ancey, christophe - notes de cours. mécanique des fluides.pdf
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C O L E P O L Y T E C H N I Q U EF DR A L E D E L A U S A N N E
Christophe Ancey
Laboratoire hydraulique environnementale (LHE)
cole Polytechnique Fdrale de Lausannecublens
CH-1015 Lausanne
Notes de cours
Mcanique des uidesUne introduction lhydraulique pour les ingnieurs civils
version 9.2 du 4 avril 2014
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TABLE DES MATIRES 1
Table des matires
1 Proprits des uides 91.1 Dnition physique dun uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
1.1.1 tats de la matire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.2 Dnition rhologique dun uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.3 Viscosit des uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.2 Origine physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.4 Tension de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2 Similitude 272.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.2 Units de mesure . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Principaux nombres adimensionnels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.4.1 Thorme de Vaschy-Buckingham . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.4.2 Mthode de Rayleigh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.3 Application no 1 du thorme : force de trane . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4.4 Application no 2 du thorme : puissance dune explosion nuclaire . . . . . . 362.4.5 Application no 3 du thorme : loi de Manning-Strickler . . . . . . . . . . . . 37
2.5 Analyse dimensionnelle et quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.6 Similitude en ingnierie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.2 Similitude en hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 412.6.3 Courbe matresse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3 Statique des uides 453.1 Origine physique de la pression dans les uides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2 Loi de lhydrostatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
3.2.1 Loi de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.2 Principe dArchimde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.2.3 Calcul des forces de pression en pratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3.3 Mesure de la pression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
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2 TABLE DES MATIRES
4 quations de bilan 514.1 Thormes de transport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
4.1.1 Vue gnrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 514.1.2 Thorme de transport en dimension 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 524.1.3 Gnralisation et thorme de Reynolds . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 574.1.4 Conservation de la masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.5 Conservation de la quantit de mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 584.1.6 Conservation de lnergie, thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4.2 Quelques applications du thorme de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.1 Formule de Torricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.2 Intrusion dun courant de gravit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 664.2.3 Tube de Pitot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
5 coulement surface libre 695.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.1.1 Gnralits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 695.1.2 Un peu de vocabulaire et des notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
5.2 Hydraulique des canaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.1 Charge totale et charge spcique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 855.2.2 Courbes de remous obtenues par lquation de Bernoulli . . . . . . . . . . . . . 89
5.3 Rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 915.3.1 Relation dquilibre pour un rgime permanent uniforme . . . . . . . . . . . . . 915.3.2 Loi de frottement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.3.3 Justication physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 955.3.4 Hauteur normale selon la section dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.4 Rgime permanent non-uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4.1 Canal large . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4.2 Canal quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1025.4.3 Classication des rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.4.4 Rsolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
5.5 Courbes de remous et coulement critique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5.1 Hauteur critique et rgimes associs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5.2 Ressaut hydraulique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1055.5.3 Conjugaison dune courbe de remous . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1115.5.4 Eet dun obstacle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
6 coulements laminaires et turbulents 1236.1 quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123
6.1.1 Bases thoriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1236.1.2 Forme gnrique des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . 1246.1.3 Conditions aux limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
6.2 Base phnomnologique du comportement newtonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
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TABLE DES MATIRES 3
6.3 Adimensionalisation des quations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3.1 Choix des chelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1286.3.2 Rgimes dcoulement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
6.4 Mthodes de rsolution des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4.1 Exprience de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1316.4.2 Exprience de Trouton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
6.5 coulements domins par la viscosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5.1 Sdimentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1386.5.2 coulement dans les milieux poreux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1396.5.3 Eet coin dhuile . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
6.6 Couche limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.6.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1446.6.2 quation de la couche-limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1456.6.3 quation de Blasius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146
6.7 La turbulence ou les limites du modle newtonien (laminaire) . . . . . . . . . . . . . . 1486.8 Moyenne des quations de Navier-Stokes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1536.9 Problme de fermeture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1556.10 Exemple dapplication : coulement sur un plan inclin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157
7 coulements turbulents en charge 1637.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1637.2 coulement permanent uniforme lisse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164
7.2.1 quations du mouvement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1647.2.2 Phnomnologie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.2.3 Zone logarithmique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1657.2.4 Zone centrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1677.2.5 Synthse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 167
7.3 coulement permanent uniforme rugueux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.3.1 quations du mouvement ; eet de la rugosit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1687.3.2 Calcul du dbit pour des canalisations rugueuses . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
7.4 Dissipation dnergie dans les conduites en rgime tabli . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.4.1 Bilan dnergie en rgime laminaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1697.4.2 Bilan dnergie en rgime turbulent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
7.5 Pertes de charge singulires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5.1 Problmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1777.5.2 Principales formules de perte de charge singulire . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
7.6 Application . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1797.6.1 Vidange dun barrage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179
Annexe 181
A Rappels de mathmatiques 183
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4 TABLE DES MATIRES
A.1 Scalaire, vecteurs, et tenseurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183A.1.1 Coordonnes cartsiennes, cylindriques, et sphriques . . . . . . . . . . . . . . . 183A.1.2 Produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185A.1.3 Surface et calcul de surface . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186A.1.4 Calcul des volumes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
A.2 Quelques oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.2.1 Oprateur gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189A.2.2 Oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190A.2.3 Oprateur laplacien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191A.2.4 Drive totale ou drive matrielle ou drive particulaire . . . . . . . . . . . . 192A.2.5 Quelques relations sur les oprateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
B Rappels de mcanique des milieux continus 195B.1 Quelques lments de cinmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195
B.1.1 Description eulrienne ou lagrangienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 195B.2 Trajectoires et lignes de courant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
B.2.1 coulement permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197B.2.2 coulement non permanent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198
B.3 Dformation et rotation dun volume de uide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199B.3.1 Principe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199B.3.2 criture matricielle de W et D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201B.3.3 Interprtation de D : taux de dilatation et cisaillement . . . . . . . . . . . . . . 202B.3.4 Interprtation de W : vitesse de rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203
B.4 Quelques lments de dynamique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205B.4.1 Types de force . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205B.4.2 Tenseurs des contraintes et des extra-contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . 205B.4.3 Interprtation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206
B.5 Synthse : quations de Navier-Stokes dans dirents systmes . . . . . . . . . . . . . . 208B.5.1 Coordonnes cartsiennes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208B.5.2 Coordonnes cylindriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
C Proprits thermodynamiques 211C.1 Premier et second principes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211C.2 Chaleurs spciques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212C.3 Chaleur latente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213C.4 Vaporisation et cavitation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214
Bibliographie 217
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TABLE DES MATIRES 5
Avant-propos
Il sagit dun recueil de notes contenant les principales notions du cours ainsi que les formules utiles connatre. Il ne sagit pas dun cours complet de mcanique des uides. Le support complet de moncours peut tre trouv travers :
les deux ouvrages Hydrodynamique et Hydraulique de Graf & Altinakar ; le manuel de cours Mcanique des uides de Rhyming ; le cours mcanique des uides : une introduction par Botsis & Deville ; louvrage Constructions hydrauliques de Sinniger & Hager.
tous publis aux PPUR (collection Traits de Gnie Civil pour les ouvrages de Graf & Altinakaret Sinniger & Hager). Un grand nombre des donnes biographiques donnes travers les direntschapitres sont issues du livre du prof. Willi Hager de lETHZ Hydraulicians in Europe 18002000 publi par lInternational Association of Hydraulic Engineering and Research (Delft, 2003).
Jemploie les notations usuelles modernes :
les exemples sont le plus souvent introduits laide de Exemple. et on indique la ndun exemple par le symbole qed ;
les parties qui peuvent poser des problmes dinterprtation sont indiques par le symbole dansla marge ;
les dmonstrations un peu techniques (qui peuvent tre sautes en premire lecture) sont signalespar le symbole h ;
les vecteurs, matrices, et tenseurs sont en gras ; les variables scalaires sont en italique ; les fonctions, oprateurs, et nombres sans dimension sont en roman ; le symbole O (O majuscule) signie est de lordre de ; le symbole o (o minuscule) signie est ngligeable devant ; je nemploie pas la notation D/Dt pour dsigner la drive particulaire, mais d/dt (quil nefaudra donc pas confondre avec la direntielle ordinaire selon t). Je considre que le contexteest susant pour renseigner sur le sens de la direntielle et prfre garder le symbole D/Dtpour dautres oprations direntielles plus complexes ;
le symbole veut dire proportionnel ; le symbole ou veut dire peu prs gal ; les units employes sont celles du systme international : mtre [m] pour les longueurs, seconde[s] pour le temps, et kilogramme [kg] pour la masse. Les units sont prcises entre crochets ;
pour la transpose dune matrice ou dun vecteur, jemploie le symbole en exposant : A veutdire transpose de A .
