BREVET BLANC

MATHEMATIQUES

Durée de l’épreuve : 2h

100 points

L’utilisation de la calculatrice est autorisée.

Le sujet est composé de 7 exercices indépendants.

Le candidat pourra les traiter dans l’ordre qui lui convient.

Exercice n°1 8 points

Exercice n°2 12 points

Exercice n°3 15 points

Exercice n°4 18 points

Exercice n°5 12 points

Exercice n°6 8 points

Exercice n°7 22 points

Présentation et rédaction 5 points

Toutes les réponses doivent être justifiées, sauf si une indication contraire est

donnée.

Pour chaque question, si le travail n’est pas terminé, laisser tout de même une

trace de la recherche. Elle sera prise en compte dans la notation.

Exercice n°1

Dans un parc d’activités, une épreuve

consiste à parcourir une certaine distance

entre 2 arbres avec une tyrolienne (sorte de

poulie qui permet de glisser le long d’un

câble).

La situation est schématisée dans un

plan vertical par le triangle rectangle

ABC ci-contre, où A et B désignent les

points de fixation du câble sur les

arbres, le segment [AB] représente le câble.

On sait que le câble mesure 75m de long et fait un angle de 5° avec l’horizontale

représentée par le segment [BC].

1) Calculer la valeur arrondie au cm de la distance BC entre les deux arbres.

2) Calculer la valeur arrondie au cm de la différence de hauteur entre les

deux plateformes représentée par [AC] sur la figure .

Exercice n° 2 :

Le viaduc de Millau est un pont franchissant la

vallée du

Tarn, dans le

département

de

l’Aveyron,

en France.

Il est constitué de 7 pylônes verticaux équipés

chacun de 22 câbles appelés haubans.

Le schéma ci-contre, qui n’est pas à l’échelle,

représente un pylône et deux de ses haubans.

On dispose des informations suivantes : AB = 89 m ; AC = 76 m ; AD = 154 m ;

FD = 12 m et EC = 5 m.

1. Calculer la longueur du hauban [CD]. Arrondir au mètre près.

2. Calculer la mesure de l’angle CDA formé par le hauban [CD] et la chaussée.

Arrondir au degré près.

3. Les haubans [CD] et [EF] sont-ils parallèles ?

Exercice n° 3 :

Il y a deux tarifs d’entrée pour assister au grand prix : le tarif « classique » et le

tarif « abonné » pour ceux qui ont une carte. Les abonnés ont un tarif réduit.

Pour un nombre x de places achetées, on note 𝑝1la fonction associée au prix

payé avec le tarif « classique » et 𝑝2celle pour le tarif « abonné ».

On donne 𝑝2(𝑥) = 200 + 40𝑥

Représentation graphique des fonctions 𝑝1(en pointillés) et 𝑝2(en trait plein)

1. Le tarif « abonné » (𝑝2) est-il proportionnel au nombre de places

achetées ? Justifier.

2. Donner la nature précise des fonctions 𝑝1et 𝑝2. Ne pas justifier.

3. a) Vérifier, par le calcul, que 𝑝2(4) = 360.

b) Écrire votre réponse en utilisant le vocabulaire des fonctions.

4. a) Déterminer, graphiquement, l’antécédent de 350 par la fonction 𝑝1.

b) Faire une phrase réponse pour le problème.

c) En utilisant la question a), déterminer l’expression littérale de la

fonction 𝑝1.

5. Déterminer, graphiquement, le nombre minimum de places pour lequel

le tarif « abonné » devient plus intéressant que le tarif classique. Ne pas

justifier.

Exercice n°4 :

Voici deux programmes de calcul

Programme A

Choisir un nombre

Ajouter 3

Mettre le résultat obtenu au

carré

Soustraire 36

Programme B

Choisir un nombre

ajouter 9 soustraire 3

Multiplier les 2 nombres

1. Vérifier que si on choisit 4 comme nombre de départ, on obtient 13

avec le programme A.

2. Quel résultat obtient-on avec le programme B si on choisit 5 comme

nombre de départ ?

3. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elles sont vraies ou

fausses, toutes les réponses doivent être justifiées.

Proposition 1 : Avec le programme B on obtient toujours un

nombre positif.

