BDV

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Physique, PhysG1101 1er Bachelier

Aout 2015

Il y a 10 questions: 5 pour QI et 5 pour QII.

L’examen commence a 8h et se termine a 12h

Essayez d’aller le plus loin possible en :

1 Justifiant brievement toutes vos reponses;

2 En donnant, en plus des valeurs numeriques, les unites physiques.

3 Prenez partout g = 10 m s−2

Q1QI QII

Q2 Q3 Q4 Q5 Q6 Q7 Q8 Q9 Q10

3 5 7 4 6 4 8 5 4 4

012

-2-1 2 4 6 8 t (sec)

F (N)

Q 1: [3pt] Une masse de m = 200 g est immobile �a l'instant t = 0. On lui applique une force variable

repr�esent�ee sur le graphique.

Q1-1 : D�eterminez la vitesse de cette masse �a t = 4 s. ¬Nous avons

mV(4) −mV(0) =

∫40

F(t) dt en calculant la surface sous F → 0.2V(8) =1

22× 4

donc

0.2V(8) = 4 V(8) = 20 m s−1

Q1-2 : Quelle est la distance parcourue par cette masse entre t = 4 s et t = 6 s ­On constate que V(6) = 0,

on peut donc utiliser le th�eor�eme de l'�energie cin�etique:

−1

2mV2 = −F×D → 40 = 2×D → D = 20 m

autrement: F = −2 N donc a = −2/0.2 = −10 m s−2 donc

V(t) = 20− 10(t− 4) X(t) = 20(t− 4) − 5(t− 4)2 → X(6) = 20× 2− 5× 4 = 20 m

2/06/2015 : 1

Θ=60°

①

②

(X,Z)

z

x

Q 2: [5pt] Deux masses identiques sont lanc�ees d'une hauteur de H = 45 m mais �a des instants di��erents.

La masse no�1 est lanc�ee �a l'instant t = 0 s avec une vitesse initiale V1 (V1 = 15 m s−1) faisant un angle

θ = 60◦ avec l'horizontale. La masse no�2 est lanc�ee �a l'instant t = 1 s avec une vitesse initiale V2

horizontale. Nous voulons d�eterminer cette vitesse V2 pour que la masse no�2 rattrape la masse no�1.

Q2-1 : Quelles sont les �equations pour la position z1(t) et x1(t) de la masse no�1 ¬

x1(t) = 15 cos 60◦ t et z1(t) = 45+ 15 sin 60

◦ t− 5 t2

Q2-2 : Quelles sont les �equations pour la position z2(t) et x2(t) de la masse no�2 ­

x2(t) = V2 (t− 1) et z2(t) = 45− 5 (t− 1)2

Q2-3 : D�eterminer la vitesse horizontale V2 pour que ces deux masses se rencontrent. ¬

x2(T) = x1(T) z2(T) = z1(T) T = −1.67 s V = 4.69 m s−1

Q2-4 : D�eterminer le temps T et les coordonn�ees (X,Z) o�u la rencontre a lieu. ¬

X = −12.54 m Z = 9.30 m

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F

fN

x

d

x

z

G

L

Q 3: [7pt] Un cube de masse M est tir�e, �a vitesse constante, par une force F horizontale. Le coe�cient de

frottement dynamique vaut µd. La force F agit �a une distance d au dessus du centre de masse G. Le

cube a une longueur de cot�e = 2L.

Q3-1 : Dessinez les autres forces qui agissent sur ce bloc ¬Q3-2 : Donnez les �equations du mouvement horizontal et vertical de ce bloc. ¬

0 = f− F 0 = −mg+N f = µd N

Q3-3 : D�eterminez la force F ¬F = f = µd N = µd m g

Q3-4 : D�eterminez le moment total, de toutes les forces, par rapport au centre de gravit�e G ­

−→MF/G = d F−→1 y

−→Mmg/G = 0−→Mf/G = L f

−→1 y

−→MN/G = −x N−→1 y

donc−→Mtot = dF+ Lf− xN = d µg mg+ L µd mg− x mg = mg (µd(d+ L) − x)

Q3-5 : A quelle distance horizontale x, sous le centre de masse G, devez-vous placer la force de frottement

et donc la force exerc�ee par le sol, pour que le bloc ne tourne pas? ¬

−→Mtot = 0 → x = µd(d+ L)

Q3-6 : Quelle est la condition que doit satisfaire µd pour que cela soit possible?¬Il faut que x soit plus petit que L, donc

x ≤ L → µd(d+ L) ≤ L µd ≤L

d+ L

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Q 4: [4pt] L'ast�ero��de Didymos a un rayon de 400 m, sa masse sp�eci�que est de 1.7 g cm−3. Il tourne sur

lui meme en 2.26 h. Il est accompagn�e d'un autre ast�ero��de Didymoon qui tourne autour de lui avec

une p�eriode de 11.9 h.

