1 – Avoir impérativement les ouvrages suivants pour la rentrée :

a) Sylvie Persec & Jean-Claude Burgué

Grammaire Raisonnée 2 (Ophrys, Troisième edition)

b) Jean-Max Thomson

Burning Issues (Editions Ellipses)

2 – Revoir la grammaire anglaise (formation des phrases affirmatives, négatives, interrogatives, les temps,

les modaux). Vous pouvez les retravailler sur le site de la BBC Learning English (taper sur votre moteur de rechercher : BBC Learning English + lower intermediate OU intermediate OU upper intermediate) ou

sur le site de l’Etudiant (taper sur votre moteur de rechercher : anglais facile, 33 cours pour progresser à

l’écrit).

Connaître parfaitement les verbes irréguliers pour la rentrée (liste disponible ici : https://verbes-irreguliers-anglais.fr/ ).

Pour ceux qui ont des difficultés, vous pouvez télécharger l’application (gratuite) Duolingo pour réviser de

façon plus ludique.

3 – Lire les articles traitant des grands problèmes d’actualité économique et sociale des journaux et revues anglo-saxons. (Cf. sites Internet de : The Times, The Guardian, The Economist, The Financial Times, The

Daily Telegraph, The Independent, Time, Newsweek, The Washington Post, The New York Times, etc.).

Prenez l’habitude de le faire régulièrement afin de gagner en automatisme (certains de ces journaux ont une

application gratuite sur smartphone). Outre les connaissances culturelles indispensables, ces lectures peuvent vous aider à consolider par la

pratique votre connaissance de la grammaire et de la syntaxe anglaises, et à enrichir votre vocabulaire.

C’est aussi le cas des lectures de romans ou de nouvelles en anglais auxquelles il faudrait vous astreindre chaque fois que possible (il y a beaucoup d’œuvres lisibles en ligne ou téléchargeables, gratuitement, sur

http://www.bartleby.com/ (toutes sortes) ou sur http://www.blackmask.com/ (surtout des romans policiers)

et les œuvres payantes peuvent facilement être commandées sur n’importe quel site de détaillant

(Priceminister.com, Fnac.com, etc.). Pour les articles des sites d’information, il est vivement conseillé, si vous avez un compte Facebook, d’aller

sur les pages Facebook de chacun des journaux ou sites en question, et de cliquer « J’aime », de manière à

ce que la publication d’articles vous soit relayée sur votre page d’accueil Facebook, et que vous ayez ainsi de nombreuses possibilités d’articles à lire chaque jour.)

Si possible, lire la revue Vocable Anglais (articles extraits de la presse anglo-saxonne ; bimensuel

disponible chez la plupart des marchands de journaux)

4 – Ecoutez régulièrement des émissions de radio en anglais, sur le site NPR (scripts disponibles) ou sur

BBC Radio 4.

5 – Regarder les films en V.O. anglaise et américaine (cf. Canal +, Arte, Netflix et DVD) éventuellement

avec les sous-titres en anglais afin de s’entraîner, entre autres choses, à la compréhension auditive. Les late

shows américains (Last Week Tonight, de John Oliver, The Daily Show de Trevor Noah, The Late Show de Stephen Colbert ou Full Frontal de Samantha Bee) peuvent aussi vous aider à suivre l’actualité de façon

plus divertissante.

Année Scolaire 2021 – 2022

DOCUMENT A CONSERVER

ANGLAIS : LISTE DE LIVRES EC 1ère année

1 – Avoir impérativement les ouvrages suivants pour la rentrée :

• ¡Al grano !, Grammaire et conjugaison en 40 chapitres, Frédérique MABILAIS, Ed. Ellipses

• Précis de civilisation Espagnole et Ibéro-Américaine du XXème siècle à nos jours, Carole POUX,

Claire ANZEMBERGER, Ed. Ellipses. 2ème édition mise à jour 2021

2 – Revoir la grammaire espagnole (formation des phrases affirmatives, négatives, interrogatives, les temps, les modes, verbes irréguliers…). Vous pouvez travailler grammaire et conjugaison sur le site ver-taal qui propose des exercices autocorrectifs : https://www.ver-taal.com/gramatica.htm Mettez à jour vos connaissances sur la conjugaison, éléments indispensables à la réussite des épreuves 3 – Lire les articles traitant des grands problèmes d’actualité économique et sociale, des journaux et revues du monde hispanique (Cf. sites Internet de : RTVE, El país , ABC, El mundo, El economista…). Prenez l’habitude de le faire régulièrement afin de gagner en automatisme (certains de ces journaux ont une application gratuite sur smartphone). Pour avoir une vision globale des unes de journaux dans le monde, le site https://es.kiosko.net/ est à consulter régulièrement Outre les connaissances culturelles indispensables, ces lectures vous aideront à enrichir votre vocabulaire et à mieux cerner la spécificité de la langue en vous appropriant des tournures. Il est également conseillé de lire des romans ou des nouvelles en espagnol, au moins des extraits auxquels vous avez accès sur de nombreux sites gratuitement. Si possible, lire la revue Vocable Espagnol (articles extraits de la presse; bimensuel disponible chez la plupart des marchands de journaux) 4 – Ecoutez régulièrement des émissions de radio en espagnol, sur le site RTVE ( radio et télévision) vous aurez accès aux informations en direct. Pour vous entrainer à la compréhension orale, le site ver-taal vous propose des activités d’écoute avec travail également sur le script : https://www.ver-taal.com/telediario.htm 5 – Regardez les films en V.O. éventuellement avec les sous-titres afin de s’entraîner, entre autres choses, à la compréhension auditive. 6_ Consolidez vos connaissances du lycée. Vous avez déjà travaillé des points de civilisation au lycée qui sont les bases pour comprendre la société contemporaine. Revoyez les points culturels et géographiques : grandes dates, personnages, géographies des pays, villes, fleuves… Les clés pour progresser : du travail personnel régulier et approfondi, de la curiosité et de la motivation !

