application de la commande prédictive généralisée cas- d'un

REPUBLIQUE ALGERIENNEDEMOCRATIQUE & POPULAIRE

MINISTERE DE L’ENSEIGNEMENT SUPERIEUR & DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE

U n i v e r s i t é d e 2 0 A o û t 1 9 5 5 S k i k d a

F a c u l t é d e T e c h n o l o g i e

D é p a r t e m e n t G é n i e E l e c t r i q u e

MEMOIRE

En vue de l’obtention de diplôme de Magistère

Filière :

Automatique

Option :

Diagnostic et Surveillance des Systèmes Automatiques

Par :

Nafir Nourreddine

Soutenu publiquement le 20/11/2012 devant le Jury composé de

Président Mehennaoui Lamine M.C.A U. Skikda Rapporteur Arbaoui Fayçal M .C.A U. Annaba

Examinateurs Bouden Toufik M.C.A U. Jijel

Boussiala Noureddine M.C.A U. Skikda

Application de la Commande Prédictive Généralisée

Cas- d'un Procédé de l'industrie Pétrochimique

D é d i c a c e s s

J e d é d i e c e m é m o i r e

A m a f a m i l l e

A t o u t m e s a m i s e t t o u s q u i m e c o n n a i t

A m o n n e v e u A b d e n o u r A l i " A l l i l o "

R e m e r c i e m e n t s s

Avant tout je voudrai remercier ALLAH qui ma permis d'arriver là où je suis

en menant à terme ce modeste travail, et remercier mes parents pour leurs

sacrifices, durant toute ma scolarité.

Je voudrai témoigner ma grande gratitude envers mon directeur de mémoire,le

docteur ARBAOUI FAYÇAL qui ma apporté toute l'aide dont j’avais besoin, et pour

toute les connaissances que j’ai pu acquérir sous sa direction. Je voudrai tout

spécialement le remercier pour sa patience ses grandes valeurs humaines et surtout

pour sa haute éducation.

Mes vifs remerciements vont aussi au membre de jury qui on accepter de juger ce

modeste travail Mer : BOUDEN TOUFIK maître de conférences à l'université de JIJEL

Mer MEHENNAOUI LAMINE maître de conférences à l'université de Skikda et Mer

BOUSSIALA NOURREDDINE maitre de conférence a l'université de Skikda.

Je tiens à adresser mes plus vifs remerciements au doctorant BOURAGHDA

ALEXANDRE pour leur grande compréhension pendant la période de préparation de

cette thèse.

Ma gratitude va également aux différentes personnes qui ont contribué de prés ou

de loin à l’élaboration de ce travail. Mes remerciements vont tout spécialement à

mon ami le docteur BENYERBAH SAID, professeur a l'université de Constantine,

pour ces encouragements et son aide pendant tout mon cursus universitaire. enfin,

cet avant propos serait incomplet sans des remerciements affectueux pour ma

famille, pour leur appui, leur patience et leur grande compréhension.

MERCI

NAFIR NOURREDDINE

ملخص:

المعمم و كحالة خاصة عل عنصر بترو كمائ مع ف هذا العمل قمنا بتطبق إستراتجة التحكم التنبؤي

تسلط الضوء على تفوق هذا األسلوب من التحكم مقارنة مع أسلوب الضبط باستخدام المعدالت من نوع

التناسبة ،تكاملة ، مشتقة (

تنفذ هذا النوع من التحكم بوجود أو عدم وجود قود . -

الت مكن أن تتكف بسهولة مع النظم الغر المستقرة ذات تمز هاته التقنة المتقدمة من التحكم -

الطور األدنى و كدا النظم المتأخرة زمنا و حتى النظم ذات الوسائط المتغرة زمنا .

تقدر تزاوج هاته اإلستراتجة مع أداة الحساب الفعالة المسماة الشبكات العصبونة المعروفة بالمقربات

سمح لهاته اإلستراتجة بمعالجة النظم الالخطة الشاملة و هذا ما

: تحكم ،تنبؤي، دالة الكلفة، قود، متعدد المغرات، ال خط، عصبون، تدرب، مفاعل مفتاحة كلمات

RESUME: Dans ce travail, on a appliquée la stratégie de la commande prédictive

généralisé, dans le cas d’un procédé pétrochimique tout en mettent en évidence :

- la supériorité de cette méthode de contrôle par rapport à la régulation par

contrôleur PID (proportionnelle, intégrale, dérivée)

- la mise en œuvre de la commande GPC sans et avec contraintes.

- la distinction de cette technique évoluée de commande , qui peut facilement

s'adapter avec les systèmes a phase nom minimum , les systèmes instable

ayant des retards important et même des paramètres variant dans le temps .

L’appréciation du mariage de cette stratégie avec l'outil de calcul puissant

qu'est les réseaux de neurone connus pour être des approximateurs universels,

ce qui permet à la GPC de traiter des modèles nom linaires

Mots- Clés: commande, prédiction, fonction cout, contraintes, multi variables, non- linéaire Neurone, perceptron, apprentissage, réacteur,

ABSTRACT In this work, we have applied the strategy of generalized predictive control, in the

case of a petrochemical element while highlighting:

- The superiority of this method compared to the control by PID controller

- The implementation of the GPC control with and without constraints.

- The distinction of this advanced technique of control, which can be easily adapt with

unstable systems , systems with minimum stage and systems with important delays and

of time-varyin parameters.

The appreciation of the marriage of this strategy with the powerful computational

tool Neural networks , known to be universal approximators, which allows the following

GPC to process noun linear models .

Key -Words: control, prediction, cost function, constraints, multivariable, noun linaire, neural , preceptor, learning , reactor

T a b l e s d e s m a t i è r e s

Dédicaces

Remerciements

Liste des tableaux

Liste des figures

Symboles

Acronymes

Introduction générale

Chapitre 1 formulation de la commande prédictive

généralisée

1.1 Philosophie de la commande prédictive. 21

1.2 Mise en œuvre de la commande 24

1.2.1 Fonction de coût quadratique. 25

1.3 Calcul des sorties prédîtes. 26

1.3.1 Résolution d'équation diophantienne. 26

1.3.2 Prédicateur optimal matricielle. 26

1.3.3 Critère d'optimisation. 28

1.4 Régulateur équivalent. 29

1.5 La commande prédictive généralisée avec contraintes. 30

1.6 Remarque concernant le chois des paramètres de GPC. 31

1.7 Exemple de simulation. 33

1.7.1 Etude de l'influence des paramètres de synthèse. 33

1.7.2 Etude de l'effet des contraintes. 35

Chapitre2 2Commande prédictive généralisé multi variables

2.1 Introduction. 40

Model de définition. 40

Factorisation d'une matrice de transfert. 41

Fonction de cout. 42

Commande prédictive dans l'espace d'état. 44

Calcul des prédictions. 44

Calcul de commande. 45

Commande prédictive généralisée en cascade. 46

.1 Définition des modèles. 47

Expression des critères. 48

Résolution du GPC en cascade. 49

Chapitre3 3

Introduction. 52

Neurone biologique. 53

Neurone formel. 53

Réseau de neurone artificiel. 54

Architecture des réseaux de neurones. 54

Réseaux nom bouclé. 54

Réseaux récurrents 55

Apprentissage des réseaux de neurones 56

Définition 56

Type d'apprentissage 57

Méthode d'apprentissage. 58

Introduction à la commande prédictive généralisée neuronale. 63

Formulation de NGPC 64

Fonction de cout 64

Algorithme de minimisation de la fonction cout 65

Réseaux de neurone pour la prédiction 66

Prédiction utilisant le réseau de neurone 68

Calcul des éléments de Jacobien 69

Calcul des éléments de Hessien 69

Chapitre 4 Applicationde le GPC pour un procédé pétrochimique

4.1 Introduction 74

Description du réacteur 76

4.2.1 Modélisation du réacteur CSTR. 77

4.2.2 Model linaire du réacteur CSTR. 79

Résultats de simulation. 83

Conclusion générale 96

Bibliographie 97

Liste des tableaux

Tableau 1.1 List des Symboles.

Tableau 1.2 List des acronymes.

Tableau 1.3 algorithme de Levemberg –Marquardt.

Liste des Figure

Figure 1.1 Comportement naturel d'un conducteur au volant 21

Figure 1.2 Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle 22

Figure 1.3 Schéma de principe d'une commande prédictive à base de modèle 23

Figure 1.4 Modèle CARIMA 25

Figure 1.5 Régulateur polynomial équivalent 30

Figure 1.6 Valeur de N1 pour un système à déphasage non minimal 32

Figure 1.7 Choix de N2 pour un système à déphasage non minimal 32

Figure 1.8 Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=5, NU=1, λ=0 34



Figure 1.11 Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes 36

Figure 1.12 Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes sur la commande et

l’incrément de Commande 36

Figure 1.13 Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes 37

Figure 1.14 Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes la sortie 37

Figure 2.1 Principe de fonctionnement du GPC MIMO 40

Figure 2.2 Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle 43

Figure 2.3 Structure d’une commande prédictive généralisée cascade 46

Figure 1.1 Modèle utilisée pour la prédiction 11

Figure 3.1 Neurones biologiques 53

Figure 3.2 Neurone formel et fonctions d’activation usuelles 53

Figure 3.3 Réseau PMC à deux couches 55

Figure 3.4 Système dynamique à une entrée et une sortie 55

Figure 3.5 Exemple d’un réseau récurrent 56

Figure 3.6 Illustration de l’apprentissage supervisé 57

Figure 3.7 Illustration de l’apprentissage non supervisé 57

Figure 3.8 Schéma fonctionnel de la NGPC 64

Figure 3.9 Diagramme d'apprentissage d'un réseau de neurones hors ligne 67

Figure 3.10 Exemple d'architecture d'un réseau de neurones 67

Figure 3.11 Sortie prédite et sortie actuelle du procédé 71

Figure 3.12 Signaux de commande pour le système non linéaire 71

Figure 4.1 Une classification des techniques de commande avancées 75

Figure 4.2 Caractéristiques principales des procédés chimiques industriels 75

Figure 4.3 : Schéma du réacteur complètement agité exothermique irréversible 77

Figure 4.4 : Evolution des sorties du réacteurs (température & concentration 81

Figure 4.5 : Signaux de commande (flux d’alimentation et de refroidissement 81

Figure 4.6 CSTR à deux réactants en entrée 82

Figure 4.7 Comparaison de performances entre les stratégies PID et GPC 84

Figure 4.8 Comparaison entre performances et efforts de commande entre les stratégies

PID et GPC 84

Figure 4.9 Système de deux (CSTR) en série 85

Figure 4.10 Sorties-référence et commande 87

Figure 4.11 Sorties-référence et commande avec fluctuations e température d'eau de

Refroidissement 89

Figure 4.12 : Evolution des états de système 90

Figure 4.13 Sorties-référence, commande avec changement des points de référence 91

Figure 4.14 Très bon apprentissage du réseau (faible erreur) 94

Figure 4.15 Sortie et consigne 94

1

)

B f

Sortie de système

Commande du système

Opérateur retard

Bruit blanc

Opérateur de différance.

Fonction de cout.

Coefficient de pondération.

Horizon de prédiction minimal ;

Horizon de prédiction maximal

Horizon de commande

Sortie prédite.

Temps continu

Incrément de commande.

La consigne (Référence).

Matrice identité de dimension

Matrice de transfert.

Température dans le réacteur.

Concentration du produit résultant.

Débit d'alimentation

Période d'échantillonnage.

Débit de refroidissement

Bais

Fonction d'activation

Connexion

Poids d'une connexion

LIST des symboles

Acronymes

Generalized Predictive Control

Functional Predictive Control

Model Predictive Control

Single Input Single Output

Multiple Input Multiple Output

Non linear Generalized predictive control

Non linear Cascade Predictive Control

Non linear Network Generalized Predictive control

CSTR Continous Stirred Tank Reactor

PMC Perceptron multicouche

Tableau 1.1 List des acronymes

Gradient

Hessien

Introduction Générale


15

La commande prédictive ou commande à horizon glissant est une technique de

commande avancée de l'automatique, elle est née d'un besoin réel dans le monde

industriel. Un besoin de système de régulation capable de performances plus élevées

que les contrôleurs classiques tel que le régulateur de type PID tout en respectant des

contraintes de fonctionnement et de production toujours plus sévères. Sa mise en

œuvre pratique dans l’industrie a vu le jour dans le domaine pétrolier et

pétrochimique, notamment avec les travaux pionnier de Richelet en 1976.

