arbre et algorithme de recherche

PO3T Programmation orientée objet

Séance 7

Arbre et algorithmede recherche

Sébastien Combéfis, Quentin Lurkin lundi 9 novembre 2015

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Rappels

Structure de données et complexités

Type abstrait de données (TAD)

Complexité temporelle des méthodes

Complexité spatiale de la structure de données

TAD pour représenter des séquences d’éléments

Pile, file, deque et vecteur

Implémentation par structure chainée

Classe interne pour cacher l’implémentation

3

Objectifs

Arbre

Le TAD Tree

Implémentation par tableau ou structure chainée

Le TAD BinaryTree

Algorithme de recherche

Recherche séquentielle et dichotomique

Le TAD BinarySearchTree

4

TAD Arbre (1)

Un arbre stocke des éléments de manière hiérarchique (tree)

Tout élément possède un parent et zéro, un ou plusieurs enfants

La racine de l’arbre n’a pas de parent

Un arbre possède une unique racine

Bière

Trappiste

Rochefort 8 TrappeQuadruple

Abbaye

Leffe Rituel

Autre

Maes Raedler CaraPils

6

Propriétés des arbres (1)

Ensemble de nœuds liés par une relation parent-enfant

Un arbre non vide possède une racine (qui n’a pas de parent)

Les nœuds v ont un parent unique w (v est enfant de w)

Chaque nœud de l’arbre stocke un élément

Deux nœuds avec le même parent sont frère/sœur (siblings)

Un nœud externe (feuille) n’a pas d’enfants (leaf)

Un nœud interne a un ou plusieurs enfants

7


Le nœud u est un ancêtre du nœud v

si u = v

ou si u est un ancêtre du parent de v

Nœud v descendant de u si u ancêtre de v

Sous-arbre enraciné en un nœud v

Arbre avec v en racine et tous ses descendants comme nœuds

8


Bière

Trappiste

Rochefort 8 TrappeQuadruple

Abbaye

Leffe Rituel

Autre

Maes Raedler CaraPils

Racine

frère/sœur

parent/enfant

ancêtre/descendant

Nœud interne

Nœud externe

Trappiste parent de Rochefort 8 et Rochefort 8 enfant de TrappisteBière ancêtre de CaraPils et CaraPils descendant de Bière

9

TAD Arbre (2)

Méthodes spécifiques au TAD arbre

root() renvoie la racine de l’arbre (erreur si vide)

parent(v) renvoie le parent de v (erreur si racine)

children(v) renvoie un itérateur des enfants de v

Méthodes d’interrogation de l’arbre

isInternal(v) teste si v est un nœud interne

isExternal(v) teste si v est un nœud externe

isRoot(v) teste si v est la racine

10

TAD Arbre (3)

Méthodes de mise à jour

Décrites plus loin...

Méthodes additionnelles

size() renvoie la taille de l’arbre

isEmpty() teste si l’arbre est vide

elements() renvoie un itérateur des éléments de l’arbre

positions() renvoie un itérateur des nœuds de l’arbre

replace(v, e) remplace l’élément du nœud v par e et renvoiel’élément qui s’y trouvait avant

11

Interface Tree (1)

1 public interface Tree <E>2 {3 public Position <E> root () throws EmptyTreeException ;45 public Position <E> parent ( Position <E> v)6 throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException ;78 public Iterator < Position <E>> children ( Position <E> v)9 throws InvalidPositionException ;

1011 public boolean isInternal ( Position <E> v) throws InvalidPositionException ;1213 public boolean isExternal ( Position <E> v) throws InvalidPositionException ;1415 public boolean isRoot ( Position <E> v) throws InvalidPositionException ;1617 public int size ();1819 public boolean isEmpty ();2021 public Iterator <E> elements ();2223 public Iterator < Position <E>> positions ();2425 public E replace ( Position <E> v, E e) throws InvalidPositionException ;26 }

12

Interface Tree (2)

EmptyTreeException lorsque opération sur arbre vide

Ne devrait jamais arriver puisqu’on connait la taille de l’arbre

InvalidPositionException pour position pas dans l’arbre

Ne devrait jamais arriver car on reçoit les positions de l’arbre

BoundaryViolationException si opération sur la racine

Ne devrait jamais arriver puisqu’on sait tester la racine

13

Profondeur

La profondeur de v est son nombre d’ancêtres (v exclu)