Remerciements pour les relecteurs suivants : Damien Bouard, Steve Cochard, Nicolas An-dreini, Sbastien Wiederseiner, Martin Rentschler, Maxime Trolliet, Madeleine Bouchez, Jonas Haller,Scott Favre, Franois Gallaire, Roberto Siccardi.
Ce travail est soumis aux droits dauteurs. Tous les droits sont rservs ; toute copie, partielle oucomplte, doit faire lobjet dune autorisation de lauteur.
La gestion typographique du franais a t ralise avec LATEX laide du package french.sty de Ber-nard Gaulle. Les gures A.1, A.2, et 1.2 ont t ralises partir du code PSTricks de F. Vandenbrouck.La gure A.3 est de Manuel Luque.
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6 TABLE DES MATIRES
Nomenclature
variable signicationa rayon dune particuleB largeur au miroirC coecient de ChzyCf coecient de frottementc clrit des ondesD tenseur des taux de dformationD diamtre dune conduitee nergie interne massiquef coecient de frottement (Darcy-Weissbach)g acclration de la gravith hauteur dcoulementhc hauteur critiquehn hauteur normaleH charge de lcoulementHs charge spciquei pente dun biefj vecteur courant (p. ex. ux de chaleur)jf pente de frottementk vecteur normal unitairek nergie cintique massiquek conductivit hydrauliqueks rugositK coecient de Manning-Strickler chelle de longueur largeurm longueur de mlangeL longueur caractristiquemp masse dune particulen vecteur normal unitairep pressionp hauteur de pelle (pour un seuil)P chelle de pressionQ dbitQ chaleurq dbit par unit de largeurR rayon de courbureR constante des gaz parfaitsRH rayon hydrauliqueRe nombre de ReynoldsS section dcoulementS entropieT tenseur des extra-contraintes (appel encore partie
dviatorique)t tempsT tempratureu vitesse, composante de la vitesse dans la direction
xu vitesse de glissement, vitesse de cisaillementu vitesse moyenne selon la hauteur dcoulementu vitesse moyenne dans le tempsu vitesseu uctuation de vitesse
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TABLE DES MATIRES 7
variable signicationU chelle de vitesseus vitesse de sdimentationv vitesse, composante de la vitesse dans la direction
yv vitesse quadratique moyennev vitesseV volume de contrleW tenseur des taux de rotation
Symboles grecs et autres
variable signication diusion thermique primtre mouill fonction de Dirac petite variation dformation tension de surface taux de cisaillement rapport daspect conductivit thermique constante de von Krmn viscosit dynamique potentiel de vitesse fonction de dissipation fonction de vitesse potentiel gravitaire nergie totale nombre sans dimension masse volumique contrainte contrainte normale angle de pente contrainte de cisaillementp contrainte de cisaillement la paroi variable de similitude1 tenseur identit oprateur nabla
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91Proprits des uides1.1 Dnition physique dun uide
1.1.1 tats de la matire
Il y a trois tats de la matire (voir gure 1.1) pour un corps simple :
solide : matriau faible temprature ; liquide : matriau temprature moyenne et pression susamment leve ; gaz : matriau temprature susamment leve et faible pression.
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(a) (b) (c)
Figure 1.1 : reprsentation idalise des trois tats de la matire : (a) solide (rseau ordonn de mol-cules/atomes), (b) uide (collection dense et dsordonne de molcules), (c) gaz (collection dilue et trsagite de molcules).
Les dirents tats occups par un corps simple peuvent tre reprsents dans un diagramme p,T , V comme le montre la gure 1.2. Les surfaces grises reprsentent des tats purs o un seul tatsubsiste, alors que la surface blanche reprsente lensemble des tats o deux phases peuvent co-exister.Le point C est appel point critique.
Ltat solide est un tat organis de la matire : les arrangements entre molcules prsentent unordre relativement stable dans le temps. Les tats gazeux et liquide reprsentent la matire en dsordre :il nexiste pas dordre privilgi dans lagencement des molcules car celles-ci sont perptuellement enmouvement. Un uide au repos lchelle humaine est en fait, lchelle molculaire, en perptuelleagitation.
Les tats gazeux et liquide prsentent des similarits : ce sont des uides. Un uide na pas de formepropre : plac dans un rcipient, il adopte les formes du rcipient. Il existe galement des direncesnotables : un liquide a une surface libre ; si lon place un liquide dans un bol, on observe une interfacenette, appele surface libre, entre ce liquide et le gaz environnant. Un gaz a tendance occuper toutle volume qui sore lui. Un gaz na donc pas de surface libre.
lchelle atomique, ces dirences peuvent sexpliquer assez simplement : un gaz est une collectiontrs dilue de molcules ou datomes. Si d reprsente la taille dune molcule, alors la distance entre deuxmolcules est de lordre de 10d. Dans le cas dun liquide, cette distance intermolculaire est beaucoupplus faible, de lordre de d en gnral. Cela a des rpercussions considrables sur les interactions
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10 1. Proprits des uides
b
C
L/G
S/L
S/G
P
V
T
S L
G
Fluide
Figure 1.2 : diagramme schmatique des phases dun corps simple dans un espace pression (p), temprature(T ), et volume (V ).
entre molcules : pour un gaz, les molcules se rencontrent rarement et interagissent principalement aumoment des collisions par des changes de quantit de mouvement. Pour un liquide, les interactions sontbien plus frquentes et sont dune nature dirente : il sagit le plus souvent dinteraction lectrostatiquedattraction ou de rpulsion. La gure 1.3 montre le potentiel dinteraction V (r), dit de Lennard-Jones 1, et la force dinteraction qui en dcoule
V (r) = 4((
d
r
)12(d
r
)6),
o r est la distance depuis le centre de la molcule et est le potentiel dadhsion de deux molcules( kT pour du mthane ou de largon). Aux faibles distances r/d < 1, linteraction est une trsforte rpulsion qui soppose linterpntration des atomes, puis vers r d la force devient ngative :deux molcules voisines se sentent attires, mais cette force dattraction diminue trs rapidementavec r. Il sagit des forces de Van der Waals 2. Les molcules polyatomiques simples (comme leau)peuvent galement porter des charges lectriques, qui donnent naissance des forces lectrostatiquesdattraction ou de rpulsion sensiblement plus fortes que les forces de Van der Waals dues aux atomesqui les composent.
Notre connaissance des proprits dun gaz est bien plus avance que celle des liquides. Ds lan du xixe sicle, reprenant des ides formules par de nombreux physiciens de Bernoulli Clausius,les physiciens Maxwell et Boltzmann 3 ont labor les bases de la thorie dite thorie cintique des
1. Edward Lennard-Jones (18941954) tait un mathmaticien anglais, considr comme un des pionniers de la chimiemolculaire. Ses travaux ont port sur les forces intermolculaires, la valence, la catalyse de surface, et la structuremolculaire.
2. Johannes Diderik van der Waals (18371923) tait un physicien hollandais. Instituteur, il sest passionn pour laphysique et a consacr son temps libre ses recherches. Son mmoire de thse prsentait une thorie importante sur lesgaz ; il fut honor par le prix Nobel en 1910.
3. Les physiciens anglais et autrichien James Clerk Maxwell (18311879) et Ludwig Eduard Boltzmann (18441906)sont deux monuments de la physique. Ils sont les auteurs de vritables tours de force. Maxwell est surtout connu pourses travaux sur le magntisme ; les quatre quations connues aujourdhui sous le nom dquations de Maxwell sont laformalisation (par un mathmaticien anglais, Oliver Heaviside) de ses travaux. Maxwell a fait aussi des avances majeuresen thermodynamique. Boltzmann est considr comme le pre de la mcanique statistique puisquil a cr la plupartdes outils encore utiliss aujourdhui. Mme si lide des atomes est trs vieille (Dmocrite en parlait dj cinq siclesavant notre re), cest bien Boltzmann qui a fourni une thorie complte et rigoureuse. Trs critiqu par ses confrres (lathorie de lther prvalait la n du xixe sicle), Boltzmann sen trouva trs aect et se suicida. Il fallut attendre lesexpriences de Planck sur le corps noir et dEinstein sur leet photolectrique pour quon rende justice ses travaux.
