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A. Berger TS Marine année 2012-2013 1 / 32

TS MARINE 2012-2013

DEVOIRS DE MATHEMATIQUES

SUJETS

DS1 19/09/2012 page 2 (étude de fonctions)

DS2 10/10/2012 page 4 (fonctions +suites)

DV 26/10/2012 page 8 (nombres complexes : forme algébrique)

DS 21/11/2012 page 9 (nombres complexes, étude de fonctions, étude de suites)

DV 07/12/2012 page 13 (fonction exponentielle)

DS 17/12/2012 page 14

BAC BLANC 17/01/2013 page 18

DV 08/02/2013 page 23

DS 13/03/2013 page 24

DV 09/04/2013 page 28

DS7 07/05/2013 page 29


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine et Turquoise 19/09/2012 2 heures CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (4,5 points) La courbe ci-dessous représente une fonction �.

Aucune justification n’est demandée. Par lecture graphique, 1° Déterminer l’ensemble de définition. 2° Déterminer les limites aux bornes ouvertes de cet ensemble de définition. 3° Déterminer les asymptotes (préciser leurs équations). 4° Dresser le tableau de variation (penser à mettre les limites), en faisant apparaître le signe de la dérivée. 5° Dresser le tableau de signe de ��.

EXERCICE II : (2 points)

Dans chaque situation, donnez une fonction rationnelle, définie sur �1; ∞� par �� telle que :

1è��situation ∶ ��→�

!�� ∞, ��→�

#�� ∞$% ��→�

�� ∞

2è'�situation ∶ ��→�

!�� ∞, ��→�

#�� ∞$% ��→�

�� 0 Justifier votre choix.


EXERCICE III : (13,5 points) On considère la fonction ) définie sur *−∞; ,� ∪ *,; +∞� par :

�� = 2�² − 16� + 27�� − 3�² = 2�2 − 16� + 27

�2 − 6� + 9

On appelle 4) sa représentation graphique dans un repère orthonormal �5;67; 87� d'unité 1 cm.

1° Etudier les limites de la fonction � aux bornes de son ensemble de définition. En déduire l’existence d’asymptote(s) parallèle(s) aux axes.

2° Etudier la position relative de la courbe 9: et de la droite ∆ d’équation ; = 2.

3° a) Déterminer la fonction dérivée �′. On montrera que �=�� = >�?@

��?A�B

b) Etudier le signe de �=�� c) Déterminer le sens de variation de la fonction �. 4° Dresser le tableau de variation complet de la fonction �. 5° Encadrer au mieux �� pour � ∈ �1; 2*. 6° Déterminer une équation de la tangente au point d’abscisse 0.

7° Dans le repère orthonormal �D; E7; F7�, d'unité 1 cm, tracer les asymptotes, les éventuelles tangentes horizontales et tracer la courbe 9:. 8° Un logiciel de calcul formel (TI 89) a donné l’écran suivant :

Comment interpréter graphiquement l’information donnée ?


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine et Turquoise 10/10/2012 3 heures CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

EXERCICE I : (5 points)

1° On considère la fonction � définie sur �0; ∞� par �� √�2 − � 1

a) Justifier que la fonction � est bien définie sur �0; ∞� b) Déterminer �′�� et étudier son signe. c) Calculer ��

�→� ��.

d) Dresser le tableau de variations de la fonction �.

2° On considère la courbe 9 d’équation ; � √� pour � ∈ �0; ∞�. On place H�1; 0�.

Soit I un point quelconque de 9, on note � son abscisse. On veut déterminer la position du point I sur 9 qui rend minimale la distance HI.

a) Démontrer que la distance HI est donnée par HI � √�2 − � 1 pour � ∈ �0; ∞�. b) En réinvestissant les résultats obtenus dans la question 1, déterminer la position du point I pour

laquelle la distance HI est minimale.

Préciser la valeur exacte de cette distance minimale et sa valeur arrondie à 10?J près.


EXERCICE II : (7,5 points)

Soit la suite �KL� définie pour tout entier naturel M par : KN = 9$%KL�J = J2 OKL +

PQRS

1. a. Soit � la fonction définie sur *0; +∞[ par �(�) = J2 O� + P�S . On appelle T sa courbe représentative. On donne son tableau de variation :

� 0 3 +∞ �=(�) − 0 + �(�)

+∞ +∞ 3

• Justifier tous les éléments du tableau de variation, avec les méthodes habituelles.

• Interpréter graphiquement les limites, si possible.

1. b. Résoudre dans ]0; +∞[ l’équation �(�) = �. 1. c. On donne en annexe la courbe représentative de la fonction � sur [1; 10] dans le plan muni d’un repère orthonormal.

Construire KN, KJ, K2 sur l’axe des abscisses. (On laissera apparents les traits de construction).

2. On étudie le comportement de la suite (KL) . 2. a. Montrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que pour tout M de �, on a : 3 ≤ KL�J ≤ KL

Quelles propriétés de la suite (KL) en déduisez-vous ?

2. b. Prouver que la suite (KL) converge.

3. Déterminer la limite ℓ de la suite (KL). 4. Avec la table de la calculatrice, donner la valeur de K> et justifier que |K> − ℓ| < 0,0001


EXERCICE III : (7,5 points)

Partie A On considère l’algorithme suivant : les variables sont le réel Yet les entiers naturels Z et !.

Entrée Saisir le nombre entier naturel non nul !

Traitement Affecter à Y la valeur 0 Pour Z allant de 0 à ! − 1 Affecter à Y la valeur 3Y − 2Z + 3 Fin pour

Sortie Afficher Y

Quel est l’affichage en sortie lorsque N = 3 ?

Partie B On considère la suite (KL) définie par KN = 0et, pour tout entier naturel n, KL�J = 3KL − 2M + 3 1. Calculer KJ$%K2 2. a. Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel M, KL ≥ M

2. b. En déduire la limite de la suite (KL). 3. Démontrer que la suite (KL) est croissante.

