universit´e claude bernard lyon 1 exercice 1: un outil
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Universite Claude Bernard Lyon 1 Licence Sciences et TechnologiesMathematiques
Analyse 1 - Automne 2015Serie d’exercices 3/6Autour des limites
Exercice 1 : un outil utile : les equivalentsDefinition : soit I un intervalle, soit f et g deux fonctions definies au moins sur cet intervalle ; soit aune borne de I (finie ou infinie). On dit que f(x) et g(x) sont equivalents quand x tend vers a lorsquef(x)/g(x) → 1 quand x → a. On ecrit alors “f(x) ∼ g(x) quand x tend vers a”, ou de facon plus concise“f(x) ∼a g(x)” voire “f ∼a g”.1) (Quelques exemples faciles.)a) Montrer :i) x2+x ∼ x2 quand x → +∞ ii) x2+x ∼ x quand x → 0 iii) 5x3+7x+8 ∼ 5x3 quand x → −∞
iv)√x+
√x+ 1 ∼ 2
√x quand x → +∞.
b) Inventer un equivalent tres simple de 5x3 + 7x+ 8 quand x → 0.2) (Un peu de theorie, mais rien de bien mechant.)On suppose f1 ∼a f2 et g1 ∼a g2. Montrer que :a) Si lima f2 = l (limite finie ou infinie) on a aussi lima f1 = l ;b) f1g1 ∼a f2g2 c) f1/g1 ∼a f2/g2 d)
√f1 ∼a
√f2
3) (Un tellement utile qu’il merite d’etre memorise.)Montrer que sinx ∼0 x.(Ce sera bien difficile sans indication... Peut-etre trouverez vous si on vous suggere de demarrer en faisantla remarque suivante : pour tout x reel non nul,
sinx
x=
sinx− sin 0
x− 0.)
4) (Une application du precedent.)
Montrer que 1− cosx ∼0x2
2.
(Indication la encore : on pourra remarquer que cosx = cos[2(x
2
)
].)
5) (Quelques mises en garde contre des pieges classiques.)a) A-t-on sinx ∼+∞ x ?(Moralite : la formule “bien connue” sinx ∼ x est a memoriser sans oublier le “quand x → 0”).
b) A-t-on sinx ∼0 x+x2
2? A-t-on sinx ∼0 x−
x2
3?
(Moralite : quand on ecrit un equivalent “complique” c’est peut-etre juste, mais ce n’est jamais intelligent.Il vaut mieux s’en dispenser).
c) A-t-on 1 ∼0 1 +x2
5? A-t-on − cosx ∼0 −1 +
x2
5? Obtient-on un resultat juste si on additionne ces deux
informations ?(Moralite : on commence par repeter celle du b), et on ajoute qu’il est strictement defendu d’additionner -ousoustraire- des equivalents).d) A-t-on x+ 1 ∼ x quand x → +∞ ? A-t-on ex+1 ∼ ex quand x → +∞ ?
Exercice 2 : limites de fonctions polynomiales et de fonctions rationnellesCalculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :
1) limx→+∞
x5 + x3 + 4 2) limx→+∞
x5 − x3 + 4 3) limx→+∞
2x3 + 16
x3 − 84) lim
x→2+
2x3 + 16
x3 − 8
5) limx→+∞
x3 − 1
x2 − 16) lim
x→1−
x3 − 1
x2 − 17) lim
x→1+
(
1
1− x−
1
1− x2
)
.
Exercice 3 : limites utilisant les comparaisons exp/puissances/logCalculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :
1) limx→+∞
ex + x+ lnx 2) limx→0+
ex√x
3) limx→+∞
ex√x
4) limx→+∞
lnx
ex5) lim
x→+∞
ex − x+ lnx 6) limx→0+
√x ln3 x.
Exercice 4 : limites avec de la trigonometrie dedansCalculer, lorsqu’elles existent, les limites suivantes :
1) limx→0
tanx
x2) lim
x→0
sin(2x)
sin(3x)3) lim
x→0+
sin(2x)√x
4) limx→1/2
cos(πx)
1− 2x5) lim
x→1/2(2x2 + x− 1) tan(πx).
Exercice 5 : quelques exemples en vrac, dont certains demandent un peu d’ingeniosite
1) limx→+∞
√
x2 + 2x+ 5 + x 2) limx→−∞
√
x2 + 2x+ 5 + x 3) limx→+∞
ln(x + 1)
lnx4) lim
x→0
ln(sin(3x))
ln(sin(2x)).
Exercice 6 : la methode des “gendarmes”
1) Montrer quecos(ex)
x2tend vers 0 quand x tend vers +∞.
2) Montrer que E(x) ∼ x quand x → +∞ (la notation E designe la fonction partie entiere).3) Si elle existe, determiner la limite de
√x− ln5 x+ sin3 x quand x tend vers +∞.
4) Si elle existe, determiner la limite de tE(1/t) quand t tend vers 0.
5) Si elle existe, determiner la limite deu2 sin(1/u)
sinuquand u tend vers 0.
Exercice 7 : une limite qui n’existe pas !1) On va montrer par l’absurde que lim
x→+∞
sinx n’existe pas. Pour ce faire, on suppose qu’elle existe et on la
note l. En introduisant les suites (an) et (bn) respectivement definies par an = sin(2nπ) et bn = sin(2nπ+π
2),
montrer que l = 0 et l = 1 et conclure a une contradiction.2) En s’inspirant de la preuve du 1), montrer le resultat suivant : si une fonction de R vers R est periodiqueet admet une limite en +∞, alors elle est constante.
Exercice 8 : quelques “defis” en fin de feuille1) Montrer que si f(x) → +∞ quand x → +∞ et f ∼+∞ g, alors ln(f(x)) ∼+∞ ln(g(x)).
2) Donner un equivalent raisonnablement simple de e(x+ln x
x+ 3
x)2 quand x tend vers +∞.
3) Montrer que 3√1 + h−1 ∼
h
3quand h tend vers 0. En deduire un equivalent simple de 3
√x3 + x−x quand
x tend vers +∞.4) Trouver un equivalent simple quand x tend vers +∞ de :
√
x−
√
x−√x−
√
x−√x.
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