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1.1 Dnition physique dun uide 11
0 1 2 3 4 5
r/d
0
1
2
3
V(r
)/
Figure 1.3 : potentiel de Lennard-Jones (trait continu) et force drive f = dV/dr (courbe en tiret) enfonction de la distance r du centre de la molcule. Pour un corps simple comme largon (Ar), on a d = 0,34nm et = 120kB K2, avec kB = 1,380 1023 J/K, kB la constante de Boltzmann.
gaz , qui permet dexpliquer les proprits macroscopiques des gaz (notamment la relation entrepression et temprature) en se fondant sur une description simplie des interactions molculaires(mouvements alatoires avec des changes de quantit de mouvement lors des collisions). Cette thoriea galement marqu le fondement de la mcanique statistique, branche de la physique qui vise tablirles proprits macroscopiques de la matire partir du comportement lmentaire des molcules. ce jour, aucune thorie cintique des liquides aussi simple et performante que la thorie cintique desgaz nexiste. Cette dicult caractriser le comportement liquide se retrouve en thermodynamiquelorsquon cherche tablir une quation dtat, cest--dire une relation entre pression p, tempratureT , et volume V (ou masse volumique) : f(V, p, T ) = 0. La loi de Boyle-Mariotte 4 est lquation dtatla plus simple quon puisse imaginer
pV = xRT,
avec p la pression, V le volume du gaz, x le nombre de moles, T la temprature, et R la constantedes gaz parfaits (R = 8,31 = kBNA J/K/mol, avec NA le nombre dAvogadro). Elle a t tablie la n du xviie sicle indpendamment par les physiciens Boyle et Mariotte partir dexpriences delaboratoire. De nos jours, on utilise une variante de cette loi, connue sous le nom de loi de Van derWaals, qui est plus prcise (
p+ aV 2
)(V b) = xRT,
avec a et b deux constantes, qui dpendent du gaz. Il nexiste pas dquation pour un liquide car onne peut pas relier simplement la pression et la temprature.
La manipulation des concepts de base de la thorie cintique et de lois empiriques comme laloi des gaz parfaits permet daboutir des ordres de grandeur trs bons pour des gaz simples (gazmonoatomique comme largon) et relativement corrects pour des gaz plus complexes. Mme si lathorie cintique ne permet pas de prdire le comportement de tous les gaz, les explications quellesdonnent sont qualitativement correctes et sappliquent la plupart des uides. Lide de base est queles particules sont sans cesse agites. Ainsi, pour un gaz au repos, si la vitesse moyenne est nulle, lavitesse instantane des particules ne lest pas. On peut faire une dcomposition de la vitesse instantaneu en une vitesse moyenne u (nulle quand le gaz est au repos) et une vitesse uctuante u : u = u+u,
4. Robert Boyle (16261691) tait un aristocrate anglais passionn par la physique. Il est lorigine de la Royal Societyof London (lquivalent de lAcadmie des Sciences en France) et a fortement plaid en faveur des sciences exprimentales.Edme Mariotte (16201684) tait un ecclsiastique, physicien et botaniste franais. La loi des gaz parfaits fut dtermineindpendamment par Boyle (1662) et Mariotte (1676).
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12 1. Proprits des uides
avec u = u (moyenne dans le temps de la vitesse) et u = 0. Si on calcule la vitesse quadratique
u2 = u u = (u+ u)2 = u2 + 2u u + u2,
et quon prend la valeur moyenne
u2 = u2 + 2u u 0
+u2,
on peut dnir la quantit v =u2 comme tant la vitesse quadratique moyenne ; pour un uide
au repos, cette vitesse donne une chelle de variation des uctuations de vitesse et on lappelle vitessethermique ou vitesse dagitation thermique. Pour un gaz dilu, les agitations des particules crent desuctuations de quantit de mouvement, qui on le verra par la suite, peuvent tre interprtes lchellemacroscopique comme une force. La force par unit de surface dun gaz au repos sappelle la pressionet la thorie cintique montre que sil y a n atomes de masse m par unit de volume, alors la pressionse dnit partir de la vitesse quadratique
p = 13nmv2,
or daprs la loi de Boyle-Mariotte, la pression lchelle macroscopique est p = nkT (puisque lenombre de moles x renferment xNA molcules dans un volume V ), do lon dduit immdiatement
v =
3kBTm
,
ce qui montre que lagitation thermique ne dpend que de la temprature et de la masse des atomes.
Exemple. Considrons un gaz de masse atomique 14 g/mol (azote) la pression atmosphriqueet temprature ordinaire (T = 20 C= 293 K). On tire que la densit particulaire n vaut n =p/kB/T = 105/293/(1,38 1023) = 2,47 1025 atomes/m3. La vitesse dagitation est donc
v =
3 1,38 293 6,0214 103 720 m/s !
On se rapportera lannexe C pour plus dinformations sur les proprits thermodynamiques des
uides.
1.1.2 Matire divise : dispersions, suspensions, mulsions
Tous les uides ne sont pas de purs liquides ou gaz. On rencontre des uides o deux phases enquilibre thermodynamique coexistent. Par rapport aux liquides purs, la prsence de particules (bulles de gaz, particules solides, gouttelettes) induit la prsence dune multitude dinterfaces entre leliquide (phase continue) et les particules (phase disperse), qui peuvent radicalement changer la naturedu mlange. On distingue :
les dispersions : ce sont des mlanges de particules trs nes (taille infrieure 1 m). Cesont souvent des particules collodales telles que des argiles. Les dispersions ne sdimentent passpontanment et il est donc trs dicile de ltrer une eau contenant des particules argileusesnes. En revanche, ce sont des mlanges trs sensibles chimiquement tout ce qui peut modierla nature des interactions entre particules. La simple modication du pH dune solution aecteconsidrablement le comportement des interfaces des particules, ce qui produit des variationsbrutales de comportement mcanique lchelle macroscopique. Par exemple, en ajoutant du selde cuisine sur un gel pour cheveux, on peut liquer le gel (constitu de chanes polymriques) ;
les suspensions : ce sont des mlanges de particules nes ou grossires (taille suprieure 1 m),en gnral sans interaction collodale entre elles. Contrairement aux dispersions, les suspensions
-
1.2 Dnition rhologique dun uide 13
sdimentent (plus ou moins rapidement selon la taille des particules et les conditions de sdimen-tation) et peuvent tre ltres mcaniquement. En gnral, les suspensions sont peu sensiblesaux variations chimiques du liquide. Du sable n (sable, limon, silt) peut tre transport ensuspension dans un cours deau ;
les mulsions : ce sont des mlanges de nes gouttelettes dun liquide dans un autre. Les mulsionsen gel sont des mulsions trs concentres o les gouttelettes ne peuvent quasiment plus sedplacer les unes par rapport aux autres. La plupart des liquides tant non miscibles, les mulsionssont trs courantes. Le lait ou bien la mayonnaise sont des exemples dmulsion de globules degraisse dans une phase aqueuse. Comme pour les dispersions collodales, la physique de cesmlanges est dicte par le comportement des interfaces. Un problme important est la stabilitdes mulsions (coalescence des gouttelettes, sparation des phases). Les mousses sont des casparticuliers dmulsion o les gouttelettes sont des bulles de gaz. Leau blanche qui se formedans les cours deau trs forte pente ou bien lcume des vagues sont des mulsions dair dansde leau ; la cavitation dans les conduites peut amener la formation dmulsions.
1.2 Dnition rhologique dun uide
Un uide est le plus souvent dcrit comme un milieu continu, dformable, et scoulant. Ainsi,quoique discret lchelle molculaire, un gaz comme lair peut tre dcrit comme un milieu continu notre chelle dobservation, cest--dire que lon peut ngliger le comportement individuel des molcules(un cube de 1 m de ct contient 3 107 molcules !) et dcrire le comportement local laide dechamps vectoriels continus. Ainsi le champ vitesse u(x,t) signie la vitesse du uide la position x etau temps t (ce que lon mesure avec un appareil comme un tube de Pitot) et correspond physiquement la vitesse moyenne des molcules contenues dans un voisinage innitsimal autour de x. Cetteapproximation de milieu continu est trs utile car elle permet dtudier le comportement mcaniquedes uides laide dune relation liant contraintes et vitesses (taux) de dformation et quon appelle loi de comportement . La loi de comportement la plus simple est la loi newtonienne, selon laquelleles tenseurs des contraintes et des taux de dformation sont relis linairement par lintermdiaire dunparamtre appel viscosit ; cest ce que lon va voir dans la section suivante. Lcoulement dun uidedpend foncirement de la loi de comportement. Comme le montre la gure 1.4, les lignes de courantvarient fortement selon que le uide scoule comme un uide newtonien en rgime laminaire ( droite)ou que son coulement prend la forme dun coulement potentiel ( gauche).