Année Scolaire 2021 – 2022

DOCUMENT A CONSERVER

ESPAGNOL : LISTE DE LIVRES et recommandations

Allemand - Conseils aux préparationnaires – rentrée septembre 2021 1 Revoir les règles de base de la grammaire allemande (syntaxe, place des verbes, revoir les temps, les conjugaisons, les déclinaisons) Connaître parfaitement les verbes irréguliers pour la rentrée. Pour ceux qui ont des difficultés, vous pouvez télécharger l’application (gratuite) Duolingo pour réviser de façon plus ludique. 2 Lire des articles de presse traitant de l'actualité (voir les sites du Frankfurter Allgemeine Zeitung, Süddeutsche Zeitung, die Zeit...) Pour les articles des sites d’information, il est vivement conseillé, si vous avez un compte Facebook, d’aller sur les pages Facebook de chacun des journaux ou sites en question, et de cliquer « J’aime », de manière à ce que la publication d’articles vous soit relayée sur votre page d’accueil Facebook, et que vous ayez ainsi de nombreuses possibilités d’articles à lire chaque jour.) Si possible, lire la revue Vocable Allemand (disponible au CDI) 3 Ecoutez régulièrement des émissions de radio en allemand, par exemple avec le site Deutsche Welle. 4 Regarder les films en V.O. (ARTE, Netflix...) Ouvrages conseillés :

• Réussir le thème en allemand Peter Purin • Entraînement au thème et à la version Hélène Lambert • Vox Allemand Le vocabulaire incontournable des examens et des concours • Dossiers de civilisation allemande • Bescherelle allemand. Ouvrage de référence sur la grammaire allemande

1

Culture générale Littérature / Philosophie

Consignes pour la rentrée de septembre 2021 ■ Le programme et les objectifs du cours de culture générale

Le programme de culture générale des CPGE économiques et commerciales permet d’élargir

et d’approfondir la culture acquise au cours des études secondaires, et de consolider les bases nécessaires à une réflexion personnelle. Le programme de première année est constitué des rubriques suivantes :

- l’héritage de la pensée grecque et latine ; - les apports du judaïsme, du christianisme et de l’islam à la pensée occidentale ; - les étapes de la constitution des sciences exactes et des sciences de l’homme ; - l’essor technologique, l’idée de progrès ; - la société, le droit et l’Etat modernes ; - les figures du moi et la question du sujet depuis la Renaissance ; - l’esprit des Lumières et leur destin ; - quelques grands courants artistiques et esthétiques depuis la Renaissance ; - les principaux courants idéologiques contemporains. En seconde année, le programme de culture générale se rapporte à l’étude d’un thème

philosophique et littéraire, renouvelé chaque année. Par exemple, pour la session 2018, le thème retenu pour les épreuves de dissertation de culture générale des concours (Écricome et BCE) était « le corps » ; pour la session 2019, le thème était « la mémoire » ; pour la session 2020, le thème était « le désir » ; pour la session 2020, le thème était « l’animal » ; pour la session 2021, le thème sera « aimer ».

Les objectifs des programmes des prépas HEC :

• Méthodologique : entraîner les étudiants à produire une réflexion personnelle et développer leur sens critique, en vue de la maîtrise des règles essentielles des épreuves écrites (le résumé et la synthèse de textes, la dissertation) et orales des différents concours : analyse, résumé, synthèse, commentaire, raisonnement, cohérence, progression... • Culturel : permettre d’élargir et d’approfondir la culture générale acquise au cours des études secondaires, et de consolider les bases nécessaires à une réflexion personnelle : littérature, philosophie, histoire, art, civilisations… • Linguistique : développer chez les étudiants la maîtrise de l’expression écrite et orale ainsi que l’aptitude à communiquer, compétences indispensables pour leur future vie professionnelle.