4. Soit la suite(\L) définie, pour tout entier naturel M, par \L = KL − M + 1 a. Démontrer que la suite (\L) est une suite géométrique.

b. En déduire que, pour tout entier naturel n, KL = 3L + M − 1 5. a. Déterminer à l’aide de la calculatrice le plus petit entier MN tel que :

pour tout M ≥ MN, KL > 10A 5. b. On veut écrire un algorithme qui, pour une valeur de p donnée en entrée, affiche en sortie la valeur du plus petit entier MN tel que, pour tout M ≥ MN , on ait KL > 10^. Deux algorithmes possibles sont proposés. Chacun choisit la proposition qu’il veut et complète l’algorithme choisi sur la page réponse 4/4 à rendre avec le devoir.

Proposition 1 :

Entrée Initialisation

Entrer _ M = ⋯ Traitement Tant que …

Affecter à M la valeur … FinTantque

Affichage Afficher « le plus petit entier tel que KL > 10^ est », M

Proposition 2 :


Entrer _ M = ⋯ K = ⋯ Traitement Tant que …

Affecter à M la valeur … Affecter à K la valeur … FinTantque


5. c. Les questions 5a et 5b illustrent la définition formelle de la limite de la suite (KL). Expliquer en quoi, en vous appuyant sur cette définition que vous donnerez.


Annexe exercice I :

Annexe exercice III : Préciser votre choix : Proposition n° …

Proposition 1 :


Entrer _ M = ⋯

Traitement Tant que … Affecter à M la valeur … FinTantque


Proposition 2 :


Entrer _ M = ⋯ K = ⋯ Traitement Tant que …

Affecter à M la valeur … Affecter à K la valeur … FinTantque


Cf

2 3 4 5 6 7 8 9 10

2

3

4

5

0 1

1

x

y

NOM :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 26/10/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions

suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.


Résoudre dans � les équations suivantes. Les solutions seront données sous forme algébrique. 1��2 − ��a + 1 − � = 0 2)a² − 4a + 8 = 0 3)(a2 + 1)(4 − �a) = 0 4)�a̅ = 2z + i 5)(a − 3�)(a̅ + 1 − 4�) = 0 EXERCICE II : (10 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (D; Kg7; \7) A tout point Id’affixe atel que a ≠ 2�, on associe le point I’d’affixea’défini par

a= = 2aa − 2� 1ère Partie : 1. Déterminer l’affixe du point H′ image de A d’affixe �. 2. Déterminer l’affixe de j, antécédent de j’ d’affixe 2�. 3. Déterminer les points invariants c'est-à-dire tels que I’ = I. 2ème Partie : On pose a = � + �;, avec � et ; réels et (�; ;) ≠ (0; 2) 1. Ecrire a′ sous forme algébrique a= = �= + �;′ en fonction de � et ; ☺ On montrera que :

�= = 2�² + 2;² − 4;�² + (; − 2)²

2. Déterminer l’ensemble des points I d’affixe a tels que : a′ soit imaginaire pur.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine et Turquoise 21/11/2012

4 heures CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à condition de l’indiquer clairement sur la copie. Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

Chacun traitera l’exercice II qui le concerne : Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : ( 3 points) On considère, dans l'ensemble des nombres complexes, l'équation (E): aA + 2a2 − 16 = 0

1° a) Vérifier que pour tout nombre complexea, on a aA + 2a2 − 16 = (a − 2)(a2 + 4a + 8) b) En déduire les solutions de l'équation (E ) .

2° a) Dans le plan complexe, muni du repère orthonormé direct (D; Kg7; \7) d’unité 1cm, placer les points A, B et D d'affixes respectives ak = −2 − 2�, al = 2$%a� = −2 + 2�. On complétera la figure au fur et à mesure. b) Calculer l'affixe am du point C tel que ABCD soit un parallélogramme. Calculer l’affixe du centre E du parallélogramme. c) Soit F le point d’affixe an = 4 − � . Démontrer que les points B, D et F sont alignés.


EXERCICE II : (5 points) NON SPECIALITE

Dans le plan complexe (P) muni d’un repère orthonormal direct �D; Kg7; \7� d’unité graphique 2 cm, on considère le point A d’affixe −1 et l’application � , du plan (P) dans lui-même, qui au point I d’affixe a, distinct de A, associe le point I’ = ��I� d’affixe a’ tel que : a= = op

p�J.

Faire une figure que l’on complétera au fur et à mesure (points, droite, cercle,...).

1° Déterminer l’affixe des points I tels que I’ = I. 2° Déterminer l’affixe du point j′ image de j d’affixe 2�. 3° Démontrer que pour tout a réel, et a ≠ −1, on a : a′ imaginaire pur.

4° a) Déterminer l’affixe du point q antécédent de H d’affixe −1,

b) Montrer que q appartient au cercle �de centre Ω d’affixe ?J2 et de rayon

J2.

5° On pose a = � + �;, avec � et ; réels et ��; ;� ≠ �−1; 0) a) Ecrire a′ sous forme algébrique a= = �= + �;′ en fonction de � et ;

b) Déterminer l’ensemble Δ des points I d’affixe a, avec a ≠ −1, tels que I= ∈ (D; \7).


EXERCICE III : ( 6 points)

Soit la fonction � définie sur * − ∞;−1�∪* − 1; +∞� par

�� = �A − �2 + 2� + 1� + 1

On donne une capture d’écran d’une TI 84 représentant la courbe 9:.

Il semble que la courbe ait une tangente de coefficient directeur égal à 0.

1° Déterminer les réels t, u, v et w tels que pour tout � ∈* − ∞;−1�∪* − 1; +∞� , �� = t�2 + u� + v + w

� + 1

2° Déterminer les limites aux bornes de l’ensemble de définition

Les interpréter graphiquement lorsque c’est possible.

3° Retrouver, avec les méthodes habituelles, l’expression de �′�� donnée par le logiciel XCas. On précise qu’avec le logiciel Xcas,

la commande deriver(f(x)) donne souvent une écriture peu explicite de �′��, alors que la commande factoriser(deriver(f(x)) donne l’écriture habituelle de �′��.