Q4-1 : Quelle est la masse de Didymos (on suppose qu'il est parfaitement sph�erique)?¬

M = ρ× Vol = ρ4π3R3 = 1.7 103 kg m−3 × 4π

3(400 m)3 = 4.56 1011 kg

Q4-2 : D�eterminer la distance D �a laquelle se trouve Didymoon de Didymos (G = 6.67 10−11 m3 kg−1 s−2)¬

GM

D2=

(2π

T

)2D → D = 1122.18 m

Q4-3 : D�eterminer l'acc�el�eration gravitationnelle g �a la surface de Didymos¬

g =G M

R2= 1.9 10−4 m s−2

Q4-4 : D�eterminer l'acc�el�eration centrip�ete, due �a la rotation de Didymos, �a sa surface¬

ω2R =

(2π

T

)2R = 23.86 10−5 m s−2

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m1

m2m3

ωω

T3

T3

TgTg

f

N Td Td

T2

T2

Q 5: [6pt] Une masse m1 est pos�ee sur une table. Elle est li�ee �a une masse m2 �a droite et �a une masse

m3 �a gauche, par une corde inextensible de masse n�egligeable. Cette corde passe par deux poulies

identiques de rayon R, de masse m et de moment d'inertie I = 3mR2. Les donn�ees sont m = 0.5 kg,

m1 = 1 kg, m2 = 4 kg et m3 = 2 kg (le rayon R n'a pas d'importance).

Q5-1 : Pr�ecisez la condition sur le coe�cient de frottement statique µs, entre la table et la masse m1, qui

permettrait que rien ne bouge. ¬Toutes les tensions sont les memes, on a donc

T3 = Tg = m3g T2 = Td = m2g Tg + f = Td → f = (m2 −m3)g

et f ≤ µsN (m2 −m3)g ≤ µsm1g → µs ≥m2 −m3m1

= 2

Q5-2 : Le coe�cient de frottement statique µs n'est pas su�sant, donc le syst�eme est en mouvement et

la corde fait tourner la poulie sans glisser. En notant le coe�cient de frottement dynamique µd = 0.1

d�eterminer les �equations de mouvement des trois masses et de la poulie.­m3a = T3 −m3g

m2a = m2g− T2

m1a = Td − Tg − f

f = µdN = µdm1g

Iα = I

a

R= (Tg − T3)R

Iα = Ia

R= (T2 − Td)R

Q5-3 : R�esoudre ces �equations de mouvement et d�eterminez l'acc�el�eration du syst�eme et les tensions dans

la corde.­On additionne toutes les �equations

(m1 +m2 +m3 + 3m+ 3m)a = (m2 −m3)g− µdm1g → a = 1.9 ms−2

T3 = 23.8 N T2 = 32.4 N Tg = 26.65 N Td = 29.55 N

Q5-4 : Que vaut, �a chaque instant, l'�energie cin�etique totale du syst�eme¬

Ec =1

2(m1 +m2 +m3 + 3m+ 3m)V2 = 5V2

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Questions du Q2

Q 6: [4pt] Une masse m = 100 g est attach�ee �a un ressort de rigidit�e k.

Q6-1 : On allonge le ressort de 2 cm, on lache la masse et on constate que son �elongation e(t) ob�eit �a

l'�equation e(t) = 2 10−2 cos(3 t) (e(t) est exprim�e en m, et t est exprim�e en s). D�eterminez la rigidit�e k

du ressort.

