apprendre à raisonner à l'école - site de l'académie ... · rigoureuse, le...

Thierry Dias – Grenoble – octobre 2010

C l iq u e z p o u r m o d i f ie r le s t y le d e s s o u s -t i t r e s d u m a s q u e

A pprendre à ra is onnerà l'éc ole

l 'e x e m p le d e la g é o m é t r ie

Thierry DIAS, HEP [email protected]

http://perso.orange.fr/dias.thierry/


1 . E n s e ig n e r / a p p r e n d r e la g é o m é t r ie

1 .1 a p p r e n d r e e n m a th é m a t iq u e s

1 .2 la g é o m é t r ie à l 'é c o le

1 .3 p r o g r a m m e s e t r e c o m m a n d a t io n s

2 . R a is o n n e r

2 .1 r a is o n n e r e n m a th é m a t iq u e s

2 .2 r a is o n n e m e n t e t c o g n i t io n

3 . A p p r e n d r e à r a is o n n e r

3 .1 d é m a r c h e

3 .2 s i t u a t io n s

3 .3 a c t iv i t é s

3 .4 p r o g r a m m a t io n

A p p r e n d r e à r a is o n n e r à l 'é c o le


si vous n'aimez pas prendre des notes…

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ra is onner en g éométrie : entrons dans le vif du s ujet ! c o m m e n t r e p r o d u ir e e x a c t e m e n t c e t t e f ig u r e e n g a r d a n t t o u te s s e s p r o p r ié t é s ?

réponse vers 11h45


1. enseigner / apprendre la géométrie

apprendre en mathématiques

la géométrie à l'école

programmes et recommandations


1.1 apprendre en mathématiques

la culture scientifique :

des attitudes

des connaissances


à la r e c h e r c h e d 'u n m o d è le d 'a p p r e n t is s a g e …

E N S E IG N ER APPR E N DR Equ’est-ce qui se

passe ici ???

1.1 Apprendre en mathématiques


u n e r a is o nU TILITA IR E

D é c r i r e e t a g ir s u r le r é e l, a n t ic ip e r le s é v è n e m e n t s

u n e r a is o nD 'E TR E

D é v e lo p p e r s e s c a p a c i t é s d e r a is o n n e m e n t , c o m p r e n d r e le

m o n d e

COMPETENCES ATTITUDES

1.1 Apprendre en mathématiques

A P P R E N D R E e n m a th é m a t iq u e s ?

u n "P O U R Q U O I" u n "C O M M E N T "

Thierry Dias – Grenoble – octobre 2010 1.1 Apprendre en mathématiques

L e s m a th é m a t iq u e s , la te c h n o lo g ie e t le s

s c ie n c e s e x p é r im e n ta le s fo n t p a r t ie d e la c u l t u r e

a u s e n s o ù e l le s p e rm e t t e n t d e s e c o n s t r u i r e u n e

r e p r é s e n t a t io n g lo b a le e t c o h é r e n t e d u m o n d e e t

d e m ie u x c o m p r e n d r e s o n e n v ir o n n e m e n t

q u o t id ie n .

ATTITUDES :

Vers la construction d’une culture scientifique


1.2 enseigner la géométrie…

géo : la terre - metrikos : mesure


es pac e plan

r e p é r a g e

o r ie n t a t io n

r e la t io n s e t p r o p r ié t é s

s o l id e s

f ig u r e s p la n e s

c o m p é t e n c e s e t s a v o i r s :

p lu r i-d is c ip l in a ir e

c o m p é te n c e s e t s a v o i r s :

m a th é m a t iq u e s

c o n n a is s a n c e s , te c h n iq u e s , m é th o d e s

1.2 Enseigner la géométrie


s e r e p é r e r, s e s i t u e r, d é c r i r e


v é c up e r ç uc o n ç u


deux géométries : empirique et théorique

de l'objet au concept

du dessin à la figure

de je vois à je sais



C o m m e n t r é s o u d r e c e p a r a d o x e p e r c e p t i f ??

d'une g éométrie à l'autre : du type empirique au type théorique

illustration :



