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Theorie des langages

Automates finis

Elise Bonzonhttp://web.mi.parisdescartes.fr/vbonzon/

[email protected]

1 / 51Theorie des langages

N

Automates finis

Automates finis

IntroductionFormalisationRepresentation et exemplesAutomates completsLangage genere par un automateAutomate fini non deterministeOperations sur les automatesAutomates finis et langages


N

Automates finis

Automates finis



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Automates finis

Introduction

Automate fini : machine abstraite qui effectue des calculs en utilisant unememoire de taille bornee.

Il nest pas possible daugmenter la taille de la memoire au dela` de cetteborne

Les tailles des donnees et des resultats peuvent etre superieurs a` cetteborne puisque les donnees sont lues et les resultats produitsprogressivement au cours du calcul

La longueur dun calcul peut aussi etre superieure a` la taille de la memoirede lautomate

Celui-ci passe alors necessairement plusieurs fois par un meme etat de samemoire


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Automates finis

Introduction

Les automates finis ont des applications importantes :

Definition de certains aspects des langages naturels ou artificielsDescription de machines physiques (circuits electroniques, machines a`calculer, distributeur dobjets, etc.)Definition de protocoles de communication dans des reseauxDescription de syste`mes de commandes (comme le syste`me de commandesdun ascenseur), etc.

Les automates finis peuvent etre utilises pour calculer des fonctions, oupour reconnatre des langages.


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Automates finis

Automates finis



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Automates finis

Automate fini deterministe

Automate fini deterministe

Un automate fini deterministe est un quintuplet M = Q,, , q0,F ou`

Q est un ensemble fini detats

est un ensemble fini de symboles (un alphabet)

: Q Q est une fonction de transitionsq0 Q est letat initialF Q est lensemble (fini) des etats finaux

Une paire (q,w), ou` q Q est un etat, et w est un alphabet estappele une configuration.


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Automates finis

Derivation

Configuration derivable en une etape

Soit M un automate, q, q Q deux etats, w ,w deux mots et(q,w), (q,w ) les deux configurations correspondantes.On dit que la configuration (q,w ) est derivable en une etape de laconfiguration (q,w) par M, note (q,w) 7 (q,w ), si

w = xw , avec x M est dans letat q

q = (q, x)

On dit alors quon lit la lettre x .


N

Automates finis

Derivation

Configuration derivable

Soit M un automate, q, q Q deux etats, w ,w deux mots et(q,w), (q,w ) les deux configurations correspondantes.On dit que la configuration (q,w ) est derivable de la configuration(q,w) par M, note (q,w)

7 (q,w ), si k 0 et k configurations(qi ,wi ), 1 i k telles que

(q,w) = (q1,w1)

(q,w ) = (qk ,wk)

i , 1 i k, (qi ,wi ) 7 (qi+1,wi+1)


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Automates finis

Reconnaissance dun mot

Reconnaissance dun mot par un automate

La reconnaissance dun mot w par un automate M (appelee aussiexecution dun automate M sur un mot w) est la suite des configura-tions :

(q0,w) 7 (q1,w1) 7 (q2,w2) 7 . . . 7 (qn, )


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Automates finis

Langage reconnu par un automate

Mot accepte par un automate

Un mot w est accepte par un automate si et seulement si

(q0,w)7 (q, ) avec q F

Langage accepte par un automate

Le langage accepte par un automate M, note L(M), est defini par

L(M) = {w |(q0,w) 7 (q, ) avec q F}


N

Automates finis

Langage reconnu par un automate

ATTENTION

Plutot que langage accepte par un automate M, on parle souventde langage reconnu par lautomate M. Il sagit pourtant toujours delensemble des mots acceptes par lautomate, et non pas les mots re-connus par lautomate.


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Automates finis

Automates finis



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Automates finis

Notations

Etat initial

q0

Etat final (2 notations possible)

q q

Transition entre letat p et q : (p, a) = q

p qa


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Automates finis

Exemple

Automate M1

q0 q1

ba

a


N

Automates finis

Exemple

Automate M1

q0 q1

ba

a

Est-ce que M1 reconnait aaba ? accepte aaba ?


N

Automates finis

Exemple

Automate M1

q0 q1

ba

a


Est-ce que M1 reconnait abba ? accepte abba ?


N

Automates finis

Exemple

Automate M1

q0 q1

ba

a



Est-ce que M1 reconnait baab ? accepte baab ?


N

Automates finis

Exemple

Automate M1

q0 q1

ba

a



Est-ce que M1 reconnait baab ? accepte baab ?