■ Bibliographie Concernant la philosophie, le programme de Terminale fournissant des outils et des références

indispensables pour la réflexion, il est indispensable de disposer d’un manuel (de classe de terminale) à consulter pour remettre à jour ou compléter les lacunes essentielles. Livres (trois ou quatre ou plus, au choix) que vous pouvez lire prioritairement pour la rentrée, afin d’étoffer votre culture générale • Sophocle, Antigone (édition au choix) • J-J Rousseau, Le contrat social (édition conseillée : GF-Flammarion) • Emile Zola, Germinal (édition au choix) • F. Nietzsche, Généalogie de la morale (édition conseillée : Le Livre de Poche) • Albert Camus, La Peste (édition conseillée : Folioplus classiques ; dossier par Mériam Korichi). • C. Lévi-Strauss, Race et Histoire (édition conseillée : Folio essais) • Milan Kundera, L’insoutenable légèreté de l’être (Folio) • Yuval Noah Harari, Sapiens : Une brève histoire de l'humanité (Albin Michel) • Yuval Noah Harari, Homo Deus, Une brève histoire de l'avenir (Albin Michel) • Yuval Noah Harari, 21 leçons pour le XXIe siècle (Albin Michel) • Mathieu Laine, Dictionnaire amoureux de la liberté (Plon) • Luc Ferry, La révolution transhumaniste : comment la technomédecine et l'uberisation du monde vont bouleverser nos vies (J’ai lu) • Stéphane Mallard, Disruption. Intelligence artificielle, fin du salariat, humanité augmentée (J’ai lu) • Francis Wolff, Trois utopies contemporaines (Fayard)

2

Livres que vous pouvez également lire pour la rentrée (afin d’enrichir votre culture générale) • Sophocle, Œdipe roi (édition conseillée : Folioplus classiques ; dossier par Sophie-Aude Picon) • Descartes, Méditations métaphysiques ((édition conseillée : GF-Flammarion) • Condorcet, Esquisse d’un tableau historique des progrès de l’esprit humain ((édition conseillée : GF-Flammarion ; introduction par Alain Pons) • Stendhal, Le Rouge et le Noir (édition au choix) • Freud, L’Avenir d’une illusion ((édition conseillée : « Classiques et Cie », Hatier) • M. Foucault, Les mots et les choses ((édition conseillée : Tel Gallimard) • Todorov, L’Esprit des Lumières (Livre de Poche) • Gilbert Hottois, Le transhumanisme est-il un humanisme ? (Académie royale de Belgique) • Gérald Bronner, La planète des hommes. Réenchanter le risque (PUF) • Jean-Claude Guillebaud, Une autre vie est possible (Pocket) • Gérard Chaliand, Patrice Franceschi, Jean-Claude Guilbert, De l’esprit d’aventure (Points) • Pascal Bruckner, La sagesse de l'argent (Le Livre de Poche) • Johan Norberg, Non, ce n’était pas mieux avant (Pocket) • Luc Ferry, Nicolas Bouzou, Sagesse et folie d'un monde qui vient (XO) • Une pièce de théâtre, un roman, un recueil poétique, un essai, un texte de philosophie, un ouvrage de sciences humaines, un livre dont vous entendez parler, vous tente ? Lisez-le ! Ouvrages que vous pouvez consulter sur le programme de culture générale (littérature et philosophie) en EC1 • Eric Cobast, Entrée en prépa HEC : le cahier de vacances (L’étudiant). • Véronique Anglard, Culture générale. 1re année (Armand Colin). • Culture générale. Classes préparatoires économiques et commerciales (Pearson). - Culture générale (en général) : • Catherine Choupin, Oral de culture générale. 100 exposés gagnants (Studyrama). • Eric Cobast, Toute la culture générale (PUF). • 250 fiches de culture générale (sciences-po […] prépas commerciales) (Studyrama). • 100 colles de culture générale et de philosophie (Ellipses) Presse, radio, sites d’information • Lisez régulièrement des articles de quotidiens, d’hebdomadaires, de revues… • Une émission toujours intéressante : Concordance des temps sur France Culture. Emissions à podcaster : https://www.franceculture.fr/emissions/concordance-des-temps En somme, cultivez-vous ! Expression écrite et orthographe • La maîtrise de l’expression écrite française (et, pour commencer, de l’orthographe) est indispensable pour toutes les matières et pour l’ensemble de votre formation et de votre vie professionnelle. Si vous êtes fâchés avec l’orthographe, il est temps de faire des efforts personnels en vue d’une réconciliation progressive. • Vous pouvez, par exemple, utiliser les ressources suivantes : - Thierry Liotard, Cahier d’entraînement pour l’orthographe (Studyrama) - http://www.francaisfacile.com/exercices - http://www.projet-voltaire.fr (cliquez sur « Particuliers » puis « Adultes / Etudiants / Lycéens ») - Tout ouvrage que vous possédez déjà.