Proposition 2 : Avec le programme A si on prend -5 comme

nombre de départ on obtient -40 comme résultat.

Proposition 3 : Chaque fois qu’on choisit le même nombre de

départ pour les deux programmes on obtient le même résultat.

résultat

Exercice 5 :

1. On souhaite tracer le motif en forme de losange ci-dessous.

Compléter les commandes a) à d) du script « bloc losange » afin d’obtenir le

motif losange ci-dessous. Écrire vos réponses sur la copie.

Le motif losange

Le motif final

Le bloc losange

2. On souhaite réaliser le motif final ci-dessus construit à partir du

bloc losange complété à la question 1.

On rappelle que l’instruction signifie que l’on se

dirige vers la droite.

Parmi les instructions ci-dessous, indiquer sur votre copie, dans

l’ordre, les deux instructions à placer dans la boucle ci-contre pour

finir le script.

1

3

2

4

Exercice 6 :

Pour amortir les chocs contre les autres embarcations ou le quai, les péniches

sont équipées de « boudins » de protection.

Calculer le volume exact en cm3 du « boudin » de protection ci-dessous, puis

arrondir au centième.

Rappel :

Volume d’un cylindre de révolution ;

V = 𝜋Rℎ2où h désigne la hauteur du cylindre et R le

rayon de la base.

Volume d’une boule :

V = 4

3𝜋R3où R désigne le rayon de la boule.

Exercice n° 7 :

Monsieur Chapuis souhaite

changer le carrelage et les

plinthes dans le salon de son

appartement. Pour cela il doit

acheter des carreaux, de la colle

et des plinthes en bois qui seront

clouées. Il dispose des

documents suivants :

Le schéma ci-contre n’est pas

réalisé à l’échelle.

Document 1 : plan, la pièce correspond à la partie grisée

Document 2

Carrelage

Taille d’un carreau : 50 cm × 50 cm

Épaisseur d’un carreau : 0,9 cm

Conditionnement : 1,25 m² par boîte

Prix : 19,95 € par boîte

Plinthe Forme : rectangulaire de longueur 1 m

Vendue à l’unité

Prix : 2,95 € la plinthe en bois

Document 3

Colle pour le carrelage

Conditionnement : sac de 25 kg

Rendement (aire que l’on peut coller) : 4 m²

par sac

Prix : 22 € le sac

Paquet de clous pour les plinthes

Prix : 5,50 € le paquet

1) a. En remarquant que la longueur GD est égale à 7 m, déterminer l’aire

du triangle BCH.

b. Montrer que l’aire de la pièce est 32 m².

2) Pour ne pas manquer de carrelage ni de colle, le vendeur conseille à

monsieur Chapuis de prévoir une aire supérieure de 10 % à l’aire

calculée à la question 1.

Monsieur Chapuis doit acheter des boîtes entières et des sacs entiers.

Déterminer le nombre de boîtes de carrelage et le nombre de sacs de

colle à acheter.

3) Le vendeur recommande aussi de prendre une marge de 10% sur la

longueur des plinthes. Déterminer le nombre total de plinthes que

monsieur Chapuis doit acheter pour faire le tour de la pièce.

On précise qu’il n’y a pas de plinthe sur la porte.

4) Quel est le montant de la dépense de monsieur Chapuis, sachant qu’il

peut se contenter d’un paquet de clous ? Arrondir la réponse à l’euro

près.

Correction du brevet blanc avril 2018

Points de présentation :

– copie bien présentée (aucune rature : 1 point ; copie bien structurée : 1 point )

– copie bien rédigée ( aucune faute : 1 point ; écriture lisible : 1 point )

– les unités des ex 1,2,6,7 sont précisées ( 1 point )

Exercice 1: ( 8 points : 4 + 4 )

1) ABC est rectangle en C (0,5) cos𝐴𝐵��= 𝐵𝐶

𝐵𝐴(1) soit cos 5°=

𝐵𝐶

75( 0,5) d'où BC=75cos5°

(1) soit environ 74,71 m. (1) ( si arrondi incorrect comme 74 ou 74,7 , noter 0,5)

2) Sin 𝐴𝐵��= 𝐴𝐶

𝐵𝐴(1) soit sin5° =

𝐴𝐶

75(1) d'où AC = 75sin5° (1) soit environ 6,54m.(1)

