Daniel Fredon

MathmatiquesLicence Prpa

AIDE-MMOIRE

2e dition

Prelim.indd 1 29/04/2014 09:34:47

Dunod, 2004, 20145 rue Laromiguire, 75005 Paris

www.dunod.com

ISBN 978-2-10-071043-0

Photographie de couverture : orangeberry - fotolia.com

Prelim.indd 2 29/04/2014 09:34:48

Table des matieres

Analyse dans

1. Nombres reels 72. Generalites sur les fonctions numeriques 113. Limites et continuite 154. Fonctions derivables 235. Fonctions usuelles 296. Suites numeriques 387. Integrales definies 448. Calcul des primitives 509. Formules de Taylor 5410. Integrales generalisees 6011. Equations differentielles 6512. Series numeriques 76

Analyse dans n

13. Espaces vectoriels normes 8214. Calcul differentiel dans Rn 9215. Optimisation dune fonction numerique 9916. Integrales multiples 10317. Integrales curvilignes 11018. Integrales de surface 11419. Suites et series de fonctions 11720. Series entieres 12121. Series de Fourier 12722. Integrales dependant dun parametre 131

Algebre generale

23. Rudiments de logique 13424. Ensembles 13825. Applications 14126. Relations 14427. Entiers naturels 14728. Structures algebriques 15229. Arithmetique dans Z 16130. Nombres complexes 16531. Polynomes 17132. Fractions rationnelles 177

Algebre lineaire et multilineaire

33. Espaces vectoriels 18034. Applications lineaires 18635. Matrices 19036. Systemes lineaires 19837. Determinants 20338. Reduction des endomorphismes 20839. Dualite 21440. Formes bilineaires et quadratiques 21741. Espaces prehilbertiens 22142. Espaces vectoriels euclidiens 22843. Espaces vectoriel hermitiens 234

Geometrie

44. Geometrie affine reelle 23745. Calcul vectoriel 24346. Geometrie euclidienne du plan et de lespace 24647. Courbes parametrees 258

48. Proprietes des courbes 26349. Surfaces 267

Calcul des probabilites

50. Calcul des probabilites 27351. Variables aleatoires 28052. Lois usuelles 28753. Convergences et approximations 29354. Estimation, tests statistiques 297

Table 1 : fonction de repartition de N(0, 1) 308Table 2 : ecart reduit de N(0, 1) 309Table 3 : lois de Student 310Index 310

An

aly

sed

an

s1 Nombres reels

1. Premieres proprietes

1.1 Corps ordonne

On dit que lensemble R des nombres reels est :

un corps pour dire quil est muni de deux operations + et , avec toutes lesproprietes dont vous avez lhabitude (cf. chap. 30) ;

un corps ordonne pour dire que la relation dordre 6 est compatible avec +et , cest-a-dire :a R b R c R a 6 b = a + c 6 b + ca R b R c > 0 a 6 b = ac 6 bc

1.2 Regles de calcul

(x + y)n =n

k=0

(nk

)xk ynk (binome) ou

(nk

)=

n!k!(n k)!

xn yn = (x y)n1k=0

xnk1yk.

1.3 Valeur absolue

La valeur absolue dun nombre reel a, notee |a|, est definie par :|a| = a si a > 0 ; |a| = a si a 6 0.

Proprietes a R b R|a| > 0 ; |a| = 0 a = 0 ; |ab| = |a| |b||a + b| 6 |a| + |b| ;

|a| |b| 6 |a b|1.4 Propriete dArchimede

Soit a R et b > 0 . Alors il existe k N tel que bk > a .

8 Analyse dans

1.5 Partie entiere

Etant donne un nombre reel x, il existe un plus grand entier relatif, note bxc, telque bxc 6 x. On lappelle la partie entiere de x.On a donc, par definition : bxc 6 x < bxc + 1.

+ Attention a ne pas confondre avec la suppression de la partie decimalequand x < 0 ; par exemple b4, 3c = 5.

2. Intervalles

2.1 Definitions

Pour a 6 b, le segment, [a; b] est defini par :[a; b] = {x R ; a 6 x 6 b}

On utilise souvent la propriete :

c [a, b] t [0, 1] c = ta + (1 t)b.