4° On considère la fonction ! définie sur � par !�� = 2�A + 2�2 − 2� + 1 a) Déterminer les limites de !�� en −∞ et en +∞.

b) Etudier le signe de !′��. Dresser le tableau de variation de la fonction !.

c) Démontrer l’équation !�� = 0 a une unique solution dans � que l’on notera x.

Dresser le tableau de signe !(�). d) Par dichotomie sur l’intervalle [−2; −1], déterminer un encadrement d’amplitude 0,1 de la

solution x. On écrira les étapes de la recherche. e) Par la méthode de balayage, donner un encadrement de α d’amplitude 0,01

5° a) Dresser le tableau de signe de �′(�). b) Dresser le tableau de variation de la fonction �.

6° Donner une réponse à la conjecture faite au vu de la courbe sur la calculatrice.


EXERCICE IV : (6 points) Certains résultats de la partie A pourront être utilisés dans la partie B, mais les deux parties peuvent être traitées indépendamment l’une de l’autre.

Partie A :

On définit :

• La suite �KL� par KN = 13 et, pour tout entier naturel M : KL�J = JyKL +

>y

• La suite �zL� pour tout entier naturel M par :

zL = {K||}L

|}N= KN + KJ + K2 +⋯+ KL

1. a. Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel M, KL = 1 + 12 × OJySL

1. b. Démontrer que pour tout M de �, on a : KL�J − KL = ?>�y × OJyS

L

En déduire le sens de variation de la suite �KL� 1. c. Déterminer la limite de la suite �KL�. 1. d. On considère l’algorithme :

Entrée M entier naturel

Initialisation Affecter à K la valeur 13.

Affecter à z la valeur 13.

Traitement Pour Z de 1 jusqu’à M

K prend la valeur JyK +

>y

z prend la valeur z + K Fin Pour

Sortie Afficher z.

Faire fonctionner l’algorithme « à la main », pour M = 2 et donner l’affichage obtenu.

Faire fonctionner l’algorithme « à la main », pour M = 3 et donner l’affichage obtenu.

Préciser le rôle de l’algorithme.

2. a. Démontrer que pour tout M de �, on a : zL�J − zL = 1 + 12 × OJySL�J

Déterminer le sens de variation de la suite �zL�. 2. b. Calculer zL en fonction de M.

2. c. On admet que zL = M + 1 + 15 × �1 − OJySL�J�.

Déterminer la limite de la suite �zL�

Partie B :

Étant donnée une suite ��L� de nombres réels, définie pour tout entier naturel M, on considère la suite �zL� définie par :

zL = {�||}L

|}N

Indiquer pour chaque proposition suivante si elle est vraie ou fausse. Justifier dans chaque cas.

Proposition 1 : si la suite ��L� est convergente, alors la suite �zL� l’est aussi.

Proposition 2 : les suites ��L� et �zL� ont le même sens de variation.


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 07/12/2012 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies. Le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes à

condition de l’indiquer clairement sur la copie.

Le candidat est invité à faire figurer sur la copie toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, qu’il aura développée.

D’après Amérique du Sud Novembre 2002 Partie A : Etude d’une fonction auxiliaire. Soit �la fonction définie sur � par �� = $��1 − �� + 1. 1° Etudier le sens de variation de �.

2° a) Déterminer la limite de � en + ∞ 2° b) Déterminer la limite de � en −∞ . Que peut-on en déduire ? 3° Dresser le tableau de variation de la fonction � 4° Démontrer que l’équation �� = 0 admet une unique solution dans �, on la note α. Donner une valeur approchée de α à 0,1 près. 5° Déterminer le signe de �(�). Partie B : Etude de la fonction�

On considère la fonction � définie sur � par :

�(�) = �$� + 1 + 2 On désigne par 9: la courbe représentative de � dans un repère orthonormal (D; E7; F7). Son tracé n’est pas

demandé.

1° Déterminer la limite de � en − ∞. 2° Déterminer la limite de � en + ∞ et interpréter graphiquement ce résultat.

3° a) Calculer �=(�) et montrer que �=(�) = �(�)(��J)�. 3° b) Dresser le tableau de variation de la fonction �. 3° c) Montrer que �(x) = 1 + x





Chacun traitera l’exercice II qui le concerne : Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (5,5 points) Partie 1 : Soit � la fonction définie sur �0; ∞� par �� 3$� − 3�$� 1. 1. Déterminer la limite de � en ∞.

2. Étudier les variations de la fonction �.

3. Donner le tableau de variations de �. 4. a. Démontrer que l’équation �� 0 admet sur �0; ∞� une unique solution. On notex cette solution.

4. b. Justifier l’inégalité : 1,10 U x U 1,11. 5. Déterminer le signe de �� suivant les valeurs de �. Partie 2 : Soit H la fonction définie et dérivable sur �0; ∞� telle que H�� >�

A��J

1. Démontrer que pour tout réel x positif ou nul, H′�� a le même signe que ��, où � est la fonction définie dans la partie 1.

2. En déduire les variations de la fonction H sur �0; ∞� . Partie 3 : On considère la fonction � définie sur �0; ∞� par ��

>A��J

On note 9: sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Cette courbe est donnée ci-dessous, mais ne sera pas à rendre.

Pour tout réel x positif ou nul, on note :

I le point de 9: de coordonnées ��; ��, � le point de coordonnées ��; 0�, et � le point de coordonnées �0; ��. Démontrer que l’aire du rectangle D�I� est maximale lorsque M a pour abscisse x.



Soit �KL� la suite définie par KN = 5 et pour tout nombre entier naturel M, par KL�J = >QR?JQR�2 .

On considère la fonction � définie sur l’intervalle * − 2;+∞� par �� = >�?J��2 .