L(M1) = {w {a, b}|w ne contient pas deux b consecutifs}


N

Automates finis

Exemple

Automate M2

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b


N

Automates finis

Exemple

Automate M2

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b



N

Automates finis

Exemple

Automate M2

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b




N

Automates finis

Exemple

Automate M2

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b



L(M2) = {w {a, b}|w contient deux b consecutifs}


N

Automates finis

Automates finis



N

Automates finis

Automate complet

Automate complet

Un automate est complet si pour tout etat q Q il existe unetransition pour chaque lettre de lalphabet .

q Q, x , (q, x) est defini


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Automates finis

Exemple

= {a, b}Lautomate M1 est-il complet?

q0 q1

ba

a

Lautomate M2 est-il complet?

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b


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Automates finis

Etats puits et poubelles

Etat puit

Un etat puits est un etat q Q pour lequel toutes les transitions sontde la forme (q, x) = q.

Etat puits de M2?

Etat poubelle

Un etat poubelle est un etat puits non final.

Pour = {a, b}

q0

a,b


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Automates finis

Automates equivalents

Automates equivalents

Deux automates M et M sont equivalents si et seulement si L(M) =L(M ).

Propriete

Pour tout automate fini, il existe un automate fini complet equivalent

Si lautomate nest pas complet, on le comple`te en ajoutant un etatpoubelle


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Automates finis

Exemple

Lautomate M1.

q0 q1

ba

a


N

Automates finis

Exemple

Automate M1.

q0 q1

ba

a

Automate M1 complete

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b


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Automates finis

Automates complets

Propriete

Pour un automate complet, la reconnaissance dun mot ne bloquejamais.

(q0,w) 7 (q1,w1) 7 (q2,w2) 7 . . . 7 (qn, )On a deux possibilites

Soit qn F , et w est un mot accepteSoit qn 6 F , et w nest pas un mot accepte


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Automates finis

Automates finis



N

Automates finis

Langage genere par un automateUn automate peut etre vu comme un mecanisme decrivant, ougenerant, un langage

Langage genere a` partir dun etat par un automate

Le langage genere a` partir dun etat q par un automate M, noteL(q) est lensemble des mots acceptes a` partir de cet etat.

L(q) = Lq = {w |(q,w) 7 (q, ) et q F}

Langage genere par un automate

Le langage genere par un automate M est defini par

L(M) = L(q0)

Remarque : Soit q un etat poubelle. L(q) = .


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Automates finis

Langage genere par un automateUn automate peut etre vu comme un mecanisme decrivant, ougenerant, un langage

Langage genere a` partir dun etat par un automate

Le langage genere a` partir dun etat q par un automate M, noteL(q) est lensemble des mots acceptes a` partir de cet etat.

L(q) = Lq = {w |(q,w) 7 (q, ) et q F}

Langage genere par un automate

Le langage genere par un automate M est defini par

L(M) = L(q0)

Remarque : Soit q un etat poubelle. L(q) = .25 / 51

Theorie des langages

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Automates finis

Syste`me dequations definissant un lan-gage

Equation definissant un langage genere a` partir dun etat

Le langage genere a` partir dun etat q par un automate M est definipar une equation de la forme :

L(q) = Lq = (x

x .L((q, x))) + d(L(q))

ou` d(A) =

{ si 6 A si A

Exemple : Pour M1 complete L(q0) = aL(q0) + bL(q1) + L(q1) = aL(q0) + bL(q2) + = aL(q0) + car L(q2) = L(q2) = aL(q2) + bL(q2) + = car q2 est un etat poubelle


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Automates finis

Automates finis



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Automates finis

Automate fini non deterministe


Un automate fini non deterministe est un quintuplet M =Q,,,S ,F ou`

Q est un ensemble fini detats

est un ensemble fini de symboles (un alphabet)

(Q Q) est une relation de transitionsS Q est lensemble (fini) des etat initiauxF Q est lensemble (fini) des etats finaux

Differences avec un automate fini deterministe :

Plusieurs etats de depart possible

Ce nest plus une fonction de transition, mais une relation de transition.


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Automates finis

Exemple

Automate M3

q0

q1

q2

q3

b

a

a,bb

a

a,b

abb L(M3)


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Automates finis


Propriete

Pour tout automate fini non deterministe M, il existe un automate finideterministe M equivalent.

