Annexes

Annexe I

ANNEXE I : ANALYSE DES CORRELATIONS ENTRE LES DESORDRES La méthode d’analyse que nous avons choisie consiste à comparer la fréquence d’apparition du désordre j, P(j), avec la fréquence d’apparition du désordre j parmi les tronçons présentant un désordre i, P(j/i), et la fréquence de son apparition dans la population des tronçons défaillants P’(j). Trois cas de figure sont définis et repérés par un code couleur dans le Tableau I :

P(j/i) est plus grand que P’(j) : i et j sont corrélés et une interprétation physiquement acceptable peut être avancée.

P(j/i) et P’(j) sont de même ordre de grandeur : l’influence du désordre i n’est pas plus significative que l’influence de n’importe quel autre désordre

P(j/i) est plus grand que P’(j) : i et j sont corrélés mais il est difficile de donner une interprétation (manque de sens physique).

P(j/i) est plus grand que P’(j) : i et j sont corrélés mais cette corrélation ne peut que traduire une superposition des comportements transversal et longitudinal.

Tableau I. Corrélations entre les désordres (fréquences conditionnées)

P(j/i)

Déf

aut j

Défaut i

cass

ure

cont

re-p

ente

déca

lage

de

nive

au

embo

îtem

ent

déso

rdre

au

join

t

effo

ndre

men

t

epau

ffrur

e

fissu

re c

ircul

aire

fissu

re

long

itudi

nale

oval

isat

ion

perfo

ratio

n

cassure 13% 13% 23% 19% 1% 1% 31% 17% 2% 6% contre-pente 18% 11% 11% 13% 3% 0% 23% 6% 2% 2% décalage de

niveau 12% 8% 33% 29% 2% 7% 17% 10% 2% 3% emboîtement 29% 11% 44% 30% 3% 3% 30% 17% 2% 3% désordre au

joint 16% 8% 25% 19% 1% 4% 29% 5% 0% 5% effondrement 7% 14% 14% 14% 7% 7% 7% 43% 21% 7%

epauffrure 5% 0% 29% 10% 19% 5% 14% 29% 14% 0% fissure

circulaire 20% 11% 12% 15% 23% 1% 2% 22% 4% 3% fissure

longitudinale 20% 6% 13% 15% 7% 8% 8% 41% 10% 4% ovalisation 14% 7% 14% 7% 0% 21% 21% 36% 50% 7% perforation 22% 4% 13% 9% 22% 4% 0% 17% 13% 4% P(j) dans

l’échantillon 8.1% 6.0% 8.7% 6.4% 10.0% 1.4% 2.0% 12.7% 6.9% 1.4% 2.2%P’(j) parmi les

dégradés 16.1% 12.0% 17.2% 12.8% 19.9% 2.7% 4.1% 25.1% 13.7% 2.7% 4.4%NB : lire parmi les tronçons présentant le défaut i, x % présentent simultanément le défaut j.

257

Annexe I

Par exemple, parmi les tronçons cassés, 13 % présentent également une contre-pente. Comme la fréquence d’apparition de la contre-pente dans la population des tronçons endommagés est de 12 %, c’est-à-dire du même ordre de grandeur, la cassure ne semble pas être corrélée à la contre-pente. Même lecture peut être faite dans le sens inverse (parmi les tronçons présentant une contre-pente). Nous retrouvons ainsi un résultat logique, à savoir, les désordres aux joints (relatifs au caoutchouc) sont corrélés avec les défauts faisant intervenir l’assemblage des buses : le décalage de niveau et l’emboîtement. Cependant, les désordres aux joints sont également corrélés à la fissure circulaire ce qui ne conduit pas à une interprétation immédiate. Nous pouvons néanmoins supposer que le dysfonctionnement du joint engendre une perte de flexibilité du tronçon, qui par la suite résiste moins à la flexion longitudinale. Une hypothèse similaire pourrait expliquer la corrélation entre la fissure circulaire et l’emboîtement : sous l’effet de la flexion longitudinale, le tronçon arrivant à la limite de sa flexibilité, se déboîte puis se fissure. La perforation et la cassure sont corrélées ce qui peut s’expliquer par un phénomène d’aggravation de l’état d’une conduite perforée. La cassure et l’emboîtement des joints sont corrélés mais il est difficile de donner une explication de ce résultat. Il en est de même avec les corrélations cassure-fissure circulaire et cassure-fissure longitudinale. En effet, la cassure étant un désordre sévère, il est difficile d’imaginer qu’elle puisse engendrer la fissuration de la conduite. En revanche, un phénomène inverse est tout à fait possible : la conduite se fissure avant de casser ce qui est cohérent avec les résultats du Tableau I. Même type de corrélations peut être trouvé pour les défauts décalage de niveau et emboîtement : les buses commencent par se déboîter avant de se décaler mais l’inverse manque de sens physique. Il est également difficile d’expliquer la corrélation entre le décalage de niveau et l’épaufrure. Par ailleurs, les désordres issus du comportement transversal de la conduite sont tous corrélés entre eux : fissure longitudinale, ovalisation et effondrement. Nous pouvons supposer l’effondrement comme étant l’état une forme plus avancée des deux autres défauts. Les corrélations entre la fissure circulaire issues de la flexion longitudinale et l’ovalisation ou la fissure longitudinale tout deux résultats de la flexion transversale laissent penser que sur certains types de conduites les deux mécanismes de dégradation peuvent se produire simultanément. Notons que la contre-pente n’est corrélée à aucun autre défaut. Les conditions d’apparition de ce désordre sont sans doute différentes de celles des autres désordres.