Exercice 2 : ( 12 points : 4 + 4 + 4 )

1) ADC est rectangle en A (0,5) . D'après le théorème de Pythagore (0,5) , on a :

CD²=AD²+AC² (1) soit CD² =154²+76² =29 492 (0,5) donc CD = √29492(0,5) soit

environ 172 m.(1)

2) on a tan𝐴𝐷��= 𝐴𝐶

𝐴𝐷(1) tan𝐴𝐷�� =

76

154(1) d'où 𝐴𝐷��= arctan(

76

154) (1) soit environ 26°.(1)

3) Les points A,F,D et A,E,C sont alignés dans le même ordre.(0,5) 𝐴𝐹

𝐴𝐷=154−12

154=

142

154=

71

77(1)

𝐴𝐸

𝐴𝐶=76−5

76=

71

76(1) donc

𝐴𝐹

𝐴𝐷est différent de

𝐴𝐸

𝐴𝐶(0,5)

D'après la contraposée du théorème de Thalès (0,5), (CD) n'est pas parallèle à (EF). (0,5)

Exercice 3 : ( 15 points : 3 + 2 + 1,5 + 1,5 + 1,5 + 1,5 + 3 + 1 )

1) (p2) est représentée par une droite (1) qui ne passe pas par l'origine (1) donc (p2) ne

représente pas une situation de proportionnalité et le tarif"abonné" n'est pas proportionnel

au nombre de places achetées.(1) 2) p1 est une fonction linéaire et p2 une fonction affine.(2)

3) a) p2(4) = 200+40*4 = 360 (1,5)

b) L'image de 4 par p2 est égale à 360 (1,5)

4)a) Graphiquement , l'antécédent de 350 par p1 est 5. (1,5)

b) Avec le tarif "classique" , 350 € nous permet d'avoir 5 places.(1,5)

c) On cherche le nombre a tel que p1(x) = ax (1) or p1(5) = 350 (0,5) soit 5a=350 (0,5)

donc a=350/5=70 (0,5)

p1 est définie par p1(x) = 70x (0,5)

5) Il faut au minimum 7 places pour que le tarif abonné soit plus intéressant que le tarif

classique.(1)

Exercice 4 : ( 18 points : 6 + 3,5 + 3,5 + 5 )

1) Programme A : 2) Programme B :

4+3 = 7 5+9 =14 et 5-3 = 2

7² = 49 14*2 = 28 (3)

49-36 = 13 (3)

3) Proposition 1 :trouver un contre-exemple

si on prend 0 , 0+6 = 6 et 0-3 = -3 et 6*(-3) = -18 (3) donc la proposition 1 est fausse. (0,5)

Proposition 2 : -5+3 = -2

(-2) ² = 4

4-36 =-32 (3) différent de -40 donc la proposition 2 est fausse.(0,5)

Proposition 3: Notons x le nombre choisi (0,5)

Prog A : (x+3)²-36 = x²+6x+9-36 = x²+6x-27 ( 1 : expression + 1 : développement)

prog B : (x+9)(x-3) = x²-3x+9x-27 = x²+6x-27 ( 1 : expression + 1 : développement)

On obtient deux résultats identiques donc la proposition 3 est vraie. (0,5)

remarque : si l'élève a testé les deux programmes avec une même valeur et conclu , mettre 2 .

Exercice 5 : ( 12 points : 6 réponses * 2)

1) a) 60 b) 60 c) 30 d) 150

2) Dans la boucle , on doit mettre : 2 ( losange) puis 1 ( tourner de 30 degrés)

Exercice 6 : ( 8 points )

Le boudin est constitué de deux demi-boules et d'un cylindre soit d'une boule et d'un cylindre

(1) donc

son volume V est 4

3 π 83+ π * 8² * 50 ( 2+2) soit

V = 2048

3π + 3200π cm3 =

11648

3π (1) soit environ 12197,76 cm3 (2)

Exercice 7 : ( 22 points : 3 + 2 + 7 + 7 + 3 )

1) a) BHC est rectangle en H.

