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Cours Master IVI 07/01/2013
« Analyse vectorielle de la lumière et codage polarimétrique»
Vincent Devlaminck
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Cours Master IVI 07/01/2013
z
x
y
λ
Composante Ex
Composante Ey
Décomposition du champ électrique d’une onde lumineuse sur une base orthogonale.
x x
y y
E (z, t) A cos( t kz) xE (z, t) A cos( t kz ) y
ωω ε
= − = − +
r rr r
Quelques définitions définitions
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Ellipse de polarisation
Cas particuliers:
ε =0 ou ±π: l’ellipse devient une droite : polarisation linéaire. ε est égal à ±π/2 ; l'ellipse devient un cercle: polarisation circulaireTous les autres cas : polarisation elliptique
On parle d'états purs de polarisation
22y x y 2x
2 2x y x y
E 2E EE cos sinA A A A
ε ε+ − =
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( )( )
x x x x x
y y y y y
x y
(r, t) = E (r, t) i E (r, t) A (r, t) exp i u(t) (t)(r, t) E (r, t) i E (r, t) A (r, t) exp i u(t) (t)
(t) (t) (t)
η βη β
β β ε
%%
+ = − = + = −
− =
Ecriture complexe:
( ) ( )xx
xy y x y
A (r, t)(r, t) = exp i u(t) (t)(r, t) A (r, t)exp i (t) (t)
η βη β β − ÷ ÷ −
Vecteur de Jones instantané
[ ]x 1
y 2
A (r, t) EE(t) = A (r, t)exp i (t) E
ε = ÷ ÷
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Cours Master IVI 07/01/2013
Dans le cas où le champs électrique fluctue aléatoirement
E1 et E2 sont des variables aléatoires
Mesures par une caméra...
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Matrice de cohérence
* *1 1 1 2
* *2 1 2 2
E E E E
E E E E
= ⊗ =
†Φ E E
La matrice de cohérence Φ est la matrice de covariance des composantes Ei du champs électrique complexe
Si stationnaire : ne dépend pas de l'origine des tempsSi ergodique : moyenne d'ensemble ≡ moyenne au cours du temps.
Φ est une matrice hermitienne semi définie positive : ses valeurs propres sont réelles et positives ou nulles.
Dans le cas où le champs électrique fluctue aléatoirement
E1 et E2 sont des variables aléatoires
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Matrice de cohérence
1 0I. polarisation linéaire horizontale
0 0
0 0I . polarisation linéaire verticale
0 1
1 1I . polarisation linéaire à 45° 1 12
1 iI . poi 12
=
− =
Φ
Φlarisation circulaire droite
1 iI . polarisation circulaire gauche i 12
−
Exemple de matrices pour des états purs de polarisation:
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Propriétés de la matrice de cohérence
Comme matrice de covariance: hermitienne semi définie positive
− λ1 et λ2 ses valeurs propres sont positives ou nulles.det(Φ) = λ1 . λ2 ≥ 0 et Tr(Φ ) = λ1 + λ2 = <E1
2> +<E22 > = I ≥ 0
- Il est possible de trouver une base ou la matrice est diagonale.
1 2 1 2
2 2
0 0 00 0 0 0
λ λ λ λλ λ
− = +
1 21 21 2
1 2 1 2
P=0 onde non polariséeP 0 ou 0 P=1 onde complétement polarisée
0 P 1 onde partiellement polarisée
λ λλ λ λ λλ λ λ λ
=− = = =+ ≠ < <
Degré de polarisation:
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Invariants de la matrice de cohérence
1
2
0 1 0 1 0(1 P).I P.I0 0 1 0 0λ
λ = − +
1 22
1 2
1 2
det( )P = 1- 4Tr( )
I Tr( )
λ λλ λ
λ λ
− Φ=+ Φ
= + = Φ
Invariants :
Décomposition d'un état de polarisation (pas unique):
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Vecteur de Stokes:
S0 intensité totaleS1 intensité polar. linéaire HS2 intensité polar. linéaire à 45°S3 intensité polar. circulaire
Condition physique:
Vecteur de Stokes
30 1 2 3
j jj 0 2 3 0 1
S S S iS1 1SS iS S S2 2=
+ − = = + −
∑Φ σ
2 21 20
2 21 1 2
21 2
31 2
E ESS E ES 2 E E cos(ε)S 2 E E sin(ε)
+ − = =
S
( )2 2 2 20 1 2 3det(Φ) S S S S 0= − + + ≥
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31 21 2 3
0 0 0
SS Ss , s , sS S S
= = =
Sphère de Poincaré
Etats purs (P=1) surface de la sphèreOnde non polarisée centre de la sphèreOnde partiellement polarisée: intérieur de la sphère
