Appunti: Antitrasformazione

Giulio Cazzoli

v0.2 (AA. 2017-2018)

1 Antitrasformazione 21.1 Formula di Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Convoluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.3 Mediante primitive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1

Antitrasformazione AntiTras t-2

1 Antitrasformazione

Data una funzione Y (s) nel dominio immagine, e possibile ottenere la sua rappresentazione nel dominio deltempo mediante l’operazione di antitrasformazione.

L’antitrasformazione puo essere compiuta mediante:

Formula di Riemann : l’applicazione analitica dell’inverso dell’operatore trasformata di Laplace

Metodo della convoluzione : Utile per l’antitrasformazione per via grafica

Mediante primitive : Applicabile solo nel caso di funzioni rappresentabili come somma di funzioni la cuiantitrasformata e nota

1.1 Formula di Riemann

Si dimostra che la ricostruzione della funzione nel dominio del tempo, noto il dominio di convergenza e lafunzione trasformata, si ottiene con

f(t) =1

2jπ

∫ c+j∞

c−j∞F (s) est dt

Espressione detta Integrale di Bromwich, Integrale di Fourier-Mellin o Formula inversa di MellinIl valore di c e arbitrario nel dominio di convergenza.Se il termine esponenziale a favore di convergenza (σP ) e negativo, si puo assumere c = 0 e la formula di

Riemann coincide con l’antritrasformata di Fourier.

1.2 Convoluzione

E noto che un sistema dinamico LTI:

• caratterizzato da una funzione di trasferimento G(s)

• sollecitato da un impulso X(s) = 1 nel domino del tempo rappresentato dal delta di Dirac x(t) = δ

sara caratterizzato da una risposta Y (s) pari alla funzione di trasferimento.

x(t) = δ ⇒ Y (s) = G(s)⇒ y(t) = L -1 [G(s)] = g(t)

Pertanto la g(t) viene detta funzione di risposta libera.E noto che un sistema dinamico LTI:

• con funzione di risposta libera g(t) = L -1 [G(s)]

• sollecitato da una generica sollecitazione (x(t), X(s))

sara caratterizzato da una risposta nel tempo y(t) data dalla convoluzione (o integrale di Duhamel) tra lafunzione di ingresso e la funzione di risposta libera:

Y (s) = X(s)G(s) =⇒ y(t) =

∫ τ

0

x(τ)g(t− τ)dτ = x ∗ g

Una generica sollecitazione x(t) puo essere discretizzata nell’intervallo 0 ÷ t da una successione di impulsirettangolari di durata dτ e ampiezza x(τ), la risposta y(t) sara data dalla somma, per la proprieta di linearita,della risposta di ciascun impulso elementare applicato al sistema prima dell’istante t.

Il metodo dell’integrale di Duhamel e:

• macchinoso

• indispensabile quando uno dei due termini (x(t) e (g(t)) non e noto analiticamente

Per esempi di ricostruzione grafica della risposta del sistema vedere Dinamica e controllo delle macchinea fluido pagg.95-105

Antitrasformazione AntiTras t-3

1.3 Mediante primitive

Data una funzione nel dominio immagine, se si riesce a ricondurla ad una somma di funzioni la cui antitrasfor-mata e nota, e immediato ottenere la antitrasformata globale sfruttando la proprieta di linearita dell’operatoretrasformata ed antitrasformata:

F (s) =∑

Gi(s)⇒ L -1 [F (s)] = L -1[∑

Gi(s)]

=∑

L -1 [Gi(s)]

Un caso particolare e l’antitrasformazione di una funzione razionale mediante “espansione” in fratti semplici.Infatti una funzione razionale (con grado del numeratore minore di quello del denominatore) puo essere scrittacome:

F (s) =Nm(s)

Dn(s)=

∑ C

s− pm < n

e l’antitrasformazione dei termini C/(s− p) non presenta difficolta.