variations temporelles séries chronologiques

roch.giorgi@ap-hm.fr

Faculté de Médecine de Marseille, Université de la Méditerranée

Laboratoire d’Enseignement et de Recherche sur le Traitement de l’Information Médicale

Dr Roch GiorgiDr Roch Giorgi

Variations Temporelles–

Séries Chronologiques

Définition

Série statistique ordonnée en fonction du tempsNombre de bronchiolite du nourrissonNombre de séjour pour la prise en charge d’un infarctus du myocarde dans un CHUVente d’un médicament sur des périodes successives

Corrélation entre les termes qui composent la sérieChaque observation dépend statistiquement des observations précédentes

Objectifs

DescriptifIdentifier les différentes sources de variation de la série

Tendance, variations saisonnières, variations accidentelles ou points de rupture

Éliminer les changements systématiques de moyenne et de variance en fonction du temps

Rendre la série stationnaire

ExplicatifModéliser la série pour en comprendre la structure, la comparer à celle d’une autre série

PrédictifPrédire les valeurs future connaissant le passé

Détection d’augmentations inhabituelles, systèmes d’alerte, évaluation d’une intervention

Composantes = Mouvements

Tendance généraleIndique l’évolution du phénomène étudié

Cycles autour de cette tendanceNotion de période

SaisonniersVariations se reproduisant périodiquement à des moments bien déterminés

Accidentels ou résiduelsDus à des facteurs exceptionnels, pour la plupart imprévisibles

Tendance Générale

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

2000 2001 2002 2003

Périodicité – Influence Accidentelle

1 2 3 4

Tendance – Période - Accidents

Prévision

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Variations Temporelles

Soit la série de données temporelles X1, X2, …Modèle additif pour décrire Xt

t t t tX M S U= + +

Mt = variation de la moyenne, tendance, avec tSt = effet saisonnier, qui varie périodiquement avec tUt = fluctuations aléatoires « stationnaires », de moyenne et de variance indépendantes de t

Analyse de la Tendance (1)

Nécessité de disposer d’une série statistique sur une longue périodeVariations régulières à long terme, que l’on peu décrire par une ou plusieurs fonctions continuesReprésentation graphique afin d’avoir une vue globale du phénomène étudiéRéaliser un « lissage » de la courbe

Représentation des moyennes par périodes (années) si les données sont saisonnières (mois, semaines, …)Représentation de Mt par une fonction simple de t

Polynôme : Mt = a0 + a1t + a2t2 + … aptp

Exponentielle : Mt = a0 + a1exp(-βt)

Logistique :( )t

kM =1+exp -βt

Ajuster des polynômes différents mais de même degré à diverses parties de la série

Choisir les n premiers termesY ajuster un polynôme de degré p (p < n)Prédire par ce polynôme la valeur centrale des n premiers termesRecommencer en décalant le tout d’un terme

Correspond au calcul d’une moyenne mobile

Moyennes Mobiles (1)

Construction d’une nouvelle série en calculant des moyennes arithmétiques successives de longueur p fixe à partir des données originales

Chacune des moyennes correspond au « milieu » de la période pour laquelle la moyenne arithmétique est calculée

Ordre 3

t1 t2 t3 t4 … t23 t24 t25 t26

2,2 2,8 2,9 3,5 … 3,8 4,35 3,3 3,8

2,63 3,06 3,10 … 4,10 3,82 3,82

2, 2 2,8 2,93

+ + 3,8 4,35 3,33

Ordre 5

t1 t2 t3 t4 … t23 t24 t25 t26

2,2 2,8 2,9 3,5 … 3,8 4,35 3,3 3,8

2,86 3,12 … 3,84 3,88

2, 2 2,8 2,9 3,5 2,95

+ + + +

Si p est impair (p = 2k + 1) k valeurs sont perdues à chaque extrémitéSi p est pair, les moyennes obtenues ne correspondent pas à une abscisse existante