L’appellation GPC a été depuis largement adoptée comme une dénomination d’une

classe de méthodes de contrôles prédictifs à caractères adaptifs.

Si la commande prédictive a connu très tôt un vif engouement dans le secteur de

l'industrie chimique et pétrolière, une des raisons tient en partie au fait que c'est la

seule technique fournissant une méthodologie susceptible de prendre en compte d'une

façon systématique les contraintes lors de la conception et de l'implantation de la loi

de commande.

La commande prédictive présente un certain nombre d’avantages, par rapport aux

autres méthodes, parmi lesquels on trouve :

son principe intuitif et le réglage relativement facile de ses paramètres la

rendent accessible aux personnes avec des connaissances limitées en

automatique.

elle peut être utilisée pour commander une grande variété de processus, ceux

avec des dynamiques simples à ceux plus complexes, par exemple les

systèmes à grand retard, à phases non minimales ou instables.

elle est capable intrinsèquement de compenser de compenser les retards et les

temps morts.

le correcteur obtenu est une loi de commande linéaire facile à implémenter et

qui requiert peu de temps de calcul.

le traitement de contraintes sur le système à commander peut être inclus

systématiquement dans la définition du correcteur.


16

elle est très utile lorsque les consignes ou trajectoires à suivre sont connues à

l’avance (cas de la commande de robots industriels).

La GPC est une structure complète qui s’assure de fournir un système corrigé stable

pour un jeu de paramètres élaboré. Cette méthodologie permet de résoudre des

problèmes de :

Processus à déphasage non minimal.

Système intrinsèquement instable ou possédant des pôles mal amortis.

Système avec temps morts variables ou inconnus.

Système d’ordre inconnu.

Elle a montré son efficacité, sa flexibilité et son succès dans des applications

industrielles, même pour des systèmes à faible période d’échantillonnage.

Le principe de la commande prédictive réside dans la création d’un effet anticipatif.

La mise en place de cette commande nécessite :

L’élaboration d’un modèle du système à contrôler en vue de réaliser la

prédiction du comportement futur de celui-ci.

La mise en œuvre d’une séquence de commandes futures via l’utilisation d’un

critère de minimisation (fonction de coût quadratique).

Le renouvellement de la procédure à chaque itération. Seule la première

commande est prise en compte et appliquée sur le système.

Depuis la fin des années 70, de nombreuses catégories et dénominations de la

commande prédictive ont été proposées. La liste ci-dessous propose un aperçu non

exhaustif des plus classiques:

MPHC (Model Predictive Heuristic Control) formulé en Europe par Richal et

al. en (1976,1978)[23] ; connue ensuite sous le nom de MAC (Model

Algorithmic Control) (26). Cette approche, appliquée aux systèmes industriels

multi variables, basée sur des prédictions sur un horizon temporel long,


17

impose des trajectoires de référence pour les sorties et minimise la variance de

l’erreur. Le MAC utilise la réponse impulsionelle du système tronquée aux

premiers échantillons [7] cette approche c’est vite étendu et connu un grand

succès dans l'industrie pétrolière sérieusement éprouvée par des raisons

économique.

DMC (Dynamic Matrix Control) proposée par les ingénieurs de Shell en

et développé aux états- unis-en (1980) cette technique utilise l’incrément

de commande à la place de la commande dans le critère de performance pour

un horizon fini de prédiction; cet algorithme est appliqué à des systèmes multi

variables linéaires sans contraintes ; l'erreur de poursuite est minimisée en

spécifiant le comportement futur des sorties; les commandes optimales sont

calculées par la méthode des moindres carrés. Cet algorithme était appliqué

sur craqueur cathodique.

EHAC (Extended Horizon Adaptive Control) stratégie de commande

prédictive pour les systèmes mono variables, utilise des modèles E/S pour

maintenir la sortie future (calculée via la résolution d’une équation

diophantienne) le plus près possible de la consigne pendant une période

donnée au-delà du retard pur du système.

EPSAC (Extended Prediction Self-Adapted Control) proposé par de Keyser et

van cauwebberghe en 1979 le EPSAC introduit une commande constante pour

un système non-linéaire (en linéarisant le système) et utilise un prédicteur

sous-optimal à la place de la résolution de l’équation diophantienne ; l’article

offre également une démonstration de stabilité.

GPC (Generalized Predictive Control) présentée par Clark et Mohtadi [9].

cette méthode la plus connue, basée sur un modèle de type CARIMA, introduit un

horizon de prédiction sur la commande, agit conformément au principe de

l’horizon fuyant et peut être appliquée aux systèmes à non minimum de phase, aux

systèmes instables en boucle ouverte, aux systèmes avec retards purs variables ;

cette méthode permet donc la prise en compte des contraintes sur les entrée et les

sorties en posant un problème d'optimisation quadratique ; le GPC est en ce


18

moment la méthode la plus populaire des méthode de prédiction ,particulièrement

pour les processus industrielle pétrolière, elle combine la prédiction du

comportement futur du procède avec la commande du rétroaction.

PFC (Predictive Functional Control) [38] est un algorithme prédictif simple,

utilisé surtout pour des systèmes SISO industriels rapides et/ou non linéaires,

s’avérant pratique pour l’ingénieur en permettant le réglage des paramètres (par

exemple la constante de temps) associées au temps de monté; pour garder la

simplicité, une manque de rigueur en performance et surtout dans la garantie des

contraints est associée avec cet algorithme.

CRHPC (Constrained Receding Horizon Predictive Control) propose de

prendre en compte des contraints terminales sous forme « égalité » sur la sortie sur

un horizon fini Au-delà de l’horizon de prédiction.

MPC (Model Predictive Control) formulée dans l’espace d’état par Morari

utilise le formalisme de la représentation d’état pour faciliter l’analyse de la

stabilité et de la robustesse.

En fait, toutes ces variantes de stratégies de commande prédictive sont aujourd’hui

regroupées sous le terme générique MPC, illustrant ainsi le rôle fondamental du

modèle. Par ailleurs, les dernières années ont été marquées par la mise en œuvre de

lois de commande prédictives robustes, un exemple important se trouvant dans

qui utilise la technique LMI pour résoudre un problème de type min-max. La

commande prédictive non-linéaire (NMPC) a également connu un essor conséquent,

avec des applications convaincantes en termes de qualités de réglage, voir par

exemple une mise en œuvre très récente dans [37],[39].

Ce bref rappel historique a permis de donner une idée de l’évolution de la commande

prédictive, depuis les stratégies « classiques » bien connues maintenant jusqu’aux

développements les plus récents en termes de robustesse et d’application à des

systèmes non-linéaires.

Parmi toutes les méthodes prédictives reprenant bien sûr les principes exposés

précédemment, La commande Prédictive Généralisée est peut-être


19

celle qui a connu le plus grand nombre d’applications [13] et qui demeure une

référence dans le cas de la commande prédictive des systèmes mono variables

aujourd’hui, la commande prédictive référencée modèle est une stratégie largement

admise et acceptée dans les milieux industriels est particulièrement dans les industries

chimiques et pétrochimiques. Avec plus de 2OOO application en 1998 et plus de 4000

application en ; Dans le monde ; sans rajouter les solutions locales

développées en interne des entreprises c’est pourquoi ce paragraphe propose une

description des idées principales de cette stratégie.

Organisation du mémoire

Ce travail est divisé en quatre chapitres:

Le premier chapitre, introductif, précise le contexte général de la commande prédictive

généralisée sans et avec contraintes de point de vu général et conceptuel, il a pour but

de préciser les bases théorique nécessaires à la compréhension de cette technique.

Le deuxième chapitre est consacré à la commande prédictive généralisée multivariable

appliquée à un réacteur chimique ouvert complètement agitée .

Le troisième chapitre traite la commande prédictive généralisée non linéaire

où une étude approfondie sur les réseaux de neurone été faite.

Enfin, au quatrième chapitre, des applications sur un procédé pétrochimique sont présentées.

Nous terminerons par une conclusion générale et nous proposerons des perspectives pour

travaux éventuels futurs.

Le travail est organisé comme suit:

Introduction générale.

Chapitre 1 : Formulation de la commande prédictive généralisée.

Chapitre2 : Commande prédictive généralisée multivariable.

Chapitre 3 : Commande prédictive généralisées non linéaire neuronale.

Chapitre 4: Application à un procédé de l'industrie pétrochimique.

Conclusion générale.

Références bibliographiques.

Chapitre1

F o r m u l a t i o n d e l a C o m m a n d e

P r é d i c t i v e G é n é r a l i s é e

Formulation de la Commande Prédictive Généralisée Chapitre 1

21

1.1 Philosophie de la commande prédictive :

Le principe de la commande prédictive est le suivant : un modèle discret du

processus permet dans un premier temps de prédire la sortie du système sur un

horizon fini. Puis, à chaque instant, en minimisant un critère de performance sur cet

horizon fini, une séquence de commande est obtenue dont seul le premier élément est

appliqué au système. La même procédure est enfin reprise à la période

d’échantillonnage suivante, selon le principe de l’horizon fuyant. Le but est de

maintenir la sortie du système la plus près possible de la référence désirée, supposée

connue sur l’horizon fini de prédiction de façon à mettre en évidence un certain

caractère anticipatif.

La technique prédictive permet en fait de reproduire de façon théorique

le comportement intuitif naturellement prédictif ou anticipatif de l’être humain: en

conduisant une voiture le conducteur connaît la trajectoire de référence désirée (le

tracé de la route) sur un horizon de commande fini (celui de son champ visuel), le

conducteur décide quelle action (accélérer, freiner ou tourner le volant) faut- il réaliser

afin de suivre la trajectoire désirée. Seule la première action de conduite est exécutée

à chaque instant, et la procédure est répétée à nouveau pour les prochaines actions

voir (figure 1.1).

Figure 1.1 : Comportement naturel d'un conducteur au volant

Cette conception consiste à prendre en compte, à l'instant présent, le comportement

futur, en utilisant explicitement un modèle numérique du système afin de prédire la

Chapitre 1 Formulation de la Commande Prédictive Généralisée

22

sortie dans le futur sur un horizon fini. Cependant il n'existe pas une stratégie unique

mais plutôt tout un ensemble de méthodes de commande prédictive, assez similaires

bâties autour de principes communs, mais présentant néanmoins quelques différences

dans l'interprétation des concepts clés.

Une des richesses de ces méthodes provient du fait que, pour une consigne connue ou

pré calculée (au moins sur un certain horizon), il est ainsi possible d'exploiter

pleinement les informations de trajectoires prédéfinies situées dans le futur, puisque le

but de la stratégie prédictive est de faire coïncider la sortie du processus avec cette

consigne dans le futur, sur un horizon fini, en accord avec le diagramme temporel de

la figure 1.2.

C'est pourquoi cette méthode apparaît tout indiquée dans les problèmes de poursuite et

plus spécialement de suivi de trajectoire. C'est le cas de nombreux servomécanismes

et notamment de la commande d'axes en machine outil ou en robotique, domaines où

les trajectoires à suivre sont parfaitement connues.

Figure 1.2 : Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle

N2

NU

La référence W

La sortie prédite ŷ

Variable de commande U

Temps

K-1 K K+Nu K+N2 K+1 …….. ……………………………..

La sortie précédente y


23

La mise en œuvre de ce concept nécessite la considération des points suivants.

Définition d’un modèle numérique du système permettant de réaliser la

prédiction du comportement futur du système. Ce modèle peut être obtenu par

une discrétisation de la fonction de transfert continue du modèle ou par une

identification préalable hors ligne du système. Cette particularité permet de

classer la commande prédictive dans la grande famille des commandes à base

de modèle, dite ‘MBC’ (Model Based Control).

Elaboration d’une séquence de commandes futures. Elle est obtenue par

minimisation d’une fonction de coût (critère) quadratique, sur un horizon fini,

portant sur les erreurs de prédiction futures, écarts entre la sortie prédite du

système et la consigne ou une trajectoire de référence future, et sur un terme

dépendant de la commande.