¬Vu l'�equation du mouvement on en d�eduit que ω = 3 s−1 comme

ω =

√k

m→ k = m ω2 = 0.1× 9 = 0.9 N m−1

Q6-2 : Que vaut sa vitesse maximale Vmax? ¬en d�erivant nous avons V = −6 10−2 sin(3 t) donc Vmax = 6 10−2 m s−1

Q6-3 : Que vaut l'�energie m�ecanique totale E?¬

Etot =1

2mV2 +

1

2ke2 en t = 0 nous avons donc Etot =

1

20.9(2 10−2)2 = 18 10−4 J

Q6-4 : Que vaut son acc�el�eration �a l'instant t = π2: a(π

2) =?¬

en t = π2e(π2) = 0 mais F = −ke donc F(π

2) = 0 donc a(π

2) = 0

2/06/2015 : 6

P

Pa

V1 V2

Pb

V

①

②③

Q 7: [8pt] Une mole de gaz parfait ex�ecute le cycle repr�esent�e sur le sch�ema. Les donn�ees sont les suivantes:

Pb = 105 Pa, Pa = 8 105 Pa, V1 = 30 L, V2 est inconnu. (le graphique n'est pas �a l'�echelle)(prenez

R = 8 J mol−1 K−1)(CV = 32R)

Q7-1 : Nous savons que le travail W2→3 vaut 103 J. D�eterminer le volume V2 ¬par d�e�nition:

103 J =W2→3 = −

∫V1

V2

P dV = −Pb(V1 − V2) = −105(30 10−3 − V2) → V2 = 40 L

Q7-2 : Montrer que sans conna�tre le volume V2 on peut d�eterminer le travailW1→2 et qu'il vaut−4.5 103 J­Nous

avons donc

W1→2 = −

∫V2

V1

P dV = −Pa + Pb2

(V2 − V1)

comme

W2→3 = −Pb(V1 − V2) doncW1→2

W2→3= −

Pa + Pb2Pb

donc W1→2 = −1039

2= −4.5 103 J

Q7-3 : D�eterminez la variation d'�energie interne ∆U3→1¬∆U3→1 = nCV(T1 − T3) =

32nR(T1 − T3) =

32(PaV1 − PbV1) =

327 105 30 10−3 = 31500 J

®Q7-4 : D�eterminez les quantit�es de chaleur ∆Q1→2, ∆Q2→3 et ∆Q3→1 (si vous n'avez pas trouv�e V2, prenez

V2 = 50 L) comme il n'y a pas de travail entre 3 et 1: ∆Q3→1 = ∆U3→1 = 31500 J, pour les autres on trouve

d'abord les temp�eratures en utilisant PV = nRT : T1 = 3000 K, T2 = 500 K et T3 = 375 K. Donc ∆U1→2 =

−30000 J et ∆U2→3 = −1500 J. Donc �nalement ∆Q1→2 = ∆U1→2−∆W1→2 = −30000+ 4500 = −25500 J

et ∆Q2→3 = ∆U2→3 − ∆W2→3 = −1500+ 1000 = −500 J

Q7-5 : D�eterminez le rendement r (rapport entre le travail total donn�e et la chaleur re�cue)¬Le travail total vaut

Wtot = 1000− 4500 = −3500 J chaleur re�cue Q = 31500 J donc r =3500

31500= 0.11

2/06/2015 : 7

L = 8cm

Q 8: [5pt] Soit une lentille convergente de distance focale f1 = 2cm. On place un objet de 2cm de haut �a 1cm

�a gauche de la lentille convergente (l'expression des coordonn�ees de l'image d'un point de coordonn�ees

(X, Y) est donn�e par ( fX−L2

f−2L+X ,(f−L)Yf−2L+X ) o�u L est la position de la lentille et f la position du foyer).

Q8-1 : O�u se forme l'image pour la lentille convergente? Est-elle r�eelle ou virtuelle et pourquoi? Quelle est

la taille de l'image?¬Nous avons ici L = 0, X = −1 cm, Y = 2 cm, f = 2 cm donc on trouve

(X ′, Y ′) = (−2 cm; 4 cm) image virtuelle c'est �a dire du meme cot�e que l'objet

Q8-2 : On place une deuxi�eme lentille convergente �a L = 8 cm de la premi�ere, sa distance focale vaut

f2 = 8 cm. O�u se forme l'image cette fois au travers des deux lentilles? Est-elle r�eelle ou virtuelle et quelle

est sa taille?¬On repart de l'image pr�ec�edente et on a cette fois L = 8 cm et f = 16 cm, on obtient donc: (X ′′, Y ′′) =