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26

Données originales MM d'ordre 3 MM d'ordre 5

Lisse la sérieFiltre les variations à court termeLaisse les variations à long terme

( )t1T X =

X +−∑

Plus on prend une échelle grande plus on lisseProblème si l’on cherche a estimer la tendance pour les premiers et derniers points

Ajustement prolongé en se fondant sur moins de pointsEntraîne une plus grande imprécision

Effet sur les Autres Composantes

Soit la série de données temporelles X1, X2, …

t t t tX M S U= + +

( ) ( ) ( ) ( )t t t tT X T M T S T U= + +Avec Mt = MM d’ordre 3

En retranchant la modélisation de la tendance, on a

( ) ( ) ( )t t t t t tX T X S T S U T U− = − + −

Introduction d’autocorrélation

La filtration par une moyenne mobile peut créer une structure autocorrélée artificielle dans les résidus

Stabilisation de la série Xt afin de pouvoir la modéliser (≠ de l’estimer)

1ères différences

1t t tX X X+∆ = −Élimine une tendance linéaireExemple

Xt = bt + c + εt avec E(εt) = 0E(Xt) = bt + c, et donc croit avec t

Mais∆ Xt = Xt+1 - Xt = b + εt+1 - εt et E(∆ Xt) = b, ne dépend plus de t

Et doncXt+1 = Xt + b + ut, avec ut = εt+1 - εt

Effet Saisonnier

Pour une série mensuelle, est défini comme périodique de période 12

St+12=St

avec 12

Analyse de l’Effet Saisonnier (1)

En l’absence de tendanceComparer la moyenne annuelle aux moyennes mensuelles (différence, rapport)

ExempleValeurs trimestrielles : X1 = 12, X2 = 4, X3 = 2, X4 = 4, X5 = X1,…Moyenne annuelle = 5,5Effet saisonnier : S1 = 6,5, S2 = -1,5, S3 = -3,5, S4 = -1,5

En présence d’une tendance (1)Avec les moyennes mobiles

TendancePériode paire (exemple = 12)T(Xt) = 1/12(1/2Xt-6 + Xt-5 + Xt-4 + … + Xt+5 + 1/2Xt+6)Période impaireT(Xt) = moyenne arithmétique sur la période

Effet saisonnierS(Xt) = Xt – T(Xt) ou S(Xt) = Xt / T(Xt)

En présence d’une tendance (2)Modéliser St par une fonction périodique de période 12

2 2cos sin12 12t j j

S a j t b j tπ π=

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑

Désaisonnaliser la série∆12Xt = Xt+12 – Xt

Autocorrélation Temporelle (1)

Soit la série temporelle Xt : x1, …, xn

Étude de la corrélation entre (x1, …, xn-1) et (x2, …, xn)Coefficient d’autocorrélation empirique d’ordre 1

( )( )

x x x xr

− −=

x xn =

= ∑avec

Autocorrélation Temporelle (2)

Coefficient d’autocorrélation empirique d’ordre k (« lag »)

( )( )

x x x xr k

− −= ≥

Autocovariance d’ordre k

( )( )11

1 , 0n k

k t tt

c x x x x kn

= − − ≥∑

Corrélogramme (1)

Graphe de rk en fonction de k (k < n)

Permet de repérer une tendance ou une saisonnalité

Corrélogramme – Données Indépendantes

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Lag(k)

Corrélogramme – Série Stationnaire

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Lag(k)

Série de données

Corrélogramme

Corrélogramme – Série non Stationnaire

xtSérie de données

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Lag(k)

rkCorrélogramme

Corrélogramme – Effet Saisonnier

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16Lag(k)

Corrélogramme (2)

Pour une série stationnaire avec n observations

1 1 2M

Var r rn =

⎡ ⎤+⎢ ⎥

⎣ ⎦∑

Si pour j > M, rj est négligeable

Si les données de la série sont indépendantes, rksuit une loi

Étude des coefficients par rapport àValeur de test statistique

( )N 0, 1 n1,96 n±

Corrélogramme (3)