258

Annexe I

Tableau II. Tableau des effectifs

)( jiP ∩ ca

ssur

e

cont

re-p

ente

déca

lage

de

nive

au

embo

îtem

ent

déso

rdre

au

join

t

effo

ndre

men

t

epau

ffrur

e

fissu

re c

ircul

aire

fissu

re lo

ngitu

dina

le

oval

isat

ion

perfo

ratio

n

cassure 11 11 19 16 1 1 26 14 2 5

contre-pente 11 7 7 8 2 0 14 4 1 1

décalage de niveau 11 7 29 26 2 6 15 9 2 3

emboîtement 19 7 29 20 2 2 20 11 1 2

désordre au joint 16 8 26 20 1 4 30 5 0 5

effondrement 1 2 2 2 1 1 1 6 3 1

epauffrure 1 0 6 2 4 1 3 6 3 0

fissure circulaire 26 14 15 20 30 1 3 29 5 4

fissure longitudinale 14 4 9 11 5 6 6 29 7 3

ovalisation 2 1 2 1 0 3 3 5 7 1

perforation 5 1 3 2 5 1 0 4 3 1

TOTAL 83 62 89 66 103 14 21 130 71 14 23

259

Annexe II

ANNEXE II : EXEMPLE DE SIMULATION PAR LE LOGICIEL STATA Les deux simulations données dans cette Annexe concernent l’estimation du risque relatif d’apparition de la fissure circulaire en présence des variables nominales indépendantes sélectionnées auparavant. La première simulation, faisant intervenir le paramètre diamètre, est effectuée sur la totalité de l’échantillon. Compte tenu du taux de renseignement de la plupart des paramètres inférieur à 100%, le nombre effectif de tronçons concernés par cette simulation est de 775. Le deuxième calcul fait intervenir le paramètre élancement et ne concerne qu’environ un tiers du nombre total des tronçons (269).

260

Annexe III

ANNEXE III : CALCUL D’UNE CONDUITE EN BETON PAR LE FASCICULE 70

Le Fascicule 70 représente la réglementation française en vigueur en matière de conception des réseaux d’assainissement. Avant d’aller plus loin dans la compréhension des mécanismes de rupture, il convient de déterminer les aspects du comportement pris en compte dans le dimensionnement des ouvrages. Une analyse de la réglementation est alors incontournable. Le principe du calcul et ses hypothèses les plus importantes sont présentés dans le Chapitre 2. Cependant, la bonne compréhension de la méthode nécessite d’expliciter certains paramètres ou de donner la plage de variations des autres. Ceci est l’objet de la présente partie que nous avons choisie, pour plus de clarté, de séparer du corps de texte principal. Si pour des obligations de cohérence, certains paragraphes sont redondants avec le Chapitre 2, les deux parties sont dans une très large mesure complémentaires.

1.1 - Définition des paramètres

1.1.1 Les paramètres de la conduite Les caractéristiques pour une conduite en béton sont définies dans le Tableau 1.

Tableau 1. Caractéristiques mécaniques des conduites en béton

Paramètres Module d’élasticité

instantané TiE (MPa)

Coefficient de Poisson Tν

Déformation avant l’application des charges (mm) 0e

Valeurs 40000 0,2 1 Le Fascicule utilise également les notions de diamètre extérieur , diamètre moyen et l’épaisseur minimale de la paroi .

extD mDe

Le module d'élasticité instantané est utilisé dans le calcul de portance des conduites rigides. Il existe également un module d'élasticité différé utilisé uniquement pour le calcul de la résistance au flambement des conduites souples en prenant en compte le fluage. La distinction entre les conduites rigides et conduites souples est réalisée à l’aide d’un critère de rigidité qui s’appuie sur la notion de la rigidité annulaire spécifique instantané (en kN/m²) iras

3

.

m

Tii D

IEras = avec ( )2

3

112 T

eIν−

= l'inertie de flexion du tuyau.