(48 cm,−16 cm)

Q8-3 : J'aurais aim�e avoir une image de l'objet, au travers des deux lentilles, virtuelle et rejet�ee �a l'in�ni

(�a gauche �evidemment). Quelle devrait etre la distance focale f2 de la lentille convergente pour avoir cela?­On repart de l'image (−2 cm; 4 cm) nous avons toujours L = 8 cm et f = 8 + f2, donc l'image se forme

en :

(X ′′, Y ′′) = (−2(40+ f2)

f2 − 10,4f2

f2 − 10) donc X→ ∞ si f2 − 10 = 0 → f2 = 10 cm

Q8-4 : Sous quel angle voit-on cette image �a l'in�ni?¬Nous avons donc l'angle en faisant le rapport entre Y et X:

tan θ = −4f2

2(40+ f2)=2

5donc θ = 0.38 rad = 21.8◦

2/06/2015 : 8

Q 9: [4pt] Un homme a une masse M de 80 kg. Il otte dans l'eau avec 95% de son volume sous l'eau.

Il s'attache une ceinture avec n blocs de plomb, chacun a une masse m de 1 kg. Combien de blocs

de plomb au minimum doit-il s'attacher pour qu'il coule? (la masse volumique du plomb est de

ρPb = 11.35 g cm−3)

Donc d'abord l'homme otte, donc

Mg = ρeau Vimm g = ρeau95

100Vtotg ¬

ensuite l'homme coule avec sa ceinture de n masse de plomb, donc

Mg+ n mPbg ≥ ρeauVtotg+ ρeaunVPbg = ρeauVtotg+ ρeaunmPb

ρPbg ­

donc nous avons

n mPb(1−ρeau

ρPb) ≥ ρeauVtot −M =

100

95M−M =

5

95M

donc �nalement

n ≥ 5

95

M

mPb

1

1− ρeau

ρPb

=5

9580× 1.0966 = 4.62 ¬

2/06/2015 : 9

135 m

Q 10: [4pt] Deux chauve-souris partent simultan�ement �a l'instant t = 0 et �a 135 m d'un mur. Elles s'�eloignent

l'une de l'autre en ligne droite et �a la meme vitesse de V = 20 m s−1. Apr�es 5 s, celle de gauche �emet

un signal ultrason de fr�equence ν = 150 kHz pendant exactement Te = 1 s, pour pr�evenir son amie de

droite qu'il y a un mur �a L = 135 m devant-elle. (la vitesse du son dans l'air est de c = 340 m s−1)

Q10-1 : A quelle fr�equence νr la chauve-souris de droite re�coit-elle le son de la chauve-souris de gauche?

(on ne tient pas compte du mur dans la propagation du son)

Q10-2 : Quelle sera la dur�ee Tr du son per�cu par la chauve-souris de droite?

Q10-3 : Par le calcul, d�eterminer si la chauve-souris de droite peut �eviter le mur? Un sch�ema permet de

tout calculer et de trouver toutes les r�eponses

0 1 2 3 4 5 6

-100

-50

0

50

100

La chauve-souris qui s'�eloigne du mur a comme �equation x1(t) = −Vt celle qui s'en rapproche x2(t) =

Vt. Le premier son a comme �equation s1(t) = x1(T1) + c(t− T1) = −VT1 + c(t− T1), un son �emit apr�es ∆T

a pour �equation: s2(t) = x1(T1 + ∆T) + c(t − T1 − ∆T) = −VT1 − V∆T + c(t − T1 − ∆T). Le premier son

atteint la chauve-souris en t1:

−VT1 + c(t1 − T1) = Vt1 (c− V)t1 = (c+ V)T1 → t1 =c+ V

c− VT1

le second son arrive en t2

−VT1 − V∆T + c(t2 − T1 − ∆T) = Vt2 (c− V)t2 = (c+ V)T1 + (c+ V)∆T → t2 =c+ V

c− VT1 +

c+ V

c− V∆T

donc la dur�ee de r�eception est t2 − t1 donc

∆Tr =c+ V

c− V∆T =

340+ 20

340− 20= 1.125 s donc νr =

c− V

c+ Vνe =

340− 20

340+ 20150 = 133.33 kHz

donc t2 = 6.25 s et x2(6.25) = 135 m juste �a temps pour faire demi-tour!

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