1. Montrer que la fonction � est strictement croissante sur * − 2; +∞� . 2. On donne en annexe (à rendre avec votre devoir) une partie de la courbe représentative (C) de la fonction � ainsi que la droite (w) d’équation ; = �. Sur l’axe des abscisses, placer KN puis construire KJ , K2et KA en laissant apparents les traits de construction. 3. Démontrer par récurrence que, pour tout nombre entier naturel M, on a : KL > 1

4. Montrer que : pour tout M de �, on a : KL�J ≤ KL

5. La suite �KL� est –elle convergente ? 6. Dans cette question, on se propose d’étudier la suite �KL� par une autre méthode, en déterminant une expression de KL en fonction de M. Pour tout nombre entier naturel M, on pose \L = J

QR?J .

6. a. Démontrer que la suite �\L� est une suite arithmétique de raison JA.

6. b. Pour tout nombre entier naturel M, exprimer \L , puis KLen fonction de M. 6. c. En déduire la limite de la suite �KL�.

EXERCICE III : (4,5points) Partie A : Restitution organisée de connaissances. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct �D;Kg7; \7�. Soient H, j et 9 trois points du plan, deux à deux distincts, d’affixes ak, al, am

On rappelle que : Hj = |al − ak| et arg�al − ak� = �Kg7; Hjggggg7��2�*

Montrer que : �p�?p�p�?p�� =kmkl et arg Op�?p�p�?p�S = �Hjggggg7; H9ggggg7��2�*

Partie B : On considère les points H, j et 9 d’affixes ak = 1 + �,al = −1 + 2�,am = −�. Faire une figure dans un repère orthonormé direct �D; Kg7; \7� d’unité 2cm du plan complexe.

1. a. Calculer p�?p�p�?p�

1. b. En déduire la nature du triangle Hj9.

2. Déterminer et construire l’ensemble � des points I d’affixe a tels que : |a + �| = |a − 1 − �|

3. Démontrer que : �1 + ��2NJ2 est un réel.


EXERCICE IV : ( 5 points)

Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormé direct �D;Kg7; \7� d’unité 2cm,

On considère les points H, j et 9 d'affixes respectives :

ak = −32 +�√32 , al = ak� $%am = −3.

On complétera la figure au fur et à mesure. On laissera apparents les traits de construction.

Partie A

1. Écrire les nombres complexes ak et al sous forme exponentielle.

2. Placer les points H, j et 9.

3. Démontrer que le triangle Hj9 est équilatéral. Partie B

Soit � l’application qui, à tout point I d’affixe a du plan, associe le point I’ d’affixe a= = JA �a².

On note H’, j’ et 9’ les points respectivement associés par � aux points H, j et 9.

1. a. Déterminer la forme exponentielle des affixes des points H’, j’$%9’.1. b. Placer les pointsH’, j’$%9’. 1. c. Démontrer l’alignement des points D, H$%j’ ainsi que celui des points D, j$%H’.

2. Soit � le point défini par �Dggggg7 + �Hggggg7 + �jggggg7 + �9ggggg7 = 0g7 Déterminer son affixe. 3. Démontrer que :

Si I appartient à la droite (Hj) alors I’ appartient à la parabole d’équation : ; = − JA�2 + A>. (On ne demande pas de tracer cette parabole)


Annexe :

Ex II NON SPECIALITE

NOM :


Lycée Saint Thomas d’Aquin jeudi 17 janvier 2013

Calculatrice personnelle autorisée (le prêt est interdit)

Ce sujet comporte 5 pages numérotées de 1/5 à 5/5

Ce sujet est composé de quatre exercices indépendants :

Les exercices I, III et IV sont à traiter par tous les candidats.

Pour l’exercice II, chacun traitera celui qui le concerne :

Exercice II : spécialité ou Exercice II : non spécialité

Pour les élèves « spécialité Maths », l’exercice II sera traité sur une feuille séparée.

La qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciation des copies.

Dans chaque exercice, le candidat peut admettre un résultat précédemment donné dans le texte pour aborder les questions suivantes, à condition de l’indiquer clairement sur la copie.


Partie A : On considère la fonction � définie sur �0; +∞[ par �(�) = $� − � − 1. 1. Étudier les variations de la fonction �.

2. Déterminer le signe de �(�) suivant les valeurs de �. 3. En déduire que pour tout � de [0; +∞[, $� − � > 0. Partie B : On considère la fonction � définie sur [0; 1] par �(�) = ��?J��?�. La courbe (C) représentative de la fonction � dans le plan muni d’un repère orthonormal est donnée en page annexe (à rendre).

On admet que � est strictement croissante sur [0; 1]. 1. Montrer que pour tout x de [0; 1], �(�) ∈ [0; 1]. 2. Soit (D) la droite d’équation ; = �. 2. a. Montrer que pour tout � de [0; 1], on a :

�(�) − � = (1 − �). �(�)$� − �

2. b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0; 1].

Partie C : On considère la suite (KL) définie par : � KN = J2KL�J = �(KL), pour tout entier naturel M.

1. Construire sur l’axe des abscisses les quatre premiers termes de la suite en laissant apparents les traits de construction.

2. Montrer que pour tout entier naturel M, J2 ≤ KL ≤ KL�J ≤ 1

3. En déduire que la suite(KL) est convergente, puis déterminer sa limite.

4. On considère l’algorithme : Affecter à M la valeur 0

Affecter à K la valeur 0,5

A l’issue du fonctionnement,

on obtient comme affichage : 11

Interpréter cet affichage.

Tant que |K − 1| ≥ 0,01

Affecter à K la valeur �(K) Affecter à M la valeur M + 1

Fin Tantque

Afficher M

BAC BLANC DE MATHEMATIQUES : SERIE S 4 heures

TS JAUNE - TS MARINE - TS TURQUOISE - TS VERTE


EXERCICE II : (5 points) SPECIALITE

Les 4 questions sont indépendantes Q1 : a) Démontrer la proposition suivante : "Soit M un entier au moins égal à 2. Le plus petit diviseur entier naturel de M autre que 1 est premier "; on pourra utiliser un raisonnement par l'absurde pour le cas général.

b) En déduire les entiers naturels M tels que le plus grand diviseur de M compris, largement, entre 2 et M − 1soit premier.