La conduite est considérée comme rigide si le critère de rigidité RIG est positif :

( ) 1.018 2 −−=S

iS E

rasRIG ν

261

Annexe III

1.1.2 Les paramètres du sol

1.1.2.1 Le module du sol La classification des sols selon le Fascicule 70 est donnée dans le Tableau 2. A partir de cette classification, les valeurs des modules de sol conventionnels sont définies et donnés dans le Tableau 3. Ces valeurs sont considérées comme des valeurs de référence qui pourront être corrigées en fonction des conditions de la mise en place.

CE

Tableau 2. Classification des remblais

Groupe de sol Equivalence GTR Description

G1 D1, D2 Sables et graves propres,

concassés (Dmax < 50 mm). Sables ou graves peu silteuses

G2 B2, B4 Sables ou graves peu argileux

G3 A1, B1, B3, B5Sables et graves très silteux, limons peu plastiques, sables

fins peu pollués (IP < 12)

Sols utilisables en enrobage

G4 A2, B6

Sables et graves argileux à très argileux, sables fins argileux, limons argiles et marnes peu

plastiques (IP < 25) Sols

inutilisables en enrobage

G5 A3, A4 Argiles et argiles marneuses, limons très plastiques (IP > 25)

Tableau 3. Module de sol conventionnel

Objectifs de densification recommandés

Niveau de compactage

Mise en place non contrôlée1

Compacté contrôlé non

validée2Compacté contrôlé et validé3 5q

Compacté contrôlé et validé3 4q

Groupe de sol CE (Mpa) G1 0,7 2 5 10 G2 0,6 1,2 3 7 G3 0,5 1 2,5 4,5

G4 et G5 <0,3 1,6 0,6 0,9 Le module de sol conventionnel est un paramètre d’interaction sol-conduite très différent du module de Young. Il dépend de la nature de sol, des modalités de mise en place des conduites

1 Ne faisant l'objet d'aucun contrôle ou vérification 2 Contrôle des moyens de compactage mis en œuvre mais pas de vérification de l'objectif de densification 3 Contrôle des moyens de compactage et validation de l'obtention de l'objectif de densification

262

Annexe III

et du compactage. Il n’est donc pas issu d’un essai géotechnique mais est obtenu par calcul inverse à l’aide des formules d’interaction sol-conduite et des essais d’ovalisation des conduites dans les conditions de laboratoire. Le Fascicule 70 spécifie que le sol en place doit être considéré de classe de compactage . 4q Le module du sol Es utilisé dans les calculs est obtenu à partir du module conventionnel par la Figure 1 où désigne le module conventionnel de l'enrobage et le module conventionnel du sol en place.

2CE 3CE

- Si la largeur de la tranchée est comprise entre 1 et 1,5 fois le diamètre de la conduite :

Es = Ec (sol en place) ; - Si le rapport entre la largeur de la tranchée et le diamètre de la conduite est supérieur à

4 : Es = Ec (enrobage); - Si ce rapport est compris entre 1,5 et 4, une régression linéaire est à faire.

Figure 1. Schéma de calcul du module de sol Es

Par exemple, pour une canalisation de 0,5m de diamètre, installée dans une tranchée de 1,5m de large de manière contrôlée et validée avec un objectif de densification , on aura les modules conventionnels suivants :

4q

- pour le sol d'enrobage (sable propre groupe G1) EC2 = 5 MPa, - pour le sol en place (argile groupe G5) EC3 = 0,9 MPa.

Le module de calcul du sol ES sera donc égal à Es = 3,3 MPa. Ainsi la réduction du module de sol par rapport à la valeur de référence a pour objectif de tenir compte de la diminution de la force de résistance latérale du sol.

1.1.2.2 Les autres paramètres du sol Le Fascicule 70 définit d’autres paramètres dont la valeur numérique est fonction de la nature de sol. Il s’agit notamment du coefficient de pression horizontale et de l'angle d'appui conventionnel

2kα2 (Tableau 4). Le coefficient de pression horizontal est le rapport entre les

263

Annexe III

contraintes normales agissant sur le plan vertical et sur le plan horizontal tandis que l’angle d’appui est schématisé sur la Figure 2.