Les professeurs de culture générale : - Jean-Christophe Holzerny (philosophie) : msi.cs@outlook.fr

- François Freby (littérature) : ffreby@yahoo.fr

Classe Préparatoire Economique et Commerciale Lycée Théophile Gautier – Tarbes

Année scolaire 2021 - 2022

Site Internet : www.theophile-gautier-fr/ Ou http://theophile-gautier.entmip.fr/ E-mail : tgs65pec@ac-toulouse.fr

Préparation au programme d’Économie, Sociologie et Histoire du monde contemporain (ESH)

- Conseils aux préparationnaires -

Le programme des concours se situe dans le prolongement de celui de Sciences Economiques

et Sociales (SES) des classes de Première et de Terminale (Enseignement de spécialité), mais il est, bien évidemment, adapté aux étudiants qui n’auraient pas suivi cet enseignement, ni en Première, ni en Terminale. Quel que soit votre parcours au lycée, vous passez dans l’enseignement supérieur… Cela représente un changement très important.

Vous travaillerez pour le jour de la rentrée des chapitres de cours mis à votre disposition selon

les modalités précisées plus bas. Ils portent sur le cadre général des activités économiques : Aperçu sur la comptabilité nationale [1.0] Les acteurs [1.1] La production [1.21] (à l’exclusion de l’annexe) La répartition [1.22] La dépense [1.23] (à l’exclusion de la partie [1.232.2] et de l’annexe)

Vous lirez attentivement au moins les 106 premières pages de l’ouvrage de D. Cohen, La

prospérité du vice, Livre de Poche. Même pour les élèves ayant suivi l’enseignement de SES jusqu’en Terminale, cela constituera

un préalable nécessaire. Pour les élèves n’ayant pas suivi l’enseignement de SES au lycée, cela permettra une première mise à niveau.

Désormais vous aurez le souci permanent de faire preuve d’une grande précision dans la maîtrise des connaissances que l’on vous apporte ; en particulier les élèves ayant suivi l’enseignement de SES au lycée ne doivent pas se laisser abuser par un parfum de déjà vu sous peine de mauvaises surprises à la rentrée.

ATTENTION : dès la rentrée, les séances en classe seront consacrées à répondre aux

questions de compréhension ou de précision que vous exprimerez au gré de votre travail sur ces pages. Chapitre par chapitre, ce travail sera finalisé par une évaluation quant à la connaissance et la compréhension des concepts et des mécanismes présentés. Connaissez bien votre cours dès votre arrivée en septembre. Le contenu exigible est précisément indiqué sur la fiche qui accompagne chaque chapitre (Fiche d’accompagnement) : utilisez cette fiche pour tester votre connaissance du cours.

Vous vous procurerez impérativement les chapitres disponibles dès votre admission sans

attendre, en téléchargeant les fichiers de cours via le blog de sciences sociales de la prépa : https://www.blogecotheo.fr Ne traînez pas pour ouvrir votre compte.

S’il vous plait : ➢ pas d’adresse mail en @live ou @hotmail : trop de problèmes ➢ Pas l’adresse de vos parents, la vôtre. C’est éventuellement l’occasion de vous en créer

une « Pro » avec un prénom et un nom « présentables » pour écrire à un employeur ou un maître de stage. Proscrivez les roudoudou64 et autres kikou40 !

Les jurys à l’entrée des Écoles Supérieures de Management sont sensibles au fait que les

candidats aient déjà eu un contact, même très rapide et sommaire, avec le monde de l'entreprise. Toute prise de contact (travail pendant les vacances, stage, visite, discussions avec des personnes travaillant en entreprise, et, à défaut, ouvrages, articles de presse et émissions télévisées) est vivement conseillée.

A bientôt !

Année 2021-2022Document à conserver

Conseils aux préparationnaires: MathématiquesUne des principales difficultés pour les élèves arrivant en prépa est de ne plus avoir droit

à la calculatrice alors que les calculs lors des épreuves sont techniques et le nombre deformules à connaître important. Il est nécessaire de travailler le calcul dès que possible, car:• le programme d’ECE est chargé et plus l’année scolaire avancera, plus il sera difficile

d’avoir du temps à y consacrer.

• les faiblesses en calcul peuvent freiner l’assimilation de nouveaux concepts ainsi que lesprogrès à l’écrit (blocage sur des calculs basiques). A l’inverse, de l’aisance en calculpermet d’être plus serein en devoir et plus à l’aise pour comprendre le cours.

L’apprentissage des formules est tout aussi indispensable:• les points faciles à l’écrit sont sur les questions de cours reposant sur une formule.

• il y aura beaucoup de formules nouvelles à connaître. Autant démarrer l’année en con-naissant celles vues au lycée pour s’éviter d’avoir le double de travail et pour améliorerla compréhension du cours.

En résumé, pour aborder la prépa dans les meilleures conditions, réviser les connaissances dulycée mais surtout revoir les règles de calcul même les plus élémentaires (fractions, puissances,racines, manipulation d’exponentielles et de logarithme) et plus si affinités (factorisation,résolution d’équations et d’inéquations. . . ) Cela permettra d’éviter de se trouver en difficultépar méconnaissance et non maitrise des fondamentaux.

