur globale u en fonction de a.

2. a. Dresser un tableau donnant, selon les valeurs de a, lexpression de u sans valeurs absolues.

b. Reprsenter dans un repre la fonction a u pour a [0;3]c. En dduire le tableau de variation de la fonction a u pour a [0;3].

3. a. Quelle est lexpression de f (x) correspondant la valeur minimale de u ?

b. Comparer les rsultats du travail pratique et du travail thorique.

BONUS

Est-il possible de trouver une formule y = f (x) du troisime degr dont la courbe passe par les cinq points A, B ,C ,D , et E ?


AJUSTEMENT PARABOLIQUEJ. Lubczanski, I. Lallier-Girot

La page du profFonction trinme Ampleur : 2Fonction valeur absolue Geogebra

Ajuster une formule des donnes observes, cest chercher une formule thorique dcrivant le mieux possible les donnes.Cette dmarche est essentielle dans toutes les sciences : une fois la formule tablie, la thorie sefforcera de justifier sa validit,pour pouvoir en faire une loi.Du pont de vue mathmatique, lajustement consiste chercher faire passer une courbe le plus prs possible dun certainnombre de points donns. Quand on cherche une droite, cela sappelle un ajustement linaire : la rgression linaire en statis-tiques en est un exemple.Cest une technique purement mathmatique, et de nombreux logiciels scientifiques intgrent une fonction dajustement : ilexiste par exemple une "courbe de tendance" dans les tableurs. En gnral, la mesure de lcart entre la formule obtenue et lesdonnes observes est base sur un calcul de distance euclidienne.Le travail propos ici est ltude mathmatique dun ajustement parabolique : on va chercher une formule du second degr.Lexemple trait est un exemple dcole : le second degr, le nombre des donnes et la mthode de calcul de lerreur corres-pondent aux techniques dont les lves disposent. Lessentiel est dans la dmarche.Cet nonc comporte quatre tapes : deux allers retours entre cran et papier . Il se prte bien une rpartition du travail entrela classe et la maison.

A - APPROCHEHEURISTIQUE

Heuristique signifie quon va chercher exprimentalement, en ttonnant. Lobjectif est que llve sapproprie la situation en"jouant" avec les curseurs : manipuler trois curseurs en mme temps nest pas facile, mais cela amne une dimension ludique.Il sagit de trouver une parabole qui passe " peu prs" par tous les points, sans chercher aller plus loin. Lide quaucune para-bole ne passe exactement par les cinq points nest pas naturelle pour les lves. Il nest pas ncessaire den parler ce momentdu travail ; ce sera une consquence de lapproche thorique.

B - APPROCHE THEORIQUE

Un calcul algbrique lmentaire permet de voir que la contrainte de passer par les points A et E laisse un seul degr de libert la parabole. Cela se traduit dans formule du second degr par la prsence dun seul paramtre : le nombre a.

C - TRAVAIL PRATIQUE

A prsent, il ny a plus quun curseur manipuler, ce qui permet daffiner la recherche. Cest le moment o on se rend comptequaucune parabole ne passe exactement par les cinq points : il faut dvelopper une stratgie de "meilleure approximation".Les donnes ont t calcules pour que cette "meilleure approximation" ne tombe pas sur une valeur dcimale simple : cestvolontaire, pour que lapport de ltude thorique, qui amnera la valeur exacte cherche, soit plus perceptible par les lves.Nous conseillons donc de laisser le pas du curseur rgl 0,1 , et den rester la valeur a = 1,7 pour la "meilleure approximation".

D - TRAVAIL THEORIQUE

Lerreur globale u est une fonction affine par morceaux de a : on tud

brochure apmep 183 mepp

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