2 2 21 2 3
20
S S SP 0 P 1S
+ += ≤ ≤
11
12
21
22
Φ 1 0 0 1Φ 1 0 0 -1
Φ 0 1 1 0Φ 0 i -i 0
= =
S L L
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Quelques exemples
Éclairage par lumière polarisée
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Fig. 4.4a: Image radiométrique du circuit imprimé
Fig. 4.4b: Extraction des parties métalliques de l'image
Huile sur métalLaque sur métal
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Cours Master IVI 07/01/2013Quelques exemples
Éclairage par lumière partiellement polarisée
Éclairage par lumière polarisée
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Quelques exemples
Intensité (S0) Composante S1
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2πφ ϕ= ±
2 2
2 2 2
2sin tan n sinDOP( )n 2sin tan
θ θ θθθ θ
−=− +
tan costan sin
1
pn q
θ φθ φ
= = =
r
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Thèse O. Morel,
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Exemple
Images obtenues pour 2 positions orthogonales du polariseur
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Résultats
Solution RGB Solution Multi-FiltresAcquisitions
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Interaction linéaire avec la matière
Considérons d'abord le cas déterministe:
in out1 1in out2 2
E E = J
E E
= =
in out out inE E E E
J : Matrice de Jones du milieu supposé linéaire et déterministe
Ein Eout
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Matrices de Jones
Différence d'absorption suivant les axes: diatténuation JD(0,η)(matériaux dichroïques)
2 1η η η= −
Différence d'indice de réfraction suivant les axes : retardance JR(0,δ)(matériaux biréfringents)
2 1δ δ δ= −
Rotation des axesD DJ (θ,δ) R( θ)J (0,δ)R(θ)= −
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Matrice de Mueller-Jones
Sous l'action d'une matrice de Jones déterministe, un état pur reste un état pur.
( ).= ⊗ = ⊗ = ⊗
=
†† † †out out out in in in in
†out in
Φ E E J.E J E J E E J
Φ JΦ J
11
12
21
22
ΦΦΦΦ
= = ⊗
*S L L E E ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
( )in
in
= ( )
=
= S
.S
= ⊗ ⊗
⊗ ⊗
⊗ ⊗ = ⊗
= ⊗
* *out out out in in
* *in in
* * * -1in in
* -1out
S L E E L JE JE
L J J E E
L J J E E L J J L
S L J J L
( )= ⊗ * -1JonesM L J J L
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Eléments de base
Polariseur linéaire horizontal et vertical
pol pol
1 1 0 0 1 1 0 01 11 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 02 2
0 0 0 0 0 0 0 0
− − = =
H VM M
rot
1 0 0 00 cos2θ sin 2θ 0(θ) 0 sin 2θ cos2θ 00 0 0 1
= −
M
Rotateur d'angle θ
Polariseur linéaire axe orienté en θ
2
2pol
1 cos(2θ) sin(2θ) 01 cos(2θ) cos (2θ) cos(2θ)sin(2θ) 0(θ) sin(2θ) cos(2θ)sin(2θ) sin (2θ) 02
0 0 0 0
=
M
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Eléments de base
dephas
1 0 0 00 1 0 0 0 0 cosφ sin φ0 0 sinφ cosφ
=
−
M
Déphaseur (lame de retard) de ϕ
Deux cas particuliers1 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 10 0 0 1 0 0 1 0
= =− − −
λ λ2 4
M M
pol
1 0 1 01 0 0 0 0(45) 1 0 1 02
0 0 0 0
=
M
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Eléments de base
λ pol4
1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 01 10 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0(45) 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 02 2
0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0
= = − − −
M M
Composition de matrices
0 0 0 2
1 1λ pol
2 240 23 3
S S S S1 0 1 01 1S S0 0 0 0 0(45) S 0 0 0 0 S 02 2
1 0 1 0 (S S )S S
+ = = − − − +
M M
Circulaire droit
cir cir
1 0 0 1 1 0 0 11 10 0 0 0 0 0 0 0(G) (D)0 0 0 0 0 0 0 02 2
1 0 0 1 1 0 0 1
− = = −
M M
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Etats orthogonaux
Génération ≠ Analyse
0 0
polλ4
0 0
0 0 0
polλ4
0 0 0
S S1 0 0 1 010 0 0 0 0 0 0(45) 0 1 0 0 1 0 02
S 0 0 0 0 S 0
S S S1 0 0 110 0 0 0 0 0 0(45) 0 1 0 0 1 0 02
S 0 0 0 0 S S
= = − − = =
M M
M M
Avatar....