Le rôle du calculateur est de générer cette commande, qui sera optimale au sens du

critère précédent. La figure 1.3 illustre le principe de la commande prédictive, où l’on

observe les commandes u(k) à appliquer au système pour obtenir le ralliement autour

de la consigne w(k).

Seul le premier élément u(k) de la séquence optimale de commande est

appliqué sur le système, tous les autres éléments de la séquence sont oubliés.

A la période d’échantillonnage suivante, une nouvelle sortie est mesurée et la

procédure complète est répétée. Ce procédé s’appuie sur le principe de l’horizon

fuyant (receding horizon).

Les principes de la commande prédictive qui viennent d’être exposés permettent

d’établir le schéma de fonctionnement de la figure 1.3.

Figure 1.3 : Schéma de principe d'une commande prédictive à base de modèle

Calculateur

(algorithme prédictif) CNA Processus CAN

Modèle

P a r t i e n u m e r i q u e

)

w(k)

u(k)


24

Avec

: Consigne

: Sortie du processus

: Sortie prédite

: Commande appliquée sur le système.

Remarque :

Pour les systèmes multi variables, cet algorithme est appliqué simultanément à chaque

sortie, il en résulte une commande différente pour chaque entrée du système.

1.2 Mise en œuvre de la commande GPC :

La commande GPC utilise pour la prédiction du comportement un modèle

entrée/sortie par fonction de transfert de type CARIMA (Controlled Auto Regressive

Moving Average) [9], [10] :

(1.1)

Avec

: Sortie du processus.

: Commande appliquée au système.

q-1 : Opérateur retard.

: Terme lié aux perturbations, choisi généralement sous la forme

1 Avec ξ(t) : séquence aléatoire non corrélée centrée.

1

1 : Opérateur différence.

Les polynômes 1

1

1 sont définis par :

( 1 ) 1 1 na

na

( 1 ) 0 1 1

nb nb

( 1 ) 1 1 nc

nc


25

é .

Figure1.4 : Modèle CARIMA

1.2.1 Fonction de coût quadratique :

Une fois définie l’équation de prédiction, la méthode implique la minimisation

d’un critère quadratique à horizon fini. La stratégie GPC minimise une somme

pondérée des carrés des erreurs futures entre la sortie prédite et la consigne, et des

incréments des commandes futures ce critère est donnée par :

∑ ( )

∑ [ ]

Sous l’hypothèse :

Avec

: sortie prédite à l’instant

: Incrément à l’instant

: Consigne appliquée à l’instant

Le critère nécessite la définition de quatre paramètres de réglage :

Horizon de prédiction minimal.

Horizon de prédiction maximal.

Horizon de commande.

)(

)(1

1

q

qC

)(11

qq B

)(

11

qA

t

ty tu

+ +


26

Coefficient de pondération. (𝛌 > 0)

1.3 Calcul des sorties prédites:

1.3.1 Résolution d'équation Diophantienne:

Soit l’équation Diophantienne :

(1.6)

Avec ( )

En multipliant l'équation (1.1) par on aura :

[ ].

Donc =

(1.8)

On utilise l’équation Diophantienne on trouve :

[ ] =

(1.9)

La meilleure prédiction du bruit, ξ (k), est sa moyenne (nul ici), donc les meilleurs

prédictions sont donnée par:

=

1.3.2 Prédicteur optimal matriciel:

En se basant sur le modèle mentionnée en (1.1) et en appliquant les idées de

modélisation présentée par Clark et ce coauteur, un prédicteur peut être construit

sous forme matricielle avec l’hypothèse .

On se base sur le principe de séparation des commandes, soit alors :

) ( Équation diophantienne)

Le prédicteur obtenu en (1. 10) peut réécrit et prendre la forme :


27

(t+j)=

libreréponse

jJ tuqHtyqF )1()()()( 11 +

forcéréponse

jj jtqjjtuqG )()()1()( 11 (1.12)

Avec :

, , Sont les polynômes solutions uniques des équations diophantienne

Suivantes:

{

Pour obtenir le prédicteur optimal, il suffit alors de considérer que la meilleure

prédiction du bruit, ξ(k), est sa moyenne (nul ici), et l’on obtient son équation [30]:

{

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ] [ ]

Alors l’équation (1.15) peut être écrite sous forme matricielle ou vectorielle

condensée [1]:

Posons pour cela :

[

]

[

]

[ ]

[ ]

[ ]


28

G =

2

2

2

2

2

2

1

1

1

1

1

1

1

1

11

11

1

1

...

............

......

......

N

NN

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

N

U

N

ggg

gg

gg

=

11

1

1

1

222

1

1

1

1

1

1

1

...

............

......

......

U

N

NNNN

N

N

N

N

ggg

gg

gg

(1.23)

La matrice est triangulaire inferieure formée à partir du coefficient des

polynômes ; s’identifie en fait aux coefficients de la réponse indicielle du modèle

étant la Période d’échantillonnage, avec ces notations le prédicteur

optimal à pas ; peut s’écrire Sous forme matricielle :

)

1.3.3 Critère d’optimisation (la loi de commande prédictive)

La loi de commande est obtenu est calculée à fin de minimiser le critère

quadratique suivant:

∑ ( )

∑ [ ]

Le critère peut s'écrire sous forme matricielle comme suit:

(1.25)

La relation du prédicteur est : (1.26)

En remplaçant cette dernière dans (1.5) on trouve:

(1.27)

est minimal si

qui donne la solution optimal suivant:

[ ] ] (1.28)

Où représente la matrice d'identité.


29

Cette dernière équation fournie les incréments futures de contrôle pour les instants '

à basée sur les informations disponibles à l'instant '. Seulement

sera appliquée au système et la commande est telle que :

(1.29)

Ainsi seulement G et F sont nécessaires pour déterminer le vecteur des

incréments control optimal à appliquer, dont qui représente le premier

élement du vecteur qui sera confirmée à l'entrée du processus commandée [30]:

Avec [ ]

La séquence de contrôle future prédite sera :

Avec les matrices:

[ ]

Ou: [ ] de dimension +1) (1.32)

Avec : [ ] de dimension (1.33)

1.4 Régulateur RST équivalent :

Selon le principe de l’horizon fuyant, seul la première valeur de cette séquence

est applique au système

[ ] )

Avec première ligne de la matrice

il est enfin possible, à partir de la relation ci- dessus, de déduire la représentation

polynomiale du régulateur équivalent, comme il est indiqué sur la figure 1.5.

A partir de la relation (1.31) il vient :

[ ] [ ]

Cette relation doit correspondre, d’après la figure ( à l’équation :


30

Ce qui fournit par identification les trois polynômes R, S et T constituant le régulateur

linaire équivalant :

( ) [ ]

Degré de ( )= max ( .

( ) [ ( )] Degré de ( )= max (

( ) ] Degré de

1.5 La commande prédictive généralisée avec contraintes :

Dans toutes les techniques de commande prédictive, les variables d’entrées,

d’états et de sorties d’un système sont souvent contraintes par leurs domaines de

définitions. Ces contraintes sont de natures diverses: limitation physique des

actionneurs, spécification de la qualité d'un produit, exigence de sécurité et domaine

T (q)

CNA

Processus CAN

R (q-1)

w y u

+

Figure 1.5 : Régulateur polynomial équivalent


31

de tolérance pour une sortie, ...etc. Par exemple, en pratique, le Signal de commande

doit satisfaire la contrainte du domaine de validité de l’actionneur (son domaine de

Fonctionnement). Dans ce cas, si on suppose l’intervalle [ , ] comme le

domaine de validité de l’actionneur, alors la contrainte de commande sur s écrit:

≤ ≤ (1.37)

Cette contrainte peut aussi s’exprimer par l’incrément de commande )

< < (1.38)

Les contraintes sur la sortie sont donnée par :

(1.39)

Dans ce cas le problème de la avec contraintes est de minimiser en tenant

compte de (1.27) donc en peut écrire J sous la forme [2],[30]:

(1.40)

(1.41)

w (1.42)

(1.43)

Pour résoudre ce problème on utilise la programmation quadratique de Matlab [5].

1.6 Remarques concernant le choix des paramètres du GPC :

Choix de l’horizon minimal de prédiction

Pour un système ne présentant pas de retard, sinon prend la valeur du

retard pure du procédé. Pour un système à déphasage non minimal, est pris égal au

nombre maximal d’échantillons durant lequel ce phénomène se produit (valeur de

la figure (1.6). Si le retard du système est mal connu ou variable, on convient de

choisir


32

Choix de l’horizon maximal de prédiction

Est choisi de sorte que le produit (Te période d’échantillonnage) soit

égal au temps de réponse désirée du système. Notons que plus est grand, plus le

temps de calcul est long.

Choix de l’horizon de prédiction sur la commande NU

Dans [9], l’auteur a choisi égal au nombre d’états du système mais soulignent

que la valeur est très souvent suffisante pour beaucoup d’applications, on

choisit en général un horizon de commande relativement réduit. Puisque

l’augmentation de l’horizon de commande pose néanmoins un problème au niveau du

conditionnement et du temps de calcul. En effet, fixe la dimension des matrices à

inverser dans le calcul de voir fig (1.8)

Figure 1.6: Valeur de N1 pour un système à déphasage non minimal

Figure 1.7: Choix de N2 pour un système à déphasage non minimal

N0

t

y

(

t

)

y

(

t

)

N1 N2

Horizon min de prédiction Horizon max de prédiction


33

Choix du facteur de pondération de la commande

C’est le paramètre le plus compliqué à régler puisque il influence sur la stabilité

du système bouclé. En effet, si est très élevé, il permet de pondérer l'influence des

commandes dans l’optimisation et ainsi permet de générer un correcteur plus ou

moins énergique donc plus ou moins rapide.

1. 7 Exemples de simulation:

1.7.1 Etude de l’influence des paramètres de synthèse :

Le système utilisé est un système stable en boucle ouverte et à phase minimale a pour

fonction de transfert :

La référence est un signal carré périodique d’amplitude 5.

Le fait d’augmenter la valeur de l’horizon de prédiction final N2, nous

obtenons une bonne dynamique du système (poursuite du signal de référence) ainsi

qu’une commande appréciable.

D’après la figure (1.10), nous avons constaté que l’augmentation de l’horizon de

prédiction de commande ne donne pas une bonne poursuite (divergence du signal de

sortie).

Donc d’après les simulations réalisée (Figures (1.8), (1.9), (1.10) nous avons constaté

que le bon choix des paramètres du synthèse est (N1, N2, NU, )=(1,10,1,0) o nous

avons obtenus des résultats nettement meilleur que les autres choix (dynamique de

sortie et le temps de réponse).


34

Signaux de Commande Signaux Consigne & Sorties

Figure 1.8: Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=5, NU=1, λ=0

Figure 1.9: Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=10, NU=1, =0

Figure 1.10: Signaux de commande, consigne et sortie pour N1=1, N2=10, NU=3, =0

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400-6

-4

-2

0

2

4

6

0 50 100 150 200 250 300 350 400-15

-10

-5

0

5

10

15

0 50 100 150 200 250 300 350 400-6

-4

-2

0

2

4

6

0 50 100 150 200 250 300 350 400-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0 50 100 150 200 250 300 350 400-6

-4

-2

0

2

4

6


35

1.7.2 Etude de l’effet des contraintes :

[a] Contraintes sur la commande et l’incrément de commande :

Dans cette section, on présente l’étude en simulation de la méthode proposée pour

commander un système instable linéaire invariant dans le temps.

L’objectif de cette étude est de montrer l’efficacité de l’algorithme pour la commande

du procédé en tenant compte des contraintes sur la commande ainsi que sur son

incrément.

Le modèle considéré, disposant d’un retard pur d’une période d’échantillonnage

(Te=0.1s) est décrit par les polynômes suivants :

Pour effectuer les tests, la référence considérée est un signal carré périodique

d’amplitude 2 et 0.

Le signal de commande doit être compris entre -0.5 et +0.5 et l’incrément de la

commande ne doit être toléré qu’entre -0.1 et +0.1.