Le but n’est pas de décourager, bien au contraire. Il vaut mieux prendre conscience de seséventuelles difficultés rapidement, et travailler dessus, c’est le meilleur moyen de réussir...

Je vous invite à aller sur le site unimath.fr qui permettra de vous entrainer de manièreludique. Vous pouvez aussi tester l’application Revismath.fr. Il ne faut pas hésiter à tra-vailler des exercices de seconde. Concernant ceux de première et terminale de S, beaucoupd’exercices sont quand même accessibles (les programmes en maths ont des bases communes).Un entrainement régulier permettra de progresser rapidement donc de pouvoir suivre et menerdes raisonnements plus complexes au cours de l’année prochaine.

Une série de rappels accompagnés d’exercices va suivre. A la fin du document, une grilled’évaluation est proposée, à remplir vous même, puis à me renvoyer, par mail de préférence.Le seul objectif est de mieux connaître votre niveau. Par conséquent, personne ne sera pénaliséparce qu’il a fait beaucoup d’erreurs, ni parce qu’il n’a pas tout fait pour la rentrée, ni mêmeparce qu’il n’a rien rendu. Il vaut mieux un élève qui rend un travail personnel quelques joursaprès la rentrée plutôt que quelqu’un qui rend un travail en se faisant aider ou en copiant.Penser à noter le temps passé sur chaque test en ne dépassant pas trop le temps maximalindiqué dans les énoncés (et noté TM). Enfin, tout doit, bien sûr, être fait sans calculatrice!

Bon courage, bonnes vacances à tous et on se retrouve à la rentrée!

Julie Champion B champion.julie@orange.fr

Chapitre 0 : Démarrage

Introduction : Dans ce premier chapitre, nous allons donc reprendre et approfondir les basesdu calcul et revoir les principales formules de calcul littéral vues au lycée.

Un peu d’histoire : C’est vers le XVIe siècle que l’on voit avec le calcul al-gébrique, apparaître les mathématiques « modernes ». Auparavant il n’étaitpratiqué que le calcul numérique ou l’algèbre chaloupée (écrite en languecommune). Le calcul algébrique combine lettres et nombres, et des opéra-tions. La grande différence entre le calcul numérique et le calcul algébriqueest que le premier a pour but de ne donner qu’un résultat particulier alorsque le second - bien qu’incluant le premier - permet de prouver une théorie,de démontrer ou de définir des lois de manière plus générale. Euclide dans leslivres arithmétiques des Éléments d’Euclide (VII à IX) utilise fréquemmentdes valeurs numériques particulières qui ont valeur de généralité.

Euclide- 300 avt J.C.-

Objectifs :• Revoir les règles de calcul numérique et savoir présenter un résultat mathématique.

• Revoir les règles et formules du calcul littéral.

Plan :I. Un peu de calcul numérique

II. Quelques rappels de calcul littéral.

I. Un peu de calcul numérique

• On peut effectuer un calcul en ligne. En revanche en cas de retour à ligne, on continuele calcul en colonne en alignant les = au dernier = de la première ligne.• Éviter de couper un calcul en changeant de page (pas de signe = sans calcul à gauche).Si on ne peut pas faire autrement, nommer la quantité à calculer (A, B, . . .) si elle nel’est pas déjà et reprendre le calcul en commençant par A = . . .

Présentation des calculs

1

Année 2021-2022Document à conserver

1) Les quatre opérations de base

Il faut connaître ses tables de multiplication, savoir poser, si besoin, une addition, unesoustraction, une multiplication ou bien une division.

Test 1. Calculer A = 512− 378, B = 13× 28 et C = 4275÷ 5 (TM = 7 min)

2) Priorités de calcul

Par ordre décroissant de priorité, on a:1. les calculs dans les parenthèses,2. les puissances,

3. les multiplications et les divisions,4. les additions et les soustractions.

Test 2.1. Calculer D = 13− 13× 4 +

(−52

)(TM = 2 min)

2. changer uniquement les parenthèses afin que l’expression ci-dessus soit égale à :

a. -14 b. -25 c. 286 (TM = 5 min)

Remarque. Les éléments avec lesquels on effectue une opération sont les termes del’opération. Dans un produit, on parle de facteurs.

Exemple 1 : 5xy − (5 − 2y)x est constituée de deux termes (qui sont soustraits), le premiercomposé de trois facteurs (5, x et y), le second de deux ((5 − 2y) et x). Le facteur (5 − 2y)est lui même composé de deux termes, le premier avec un facteur, le second deux.

Certaines parenthèses sont implicites (sous-entendues et n’apparaissent donc pas dansl’expression à calculer). C’est notamment le cas dans les fractions.