Tableau 4. Coefficient de pression horizontale et l’angle de pose

Objectifs de densification recommandés

Niveau de compactage

Mise en place non contrôlée

Compacté contrôlé non

validée Compacté

contrôlé et validé 5q

Compacté contrôlé et validé

4qGroupe de sol 2k α2 2k α2 2k α2 2k α2

G1 et G2 0,15 60 0,35 90 0,5 120 0,6 120 G3 0 60 0,15 90 0,15 120 0,15 120

G4 et G5 0 60 0 60 0 60 0 60 On utilise également un autre paramètre, le coefficient de cisaillement du sol défini comme le rapport entre la contrainte de cisaillement sur le plan vertical et la contrainte normale sur le plan horizontal. Cependant, sa valeur est constante égale à 0,15.

1k

Figure 2. Définition de l’angle de pose

1.2 - Définition des actions Les actions à déterminer pour un calcul des conduites par la méthode du Fascicule 70 sont les suivantes :

264

Annexe III

pr Pression verticale des terres due au remblai pe Pression verticale due aux charges d'exploitation per Pression verticale due aux charges d'exploitation roulantes, pep Pression verticale due aux charges d'exploitation permanentes, pec Pression verticale due aux charges d'exploitation ou de chantier.

La réglementation néglige le poids propre du tuyau ainsi que le poids propre de l'eau véhiculée. Nous allons également faire l’hypothèse de l’absence de la nappe phréatique à la profondeur de la conduite. Le calcul de chacune de ces sollicitations sera présenté dans les paragraphes suivants.

1.2.1 Pression verticale due au remblai On calcule cette pression avec la formule suivante : HCpr ..γ= Avec : - γ : poids volumique du remblai, - H : hauteur de couverture, - C : Coefficient de concentration. Elle est due au prisme de terre situé au-dessus de la génératrice supérieure du tuyau corrigé par un coefficient de concentration C. Dans le cas des conduites rigides, on calcule C tel que

. 21;CCMinC =On obtient à l'aide de la Figure 3. Si 1C 11 ≤C , alors on retient 1CC = . Par ailleurs, on obtient à l'aide de la Figure 4. 0C

2C est alors calculé grâce aux formules suivantes :

- si 5.2≤extD

H , alors 02 CC =

- sinon i

S

rasE

CC 009.002 −=

Figure 3. Courbe des valeurs de C1

265

Annexe III

Figure 4. Courbe des valeurs de C0

1.2.2 Pression verticale due aux charges d’exploitation Les charges d'exploitation regroupent :

- Les charges roulantes (de type ) cB per définies à partir de la Figure 5.

- Les surcharges permanentes pep grâce à la formule : BHk

epopep 12.

−= où po est la

surcharge permanente (en kN/m²) et B la largeur de la tranchée (en m). Elles sont dues aux charges qui resteront tout au long de la vie de l'ouvrage au-dessus de la canalisation, hors poids du sol de remblaiement. Cela peut être le poids de la chaussée par exemple.

- Les surcharges dues au chantier pec . La pression verticale due aux charges d'exploitation est donc : pecpepperMaxpe ;+= .

Figure 5. Courbe des valeurs de la charge d’exploitation

266

Annexe III

1.3 - Calcul des sollicitations

1.3.1 La distribution des contraintes Le Fascicule 70 suppose que sous l'effet des actions précédemment définies, la conduite est soumise à une pression uniformément répartie autour de la conduite appelée pression d’étreinte extérieure. Sa valeur moyenne s’exprime est calculée par :

( ) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=2

1 2kpeprp

Pour prendre en compte l’interaction sol-conduite, la réglementation s’appuie sur le modèle de Winkler, en introduisant cette pression d’étreinte en tant que réaction du sol :

( )0. VVkp ss −=

où le coefficient de réaction ks est obtenu par l’expression ( )21.2

s

S

ms

ED

kν−

= , V et V0

représentent respectivement la déformation finale et initiale de la conduite. Cette déformation initiale est fonction de la nature de matériaux et est calculé à partir de e0 (Tableau 1). Sous l’effet de cette contrainte, le phénomène de flambage peut se produire si la contrainte dépasse la pression critique de flambement calculé par

ir rasn

snpc .1

18 20

20 ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−+−=

Avec :

- l'indice de rigidité relative sol-tuyau si

S

S rasE

s.8

.1

12ν−

= ,

- pour une conduite rigide. 20 =n

1.3.2 Moment fléchissant L’expression du moment fléchissant (en kN.m/ml) maximal à la base du tuyau est la suivante :

( ) im

ri

m rasDe

pcp

n

rasps

kKDpvpeprM 0

20

22

11

114

2491

44

),(⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−

−+−+

−=

α

Avec :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+++= απαπ

ααααα

πα sin23

cos8

3sin4

cos43sin

21 2

K , α en radians,

peprpv += pression verticale totale,

267

Annexe III

( peprkph += .2 ) pression horizontale totale.

