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Analyse multidimensionnelle de données longitudinales

Ndèye Niang

Conservatoire National des Arts et Métiers

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Plan

� Introduction

� Terminologie-Notations

� Méthodes directes� Coefficient d’association vectorielle

� DACP, STATIS, TUCKER, PARAFAC

� Méthodes secondaires� Dual, SCA

� Typlogies de trajectoires

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Introduction

� Données longitudinales multidimensionnelles

� Méthodes exploratoires simples ( cf cours 1)

� Indispensables mais insuffisantes pour l’étude des liaisons entre les variables

� Besoin de méthodes multidimensionnelles

� Etude des méthodes descriptives à trois voies utilisant le temps dans l’interprétation

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Introduction

� Rappel:

� Données longitudinales: mesures répétées dans le temps, tableau à 3 entrées

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Terminologie - Notations

� Tableau à trois dimensions X

� xijt , i=1,…, N; j= 1,…, p, t=1…,T � i pour les individus en lignes

� j pour les variables en colonnes

� t pour les instants (temps) de mesure en profondeur

� Ensemble de matrices : tranches horizontales xi , tranches latérales xj, tranches frontales xt

� Ensemble de vecteurs: fibres lignes xit , colonnes xjt , tubes xij

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Méthodes multidimensionnelles

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Introduction� Cadre général: méthodes d’analyse

simultanée de plusieurs tableaux de

données

� Diverses situations:

� pt variables mesurées sur nt individus à différentes dates: données évolutives

� pt variables mesurées sur nt individus à différentes occasions (non temporel)

� Plusieurs tableaux de contingence ou de proximités

� Ici : données quantitatives individus-variables

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Introduction

� Plusieurs méthodes:

� DACP

� STATIS, STATIS DUALE

� AFM

� PARAFAC, TUCKER

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2. La double ACP (Bouroche,J.M., 1975)

� ACP n°1: nuage des centres de gravité gt comme étude de l’interstructure

� Recherche de l’intrastructure

� ACP de chaque tableau: T systèmes d’axes

� Système d’axes compromis maximise l’inertie de la somme des projections de chaque nuage = somme des inerties après centrage

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double ACP (suite)

� Axes compromis : vecteurs propres de

� ACP n°2: ACP de la concaténation verticale (superposition) des Xt centrés

X1

X2

XT

1

T

tt=∑V

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double ACP Ex1 :� La scolarité d’un groupe de six étudiants a été

suivie pendant les quatre années du collège à travers les relevés des notes de mathématiques, français, histoire

Document

Microsoft Office Word 97 - 2003

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double ACP: exemple� Crimes et délits en 9 catégories pour l’ensemble

des départements métropolitains, par année de 1974 à 1993

� VO : vols et recels

� FX :faux et escroqueries

� DF: délits financiers

� CH: chèques sans provisions

� CR: coups, réglements de comptes, traumatismes

� ST: stupéfiants

� DD: destructions et dégradations

� ET : délits à la police des étrangers

� DV : divers

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Méthodes STATIS

� Structuration de Tableaux A Trois Indices de la Statistique (Escoufier et L’Hermier des plantes (1976) + C.Lavit)

� permet l’exploration simultanée de plusieurs tableaux de données quantitatives:

� n individus et pt var différentes � STATIS

� Privilégie la position des individus

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Méthodes STATIS

� Remarque p var et nt individus différents �

STATIS DUALE

� Privilégie les relations entre variables

� Remarque: données longitudinales : mêmes individus mêmes variables possible application des deux méthodes et DACP

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L’approche de la méthode:

� Etude classique d’un tableau: l’analyse factorielle associe au tableau un ensemble de représentation graphiques (cercle de corrélations,

plans factoriels)

� Plusieurs tableaux: études séparées� trop de représentations indépendantes, pas pertinent; d’où:

� Recherche d’une unique représentation, un résumé global, un compromis des tableaux

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Méthode STATIS

� Idée essentielle de la méthode:

� recherche d’une réponse à la question: les distances entre individus sont elles stables d’un tableaux à un autre ?