1.3 programmes et recommandations

instructions officielles

socle commun


"ENSEIGNER LES MATHS"en quoi ça consiste ?

un QUOI un COMMENT

f ig u r e s im p o s é e s :

des c ontenus

des attitudes

p r o g r a m m e l ib r e :

la démarche

les projets

1.3 Programmes et recommandations


L ’a p p r e n t is s a g e d e s m a th é m a t iq u e s d é v e lo p p e

:

- l’im a g in a t io n ,

- la r ig u e u r e t la p r é c is io n ,

- a in s i q u e le g oût du ra is onnement.

f ig u r e s im p o s é e s



C o m b ie n p o u v e z -v o u s t r o u v e r d e t r ia n g le s à l 'in t é r ie u r d e c e t t e f ig u r e ?

2.1 raisonner en mathématiques

Thierry Dias – Grenoble – octobre 2010…


L e s é lè v e s e n r ic h is s e n t le u r s c o n n a is s a n c e s e n

m a t iè r e d ’orientation e t d e repérag e . I ls

a p p r e n n e n t à r e c o n n a î t r e e t à d é c r i r e d e s

fig ures planes e t d e s s o l id e s . I ls u t i l is e n t d e s

in s t r u m e n t s e t d e s te c h n iq u e s p o u r reproduire

o u trac er d e s f ig u r e s p la n e s . I ls u t i l is e n t u n

v o c a b u la i r e s p é c i f iq u e .

P r o g r a m m e s c y c le 2




L ’o b je c t i f p r in c ip a l d u C E 2 a u C M 2 e s t d e

p e rm e t t r e a u x é lè v e s d e p a s s e r p r o g r e s s iv e m e n t

d ’u n e r e c o n n a is s a n c e p e r c e p t iv e d e s o b je t s à u n e

é tu d e fo n d é e s u r le rec ours aux

ins truments de trac é et de mes ure .

P r o g r a m m e s c y c le 3




Comment enseigner la géométrie :ð 1. Mettre en œuvre des situations de rechercheð 2. Mettre en œuvre des situations de communicationð 3. Faire une place aux nouvelles technologiesð 4. Lier la géométrie aux autres disciplines

f ig u r e s l ib r e s



2. raisonner…

maths et raisonnement logique

raisonnement et cognition



déduction

induction

expérimentation


L e ra is onnement in t e r v ie n t d a n s d e

n o m b r e u s e s a c t iv i t é s m a th é m a t iq u e s :

• a r g u m e n ta t io n , p r e u v e

• r é s o lu t io n d e p r o b lè m e s

• p la n i f ic a t io n , t r i

• c h o ix , p r is e d e d é c is io n

• c o m p r é h e n s io n e t c a té g o r is a t io n



p r in c ip e *

c o n c lu s io n

déductiono usynthèse

inductiono u

analyse

proc es s us de ra is onnement


* p r é m is s e , p r o p o s i t io n


D e fa i t , t r o is p r in c ip a u x * ty p e s d e

r a is o n n e m e n ts p e u v e n t ê t r e u t i l is é s e n

m a th é m a t iq u e s :

la d é d u c t io n , l 'in d u c t io n , m a is a u s s i le

ra is onnement expérimenta l (o u h e u r is t iq u e )* autres raisonnements : p a r a n a lo g ie , p a r l 'a b s u r d e , o u p a r r é c u r r e n c e

p r in c ip e

c o n c lu s io n



méthode rec ommandée : inves tig ation et/ou rés olution de problèmes

ne pas mener de c ombat entre induc tion et déduc tion

d u p a r t ic u l ie r a u g é n é r a ld e l 'e x e m p le à la t h é o r ie d u g é n é r a l a u p a r t ic u l ie r

d e la th é o r ie à l 'e x e m p le



le ra is onnement heuris tique, " raisonnement que l'on considère non comme final et rigoureux, mais simplement comme provisoire et plausible et dont l'objet est de découvrir la solution du problème à traiter…

Dans la construction d'une démonstration rigoureuse, le raisonnement heuristique jour le rôle de l'échafaudage dans la construction d'une maison"