On considère, en premier lieu, le problème de la commande prédictive sans

contraintes où on utilise la GPC standard (figures 1.11), puis en deuxième lieu on

prend en considération les contraintes mentionnées ci-dessus par l’application de

l’algorithme de la programmation quadratique sous contraintes (figure 1.12).

Le coefficient de pondération de la commande est fixé à 0.55, l’horizon de

commande Nu est fixé à 1 alors que l’horizon de prédiction N2est fixé à 5.

Ces figures montrent qu’avec la GPC standard, la réponse ne présente pas d’erreur en

régime permanent, seulement le signal de commande a violé les contraintes imposées

sur la valeur maximale, chose essentielle à respecter.

Pour le deuxième algorithme, i.e. la GPC avec contraintes (CGPC), ces dernières sont

bien respectées tout en ayant de bonnes réponses.


36

Commande Consigne & Sortie

Figure 1.11: Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes

Figure 1.12: Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes sur la commande et

l’incrément de commande


37

[b] Contraintes sur la sortie :

On propose, maintenant, le système instable à phase non-minimale décrit par la

fonction de transfert discrète suivante (Te=0.1s) :

Ce système présente des dépassements en régime dynamique (figure 1.13). Pour

traiter ce problème, on imposera des contraintes sur la variable de sortie qui devrait

être comprise entre -2 et 0 (figure 1.14).

Le coefficient de pondération de la commande est fixé à 0.85, l’horizon de

commande Nu = 2 et l’horizon de prédiction N2 = 3.

Commande Consigne & Sortie

Figure 1.13 Signaux commande, Consigne & Sortie sans contraintes

Figure 1.14: Signaux commande, Consigne & Sortie avec contraintes la sortie


38

R é s u m é :

Le début du chapitre constitue une synthèse sur les différents travaux

réalisé dans le cadre de la commande prédictive des systèmes. Cette synthèse retrace

les contributions importantes qui ont marqué le développement de la commande

prédictive.

Il a été question ici des généralités sur la commande prédictive et l'état de l’art

concernant cette approche de commande ; ainsi après avoir présenté le principe de

base de la commande prédictive ; nous avons détaillée les différents éléments d’une

commande prédictive ainsi que les paramètres de réglage, en l'occurrence l'instant de

début de prédiction, l’horizon de prédiction, l’horizon de commande et l'horizon du

système. En se basant sur ces prédictions, un critère de performance est construit et

ensuite minimisée afin d'obtenir une séquence de commande futures; conformément

au principe de l'horizon glissant. Seule la première séquence est appliquée au système.

Toute cette démarche prédictive étant réitérée à la période d'échantillonnage suivante.

Pour illustrer le principe de la commande prédictive le modèle a été présenté

d’une manière détaillé cette modèle sera appliqué sur un système alors que les

résultats de simulation seront présenté pour démontrer les performances du par

rapport a un et pour illustrer l'influence des paramètres de réglage.

Chapitre2

C o m m a n d e P r é d i c t i v e

G é n é r a l i s é e M u l t i v a r i a b l e

Chapitre 2 Commande Prédictive Généralisée Multivariable

40

2.1 Introduction :

Sans perte de généralités, le principe de la commande prédictive généralisée

présenté dans le cas monovariable reste le même dans le cas multivariable.

Cependant, pour traiter les systèmes multivariables, on doit tenir compte de certain

spécificités tel que :

Le modèle utilisé.

Le calcul du prédicateur.

Le critère de performance.

la méthode d’optimisation adoptée.

On présente dans ce paragraphe le cas d’un système à m entrées et m sorties.

Le schéma de principe de l’algorithme du GPC MIMO est représenté par la figure2.1.

Figure 2.1 : Principe de fonctionnement du GPC MIMO

2.2 Modèle de définition :

Identiquement au cas monovariable la structure CARIMA pour un système

MIMO adopte le modèle numérique suivant :

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Avec

( ) : vecteur de m sortie du processus.

( ) : vecteur de m signal de commande appliquée au système.

Opérateur retard.

x(t) : terme lié aux perturbations, choisi généralement sous la forme

x(t) = c( ) ξ(t) avec ξ(t) : séquence aléatoire non corrélée centrée.

Commande Prédictive Généralisée Multivariable Chapitre 2

41

= ∆ avec est une matrice identité d’ordre m.

∆ ( ) = : opérateur différence.

A ( ), B ( ) sont des polynômes matriciels à operateur de retard

( 1 ) 1 na (2.2)

( 1 ) 1

(2.3)

( 1 ) 1

(2.4)

On suppose que ( ) et ( ) est inversible [ ( ) ( ) ]

Les Ai et Ci sont des matrices carrées réelles de dimension m, les Bi sont des matrices

carrées réelles de dimensions m. De plus la séquence B1,..,Bnb nb d 1peut être

nulle, dans ce cas d: correspond au retard pur du système.

2.2.1 Factorisation d’une matrice de transfert:

Il s’agit ici de transformer une matrice de transfert en un modèle CARIMA pour

étendre l’application de cette méthode de commande sur un système présenté par une

matrice de transfert. Pour réaliser cette opération, on suppose que tous les coefficients

de la matrice de transfert P ( ) sont irréductibles sachant que :

( )

(

( ) (

) ( )

( ) (

) ( )

( ) (

) ( ))

(2.5)

Le lien de u(t) par y(t) sera donnée à l’aide de la matrice transfert ( ) sous la

forme:

( ) ( ) ( ) ( )

Utilisant les deux équations (2.5) et (2.6) pour construire le modèle CARIMA comme

suit:

( ) ( ) ( ) ( )


42

Le problème consiste à déterminer les deux matrices polynomiales

( ) ( ) La méthode la plus simple est de mettre la matrice ( ) sous

forme diagonale dont chaque élément de cette dernière est égale au plus petit commun

multiplicateur des éléments ( ) de la ligne correspondante de ( ) on peut

déduire

( ) ( ) ( ) ( )

2.2.2 Fonction coût :

La fonction coût à minimiser est la sommes des carrées pondérés des erreurs

des sorties prédites et les incréments de signal de commande [31]:

J=∑ * ∑

( ) ( ) + ∑ ( ))

} (2.9)

Avec :

( ) Pour j ≥

: consigne appliquée à la voie à l’instant

: Sortie prédite à l’instant sur la voie

: Incréments de commande sur la voie à l’instant

et sont : le minimum et le maximum des horizons de prédiction

: Horizon de prédiction de signal de commande

: Facteur de pondération sur l incrément de commande a notre

développement élargit nous considérons que les horizons de prédiction

; et ont les valeurs et a chaque vois.

Comme il est possible de le constater à partir de ( ) on peut théoriquement

définir des horizons de prédiction de sortie et différents sur chacune des voies,

de même pour l’horizon de commande . Dans la pratique, il faudrait avoir un

comportement entrée-sortie véritablement différent sur chacune des voies pour

appliquer le critère dans sa forme la plus générale. On prendra donc pour la suite des

égaux à pour i (de même pour les et les égaux

respectivement à et ). Voir figure 2.2


43

Figure 2.2 : Le principe de base de la commande prédictive à base de modèle

Une hypothèse supplémentaire est faite sur la commande :

(t j) 0 pour j

On peut constater d’après la figure ci-dessus que ( )est d’autant plus faible

que la valeur de j est élevée donc, pour satisfaire l'hypothèse, il est préférable de

prendre Nu élevée.

Horizon de prédiction sur la commande

ccccccccoccccommmande

Consigne future

La sortie prédite

La commande

Temps

La sortie précédente y

Horizon de prédiction de sortie


44

2.3 Commande prédictive dans l'espace d'état :

2.3.1 Calcul des prédictions:

L’approche prédictive qui considère un modèle par représentation d'état est tell que:

( ) ( ) ( ) (2.10)

( ) ( ) (2.11)

( ) ( ) (2.12)

Où

( ): variable d'état, ( ) sorties de système, ( ) sortie à commander, l’instant

d’échantillonnage, souvent on a ( ) ( ) aussi on suppose que nous ne

sachions rien au sujet des perturbations ou bruit de mesure, alors tout ce que

nous pouvons faire est de prédire à partir de l'équation ci-dessus [11], nous obtenons

le prédicteur sous forme matricielle:

[

( )

( ) ( )

( ) ]

[

]

( )

[

∑

∑

∑ ]

( )

[

∑

∑

∑ ∑

]

[

( )

(

] ( )

Les prédictions des Z échantillons sont obtenues simplement [5]:

{

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

Ou


45

[ ( )

(

] [

] [ ( )

( )

] (2.14)

2.3.2 Calcul de commande :

[a] Cas sans contraintes :

La fonction de coût s’écrit:

( ) ∑ ( ) ( ) ( )

∑ ( ) ( )

(2.15)

Avec : ( ) référence et ( ) et ( ) sont des matrices de pondération nous pouvons

écrire ceci sous forme condensée :

( ) ( ) ( ( ) ( )

. (2.16)

Où ( ) [ ( )

( )

] ( ) [ ( )

( )

] ( ) [ ( )

( )

]

Et les matrice de pondération sont donnée par:

[

( )

( ) ( )

] [

( ) ( ) ( )

]

A partir des prédictions on peut écrire

( ) ( ) ( ) ( ) (2.17)

En posant : ( ) ( ) ( ) ( )

On peut écrire ( ) ( ) ( ) ( ) (2.18)

Où { ( )


46

et ni ni sont dépend de ( ) pour calculer ( ) optimal il faut calculer le

gradient de V(k) la solution est alors donnée par :

. ( ) (2.19)

Nous utilisons seulement la partie de cette solution qui correspond au premier élément

du vecteur, nous pouvons représenter ceci comme:

( ) ( ) (2.20)

Où : matrice identité : matrice de zéros

[b] Cas avec contraintes :

Le problème de la commande prédictive avec contraintes est de minimiser

( ) ( ) ( ) (2.21)

Sous contraintes le problème est formulé par l'équation:

Qui est un problème standard appelé programme quadratique (QP).

2.4 Commande prédictive généralisée en cascade :

La commande prédictive généralisée cascade à été mise au point pour essayer de

combiner les avantages de la commande prédictive, à savoir possibilité de crée un

effet d’anticipation, à ceux d’une structure cascade très utilisée pour améliorer

notamment la réjection des perturbations dans les boucles internes. Grace à cette

structure, plusieurs variables pourront être commandées en même temps. Pour

simplifier la présentation, on envisagera ici qu’une structure à deux boucles, corrigées

chacune par un algorithme de commande prédictive.


47

En supposant que l’on ait pu au préalable décomposer le système en deux sous-

systèmes notés respectivement système interne et système externe. Le schéma de

principe de la commande prédictive généralisée cascade est donné figure 2.3 :

Figure 2.3 : Structure d’une commande prédictive généralisée cascade

Sur la figure, on voit apparaitre immédiatement qu’il est impossible de définir un

modèle de représentation entre le sortie du et la sortie car ce modèle de

représentation s’avère être fonction de GPC2. Les seuls modèles disponibles seront

donc ceux correspondant aux deux sous-systèmes.

Avec :

: Consigne du système global

: Consigne du système interne ou consigne interne

: Commande appliquée sur l’ensemble du système

: Sortie du système globale.

2.4.1 Définition des modèles :

Le système se trouve décomposé en deux parties auxquelles on va faire

correspondre un modèle propre :

Modèle interne :

( ) ( ) (

) ( ) ( )

Modèle externe

( ) ( ) (

) ( ) ( )


48

Modèle globale

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Avec

( ) ( ) (

)

(2.25) ( ) (

) ( )

Soit encore

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

Pour pallier l’absence de modèle entre w et y, on doit faire l’hypothèse que la boucle

interne est suffisamment rapide pour être transparente vis-à-vis de la boucle externe

ou approximée par un retard pur d’une période d’échantillonnage. Cette hypothèse

s’avère peu contraignante si la structure cascade est correctement bâtie. De fait, le

Modèle de prédiction pour la boucle externe est composé uniquement de modèle

externe.

Modèle de prédiction de la boucle externe

u

étant l'estimée des incréments de sortie

externes futurs

Modèle de prédiction de la boucle externe

u

étant l'estimée des incréments de sortie

internes futures.

