transmaths terminal s correction chap 4
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8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
1/16
Chap. 4 La fonction exponentielle 45
chapitre
4 La fonction exponentielle
1. a) Pour tout point M la tangente coupe laxe desabscisses doncf(x0) 0.b)y f(x0) =f(x0) (x x0).c) (T) coupe laxe des abscisses poury = 0
etx =x0 .
2. a) quivaut abscisse de est 1
donc = 1 dof(x0) =f(x0).
b) Il en rsulte que fconvient si et seulement sif =f.
1.f =f(t0) + f(t0) =f(t0)
etf(t0) =y0 = 1 doy = 1 + .
2. a) f(tk) + f(tk) or f(tk) = f(tk)
donc =f(tk) .
On choisityk + 1 =yk .
b) Par rcurrence il est vident queyk= .
1. Pour tout relx, f(x0 +x) =f(x0) f(x) = 0 .Donc pour tout rel X, f(X) = 0 .2. a)f(x + 0) =f(0) f(x) , donc f(x)[1 f(0)] = 0pour tout relx. Il en rsulte que f(0) = 1 .
b)f =f(x) ,
donc pour tout rel X, f(X) > 0 .3. a)g est drivable sur et pour tout rely,
g(y) =f(x +y) =f(x)f(y) .b) Il en rsulte que f(x) =f(0)f(x) = af(x) aveca =f(0) .c)f(x) = keax et f(0) = 1 donc k = 1 .
4. ea(x+y) = eax eay donc f(x +y) =f(x) f(y) .
1. a)f(x) = ex 1.
Daprs le tableau de variations :
Pour tout relx :f(x) 0 donc (1 +x) ex (1)
Pour tout relx < 1, 1 x < ex
, 1 x > 0 et ex
> 0donc ex (2).
2. a)x = avec 0
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8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
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46
1. a)g(x) = ex
= ex < 0.
Doncg(1) < 1.On dmontre de mme que h est croissante sur[0 ; 1] et que h(1) > 1.
2. Il rsulte alors de ltude prcdente que
e 1 < 1 et
e 1 > 1 donc
1 + + + < e < 1 + + + + + (4)
1. n! + n! + + 1! < n! e < (n! + n! + + 1) + 1.En posant an = n! + n! + + 1 il en rsulte que
an < n! e < an + 1.
2. a) Si q n alors q divise n! donc est un
entier. Or est strictement compris entre deux
entiers conscutifs donc qn est impossible.b) Il rsulte que quel que soit n > 1, q > n. Ce quiest impossible donc e est irrationnel.
1. Il reste A .
2.
3. partir de la troisime injection.
1. b > 0 donc 1 + be kt> 0 pour tout rel t.2. f(t) = a et f(t) = 0.
3.f(t) =
Pour a = 3, b = 2 et k = 1.
On a la fonctionf: t .
1. a)x(t) = kx(t) + 1 000k quation du typey = ay + b donc les solutions sont :
f: te kt+ 1 000.b) 40 = + 1 000 donc k = 960. Il en rsulte quef(t) = 960e kt+ 1 000.f(1) = 160 donc 160 = 960e k + 1 000 soit e k =
f(5) = 960(e k
)5
+ 1 000 = 960 + 1 000.Soitf(5) 508.
2. Mise en mouvement dun canot :
mv = rv + F ou v = v + donc
v(t) = .
v(1) = F donc 1 = soit =
donc v(t) = .
La vitesse limite du canot est .
y y = .
1. h(x) =
donc h(x) h(x) =
donc h est solution de (E).
x 0 1
g (x)
g(x)1
TD 3
2 1 x x2
2!----- x
n 1
n 1( )!------------------- 1+ + + +
xx
2
2!----- x
n
n!-----
xn
n!-----
1 11!-----
12!----- 1
n!-----+ + + +
111!-----
1n!-----
1n!-----+ + + +
11!-----
1n!-----
11!-----
12!-----
1n!-----
1n!-----
3
n!p
q---------
n!p
q---------
1 e
13---
O 8 16 24 32 40 48 56 64
A = 2
2,2A
(heures)
Quantit de mdicament dans le sang
t
2
t + lim
t lim
t 0 +
f(t) +
f(t)0
a
TD 4
akbe kt
1 be kt+( )2
-------------------------------
a
1 b+-----------
3
1 2e t+---------------------
1O
3
3
78---
7
8--- 5
r
m-----
Fm-----
e
r
m----- t F
r---+
e
r
m----- F
r---+ e
r
m-----
1Fr---
e
r
m-----
1 Fr--- e
r
m----- t
Fr---+
Fr---
1 ex
x2
-----
ex x 1( )
x2
----------------------
e
x
x----- e
x
x----- e
x
x2-----+ e
x
x2-----=
-
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Chap. 4 La fonction exponentielle 47
2.g solution de (E) si et seulement si g g =
soitg1 g1 + h h = .
Or h h = doncg1 g1 = 0.
3.g1(x) = ex.
4.g(x) = ex + .
1. h(x) = ax2 + bx + ch(x) = 2ax + b
h(x) + h(x) = ax2 + (b + 2a)x + c + b=x2 +x
do a = 1, b = 1 et c = 1 soit h(x) =x2 x + 1donc les solutions sont donnes pour tout rel xparf(x) = ex +x2 x + 1.
2. h(x) = a sinx + b cosxh(x) + h(x) = (b a) sinx + (a + b) cosx = 5 cosx
do a + b = 5, b a = 0, b = = a
et h(x) = (cosx + sinx)
etf(x) = e2x + (cosx + sinx).
a) ex b) e 3 c) 1 + e 2x
d) e2 x e) e4x f) e2y
1. [g(x)]2 [h(x)]2 = [g(x) + h(x)] [g(x) h(x)]soit ex ex = e0 = 1.