(Polya , 1945, C omment pos er et rés oudre un problème, p. 185)



Le ra is onnement expérimenta l

d é m a r c h e p r a t iq u é e d a n s u n e a c t iv i t é d e r e c h e r c h e q u i c o m p r e n d p lu s ie u r s

é t a p e s :

• la m is e e n p la c e d 'in v e s t ig a t io n s , l 'o b s e r v a t io n d e fa i t s , le r e c u e i l

d 'in f o rm a t io n s ,

• l 'é la b o r a t io n d 'h y p o th è s e s ,

• la d é d u c t io n d e c o n s é q u e n c e s à p a r t i r d e s h y p o th è s e s ,

• la c o n f r o n ta t io n d e s p r é v is io n s d é d u it e s d e s h y p o t h è s e s a v e c le s

fa i t s o b s e r v é s (v é r i f ic a t io n )



2.2 raisonnement et cognition

fonctions cognitives

fonctions exécutives


fonctions instrumentales m é m o ir e a t t e n t io n la n g a g e

la g n o s ie : v is io n e t im a g e r ie m e n ta le

la p r a x ie : g e s t e s v o lo n t a i r e s

fonctions exécutives (fo n c t io n s d it e s "d e h a u t

n iv e a u ")

le r a is o n n e m e n t

E n fa i t , le c e r v e a u fa i t a p p e l s im u l t a n é m e n t à p lu s ie u r s fo n c t io n s s e lo n n o s a c t iv i t é s .

fo n c t io n s c o g n it iv e s



1 - fo n c t io n s r é c e p t iv e s : a c q u is i t io n , t r a i t e m e n t , c la s s i f ic a t io n e t in t é g r a t io n d e l 'in f o rm a t io n

2 - la m é m o ir e e t l 'a p p r e n t is s a g e : s to c k a g e e t r a p p e l d e l 'in f o rm a t io n

3 - la p e n s é e o u le r a is o n n e m e n t : o r g a n is a t io n e t r é o r g a n is a t io n m e n ta le s d e l 'in f o rm a t io n

4 - fo n c t io n s e x p r e s s iv e s : c o m m u n ic a t io n o u a c t io n

f o n c t io n s c o g n i t iv e s



a p p r e n d r e à r a is o n n e r c o n s is t e à d é v e lo p p e r s e s fo n c t io n s e x é c u t iv e s c 'e s t-à -d ir e à r e n f o r c e r p r in c ip a le m e n t :

la planification : c a p a c i t é à o r g a n is e r u n e s é r ie d ’a c t io n s

la récupération active d’informations en mémoire : r e c h e r c h e r d e s in f o rm a t io n s c o n t e n u e s e n m é m o ir e

la mise à jour : r a f r a î c h i r le c o n t e n u d e s a m é m o ir e d e t r a v a i l

l'inhibition : c a p a c i t é à s ’e m p ê c h e r

la flexibilité mentale : p a s s e r d ’u n c o m p o r t e m e n t à u n a u t r e


a t t e n t io nm é m o ir e

la n g a g e


d e u x p r in c ip a u x ty p e s d e r a is o n n e m e n t c o g n it i f s :1 . in f é r e n c e2 . a n a lo g ie

Le raisonnement inférentiel : u t i l is é fa c e à u n p r o b lè m e q u i n 'a e n c o r e ja m a is é t é r e n c o n t r é e t p o u r le q u e l i l n 'y p a s d e s o lu t io n e x is t a n t e à a p p l iq u e r e n l 'é t a t .

Le raisonnement analogique : c o r r e s p o n d à la r é u t i l is a t io n a d a p té e d 'u n e s o lu t io n d é jà u t i l is é e f a c e à u n p r o b lè m e p r é s e n t a n t d e s s p é c i f ic i t é s c o m m u n e s a v e c c e lu i à r é s o u d r e .