Figure 2.3 : Modèle utilisée pour la prédiction

2.4.2 Expression des critères :

La philosophie reste la même que celle de la GPC de base, mais il faudra ici

minimiser deux boucles de cout et .les expressions de la boucle externe et

de la boucle interne ont pour expression:

( )

∑ ( ( ) ( ))

∑ ( ) (2.27)

( )

( )

( )

( )


49

( )

∑ ( ( ) ( ))

∑ ( ) (2.28)

Avec

= [ (t+ ) (t+ ) (t+ ( )

= [ (t+ ) (t+ ) (t+ ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )= ( ) ( ) ( ) ( )

( )= ( ) ( ) ( ) ( )

( )= ( ) ( ) ( ) ( )

Sortie future du système externe

Sortie future du système interne

: Les incréments calculés de la consigne interne future.

Le résultat de la minimisation du critère externe fournit la séquence optimisée de la

consigne interne . Cette séquence est ensuite directement réutilisée au niveau de

la minimisation interne pour élaborer la commande appliquée sur le processus

2.5 Résolution de GPC cascade :

La démarche conduisant à l’élaboration de la commande est tout à fait semblable à ce

qui a déjà été vu, mais ici en double exemplaire ; à l’aide des définitions vectorielles

précédentes, il est possible d’écrire les deux équations de prédiction sous forme

matricielle :

( ) ( )

( )

( )= ( ) ( ) ……. ( ) ( )

Avec


50

……………. ( )

……………. ( )

Ou et sont les matrices de régime indiciel des deux sous système.

Les critères précédemment introduisent sous forme analytique (2.27) et (2.28) peuvent

également écrire sous forme matricielle comme :

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

La solution optimale est enfin obtenue en minimisant dans un premier temps J1 puis

avec ce résultat, la minimisation de J2 fournit la commande appliquée sur le système

= 0

=( +

) .( - ) ( )

= 0

= ( +

) ( - ) ( )

A partir de la séquence de commande obtenue, il faut bien sur extraire la seule

commande retenue

( ) ( ) ( )

Avec représente la première ligne de la matrice dynamique de control M

( +

) .( - ) ( )


51

R é s u m é :

Dans ce chapitre, nous avons présenté l'algorithme de la commande prédictive

généralisée multi variable dans l’espace d’état avec et sans contraintes, cette dernière

est appliquée à un système multi variable présentée par une matrice de transfert

d’ordre 2. L’application de cette méthode nécessite, à l’avance, la factorisation de

cette matrice pour le rendre un système d'ordre de type

L’efficacité de cette méthode de commande est avérée, ceci grâce a un choix

particulier des paramètres de synthèse (les horizons de prédictions minimal et

maximal, les horizons de commande, la matrice de pondération), ce choix permet

d'avoir des commandes stables et une bonne poursuite du signal de sortie à la

consigne.

Chapitre3

C o m m a n d e P r é d i c t i v e

G é n é r a l i s é e N e u r o n a l e

Commande Prédictive Généralisée Neuronale Chapitre 3

53

3.1 Introduction :

Jusqu'à une date récente, les applications industrielles de la commande prédictive se

suffisaient de l'emploi de modèles linéaires, bien que la majorité des procédés ou des

systèmes contrôlés son de nature non linéaire. Cette situation est acceptable tant que le

système commandé est restreint à fonctionner autour d’un état local, stable et stationnaire.

Dans ce cas, et quoique la dynamique du système est globalement non linéaire, le modèle

linéaire reste une approximation valable au voisinage de cet état d'équilibre. Cependant, et dès

que le système s'éloigne de son état de fonctionnement stationnaire le modèle linéaire devient

inadéquat pour l'estimation des états/sorties futures entraînant une dégradation dans la

performance de la commande prédictive. Dans ce cas, l'emploi d'un modèle non linéaire est

nécessaire pour compenser les insuffisances de la commande prédictive induites par

l'incapacité du modèle linéaire à exprimer correctement la dynamique non linéaire du

système. Cette nécessité d'introduire les modèles non linéaires dans la formulation de la

problématique de la commande prédictive est aujourd’hui bien reconnue, et est traduite par

l'apparition d’une nouvelle approche: La commande prédictive non-linéaire ou encore, la

commande non-linéaire à horizon fuyant (non linear receding horizon control). Aujourd'hui en

compte plus de 100 application de la commande prédictive généralisée non linéaire (NMPC)

dans le domaine industrielle dont plus de 80% dans le domaine pétrolier et le raffinage [6].

Les réseaux de neurones ont émergés comme un outil indispensable pour

l'identification des processus non linéaires [30], et cette puissance de l’outil neuronique s’est

renforcée à cause de leurs aptitudes prouvées à l'approximation des fonctionnels non linéaires

avec une précision choisie a priori.

Les points clés de la NMPC sont les suivants:

Utilisation directe de modèles non linéaires pour la prédiction.

Considération explicite des contraintes sur l’état et l’entrée.

Minimisation "en ligne" d’une fonction coût définie.

Comportement prédit généralement différent du comportement en boucle fermée.

Nécessité d’une solution temps réel d’un problème de contrôle optimal en boucle

ouverte pour l’application.

Accessibilité des états du système à la mesure ou à l’estimation pour la prédiction.

Chapitre 3 Commande Prédictive Généralisée Neuronale

54

3.2 Le neurone biologique

C'est l'élément de base du système nerveux. Il reçoit des signaux en provenance de

neurones voisins, les traite, engendre, conduit et transmet l'influx nerveux à d'autres neurones.

Un neurone émet un signal en fonction des signaux qui lui proviennent des autres neurones.

On observe, en fait, au niveau d'un neurone une intégration des signaux reçus au cours du

temps, c'est à dire une sorte de sommations des signaux. En général, quand la somme dépasse

un certain seuil, le neurone émet à son tour un signal électrique.

Figure 3.1 : Neurones biologiques

3.3 Le neurone formel

Le neurone formel (ou neurone) est un processeur très simple qui calcule une somme

pondérée et qui applique à cette somme une fonction de transfert non linéaire (échelon,

sigmoïde, gaussienne, etc., voir figure (3.2).).

dd

Seuil Linéaire Sigmoïde Gaussienne

Figure 3.2 : Neurone formel et fonctions d’activation usuelles


55

3.4 Réseaux de neurones artificiels

Un réseau de neurones artificiels est un processeur parallèle de traitement

d’informations distribuées, qui présente une organisation naturelle à la mémorisation et à

l’exploitation de connaissances relatives à l’environnement dans lequel il est immergé,

connaissances acquises à partir de l’expérience. Sa structure repose sur une interconnexion

massive de cellules élémentaires de traitement d’information, appelées neurones formels.

L’intérêt des réseaux de neurones artificiels réside dans le parallélisme de leur

structure, leur capacité d’adaptation, leur mémoire distribuée ainsi que leur capacité de

généralisation émergeant de l’apprentissage, c.-à-d., l’aptitude à présenter un comportement

acceptable en réponse à des stimuli externes de son environnement non rencontrés lors de

l’apprentissage (interpolation et extrapolation).

3.5 Architectures des réseaux de neurones

3.5.1 Réseaux non bouclés

Un réseau de neurones non bouclé (non récurrent) est représenté graphiquement par

un ensemble de neurones connectés entre eux, l’information circulant des entrées vers les

sorties sans retour en arrière. Le temps n'intervient pas comme variable fonctionnelle,

c.-à-d., le réseau n'a pas de mémoire et ses sorties ne dépendent pas de son passé.

Un réseau non bouclé typique est le perceptron multicouche (PMC), un perceptron

étant un neurone formel (Figure 3.2) dont la sortie est calculée par la formule (pour une

fonction d’activation seuil):

{ ∑

Un perceptron multicouche est constitué de plusieurs neurones interconnectés

d’une façon similaire au réseau de neurone biologique (Figure 3.3). En général, les

signaux se propagent progressivement à travers le réseau seulement entre couches

adjacentes. Ces signaux sont modifiés par les poids des connexions entre les neurones

utilisant des fonctions d’activation, principalement, des fonctions à seuil ou sigmoïdes.


56

1

1y

2y Wi,j

wj,l

1

x3

x2

x1

f2

F2 f1

F2

l j i

Figure 3.3 : Réseau PMC à deux couches

[3 entrées, une couche cachée à 2 neurones et 2 sorties]

La formule mathématique exprimant un réseau PMC est de la forme :

[ ] [∑

(∑

) ]

Où spécifie le vecteur paramètre contenant tous les paramètres ajustables du réseau, à savoir

poids i, j j,l , W w et biais i,0 j,0 , W w (les biais sont interprétés comme étant des poids

provenant d’une entrée réduite à 1). et étant le nombre de neurones des couche d’entrée

et cachée respectivement.

3.5.2 Réseaux récurrents

Un système dynamique, S (Figure 3.4), peut être décrit comme une fonction de ses

entrées et sorties passées :

[ ]

Où est le multiple de la période d’échantillonnage donnant sortie au temps présent

et ) sortie observée au temps d’échantillonnage précédent, etc.

Figure 3.4 : Système dynamique à une entrée et une sortie

sortie, y(t) entrée, u(t) Système (S)


57

Un réseau PMC peut être utilisé pour approximer S si les entrées du réseau (x1, x2, …) sont

choisies comme les sorties passées et les entrées passées :

[ ] ∑ (∑

)

A l’opposé des réseaux non bouclés, les réseaux récurrents sont le siège de contre réactions

synchrones ou asynchrones en fonction du temps. Pour ces réseaux le temps intervient et le

comportement des cellules du réseau est régi, en général, par des équations différentielles non

linéaires.

Pour un réseau non bouclé il existe une relation algébrique entre entrées et sorties, alors

qu’un réseau récurrent contient une mémoire : c’est un système dynamique. Les réseaux

récurrents représentent une classe d’architectures plus générale car ceux non récurrents en

sont un cas spécial. L’expression mathématique du réseau de la figure 3.5 est de la forme :

[ ] , [∑

]

[∑ (∑

∑

) ]

(3.5)

La récurrence peut être implémentée de différentes manières. Si, en plus, les neurones de

sortie sont rétro propagés en arrière, le réseau est dit totalement récurrent.

Figure 3.5 : Exemple d’un réseau récurrent

[Neurones cachés réinjectés comme entrées ; les boucles contiennent un temps de retard]

3.6 Apprentissage des réseaux de neurones :

3.6.1 Définition :

Pour un réseau de neurone, l’apprentissage peut être considéré comme le problème de

la mise à jour des poids des connexions au sein du réseau, afin de réussir la tâche qui lui est

demandée. L’apprentissage est la caractéristique principale des réseaux de neurones et il peut

se faire de différentes manières et selon différentes règles et algorithmes.

j

1

1y

2y Wi,j

wj,l

1

x3

x2

x1

f2

F2 f1

F2

l i


58

3.6.2 Types d’apprentissage :

On distingue trois familles d'apprentissage en fonction de la nature des informations

disponibles et du but recherché.

[a] Apprentissage supervisé :

Pour lequel il est nécessaire de disposer d'un ensemble de couples de données (entrées

du réseau; sorties désirées correspondantes), appelées exemples ou patrons donnés par un

expert. La différence entre la sortie du réseau et la sortie désirée donne ainsi une mesure

d'erreur quantitative sur le calcul effectué par le réseau, qui est utilisée pour réaliser

l’adaptation.

Figure 3.6 : Illustration de l’apprentissage supervisé

[b] Le renforcement :

Sous la forme décrite, l’apprentissage supervisé présente une forte contrainte opératoire :

l’intervention d’un expert qui fournit précisément les réponses désirées. Une forme

d’apprentissage supervisé moins contraignante consiste à instruire ou entraîner le réseau par

tâtonnement en procédant par essais et erreurs. Le réseau est, alors, stimulé par

l’environnement et ses réponses sont sanctionnées ou récompensées afin de l’inciter à adopter

le bon comportement. Cette variante d’apprentissage supervisé est qualifiée d’apprentissage

renforcé (ou semi-supervisé).

Figure 3.7 : Illustration de l’apprentissage non supervisé

Signaux d’erreurs

Réponses du réseau

+

Stimuli

Environnement

Expert

Réseau de Neurones

Réponses désirées

Stimuli

Environnement Réseau de Neurones

Réponses du réseau


59

[c] L’apprentissage non supervisé :

Contrairement à l’apprentissage supervisé effectué sous contrôle d’un expert,

l’apprentissage non supervisé est autodidacte. L’ensemble des exemples d’apprentissage ne

comprend que des stimuli, et aucune réponse désirée n’est associée. Il est souvent réalisé en

ligne : Les poids et les biais sont ajustés à chaque itération en réponse des entrées seules du

réseau.