1.4 - Vérification des état limites

1.4.1 Etat limite ultime La vérification à l'état ultime de résistance permet de vérifier la capacité portante de la canalisation vis-à-vis du moment fléchissant et de vérifier la stabilité au flambement. Le moment « ultime » est obtenu en majorant la pression d’étreinte, la pression verticale, et la rigidité annulaire spécifique par un coefficient de 25,1=Aγ . Avec la charge de rupture minimale garantie dans les normes des produits, la conduite doit vérifier :

RF

um

R MD

F .2π≥ ,

uMc σγσ .≥

uMR MM .γ≥ où

cσ est la contrainte caractéristique garantie dans les normes des produits,

( )2

216e

M Tuu

νσ

−= ,

4,1=Mγ

RM le moment résistant garanti dans les normes des produits. La vérification à l'état ultime de flambement est réalisée par la relation

ppc Fr .γ≥ avec

rpc et p comme définis précédemment avec ras ultime, 5,2=Fγ .

1.4.2 Etat limite de service

La vérification à l’état limite de service est réalisée afin d'assurer le fonctionnement correct sous sollicitations courantes (apparition ou de l'ouverture de fissures) en vérifiant l'inégalité :

Sm

F MD

F .2π≥

Avec : FF la charge minimale garantie d'ouverture de fissures définie dans les normes des produits,

SM le moment fléchissant maximum défini précédemment.

268

Annexe IV

ANNEXE IV : DESCRIPTION ET MISE AU POINT DU DISPOSITIF EXPERIMENTAL

LES CONDUITES Les tuyaux d'assainissement testés sont des éléments en béton diamètre 500mm BONNA SABLA, dont les références et dimensions sont présentées ci-dessous sur la Figure 1.

Figure 1. Caractéristiques géométriques et mécaniques des conduites

(d’après Bonna-Sabla)

269

Annexe IV

L’EQUIPEMENT Le vérin vertical (Figure 2) est équipé par un dispositif de pilotage en force ou en déplacement. Il s’avère que le montage présente une plus grande stabilité lorsque le vérin est piloté en déplacement. La vitesse de sollicitation choisie est suffisamment faible pour pouvoir considérer le montage en équilibre à tout instant. Le vérin creux horizontal (Figure 3) est équipé d’un dispositif hydraulique muni d’un système d’asservissement afin de pouvoir maintenir à la sortie tout au long de l’essai la consigne de pression d’entrée. Le système d’asservissement est parfaitement efficace en chargement et un peu moins au début de déchargement. Les liaisons spécimen-appui (Figure 4) sont suffisamment rigides pour être considérées indéformables. Elles sont attachées aux appuis par boulonnage. Le contrôle des degrés de liberté est donc réalisé au sein du dispositif d’appui (Figure 3 et Figure 4a) et non à l’interface liaison-support. Le cadre de chargement (Figure 4b) est entièrement articulé à chacun des angles mais demeure parfaitement solidaire du vérin vertical grâce à une liaison par boulonnage. Enfin, le dispositif de chargement en béton pour les essais de cisaillement (Figure 5) est coulé dans un coffrage en bois qui n’est donc pas totalement indéformable. Pour cette raison, nous n’avons pas tenu compte des mesures du déplacement vertical obtenues par le capteur placé sur la tige du vérin. Pour éviter un poinçonnement éventuel et pour s’assurer de la distribution uniforme des contraintes dans le massif, une plaque métallique a été scellée sur la face supérieure en contact avec le vérin (visible sur la Figure 10).

Figure 2. Vérin vertical

270

Annexe IV

Figure 3. Vérin creux horizontal et liaison spécimen – appui

a) Appui glissant à l’extrémité Ouest b) Cadre de chargement

Figure 4. Les liaisons

271

Annexe IV

Figure 5. Le dispositif de chargement pour les essais de cisaillement

L’INSTRUMENTATION La liste des capteurs utilisés est donnée dans le Tableau 1.

Tableau 1. Liste du matériel de mesure

Nature Emplacement Type Plage de variation Nombre Capteur de

déplacement vertical

Milieu des tuyaux DCT 500 10V = 12,5mm 2

Capteur de déplacement

vertical Part et d’autre du joint DCT 1000 10V = 25mm 2

Capteur de déplacement horizontal

En dessous et au dessus du joint ;

Appui ouest 12F10 10V = 10mm 3

Capteur de déplacement Vérin vertical 10 V = 12,5mm 1

Cellule d’effort Vérin vertical Vérin horizontal Strainsert 10 V = 11111 N 2

Jauge de déformation Collerette HBM R = 120 Ω

K = 2,09 4

Les capteurs de déplacement verticaux du type LVDT sont installés de part et d’autre de la jonction et à mi portée des tuyaux (Figure 6). Les capteurs de déplacements horizontaux sont