3. apprendre à raisonner…

démarche : résoudre des problèmes

situations : recherche, communication

activités : dessiner, reproduire, décrire, construire

programmation : le modèle des fonctions cognitives


actionformulation

validationinstitutionnalisation

3.1 démarche : résoudre des problèmes


chercher

abstraire

raisonner

expliquer

l’activité mathématique dans la démarche de résolution de problème

a c c e p te r l’in c e r t i t u d e

s e d is t a n c ie r d u m o n d e r é e l

a c c é d e r a u x r è g le s d e la lo g iq u e

s ’e x p o s e r, s e c o n f r o n t e r a u x a u t r e s

d i f f ic u l t é s d ’e n s e ig n e m e n t

3.1 Démarche : résoudre des problèmes


AC TION

VALIDATION

FOR M U LATION

IN S T IT U T IO N A L IS A T ION

e x p é r ie n c e s s e n s ib le s e t m e n ta le s

m a n ip u la t io n s m e t t r e e n m o ts

d é c r i r e

f a i r e d e s h y p o th è s e s

a r g u m e n te r

d is c u t e r

p r o u v e r s ta b i l is a t io n d u s a v o ir

d é f in i t io n s

EN TR A IN EM ENT

R E C HE R C HE

mis e en

COM M UN



s a u r e z -v o u s p a r t a g e r la c o c o t t e e n 4 t r ia n g le s a v e c 3 s e g m e n t s s e u le m e n t ?

AC TION



q u e l e s t l 'é lé m e n t c o m m u n e n t r e c e s 4 f ig u r e s ?FOR M U LATION



FOR M U LATION



d e s s i t u a t io n s d e recherche

d e s s i t u a t io n s d e communication

3.2 situations d'apprentissage


L ’é lè v e a p p r e n d e n s ’a d a p ta n t à u n m i l ie u *

fa c t e u r d e c o n t r a d ic t io n s , d e d i f f ic u l t é s , d e

d é s é q u i l ib r e s . L a c o n n a is s a n c e , f r u i t d e

l’a d a p ta t io n d e l’é lè v e , s e m a n i f e s t e p a r d e s

r é p o n s e s n o u v e l le s q u i s o n t la p r e u v e d e

l’a p p r e n t is s a g e . (B r o u s s e a u 9 8 )

*milieu : ensemble des paramètres qui fondent la situation (matériel, dispositif, tâche, rôle de l'enseignant… )

s i t u a t io n s d e r e c h e r c h e

3.2 Situations d'apprentissage


Un milieu non volontairement organisé pour enseigner un savoir est insuffisant :L’enseignant doit créer les conditions pour que les élèves puissent apprendre.

On apprend àpéda ler

On apprend à

fa ire du vélo




5 té t r a m in o s

d e s g r i l le s

t é t r a m in o s ,

p a v a g e s e t

r a is o n n e m e n t



e x . 1


C o m b ie n e x is t e -t-i l d e f o rm e s d i f f é r e n te s p o u r le s p e n t a m in o s ?

368 solutions pour couvrir complètement une grille de 4 x 15




Combien lui faut-il de petits cubes, au minimum, pour construire un «cube creux qui mesure 7 petits cubes de côté» ?

A v e c d e s p e t i t s c u b e s , S ib e l a c o n s t r u i t c e t o b je t .E l le d é c id e d e l’a p p e le r « le g r a n d c u b e c r e u x q u i m e s u r e 4 p e t i t s c u b e s d e c ô t é » .



e x . 2


ð Analyser, reproduire et décrire une figure

ð Donner du sens à un programme de construction

à vos crayons !!