3) Rappels sur les fractions

Soient a, b, c, d, k des nombres réels. Lorsque les dénominateurs sont non nuls:

1.a

1= a

2.ak

bk=

a

b

3. −a

b=−ab

=a

−b

4.a

b× c

d=

ac

bd

5.1ab

=b

a

6.abcd

=a

b× d

c

7.a

c+

b

c=

a + b

c

8.a

c− b

c=

a− b

c

9.a

c+

b

d=

ad + bc

cd

Calculs avec des fractions

On cherchera toujours à écrire une fraction sous forme irréductible (numérateur etdénominateur n’ayant pas de facteurs communs autres que 1 et −1).

Présentation du résultat

Les traits de fractions principaux et les signes = doivent être au même niveau.Cela permet notamment d’éviter la confusion entre 1

ab

= baet

1ab

= 1ab.

Remarque.1. Le 2. permet la simplification d’une fraction (mise sous forme irréductible) par recherche

de facteur commun.

2. Le 9. correspond à une mise au même dénominateur (pas toujours optimale).

3. Les parenthèses sont implicites dans les fractions! En cas de doute, mieux vaut en ajouterautour des numérateurs et dénominateurs pour éviter les erreurs.

Exemple 2 : x+5x+1− x−5

x+1= 10

x+1(et non pas 0).

Le but est d’optimiser les calculs.

• SimplificationEn général, commencer par simplifier les fractions présentes dans le calcul.

uniquement par des facteurs communs aux numérateur et dénominateur (au-cun + et − dans la fraction sauf s’il y a des facteurs entre parenthèses).

• Somme de fractions: mise au même dénominateurLe dénominateur commun optimal est le plus petit multiple (p.p.c.m) de tous lesdénominateurs (mieux que de prendre le produit des dénominateurs (cf 9.) qui enest aussi un, mais parfois très grand). On peut éventuellement décomposer chacundes dénominateurs en produit de facteurs premiers pour le trouver.

MEP. Minimiser la difficulté des calculs de fractions

Exemple 3 : Voici un exemple de ce qu’il ne faut pas faire, puis de ce qu’il faut faire. Onconsidère l’expression: A = 7

8× 2

14+ 1

12

• Couteux en calcul:

A = 7×28×14

+ 112

= 14112

+ 112

= 14×12+112112×12

= 168+1121344

= 2801344

... qu’il faut ensuite simplifier!!

• Optimal:

A = 78× 2

2×7+ 1

12

= 18

+ 112

= 12×4

+ 13×4

= 32×3×4

+ 22×3×4

= 524

2

Année 2021-2022Document à conserver

Test 3.1. Mettre sous forme irréductible les fractions: A = 2

3+ 2

6, B = 2

3× 6

4, C =

35215

, D =325.

2. Écrire E = 29− 5

6+ 4

15et F =

710− 2

15710

+ 215

sous forme irréductible (TM = 12 min).

On peut utiliser les fractions pour effectuer des calculs avec des nombres décimaux:

1. Écrire les décimaux sous forme de fractions

2. Réduire les fractions.

3. Effectuer le calcul (résultat sous forme de fraction)

MEP. Calculer avec des décimaux

Exemple 4 : 0, 45 = 45100

= 920

et 0, 75 = 75100

= 34, donc 0, 45× 0, 75 = 9

20× 3

4= 27

80.

Remarque. On peut aussi poser le calcul avec les entiers obtenus en décalant les virgules àdroite, puis sur le résultat final, décaler la virgule à gauche en sommant les décalages effectuésau départ.

Exemple 5 : 45× 75 = 3375, donc 0, 45× 0, 75 = 0, 3375.

Test 4. Simplifier: N = 100× 0, 3× 0, 7 et O = 1−0,450,45×0,35

(TM = 8 min)

4) Rappels sur les puissances

Une puissance permet de raccourcir l’écriture d’un produit (comme le produit pour la somme).Ainsi, pour un nombre réel a 6= 0 et pour un entier n ≥ 1, on a posé:

a0 = 1, an = a× · · · × a︸ ︷︷ ︸n fois

(en particulier a1 = a) et a−n = 1an .

On a alors les règles de calcul suivantes:

Soient a, b des réels non nuls et n,m des entiers relatifs. Alors:

1. anam = an+m 2. an

am = an−m 3. (an)m = anm

4. anbn = (ab)n 5. an

bn=(ab

)nCalculs avec des puissances

Remarque.1. Même si c’est un peu long, il ne faut pas hésiter à revenir à la définition d’une puissance,

quitte à utiliser des pointillés. Les formules finiront ainsi par être comprises.

2. Les formules ci-dessus ne concernent que des produits et des quotients.

Test 5.1. Que vaut 25? 24 × 54?

2. Écrire sous la forme 2p × 3q, avec p, q deux entiers à déterminer: G = 43, H = 65,I = 3

2, J = 9

8, K =

(32

)3 (exemple: 108 = 22 × 33, donc p = 2, q = 3) (TM = 20 min)

5) Rappels sur les racines carrées

Avec les racines carrées, on entre un peu dans le calcul littéral, car on ne peut en général passimplifier l’addition ou le produit d’une racine carrée avec un nombre entier.

Soient a et b des réels positifs. Alors:1.√a2 = a 2. (

√a)

2= a 3.