3.6.3 Méthodes d’apprentissage :

Le problème d’apprentissage peut être formulé comme suit [37] : soit un ensemble de données

{[ ] } (3.6)

Et soit un ensemble de modèles candidats

[ ] (3.7)

Le but de l’apprentissage est de déterminer une mise en correspondance de l’ensemble de

données vers l’ensemble de modèles candidats

Θ (3.8)

De telle sorte que le modèle obtenu fournit des prédictions qui sont proches des sorties réelles

du système. Une des mesures de cette proximité, en termes d'erreur des moindres carrés, est le

critère [20]:

∑ [ ]

∑

Les méthodes d’apprentissage qu’on présentera ci-dessous sont basées sur la méthode

erreur de prédiction. Cette méthode consiste à déterminer les poids d’un réseau minimisant le

critère :

Θ Θ

Quand le critère est quadratique par rapport à l’erreur de prédiction, comme

dans (Eq.3.10), l’apprentissage est le soi-disant problème des moindres carrés non linéaires

ordinaire. On rencontre les problèmes des moindres carrés non linéaires dans divers domaines

et il existe plusieurs méthodes pour les résoudre.


60

Le développement du second ordre des séries de Taylor du critère (Eq. 3.9) dans Θ est :

(Θ ) (Θ ) Θ Θ

(Θ )

Θ Θ

Θ Θ Θ ) (3.11)

Où le gradient est défini par :

et le Hessien par :

( )

Avec

Une condition suffisante pour que * soit un minimum de VN (θ, Z

N) est que le gradient

soit nul ainsi que la matrice Hessienne soit définie positive, c.-à-d.,

(3.14)

Pour tout vecteur non nul

La recherche du minimum commence par une supposition sur les paramètres, θ(0)

, puis

l’ajustement des paramètres se fait généralement par la forme itérative suivante :

Où

Est l’itération actuelle, est la direction de recherche, et est la taille de

l’étape. L’itération est effectuée jusqu’à ce que θ(i)

soit suffisamment proche du minimum .

Dans ce qui suit, nous présenterons quelques méthodes considérées comme

particulièrement pertinentes pour l’apprentissage des réseaux de neurones.

1. La méthode du gradient à descente :

Le principe de la méthode consiste à modifier, à chaque fois, les poids le long de la direction

opposée du gradient selon l’équation (3.16).

Dans cette méthode, la direction de recherche est choisie égale à

Ce qui donne :

)


61

Un choix de convenablement petit (la convergence dépend seulement de permet la

réduction du critère, c.-à-d.

Quand on applique la méthode du gradient pour l’apprentissage d’un réseau

multicouche il est utile d’ordonner les calculs de façon à utiliser la structure particulière du

réseau. La méthode est alors appelée l’algorithme de rétro propagation ou la règle Delta

généralisée. La convergence de la méthode dépend seulement de la taille de l’étape

Différentes méthodes peuvent être appliquées pour la choisir.

Cette méthode est simple, et elle ne nécessite qu’un peu de volume pour la

mémorisation des données. Mais, l’inconvénient de la convergence lente motive l’utilisation

de méthodes plus sophistiquées.

2. La méthode de Newton :

Les méthodes du Gradient s’appuient sur une approximation du 1er

ordre du critère pour

déterminer la direction de recherche. Dans la méthode Newton, la nouvelle itération est

déterminée comme le minimum du développement du 2ème

ordre du critère autour de

l’itération courante.

( ) [ ] )+

[ ]

( )[ ]

En introduisant la notation :

Le gradient et le Hessien pour le critère des moindres carrés est donné par :

∑ [ ]

Et

∑

∑

La règle d’actualisation du vecteur paramètre est donnée par:

Cette actualisation correspond à une taille d’étape , et à une direction de recherche

obtenue par la résolution des équations du système linéaire suivant :


62

( )

Une telle direction de recherche f (i)

est souvent appelée direction de Newton.

3. La méthode de Gauss-Newton :

Elle s’appuie sur l’approximation linéaire suivante de l’erreur de prédiction

[ ]

( ) [ ]

( ) [ ( )] ( )

Pour modifier le critère à l’ième itération

∑

Quand en remplace par (i)

, le gradient est le même que dans la méthode de Newton

∑ ( )[

]

Mais le Hessien est différent :

( )

∑

( )

Est appelé le Hessien Gauss-Newton et, évidement, il est semi défini positif. En plus, il

a la priorité intéressante de ne nécessiter que l’information de la première dérivée. Ceci rend

cette méthode moins coûteuse du point de vue calcul.

De la même manière que dans la méthode de Newton, la mise à jour Gauss Newton est

obtenue en minimisant l’équation 3.25 :

( ) ( )

En pratique, la direction Gauss-Newton est calculée sans l’inversion mais par

résolution de l'équation :

( ) ( )

En dépit du fait que la méthode de Gauss Newton donne théoriquement une

convergence locale lente par rapport à la méthode de Newton, l’expérience montre qu’elle est

souvent plus rapide en pratique, en particulier quand on est loin du minimum.


63

4. La méthode de Levenberg-Marquardt :

La direction de recherche obtenue par les méthodes de Newton (ou de Gauss-Newton)

peut ne pas être optimale. Pour y remédier on va chercher des minimaux locaux autour du

voisinage de l’itération courante avec un rayon δ(i)

. Le problème de minimisation est formulé

alors de la façon suivante :

| |

Avec

∑

et

{ ( ) [ ( )] ( )

( ) [ ]

(3.31)

La résolution de ce problème d’optimisation peut être de manière itérative par les équations

suivantes :

Où f (i)

est la direction qui peut être calculée à partir de :

[ (Θ ) ]

La direction de recherche dépend du paramètre (i)

qui doit être initialisé à une faible

valeur. Plusieurs méthodes existent pour déterminer le paramètre (i)

au cours de

l’apprentissage. Une manière de déterminer ce paramètre consiste à tester le critère au cours

d’une itération. Tant que le critère ne diminue pas on multiplie (i)

par un coefficient supérieur

à 1. Au contraire, si le critère diminue on multiplie par un coefficient positif inférieur à 1 pour

la prochaine itération.

Une autre manière d’évaluer ce paramètre consiste à calculer un indicateur r(i)

pour

déterminer l’évolution du paramètre [20].

( )

Si cet indicateur donne une valeur supérieure à 0.75, on divise le paramètre (i)

par 2.


64

Au contraire s’il est inférieur à 0.25 on multiplie (i)

par 2 (Tab. 3.1).

Table 3.1 : Algorithme de Levenberg-Marquardt

Chacune de ces méthodes a ces avantages et ces inconvénients. Si la méthode du gradient est

la plus simple à implémenter elle reste toutefois très lente. La méthode de Newton est plus

rapide mais nécessite le calcul du Hessien. Pour y remédier il y a la méthode de Gauss-

Newton. La méthode de Lenvenberg-Marquardt reste la plus optimale mais nécessite une

capacité d’espace mémoire importante

3.7 Introduction à la commande prédictive généralisée neuronale :

La GPC appartient à la classe des méthodes de commande digitale à base de modèle. Elle est

capable de commander des procédés à phase non minimum, instables en boucle ouverte ou

même ceux avec un temps mort variable ou inconnu. La GPC, à l’origine, a été développé

pour des systèmes ayant des modèles linéaires, mais la nature intrisèquement non linéaire de

ces systèmes conduit à la GPC non linéaire. Hors le développement de modèles empiriques

non linéaire est très difficile, et il n’existe pas de modèle approprié pour représenter de façon

général les non linéarité. C’est là que les réseaux de neurones peuvent intervenir en tant

qu’approximateurs universels pour résoudre le problème de modélisation non linéaire ce qui

conduirait à la commande prédictive généralisée neuronale (NGPC). Le schéma de la NGPC

est exposé sur la figure (3.8). Il comporte quatre composantes: le procédé à commander, un

modèle de référence spécifiant les performances désirée du système, un réseau de neurones

modélisant le système et l'algorithme de Minimisation de la Fonction Coût (MFC) qui

détermine la commande nécessaire pour produire les performances désirée du système.

L'algorithme NGPC comprend bloc (MFC) et le bloc réseau de neurones [39].

1. Sélectionner un vecteur paramètre initial θ0 et une valeur initiale

2. Déterminer la direction de recherche de . [R( + I]

3.

4.

5. Si (i) (i)(i) N N

N N( , ) ( , )V VZ Z f alors prendre (i+1) (i) (i) f comme nouvelle

itération et.

6. Si le critère d’arrêt n’est pas satisfait aller à l’étape 2.


65

Figure 3.8 : Schéma fonctionnel de la NGPC

3.8 Formulation de NGPC :

3.8.1 La fonction coût :

L'algorithme NGPC est basé sur la minimisation de la fonction de coût défini par (3.35) sur

un horizon de prédiction fini :

∑ ( )

∑ [ ] (3.35)

Avec :

N1 : horizon de prédiction minimum ;

N2 : horizon de prédiction maximum ;

Nu : horizon de commande ;

: Sortie prédite par le réseau de neurones ;

: Entrée manipulée (commande) ;

: Trajectoire de référence (consigne)

: Facteur de pondération.

La fonction coût minimise non seulement la moyenne des erreurs au carré entre la consigne et

la sortie du modèle neuronal, mais aussi le taux carré pondéré des incréments de commande

sous contraintes. La minimisation de la fonction coût génère les commandes satisfaisant les

contraintes permettant au procédé de suivre la consigne avec une certaine tolérance.

On dénombre quatre paramètres d’ajustement dans la fonction coût, N1, N2, Nu et λ.

Minimisation

fonction coût

M.F.C.

Procédé

Modèle

Neuronal

Algorithme NGPC

Z-1


66

3.8.2 Algorithme de minimisation de la fonction coût :

L'objective du MFC est de minimiser J dans l'équation (3.36) par rapport à [

] désignée par ; ceci est réalisé par annulation du Jacobien de l’équation

(3.35) et en résolvant par rapport a . [39]

Par usage de la méthode Newton-Rafson, utilisée ici en guise d’algorithme MFC, J est

minimisée de façon itérative pour déterminer le vecteur optimale. Pour chaque itération de

un vecteur intermédiaire d'entrée de commande st généré, désigné par:

[

]

(3.36)

La méthode de Newton–Rafson est l’une des méthodes les plus utilisée largement dans les

formules de localisation des racines ; si la valeur initial de la racine est ; une tangente peut

être étendu a partir du point [ ] Le point d’intersection de cette tangente avec l'axe

des (x) représente usuellement la meilleure valeur de la racine.

La première dérivée par rapport à (x), après réarrangement, est donnée par :

(3.37)

Donc en utilisant la règle de mise à jour de la méthode de Newton–Rafson, sera

donnée par :

(

)

Le Jacobien est donné par:

[

]


67

Aussi, le Hessien est donnée aussi par :

[

]

(3.40)

Chaque élément du Jacobien est calculé par la différenciation partielle de l’équation (3.35)

para port a :

∑

] *

+ ∑ [ ]

(3.41).

Où

Chaque élément du Hessien est obtenu par la différenciation partielle de l’équation (3.41).

Les et éléments de la matrice Hessienne sont

donnés par l’équation (3.42)

∑ *

[

]+

} ∑ *

+

(3.42)

Le dernier calcul nécessaire pour l’évaluation de [ ] est le calcul de la sortie prédite

et ses dérivées.

3.9 Réseau de neurone pour la prédiction :

Dans la commande prédictive généralisée non linéaire NGPC le model adopté pour

implantation est le modèle neuronal. La sortie du réseau de neurones entraîné est utilisée

comme sortie prédite du système, celle-ci sera utilisée dans la (MFC) pour la minimisation de

la fonction de coût afin d’obtenir la séquence de commande futur. Si la sortie du réseau de

neurone est donc la sortie prédite du système est celle du réseau de neurone et sera

notée . L’apprentissage initial du réseau neuronal est effectué hors-ligne avant

toute tentative de commande. Le bloc de configuration du réseau de neurones pour modéliser

le procédé est donné figure 3.9.