s i t u a t io n s d e c o m m u n ic a t io n



m is e e n œ u v r e p o s s ib le

1 / s ta b i l is e r u n p e u d e v o c a b u la i r e

2 / é c h a n g e r, c o m m u n iq u e r, a r g u m e n te r

3 / c o n s t r u c t io n d 'u n f ic h ie r d e c la s s e




s t a b i l is e r u n p e u d e v o c a b u la i r e

o b s e r v a t io n / d e s c r ip t io n d e la f ig u r e

m is e e n m é m o ir e c o l le c t iv e d e s m o t s u t i l is é s

é v e n tu e l le m e n t c o n s t r u c t io n d 'u n p e t i t m é m o i l lu s t r é

d is p o s i t i f d e t r a v a i l c o l le c t i f , o r a l




s i t u a t io n d e c o m m u n ic a t io n à l 'o r a l

o b s e r v a t io n / d e s c r ip t io n o r a le d e la f ig u r e p a r u n b in ô m e "a v e u g le "

t r a c é d e la f ig u r e p a r u n a u t r e b in ô m e d 'a p r è s le s in f o rm a t io n s e n te n d u e s

c o m p a r a is o n d e la f ig u r e m o d è le e t d e la p r o d u c t io n r é a l is é e

d is p o s i t i f d e t r a v a i l b in ô m e / c o l le c t i f , o r a l




Fig. 1 Fig. 2

m o ts in t e r d i t s p o u r le s é m e t t e u r s : c a r r é , r e c t a n g le



Fig. 1 Fig. 2

m ê m e f ig u r e , m ê m e d im e n s io n , m a is o r ie n t a t io n d i f f é r e n te


- T r a c e u n c e r c le d e c e n t r e O .

- E n p o in t i l lé s , t r a c e d e u x d ia m è t r e s p e r p e n d ic u la ir e s .

- P la c e I , J , K , L a u m i l ie u d e c h a q u e r a y o n .

- T r a c e le s c e r c le s ( I , IO ) ( J , J O ) (K , K O ) e t ( L , L O )

- E f f a c e le s a r c s d e c e r c le q u i s e c h e v a u c h e n t , le s t r a i t s e n p o in t i l lé s e t le

g r a n d c e r c le .

- E n f in , tu p e u x c o lo r ie r le d e s s in .

- R e p a s s e s u r le s c o n t o u r s a v e c to n fe u t r e n o ir.



Thierry Dias – Grenoble – octobre 2010 3.2 Situations d'apprentissage



r e p r o d u i r e / d é c r i r e / c o n s t r u i r ed e s s in à m a in le v é ec o m m u n ic a t io np r o g r a m m e s d e c o n s t r u c t io n

3.3 activités et pratiques


trois mots-clés (types de tâches ) :

§ Reproduire : d e s f ig u r e s , y c o m p r is la r é a l is a t io n p r a t iq u e d e s o l id e s

§ Décrire : d e s f ig u r e s , p o u r le s id e n t i f ie r o u le s r e p r é s e n te r

§ Construire : - d e s f ig u r e s , a v e c d e s m a té r ia u x e t d e s o u t i ls m u l t ip le s : r è g le ,

é q u e r r e , g a b a r i t , c a lq u e , c o m p a s

- d e s s o l id e s , a v e c le s p r o b lè m e s d e fa c e s v is ib le s o u in v is ib le s , le s p a t r o n s

3.3 Activités et pratiques


r e p r o d u i r e , à main levée



r e p r o d u i r e


r e p r o d u ir e , avec des outils

Thierry Dias – Grenoble – octobre 2010 3.3 Activités et pratiques

r e p r o d u i r e


r é f é r e n c e a u x f o n c t io n s e x é c u t iv e s :1 . a t t e n t io n (g n o s ie , p r a x ie )2 . m é m o r is a t io n3 . la n g a g e e t f ig u r e s p o u r r a is o n n e r

3.4 programmation


1 . a t t e n t io n

3.4 Programmation

o b s e r v e r a t t e n t iv e m e n tr e p r o d u ir e p r é c is é m e n t

Thierry Dias – Grenoble – octobre 2010 3.4 Programmation

o b s e r v e r a t t e n t iv e m e n tr e p r o d u ir e p r é c is é m e n t

1 . a t t e n t io n


2 . je u x d e m é m o ir e

? a id e ?

3.4 Programmation

o b s e r v e r r a p id e m e n tr e p r o d u ir e p r é c is é m e n t


2 . je u x d e m é m o ir e

3.4 Programmation

• o b s e r v e r le s é ta p e s d 'u n p r o g r a m m e

• r e -c o n s t r u ir e la f ig u r e

un beau programme : celui du pentagone régulier


3 . je u x d e la n g a g e

c o m m e n t d é c r i r e c e t t e f ig u r e ?