Mesure de la distance par rapport à la racine

La racine est à une profondeur de zéro

1 public static <E> int depth (Tree <E> T, Position <E> v)2 {3 if (T. isRoot (v))4 {5 return 0;6 }7 return 1 + depth (T, T. parent (v));8 }

14

Hauteur

La hauteur se définit aussi récursivement

Un nœud externe a une hauteur de zéro

La hauteur de v vaut 1 plus la hauteur maximale de ses enfants

La hauteur d’un arbre non vide est celle de sa racine

1 public static <E> int height (Tree <E> T, Position <E> v)2 {3 if (T. isExternal (v))4 {5 return 0;6 }78 int h = 0;9 for ( Position <E> child : T. children (v))

10 {11 h = Math .max (h, height (T, child ))12 }13 return 1 + h;14 }

15

Parcours d’un arbre

Un parcours d’arbre traverse tous ses nœuds

Traversée systématique, visite de tous les nœuds

Deux principaux types de parcours

Préfixe : racine puis chaque sous-arbre

Postfixe : chaque sous-arbre puis racine

A

B C D

G H

E

I

F

16

Parcours préfixe

A B C D G H E I F

1 public static <E> void preorder (Tree <E> T, Position <E> v)2 {3 // Opération avec le noeud v ...4 System .out. println (v. element ());56 for ( Position <E> child : T. children (v))7 {8 preorder (T, child );9 }

10 }

A

1

B

2

C3

D4

G

5

H

6

E 7

I 8

F

9

17

Structure d’un document

Parcours préfixe utilisé pour parcourir un document

Si on représente la structure en chapitres/sections/...

Rapport

Intro Chap 1 Chap 2

Sec 1.1 Sec 1.2

Chap 3

Sec 3.1

Conclu

18

Parcours postfixe

B C G H D I E F A

1 public static <E> void postorder (Tree <E> T, Position <E> v)2 {3 for ( Position <E> child : T. children (v))4 {5 postorder (T, child );6 }78 // Opération avec le noeud v ...9 System .out. println (v. element ());

10 }

A

9

B

1

C2

D5

G

3

H

4

E 7

I 6

F

8

19

Système de fichiers

Parcours postfixe utilisé pour calculer la taille d’un répertoire

Il faut sommer la taille du contenu du répertoire

/home/combefis/ecam/2015/coo

planning.pdf12 Ko

students.xlsx42 Ko slides

cours1.pdf1.17 Mo

cours2.pdf2.24 Mo

examens

jan2015.pdf122 Ko

secret.txt18 Ko

20

Interface Position

Nœuds de l’arbre représentés par l’interface Position

element() renvoie l’élément stocké dans le nœud

La position stocke l’élément et d’autres informations

Informations sur la structure de l’arbre et les liens entre nœuds

1 public interface Position <E>2 {3 public E element ();4 }

21

Classe LinkedTree (1)

1 public class LinkedTree <E> implements Tree <E>2 {3 private Position <E> root;4 private int size;56 public LinkedTree ()7 {8 root = null ;9 size = 0;

10 }1112 private static class TreeNode <E> implements Position <E>13 {14 private E element ;15 private TreeNode <E> parent ;16 private List <TreeNode <E>> children ;1718 public TreeNode (E element , TreeNode <E> parent )19 {20 this . element = element ;21 this . parent = parent ;22 this . children = new LinkedList <TreeNode <E > >();23 }2425 public E element ()26 {27 return element ;28 }29 }

22


1 public Position <E> root () throws EmptyTreeException2 {3 if (root == null )4 {5 throw new EmptyTreeException ();6 }7 return root;8 }9

10 public int size ()11 {12 return size;13 }1415 public boolean isEmpty ()16 {17 return size == 0;18 }

23


1 private TreeNode <E> checkPosition ( Position <E> v) throwsInvalidPositionException

2 {3 if (! (v instanceof TreeNode ))4 {5 throw new InvalidPositionException ();6 }7 return (TreeNode <E >) v;8 }9

10 public Position <E> parent ( Position <E> v) throws InvalidPositionException ,BoundaryViolationException

11 {12 if ( isRoot (v))13 {14 throw new BoundaryViolationException ();15 }16 return (( TreeNode <E >) v). parent ;17 }1819 public Iterator < Position <E>> children ( Position <E> v) throws

InvalidPositionException20 {21 TreeNode <E> tn = checkPosition (v);22 List < Position <E>> children = new LinkedList < Position <E > >();23 for (TreeNode <E> p : tn. children )24 {25 children .add (p);26 }27 return children . iterator ();28 }