On definit de meme les autres types dintervalles :

]a; b[, [a; b[, ]a, b], ]a,+[, [a,+[, ] , b[, ] , b],] ,+[= R.

2.2 Propriete caracteristique

Une partie A de R est un intervalle si, et seulement si :a A b A a < c < b = c A.

2.3 Voisinage dun point

Soit a R. Une partie V de R est un voisinage de a si elle contient un intervalleouvert centre sur a.

3. Ordre dans R

3.1 Majoration, minoration

Definitions

Soit A une partie de R. On dit que a est un majorant de A si x 6 a pour tout xde A.Si, en plus, a A, alors a est le plus grand element de A, note max A.Si A admet un majorant, on dit que A est majoree.

On definit de meme : minorant, plus petit element, partie minoree.

An

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s

1 Nombres reels 9

Unicite

Si une partie non vide de R admet un plus grand element, ou un plus petitelement, il est unique. Mais il peut ne pas exister.

+ Surveillez votre vocabulaire : un majorant, le plus grand element.

Cas particulier des entiers naturels

Toute partie non vide de N admet un plus petit element.Toute partie non vide majoree de N admet un plus grand element.

3.2 Borne superieure, inferieure

Definitions

La borne superieure de A est le plus petit element (sil existe) de lensembledes majorants de A.La borne inferieure de A est le plus grand element (sil existe) de lensembledes minorants de A.

Caracterisation

M est la borne superieure de A si, et seulement si, on a, a la fois :

x A x 6 M, cest-a-dire que M est un majorant ; > 0 x A M < x, cest-a-dire que M nest pas un majorant.

m est la borne inferieure de A si, et seulement si, on a, a la fois :

x A m 6 x, cest-a-dire que m est un minorant ; > 0 x A x < m + , cest-a-dire que m + nest pas un minorant.

Remarque

Si A admet un plus grand element, alors cest la borne superieure de A.

Si A admet un plus petit element, alors cest la borne inferieure de A.

Theoreme dexistence

Toute partie non vide et majoree (resp. minoree) deR admet une borne superieure(resp. inferieure).

10 Analyse dans

3.3 Droite numerique achevee

Pour ne pas avoir de restriction dans le theoreme precedent, on considere unnouvel ensemble note R obtenu a partir de R par ladjonction de deux elementsnotes et +.On prolonge a R la relation dordre en posant pour tout a R :

< a < +.On definit ainsi la droite numerique achevee dont le plus grand element est+, le plus petit element . Et le theoreme precedent se generalise :Toute partie non vide de R admet une borne superieure et une borne inferieuredans R.

4. Points a caractere topologique

Soit a R et E une partie non vide de R.

4.1 Point adherent

Le point a est adherent a E si tout voisinage de a contient un point de E.Lensemble des points adherents a E se note E. Cest ladherence de E.On a toujours E E. Si E = E, on dit que E est une partie fermee.Si E = R, on dit que E est dense dans R.

4.2 Point daccumulation

Le point a est un point daccumulation de E si tout voisinage de a contient unpoint de E different de a.

Un point daccumulation est necessairement adherent a E. Si a est un pointadherent sans etre point daccumulation, cest un point isole.

Theoreme de Bolzano-Weierstrass

Toute partie infinie et bornee de R admet au moins un point daccumulation.

4.3 Point interieur

Le point a est un point interieur de E sil existe un intervalle ouvert centre sura inclus dans E, cest-a-dire si E est un voisinage de a.

Lensemble des points interieurs de E se noteE. Cest linterieur de E.

On a toujoursE E. Si E =

E, on dit que E est une partie ouverte.

An

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an

s2 Generalites

sur les fonctions numeriques

1. Definitions

1.1 Fonction numerique

Definir une fonction numerique f sur une partie non vide E de R, cest indiquercomment faire correspondre au plus un reel y a tout x de E.Le reel y est limage de x par f et secrit f (x). On note :

f : E Rx 7 f (x).

Lensemble des reels qui ont effectivement une image par f est lensemble dedefinition de f . Il est note D f , ou D sil ny a pas dambiguite.

1.2 Representation graphique

Le plan etant rapporte a un repere(O,i ,j), la representation graphique de f

est lensemble C f des points de coordonnees(

x, f (x))

avec x D f .