Tous les matriaux sont dformables et peuvent tre considrs comme uide si lon attend suf-samment longtemps. Cest donc lchelle de temps qui est importante. On introduit cet eet unnombre sans dimension dit de Dborah 5 :
De = trte,
avec tr temps de relaxation du matriau et te le temps de lexprience (ou de lobservation). Si De 1,le matriau se comporte comme un uide et inversement si De 1, il se comporte comme un solide.Par exemple, un glacier est uide lchelle gologique (voir gure 1.5) !
Un uide peut tre compressible, cest--dire le volume quil occupe change avec la pression appli-que. Ainsi, les gaz peuvent facilement changer de volume, mais les liquides sont caractriss par unetrs faible compressibilit. Un uide compressible peut scouler volume constant. On dit alors quelcoulement est isochore. faible vitesse, un coulement dair est isochore : on peut ngliger toutevariation de volume du gaz. En revanche, trs grande vitesse, le gaz va se comprimer et on ne peutplus ngliger la compressibilit de lair ; un phnomne caractristique est londe de choc (une sautebrutale de la masse volumique du gaz) lors du passage du mur du son par un avion supersonique. Enaronautique, on se sert ainsi du nombre de Mach, rapport de la vitesse de lobjet sur la vitesse duson, comme indice servant caractriser limportante de la compressibilit dans la dynamique du gaz.
5. Ce nombre a t appel ainsi en rfrence un passage dans la Bible, o la prophtesse Dborah dclara lesmontagnes scouleront avant le Seigneur , ce qui fut interprt par les rhologues modernes comme la premirearmation que tout scoule si on attend susamment longtemps.
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14 1. Proprits des uides
(a)
(b)Figure 1.4 : coulement permanent dun uide visqueux autour dun solide de section rectangulaire, avec gauche (a) un coulement potentiel dans une cellule de Hele-Shaw (uide : eau) et droite (b) un coulementde Stokes tridimensionnel (Re = 0,02 ; dans ce dernier cas, on note lapparition de zones mortes, siges devortex (uide : glycrine). Source : S. Taneda et D.H. Peregrine in (Van Dyke, 1982). Pour limage (b) onvisualise lcoulement dans une cellule de Hele-Shaw, qui est un dispositif exprimental compos de deuxplaques parallles, trs rapproches, ce qui permet de crer des coulements bidimensionnels. Quoi que dansun rgime laminaire (coulement de Stokes), de tels coulements prsentent un champ cinmatique similaire celui dun coulement potentiel. Un coulement est dit potentiel lorsque le champ de vitesse est le gradientdune fonction scalaire appele potentiel . Ce type dcoulement est trs important sur le plan thorique caril sert dcrire des coulements de uide parfait (ou uide dEuler), cest--dire des uides pour lesquels il nya aucune dissipation dnergie (par frottement visqueux). En pratique, un coulement potentiel sert dcriredes coulements en rgime turbulent loin de toute paroi. Dans le cas prsent, lcoulement potentiel autourdun obstacle rectangulaire est donc une idalisation dun coulement turbulent autour dun obstacle sans eetde couche limite et de sillage (cest--dire prcisment deux eets dus au frottement du uide sur les parois delobstacle), des eets qui seront tudis au chapitre 6 ; lcoulement est alors gouvern par un quilibre entregradient de pression et termes inertiels (acclration). Pour limage(b), on visualise un coulement laminairedit de Stokes. Cest coulement purement visqueux, sans eet inertiel. La dynamique de lcoulement estalors entirement commande par lquilibre entre termes de frottement visqueux et gradient de pression. Ontudiera ces coulements au chapitre 6.
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1.2 Dnition rhologique dun uide 15
Figure 1.5 : tout scoule, mme les montagnes [DR] !
Figure 1.6 : passage du mur du son par un avion militaire [DR]. Londe de choc induit un changementbrutal de pression, qui provoque la condensation de la vapeur deau et la formation de micro-gouttelettes quimatrialise londe de choc aux abords de lavion.
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16 1. Proprits des uides
1.3 Viscosit des uides
1.3.1 Manifestation lchelle macroscopique
Beaucoup de uides de lenvironnement courant sont des uides newtoniens. Ces uides se carac-trisent notamment par une dpendance linaire des contraintes et des vitesses de dformation. Ainsi,Newton montra que lorsquon cisaille un uide (voir gure 1.7)
il se produit une force de rsistance du uide contre cette action de cisaillement ; cette force est proportionnelle au taux de cisaillement, ici U/h [1/s].
h
U
ex
ey
Figure 1.7 : cisaillement dun uide entre deux plaques parallles espaces dune distance h ; la plaquesuprieure se dplace la vitesse U .
Si on dnit la contrainte de cisaillement comme la force par unit de surface [Pa=N/m2], alorson a la relation :
= Uh,
o est le coecient de viscosit dynamique [en Pas]. On introduit aussi une viscosit cinmatique = / [en m2/s] (cette relation sert par exemple dans la dnition du nombre de Reynolds). Lunitde mesure de la contrainte est le Pascal [Pa], cest--dire 1 Pa = 1 N/m2. On verra plus loin auchapitre 6 que cette loi empirique scrira
= , (1.1)
avec le taux de cisaillement ou gradient de vitesse, qui dans le cas particulier examin ici prend lavaleur U/h.
La viscosit dpend foncirement de la temprature du liquide : en gnral, elle diminue avec latemprature (plus la temprature est leve, plus lagitation molculaire est grande, moins le uideoppose de rsistance). Ainsi, la viscosit de leau liquide vaut 1,8 103 Pas pour T = 0 C, 1,0 103 Pas pour T = 20 C, 0,35 103 Pas pour T = 80 C, et 0,28 103 Pas pour T = 100 C.Pour un gaz, cest linverse : on observe une augmentation de la viscosit avec la temprature. Letableau 1.1 donne les valeurs des viscosits pour leau et lair temprature ambiante ainsi que lamasse volumique. Le tableau 1.2 donne la viscosit dynamique pour des produits courants.
Tableau 1.1 : quelques valeurs de viscosit T = 20 30 C.
kg/m3 Pas m2/seau 1000 103 106air 1,17 2105 1,6 105
retenir que lunit de la viscosit dynamique est le Pas (unit du systme international ou USI).Auparavant on employait le poiseuille (1 Po = 1 Pas) ou le poise (le plus souvent le centipoise) : 1Pas = 10 Po = 100 cPo. Pour la viscosit cinmatique, on emploie le m2/s ; certains ont recours austokes (St) 1 St = 1 cm2/s = 104 m2/s et 1 cSt = 1 mm2/s = 106 m2/s.
1.3.2 Origine physique
La viscosit des gaz monoatomiques dilus peut sexpliquer assez simplement laide de la thoriecintique. Pour des gaz polyatomiques ou concentrs, les prdictions de cette thorie sont un peu moins
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1.3 Viscosit des uides 17
Tableau 1.2 : quelques valeurs de viscosit de matriaux familiers temprature ordinaire. (Pas)
air 2 105eau 103huile dolive 0,1miel 1 10sirop drable 100bitume 108
bonnes. Pour les liquides, le sujet a t abord depuis longtemps, mais reste encore trs dbattu.Considrons lexprience de Newton, o le gaz est cisaill entre deux plaques. lchelle atomique,
les molcules vont en moyenne dans la direction x, mais sont galement en perptuelle agitation. Consi-drons deux couches voisines et parallles de molcules, dont le mouvement moyen est un glissementrelatif selon x. Si le libre parcours moyen 6 des molcules est , alors lordre de grandeur de la spara-tion entre deux couches dans la direction y est 2. Une molcule est anime dune vitesse uctuantedue lagitation thermique, qui est isotrope et qui prend donc une valeur v(T ) T dans toutes lesdirections v = (v, v), et dune vitesse moyenne u(y) selon la direction x. La vitesse instantane estdonc la somme de ces deux vitesses u = (u+ v, v).
y
y +
x x + x
n
Figure 1.8 : thorie cintique trs simplie : on considre un volume de contrle compris entre deux couchesde glissement lchelle molculaire.