Lag(k)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

Processus Autorégressifs (AR)

Un processus autorégressif d’ordre p relie une valeur Xt à une combinaison linéaire de son passé

( ) 1 1 2 2AR p : ...t t t p t p tX a X a X a X ε− − −= + + + +

AR p : p

t j t j tj

X a X ε−=

= +∑Où εt est le « bruit blanc » : nul en moyenne (E(εt)=0), série de termes indépendants

ExempleAR(1) : Xt = aXt-1 + εt ; sera stationnaire si |a| < 1

Jusqu’à quel ordre p aller ?

AR: Autocorrélations – Autocorrélations Partielles

Autocorrélation d’ordre kÉtude de la corrélation entre Xt et Xt-k

Décroissent exponentiellement quand K augmente

Autocorrélation partielle d’ordre kÉtude de la corrélation résiduelle entre Xt et Xt-k après prise en compte des valeurs intermédiaires Xt-1, …, Xt-k+1

Sont nulles après un certain décalage

Processus en Moyenne Mobile (MA)

Un processus en moyenne mobile d’ordre q relie une valeur Xt à une combinaison linéaire de bruits blancs (i.e. variables indépendantes)

MA q : q

t j t jj

X b ε −=

=∑( ) 0 1 1MA q : ...t t t q t qX b b bε ε ε− −= + + +

Avec b0=1, εt est le « bruit blanc » : nul en moyenne (E(εt)=0), série de termes indépendants

ExempleMA(1) : Xt = εt + b1εt-1 ; sera stationnaire si |q| ≥ 2

Jusqu’à quel ordre q aller ?

MA: Autocorrélations – Autocorrélations Partielles

Autocorrélation d’ordre kÉtude de la corrélation entre Xt et Xt-k

Sont nulles après un certain décalage

Autocorrélation partielle d’ordre kÉtude de la corrélation résiduelle entre Xt et Xt-k après prise en compte des valeurs intermédiaires Xt-1, …, Xt-k+1

Décroissent exponentiellement quand K augmente

Modèle Mixte AR et MA : ARMA

Généralisation des 2 modèles précédents

( )1 0

ARMA p,q : p q

t j t j j t jj j

X a X b ε− −= =

= +∑ ∑( ) 1 1 0ARMA p,q : ... ...t t p t p t q t qX a X a X b bε ε− − −= + + + + +

Avec b0=1, εt est le « bruit blanc » : nul en moyenne (E(εt)=0), série de termes indépendants

D’une manière formelle, ne fait intervenir qu’un petit nombre de paramètres (principe de parcimonie)

ARMA: Autocorrélations – Autocorrélations Partielles

Autocorrélation d’ordre kSemblables à celles d’un AR(p)Décroissent exponentiellement quand K augmente

Autocorrélation partielle d’ordre kSemblables à celles d’un MA(q)Décroissent exponentiellement quand K augmente

Série Stationnaire – non Stationnaire

Série stationnaireMéthodes

AR(p)MA(q)ARMA(p,q)

Série non stationnaireÉtape 1 : rendre la série stationnaireÉtape 2 : désaisonnaliser la sérieMéthodes

ARIMA(p,d,q) : AutoRegressive Integrated Moving Average

Estimation – Tests – Adéquation

ParamètresAR(p) : aj

MA(q) : bj

ARMA(p,q) : aj et bj

…Procédures algorithmiquesTests statistiques

Maximum de vraisemblanceÉcart réduit

Examen des résidusÉcart entre prédit – observéBruit blanc

Prévision

A relativement court terme

Basée sur la modélisation de la série

En supposant que la meilleure prédiction des erreurs futures est 01 2ˆ ˆ, ,...n nε ε+ +

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