BH = 7-4 = 3 m (1)

HC = 5-3 = 2m (1)

Aire de BHC = (3*2) / 2 = 3 soit 3 m² (1)

b) L'aire de la pièce est : 5*7 – 3 = 35-3 = 32 soit 32 m² ( 2 )

2) Calcul de l'aire conseillée : 32( 1+10%) = 32*1,1 = 35,2 soit 35,2 m² ( 1 pour

l'expression initiale et 1 pour le résultat )

D'après le document 2 , une boite de carrelage permet de recouvrir 1,25 m² ( 0,5) donc

35,2 /1,25 =28,16 (1) soit 29 boites de carrelage à acheter. (1)

D'après le document 3 , un sac permet de coller 4m² de carrelage (0,5) donc 35,2 / 4 = 8,8

(1) soit 9 sacs de colle à acheter. (1)

3) Pour calculer la longueur des plinthes , il faut déterminer BC.

Or , BHC est rectangle en H (0,5) . D'après le théorème de Pythagore (0,5) , on a :

BC² = BH² + HC² = 3² + 2² = 13 (1,5) donc BC = √13m (1)

La longueur de plinthe à prévoir est :

(AB + BC + CD +DE + FG+ GA )( 1+10%) = (4+√13+3+5+1+5 )*1,1 = ( 18 + √13)*1,1

(1) soit environ 23,8 m (1)

D'après le document 2 , chaque plinthe mesure 1m de long ( 0,5) donc pour faire le tour de la

pièce , Mr Chapuis doit acheter 24 plinthes. (1)

4) Dépense totale :

un paquet de clous + 29 boites de carrelage + 9 sacs de colle + 24 plinthes soit

5,5 + ( 29*19,95 ) + ( 9*22) + ( 24*2,95 ) (0,5 *4) soit

5,5 + 578,55 + 198 + 70,8 soit

852,85 € soit environ 853 euros. (1)

Domaine compétences expert satisfaisant En cours Non acquis

Chercher Formules une hypothèse, chercher des exemples, des contre-exemples Ex 4 prop 1

L’élève a trouver un contre-exemple et à répondu à la question

L’élève a cherché un contre-exemple avec des calculs corrects mais ne l’a pas trouvé

L’élève a cherché un contre-exemple avec des calculs faux

L’élève n’a pas cherché de contre-exemple

Modéliser Utiliser un algorithme Ex 5 1)

L’élève a répondu correctement aux 4 questions

L’élève a répondu correctement à 3 questions

L’élève a répondu correctement à 2 questions

L’élève a répondu correctement à 1 question ou moins

Représenter Utiliser des représentations de solides Ex 6

L’élève a utilisé de manière correcte les deux formules de volume et avec les bons résultats

L’élève a utilisé de manière correcte les deux formules de volume et a fait des erreurs de calculs

L’élève n’a utilisé de manière correcte qu’une seule des deux formules de volume

L’élève n’a utilisé de manière correcte aucune formule

Raisonner Démontrer Ex 2 3)

L’élève a utilisé le théorème de Thalès de manière correcte en vérifiant les hypothèses

L’élève a utilisé le théorème de Thalès de manière correcte sans vérifier les hypothèses

L’élève a utilisé le théorème de Thalès de manière incorrecte

L’élève n’a pas utilisé le théorème de Thalès

Calculer Calculer avec des nombres rationnels Ex 4 1,2)

L’élève a calculé de manière correcte aux 2 questions

L’élève a calculé de manière correcte à 1 question

L’élève a calculé de manière correcte à aucune question

Communiquer Lire interpréter les graphiques Ex 3 5)

L’élève a répondu correctement (7 places)

L’élève n’a pas répondu correctement

Alternatives Modéliser Utiliser et

reconnaitre la proportionnalité

Ex 7 2)

Et

Ex 3 1)

L’élève a répondu correctement à

Ex 3 1) et au

pourcentage Ex

7 2)

L’élève a répondu correctement

à Ex 3 1) ou

au

pourcentage

Ex 7 2)

L’élève n’a rien fait de juste

Chercher Extraire l’information

Ex 7 2)

L’élève a repéré les informations utiles pour le carrelage (1,25 m² par boite) et la colle (4 m² par sac)

L’élève n’a pas trouvé les informations utiles