1.3 Images et images reciproques densembles

Soit A D f . Limage de A par f est lensemble :f (A) = { f (x) ; x A}.

Soit B R. Limage reciproque de B par f est lensemble :1f (B) = {x D f ; f (x) B}.

+ Cette notation permet de ne pas confondre avec la reciproque dunebijection, car, ici, on ne suppose rien sur f . Quand la distinction sera installee,on utilisera f 1(B).

12 Analyse dans

1.4 Restriction, prolongement

Soit f une fonction definie sur I et g une fonction definie sur J. Si I J et sif (x) = g(x) pour tout x de I, on dit que f est une restriction de g, ou que g estun prolongement de f .

La restriction de f a I se note : f|I .

2. Premieres proprietes

2.1 Paritef est paire si :

x D f (x) D f et f (x) = f (x).Son graphe est symetrique par rapport a (Oy).

f est impaire si :

x D f (x) D f et f (x) = f (x).Son graphe est symetrique par rapport a O.

2.2 Periodicite

f est periodique, de periode T (ou T -periodique), si

x D f (x + T ) D f et f (x + T ) = f (x).

Son graphe est invariant par les translations de vecteurs kTi avec k Z.

2.3 Sens de variation

f est croissante sur I si I D f etx1 I x2 I x1 < x2 = f (x1) 6 f (x2).

f est decroissante sur I si I D f etx1 I x2 I x1 < x2 = f (x1) > f (x2).

f est monotone sur I si elle est croissante sur I, ou decroissante sur I.

Avec des inegalites strictes, on definit : f strictement croissante, strictementdecroissante, strictement monotone, sur D f .

2.4 Extremum

f admet un maximum (resp. minimum) global en x0 si :

x D f f (x) 6 f (x0) (resp. f (x) > f (x0)).

An

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s

2 Generalites sur les fonctions numeriques 13

f admet un maximum (resp. minimum) local en x0 D f , sil existe un inter-valle ouvert I D f , tel que :

x I f (x) 6 f (x0) (resp. f (x) > f (x0)).Un maximum ou un minimum local est dit extremum local en x0.

Un extremum est un maximum ou un minimum.

3. Relation dordre

3.1 Comparaison de fonctions

f et g etant deux fonctions, a valeurs reelles, definies sur le meme ensemble dedefinition D, on note f 6 g (resp. f > g) si :

x D f (x) 6 g(x) (resp. f (x) > g(x)).Si f > 0, f est dite positive.

3.2 Majorant, minorant

Si lensemble des images f (D) est majore, ou minore, ou borne, on dit que fest majoree, ou minoree, ou bornee.

Si limage f (I) de I admet une borne superieure, ou une borne inferieure, onparle de borne superieure, de borne inferieure, de f sur I et on note :

supxI

f (x) ; infxI

f (x).

3.3 Proprietes

infxI

f (x) = supxI

( f (x)

).

Si, pour tout x I, on a f (x) 6 g(x), alors supxI

f (x) 6 supxI

g(x).

Si I J, on a : supxI

f (x) 6 supxJ

f (x).

4. Operations sur les fonctions

4.1 Valeur absolue dune fonction

f etant definie sur D, la fonction | f | est definie sur D parx 7 | f (x)|.Une fonction f est bornee si, et seulement si, | f | est majoree.

14 Analyse dans

4.2 Operations algebriques

Soit f et g deux fonctions numeriques et un reel.

La fonction f est definie sur D f par : ( f ) (x) = f (x).

La fonction f + g est definie sur D f Dg par :( f + g) (x) = f (x) + g(x).

La fonction f g est definie sur D f Dg par :( f g) (x) = f (x) g(x).

La fonctionfg

est definie sur D f Dg \ {x ; g(x) = 0}

par :

fg

(x) =f (x)g(x)

4.3 Composition

On appelle composee de f par g la fonction, notee g f , definie sur D f1f (Dg)

par :

(g f ) (x) = g(

f (x)).

An

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sed

an

s3 Limites et continuite

1. Definitions

Soit f une fonction, a valeurs reelles, definie sur un intervalle I.