� Nécessité de trouver une structure commune aux études appelée intrastructure

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4 étapes:

� Interstructure : étude globale des différences entre tableaux

� Compromis : résumer les tableaux en un seul

représentatif selon certains critères

� Intrastructure : étude fine des différences entre tableaux

� Trajectoires : évolution des individus ou

variables suivant les tableaux

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Notations

� On dispose de N tableaux Xt à p variables

quantitatives décrivant les mêmes n individus

11 21 1

12 22 2

1 2

1

2X

P

P

t

n n Pn

X X X

X X X

X X Xn

=

L

L

M M O MM

K

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Interstructure : analyse globale

� ACP particulière: 3 phases

� Définir un objet représentatif

� Définir une métrique pour distances entre objets

� Trouver une image des objets représentatifs

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Interstructure objet représentatif Wt

� Wt = XtMtX’t caractérise (Xt , Mt , D)

Wt contient les produits scalaires entre individus = tous les liens inter individus

� Individu de l’ACP = objet représentatif d’un tableau Xt , et on lui associe un poids

tπ

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Métrique pour distances entre objets

� Métrique de l’ACP:

définir une distance entre objets

Produit scalaire de Hilbert Schmidt:

Si les objets Wt ont des normes très différentes:

( )' ' ' tt t t t tHSTr= =S W W DW DW

( ) ( ) ( )2 2

' ' ' / [ ] [ ]t t t t t tHSTr Tr Tr=W W DW DW DW DW

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Rappels ACP� ACP classique : triplet (X , M , D)

� facteurs principaux : MVu = λu = (1)

� composantes principales : c = Xu

MX’DXu= λu

XMX’DXu= λXu X* (1)

WDc= λc

W =matrice des produits scalaires entre individus

Composantes principales WDc = λc

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Métrique pour distances entre objets

On définit la matrice S qui contient les coefficients RV

On associe à chaque tableau un poids:

Comme en ACP on peut construire une image

représentative des objets

Remarque: S a tous ses termes positifs, on aura un

facteur taille

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0 N

π

π

∆ =

O

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Image représentative des objets

� Rappel : STATIS = ACP particulière :

� Individu = Wt = objet représentatif d’un tableau

� Tableau de données = S = Matrice des coefficients RV (produits scalaires entre objets Wt) et poids

� Composante principale = vecteur propre de S∆∆∆∆

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� ACP de S∆∆∆∆Les vecteurs propres de S∆∆∆∆ associés aux deux plus grandes valeurs propres permettent la représentation des objets W1,…, WN sur le 1er plan factoriel :� Les coordonnées des Wt sur l’axe i sont contenues

dans ct,i:,t i i iλ=c u

ième valeurpropre de S∆∆∆∆ième vecteur propre de S∆∆∆∆

Image représentative des objets

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STATIS - Résumé Interstructure

�

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Exemple 1: 1er tour présidentielle

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Compromis-Intrastructure

Interstructure = analyse globalemise en évidence de ressemblances ou différences globales entre tableaux sans les expliquer.

Objectif de la suite = analyse plus fine pour expliquer

Deux étapes:* recherche d’un point de repère= compromis* étude de l’intrastructure

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Recherche d’un compromis

CoCompromis = bon resumé, de même nature que les objets

solution: Wco moyenne pondérée desWt

Les coefficients étant tels que Wco soit le plus corrélé avec les Wt

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Recherche d’un compromis

1

W WN

CO t tt

α=

=∑

( )

1

1

1u t

t tα πλ

=

1ère valeur propre de S∆∆∆∆

tième élément du 1er

vecteur propre de S∆∆∆∆

t t t′=W X MXMatrice de données

initiales

Matrice CoCompromis WCO

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Recherche d’un compromisReprésentation et InterprétationReprésentation et Interprétation

4 cas4 cas: : ** WWtt ont des normes voisines et des grands RVont des normes voisines et des grands RV::existence d’une structure commune bien existence d’une structure commune bien décrite par le compromisdécrite par le compromis

** un Wun Wtt différent des autresdifférent des autres: il intervient peu : il intervient peu dans la construction du compromis, robustedans la construction du compromis, robuste

** WWtt normes trop différentesnormes trop différentes: il faut normer: il faut normer** WWtt très différents, RV faiblestrès différents, RV faibles: pas de : pas de

structure communestructure commune

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Intrastructure image représentative des points compromis

� ACP de WCOD

� Les vecteurs propres de WCOD associésaux deux plus grandes valeurs propresfournissent une image euclidienne despoints compromis

� Les coordonnées compromis sur l’axe i sont contenues dans le vecteur cCO,i:

,

1CO i i i co i

i

δδ

= =c v W Dv

ième valeur propre de WCOD ième vecteur propre de WCOD

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STATIS - Intrastructure

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Intrastructure : corrélation variables-compromis� Chaque composante principale du

compromis est un vecteur à n dimension, n étant le nombre d’individus des tableaux initiaux.

