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BAC  BLANC          

MATHEMATIQUES      

 

TERMINALE  S        

MERCREDI  4  DECEMBRE  2013        Consignes  :  

• Calculatrice  autorisée  • Chaque  exercice  est  à  traiter  sur  une  copie  différente  • Numéroter  les  pages.  

         Barème  :  • Exercice  1  :  4  points  • Exercice  2  :  7  points  • Exercice  3  :  4  points  • Exercice  4  :  5  points  (non  spécialiste)  • Exercice  5  :  5  points  (spécialité)  

     

 

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Exercice  1  :  Commun  à  tous  les  candidats    Evolution  d’une  population  d’animaux    

1) On  a  étudié  en  laboratoire  l’évolution  d’une  population  de  petits  rongeurs  ;  ainsi  pour  décrire  cette  évolution,  on  a  utilisé  comme  modèle  la  fonction  f  définie  sur   0;+∞    par  𝑓 𝑡 = 𝑒!,!!  où  t  le  temps  (en  années)  et  f(t)  le  nombre  de  rongeurs  (en  centaines).    a) Dresser,  en  justifiant,  le  tableau  de  variations  complet  de  f    pour  décrire  l’évolution  de  la  

population  des  rongeurs.  b) Quel  est  le  pourcentage  d’augmentation  du  nombre  de  rongeurs  la  première  année  ?  c) Ce  pourcentage  est-­‐il  le  même  chaque  année.  Justifier.  

 2) En  réalité,  dans  un  secteur  observé  d’une  région  donnée,  un  prédateur  empêche  une  telle  

croissance  en  tuant  une  certaine  quantité  de  rongeurs.  Le  nombre  de  rongeurs,  exprimé  en  fonction  du  temps  t  (en  années)  est  alors  modélisé  par  :  

𝑔 𝑡 =1

𝑎𝑒!!,!! + 𝑏  où  a  et  b    sont  deux  constantes  réelles.  La  fonction  g  est  représentée  par  la  courbe  Cg  ci-­‐dessous  dont  on  donne  la  tangente  au  point  A(0  ;1)  qui  passe  par  le  point  B  (10  ;  2,5)    a) Lire  graphiquement  le  nombre  de  rongeurs  à  l’instant  t=0,  ainsi  que  sa  vitesse  initiale  de  

prolifération  𝑔′(0).  b) En  déduire  les  valeurs  de  a  et  b    c) Dans  ce  modèle,  comment  se  comporte  la  taille  de  la  population  des  rongeurs  lorsque  t  

tend  vers  +∞.  Justifier.  d) Dresser,  en  justifiant,  le  tableau  de  variations  complet  de  g  sur   0;+∞    e) L’évolution,  en  pourcentage,  est-­‐elle  la  même  chaque  année  ?  

 

La  courbe  Cg                    

 

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 Exercice  2  :  Commun  à  tous  les  candidats    On  considère  la  suite   un( )n∈N  définie  par  :    u0 = −1    et    u1 =

12      ∀𝑛𝜖𝑁      𝑢!!! = 𝑢!!! −

!!𝑢!  

1)  Calculer  𝑢!  et  en  déduire  que  la  suite       un( )n∈N      n’est  ni  arithmétique,  ni  géométrique.  2)  On  définit  la  suite   vn( )n∈N    en  posant      ∀𝑛𝜖𝑁      𝑣! = 𝑢!!! −

!!𝑢!          

a)  Calculer  𝑣!  b)  Exprimer  𝑣!!!    en  fonction  de  𝑣!  c)  En  déduire  que  la  suite     vn( )n∈N    est  géométrique  de  raison  

!!  .  

d)  Exprimer  𝑣!  en  fonction  de  n      3)  On  définit  la  suite   wn( )n∈N  en  posant  ∀𝑛𝜖𝑁      𝑤! =

!!!!  

a)  Calculer  𝑤!  b)  En  utilisant  l’égalité      𝑢!!! = 𝑣! +

!!𝑢!  ,  exprimer  𝑤!!!  en  fonction  de  𝑢!    𝑒𝑡    𝑣!  

c)  En  déduire  ∀𝑛𝜖𝑁      𝑤!!! = 𝑤! + 2  d)  Exprimer  𝑤!  en  fonction  de  n    

 4)  Montrer  que  pour  tout  entier  naturel  n,      𝑢! =

!!!!!!

     5)  On  pose  :  ∀𝑛𝜖𝑁      𝑆! = 𝑢! + 𝑢! +⋯+ 𝑢!      

a) Compléter  l’algorithme  ci-­‐dessous  permettant  de  calculer  Sn    où  n  est  un  entier  naturel  choisi  par  l’utilisateur.    

Début  Saisir  N  S  prend  la  valeur  ……..  Pour  K  allant  de  1  à  ……  S  prend  la  valeur  ……………………….  Fin  Pour  Afficher  S  Fin    

b)  En  utilisant  l’algorithme  précédent,  choisir  l’expression  de  Sn  pour  tout  entier  naturel  n,  parmi  les  3  propositions  

• 𝑆! = 2+ !!!!!!

 

• 𝑆! = 2− !!!!!!

 

• 𝑆! = −1+ !!!!!!