L(M) = L(M )


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Automates finis

Exemple : automate M3

q0

q1

q2

q3

b

a

a,bb

a

a,b

Determinisons M3 L0 = aL0 + bL0 + aL2 + bL1L1 = bL3L2 = aL3L3 = aL3 + bL3 +


N

Automates finis

Exemple : automate M3

Determinisons M3 L0 = aL0 + bL0 + aL2 + bL1L1 = bL3L2 = aL3L3 = aL3 + bL3 +

On sait que L(M3) = L0. On a donc

L0 = a(L0 + L2) + b(L0 + L1)L0 + L2 = a(L0 + L2 + L3) + b(L0 + L1)L0 + L1 = a(L0 + L2) + b(L0 + L1 + L3)L0 + L2 + L3 = a(L0 + L2 + L3) + b(L0 + L1 + L3) + L0 + L1 + L3 = a(L0 + L2 + L3) + b(L0 + L1 + L3) + L0 + L1 + L3 = L0 + L2 + L3


N

Automates finis

Exemple : automate M3L0 = a(L0 + L2) + b(L0 + L1)L0 + L2 = a(L0 + L2 + L3) + b(L0 + L1)L0 + L1 = a(L0 + L2) + b(L0 + L2 + L3)L0 + L2 + L3 = a(L0 + L2 + L3) + b(L0 + L2 + L3) +

On obtient lautomate suivant :

0

01

02

023

b

a

b

a

a

b

a,b


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Automates finis

Automates finis



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Automates finis

Complementation

Complementation

Pour tout automate fini M, il existe un automate fini M tel queL(M ) = L(M)

Interet : pour tout automate complet et deterministe M, et pour toutmot w X , il existe une derivation (s,w) 7 (q, ) telle que

soit q F et w L(M)soit q 6 F et w 6 L(M)

Permet de pouvoir reconnaitre tous les mots de X qui ne sont pasreconnus par M.Methode :

1. Determiniser et completer lautomate

2. Transformer tous les etats finaux en etats non finaux, et vice-versa


N

Automates finis

Complementation

Complementation




Permet de pouvoir reconnaitre tous les mots de X qui ne sont pasreconnus par M.

Methode :




N

Automates finis

Complementation

Complementation




Permet de pouvoir reconnaitre tous les mots de X qui ne sont pasreconnus par M.Methode :




N

Automates finis

Exemple : Complementation


q0 q1 q2

ba

a

b

a,b


N

Automates finis

Exemple : Complementation


q0 q1 q2

ba

a

b

a,b

Automate complementaire a` M1 complete

q0 q1 q2

ba

a

b

a,b


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Automates finis

Automate avec transition instantanee

Automate avec transition instantanee

Une transition instantanee ou -transition permet de passer dunetat a` un autre sans lire de symbole sur le ruban dentree.

Une -transition permet dajouter a` un etat les comportements de letatcible (transition et eventuellement etat final).


N

Automates finis

Exemple : transition instantanee

q0 q2

q1

q3

q4

q5

a

a

a

b


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Automates finis

Union de deux automates

Union

Soit deux automates finis A1 et A2. Il existe un automate fini quireconnait L(A1) L(A2).

Pour calculer lunion de deux automates, il faut calculer lequation quicorrespond a` chacun des langages.


N

Automates finis

Exemple : Union

M4 M5

0 1a

a,b

2 3

ba

a

b


N

Automates finis

Exemple : Union

M4 M5

0 1a

a,b

2 3

ba

a

b

L(M4){

L0 = aL1L1 = aL1 + bL1 +

L(M5){

L2 = aL2 + bL3L3 = aL2 + bL3 +


N

Automates finis

Exemple : Union

0 1a

a,b

2 3

ba

a

b

L(M4){

L0 = aL1L1 = aL1 + bL1 +

L(M5){

L2 = aL2 + bL3L3 = aL2 + bL3 +

L(M4)L(M5) = L0 + L2

L0 + L2 = a(L1 + L2) + bL3L1 + L2 = a(L1 + L2) + b(L1 + L3) + L1 + L3 = a(L1 + L2) + b(L1 + L3) +

= L1 + L2L3 = aL2 + bL3 + L2 = aL2 + bL3


N

Automates finis

Exemple : Union

L(M4) L(M5)

L0 + L2 = a(L1 + L2) + bL3L1 + L2 = a(L1 + L2) + b(L1 + L3) + L3 = aL2 + bL3 + L2 = aL2 + bL3


N

Automates finis

Exemple : Union

L(M4) L(M5)

L0 + L2 = a(L1 + L2) + bL3L1 + L2 = a(L1 + L2) + b(L1 + L3) + L3 = aL2 + bL3 + L2 = aL2 + bL3

0+2

3 2

1+2

b

a

b

a

a

b

a,b


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Automates finis

Intersection de deux automates

Intersection

Soit deux automates finis A1 et A2 qui reconnaissent L(A1) et L(A2).Alors, il existe un automate fini qui reconnait L(A1) L(A2).