� Calcul de leurs corrélations avec les variables initiales des tableaux Xt

� Représentation des cercles de corrélation

� Interprétation des axes pour expliquer les positions compromis des individus

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� Wco est encore un opérateur d’Escoufier car les αj sont non négatifs

� Wco est donc associé à un tableau de données “compromis” X tel que Wco=XMX’

� ACP de

� Pondération des tableaux

1 1 2 2 ... T Tα α α=X X X X

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STATIS - Trajectoires des individus

� Méthode: technique des points supplémentaires

Représentation sur l’image euclidiennecompromis des N nuages des individus

� Remarque : cCO,i est le “centre de gravité” des points cCO t,i

,

1CO t i t i

iδ=c W Dv

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STATIS - Trajectoires des individus

� Objectif :

� Mise en évidence des écarts entre les Wt etavec le compromis au niveau individuel

� Détection des individus responsables desécarts entre tableaux

� Définition :

� On place les différentes positions d’unindividu tel qu’il est décrit par chaqueétude. Ces différentes positions définissentsa trajectoire

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Interprétation des trajectoires� Deux classes de trajectoires des

individus :� Peu étendue autour de sa position

compromis = individus dont l’évolution suitl’évolution moyenne, écart par rapport à lamoyenne régulier d’un tableau à l’autre

� Trajectoire de grande amplitude =changement de structure suivant lestableaux, différence avec l’évolutionmoyenne

Rque: si les axes du compromis sont bien corrélésavec les variables on pourra expliquer les axes parles variables et on interprètera de façon détailléeles trajectoires des individus

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STATIS DUALE

� Même démarche que STATIS en prenant comme matrice représentant un tableau, Vt

la matrice de covariance des variables à la place des Wt .

� On privilégie les variables au lieu des individus.

� Interstructure: étude globale des variables

� Compromis: moyenne pondérée des Vt

� Intrastructure: compromis des variables

� Trajectoires de variables

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4 . Méthode AFM

� Analyse Factorielle Multiple (B.Escofier et J.Pagès)

� permet l’étude d’un ensemble d’individus décrits par plusieurs groupes de variablesquantitatives ou qualitatives:

� Groupes = mesures à différents instants

sous tableaux d’un tableau(issus d’un regroupement selon certains critères)

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AFM : analyse factorielle multiple

� Comme STATIS:

� Comparaison globale des groupes de variables: interstructure

� Comparaison des nuages représentant le même ensemble d’individus: intrastructure et image compromis

� Mais ici juxtaposition des tableaux avec :

� Idée de base = pondération des groupes de variables pour équilibrer leur influence dans l’analyse globale

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AFM : analyse factorielle multiple

� Dans la juxtaposition des N tableaux,

* plus le nombre de variables est grand, plus le tableau aura une grande influence sur les résultats

* plus les variables d’un tableau sont liées (forte structure) plus ce tableau influence le compromis

� Une autre manière de pondérer les tableaux: égaliser les premières valeurs propres de chaque ACP

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AFM

� Objet représentatif

� Compromis

� Intrastructure ACP de

( )1

1ttλ

W

( )1 1

1T

ttt λ=∑ W

1 2(1) (2) ( )1 1 1

1 1 1... TTλ λ λ

=X X X X

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Références

Bry, X. Analyses factorielles multiples, Economica, 1996

Escofier, B., Pagès, J. Analyses factorielles simples et multiples, 4ème édition, Dunod , 2008

Kroonenberg, P., Applied Multiway Data Analysis, Wiley, 2008

Lavit, C., Analyse conjointe de tableaux quantitatifs, Masson, 1998

Avec R http://factominer.free.fr/