68

Figure 3.9 Diagramme d'apprentissage d'un réseau de neurone hors ligne

L'apprentissage de réseau de neurone nécessite l'ajustement de ses poids de connexion, tel

qu’un ensemble des entrées produit un ensemble de sortie désirée ; par conséquent une erreur

entre les réponses de réseau et celle du système est formée, cette erreur est utilisée

pour la mise à jour des poids de connexion de réseau par un apprentissage "descente du

gradient", comme par exemple, la méthode d'apprentissage de Levenberg-Marquardt. Tant

que les réseaux de neurone sont utilisés pour la modélisation des systèmes la configuration de

l'architecture du réseau de réseau de neurone doit être prise en considération.

L'implémentation de cette NGPC adopte les modèles de type entrée/sortie.

Le diagramme de la figure 3.10 représente un réseau de neurone multicouche avec une ligne à

retard. Pour cet exemple, les entrées consistent en deux entrées externes ) et deux sorties

y(t-1) avec leur nœuds retardés correspondant, , ) et y(t-1), y(t-2). Le réseau

présente une couche cachée à cinq neurones utilisant des fonctions d’activation sigmoïde.

Enfin, il ya un seul nœud de sortie utilisant une fonction linéaire pour la mise à l’échelle de la

sortie.

Procédé

Z-1

Modèle

Neuronal

couche d'entrée Couche cachée Couche de sortie

Figure 3.10 Exemple d'architecture d'un réseau de neurone


69

L'équation décrivant ce réseau de neurone est donnée [30], [2] par:

∑

Et ∑ ∑

Où:

: est la sortie du réseau de neurone.

: est la fonction de sortie du nœud de couche cachée.

est le niveau d’activation du nœud de la fonction de sortie.

est le nombre des nœuds cachés dans la couche cachée.

: est le nombre de nœud d'entrée associée avec .

est le nombre de nœud d'entrée associée avec .

est Le poids de connexion du nœud cachée au nœud de la sortie.

est le poids de connexion entre la entrée du nœud cachée.

est la sortie avec retard utilisée comme entrée au réseau.

est l'entrée du réseau de neurone avec retards.

Ce réseau est entraîné hors ligne avec les données entrées/sorties du procédé.

3.9.1 Prédiction utilisant le réseau de neurone:

L'algorithme NGPC utilise la sortie du modèle du système à l'instant pour prédire le

comportement dynamique du système à une entrée arbitraire à l'instant , ce qui est

garanti par un décalage temporel de (3.43) et (3.44). On obtient donc les équations :

∑

et

∑ {

∑

∑ (3.46)


70

3.9.2 Calcul des éléments du Jacobien :

Les éléments de Jacobien sont calculés par différenciation de dans l’équation (3.45)

par rapport à [ ]on obtient alors:

∑

(3.47)

On appliquant la chaîne des règles a On aura alors :

(3.48)

Où

: est la fonction dérivée de la sortie qui sera égal à zéro quand on utilise

une valeur constante de la sortie de la fonction d’activation.

et

∑

{

∑

(3.49)

3.9.3 Calcul des éléments de Hessien :

Les éléments de Hessien sont obtenu par la différentiation de l’équation (3.45) para port à

u(t+m) on obtient donc :

∑

(3.50)

Où :

( )

(3.51)

L’équation (3.49) est le résultat d’appliquer deux fois la chaine de règle


71

E x e m p l e :

Soit le système défini par l’équation différentielle non linéaire suivante :

(3.52)

En utilisant une technique de linéarisation (par l’outil MATLAB), on obtient un modèle

linéaire donné par :

Ce modèle linéaire est utilisé dans un algorithme GPC pour la prédiction. Pour les deux

configurations de régulateurs, l’horizon de prédiction et l’horizon de

commande Le facteur de pondération pour le signal decommande,

pour la consigne. La période d’échantillonnage pour la simulation

L’architecture du réseau de neurones est celui de la figure 3.10.

La figure (3.11) montre la sortie prédicte et la sortie actuelle du procédé donnée par l’équation

(3.53) commandé par les techniques GPC et NGPC. La figure (3.12) montre l’effort de

commande développé par les deux régulateurs.


72

Figure 3.11 : Sortie prédite et sortie actuelle du procédé

Figure 3.12 : Signaux de commande pour le système non linéaire

Sortie

Sortie prédite

Sortie


73

R é s u m é :

Ce chapitre présente les principes de la commande prédictive neuronale. Dans le cas

de la modélisation, l'intérêt des modèles neuronaux est dans le fait qu'ils forment une classe

très vaste pour la modélisation des systèmes non linéaire. L’exactitude du modèle neuronal

dépend de la quantité d'information disponible lors de l’apprentissage hors-ligne.

Il est clair qu'un apprentissage en ligne est avantageux, car à tout instant de fonctionnement

du procédé, le réseau de neurone reçoit de l'information et adapte ses coefficients. Par contre,

ce type d'apprentissage augmente la charge de calcul lors de l’optimisation de la commande

prédictive.

Chapitre4

A p p l i c a t i o n d e l a G P C p o u r

u n p r o c é d é p é t r o c h i m i q u e

Application de la GPC Pour un Procédé Pétrochimique Chapitre 4

75

4.1 Introduction :

Les procédés industriels se trouvent, aujourd’hui, défiés par un marché

dynamique et difficile à prédire conduisant à une industrie orientée consommateur et à

des produits faits sur mesure. Les coûts croissants de l’énergie ont encouragé la

conception de procédés hautement intégrés point de vue thermique pour lesquels la

stabilité dynamique et la commande offrent des défis réels. De plus, chaque quantité

épargnée d’énergie ou de matière première demande une approche de développement

durable, et ceci ne se diffuse pas seulement sur les coûts et les prix, mais aussi sur la

préservation des réserves

La commande avancée est l’une des directions les plus importantes dans

laquelle la situation de production peut être améliorée, et la commande à base de

modèle offre une solution très directe et plausible pour une opération appropriée. Il est

important de signaler que la commande de procédés continue d’être un champ de

bataille pour les chercheurs où des problèmes industriels défiant attendent leurs

solutions particulières. Les stratégies de commande non linéaire, les techniques

d’intelligence artificielle et les processus d’optimisation sont des champs de recherche

importants avec le nombre croissant de produits industriels et d’applications

commerciales.

Des développements récents dans le domaine de la commande de procédés

ont été influencés par le perfectionnement des ordinateurs appropriés pour la

commande en ligne. En outre, pendant que le prix de ces unités a considérablement

chuté, leurs performances ont été nettement améliorées. En même temps, la théorie de

la commande moderne a subi un développement très intense où plusieurs applications,

couvrant plusieurs domaines de l’industrie, ont été couronnées de succès.

Actuellement, il existe un grand nombre de techniques de commande avancées

utilisant ou bien des algorithmes spécifiques pour des systèmes particuliers ou des

méthodes très générales largement appliquées et avec une théorie bien développée.

Une classification de ces techniques est difficile à cause de la similitude entre

algorithmes obtenus à partir de méthodes générales avec des changements mineurs

concernant, par exemple, le critère de performance, la méthode d’optimisation,

l’horizon de prédiction et la prise en compte de contraintes. Toutefois, tous ces

algorithmes sont basés sur un modèle du procédé décrit de différentes manières.

Chapitre 4 Application de la GPC Pour un Procédé Pétrochimique

76

Parmi ces classifications on peut adopter celle donnée par la figure illustrative

suivante (figure 4.1):

Figure 4.1 : Une classification des techniques de commande avancées

Du fait de leurs caractéristiques principales, les procédés chimiques industriels se

trouvent des sujets pertinents et le simple fait de les commander présente un réel défi

comme l’illustre bien la figure (4.2).

Figure 4.2 : Caractéristiques principales des procédés chimiques industriels

Te c h n i q u e s d e C o m m a n d e A v a n c é e

Commande adaptative

Commande optimale

Commande prédictive (MPC)

MPC linéaire MPC non linéaire

Commande à base de systèmes

experts

Procédés Chimiques

Perturbations fréquentes et

non mesurables

Comportement à dynamique non linéaire

Interactions multivariables entre variables

Procédés distribués d'ordre supérieur

Paramètres incertains variant

dans le temps

Contraintes sur les variables manipulées et

d'état

Variables d'état non mesurables

Temps mort sur les entrées et les

mesures


77

Un meilleur contrôle de procédés chimiques signifie une plus grande production avec

le même équipement, une qualité de produit améliorée, une réduction du gaspillage et

de la pollution, et une réduction de la consommation d’énergie.

Il existe une variété de procédés chimiques et pétrochimiques qui continue de

présenter un défi pour les spécialistes en vu de les modéliser et de les pourvoir de

systèmes de commande adéquats. On peut citer, à titre d'example, la commande des

réacteurs.

La commande des réacteurs chimique a suscité l’intérêt de nombreux

chercheurs tout au long des deux dernières décennies. Un domaine crucial concerne la

modélisation des vitesses des réactions, l'asservissement de température du réacteur

et les concentrations des réactants. Ce domaine reste ouvert malgré les nombreuses

études qui on été consacrées. Cette partie propose l’application de la pour un un

réacteur . On dispose, en effet, d'un ensemble de lois empiriques relativement

incertaines pour permettre de réaliser de bonnes performances.

4.2 :

Un des réacteurs les plus utilisés dans l’industrie chimiques et pétrochimiques est le

réacteur ouvert complètement agité, exothermique irréversible avec chemise de

refroidissement ( Continously Stirred Tank Reactor). le processus multivariable

suivant corespond à un système emprunté à , auquel il a été fait une legére

modification pour pouvoir appliquer la commande GPC. Le système consiste en un

réacteur chimique avec chemise de refroidissement. la décomposition d'un produit A

en un autre produit B se produit dans le réacteur [figure(4.3)]. La réaction peut etre

écrite comme suit[22]:

La réaction est exothermique et par conséquent la température doit être contrôlée

par circulation d'eau à travers la chemise de refroidissement qui entoure les parois du

réservoir. L'objectif est de régler la température dans le réservoir ( ) et la

concentration du produit en sortie ( ) En jouant sur la manipulation du débit

d'alimentation ( ) et le débit de refroidissement( ) .


78

4.2.1 Modélisation du CSTR :

Première variante :

Le développement du modèle initial du est basé sur quatre hypothèses[3]:

1. Le est parfaitement agité .

2. les densités massiques du composant d’entrée et celui produit sont

egaux et identiques (désignés par ) .

3. le volume de liquide dans le réacteur est conservé constant par un

conduit d’évacuation .

4. le teaux de reaction ( ) est d'ordre un par a port à .est donnée par:

( )

k étant la vitesse de réaction qui suit une loi d'Arrhénius [3] de type:

(

) ( )

: le facteur de fréquence .

: energie d’activation ].

: est la constante universelle des gaz parfaits .

: la température du melieu reactionnelle

Le modéle mathématique du procéde est issu de deux bilans: un bilan de matiére et un

bilan d’energie. La modélisation est réalisée sous les hypotheses présédentes.

Refroidissement Fluide entrant ( )

TR

Réactant [produit entrant ( )]

Produit (sortant) ,

Fluide sortant ( )

Mélangeur

Echauffement

Figure 4.3 : Schéma du réacteur complètement agité exothermique irréversible


79

Le comportement dynamique du réacteur est donnée par un système d'équation

différentielle ordinaires non linéaires [21]:

{

( ) (

)

( ) ( ) (

) ( )

( )

:

: volume constant du réacteur.

: surface d'échange entre le réacteur et la double enveloppe

: enthalpie de réaction

k: constante de vitesse de la réaction

: concentration du produit à la sortie

: masse volumique dans le réacteur .

: coefficient d'échange thermique entre le réacteur et la double enveloppe

.

: température dans le réacteur

: température d’alimentation dans le réacteur .

: concentration d'alimentation.