Q2 : a. Démontrer que, pour tout entier naturel M, 2AL ≡ 1��w7�. b. Déterminer le reste de la division euclidienne de 20112NJ2 par 7. Q3 : Résoudre dans ℤ l’équation �² + 2� + 4 ≡ 0(��wK��6) .

Q4 : On considère l'algorithme suivant où �M% Ok S désigne la partie entière de k :

Quels résultats affiche cet algorithme pour A = 12 ? Que donne cet algorithme dans le cas général ?


On considère la suite de nombres réels (KL) définie sur � par :

KN = −1 , KJ = J2 $%KL�2 = KL�J − J>KLM ∈ � 1. Calculer K2 et en déduire que la suite (KL) n’est ni arithmétique ni géométrique.

2. On définit la suite (\L) en posant, pour tout entier naturel M : \L = KL�J − J2KL.

2. a. Calculer \N. 2. b. Exprimer \L�J en fonction de \L

2. c. En déduire que la suite (\L) est géométrique de raison J2.

2. d. Exprimer \Len fonction de n.

3. On définit la suite (�L) en posant, pour tout entier naturel M : �L = QR�R.

3. a. Calculer �N. 3. b. En utilisant l’égalité KL�J = \L + J2KL

, exprimer �L�J en fonction de KLet de \L.

3. c. En déduire que pour tout M de � , �L�J = �L + 2. 3. d. Exprimer �L en fonction de M.

4. Montrer que pour tout entier naturel M, on a : KL = 2L?J2R .

5. Pour tout entier naturel M, on pose :

zL = {K||}L|}N

= KN + KJ + K2 +⋯+ KL . Démontrer par récurrence que pour tout M de � : zL = 2 − 2M + 32L

H et ! sont des entiers naturels non nuls Saisir A ! prend la valeur 1

Tant que � ≤ √�

Si k − �M% Ok S = 0, alors afficher ! et

k

Fin Si ! prend la valeur ! + 1 Fin Tant que


EXERCICE III : (5 points)

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct �D; Kg7; \7� (unité graphique 2 cm).

On considère les points H, j et 9 d’affixes respectives ak = �,al = 2�,am = 1

On considère la transformation � qui à tout point I du plan d’affixe a distinct de H, associe le point I′ d’affixe a=: a= = 2�a

a − � On fera une figure que l’on complètera au fur et à mesure.

1. Déterminer l’ensemble des points invariants par la transformation �.

2. Déterminer, sous forme algébrique, les affixes des points j’ et 9’, images respectives des points j et 9 par �.

3. a. Montrer que, pour tout point I distinct de H, l’affixe a’ de I’ vérifie l’égalité :

a= − 2� = −2a − �

3. b. En déduire que si le point I appartient au cercleΓ de centre A et de rayon 1, alors son image I’appartient à un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

3. c. Exprimer une mesure de l’angle �Kg7; jI=gggggggg7� en fonction d’une mesure de l’angle �Kg7; HIgggggg7�.

4. On considère le point # d’affixe a� = √A2 +

A2 �.

4. a. Montrer que # appartient au cercle Γ.

4. b. Déterminer la forme exponentielle de a�.

4. c. Construire, à la règle et au compas, le point # et son image #’ par �. (Laisser apparents les traits de construction)

4. d. Montrer que j,#$%#′ sont alignés.


EXERCICE IV : (4 points)

Pour tout entier naturel M supérieur ou égal à 1, on désigne par �L la fonction définie sur � par :

�L�� = �L$?�

On note 9L sa courbe représentative dans un repère orthogonal �D; Eg7; F7� du plan. Sur le graphique ci-dessous, on a représenté :

• une courbe 9| où Z est un entier naturel non nul, sa tangente �| au point d’abscisse 1 • la courbe 9A

On précise que la droite �| coupe l’axe des abscisses au point H de coordonnées O>y ; 0S.

1. a. Déterminer les limites de la fonction �J en −∞ et en∞.

1. b. Étudier les variations de la fonction �J et dresser le tableau de variations de �J 1. c. À l’aide du graphique, justifier que k est un entier supérieur ou égal à 2.

2. a. Démontrer que pour M [ 1, toutes les courbes 9L passent par le point D et un autre point dont on donnera les coordonnées.

2. b. Vérifier que pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 2, et pour tout réel �, �L=�� L?J�M − ��$?�.

3. Sur le graphique, la fonction f3 semble admettre un maximum atteint pour � � 3. Valider cette conjecture à l’aide d’une démonstration.

4. On admet que la droite �| coupe l’axe des abscisses au point de coordonnées O|?2|?J ; 0S. Déterminer la valeur de l’entier k pour la courbe 9| représentée.


Annexe Exercice I :

N° anonymat :

Ne pas inscrire le nom et la classe !!!


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 08/02/2013 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE I : ( 12 points) D’après Asie Juin 2009

Une entreprise fait fabriquer des paires de chaussettes auprès de trois fournisseurs �J, �2, �A. Dans l’entreprise, toutes ces paires de chaussettes sont regroupées dans un stock unique. La moitié des paires de chaussettes est fabriquée par le fournisseur F1, le tiers par le fournisseur F2 et le reste par le fournisseur F3. Une étude statistique a montré que

• 5% des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur �J ont un défaut ; • 1,5 % des paires de chaussette fabriquées par le fournisseur �2 ont un défaut ; • sur l’ensemble du stock, 3,5 % des paires de chaussette ont un défaut.