   

c)  Démontrer  par  récurrence  la  formule  conjecturée  à  la  question  5b          

 

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 Exercice  3  :  Communs  à  tous  les  candidats    Les    parties  A  ,  B  et  C  sont  indépendantes.    Partie  A    On  considère  le  polynôme  P  défini  par  :  𝑃 𝑧 = 𝑧! − 6𝑧! + 24𝑧! − 18𝑧 + 63    1)  Calculer  𝑃 𝑖 3      𝑒𝑡      𝑃 −𝑖 3 .    2)  Déterminer  par  le  calcul  les  réels  a,  b  et  c  tels  que  𝑃 𝑧 = (𝑧! + 3)(𝑎𝑧! + 𝑏𝑧 + 𝑐)  3)  Résoudre  l’équation  𝑃 𝑧 = 0        Partie  B    Soit  un  plan  complexe  muni  d’un  repère  orthonormé  direct  (𝑂,𝑢, 𝑣)  On  nomme  f  l’application  qui  à  tout  point  M(z),  avec  𝑧 ≠ 𝑖,  associe  le  point  M’(z’)  telle  que  :  

𝑧! =𝑧 + 1𝑧 − 𝑖  

 1) Calculer  l’image  A’  du  point  A  d’affixe  2− 3𝑖  par  l’application  f.  2) Déterminer  les  éventuels  antécédents    du  point  B’  d’affixe  2i  .  3) On  pose  𝑧 = 𝑥 + 𝑖𝑦  avec  x  et  y  réels.  Calculer  en  fonction  de  x  et  de  y,  les  parties  réelles  et  

imaginaires  de  z’.    

4) En  déduire  l’ensemble  E  des  points  M(z)  telle  que  z’  soit  réel.    Partie  C    Soient  a  et  b  deux  nombres  complexes  tels  que  𝑎𝑎 = 𝑏𝑏 = 1    et          𝑎𝑏 ≠ −1    Montrer  que   !!!

!!!"    est  réel.  

                                   

 

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 Exercice    4  :  Candidat  n’ayant  pas  choisi  l’enseignement  de  spécialité    Pour  entretenir  le  chauffage,  une  société  fait  contrôler  les  chaudières  de  son  parc  de  logement  dont  20%  sont  sous  garantie.  Parmi  les  chaudières  sous  garantie,  la  probabilité  qu’une  chaudière  soit  défectueuse  est  de  0,01.    Parmi  les  chaudières  qui  ne  sont  plus  sous  garantie,  la  probabilité  qu’une  chaudière  soit  défectueuse  est  de  0,1.    On  appelle  G,  l’événement  suivant  :  «  La  chaudière  est  sous  garantie  »  et  D  :  «  la  chaudière  est  défectueuse  ».    

1) a)      Traduire  la  situation  par  un  arbre  pondéré  b) Calculer  la  probabilité  de  l’événement  A  :  «  La  chaudière  est  sous  garantie  et  défectueuse  »  c) Calculer  la  probabilité  qu’une  chaudière  soit  défectueuse.  d) Dans  un  logement,  sachant  qu’une  chaudière  est  défectueuse,  quelle  est  la  probabilité  

qu’elle  soit  sous  garantie  ?      

2) Le  contrôle  est  gratuit  si  la  chaudière  est  sous  garantie.  Il  coûte  80  euros  si  la  chaudière  n’est  plus  sous  garantie  et  n’est  pas  défectueuse.  Il  coûte  280  euros  si  la  chaudière  n’est  plus  sous  garantie  et  est  défectueuse.  On  note  X  la  variable  aléatoire  qui  représente  le  coût  du  contrôle  d’une  chaudière.    Déterminer  la  loi  de  probabilité  de  X  et  son  espérance  mathématique.  

   

3) Au  cours  de  la  période  de  contrôle,  on  a  trouvé  10  chaudières  défectueuses.    Quelle  est  la  probabilité  qu’au  moins  l’une  d’entre  elles  soit  sous  garantie  ?  (à  0,001  près)  

                                               

 

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Exercice  5  :  Candidat  ayant  choisi  l’enseignement  de  spécialité      

A) Restitution  organisée  des  connaissances    

1) Soient  m  et  n,  2  entiers  naturels  supérieurs  ou  égaux  à  2  et  a  et  b,  2  entiers  relatifs.  Démontrer  que  si  m  divise  n  alors   a ≡ b n[ ] ⇒ a ≡ b m[ ]  

 2) En  utilisant3320 ≡ 5 13[ ] ,  démontrer  que  33201981 − 5  est  divisible  par  13  3) a  et  b  deux  entiers  naturels  non  nuls,  déterminer  le  PGCD  de  ab  et  (2a+1)b.  

 B) Exercices  sur  les  congruences  

 Soit  n  un  entier  naturel  non  nul.    1) Etudier  suivant  les  valeurs  de  n,  les  différentes  valeurs  de  2n  modulo  7  2) Etudier  suivant  les  valeurs  de  n,  les  différentes  valeurs  de  50n  modulo  7  3) En  déduire,  suivant  les  valeurs  de  n,  les  différentes  valeurs  de  100n  modulo  7  4) Soit   k ∈N  et  n  de  la  forme  n=3k+3  

Soient  b  et  c  2  entiers  tels  que  :   0 ≤ b ≤ 9        et         0 ≤ c ≤ 9  On  considère  le  nombre  A  dont  l’écriture  en  base  10  est  :    

A  =  bcbc.....bcbcbc      (b  et  c  étant  répétés  chacun  n=3k+3  fois)    

(le  1er  chiffre  c  en  partant  de  la  droite  étant  le  chiffre  des  unités,  b  celui  des  dizaines,              c  celui  des  centaines  ……)    Démontrer  que  A  est  divisible  par  7.