asservissements_numeriques

7/27/2019 Asservissements_numeriques

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ASSERVISSEMENTS NUMRIQUES

1Modlisation dun asservissement possdant un (des) bloc(s) numrique(s)G(n)

#

+

-

F(p)Bo(p)e(t) s(t)

H(z)

T(p)

Dans un asservissement possdant des blocs numriques ou chantillonns la premire tape de lamodlisation consiste redfinir le schma-bloc pour isoler les entits chantillonnables.On doit toujours garder prsent lesprit que lchantillonnage fonctionne sur lhypothse que lon na

pas connaissance des grandeurs chantillonnes entre les instants dchantillonnage.

Les rgles respecter sont les suivantes: tout bloc numrique est systmatiquement plac entre 2 chantillonneurs; des blocs analogiques contigus doivent tre rgroups pour constituer un seul bloc chantillonn.

G(z)+

-

B0 F T (z)

E(z) S(z)

H(z)

Ce schma peut encore tre simplifi en retirant les chantillonneurs redondants:

G(z)+

-

B0 F T (z)

E(z) S(z)

H(z)

Le bloc B0 F T (z) est obtenu en calculant la transforme en Z de [BO(p).F(p).G(p)]

Dans ces conditions la fonction de transfert chantillonne du systme en boucle ferme vaut:

S(z)

E(z) =

G(z).B0F.T(z)

1 + H(z).G(z).B0F.T(z)

BTS lectronique Physique Applique B. Pontalier

Asservissements Numriques page 1


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2Prcision dun asservissement possdant un (des) bloc(s) numrique(s)2.1calcul de lerreur en rgime permanent

+

-

F(p)Bo(p)e*(t s*(t)*(t)

La prcision est dfinie par le calcul de lerreur en rgime permanent, soit:

R P = lim t (t) = limz 1 1- z- 1( ).(z)

posons T(p) = BO(p).F(p) et T(z) = Z[Bo(p) F(p)] = B0F(z)

do: (z) = E(z)1

1 + T(z)et R P = lim z1 1 - z

- 1( ).E(z)1

1+ T(z)

2.2erreur de positionOn applique lentre du systme un chelon unit: e(t) = U(t) E(z) =

z

z -1=

1

1 - z- 1

donc: R P = lim z1 1 - z- 1( )

1

1- z- 1

1

1+ T(z) = lim z1

1

1+ T(z) =

1

1 + T(1)

systme de classe 0 (sans intgration): T(z) = KN(z)

D(z)

R P = 1

1+ T(1) =

D(1)

D(1) + K.N(1)lerreur est dautant plus faible que le gain statique K est grand;

systme de classe 1 (1 intgration): T(z) = K1

1- z- 1

N(z)

D(z)

R P = 1

1+ = 0 lerreur est nulle;

2.3erreur de tranageOn applique lentre du systme une rampe unit: e(t) = t E(z) =

z

z -1( )2Te =

z- 1

1- z- 1( )

2 Te

donc: R P = lim z1 1 - z- 1

( ) z- 1

1- z- 1( )

2 Te 11 + T(z)

= lim z 1 z- 1

1- z- 1 Te 1

1 + T(z)


D(z)

R P = 1

0

1

1 + T(1) = lerreur tend devenir infinie;


1- z- 1

N(z)

D(z)

R P = z- 1

1- z- 1

( ) Te1 - z- 1( ) D(1)

1- z- 1

( ) D(1)+ K.N(1) = D(1)

K.N(1) Te lerreur est inversement proportionnelle K;




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2.4erreur dacclrationOn applique lentre du systme une parabole: e(t) =

t 2

2 E(z) =

z(z +1)

2 z -1( )3Te

2=

z - 2 1 + z - 1( )2 1 - z

- 1( )3 Te

2

donc: R P = lim z1 1 - z- 1( )

z - 2 1 + z- 1( )2 1 - z

- 1( )3 Te

2

1

1 + T(z) = lim z1

z- 2

1- z- 1( )

2 Te2

1

1+ T(z)


D(z)

R P = 1

0

1



1- z- 1

N(z)

D(z)

R P = 1

0

1


systme de classe 2 (2 intgrations): T(z) = K1

1- z- 1( )

2 N(z)

D(z)

R P = lim z1 z - 2

1- z- 1( )

2 Te2

1 - z- 1( )2

D(1)

1- z- 1( )

2

D(1)+ K.N(1) =

D(1)

K.N(1)Te

2

lerreur est inversement proportionnelle K;

2.5rsumclasse p T a

0D(1)

D(1) + K.N(1)

1 0D(1)

K.N(1)Te

2 0 0D(1)

K.N(1)Te

2

3Stabilit dun asservissement possdant un (des) bloc(s) numrique(s)3.1hypothses

Ltude de la stabilit en boucle ferme dun asservissement linaire continu (non chantillonn) revient examiner lanalyse harmonique (lieu de Nyquist) de la FT de la boucle ouverte.Cette tude est-elle transposable aux systmes chantillonns ?