3.4 Programmation


la n g a g e e t f ig u r e s p o u r r a is o n n e r

P o u r r e p r o d u ir e c e t t e f ig u r e , O lg a a c o m m e n c é p a r t r a c e r u n c a r r é , p u is e l le a m a r q u é q u a t r e s o m m e ts p a r d e s p o in t s .Te rm in e s o n d e s s in .

3.4 Programmation

3 . je u x d e la n g a g e


"C o n t in u e z à fa i r e p é t i l le r le s c e r v e a u x à t r a v e r s

le s m a th é m a t iq u e s , à s u s c i t e r le s in t e l l ig e n c e s

d e s ê t r e s e t d e s c h o s e s e n d o n n a n t a u x é lè v e s

le g o û t d e s a v o i r e t d ’a p p r e n d r e ."

merc i de votre attention


s o lu t io n d e la f le u r !


Thierry D IAS , H E P d e L A U S A N N E

t h ie r r y .d ia s @ h e p l.c h

h t t p ://p e r s o .o r a n g e .f r /d ia s .t h ie r r y

h t t p ://w w w .la t r ib u d e s m a th s .m a g n a r d .f r

http://perso.orange.fr/dias.thierry

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C onc epts VERGNAUD G. (1990) La théorie des champs conceptuels. Recherches en

Didactique des Mathématiques vol 10 2/3 pp. 133-170

"U n c o n c e p t e s t u n t r ip le t d e t r o is e n s e m b le s C = (S , I , S ) S : e n s e m b le d e s s i t u a t io n s q u i d o n n e n t s e n s a u c o n c e p t (la r é f é r e n c e )I : e n s e m b le d e s in v a r ia n t s s u r le s q u e ls r e p o s e l’o p é r a t io n a l i t é d e s s c h è m e s (le s ig n i f ié ) S : e n s e m b le d e s f o rm e s la n g a g iè r e s e t n o n la n g a g iè r e s q u i p e rm e t t e n t d e r e p r é s e n te r s y m b o l iq u e m e n t le c o n c e p t , s e s p r o p r ié t é s , le s s i t u a t io n s e t le s p r o c é d u r e s d e t r a i t e m e n t (le s ig n i f ia n t)"


d'après Gérard Vergnaud

… les obstacles que ce conceptpermet de dépasser

…les procédures que ce conceptpermet de remplacer avantageusement

…l'ensemble des problèmes qui peuventêtre traités en utilisant

ce concept

…l'ensemble des images

mentales

…des définitions, des propriétés

…un langage : signes, syntaxe,

vocabulaire

…des savoir-faire, des techniques

Un concept se caractérise par …


B E R T H E L O T R . & S A L IN M .H .,L’enseignement de la géométrie à l’Ecole primaire, G r a n d N n ° 5 3 (p . 3 9 -5 6 ), IR E M d e G r e n o b le , 1 9 9 4B E R T H E L O T R . & S A L IN M .H .,Un enseignement des angles au cycle 3, G r a n d N n ° 5 6 (p . 6 9 -1 1 6 ), IR E M d e G r e n o b le , 1 9 9 5B E R T H E L O T R . & S A L IN M .H ., L’enseignement de la géométrie au début du collège. Comment concevoir le passage de la géométrie du constat à la géométrie déductive ? , P e t i t x n ° 5 6 , IR E M d e G r e n o b le , 2 0 0 1IR E M D E L IL L E , Travaux géométriques : Apprendre à résoudre des problèmes, cycle 3, IR E M d e L i l le , C D D P N o r d - P a s d e C a la is , 2 0 0 0H O U D E M E N T C ., K U Z N IA K A ., Géométrie et paradigmes géométriques, P e t i t x n ° 5 1 , p . 5 à 2 1 , IR E M D E G r e n o b le , 1 9 9 9

apprendre à raisonner à l'école - site de l'académie ... · rigoureuse, le...

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