1.1 Limite dune fonction en aSoit a un point appartenant a I, ou extremite de I. On dit que f admet une li-mite finie l en a, et on note lim

xx0f (x) = l, si :

> 0 > 0 x I |x a| 6 = | f (x) l| 6 .

+ Cette limite peut exister meme si f nest pas definie en a. Mais si f estdefinie en a et si lim

xaf (x) existe, alors

limxa

f (x) = f (a).

Si une fonction admet une limite l en x0, cette limite est unique.

1.2 Limite a gauche, limite a droite

f admet une limite a droite l en a si la restriction de f a I ]a,+[ admet pourlimite l en a. On note : lim

xa+f (x) = l.

f admet une limite a gauche l en a si la restriction de f aI ] , a[ admet pour limite l en a. On note : lim

xaf (x) = l.

Si f est definie sur un intervalle de la forme ]a , a + [, sauf en a, alors :limxa

f (x) = l limxa

f (x) = limxa+

f (x) = l.

Si f est definie en a, ces deux limites doivent aussi etre egales a f (a).

1.3 Limite infinie en aOn dit que f tend vers + quand x tend vers a si :

16 Analyse dans

A > 0 > 0 x I |x a| 6 = f (x) > A.On note : lim

xaf (x) = +.

On definit de meme : limxa

f (x) = .

1.4 Limite de f lorsque x tend vers + ou On dit que f a pour limite l quand x tend vers + si :

> 0 B > 0 x I x > B = | f (x) l| 6 .On note : lim

x+f (x) = l.

On definit de maniere analogue limx

f (x) = l.

On dit que f tend vers + quand x tend vers + si :A > 0 B > 0 x I x > B = f (x) > A.

On note : limx+

f (x) = +.

On definit de maniere analogue limx

f (x) = + . . .

+ Toutes ces definitions peuvent se regrouper en considerant a et l dans R.

1.5 Critere de Cauchy

La fonction f a une limite au point x0 si, et seulement si :

> 0 > 0 tel que x D x D[|x x0| < et |x x0| <

]= | f (x) f (x)| < .

+ Lavantage de ce critere est de ne pas supposer connue la limite eventuellede f .

2. Proprietes des limites

2.1 Caracterisation sequentielle

Soit f definie sur un intervalle I et a un point de I.f a pour limite l au point a si, et seulement si, pour toute suite (xn) convergeantvers a, la suite

(f (xn)

)converge vers l, finie ou non.

An

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an

s

3 Limites et continuite 17

+ Pour demontrer quune fonction f na pas de limite lorsque x tend versa, il suffit de fournir un exemple de suite (xn) qui tende vers a et telle que(

f (xn))

soit divergente ; ou encore deux suites qui tendent vers a et dont lessuites images aient des limites differentes.

2.2 Operations sur les limites

Soit f et g deux fonctions definies au voisinage de a et admettant des limitesl et m en a, et un reel.Alors les fonctions f + g, f et f g admettent respectivement pour limites ena : l + m, f et lm.

Si de plus m , 0,1g

a pour limite1m

Soit f une fonction definie au voisinage de a avec limxa

f (x) = u0 et g definieau voisinage de u0 telle que lim

uag(u) = v .

Alors g f est definie au voisinage de x0 et limxa

g( f (x)) = v.

2.3 Proprietes liees a lordre

Si f admet une limite finie en a, alors f est bornee au voisinage de a. Si f admet une limite finie l > 0 en a, alors il existe K > 0 tel que f > K auvoisinage de a.

Si f est positive au voisinage de a et admet une limite finie l en a, alors l > 0. Si f 6 g au voisinage de a, et si lim

xaf (x) = l et lim

xag(x) = m, alors l 6 m.

Theoreme dencadrementSoit f , g et h trois fonctions definies au voisinage de a, et verifiant f 6 g 6 hau voisinage de a.Si f et h ont la meme limite l (finie ou infinie) en a, alors g a pour limite l en a.

Soit f et g deux fonctions definies au voisinage de a, et verifiant f 6 g auvoisinage de a.

Si limxa

f (x) = +, alors limxa

g(x) = +.Si lim

xag(x) = , alors lim

xaf (x) = .