√a√b =√ab 4.

√a√b

=√

ab

Calculs avec des racines

Il n’y a AUCUNE propriété pour les additions ou les soustractions.

Test 6. Que vaut√

25× 16?√

8√2?

Remarque. Lorsque a est strictement négatif, (√a)

2 n’a aucun sens mais√a2 en a un et

on a√a2 = −a (prendre un exemple avec a = −1 pour s’en convaincre).

Pour encadrer√a, il suffit d’encadrer a par deux carrés d’entiers consécutifs.

MEP. Encadrer une racine carrée

Exemple 6 :√

13 se trouve entre 3 et 4, puisque 32 < 13 < 42.

Test 7.1. Encadrer par deux entiers consécutifs le nombre

√31 (TM = 2 min)

2. Simplifier Q =√

(2−√

5)2 +√

(3−√

5)2. (TM = 8 min)

1. Toujours réduire au maximum la quantité sous la racine.

2. Dans le cas de fractions, éliminer les racines carrées au dénominateur. Si c’est:

• une simple racine, la multiplier par elle même.

• une somme de deux racines, la multiplier par sa quantité conjuguée (même ex-pression, mais en ayant changé le signe entre les deux racines).

Présentation du résultat

Exemple 7 :√

24 =√

4× 6 = 2√

6,√

65

=√

305

, 1√2

=√

22, 1

1−√

2= −(1 +

√2).

3

Année 2021-2022Document à conserver

II. Quelques rappels de calcul littéral

1) Techniques élémentaires de calcul

• Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :

a(b + c) = ab + ac

• Identités remarquables :

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a− b)2 = a2 − 2ab + b2 (a + b)(a− b) = a2 − b2

Développer : transformer des produits en sommes

Test 8. Développer A = (x− 3)2, B = (x + 2)2, C = (x + 2)(x− 2), D = 3(x + 5).

• Distributivité de la multiplication par rapport à l’addition :

ab + ac = a(b + c)

• Identités remarquables :

a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 − 2ab + b2 = (a− b)2 a2 − b2 = (a + b)(a− b)

Factoriser : transformer des sommes en produits

Test 9. Factoriser A = x + x2, B = x2 − 9, C = x2 − 10x + 25, D = x2 + 4x + 4.

• En premier lieu, identifier si une expression est sous forme développée ou factorisée(ou ni l’une ni l’autre, ou les deux).

Exemples : A = 3xy est une forme factorisée qui ne peut être développée. Enrevanche, B = x(x + 1) + (x + 1) n’est ni factorisée, ni développée complètement.

• En général, éviter de développer et chercher plutôt à factoriser. ne pas oublierles parenthèses (risque d’erreurs de signes).

MEP. Factoriser ou développer que choisir?

Test 10.1. Développer R = x(2x + 5)− (2x + 1)(2x + 5) puis factoriser R (TM = 4 min).

2. Factoriser S = (2x + 5) − (2x + 1)(2x − 3)(1 − 2x) et T = 3n(2x + 5)2 − 3n+1(2x + 5)(où n ∈ N) (TM = 7 min).

Remarque. Les identités remarquables permettent de simplifier des quantités avec racines.

Test 11. Développer puis simplifier P =(3 + 2

√5)2

(TM = 4 min).

2) Étude de signe

x −∞ − ba

+∞

ax + b − signe de a 0 signe de a

Signe d’une fonction affine

Soit P (x) = ax2 + bx + c, avec a 6= 0. Son discriminant est le nombre ∆ = b2 − 4ac.

1. Si ∆ > 0, P s’annule en deux valeurs distinctes x1 = −b−√

∆2a

et x2 = −b+√

∆2a

. AlorsP (x) = a(x− x1)(x− x2) et:

x −∞ x1 x2 +∞

P (x) signe(a) 0 −signe(a) 0 signe(a)

2. Si ∆ = 0, P s’annule uniquement en x0 = −b2a

, P (x) = a(x − x0)2 et P (x) est dusigne de a pour tout x 6= x0.

3. Si ∆ < 0, P ne s’annule pas et P (x) est du signe de a.

Signe d’un polynôme du second degré

Remarque. Les valeurs annulant un polynôme sont les racines du polynôme.

• Produit nul:

Un produit est nul si et seulement si unde ses facteurs est nul.

• Règle des signes:+ −

+ + −− − +

Quelques règles

En général, il vaut mieux factoriser (ou mettre au même dénominateur) que développerpour étudier le signe d’une fonction. On conclut ensuite avec la règle des signes.

MEP. Étude de signe

Exemple 8 : Pour étudier le signe de f(x) = x3 − x2, on factorise: f(x) = x(x2 − 1) et onpeut conclure avec la règle des signes et les tableaux précédents.

Test 12. Dresser le tableau de signe de la fonction précédente.

4

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3) Résolution d’(in)équations

• Si possible, isoler l’inconnue. Pour des équations faisant intervenir des fractions,penser au produit en croix pour enlever les dénominateurs.