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Soit: S (j) =F[ s(t) ] le spectre de frquences de s(t)Ce spectre est limit en frquences car le systme asservi se comporte toujours comme un filtre passe-basdu fait de ses composants: actionneurs (moteurs, organes mcaniques) bloqueur (au niveau des CAN et CNA)

Ltude a montr que le spectre du signal chantillonn s*(t) est une rplication priodique du spectre susignal s(t) continu de priode e = 2 / Te

-fmax 0 fmaxfe-fmax fe fe+fmax 2fe-fm 2fe 2fe+fm 3fe-fm 3fe 3fe+fm

spectre chantillonndun signal non

Le thorme de Shannon nous indique que la frquence dchantillonnage doit tre au moins 2 fois plusgrande que la frquence maximale du spectre de s(t).Dans la mesure o cette condition est satisfaite, on peut faire lhypothse que les lments passe-bas dusystme vont liminer les composantes spectrales suprieures fe / 2

-fmax 0 fmaxfe-fmax fe fe+fmax 2fe-fm 2fe 2fe+fm 3fe-fm 3fe 3fe+fm

spectre filtr du signalchantillonn

Le spectre obtenu est ainsi trs proche de celui du signal non chantillonn.Cette observation nous amne conclure quune tude sommaire de la stabilit en boucle ferme dunsystme chantillonn peut tre conduite de la mme manire que ltude des systmes continus.




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3.2conditions de stabilit3.2.1 stabilit en boucle ouverte

T(p)e*(t s*(t)e(t) s(t)

un systme est stable si il revient sa postion dquilibre lorsquil en est cart par une perturbation; celsignifie que pour une entre impulsionnelle la rponse de la sortie doit tre convergente (tendre vers 0).

e(t) = (t) e * (t) = e(nT e) (t - nTe)n =0

= (t)

s(t) = L - 1 T(p)[ ] = R i(t) est la rponse impulsionnelle (rponse libre) du systme linaire T(p)

s* (t) = R i(nTe) (t - nTe)n =0

S*(p) = R i(nTe) e-nTe pn =0

en posant z = eT ep il vient:

S* (p) = R i(nTe) z- n

n= 0

= S(z) = Z T(p)[ ] = T(z)

nous avons montr que pour les systmes linaires continus, la stabilit tait vrifie si les n racines r1, r2...rndu dnominateur de T(p) taient partie relle ngative, soit:

T(p) =K

p - r1( ) p - r2( )... p - rn( )=

A1

p - r1( )+

A2

p - r2( )+ ... +

A n

p - rn( )

R i(t) = A1 er1t + A 2 e

r2t +... + An ern t = 0 lorsque t

T(z) =A1 z

z - er1Te( )

+

A2 z

z - er2Te( )

+ ...+An z

z - ernTe( )

posons: z1 = er1Te , z2 = e

r2Te ... zn = ernTe les n racines du dnominateur de T(z)

si les n racines r1, r2...rn du dnominateur de T(p) sont partie relle ngative, alors les modules des nracines du dnominateur de T(z) seront infrieur 1

Rgle: un systme chantillonn est stable si tous les ples (racine du dnominateur) de la fonction detransfert en z sont situs lintrieur du cercle unit dans le plan complexe (module infrieur 1)

3.2.1 stabilit en boucle ferme

T(z)(z) S(z)E(z)

S(z)

E(z) =

T(z)

1 + T(z)

le systme boucl est stable si les racines du dnominateur [1+T(z)] ont un module infrieur 1



* *

*

*

1-1


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3.3critres de stabilit3.3.1 critre de Jury

il permet de prvoir si les racines de [1+T(z)] sont lintrieur du cercle unit en examinant lescoefficients du polynme numrateur de [1+T(z)]

3.3.2 critre de Nyquist

daprs les hypothses formules prcdemment, la rponse harmonique du systme chantillonn esttrs proche de celle du systme continu, dautant plus que la frquence dchantillonnage est leve;rappelons le critre de Nyquist pour les systmes continus:le systme boucl est stable si le lieu de Nyquist de la fonction de transfert T(p) de la boucle ouvertenentoure pas le point (-1) pour variant de - +

en posant: z = eTep = e

jTe la variable z reprend priodiquement les mmes valeurs lorsque varie de - +; on peut limiter ltude lintervalle [ = -/Te, = +/Te] ou encore [0, 2/Te];dans ce cas le systme sera stable si le trac de T(z) nentoure pas le point (-1).