2.4 Theoreme de la limite monotoneSoit f une fonction monotone sur ], [. Elle admet en tout point a de ], [une limite a droite et une limite a gauche.Lorsque f est croissante, si elle est majoree, elle admet en une limite a gauche

18 Analyse dans

finie, si elle nest pas majoree, elle tend vers + quand x tend vers .Pour f decroissante, on a la propriete analogue en .

3. Comparaison au voisinage dun pointSoit f et g deux fonctions definies sur I, et x0 un point, fini ou infini, apparte-nant a I, ou extremite de I.

3.1 Definitions

On dit que f est dominee par g au voisinage de x0 sil existe A > 0 tel que| f (x)| 6 A |g(x)| pour tout x dun voisinage J de x0.Notation : f = O(g) ou f 4 g .

Si g ne sannule pas sur J, cela signifie quefg

est bornee sur J.

On dit que f est negligeable devant g, ou que g est preponderant devant f ,au voisinage de x0 si, pour tout > 0 , il existe un voisinage J de x0 tel quelon ait | f (x)| 6 |g(x)| pour tout x de J.Notation : f = o(g) ou f g .Si g ne sannule pas au voisinage de x0, cela signifie :

limxx0

f (x)g(x)

= 0.

On dit que f et g sont equivalentes au voisinage de x0, si on a f g = o(g).Si g ne sannule pas au voisinage de x0, cela signifie :

limxx0

f (x)g(x)

= 1.

Notation : f g ou f x0

g .

La relation x0

est une relation dequivalence. En particulier, si on sait que f x0

g

et gx0

h , on en deduit que f x0

h .

3.2 Exemples fondamentauxAu voisinage de +, on a :

(ln x) x ex ou > 0 , > 0 , > 0 .Au voisinage de 0, on a :

| ln x| x ou > 0 et < 0 .

An

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3 Limites et continuite 19

3.3 Proprietes des fonctions equivalentes

Si f1 x0

g1 et f2 x0

g2 , alors f1 f2 x0

g1g2 etf1f2x0

g1g2

Si f x0

g et si limxx0

g(x) = l , alors limxx0

f (x) = l .

+ Lorsque lon a a chercher la limite dun produit ou dun quotient, on peutremplacer chacune des fonctions par une fonction equivalente, choisie poursimplifier le calcul.

Mais attention a ne pas effectuer un tel remplacement dans une somme, ni dansune fonction composee.

3.4 Equivalents classiques

ex 10

x ; sin x0

x ; 1 cos x0

x2

2;

ln (1 + x)0

x ; tan x0

x ; (1 + x) 10x

4. Branche infinie dune courbe

4.1 DefinitionLa courbe representativeC f dune fonction f admet une branche infinie lorsqueOM tend vers linfini avec M C f .

4.2 Asymptote Si lim

x+f (x) = l (resp. lim

xf (x) = l), la droite y = l est une asymptote

horizontale de C f . Si lim

xx0f (x) = + (resp. lim

xx0f (x) = ), la droite x = x0 est une asymptote

verticale de C f .

Si limx+

[f (x) (ax + b)

]= 0 (resp. lim

x

[f (x) (ax + b)

]= 0), la droite

y = ax + b est une asymptote oblique de C f .

+ La recherche dune asymptote oblique se fait souvent en utilisant undeveloppement limite (cf. chap. 9).

20 Analyse dans

4.3 Branche paraboliqueSoit f admettant une limite infinie en + (resp. ).

Si f (x)x

admet une limite infinie en + (resp. ), la courbe C f presenteune branche parabolique verticale.

Si f (x)x

admet une limite finie a lorsque x tend vers + (resp. ) et sif (x) ax a une limite infinie, la courbe C f presente une branche paraboliquede pente a.

5.Continuite

5.1 Continuite en un pointf est continue en a si elle est definie en a et si lim

xaf (x) = f (a).

f est continue a droite (resp. a gauche) en a si limxa+

f (x) = f (a)

(resp. limxa

f (x) = f (a)).

5.2 Prolongement par continuite

Soit f une fonction definie sur I et a < I. Si limxa

f (x) = l, la fonction f definie

sur I {a} par f (a) = l et f (x) = f (x) pour x I, est la seule fonction continueen a dont la restriction a I soit f .

On lappelle le prolongement par continuite de f en a.