24


1 public boolean isInternal ( Position <E> v) throws InvalidPositionException2 {3 return ! isExternal (v);4 }56 public boolean isExternal ( Position <E> v) throws InvalidPositionException7 {8 TreeNode <E> tn = checkPosition (v);9 return tn. children . isEmpty ();

10 }1112 public boolean isRoot ( Position <E> v) throws InvalidPositionException13 {14 checkPosition (v);15 return v == root;16 }1718 public E replace ( Position <E> v, E e) throws InvalidPositionException19 {20 TreeNode <E> tn = checkPosition (v);21 E old = tn. element ;22 tn. element = e;23 return old;24 }2526 // ... et elements () et positions () non implémentés .27 }

25

Arbre binaire

Arbre ordonné et binaire

Un arbre ordonné définit un ordre pour les enfants des nœuds

On peut définir le premier enfant, le deuxième...

Un arbre binaire est un arbre ordonné tel que

Chaque nœud possède au maximum deux enfants

Chaque nœud est soit un fils gauche, soit un fils droit

Le fils gauche précède le fils droit dans l’ordre des enfants

Sous-arbres gauche et droit pour chaque nœud

27

Propriétés des arbres binaires

Un arbre binaire peut être propre (ou impropre)

Chaque nœud possède zéro ou deux enfants

Une arête d’un arbre est une paire (u, v) avec u parent de v

Un arbre possède au maximum 2h+1 − 1 nœuds

A

B

D E

C

28

TAD Arbre Binaire (1)

Les nœuds d’arbre binaire ont max deux enfants (binary tree)

Un nœud est le fils gauche ou le fils droit

Méthodes spécifiques au TAD arbre binaire

left(v) renvoie le fils gauche de v (erreur si absent)

right(v) renvoie le fils droit de v (erreur si absent)

hasLeft(v) teste si v a un fils gauche

hasRight(v) teste si v a un fils droit

29

TAD Arbre Binaire (2)

Méthodes de mise à jour

addRoot(e) crée et renvoie un nœud stockant e et en fait laracine de l’arbre (erreur si arbre non vide)

insertLeft(v, e) crée et renvoie un nœud stockant e et en faitle fils gauche de v (erreur si déjà fils gauche)

insertRight(v, e) crée et renvoie un nœud stockant e et enfait le fils droit de v (erreur si déjà fils droit)

remove(v) supprime le nœud v et le remplace par son fils (erreursi deux fils)

attach(v, T1, T2) attache T1 et T2 comme sous-arbres gaucheet droit du nœud v (erreur si v interne)

30

Interface BinaryTree

L’interface BinaryTree étend l’interface Tree

La méthode children renvoie les fils dans le bon ordre

1 public interface BinaryTree <E> extends Tree <E>2 {3 public Position <E> left ( Position <E> v)4 throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException ;56 public Position <E> right ( Position <E> v)7 throws InvalidPositionException , BoundaryViolationException ;89 public boolean hasLeft ( Position <E> v) throws InvalidPositionException ;

1011 public boolean hasRight ( Position <E> v) throws InvalidPositionException ;12 }

31

Arbre de décision

Un arbre de décision représente un processus de décision

Les nœuds internes contiennent une question

Les nœuds externes contiennent une décision

Les arêtes sont étiquetées avec Oui/Non

Y a-t-il du soleil ?

On est en décembre ?

On fait une raclette !

Oui

On fait un BBQ !

Non

Oui

On dort !

Non

32

Expression arithmétique

Une expression arithmétique permet de l’évaluer

Les nœuds internes contiennent une opération

Les nœuds externes contiennent un nombre

(3 ∗ (1 + 8))− ((5 + 7)/3) −

∗

3 +

1 8

/

+

5 7

3

33

Parcours infixe

1 public static <E> void inorder (Tree <E> T, Position <E> v)2 {3 if (T. hasLeft (v)) { inorder (T, T.left (v)); }45 // Opération avec le noeud v ...6 System .out. println (v. element ());78 if (T. hasRight (v)) { inorder (T, T. right (v)); }9 }

12

6

5

2

3

1

7

4

6

3

8

5

17

10

14

8

13

7

16

9

19

11

34

Classe ArrayBinaryTree (1)