1. On prélève au hasard une paire de chaussettes dans le stock de l’entreprise. On considère les évènements �J, �2, �A et D suivants :

• �J: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur �J» ; • �2: « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur �2 » ; • �A : « La paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur �A » ; • D : « La paire de chaussettes prélevée présente un défaut ».

a. Représenter la situation par un arbre pondéré. b. Calculer la probabilité qu’une paire de chaussettes prélevée soit fabriquée par le fournisseur �Jet présente un défaut. c. Calculer la probabilité de l’évènement �2 ∩ # d. En déduire la probabilité de l’évènement �A ∩ # e. Sachant que la paire de chaussettes prélevée est fabriquée par le fournisseur �A, quelle est la probabilité qu’elle présente un défaut ? 2. L’entreprise conditionne les paires de chaussettes par lots de six paires. On considère que le stock est suffisamment grand pour assimiler le choix des six paires de chaussettes à des tirages indépendants, successifs avec remise. On considère la variable aléatoire X qui comptabilise le nombre de paires de chaussettes avec défaut dans un lot. a. Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres. b. Calculer la probabilité que deux paires de chaussettes exactement d’un lot présentent un défaut ; on donnera un résultat arrondi au millième. c. Démontrer que la probabilité, arrondie au millième, qu’au plus une paire de chaussettes d’un lot présente un défaut est égale à 0,983.

EXERCICE II : (8 points) 1° Restitution organisée de connaissances :

Soit A et B deux événements associés à une expérience aléatoire. Démontrer que si A et B sont indépendants pour la probabilité _, alors les événements H̅et B le sont aussi.

2° On dispose deux urnes : une urne YJ qui contient 2 jetons rouges et 1 jeton noir

une urne Y2 qui contient 4 jetons rouges, 1 jeton noir et 1 jeton vert

On lance un équilibré. Si l’on obtient 6, on tire au hasard un jeton de l’urne YJ ; sinon, on tire au hasard un jeton de l’urne Y2.

On considère les événements :

S : « obtenir le 6 » V : « tirer un jeton vert », R : « tirer un jeton rouge » et N : « tirer un jeton noir ».

1° Représenter la situation par un arbre pondéré.

2° Calculer la probabilité d’obtenir un jeton rouge.

3° a) Les événements S et R sont-ils indépendants ?

3° b) Les événements S et ¡¢ sont-ils indépendants ?

4° Les événements z̅ et V sont-ils indépendants ?

Aucune justification n’est demandée pour

les arbres pondérés !





Chacun traitera l’exercice II qui le concerne : Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée. EXERCICE I : (6 points) Partie A : étude d’une fonction

On considère la fonction � définie sur l’intervalle *1; +∞� par �� = �£L�

En annexe page 4, on a tracé dans un repère orthogonal la courbe 9 représentative de la fonction � ainsi que la droite # d’équation ; = �.

1. Calculer les limites de la fonction � en +∞ et en 1.

2. Étudier les variations de la fonction f sur l’intervalle *1; +∞�. 3. En déduire que si � > $ alors �� > $.

Partie B : étude d’une suite récurrente

On considère la suite �KL� définie par : ¤KN = 5KL�J = ��KL�.

1. Sur la figure, en utilisant la courbe 9 et la droite #, placer les points HN, HJ, H2 d’ordonnée nulle et d’abscisses respectives KN, KJ, K2. On laissera apparents les traits de construction.

Quelles conjectures peut-on faire sur les variations et la convergence de la suite �KL� ?

2. a. Montrer que, pour tout entier naturel M, on a : KL > $. 2. b. Déterminer les variations de la suite �KL�. 2. c. En déduire que la suite �KL� est convergente.

2. d. Déterminer sa limite ¥. 3. On donne l’algorithme suivant :

Variables X est une variable réelle ; Y est une variable entière

Traitement Affecter 5 à X et 0 à Y

Tant que X > 2,72 faire

Affecter (X/lnX) à X

Affecter Y + 1 à Y

Fin de Tant que

Sortie Afficher Y

À l’aide du tableau suivant, obtenu avec un tableur, déterminer la valeur affichée par l’algorithme.

M 0 1 2 3 4 5

KL 5 3,1066746728 2,7406525323 2,7183726346 2,71828183001 2,7182818285

Partie C : Une aire. Justifier que l’intégrale ¦ ��w�y

� est l’aire d’une partie du plan que l’on hachurera sur le graphique page 4.



Une fabrique artisanale de jouets en bois vérifie la qualité de sa production avant sa commercialisation. Chaque jouet produit par l’entreprise est soumis à deux contrôles : d’une part l’aspect du jouet est examiné afin de vérifier qu’il ne présente pas de défaut de finition, d’autre part sa solidité est testée. Il s’avère, à la suite d’un grand nombre de vérifications, que :

* 92 % des jouets sont sans défaut de finition ; * parmi les jouets qui sont sans défaut de finition, 95 % réussissent le test de solidité ; * 2 % des jouets ne satisfont à aucun des deux contrôles.

On prend au hasard un jouet parmi les jouets produits. On note : * F l’évènement : « le jouet est sans défaut de finition » ; * S l’évènement : « le jouet réussit le test de solidité ».

1. Construction d’un arbre pondéré associé à cette situation. 1.a. Traduire les données de l’énoncé en utilisant les notations des probabilités.

1.b. Démontrer que _n¢�z�� = J>.

1.c. Construire l’arbre pondéré correspondant à cette situation. 2. Calcul de probabilités. 2.a. Démontrer que p(S) = 0,934. 2.b. Un jouet a réussi le test de solidité. Calculer la probabilité qu’il soit sans défaut de finition. (On donnera le résultat arrondi au millième.) 3. Étude d’une variable aléatoire B. Les jouets ayant satisfait aux deux contrôles rapportent un bénéfice de 10 euros, ceux qui n’ont pas satisfait au test de solidité sont mis au rebut, les autres jouets rapportent un bénéfice de 5 euros. On désigne par B la variable aléatoire qui associe à chaque jouet le bénéfice rapporté. 3.a. Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire B. 3.b. Calculer l’espérance mathématique de la variable aléatoire B. 4. On prélève au hasard dans la production de l’entreprise un lot de 10 jouets. On désigne par §la variable aléatoire égale au nombre de jouets de ce lot subissant avec succès le test de solidité. On suppose que la quantité fabriquée est suffisamment importante pour que la constitution de ce lot puisse être assimilée à un tirage avec remise. Calculer la probabilité qu’au moins 8 jouets de ce lot subissent avec succès le test de solidité. EXERCICE III : (5 points) Les cinq questions sont indépendantes. Partie A :

1. On considère la fonction � définie sur � par �(�) = �$?2� Une des fonctions �, �, q définies sur � est une primitive de fonction �. Retrouver laquelle. Justifier.