L(A1) L(A2) = L(A1) L(A2)


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Automates finis

Produit de deux automates

Produit

Soit deux automates finis A1 et A2 qui reconnaissent L(A1) et L(A2).Alors, il existe un automate fini qui reconnait L(A1).L(A2).


N

Automates finis

Exemple : Produit

0 1a

a,b

2 3

ba

a

b

L(M4){

L0 = aL1L1 = aL1 + bL1 +

L(M5){

L2 = aL2 + bL3L3 = aL2 + bL3 +


N

Automates finis

Exemple : Produit

0 1a

a,b

2 3

ba

a

b

L(M4){

L0 = aL1L1 = aL1 + bL1 +

L(M5){

L2 = aL2 + bL3L3 = aL2 + bL3 +

L(M4).L(M5) = L0L2

L0L2 = aL1L2L1L2 = aL1L2 + bL1L2 + L2

= aL1L2 + bL1L2 + aL2 + bL3= a(L1L2 + L2) + b(L1.L2 + L3)

L1L2 + L2 = a(L1L2 + L2 + L2) + b(L1L2 + L3 + L3)L1L2 + L3 = a(L1L2 + L2) + b(L1L2 + L3) +


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Automates finis

Exemple : Produit

L(M4).L(M5) L0.L2 = aL1.L2L1.L2 = a(L1.L2) + b(L1.L2 + L3)

L1L2 + L3 = a(L1.L2) + b(L1.L2 + L3) +


N

Automates finis

Exemple : Produit

L(M4).L(M5) L0.L2 = aL1.L2L1.L2 = a(L1.L2) + b(L1.L2 + L3)

L1L2 + L3 = a(L1.L2) + b(L1.L2 + L3) +

0.2 1.2

1.2+3

aa

b

b

a


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Automates finis

Automates finis



N

Automates finis

Transformation dun automate fini engrammaire

Grammaire associee a` un automate fini

Pour tout automate M = Q,,, q0,F , il existe une grammairelineaire a` droite qui gene`re L(M).G = VG ,G ,PG ,SG , avec

G = lensemble des symboles terminaux

VG = Q lalphabet. Il y a donc un symbole non terminal pourchaque etat de lautomate

SG = S , ou` S est le symbole non terminal associe a` q0

PG = {A wB|(A,w ,B) } {A |A F}


N

Automates finis

Exemple

Automate M1.

q0 q1

ba

a

L(M1) : L0 = aL0 + bL1 + ; L1 = aL0 +


N

Automates finis

Exemple

Automate M1.

q0 q1

ba

a

L(M1) : L0 = aL0 + bL1 + ; L1 = aL0 + GM1 = VG ,G ,PG , SG , avec VG = {a, b,S ,U}; G = {a, b}; SG = S ;

PG =

S aSS bUS U aSU


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Automates finis

Transformation dune grammairelineaire a` droite en automate

Automate associe a` une grammaire lineaire a` droite

Pour toute grammaire lineaire a` droite G = VG ,G ,PG ,SG , il existeun automate M = Q,,,S ,F qui reconnat L(G ).

Q : Un etat pour chaque symbole non terminal. Letat initial estletat correspondant a` laxiome SG

F : Les etats finaux sont les etats dont les non terminaux associes ontune re`gle du type A Il est ensuite possible de construire le syste`me dequationcorrespondant a` lautomate


N

Automates finis

Exemple

G = VG ,G ,PG , SG , avec VG = {a, b, S ,U}; G = {a, b}; SG = S ;

PG =

S bSS aUS bU aSU bU


N

Automates finis

Exemple

G = VG ,G ,PG , SG , avec VG = {a, b, S ,U}; G = {a, b}; SG = S ;

PG =

S bSS aUS bU aSU bU

G = V G ,G ,P G , S G , avec V G = {a, b, S ,U,V }; G = {a, b}; S G = S ;

PG =

S bSS aUS bVV U aSU bU


N

Automates finis

Exemple


PG =



N

Automates finis

Exemple


PG =


Automate M.

S UV

a

b

b

a

b


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