Numérotation des nœuds d’un arbre avec une fonction p(v)

p(v) = 1 si v est la racine

p(v) = 2p(u) si v est le fils gauche de u

p(v) = 2p(u) + 1 si v est le fils droit de u

12

5

3 7

6 8

17

14

13 16

19

12 5 17 3 7 14 19 6 8 13 16

35

Complexité de ArrayBinaryTree

Complexité temporelle des opérations

Méthode Complexité

size, isEmpty O(1)elements, positions O(n)replace O(1)root, parent, children, left, right O(1)hasLeft, hasRight, isInternal, isExternal, isRoot O(1)

Complexité spatiale en O(2h+1 − 1)

En notant bien qu’il y a une capacité maximale fixée

36

Classe LinkedBinaryTree

Utilisation d’une classe BTNode spécifique à l’arbre binaire

Stockage du parent, du fils gauche et du fils droit

1 private static class BTNode <E> implements Position <E>2 {3 private E element ;4 private Position <E> parent , left , right ;56 public BTNode (E element , BTNode <E> parent , BTNode <E> left , BTNode <E>

right )7 {8 this . element = element ;9 this . parent = parent ;

10 this .left = left;11 this . right = right ;12 }1314 public E element ()15 {16 return element ;17 }18 }

37

Complexité de LinkedBinaryTree

Complexité temporelle des opérations

Méthode Complexité

size, isEmpty O(1)elements, positions O(n)replace O(1)root, parent, children, left, right O(1)hasLeft, hasRight, isInternal, isExternal, isRoot O(1)insertLeft, insertRight, attach, remove O(1)

Complexité spatiale en O(n)

Il y a exactement un nœud par élément de l’arbre

38

Définition récursive

Définition récursive d’un arbre binaire

Arbre vide

Un nœud avec un élément et sous-arbres binaires gauche et droit

1 public class RecursiveBT <E>2 {3 private final E element ;4 private final RecursiveBT <E> left , right ;56 public RecursiveBT (E element , RecursiveBT <E> left , RecursiveBT <E> right )7 {8 this . element = element ;9 this .left = left;

10 this . right = right ;11 }12 }

39

Algorithme de recherche

Recherche linéaire

Parcours de la structure de donnée, élément par élément

Jusqu’à trouver l’élément ou avoir parcouru toute la structure

Complexité temporelle en O(n)

Dans le pire des cas, tous les élément sont parcourus

1 public static boolean find (int [] data , int elem)2 {3 for (int i = 0; i < data. length ; i++)4 {5 if (data[i] == elem)6 {7 return true ;8 }9 }

10 return false ;11 }

41

Recherche dichotomique

Recherche plus efficace si les données sont triées

Il faut évidemment avant tout trier les données

Complexité temporelle en O(log n)

On réduit l’espace de recherche de moitié à chaque itération

Recherche de 44

4 6 9 11 12 17 21 23 40 41 44 49 51 59 92 99

start endmid

42

Arbre Binaire de Recherche

Un arbre binaire de recherche est un arbre binaire propre

chaque nœud interne stocke un élément eles éléments du sous-arbre gauche sont <= e

les éléments du sous-arbre droit sont >= e

tous les nœuds externes ne stockent aucun élément

Un parcours infixe permet un parcours par ordre croissant

Complexité temporelle de la recherche en O(h)

43

Recherche d’un élément

1 public static <E> boolean find ( BinaryTree <E> T, E value )2 {3 return T. isInternal ( search (T, T.root () , value ));4 }56 private static <E> Position <E> search ( BinaryTree <E> T, Position <E> v, E e)7 {8 if (T. isExternal (v))9 {

10 return v;11 }1213 if (e. compareTo (v. element ()) < 0)14 {15 return search (T, T.left (v), e);16 }17 else if (e. compareTo (v. element ()) > 0)18 {19 return search (T, T. right (v), e);20 }21 else22 {23 return v;24 }25 }

44

Autres arbres de recherche

Arbre AVL (AVL Tree)

Premier arbre binaire de recherche automatiquement équilibré

Arbre splay (Splay Tree)

Les éléments récemment accédés sont rapidement accessibles

Arbre (2, 4) ((2, 4) Tree)

Arbre général automatiquement équilibré

Arbre rouge et noir (Red-Black Tree)

Arbre binaire automatiquement équilibré

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Crédits

https://www.flickr.com/photos/127497725@N02/16695848708https://www.flickr.com/photos/arenamontanus/14770259458https://www.flickr.com/photos/tudor/295942966

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https://www.flickr.com/photos/127497725@N02/16695848708

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