�(�) = −14 �²$?2��(�) = 14 (−2� − 1)$?2� + 3q(�) = −12�$?2� 2. On considère la fonction � définie sur ]0; +∞[ par �(�) = 2� + 1 + 2� 2. a. Déterminer une primitive � de � sur ]0; +∞[ 2. b. Déterminer la primitive de � sur ]0; +∞[ qui s’annule en 1.


Partie B : Le plan complexe est muni d’un repère orthonormé direct �D; Kg7; \7� 1. On considère l’ensemble Δ des points I d’affixe a tels que : |a − �| � |a 2�|

L’affirmation « Δ est une droite parallèle à l’axe des réels » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

2. Le réel ?¨J2 est-il un argument du complexe © � �1 ��√3 − �� ? Justifier.

3. L’affirmation : « Pour tous complexes a et a′, on a : a � a=⟺ |a| � |a=| » est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

EXERCICE IV : (4 points)

La partie B peut être traitée indépendamment de la partie A On souhaite créer le long d’un mur un massif de fleurs que l’on protégerait par une bordure (on ne met pas de bordure le long du mur). On dispose de trois morceaux de bois de même longueur ℓ � 1 pour former cette bordure qui délimite un massif ayant la forme d’un trapèze isocèle. (#H � Hj � j9 � 1� On note x la mesure en radians de l’angle H#9« , on a : 0 U x U ¨2.

Partie A : 1. Exprimer la hauteur Hq, et la longueur #9 en fonction de x 2. Montrer que l’aire du massif est donnée en fonction de x par : ��x� � �1 v�¬x�. �¬�Mx�

☺ Aire d’un trapèze : � � ��®L¯�°®±��^�²o²�°®±��~³®Q²�Q2

Partie B :

On considère la fonction � définie sur ́0; ¨2µ par �� 1 v�¬��¬�M�� 1. Montrer que pour � ∈ ´0; ¨2µ, on a : �=�� v�¬� 1��2v�¬� − 1� 2. Etudier le signe de �=�� sur ́0; ¨2µ 3. Dresser le tableau de variation de la fonction �. 4. En déduire l’aire maximale du massif. On donnera la valeur exacte, puis une valeur approchée à 0,01 près.


Annexe exercice I

NOM :


DEVOIR DE MATHEMATIQUES TS Marine 09/04/2013 1 HEURE CALCULATRICE PERSONNELLE AUTORISEE AUCUN DOCUMENT EXERCICE II : (8 points)

L’espace est muni d’un repère �D; E7; F7; Zg7�. On considère les points non alignés H�1; −1; 2�j�0;−1;−1�9(5; 3; −1) et la droite Δ de représentation paramétrique ∶ ¶ � = 1 + %; = −2 − %a = 4 + 2% % ∈ ℝ

Pour chaque affirmation, dire si elle est vraie ou fausse. Justifier la réponse. 1° Le point C appartient à la droite Δ.

2° Le vecteur \7 ¸ 1−24 ¹ est un vecteur directeur de la droite Δ. 3° Les droites (Hj) et Δ ne sont pas coplanaires 4° La droite Δ et le plan (Hj9) sont sécants en un point.

EXERCICE I : (12 points) d’après Antilles Septembre 2010

On considère la fonction � définie sur ]0;+∞[ par �(�) = � + £L�� .

Le but du problème est l’étude de cette fonction et le calcul d’une aire.

On donne la courbe C représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal d’unité 2 cm.

I - Étude graphique d’une fonction auxiliaire On considère la fonction �définie sur ]0;+∞[ par �(�) = �² + 1 − �M�. Sans calcul, à l’aide du graphique de la calculatrice, donner le signe de � sur ]0;+∞[. II - Étude de la fonction ) 1. a. Déterminer la limite en 0 de la fonction f. Quelle est l’interprétation graphique de ce résultat ?

1. b. Déterminer la limite en +∞ de �. 2. Etudier la position de la droite D d’équation y = x par rapport à la courbe C.

3. Soit �′ la fonction dérivée de la fonction �. Calculer �′(�) pour tout réel � de ]0;+∞[. 4. En déduire le sens de variation de � sur ]0;+∞[ puis dresser le tableau de variations de la fonction �. III - Calcul d’une aire 1. Montrer que la fonction q définie sur ]0; +∞[ par q(�) = J2 (�M�)² est une primitive de la fonction ℎ défnie sur ]0; +∞[ par ℎ(�) = »¼ �� 2.Montrerque ∶ À �M�� w�

�J = 12

3. En déduire l’aire de la région du plan délimitée par les droites d’équation x = 1, x = e, la droite D et la courbe C.

On exprimera cette aire en K. t. puis en cm2. Hachurer cette région sur le graphique.

C

2 3

2

3

4

-1

0 1

1

x

y

A.Berger TS Marine Année 2012/2013 29 / 32




Chacun traitera l’exercice II qui le concerne : Ex II SPECIALITE ou Ex II NON SPECIALITE L’exercice de spécialité sera donné sur une feuille spéciale et traité sur une copie séparée.


On considère la fonction � définie sur �par �� = �1 + ��$?�. On note � sa courbe représentative dans un repère orthonormé, cette courbe est donnée en annexe page 4.

On considère la suite �ÁL� définie, pour M ∈ �, par :

ÁL = À ��%�w%L

?J

1° Etudier le signe de �� sur �. 2° Dans cette question 2°, on ne cherchera pas à calculer ÁL. 2° a) Montrer que pour tout M de �, on a : ÁL ≥ 0 . 2° b) Donner une interprétation graphique de ÁL. Hachurez Á> sur le graphique page annexe.