Considrons un petit volume de contrle entre deux couches, long de x, comme le montre lagure 1.8. Du fait de lagitation thermique, chaque instant, peu prs n/6 molcules passent delaltitude y + y (les autres vont dans les autres directions de lespace), o n dsigne le nombremoyen de molcules par unit de volume ( ne pas confondre avec la normale n). Le ux lmentairede quantit de mouvement pour une particule entrant dans le volume scrit sur la face suprieure (laltitude y + )
(y + ) = m(u n)ux = m(
v(T )u(y + )v(T )2
)x,
avec n la normale la facette. Comme il y a en n/6 particules entrant dans le volume par unit detemps, on dduit que le ux tangentiel (dans la direction x) scrit donc x(y+) = nmvu(y+)x/6.On fait de mme avec la facette intrieure sachant que les ux latraux ne comptent pas (ux nul car levolume est pris entre deux couches adjacentes) et on tire que le ux est x(y) = nmvu(y)x/6.Le ux total tangentiel par unit de longueur est donc
t =x(y + ) + x(y )
x= nmv6 (u(y + ) u(y ))
nmv
3dudy +O(),
quand on fait un dveloppement limit au premier ordre. On peut faire de mme avec le ux normal,mais comme la vitesse uctuante ne dpend que de la temprature, on trouve que les deux composantes
6. Le libre parcours moyen est la distance moyenne parcourue par une molcule entre deux collisions.
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18 1. Proprits des uides
lmentaires du ux sont de signe oppos et il ny a donc pas de ux de quantit de mouvement dansla direction y. Comme on peut interprter un ux de quantit comme une contrainte, on en dduitque ce ux tangentiel quivaut une contrainte de frottement tangentiel
= dudy ,
avec = nmv/3
le coecient de viscosit. Grce la thorie cintique, on peut expliquer le comportement newtoniendes gaz, mais galement calculer le coecient de viscosit dynamique, notamment prvoir sa variationavec la temprature : T , ce qui est bien vri exprimentalement.
1.3.3 Fluides newtoniens et non newtoniens
Dans ce cours, on sintresse essentiellement des uides newtoniens. Pour un uide newtonien temprature constante et plac dans un coulement dit en cisaillement simple, la contrainte de cisaille-ment est relie au taux de cisaillement (gradient de vitesse) par la relation linaire (1.1). Autrement dit,si lon trace le rapport = / en fonction du taux de cisaillement, on obtient une droite horizontale,comme le montre la gure 1.9.
110 010 210 310110210110
010
110
rho-fluididiant
rho-paississant
newtonien
Figure 1.9 : loi de viscosit pour dirents types de uide.
Tous les uides ne vrient pas cette relation ou bien la vrient partiellement. Par exemple,lhuile de cuisine est newtonienne, mais la mayonnaise ne lest pas : si on place de la mayonnaise sur uneassiette et quon incline lgrement cette assiette, rien ne se passe. En fait, il faut exercer une contrainteminimale pour que la mayonnaise scoule. On dit que la mayonnaise possde un seuil de contrainte.On peut faire une exprience en plaant un objet la surface de la mayonnaise : un cornichon a toutesles chances de rester la surface tandis quon peut facilement y enfoncer une cuillre. Le seuil decontrainte peut empcher la sdimentation dun corps si la pression exerce par ce corps est infrieure ce seuil. Si lon trace la relation = f() pour un tel uide, on obtient une courbe comme cellereporte sur la gure 1.11, avec une valeur non nulle de la contrainte de cisaillement quand le tauxde cisaillement tend vers 0. Les uides non newtoniens possdent des proprits parfois stupantesqui les distinguent des uides newtoniens. Par exemple, leet Weissenberg sert caractriser defaon simple un comportement non newtonien : un uide newtonien mis en rotation a tendance secreuser sous leet des forces centrifuges, mais un liquide polymrique (constitu de longues chanesde macromolcules) senroule autour du cylindre (voir gure 1.10) comme sil tait aspir.
Dautres uides nont pas de seuil de contrainte, mais une viscosit qui dpend du taux de cisaille-ment. On distingue ainsi deux classes de comportement (voir gure 1.9) :
comportement rho-paississant : plus le taux de cisaillement est important, plus la rsistancedu uide est grande. Cela se traduit souvent par des comportements exprimentaux de la forme n, avec n > 1. Dans les produits alimentaires, les produits base damidon sont le plus
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1.3 Viscosit des uides 19
Figure 1.10 : eet Weissenberg. Cest la remonte dun liquide polymrique le long dun cylindre plong dansun bain et mis en rotation.
souvent rhopaississants (cest aussi en partie pour cette raison quon les utilise pour paissir une sauce) ;
comportement rhouidiant : plus le taux de cisaillement est important, plus la rsistance duuide est faible. Exprimentalement, on observe des variations de la forme n, avec n < 1.Le ketchup est un produit rhouidiant. Certaines peintures possdent cette proprit pourfaciliter leur application ; elles peuvent galement tre thixotropes : lapplication dune contrainteprovoque une dstructuration du matriau, entranant une chute de viscosit, qui varie au coursdu temps (si le matriau est laiss au repos, il retrouve sa structure originale et donc sa viscositoriginale).
1
10 0
102
103
101
102
10
110
010
110
Figure 1.11 : loi dcoulement = f() pour un uide seuil.
noter que la plupart des matriaux un tant soit peu complexes sont non newtoniens, maison emploie frquemment lapproximation de uide newtonien car assez souvent on travaille sur unegamme restreinte de taux de cisaillement et que dans ce cas-l, lapproximation peut tre correcte.Par exemple, on parle de viscosit dun glacier lorsquon fait des calculs de uage approximatifs surde trs grandes chelles de temps.
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20 1. Proprits des uides
1.4 Tension de surface
La tension de surface est une proprit des uides, qui sont attirs ou repousss lorsquils sont encontact avec un solide, un liquide, ou un gaz. Cette proprit est importante puisquelle explique lastabilit des gouttes de pluie dans latmosphre, les larmes du vin, le dplacement des insectes lasurface de leau, les proprits anti-adhrence de certains ustensiles de cuisine, les mulsions en cuisine,leet du savon, les remontes capillaires dans les solides poreux, etc. La squence de photographies1.12 montre comment sous leet de la tension de surface, un jet liquide se scinde et forme une goutte.La tension de surface est un phnomne gnral que lon rencontre pour tous les uides ; toutefois, selonla nature du uide, leet de la tension de surface peut amener des phnomnes dallure direntecomme lillustre la gure 1.13 dans le cas de ressauts capillaires avec des uides newtonien et nonnewtonien.
(a)
(b)
(c)Figure 1.12 : formation dune goutte. Les ondes de surface ainsi que la rupture de la goutte sont commandespar les eets de tension de surface.
linterface entre deux uides, il existe des interactions molculaires en gnral de rpulsion : lesmilieux ntant pas miscibles, il existe une force la surface de contact qui permet de sparer les deuxuides et viter leur imbrication ou leur mlange. On appelle tension de surface ou tension capillairecette force surfacique permettant de maintenir deux uides en contact le long dune interface commune.
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1.4 Tension de surface 21
(a) (b)Figure 1.13 : (a) formation dun ressaut capillaire avec de leau dans un vier. (b) eet de la tension desurface provoquant une rupture de symtrie dans le ressaut circulaire dans le cas dune uide non newtonien[John W. M. Bush, http://web.mit.edu/jea/Public/web/jump.htm].
On la note ; a la dimension [Pam]. On lexprime parfois aussi comme une nergie par unit desurface [J/m2]. La tension de surface de leau en contact avec lair est = 70 103 Pam; le tableau1.3 fournit quelques valeurs de tension de surface.
Tableau 1.3 : tension de surface de quelques liquides temprature ambiante ou celle indique entreparenthses
Fluide [Pam]huile silicone 20 103eau 70 103thanol 23 103glycrol 63 103mercure 0,485hlium ( 4 K) 104verre fondu (1500 K) 0,3
Si lon considre maintenant un liquide le long dune paroi solide, on observe leet inverse : ilexiste des forces dadhsion. On dira le plus souvent que le uide est mouillant sil est attir par lesolide : une goutte deau a ainsi le plus souvent le caractre dun uide mouillant. On dit quil est nonmouillant lorsquil est repouss par la surface solide ; cest par exemple ce quon cherche produire enfabriquant des ustensiles de cuisine avec des revtements en ton pour viter ladhsion des graissesou bien quand on farte les skis avec des farts uors. La gure 1.14 montre un exemple dapplicationen le gnie civil avec la couverture du stade de la Maracan Rio-de-Janeiro (Brsil). La gure 1.15montre la forme dune goutte sur un support plan en fonction de son caractre mouillant.