5.3 Continuite sur un intervalle

Soit E un ensemble qui soit un intervalle ou une reunion dintervalles. Unefonction f , definie sur E, est dite continue sur E, si f est continue en tout pointde E.

5.4 Algebre C(I)Lensemble C(I) des fonctions continues sur I constitue une algebre, cest-a-dire que, si f et g sont des elements de C(I) et un reel, les fonctions f + g,f g et f appartiennent a C(I), et les operations ainsi definies possedent toutesles proprietes algebriques qui caracterisent la structure que lon appelle unealgebre (cf. chap. 26).

An

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3 Limites et continuite 21

6. Image dun intervalle

6.1 Image dun intervalle

Si f est continue sur un intervalle I, alors f (I) est un intervalle.

6.2 Theoreme des valeurs intermediaires

Si f est continue, pour tout y tel que f (a) < y < f (b), il existe c tel que y = f (c).

En particulier, si une fonction f est continue sur [a, b], et si f (a) et f (b) sontde signe contraire, lequation f (x) = 0 admet au moins une solution dans [a; b].

6.3 Image dun segment

Toute fonction continue sur un segment est bornee et atteint ses bornes. Limage dun segment par une fonction continue est un segment.

6.4 Cas dune fonction strictement monotoneSoit f une fonction continue et strictement croissante (resp. decroissante) surun intervalle I.f est une bijection de I sur f (I), et sa bijection reciproque f 1 est continue etstrictement croissante (resp. decroissante) sur lintervalle f (I).Dans un repere orthonorme, les graphes de f et de f 1 sont symetriques parrapport a la premiere bissectrice des axes.

6.5 Continuite et injectiviteToute fonction continue injective sur un intervalle est strictement monotone.La reciproque dune fonction continue et strictement monotone sur un inter-valle est continue.

7. Continuite uniforme

7.1 DefinitionUne fonction f est uniformement continue sur D si :

> 0 > 0 x D x D|x x| 6 = | f (x) f (x)| 6 .

+ Dans cette ecriture logique, depend de , mais pas de x ; dou loriginedu mot uniforme.

La continuite uniforme sur D entrane la continuite sur D.

22 Analyse dans

7.2 Theoreme de HeineToute fonction continue sur un segment est uniformement continue sur ce seg-ment.

8. Fonctions lipschitziennes8.1 Definitions

f est une fonction klipschitzienne, si :x D y D | f (x) f (y)| 6 k |x y| .

Lorsque k < 1 , f est dite contractante .

8.2 Theoreme

f lipschitzienne sur D = f uniformement continue sur D.

An

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an

s4 Fonctions derivables

1. Definitions

1.1 Derivee en un point

Soit f une fonction definie sur D et x0 un element de D tel que f soit definieau voisinage de x0. On appelle derivee de f au point x0 le nombre (lorsquilexiste) :

limxx0

f (x) f (x0)x x0

= limh0

f (x0 + h) f (x0)h

= f (x0).

On dit alors que f est derivable en x0.

Si limxx+0

f (x) f (x0)x x0

existe, f est dite derivable a droite en x0, et cette limite

est appelee derivee a droite de f en x0, et notee f d(x0) .

On definit de meme la derivee a gauche en x0, notee f g(x0).

f est derivable en x0 si, et seulement si, f admet en x0 une derivee a droite etune derivee a gauche egales.

1.2 Fonction derivee

f est dite derivable sur E, si elle derivable en tout point de E.On appelle fonction derivee de f sur E, la fonction, notee f , definie sur E par :x 7 f (x).

1.3 Derivees successives

Soit f derivable sur E. Si f est derivable sur E, on note sa fonction derivee f

ou f (2). On lappelle derivee seconde de f .

Pour n entier, on definit par recurrence la derivee ne, ou derivee dordre n, de fen posant f (0) = f , puis f (n) = ( f (n1)), lorsque f (n1) est derivable sur E.

f est dite de classe Cn sur E si f (n) existe et est continue sur E.f est dite de classe C, ou indefiniment derivable, si f admet des derivees detous ordres.

24 Analyse dans

1.4 Interpretation graphique

f derivable en x0 signifie que le graphe de f admet au point dabscisse x0 unetangente de pente f (x0). Son equation est :

y f (x0) = f (x0) (x x0).