2° c) Montrer que la suite (ÁL) est croissante. 3° On considère la fonction � définie sur � par �(%) = (−2 − %)$?² 3° a) Calculer �′(%). 3° b) Montrer que pour tout �de �on a :

À �(%)w%�?J = (−2 − �)$?� + $

3° c) En déduire l’expression de ÁL en fonction de M

3° d) Déterminer ��L→� ÁL . Donner une interprétation graphique de cette limite 4° Déterminer la valeur moyenne de la fonction � sur [−1; 4] L’interpréter graphiquement et illustrer cette interprétation sur le graphique.



1. Résoudre dans � l’équation a² − 2a + 5 = 0. 2. Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct (D; Kg7; \7) d’unité graphique 2 cm. La figure sera complétée au fur et à mesure.

On considère les points H, j et 9 d’affixes respectives ak, al, am où : ak = 1 + 2�,al = ak� et am = 1 + √3 + �. a. Placer les points A et B dans le repère (D; Kg7; \7). b. Calculer −

−B C

A C

z z

z z et donner le résultat sous forme algébrique.

c. Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.

3. On appelle Γ le cercle circonscrit au triangle Hj9.

Déterminer l’affixe du point Ω centre du cercle Γ et le rayon de ce cercle.

4. Construire le point 9 dans le repère (D; Kg7; \7). Expliquer la construction proposée. (Laisser les traits de construction apparents).

5. Déterminer la forme exponentielle du complexe am − aÂ.

En déduire la valeur de l’angle �Kg7; Ω9ggggg7�

EXERCICE III : (3 points)

Dans l’espace rapporté à un repère orthonormal �D; E7; F7; Zg7�, on considère les points H(3; 1; −5), j(0; 4; −5), 9(−1; 2; −5)$%#(2; 3; 4). 1° Pour chacune des trois affirmations ci-dessous, préciser si elle est vraie ou fausse. Aucune justification n’est demandée. Le candidat doit indiquer sur sa copie le numéro de la question et la mention « VRAI » ou « FAUX ». On attribue 0,75 point par réponse correcte et on retranche 0,25 point par réponse incorrecte. L’absence de réponse n’est pas pénalisée. Un éventuel total négatif est ramené à 0. Affirmation 1. Les points H, j et # sont alignés.

Affirmation 2. Les points H, j, 9 et # sont coplanaires.

Affirmation 3. Une représentation paramétrique de la droite (j#) est :

ÃÄÅÄÆ � = 1 − 2Z; = 72 + Za = −12 − 9Z

(Z ∈ ℝ)

2° Déterminer une représentation paramétrique du plan (Hj9)


EXERCICE IV : (7 points) Les deux situations sont totalement indépendantes

Situation 1 : La durée de vie d’un ordinateur (c’est-à-dire la durée de fonctionnement avant la première panne), est une variable aléatoire X qui suit une loi exponentielle de paramètre Ç avec Ç > 0. Ainsi, pour tout réel % positif, la probabilité qu’un ordinateur ait une durée de vie inférieure à % années,

notée _(§ ≤ %), est donnée par : _(§ ≤ %) = ¦ Ç$?È�w�²N .

1° Restitution organisée de connaissances. Montrer que _(§ > %) = $?È² 2° Déterminer Ç sachant que _(§ > 5) = 0,4.

3° Dans cette question on prendra Ç = 0,18 Sachant qu’un ordinateur n’a pas eu de panne au cours des 3 premières années, quelle est, à 10–3 près, la probabilité qu’il ait une durée de vie supérieure à 5 ans ?

4° Dans cette question on admet que la durée de vie d’un ordinateur est indépendante de celle des autres et que _(§ > 5) = 0,4. 4°a. On considère un lot de 10 ordinateurs. Quelle est la probabilité que, dans ce lot, l’un au moins des ordinateurs ait une durée de vie supérieure à 5 ans ? On donnera une valeur arrondie au millième de cette probabilité.

4°b. Quel nombre minimal d’ordinateurs doit-on choisir pour que la probabilité de l’évènement « l’un au moins d’entre eux a une durée de vie supérieure à 5 ans » soit supérieure à 0,999 ?

Situation 2 : Une entreprise fabrique des conserves alimentaires dont l’étiquette annonce une masse de 250 grammes. Les masses obtenues pour un échantillon de 500 conserves prises au hasard sont données dans le tableau suivant : Masse (en grammes) [235; 240[ [240; 245[ [245; 250[ [250; 255[ [255; 260[ Nombre de conserves 33 67 217 132 51 Partie A : 1° Calculer le pourcentage des conserves alimentaires ayant une masse comprise entre 240 et 255 grammes. 2° On prélève au hasard une conserve de l’échantillon. On considère les deux évènements suivants : H : « la conserve a une masse strictement inférieure à 250 grammes » ; j : « la conserve a une masse au moins égale à 240 grammes ». a. Calculer _(H) et _(j). b. Déterminer _l(H). Arrondir au millième. c. Les évènements H et j sont-ils indépendants ? Partie B : Loi normale Dans cette partie, on admet que la variable aléatoire Y qui à chaque conserve associe sa masse suit la loi normale de paramètres É = 249 et Ê = 5. 1° Calculer �(240 < Ë < 255) et comparer avec le résultat obtenu à la question 1° partie A.

2° On considère la variable aléatoire © définie par © = Ì?2>Py

2° a) Montrer que �(249 − t ≤ Ë ≤ 249 + t) = �(−0,2t ≤ © ≤ 0,2t) 2° b) Déterminer le nombre réel a tel que �(249 − t ≤ Ë ≤ 249 + t) = 0,97. Interpréter à l’aide d’une phrase.


Annexe exercice I

2 3 4 5 6-1-2

2

-1

-2

-3

-4

-5

0 1

1

x

y

NOM :

ts 2012-2013 sujets - maths.ab.free.frmaths.ab.free.fr/ts 2012-2013 sujets.pdf · a. berger ts...

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