Considrons un cadre mtallique surmont dune barre mobile. On plonge lensemble dans de leausavonneuse (la mme solution qui sert faire des bulles de savon), puis on le retire. On constate quela barre roule immdiatement vers la gauche. Il faut exercer une force
F = 2,
pour immobiliser la barre. Le facteur 2 correspond aux deux interfaces liquide/air de part et dautredu cadre.
Cette exprience montre donc que la force de tension agit comme une force normale ( la barre)proportionnelle la longueur de lm (en contact avec la barre). De manire gnrale, la force rsultantde la tension de surface sur une bre ou bien une surface est
F = cos ,
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22 1. Proprits des uides
Figure 1.14 : pour le projet de rhabilitation du stade Maracan de Rio de Janeiro pour le Mondial de footballet les Jeux Olympiques, les concepteurs ont prvu de couvrir les gradins laide dune enveloppe comportantun lm plastique couvert de ton pour viter limprgnation (qui serait prjudiciable au poids que doiventsupporter les poutres de la structures) et faciliter le drainage (dans un climat subtropical, les pluies peuventtre trs intenses). Source : http://placar.abril.com.br.
(a)
(b)
Figure 1.15 : goutte sur une surface solide dans le cas dun uide au repos (a) mouillant et (b) non mouillant.
avec le primtre de lobject en contact avec linterface et langle de contact ; un facteur 2 peut trencessaire lorsquil sagit dun lm avec deux interfaces. On note ainsi que la force est maximale lar-rachage, cest--dire lorsquon retire lobjet du bain et que la force de tension est oriente verticalement( 0 dans lquation ci-dessus).
Cest ce principe qui est exploit dans un appareil appel tensiomtre (de Lecomte du Noy)qui sert mesurer la tension de surface : il sagit de placer un petit anneau la surface du liquide donton veut mesurer la tension, puis de mesurer la force ncessaire son soulvement. Si le rayon intrieurest R1, le rayon extrieur R2, lpaisseur de lanneau e, cette force scrit
F = 2(R1 +R2) + ge(R22 R21),
avec le second terme correspondant au poids de lanneau. En gnral ce poids est trs faible et R2
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1.4 Tension de surface 23
F
Figure 1.16 : la tension de surface cre une force normale la tige.
R1 R = 12 (R2 +R1) de telle sorte quon peut crire :
F 4R.
On peut mesurer de faon trs prcise la tension de surface avec ce simple appareil.
h
2piR1 2piR2
F
Figure 1.17 : tensiomtre de Noy.
Quand on place une petite entit de uide dans un autre uide, cette entit isole prend la formedune goutte sphrique si rien ne vient (comme un mouvement du uide environnant) sopposer cette forme. En eet, la forme sphrique est la forme qui minimise lnergie de surface, cest--direlnergie que doit dpenser la particule pour viter que du uide environnant ne pntre dans la goutte.Considrons une goutte de rayon R dun uide au repos immerge dans un autre uide au repos. Lapression dans la goutte est pi ; celle dans le uide extrieur est pe ; voir gure 1.18. La goutte est lquilibre si le travail des forces de surface est contrebalanc par le travail des forces de pression (onsuppose quon augmente virtuellement le rayon dun incrment dR et on impose que la goutte retrouvesa position dquilibre, donc tous les travaux des direntes forces doivent se compenser) :
travail lmentaire des forces Wp de pression (force de volume) : pression incrment de volume= p d ( 43R3), avec p = pi pe ;
travail lmentaire des forcesWt de tension (force de surface) : tension incrment de surface= d (4R2).
On doit avoir Wp + Wt = 0. En direntiant, puis en simpliant, on trouve :
p = pi pe = 2R.
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24 1. Proprits des uides
2R
ep
ip
Figure 1.18 : goutte en quilibre.
Cest la loi de Laplace 7. travers toute interface entre deux uides, il existe une saute de pressiongale 2/R. Cette loi peut se gnraliser des surfaces libres non sphriques
p = pi pe = (1R
+ 1R
), (1.2)
avec R et R les rayons de courbure principaux.La tension de surface permet dexpliquer la remonte capillaire le long dune paroi solide. En
eet, exprimentalement on observe que la surface libre dun liquide ne forme pas un angle droit avecune paroi, mais est lgrement incurve vers le haut (liquide mouillant) ou vers le bas (liquide nonmouillant). Lordre de grandeur de la remonte capillaire est obtenu en galant la pression (supposehydrostatique) due la gravit et la saute de pression due aux forces capillaires, ce qui donne daprslquation (1.2)
gh R, (1.3)
avec R le rayon de courbure et h la remonte capillaire, R et o lon a nglig la pressionatmosphrique (voir gure 1.19). En faisant lapproximation R h, on dduit lordre de grandeursuivant
h2 = O(
g
).
h
x
y
Figure 1.19 : remonte capillaire le long dune paroi solide dans le cas dun uide mouillant.
7. Pierre-Simon Laplace (17491827) a t un mcanicien et mathmaticien franais la n du xviiie sicle et dbut duxixe sicle. Ses travaux ont port sur des problmes de mcanique cleste, o il analysa linteraction laide dquationsdirentielles, de mathmatiques (loi de probabilit, transforme de Laplace), et de la thermomcanique des uides(changement dtat des corps).
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1.4 Tension de surface 25
Ce calcul peut se faire plus rigoureusement en intgrant lquation (1.3) et en se servant de ladnition du rayon de courbure
R(x) = (1 + y2)3/2
y,
o y(x) est lquation de la surface libre. Pour rsoudre cette quation, on a besoin dune conditionaux limites. Celle-ci est donne exprimentalement par langle que forme le liquide avec la paroi solide,angle qui est appel angle de contact. En partant de lquation direntielle gy(x) = /R(x) associe la condition aux limites y(0) = cotan, en la multipliant par y, puis en intgrant une fois, onobtient
d(12y
2 + g
11 + y2
)= 0
ce qui veut dire que la quantit = y2 + 2/(g1 + y2) se conserve. Comme la surface libre doit
devenir horizontale quand x crot, on trouve que doit tre nul (car y 0 et y 0 quand x ).Lquation direntielle du premier ordre qui en rsulte est assez complique, mais on peut obtenirla remonte capillaire sans la rsoudre. En se servant de la condition aux limites y(0) = cotan, ontrouve nalement
h2 = 2 g
sin .
Une manifestation des eets de tension de surface est la remonte capillaire due la dpressionlocale cause par la courbure de la surface libre. Considrons un tube de petites dimensions (diamtre2r petit devant la hauteur du tube) plong dans un liquide de masse volumique . La pression souslinterface (point A sur la gure 1.20) est
PA = Pa 2 R,
o R dsigne le rayon de courbure de la surface libre suppose de forme hmisphrique et Pa est lapression atmosphrique. Ce rayon de courbure peut tre reli au diamtre du tube et langle decontact de la faon suivante : r = R cos . Au point B, la pression vaut donc :
PB = PA + gh,
or ce point tant la mme altitude que la surface libre non perturbe du liquide, la pression doit tregale la pression atmosphrique. On en dduit donc la remonte capillaire
h = 2 cos gr
. (1.4)
Cest la loi de Jurin.
-
26 1. Proprits des uides
h
2r
b
b
A
B
Figure 1.20 : remonte capillaire le long dun tube cylindrique.
-
27
2Similitude2.1 Analyse dimensionnelle et thorie de la similitude
Par thorie de la similitude, on entend aussi bien lanalyse des dimensions (units physiques) desparamtres dun problme, lusage de nombres sans dimension que le support thorique permettantdinterprter les expriences ralises petite chelle et visant reproduire des phnomnes complexes( grande chelle). La thorie de la similitude est donc un ensemble de rgles qui vise :
proposer des nombres sans dimension 1 tels que le nombre de Reynolds ou le nombre de Froude ; simplier les quations de base en supprimant les termes ngligeables ; diminuer le nombre de paramtres pertinents ncessaires ltude exprimentale (mais galementnumrique ou thorique) des phnomnes ;
tablir les critres respecter pour quune exprience chelle rduite soit reprsentative dunphnomne en grandeur relle (on dit alors que lexprience est en similitude avec le phnomne) ;
fournir les relations de changement dchelle entre expriences.
Exemple. Par exemple, il est souvent trs dicile de calculer numriquement ou thorique-ment le fonctionnement dun ouvrage hydraulique ou bien, si cela est possible, cela peut tre trscoteux (en temps, en argent) de faire une tude complte. Il peut alors tre intressant de procder des essais chelle rduite en laboratoire sur des maquettes. La question est comment utiliser lesdonnes obtenues chelle rduite pour dduire les caractristiques du phnomne en grandeur relle.