272

Annexe IV

placés sur la partie supérieure et inférieure de la jonction ainsi que sur l’appui libre en translation (Figure 7).

a) Capteur LVDT vertical à mi portée b) Détail du capteur LVDT à mi porté

Figure 6. Capteur des déplacements verticaux du type LVDT

a) Les capteurs LVDT de déplacements horizontaux b) Détail du capteur horizontal bas

Figure 7. Capteur des déplacements horizontaux du type LVDT

273

Annexe IV

Figure 8. Capteur de déplacement vertical pour les essais de cisaillement

Un capteur de force est relié au vérin afin de suivre l'évolution de la valeur de l'effort exercé (Figure 9).

a) Capteur sur le vérin horizontal b) Capteur sur le vérin vertical

Figure 9. Cellules de pression Enfin des jauges de déformation sont collées de chaque côté du joint sur le fût et la collerette des éléments assemblés.

Figure 10. Jauge de déformation sur le fût

274

Annexe IV

LA PROCEDURE DE MISE EN PLACE DU MONTAGE La mise en place de l'essai est réalisée en plusieurs phases :

1. Les 2 appuis extrêmes sont coulés dans leur cadre (J-7) 2. Après séchage du béton, les 2 tuyaux sont assemblés, le tirant est installé et une précontrainte est exercée afin d’emboîter les deux éléments. Les tuyaux sont calés horizontalement avec appuis provisoires au centre (J-4). 3. Les 2 cadres centraux sont mis en place et coulés (J-3). 4. Les câblages des différents appareils de mesures sont effectués (J-2).

Ce protocole est valable pour tous les essais réalisés.

L’EVOLUTION DU MONTAGE La mise au point du montage et de l’instrumentation définitifs a été progressive en fonction des résultats des essais effectués. D’une part, une série d’essais réalisés avec un cadre rigide ne seront pas présentés ici. En effet, la rigidité initiale du dispositif ne permettait pas de contrôler entièrement la distribution de l’effort dans le tirant et entravait le fonctionnement cinématique du montage ce qui à terme a pu conduire à un chargement dissymétrique et non contrôlé. Le montage initial a donc été modifié en introduisant un degré de liberté supplémentaire dans le cadre de chargement (Figure 11).

a) Montage initial b) Montage final

Introduction d’une

articulation

Figure 11. Modification du montage initial D’autre part, une série d’essais cycliques a été réalisé en contrôlant la vitesse de déplacement du piston. Il s’est avéré qu’une erreur du pilotage du vérin de l’ordre de 0,05 mm est systématiquement induite après un cycle de chargement/déchargement. L’exploitation des résultats devient alors très difficile dès lors que le nombre de cycles augmente. Les essais

275

Annexe IV

cycliques présentés dans le chapitre 3 sont donc réalisés en utilisant un pilotage du vérin en force. Cependant, cette solution n’est que partiellement satisfaisante puisqu’elle implique une instabilité de pilotage dans certaines configurations du montage. C’est donc la raison pour laquelle un nombre très limité d’essais cycliques est présenté. Par ailleurs, l’instrumentation a également évolué au cours des essais principalement à cause de la méconnaissance du comportement du montage. Initialement des inclinomètres ont été prévus afin de mesurer les déplacements angulaires des conduites et d’assurer le retour à une position de départ identique à tous les essais. Or les vibrations du montage induites par le dispositif hydraulique, même difficilement perceptibles, ont été suffisantes pour perturber les inclinomètres. Les mesures effectuées ne pouvaient pas être utilisées. Les capteurs LVDT verticaux ayant une plage de mesure importante ont servi de repère pour retrouver les positions initiales.

276

Annexe V

ANNEXE V : LES NOTATIONS UTILISEES DANS LE CHAPITRE 3

F1P’’ Pm

Fv

N

d1

N’

P’

d2d3

e’

δ h2

δ h1

α

δ v

α – Angle que fait l’axe de la buse avec l’horizontale ;

β – Rotation du joint β = 2 α ;

δs – Déplacement vertical au cours d’un essai de cisaillement (déplacement vertical

différentiel entre le fût et le collet) ;

δv – Déplacement vertical au cours d’un essai de flexion ;

δh – Déplacement horizontal (axial) moyen ;

δh1 et δh2 – Déplacement horizontal au radier et à la clé du joint ;

∆c – Déplacement horizontal pour lequel se produit le changement de rigidité du joint au cours

d’un essai de compression en phase de chargement ;