4Les correcteurs numriques4.1principe

(z) M(z)

C(z)+

-

F(p)Bo(p)E(z) S(z)

On dsire raliser un correcteur # permettant dobtenir la rponse souhaite pour une entre test (chelon,rampe, etc.);parmi les techniques utilises, on distinguera les techniques harmoniques et les techniques temporelles:

- temporelles: elles sont bases sur une modlisation du processus corrig H(z) = S(z) / E(z) danslaquelle on simpose priori la forme de la sortie pour une entre test donne; les techniques # permettentpratiquement toujours de trouver une solution qui fonctionne sur le papier; cest dans la pratique que lonpeut juger de la validit de la technique

- harmoniques: celles issues des correcteurs PID transforms en PID # par les techniques habituellesde transformation p z (transformation bilinaire, etc.); historiquement, les techniques # ont essay decopier les techniques ;

4.2correcteur temps minimalon simpose que la sortie du systme soit atteinte en un temps minimal pour une entre chelon:

- en un coup, la sortie s(nTe) recopie lentre e(nTe) avec une priode Te de retard;soit: s(nTe) = e[(n-1)Te]

la FT du systme corrig doit scrire: H(z) = S(z) / E(z) = z-1




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- en 2 coups, la sortie s(nTe) recopie lentre e(nTe) avec 2 priodes Te de retard;soit: s(nTe) = e[(n-1)Te] + e[(n-2)Te]la FT du systme corrig doit scrire:

H(z) = S(z) / E(z) = z-1 + z-2 avec + = 1 pour H(1) = 1

ces techniques fonctionnent bien sur la papier mais prsentent une grave dfaut: lactionneur est soumis rude preuve avec une commande qui peut comporter de trs grandes oscillations entre les instantsdchantillonnage ( ces oscillations ne sont pas prises en compte dans le modle mathmatique puisque latransforme en Z ne sintresse quaux valeurs aux seuls instants dchantillonnage);

application: correction dun premier ordre avec intgration

F(p) =1

p 1 + p( ) G(p) = Bo F(p) =

1 - e- Te p

p

1

p 1 + p( )

G(z) = 1 - z

-1( ) Z 1p

2

1 + p( )

= 1 - z

-1( ) Te z

z 1( )2

1 e - Te / ( ) z

z 1( ) z e- Te /

( )

G(z) =Te

z 1( )

1 e- Te / ( )z e- Te / ( )

=Te z e - Te / ( ) z 1( ) 1 e- Te / ( )

z 1( ) z e - Te / ( )=

Q(z)

P(z)

pour une rponse en un coup:

C(z) =H(z)

1 - H(z)

P(z)

Q(z)=

z-1

1 - z-1

P(z)

Q(z)=

z e- Te / ( )Te z e

- Te / ( ) z 1( ) 1 e - Te / ( )

pour une rponse en 2 coups:

C(z) =H(z)

1 - H(z)

P(z)

Q(z)=

z -1 + 1 ( ) z-2

1 z -1 1 ( ) z -2

P(z)

Q(z)

4.3correcteur rponse pileafin de mnager le matriel, on se propose de modliser le processus corrig afin que la rponse un

chelon soit atteint au bout dun nombre fini de priodes dchantillonnage, et si possible minimal; cestla rponse pile; on ne simpose pas priori la valeur du temps de rponse, ce qui a pour effet de ne pasintroduire doscillation entre les instants dchantillonnage;

on simpose les conditions suivantes:

- rponse atteinte au bout dun nombre fini N de priodes dchantillonnage: N

H(z) =n=0 hn z-n

- erreur nulle pour une entre chelon: H(1) = 1




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- le correcteur ne doit pas rajouter de ples supplmentaires ceux du processus non corrig: pas doscillation entre les instants dchantillonnage

posons: G(z) = Z[Bo(p) F(p)] = Bo F(z) la fonction de transfert du processusG(z) = Q(z) / P(z) o Q(z) et P(z) sont les polynmes en z du numrateur et du dnominateur

le correcteur scrit:

C(z) =H(z)

1 - H(z)

P(z)

Q(z)

la commande du processus sexprime par:

M(z) =H(z)

Q(z)P(z) E(z)

M(z)

E(z)=

P(z)

Q(z)H(z)

pour satisfaire la condition :

H(z)

Q(z)= K = Cte H(z) = K Q(z)

pour satisfaire la condition :

H(1) = K Q(1) = 1 K =1

Q(1)

le correcteur scrit alors:

C(z) =K Q(z)

1 - K Q(z)

P(z)

Q(z)=

K P(z)

1 - K Q(z)=

P(z)

1

K- Q(z)

=P(z)

Q(1) - Q(z)

on lui prfrera lcriture suivant les polynmes en z- 1

:

C(z) =P(z-1)

Q(1) - Q(z-1

)

4.4correcteurs PID numriqueson sinspire du correcteur PID analogique:

C(p) = K 1 + Td p +1

Ti p

= K

1 + T i p + Ti Td p2

T i p

on effectue la transformation p z




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- par la mthode dEuler (Backward): p = (1 - z- 1

) / Te

C(z) = K

1 +T i

Te1- z - 1( ) +

T i Td

Te1- z - 1( )

2

TiTe

1- z - 1( )

C(z) = KTe2 + T iTe + Ti Td( ) - TiTe + 2Ti Td( ) z- 1 + Ti Td z - 2

Ti Te 1- z- 1( )

- par la transformation bilinaire: p =2

Te1 z - 1

1 + z- 1

C(z) = K

1 + 2Ti

Te

1 z-1

1 + z-1

+ 2

Ti Td

Te

1 z -1

1 + z -1

2

2Ti

Te

1 z-1

1 + z-1



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