En ligrane, il existe une notion essentielle en physique : la notion dinvariance. Cest parce queles lois de la physique sont invariantes par rapport tout changement dunit quelles peuvent semettre sous des formes sans dimension ou bien quelles peuvent tre valables pour une large plagedchelles de temps et despace. Cette notion dinvariance permet de dboucher sur lauto-similaritde certains phnomnes physiques. Un phnomne qui varie au cours du temps est dit auto-similairesi les variations spatiales de ses proprits dirents moments se dduisent les unes des autres parune simple transformation similaire. En bref, si par simple translation, rotation, et tirement, toutesles courbes peuvent tre ramenes une seule courbe matresse, alors le phnomne est auto-similaire.
Les solutions auto-similaires sont intressantes plus dun titre :
lexistence dune solution auto-similaire permet de comprendre analytiquement un processusphysique complexe, notamment le comportement court/long terme dune solution ;
la mise en vidence de lauto-similarit fournit un moyen pratique de reprsenter une fonctions plusieurs variables dune faon simple et riche en interprtation physique ;
exprimentalement, les donnes issues de conditions exprimentales direntes tombent sur unecourbe unique si on choisit de les reprsenter laide des variables auto-similaires ;
1. cest--dire qui nont pas de dimension (unit) physique.
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28 2. Similitude
il est possible de rduire une quation aux drives partielles en direntielle ordinaire et/oude rduire lordre de lquation direntielle, ce qui permet parfois darriver des solutionsanalytiques.
2.2 Units de mesure
Dans ce cours, on utilise les units du systme international ou systme mtrique dcimal 2. Cesystme repose sur 7 units fondamentales :
longueur : le mtre [m] ; masse : le kilogramme [kg] ; temps : la seconde [s] intensit lectrique : lampre [A] ; temprature : le kelvin [K] ; intensit lumineuse : le candela [cd] ; quantit de matire : la mole [mol].
Chaque mesure est associe un symbole, dont la typographie a t xe. On se sert soit de nomspropres (le symbole commence alors par une majuscule), soit des units de base. Par exemple :
force : le newton [N] (1 N = 1 kgm/s2) ; pression : le pascal [Pa] (1 Pa = 1 kgm1s2) ; vitesse : [m/s] ; masse volumique : [kg/m3] ; acclration : [m/s2] ; surface : [m2] ; dbit : [m3/s] ; nergie : le joule (1 J = 1 kgm2/s2) ; puissance : le watt (1 W = 1 kgm2/s3).
On introduit des puissances de 10 pour pondrer lunit. Les plus usuelles en mcanique sont donnesdans le tableau 2.1.
Tableau 2.1 : nom des puissances de 10 et symbole associ.Nom Puissance de 10 symbolemicro 106 milli 103 mcenti 102 cdci 101 ddca 101 dahecto 102 hkilo 103 kmega 106 M
Quelques rappels :
les units sont en caractre roman et non en italique : 12 m et non 12m ; les units sont spares par un espace du nombre qui les prcde : 12 m et non 12m ; les noms propres qui ont servi fabriquer des units deviennent des noms ordinaires et saccordenten consquence. Il faut ainsi noter quil ny a pas de majuscule pour la premire lettre du nom.La seule exception concerne les degrs : on crit degr Celsius et degr Fahrenheit ;
2. Le systme mtrique fut instaur sous la Rvolution franaise pour remplacer les units employes sous lAncienRgime (poise, pied, etc.). La dnition et lusage des mesures ont t xs la n du xixe sicle et au xxe sicle par laConfrence gnrale des poids et mesures. Seuls quelques pays, dont le Royaume-Uni et les tats-Unis, nont pas encoreadopt le systme mtrique.
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2.3 Principaux nombres adimensionnels 29
on crit 0 C (0 degrs Celsius 3) et 273 K (273 kelvins) ; certains noms dunit concident avec leur symbole ; cest le cas du bar par exemple. Dans cecas-l, il est possible dcrire 10 bar ou bien 10 bars selon que bar est pris comme un symbole(invariable) ou un nom ( accorder en consquence).
Dans la vie courante, on emploie souvent des units direntes : le litre [, l, ou L] pour les volumes,le bar [bar] pour la pression atmosphrique, etc. noter que pour le litre admet plusieurs symboles.Initialement, le symbole tait la lettre l minuscule, mais pour la plupart des polices de caractres,elle se distingue mal du chire 1. Aussi, on lui substitue souvent la lettre L majuscule ou la lettre rond. Certaines units qui nappartient pas au systme international restent dun emploi courant. Parexemple, pour la quantit dnergie absorbe ou dpense par des tres vivants, on parle plus souventen calories (symbole cal) quen joules. Initialement, la calorie a t introduite comme la quantit dechaleur quil faut apporter pour lever de 1 C la temprature dun gramme deau. Toutefois, cettednition est peu rigoureuse car la quantit de chaleur ncessaire dpend en fait de la pression et dela temprature initiale de leau. Aujourdhui, il est courant demployer la dnition suivante
1 cal = 4,184 joules.
On considre que la ration alimentaire dun homme sdentaire de 70 kg est voisine de 2800 kcal (11,7kJ) sil veut couvrir ses besoins journaliers. Pour les units de puissance, principalement des vhiculesautomobiles, on parle souvent en chevaux-vapeur (CV) 4, dont lorigine remonte au xixe sicle quandles machines vapeur ont commenc tre substitues aux chevaux pour la traction des vhicules. Letaux de conversion est :
1 CV = 736 W.
On peut utiliser un petit moyen mnmotechnique pour dcomposer une unit physique quelconqueen units fondamentales. Prenons lexemple du joule ; le joule sert comme unit pour lnergie et letravail. Le travail dune force, cest une force multiplie par une distance, donc on a :
travail = force longueur = N m = kg m2/s2.
2.3 Principaux nombres adimensionnels
En mcanique des uides, on est souvent amen manipuler des groupes de variables sans dimen-sion, appels nombre adimensionnel ou rapport de similitude . Ces groupes sont construits enfaisant des rapports entre des termes apparaissant dans les quations du mouvement, ce qui permetde les interprter physiquement. On distingue ainsi
le nombre de Reynolds
Re = u
, (2.1)
avec une chelle de longueur, u une chelle de vitesse, la viscosit du uide, et sa massevolumique. Le nombre de Reynolds est le plus souvent interprt comme le rapport des forcesdinertie sur les forces de viscosit. Il sert notamment classer le rgime dcoulement en dis-tinguant les coulements laminaires (Re 1) et les coulements turbulents (Re 1). Si onintroduit la viscosit cinmatique du uide ( = /f avec f la masse volumique du uide),alors on a aussi : Re = u/ ;
3. Anders Celsius (17011744) est un savant sudois, professeur dastronomie luniversit dUppsala. Il est loriginedune chelle relative des tempratures dont lunit, le degr Celsius (C), honore son nom. Il participa galement uneexpdition dirige par lastronome franais Pierre Louis Maupertuis dans la valle de la Torne, dans le nord de la Sude(Laponie). Lobjectif tait de mesurer la longueur dun arc de mridien de 1 an de savoir si la terre tait aplatie ounon au niveau des ples ; il fut montr que, conformment aux prdictions de Newton, la terre tait bien un sphrodeaplati.
4. En France et en Belgique, il existe un cheval-vapeur scal, qui sert tablir une grille de taxation en fonction dela puissance et du rejet en CO2 des vhicules. Les Anglais emploient le horse power (hp), avec 1 hp = 746 W.
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30 2. Similitude
le nombre de StokesSt = tp
tf,
avec tp le temps de relaxation de la particule (le temps typique de variation de la vitesse quand onperturbe ltat dquilibre de la particule) et le temps caractristique du uide (lchelle de tempssur laquelle le uide sajuste tout changement de la particule). Ce nombre sert dans ltudedes coulements biphasiques (par exemple, une suspension de particules) quantier les eetsbiphasiques, cest--dire le couplage entre phases. Lorsque St 1, la phase solide est entirementgouverne par la phase uide tandis que pour St 1, les deux phases sont dcouples. Notonsque dans bien des problmes dintrt pratique (sdimentation de particules par exemple), lenombre de Stokes est trouv tre proportionnel au nombre de Reynolds. Par exemple, pour uneparticule de rayon a, de masse m et de masse volumique p, sdimentant la vitesse us dansun uide newtonien au repos, on a tf = a/us et tp = mus/Fv, o Fv = 6aus est la force defrottement visqueux. On aboutit alors :
St = 29pf
usa
= 29
pf
Re ;
le nombre de FroudeFr = u
gh, (2.2)
avec h une chelle de hauteur, u une chelle de vitesse, g lacclration de la gravit. Le nombrede Froude est le plus souvent interprt comme le rapport de lnergie cintique sur lnergiepotentielle. Il sert notamment en hydraulique classer le rgime dcoulement en distinguant lescoulements supercritiques (Fr > 1) et les coulements subcritiques (Fr < 1) ;
le nombre de MachM = u
c,
avec u une chelle de vitesse et c =dp/d la clrit du son (ou clrit des ondes dans lair).