∆d – Déplacement horizontal pour lequel se produit le changement de rigidité du joint au

cours d’un essai de compression en phase de déchargement ;

θ – Angle par rapport à la verticale mesuré à partir de la clé dans le sens horaire ;

d – Distance entre le joint et l’appui ;

d1 – Distance entre le point d’application de la force P’ et l’appui, d1 = 1,52 m ;

d2 – Distance entre le point d’application de la force Pm et l’appui, d2 = 2,6 m ;

d3 – Distance entre le point d’application de la force P’’ et l’appui, d3 = 0.36 m ;

e’ – Distance entre le point d’application de la force N’ et l’axe de la conduite ;

eh and er – épaisseur axial et radiale de la couronne représentant le joint ;

F1 – Force de réaction d’appui ;

277

Annexe V

Fini – Force verticale initiale théorique égale à la moitié du poids propre ;

Fv – Moitié de la force verticale totale appliquée par le vérin vertical au cours des essais de

flexion ;

K – Rigidité globale du joint en cisaillement ;

kh – Rigidité axiale locale du joint ;

kr – Rigidité radiale locale du joint ;

M – Moment de flexion appliqué sur le joint ;

N – Force axiale appliquée par le vérin horizontal ;

N’ – Résultante de la contrainte axiale de contact ;

P’ – Poids de tuyau situé entre l’appui et le cadre de chargement, P’ = 8514 N ;

P’’ – Poids de tuyau situé entre sont extrémité et l’appui, P’’ = 166 N ;

Pm – Poids du cadre de chargement y compris les liaisons spécimen-appui ;

r – Rayon moyen de la conduite ;

rh – Distance entre l’axe de la conduite et le capteur LVDT horizontal ;

R – Rigidité globale du joint en flexion

R1 – Rigidité globale du joint durant la première étape de compression axiale en chargement ;

R2 – Rigidité globale du joint durant la seconde étape de compression axiale en chargement ;

R3 – Rigidité globale du joint durant la première étape de compression axiale en

déchargement ;

V – Force verticale de cisaillement ;

x – Distance entre l’axe de la conduite et le centre de rotation du joint.

278

Annexe VI

ANNEXE VI : PRINCIPE DU COUPLAGE DIFFERENCES FINIES – SCHEMA EXPLICITE

La méthode des différences finies consiste à remplacer par une expression algébrique toute dérivée dans le système d’équations différentielles. Les variables du système d’équations sont alors exprimées sous forme de leur taux de variation en des lieux discrets de l’espace, mais demeurent indéterminées ailleurs. Le principe physique sur lequel repose le code de calcul est le principe fondamental de la dynamique. Dans un milieu réel, une partie de l’énergie de déformation accumulée par le système est convertie en énergie cinétique qui va se propager et se dissiper dans le matériau environnant. La propagation de cette onde cinétique va déséquilibrer les zones voisines qui vont donc acquérir une vitesse et suivre les équations dynamiques du mouvement. Le schéma de résolution explicite repose sur ce phénomène. Le déséquilibre induit en un lieu discret va se propager dans les nœuds du maillage voisins. Ainsi, à partir d’un état initial connu (systèmes d’équations différentielles avec conditions aux limites), les équations dynamiques sont reformulées et les nouvelles valeurs des variables (vitesse et déplacement) sont calculées. A partir de ces valeurs, un nouvel état de contrainte et de déformation est établi par le biais des lois de comportement du matériau. Ces opérations, effectuées au cours d’un cycle de calcul (un pas de temps ∆t), sont schématisées sur la Figure 1.

Figure 1. Séquence de calcul d’après Billaux et Cundall, 1993

Dans chaque système d’équations (équations de mouvement ou équations de comportement), toutes les variables sont calculées à partir de grandeurs connues. Pour cette raison, leur mise à jour ne nécessite pas d’inverser les matrices de rigidité comme c’est le cas pour le schéma implicite. En revanche, toutes les grandeurs connues doivent rester constantes durant la période de calcul ∆t. Ceci implique une hypothèse fondamentale : le calcul de nouvelles

V : vitesse u : déplacement F : force σ : contrainte ε : déformation

V et u F ou σ

Equations du mouvement

Modèle de comportement (relation σ- ε)

279

Annexe VI

contraintes n’affecte pas les vitesses précédemment calculées, et inversement. En d’autres termes, les éléments voisins ne peuvent pas s’influencer pendant un cycle de calcul. La validité de cette hypothèse requiert un pas de temps ∆t d’une durée suffisamment petite, de manière à ce que l’information ne puisse pas passer d’un élément à l’autre au cours de l’intervalle de temps ∆t. Par conséquent, la durée d’un pas de calcul doit être suffisamment faible pour permettre que la vitesse de l’« onde de calcul » soit toujours supérieure à celle des ondes physiques, ce qui permet alors de figer les valeurs connues utilisées pendant la durée ∆t. Ainsi, FLAC va utiliser les lois de la dynamique pour traiter un problème statique. Le mode incrémental de résolution du système assure la stabilité du schéma numérique, puisque même si le système est instable à certains instants, les chemins de contrainte et de déformation sont respectés à chaque pas.