Le bilan des différentes grandeurs physiques du système donné par l’équation ( )

pourrait être comme suit:

L’état est ( ) les commandes sont le débit d'alimentation ( ) et le débit de

refroidissement ( ) dans la chemise, et comme sortie la concentration du produit ( )

et la température de réservoir( ). Le système ( ) est donc clairement un système

non linéaire ( est une exponentielle) auquel il faut ajouter les contraintes physiques

d’exploitation: seuil sur la sortie (zone de fonctionnement limitée), amplitude et

vitesse d’entrée limitées (débit et variation de débit d'alimentation).Il est possible,

toutefois, de trouver une approximation à la fonction de transfert linéaire liant les

entrées et la sortie (linéarisation). Ceci est possible par la détermination de point de

fonctionnement du régime permanent.


80

4.2.2 Modèle linéaire du réacteur CSTR :

La linéarisation exige, en premier, la recherche d’un point de fonctionnement en

régime permanent, ce qui demande une résolution itérative des deux équations

algébriques non linéaires: on peut utiliser la méthode de Newton-Raphson ou un autre

algorithme similaire.

La forme dans l'espace d’état du model du procédé linéarisé est donnée par [3],[35] :

=

+ ( )

=

+ +

( )

(

) ( )

(

) (

) ( )

( (

)

) ( )

( ( ) ( )

(

) (

) ( )

( )

Le modèle est décrit par la matrice de transfert suivante (les constantes de temps

sont exprimées en minutes):

[ ( ) ( )

]=[

] [ ( ) ( )

] (4.11)

Avec comme entrées de commande: le débit d'alimentation ( ) et le débit de

refroidissement ( ) dans la chemise, et comme sortie la concentration du produit ( )

et la température de réservoir ( ). Les constantes de temps sont exprimées en

minute.


81

L’analyse des différentes fonctions de transfert permet de constater aisément qu'il

s’agit d’un système multivariable fortement couplée ce qui montre l’intérêt pour

l’application de la commande multivariable déjà vu dans le chapitre 2.

Ce système est discrétisé avec une période d’échantillonnage et

transformé ensuite sous la forme de représentation d'état suivante:

{

[

]

[

]

*

+

Une analyse préliminaire du système montre que:

Le système est caractérisé par les dimensions suivantes en

résulte un système avec un état de dimensions

Le système est stable, car les valeurs propres du système sont à l’intérieur du cercle

unité. Pour des fins de simulation, le modèle discrétisé avec une période

d’échantillonnage Te = 0.03 min est donné par :

[ ( )

( )] [

] [ ( )

( )] (4.12)

Une matrice A(z-1

) peut être obtenue en construisant une matrice diagonale dont les

éléments sont égaux au plus petit commun multiple des dénominateurs de chaque

ligne, on obtient donc:

{ ( ) [

]

( ) *

+


82

0

0.2

0.4

0.6

0.8C

A

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.1

0.2

0.3

0.4

Temps

TR

Plant Outputs

Time (sec)

0.1

0.15

0.2

0.25

Flu

x a

limenta

tion

0 10 20 30 40 50 60 70 800

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

Flu

x r

efr

oid

issem

ent

Plant Inputs

Time (sec)

Figure4.5 Signaux de commande (flux d’alimentation et de refroidissement)

Figure 4.4 Evolution des sorties du réacteurs (température & concentration)


83

Deuxième variante :

Soit ( ) présentée sur la ( ) décrit par deux réactants avec des

débits et

et des concentrations et .

Les variables manipulées sont: les débits ( ) et ( ), et les variables commandées

sont : niveau du produit ( ) et la concentration de sortie ( )

Le modèle simplifiée de la figure (4.6) est donné par la formule [35]:

( ) ⁄ ( ) ( ) √ ( ) (4.13)

( ) ( )⁄ [( ( ) ( )

( ) ( ( ) ( )]

( )

( ) ( )

L’objectif de commande est de maintenir la concentration du produit résultant à

et la hauteur à , sachant que :

le débit est d'échelle limitée à et de taux limitée à ;

le débit est d'échelle limitée à et de taux limitée à

Réactant (A)

Figure 4.6 CSTR a deux réactants en entrée

Réactant (B)

Niveau (h)

Produit résultant A B


84

En plus de l’objectif de commande cité ci-dessus, on comparera les performances du

régulateur GPC multi variable avec un schéma de commande constitué de deux

boucles à base de régulateurs PID.

Résultats de simulation :

L’évolution du niveau de liquide ( ) et celle de la concentration du produit ( ) à la

sortie quand la te le sont appliquée est montrée sur la ( )

L’objectif, ici, est de comparer entre les performances du régulateur et du

régulateur ; on peut remarquer que la stratégie de commande par est plus

performante (plus rapide, moins de dépassements) que la régulation par et que

l’effort de commande déployé par le régulateur est moins important par rapport

au régulateur

On pourrait penser qu'un très bon réglage des paramètres, permettrai d'avoir un

régulateur meilleur qu’un régulateur mais il faut se rappeler qu'il ya un

dilemme rapidité-dépassement (si on augmente la rapidité en perd en termes de

dépassement) ce qui prouve donc la supériorité de la stratégie de commande par

algorithme


85

Figure 4.7 : Comparaison de performances entre les stratégies PID et GPC

Figure 4.8 : Comparaison entre performances et efforts de commande entre

les stratégies PID et GPC

0 20 40 60 80 100 12030

30.5

31

31.5

0 20 40 60 80 100 12020.5

21

21.5

22

22.5

Consigne

GPC

PID

Niveau h

Concentration cb

0 20 40 60 80 100 1200.8

1

1.2

1.4

1.6

0 20 40 60 80 100 1200

0.1

0.2

0.3

0.4

GPC

PID

FL1

FL2


86

Troisième variante :

Soit le système à deux ( ) donné figure (4.9). Ce système réunit deux

( , ) en série par l'intermédiaire d'un mélangeur qui introduit une

deuxième alimentation Le modèle linéaire de ce procédé dans l'espace d'état

comprend six états, deux entrées (deux valeurs de flux d'eaux de

refroidissement ), deux perturbations (température d'eaux de

refroidissement ) et deux sorties mesurées (températures dans les deux

réservoirs ). Pour plus de détails voir .

L’objective de commande de processus de deux est de maintenir

chaque température de réservoir, est à des valeurs désirée en présence de:

Fluctuations de température d'eau de refroidissement ( ) autour de

en présence des contraintes d'actionneur.

Changement des points de référence dans les deux variables de sorties en

présence des contraintes d’actionneur.

Sortie d'eau de

refroidissement

Entrée d'eau de

refroidissement

Alimentation2

T2

CSTR2

CSTR1

Entrée d'eau de

refroidissement

Produit

Sortie d'eau de

refroidissement

TR1

CSTR1

T1

CSTR1

alimentation1

Mélangeur

Figure 4.9: Système de deux (CSTR) en série


87

Le modèle discret avec une période d'échantillonnage égal à est :

{

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Résultats de simulation :

Avec un temps de simulation égale à secondes ( échantillons); la simulation

est conduite par plusieurs changements de trajectoire de référence, et des changements

aléatoires des valeurs de température d'eau de refroidissement autour de dégrée.

Les résultats de simulation sont résumés dans les ( ) ( ) ( ) ( )


88

Figure 4.10 : Sorties-référence et commande

0 50 100 150-1

0

1

2

3

4

5

6

Tem

péra

ture

, C

Temps (sec)

T1

T2

Ref

0 50 100 150-1.4

-1.2

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

Temps (sec)

Débit,

m3/s

u1

u2


89

Figure 4.11a : Sorties-référence avec fluctuations de température

D'eau de refroidissement

Figure 4.11b : commande avec fluctuations de température d'eau de refroidissement

0 500 1000 1500-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

Temps (sec)

Déb

it m

3 /s

u1

u2

0 500 1000 1500 -1

0

1

2

3

4

5

6

temp, C

Temps (sec)

T 1

T 2

Ref


90

Figure 4.12a Evolution des états ( ) de système

Figure 4.12b Evolution des états( ) de système

0 500 1000 1500 -0.3

-0.25

-0.2

-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

Temps (sec)

Etats

état = état

0 500 1000 1500 -2

0

2

4

6

8

10

12

14

16 x 10 -3

Temps (sec)

Etats

État = État =


91

Figure 4.12c Evolution des états( ) de système

0 500 1000 1500 -0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

0.06

Temps (sec)

état

état

Etats


92

Figure 4.13 : Sorties et référence avec changement des points de Référence

0 50 100 150 -1

0

1

2

3

4

5

6

Temps (sec)

Ref

Debit

0 50 100 150 -1

0

1

2

3

4

5

6

Temps (sec)

Debit

Ref


93

Figure 4.14 : commande avec changement des points de Référence

0 50 100 150 -15

-10

-5

0

5

10

15

Temps (sec)

Débit m 3 /s

Entrée

u 1

u 2


94

Application de la GPC neuronale :

Reprenons le réacteur de la figure 4.6 est décrit par l’ensemble d’équation

différentielles non linéaires (4.13) et (4.14).

Où :

h(t)est le niveau du liquide, Cb(t) est la concentration du produit à la sortie du

procédé. FL1 est le débit du réactant A, FL2 celui du réactant B. Les concentrations

d’entrée sont fixées à CA1 = 24.9 and CA2 = 0.1.

L’objectif du système de commande est de maintenir la concentration du produit par

ajustement du débit FL1. Pour simplifier, mettons FL2(t) = 0.1. Le niveau du réservoir

h(t) n’est pas commandé dans cette simulation.

Paramètres du régulateur GPC :

horizon de prédiction minimum, N1 = 1.

horizon de prédiction maximum, N2 = 9.

horizon de commande, Nu = 2.

facteur de pondération, λ = 0.05.

Architecture du réseau neuronal :

Elle est similaire à celle de la figure (3.10), c'est-à-dire un multicouche récurrent avec

07 neurones implantés dans la couche cachée.

Les différents signaux impliqués dans l’apprentissage hors-ligne du réseau sont

donnés en figure (4.15).


95

Figure 4.15 : Très bon apprentissage du réseau (faible erreur)

Après apprentissage, on applique la commande prédictive neuronale pour

notre procédé modélisé par de façon non linéaire, on obtient un résultat très

satisfaisant, c'est-à-dire une très bonne poursuite pour une consigne variable (voir

figure 4.16) :

Figure 4.16 : Sortie et consigne

0 200 400 6000

1

2

3

4Entrée

0 200 400 60020

21

22

Sortie du système

0 200 400 600-0.02

0

0.02

0.04

0.06Erreur

Temps (sec)

0 200 400 60020

21

22

Sortie du réseau

Temps(s)

0 50 100 1500

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Plant Output: Out1

Time (seconds)

Consigne

Sortie

Conclusion Générale

Conclusion Générale

97

La commande prédictive généralisée est une démarche ouverte, facile à

implanter en milieu industriel et extensible, sans peine, aux cas multi-variable et non-

linéaire. Si ses principes sont bien respectés, elle est capable d’intégrer précisément

tous les résultats des autres techniques de commande.

Dans ce travail, il s’agissait :

de voir la supériorité de cette méthode par rapport à la régulation par

contrôleurs PID.

d’adopter et d’appliquer la stratégie de commande GPC sans et avec

contraintes.

de distinguer cette technique évoluée de commande qui peut facilement

s’adapter avec les systèmes à phase non minimum, instables, ayant des retards

importants ou même des paramètres variant dans le temps.

d’apprécier le mariage de cette stratégie avec l’outil de calcul puissant qu’est

les réseaux de neurones connus pour être des approximateurs universels, ce

qui permet à la GPC de traiter des modèles non linéaires.

Les résultats obtenus avec ce type de commande avancé et facile d’emploi sont très

satisfaisants, tout en remarquant que pour les différentes applications, les objectifs

prescrits sont atteints.

Cependant, avant l’application des différentes variantes de l’algorithme GPC, les

valeurs de paramètres de synthèse (N1, N2, Nu, λ) doivent être bien choisis afin

d’assurer les performances souhaitées et respecter les contraintes imposées.

Comme perspectives, on pourrait envisager l’application d’un autre algorithme

GPC aux cas des procédés non-linéaires avec fusion de cette technique de commande

avec d’autres, appelées techniques de commande intelligentes comme celles utilisant

les le raisonnement flou ou même les algorithmes génétiques.

R é f é r e nc e s b i b l i o g r a ph i q u e s

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