Si limxx0

f (x) f (x0)x x0

= , f nest pas derivable en x0, mais le graphe de fadmet au point dabscisse x0 une tangente parallele a Oy.

1.5 Derivabilite et continuite

Toute fonction derivable en x0 est continue en x0.

+ Attention, la reciproque est fausse. Par exemple, la fonction x 7 |x| estcontinue, et non derivable, en 0, car elle admet une derivee a gauche et unederivee a droite differentes.

1.6 Calcul approche et incertitudes

La definition de la derivabilite de f en x0 permet decrire :

f (x0 + h) f (x0) + f (x0)hpour h petit. Dans les sciences experimentales, on note x la variation hde x, et f la variation f (x0 + h) f (x0) de f . Et on utilise le calcul approcheprecedent pour estimer les incertitudes absolues et relatives :

f (x) f (x)x ; f (x)f (x)

f(x)

f (x)x .

2. Operations sur les fonctions derivables

2.1 Operations algebriques

Si f et g sont derivables en x0, il en est de meme de f + g, de f g, et defg

si

g(x0) , 0 ; et on a :( f + g)(x0) = f (x0) + g(x0)

( f g)(x0) = f (x0)g(x0) + f (x0)g(x0) fg

(x0) =

f (x0)g(x0) f (x0)g(x0)g2(x0)

An

aly

sed

an

s

4 Fonctions derivables 25

2.2 Fonction composee

Soit f une fonction derivable en x0 et g une fonction derivable en f (x0), alorsg f est derivable en x0, et

(g f )(x0) = g( f (x0)) f (x0) .

2.3 Derivee dune fonction reciproque

Soit f une fonction continue strictement monotone sur un intervalle I. On sup-pose que f est derivable en f (x0) et que f (x0) , 0.Alors, la fonction reciproque f 1 est derivable en f (x0) et

( f 1)( f (x0)) =1

f (x0)

2.4 Formule de Leibniz Si f et g admettent des derivees dordre n enx0, alors il en est de meme de f g ; et on a :

( f g)(n)(x0) =n

k=0

(nk

)f (k)(x0) g(nk)(x0) .

2.5 Cas des fonctions a valeurs complexes

Pour une fonction f de R dans C definie par sa partie reelle et sa partie imagi-naire :

f (x) = a(x) + i b(x)

on dit que f est derivable si, et seulement si, a et b le sont et on a :f (x) = a(x) + i b(x)

Les operations algebriques se prolongent. On a le resultat : si est une fonctionderivable a valeurs complexes :

exp()

= exp().

3. Theoremes de Rolleet des accroissements finis

3.1 Condition necessaire dextremum local

Si f admet un extremum local en x0 et si f est derivable, alors f (x0) = 0.

3.2 Theoreme de Rolle

Soit f une fonction continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[, et telle quef (a) = f (b).Alors il existe au moins un point c ]a, b[ tel que f (c) = 0.

26 Analyse dans

. Autre enonceSi f est derivable, entre deux valeurs qui annulent f , il existe au moins unevaleur qui annule f .

3.3 Egalite des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[. Alors il existe aumoins un point c ]a, b[ tel que :

f (b) f (a) = (b a) f (c).

+ Cette egalite, valable pour les fonctions de R dans R, ne se generalisepas aux fonctions de R dans C, ainsi que le theoreme de Rolle.

3.4 Inegalite des accroissements finis

Soit f une fonction continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[.

Si m 6 f 6 M, alors :

m (b a) 6 f (b) f (a) 6 M (b a).En particulier, si | f | 6 K, alors, pour tous x et x elements de ]a, b[,

| f (x) f (x)| 6 K |x x|.Cette inegalite se generalise aux fonctions de R dans C en remplacant la valeurabsolue par le module.

3.5 Limite de la derivee

Si f est continue sur [a, b], derivable sur ]a, b[, et si f a une limite finie l en a,alors f est derivable a droite en a et f d(a) = l.

+ Attention, il sagit dune condition suffisante de derivabilite, mais ellenest pas necessaire. Il peut arriver que f d(a) existe sans que f

ait une limiteen a.

4. Variations dune fonction derivable

4.1 Theoreme

Si, pour tout x I, f (x) = 0 alors f est constante sur I.