cir cir
1 0 0 1 1 0 0 11 10 0 0 0 0 0 0 0(G) (D)0 0 0 0 0 0 0 02 2
1 0 0 1 1 0 0 1
− = = −
M M
Génération = Analyse
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La surface d'interaction est constituée d'un ensemble d'éléments { Ji }
Cas général
i i
1= =∑ ∑i i iI p I p
( ) ( )( )i in
= ( )
=
p .S
= ⊗ ⊗
⊗ ⊗
= ⊗
i i i * i i i i *out out out in in
i i* *i in in
i i i* -1out
S L E E L J E J E
Lp J J E E
S L J J L
out i inp=ii E J E
Ein Eout
Ji
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Une matrice 4x4 est elle une matrice de Mueller?
Matrice de Mueller
( )( )
ii i Jones in
i i
i iJones i Jones
i
ii Jones
i
p p .
= p .
= p .
= =
= ⊗
= ⊗ = ⊗
∑ ∑
∑
∑
iout out
i i* -1
i i* -1 * -1
S S M S
M L J J L M M
M M L J J L L J J L
†1 = 2
=-1 -1M LFL L L
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Cours Master IVI 07/01/2013
Matrice de Mueller
( )
* *0 0 0 1e e
* *1 2 1 3e e 1
* *2 0 2 1e e
* *3 2 3 3e e
j j j j
j j j jPer Per(L L)
j j j j
j j j j
* *0 2 0 3e e
* *1 0 1 1e e
* *2 2 2 3e e
* *3 0 3 1e e
j j j j
j j j jH F M
j j j j
j j j j
−
= = =
* † † avec Per( ) = avec
1
1 2 2
3 4 3
4
jj j j
F = J J J = F j j jj jj j j
j
⊗ = ⊗ =
H est une matrice hermitienne défini positive (covariance) , donc 4 valeurs propres positives ou nulles:
4† †
i i i 1 2 3 4i 1
1 2 3 4
( ) H= S S=diag( , , , )
=
H u u
u u u u=
= λ λ λ λ λ
∑ U U
U
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Cours Master IVI 07/01/2013
Matrice de Mueller pure ou non
Si 3 valeurs propres de H sont nulles :M = Mjones ou encore matrice de Mueller pure
Si deux valeurs propres de H au moins, sont non nulles M n'est pas une matrice de Mueller-Jones mais la somme de Mueller-Jones( jusqu'à 4 termes)
( ) ( )
41 † 1
i i ii 1
4 4† 1 † 1
i i i i i ii 1 i 1
Per( ) Per ( )
Per Per
M L H L L u u L
M L u u L L u u L
− −
=
− −
= =
= = λ ÷
= λ = λ
∑
∑ ∑
† † * u uPer( ) Per avec
u u1 2
3 4
uu u u U U U
= ⊗ = ⊗ =
4* 1
ii 1
M L U U L−
=
= λ ⊗ ∑
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codage polarimétrique
Application à la visualisation 3D
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Effets psychologiques
Vol. 50, No. 34 / APPLIED OPTICS
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Cours Master IVI 07/01/2013
Effets physiologiquesPrincipe : disparité binoculaire
Vol. 50, No. 34 / APPLIED OPTICS
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Cours Master IVI 07/01/2013
Existants
1) 3D TV with LC shutter glasses 240 Hz ultrahigh-definition(UHD, 3840 × 2160)
2) Utilisation de lunettes polarimétiques
Division temporelle (active retarder (AR) or shutter in
panel (SIP))
Division spatiale patterned retarder (PR) :
(Disparité binoculaire et convergence)
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Cours Master IVI 07/01/2013 Autostéréoscopie
Compromis :
Résolution 3D/nombre de points de vue
- Disparité binoculaire- Convergence- Mouvement parallaxe
(La parallaxe est l’incidence du changement de position de l’observateur sur l’observation d’un objet)
Vol. 50, No. 34 / APPLIED OPTICS
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Cours Master IVI 07/01/2013
Position du problème
IG
ID
Mélange
Codage
αIG
αID
Décodages D & G
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Cours Master IVI 07/01/2013
dephas
1 0 0 00 1 0 0 0 0 cosφ sin φ0 0 sinφ cosφ
=
−
M
Déphaseur (lame de retard) de ϕ Rotateur d'angle θ
rot
1 0 0 00 cos2θ sin 2θ 0(θ) 0 sin 2θ cos2θ 00 0 0 1
= −
M
[ ][ ]
2 2
2 2