Le nombre de Mach sert en arodynamique valuer la compressibilit de lair. On distingueainsi les coulements supersoniques (M > 1) et subsoniques (M < 1) ;
le nombre de PcletPe = u
D,
o est une chelle caractristique du systme tudi (taille de la particule ou libre parcoursmoyen), u une chelle de vitesse, et D un coecient de diusion. Le nombre de Pclet sert enrhologie et dans ltude de la diusion valuer leet respectif de la convection et de la diusion.Lorsque Pe 1, la convection lemporte sur la diusion. Les particules sont donc transportes(advectes) par le uide. Dans le cas contraire, lorsque Pe 1, la diusion lemporte sur laconvection. En diusion turbulente ou bien thermique, on emploie le nombre de Schmidt et lenombre de Prandtl ;
le nombre de capillarit ou nombre capillaire
Ca = u,
avec u une chelle de vitesse, la viscosit du uide, et la tension de surface. Ce nombre sert valuer les eets de tension de surface, par exemple lorsquon tale un uide ou bien dansun milieu poreux. Lorsque Ca 1, les eets de tension lemportent sur les forces visqueuseset rciproquement quand Ca 1, la viscosit est tellement grande que les eets de tension desurface la surface libre sont ngligeables. Le nombre de Bond, de Weber, et de Kapitza sontgalement des variantes courantes du nombre de capillarit.
Dans ces direntes expressions, les chelles sont en gnral des grandeurs macroscopiques caract-risant le systme tudi. Par exemple, le nombre de Reynolds dun coulement deau dans une rivireest Re = uh/, avec u la vitesse moyenne de leau, h la profondeur deau, et la viscosit cinmatique.On parle de nombre de Reynolds macroscopique ou bien de nombre de Reynolds de lcoule-ment . Si maintenant dans cette rivire, on tudie la sdimentation de particules nes de rayon moyen
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2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme 31
a, on introduit un nombre de Reynolds local appel encore nombre de Reynolds particulaire :Re = usa/, avec us la vitesse de sdimentation. Notons que le nombre de Reynolds de lcoulementpeut tre trs grand (coulement turbulent) alors que le nombre de Reynolds particulaire peut trepetit (coulement localement laminaire dans le proche voisinage de la particule).
Les chelles sont gnralement des grandeurs constantes, cest--dire des grandeurs qui ne varientpas signicativement au cours du temps ou dans lespace. On peut parfois tre amen introduiredes nombres adimensionnels dont les chelles varient. Par exemple, dans ltude de la couche limite lelong dune paroi, on introduit un nombre de Reynolds Re = uy/, avec y la distance par rapport laparoi, qui varie avec la distance.
Gnralement tout nombre sans dimension peut tre interprt comme un rapport soit de longueurs,soit de forces (contraintes), soit de temps. Un mme nombre peut souvent sinterprter de direntesfaons. Par exemple le nombre de Reynolds est :
Re = u
= u2
u inertiecontrainte de cisaillement ,
on peut donc dnir le nombre de Reynolds comme le rapport des forces dinertie sur les forcesvisqueuses. On peut galement, dans le cas particulier du nombre de Reynolds, interprter le nombresans dimension comme un rapport de temps caractristiques :
Re = u
= u
2
= tturb.
tec.,
avec tec. = /u le temps de relaxation de la particule ou de la structure turbulente (temps reprsentatifmis par la particule pour parcourir une distance gale son diamtre) et tturb. = 2/ un tempscaractristique de diusion de la turbulence. Toujours avec le nombre de Reynolds, on peut montrerquil sagit aussi dun rapport de longueurs caractristiques :
Re = u
= u= part.
turb.,
avec part. = la longueur caractristique de la particule et turb. = /u la taille caractristique destourbillons de la turbulence.
2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme
Le thorme de Vaschy-Buckingham est fondamental dans la thorie de la similitude. Il permet dedire combien de nombres sans dimension indpendants peuvent tre construits dans un problme phy-sique qui implique n variables. Son nonc est un peu technique et sa mise en uvre laisse croire quilsagit dune procdure mathmatique quil sut dappliquer mthodiquement. En fait, son utilisation laveugle peut conduire de graves erreurs et il faut de la pratique pour viter les nombreux piges.Son application est relativement aise quand on a dj une ide du rsultat, cest--dire de la naturedes nombres adimensionnels qui peuvent jouer un rle dans le problme tudi.
2.4.1 Thorme de Vaschy-Buckingham
Nous cherchons calculer une variable a1 dpendant de n 1 autres variables indpendantes ak.On doit rsoudre un problme implicite
(a1, a2, . . . , an) = 0,
ou bien explicitea1 = (a2, a3, , an),
ces variables sont dnies dans un systme de m mesures faisant appel p units fondamentales Di(en gnral, p = 3 avec comme units fondamentales : le mtre, la seconde, le kilogramme). Chaque
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32 2. Similitude
variable aj est dimensionnellement homogne un produit de monmes des units de base
[aj ] = Dj1 Dj2 . . . D
jp .
Par exemple, lorsque p = 3, on a en gnral une longueur D1 = L, une masse D2 = M , et un tempsD3 = T comme units de base [a] = MLT , ce qui donne pour les n variables
[a1] =M1L1T 1 ,[a2] =M2L2T 2 ,
... =...
[an] =MnLnT n ,
avec j , j , et j des coecients dtermins lavance en examinant la dimension des variables. Il estpossible de former des nombres sans dimension en faisant des produits de monmes
i = aki1
1 aki22 . . . a
kinn .
La question qui se pose est : si ces nombres sans dimension existent, de combien en a-t-on besoin pourreprsenter la solution du problme?
nonc
Le thorme de Vaschy-Buckingam ou thorme rpond cette question en armant que k =nr nombres sans dimension indpendants sont ncessaires, avec r le rang de la matrice dimensionnelleassocie au problme 5. Au lieu dtudier un problme de dimension n : a1 = (a1, a2, , ak1), onpeut se ramener un problme de dimension k < n exprim en termes de nombres sans dimension :
1 = (2, 3, , k).
h Dmonstration. La dimension de j est
[j ] =(D11 D
12 . . . D
1p
)kj1 (D21 D22 . . . D2p )kj2 . . . (Dn1 Dn2 . . . Dnp )kjn .Or on veut que [j ] = 0. On est donc amen rsoudre le systme
Pour D1 : 0 = 1kj1 + 2kj2 + . . . nk
jn,
Pour D2 : 0 = 1kj1 + 2kj2 + . . . nk
jn,
... =...
Pour Dm : 0 = 1kj1 + 2kj2 + . . . nk
jn.
Ces quations dnissent un systme dquations linaires de p quations et n inconnues kji (1 i m). Si ledterminant
det
1 2 . . . n1 2 . . . n...1 2 . . . n
est dirent de 0 et le rang de cette matrice est r, alors il existe n r solutions linairement indpendantes.
5. Rappel : en algbre linaire, le rang dune matrice est le nombre maximal de vecteurs lignes (ou colonnes) linaire-ment indpendants ; cest aussi la dimension du sous-espace vectoriel engendr par les vecteurs lignes (ou colonnes).
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2.4 Thorme de Vaschy-Buckingham ou thorme 33
Mise en uvre
En pratique, on procde ainsi :1. isoler les quantits physiques du problme donn et leur nombre n ;2. crire les dimensions de chaque variable dans le systme de base (en gnral, p = 3 units de
base sont ncessaires en mcanique) ;3. dterminer le rang r de la matrice dimensionnelle associe (on a souvent r = 2 ou r = 3) ;4. rechercher les n r nombres sans dimension.
On prendra soin de dnir des nombres sans dimension ayant une signication physique. noter que ces nombres sans dimension peuvent tre obtenus sans passer par le thorme en examinantles quations du mouvement et en les rendant sans dimension, cest typiquement ce qui sera fait au 6.3.1 pour les quations de