Multiplier par un nombre négatif change le sens d’une inégalité, donc cetteméthode ne marche en général pas pour les résolutions d’inéquations.

• Chercher à se ramener à une étude de signe (un des membres de l’(in)équation égalà 0) dans les cas plus compliqués.

• Une fraction est nulle si et seulement si son numérateur est nul. Le dénominateurne joue alors un rôle que pour savoir si la fraction est bien définie (problème dedivision par zéro!).

Dans le cas d’étude de signe d’une fraction, le dénominateur a la même impor-tance que le numérateur (règle des signes).

MEP. Quelques conseils pour les résolutions d’(in)équations

• Un seul symbole =, ≤ ou < dans chaque (in)équation (pas de succession d’égalitéscomme dans un calcul).

• Lors d’une résolution, les (in)équations sont séparés par des si et seulement si(⇔). Même règle de présentation que pour les = dans les calculs.

• Pour conclure: les solutions sont ... (uniquement pour les équations) ou l’ensembledes solutions est ...

Présentation des calculs et du résultat

Exemple 9 : On veut résoudre l’inéquation x+52x−4

≥ 1. Le dénominateur s’annule uniquementen 2. Il s’agit donc d’une valeur interdite. Puis pour x 6= 2,

x+52x−4

≥ 1⇔ x+52x−4

− 1 ≥ 0⇔ x+52x−4

− 2x−42x−4

≥ 0⇔ x+5−(2x−4)4x−8

≥ 0⇔ −x+92x−4

≥ 0

Reste à résoudre l’inéquation avec un tableau de signe en utilisant les signes de fonctionsaffines. Vérifier que l’ensemble des solutions est ]2; 9] (la valeur 2, interdite, est exclue).

Remarque. On ne peut pas ici isoler l’inconnue en multipliant des deux côtés de l’inégalitépar 2x− 4 car le signe de ce terme dépend de x (pour l’équation correspondante, en revancheaucun problème, on obtient x − 5 = 2x − 4 et on isole facilement l’inconnue). Il est engénéral plus difficile de résoudre des inéquations que des équations.

Ne pas confondre les symboles = (qui séparent deux nombres ou expressions littérales)et ⇔ qui séparent deux égalités ou inégalités.

Test 13.1. Résoudre les équation suivantes: (TM = 40 min)

(a) 2x− 3 = −x + 6(b) 0, 2x + 3 = x(c) −x2 + 5x + 6 = 0

(d) (x + 5)(2x− 3)(4x + 2) = 0(e) (2x− 1)(x2 + x + 2) = 0(f) (x2 − 4x− 1)2 = (x2 + 4x− 1)2

(g) (x + 4)2 − (3x + 1)2 = 0(h) 3

x−4= 2

x+1

(i) 2x+1x−3

= 2

2. Résoudre les inéquations obtenues en remplaçant = par ≥ dans 1. (TM = 50 min)

4) Dérivation

Les calculs de dérivées font la différence entre les candidats aux concours. Il y en a systé-matiquement et ce sont des points assez facilement pris.• Dérivées des fonctions usuelles :

f(x) f ′(x)

k (nombre réel) 0

x 1

1x

− 1x2

xn (n entier) nxn−1

√x 1

2√x

ln(x) 1x

ex ex

• Opérations sur les dérivées :

Fonction f Fonction dérivée f ′

u + v u′ + v′

uv u′v + uv′

ku (k nombre réel) ku′

uv

u′v−uv′

v2

1v

− v′

v2

un (n entier) nu′un−1

eu u′eu

1. Bien repérer comment est construite la fonction à dériver : a-t-on affaire à unproduit, un quotient, etc... ? Il y a parfois plusieurs opérations imbriquées.

2. Toujours chercher à utiliser les formules les plus simples si plusieurs sontpossibles (penser notamment à celle du produit par une constante).

MEP. pour le calcul des dérivées

Exemples :1. Pour dériver f : x 7→ 2x, utiliser le cas particulier du produit par une constante (troisième

ligne du second tableau) plutôt que la formule générale du produit (deuxième ligne). Ilest en effet plus simple de calculer 2× 1 = 2 que 2× 1 + 0× x = 2.

2. De même, pour x 7→ x4, ne pas utiliser la formule générale du quotient (quatrième ligne,

second tableau) mais à nouveau celle du produit par une constante (x4

= 14x).

Test 14. Dériver le plus simplement possible: (TM = 20 min)

1. f : x 7→ 13x3 + x2

2+ x

2. g : x 7→ x+13

3. h : x 7→ (2x + 3) ex

4. i : x 7→ e−x3

5. j : x 7→ x ln(x)6. k : x 7→ (ln(x))51

5

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Test Questions réussies Temps mis Commentaires

1

2,1.

2,2.

3,1.

3,2.

4

5,1.

5,2.

6

7,1.

Test questions réussies Temps mis Commentaires

7,2.

8

9

10,1.

10,2.

11

12

13,1.

13,2.

14.

6