1 0 0 00 cos (2θ) sin (2θ)cosφ cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin(2θ)sin(φ)0 cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin (2θ) cos (2θ)cos(φ) cos(2θ)sin(φ)0 sin(2θ)sin(φ) cos(2θ)sin(φ) cos(φ)
+ − − + − −
codeurM =
Codeur rot Dephas rotM (θ,φ) M ( θ)M (0,φ)M (θ)= −
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Cours Master IVI 07/01/2013
Polariseurs linéaires à +/- 45°
DDecod Decod
1 0 1 0 1 0 1 01 10 0 0 0 0 0 0 0 = 1 0 1 0 1 0 1 02 2
0 0 0 0 0 0 0 0
− = −
GM M
[ ] 2 2
GDecod codeur
1 cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin (2θ) cos (2θ)cos(φ) cos(2θ)sin(φ)0 * * *0 * * *0 * * *
− +
1M M =2
[ ] 2 2
DDecod codeur
1 cos(2θ)sin(2θ) cos(φ) 1 sin (2θ) cos (2θ)cos(φ) cos(2θ)sin(φ)0 * * *0 * * *0 * * *
− − − − −
1M M =2
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Cours Master IVI 07/01/2013
Lumière circulaire en entrée
[ ]D0 0
DDecod codeur
0
S 1 cos(2θ)sin(φ)S10 *
0 * 2S *
− =
0S*M M = **
Mélangeur élémentaire : S0 = ID+IG
[ ]G0 00
GDecod codeur
0
S S 1 cos(2θ)sin(φ)S10 * *
0 * *2S * *
+ =
M M =
G0 GD0 D
S I1 cos(2θ)sin(φ)S 1 cos(2θ)sin(φ) I
+ =−
=
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Cours Master IVI 07/01/2013
θ = 0 retard seul
Intensités de sortie (Mélangeur élémentaire : S0 = ID+IG )
G0 G G DD0 D D G
S I I I1 sin(φ) φ Arcsin S 1 sin(φ) I I I
−+ = ⇒ = ÷− + =
G G D0 D G G
D G
D G D0 D G D
D G
I I1S (I I )(1 ) I2 I I
I I1S (I I )(1 ) I2 I I
−= + + =+
−= + − =+
G D
D G
I I -1 1 I I
−≤ ≤ ⇒+
π πφ2 2
− ≤ ≤
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Cours Master IVI 07/01/2013
ϕinit = -π/2
G G D
D D G
π1 sin(φ )I I I1 cos(φ)2 φ Arccos πI 1 cos(φ) I I1 sin(φ )2
+ − −−= ⇒ = − ÷+ + − −=
G D
G D
I I1 1 I I
−− ≤ ≤ ⇒+
-π ≤ ϕ ≤ 0
Autre solution : variation de θ
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Cours Master IVI 07/01/2013
G D
G D
I IvI I
−=+
G Du I I= +
I(u) φ(v)ID
IG
Entrées
Modèle avec lunettes
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Cours Master IVI 07/01/2013
Modèle sans lunette (autostéréoscopie)
G D
G D
I IvI I
−=+
G Du I I= +
I(u) φ(v)ID
IG
Entrées
Décodeur D
Décodeur G
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Cours Master IVI 07/01/2013
27 August 2012 / Vol. 20, No. 18 / OPTICS EXPRESS
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Cours Master IVI 07/01/2013
46
Cours Master IVI 07/01/2013
Chemin parcouru par la lumière
27 August 2012 / Vol. 20, No. 18 / OPTICS EXPRESS
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Cours Master IVI 07/01/2013
s T1
2
E 0E = E =
E 0
Quelque soit l'état de polarisation de la lumière d'entrée, elle ne repasse pas la barrière vers l'observateur.
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Cours Master IVI 07/01/2013
27 August 2012 / Vol. 20, No. 18 / OPTICS EXPRESS
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Cours Master IVI 07/01/2013
Imagerie intégrale
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Cours Master IVI 07/01/2013
Bibliographie
Livres
1) - Christian Brosseau, Fondamentals of polarized light: a statistical optics approach, (John Wiley, New York, 1998)
2) - E. Collet, "Polarized light: fundamentals and applications," Marcel Dekker, Inc.,1993.
3) - S. Huard, "Polarisation de la lumière," Masson, 1994
4) - Born, Max, and Wolf, Emil, Principles of Optics: Electromagnetic Theory of Propagation, Interference and Diffraction of Light (7th ed.), Cambridge University Press (1999) ISBN 0-521-64222-1
5) - Felix R. Gantmacher, The Theory of Matrices, (Chelsea Publishing Company, Chelsea, 1984)