FORMULATION NUMERIQUE DES EQUATIONS DE MOUVEMENT A partir des contraintes et des forces, le principe fondamental de la dynamique est utilisé pour calculer de nouvelles vitesses, et donc de nouveaux déplacements. Pour un milieu déformable, ce principe s’écrit dans un référentiel lagrangien de la manière suivante :

Equation 1 où : ρ : masse volumique t : temps vi : vecteur vitesse bi : forces de volume par unité de masse

DISCRETISATION EN DIFFERENCES FINIES Le milieu continu en trois dimensions est discrétisé en éléments à 6 faces et 8 nœuds, c’est-à-dire 8 lieux d’espace où les systèmes d’équations seront écrits. Chacun de ces éléments est divisé en unités tétraédriques à déformation uniforme comportant 4 nœuds (Figure 2). Dans les équations de discrétisation, la face 4 est celle qui se trouve à l’opposé du nœud 4. L’application du théorème de Gauss au tétraèdre permet d’exprimer les vitesses comme suit :

Equation 2 où nj est le vecteur normal à la face n.

280

Annexe VI

Figure 2. Tétraèdre : unité de discrétisation

De l’intégration de l’Equation 2 sur le volume et la surface du tétraèdre, on accède au champ de vitesse. Par hypothèse, le champ de déformation est constant dans un tétraèdre ; ainsi, le champ de vitesses est linéaire. Utilisant cette propriété du champ de vitesses, il est possible de l’exprimer de manière à additionner les contributions de chaque nœud :

Equation 3

A partir de l’expression des vitesses, on dérive celle du taux de déformation :

Equation 4 Lorsque le taux de déform d la lo de co matériau permettent de calculer sous forme incrémentale, les valeurs du tenseur des ontraintes à partir de celles obtenues au pas de temps précédent.

UVEMENT

avec é à partir de l’Equation 1.

rieures :

Equation 6

avec :

ation est connu, les équations e i mportement du

c

FORMULATION NODALE DES EQUATIONS DE MO La formulation nodale des équations de mouvement est obtenue en appliquant à un instant donné le théorème des travaux virtuels au problème statique équivalent :

Equation 5

exprim

L’Equation 5 permet donc d’exprimer le travail dû aux forces exté

281

Annexe VI

fi : forces nodales b : la partie due aux forces de volume

partie due aux forces d’inertie. Elle peut être exprimée en fonction des fonctions de

tient l’expression des forces nodales :

vec : m : la m

résolution et

e discret implique qu’à chaque nœud, la somme de toutes les forces nodales (dues à chaque tétraèdre partageant le nœud et aux quantités nodales des forces appliquées) soit égale à zéro. Ecrite en chaque nœud, cette condition donne alors

l> désigne le nœud l me des om

appliquées.

’objectif de l’amortissement est d’arriver en un minimum de cycles à l’état stationnaire. Ainsi, à chaque nœud <l>, une force d’amortissement est ajoutée à la force non équilibrée. Le

rtionnel au module de la force nette non quilibrée, mais sa direction est telle qu’elle produit toujours un travail négatif :

Le critère de convergence qui contrôle la fin c lcul e t déte’équilibre de l’ensemble des éléments. Ainsi, après avoir calculé la force non équilibrée de

éfinie par

EEI : la forme linéaires. L’Equation 4 est utilisée dans l’expression du travail dû aux forces intérieures du tétraèdre. Finalement, en écrivant l’égalité du travail des forces extérieures et celui des forces ntérieures, on obi

Equation 7 a

n asse nodale fictive déterm érique lors de la inée de manière à assurer la stabilité num

La condition d’équilibre du systèm

l’expression (nodale) de la force non équilibrée :

Equation 8 < dans la liste globale des nœuds, tandis que [[…]] désigne la somcontributions de tous les tétraèdres partageant le nœud ; P est la c posante nodale des forces

AMORTISSEMENT ET CONVERGENCE L

module de cette «force d’amortissement » est propoé

Equation 9

ù sign = +1 ;-1 ; 0 et α le coefficient d’amortissement contrôlé par l’opérateur.o

a s rminé sur l’état des cycles dedchaque nœud, la valeur maximale est retenue et comparée à la valeur limite dl’utilisateur.

282