2. 2[g(x)]2 1 = 1 =g(2x).
2g(x)h(x) = (e2x e 2x) = h(2x).
Corrig dans le manuel.
Corrig dans le manuel.
a) 2ex(ex + 2) = 1 soit 2 + 4ex = 1.4ex = 1 pas de solution.b)x = 2.
a) ex + 1 = quivaut pourx 0 x2 +x 2 = 0soitx = 1 oux = 2.
b) Sinx = sin dox = + k2 oux = + k2.
a) Lquation quivaut x2 +x 6 = 0soitx = 3 oux = 2.b) Lquation quivaut x2 x + 2 = 0 donc pas desolution.
a) e 2 dox2 2 vrai pour tout relx.
b) Lquation quivaut x3 x 6 0ou (x 2) (x2 + 2x + 3) 0 doncx ] ; 2]carx2 + 2x + 3 > 0 pour tout relx.
a) Linquation quivaut e2x 1.Soit 2x 0 etx ] ; 0].b) (ex 1) (ex 1) > 0 doncx{0}.
Corrig dans le manuel.
Corrig dans le manuel.
f(x) = ex .
f(x) = .
f(x) = ex[2 cosx].
f(x) = .
f(x) = 2x 2xex = 2x(1 ex).
1.f(x) = (ex ex) =g(x).
g(x) = (ex + ex) =f(x).
2. h(x) = .
Or [f(x)]2 [g(x)]2 = 1 (voir corrig exercice 2)
et h(x) = ou h(x) = .
ex
x2
-----
ex
x2
-----
ex
x2
-----
ex
x-----
2
52---
52---
52---
Corrigs des exercices
Matriser le cours (page 101)
1. La fonction exponentielle
1
2
e2x e 2x 2+ +2-----------------------------------
12---
3
4
5
6 e
2x---
6---
6---
56
------
7
8 ex2
2. tude de la fonction exponentielle
9
10
11
121x---
1
x2
-----
133ex
2ex 1+( )2
-------------------------
14
15ex 1 x( )
ex x( )2----------------------
16
1712---
12---
g x( )f x( ) g x( )f x( )
f2
------------------------------------------------------f x( )[ ]2 g x( )[ ]2
f2
------------------------------------------=
1
f2
x( )-------------
1
f2
-----
-
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48
1.f(0) = 2 etf( 2) = 0 donc 2 = bet 0 = ( 2a + b)e2 donc 2a = b = 2 ; a = 1 et b = 2.Ainsi pour tout relx,f(x) = (x + 2)ex.2.f(x) = (x 1)ex et A a pour coordonnes ( 1 ; e).
a)f1 :x ex 2. La courbe 1 est dduite de par la
translation de vecteur 2zj.b)f2 :x 1 e
x.2 se dduit de par la symtrie parrapport laxe des abscisses suivie de la translation devecteur zj (cest--dire la symtrie par rapport la
droite dquationy = ).
c)3 = 2 six < 0 et 3 est la symtrie de 2 par rap-port laxe des abscissesx > 0.
Corrig dans le manuel.
; = + ;
= 0.
= 0.
= 1.
= + = 1.
Corrig dans le manuel.
f(x) = 2 donc
= + .
= 1 = 1= 0 = + .
1.f(x) (x 1) = e 2x et e 2x = 0 donc la
droite dquationy =x 1 est asymptote .
2. e 2x > 0 pour tout relx donc est au-dessus de ladroite d.
f(x) x 1 = 4ex et 4ex = 0 donc la
droite dquationy =x + 1 est asymptote la courbe.
f(x) x 2 =xex xex = 0
donc la droite dquationy =x + 2 est asymptote lacourbe .
1. = 2 et = 3 do le
rsultat.
2. a)f(x) =
doncf(x) = .
Corrig dans le manuel.
1. a) = + = + .
b)f(x) +x = ex et ex = 0
donc la droite d est asymptote oblique en .
2.f(x) = ex 1.
3. Des limites importantes
18
19
1
2
1
3
()
2 = 3 ji
O
e
2
1
12---
20
21 f x( )x 0lim 1
2---= f x( )
x + lim
f x( )x
lim
22 f x( )x +
lim
23 f x( )x +
lim 12---= f x( )
x lim
24 f x( )x +
lim f x( )x
lim
25
26e2x 1
2x----------------- f x( )
x 0lim 2=
f x( )x +
lim
27
f x( )x lim f x( )x + limf x( )
x 0lim f x( )
x 0+lim
b) x +
f(x) +
f(x) 3
2
x 0 +
f(x) 0 +
f(x)+
1+
28 x +
lim
29 x +
lim
30 x
lim
31 f x( )x +
lim f x( )x
lim
2ex ex 1+( ) 2ex 3( )ex
ex
1+( )2
---------------------------------------------------------------
5ex
ex 1+( )2
----------------------
1
d
O
2
3,
1
32
33 f x( )x +
lim f x( )x
lim
x
lim
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
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Chap. 4 La fonction exponentielle 49
1. = + = .
2. a)f(x) (x 1) = et = 0
do le rsultat.
b)f(x) (x + 3) = et = 0
do le rsultat.3.f(x) = 1 .
f(x) = .
1. = + = + .
2.f(x) = ex 1.
3. a)fbijection de ] ; 0] sur [ 1 ; + [ donc il existe unique de ] ; 0] tel quef() = 0.De mme pour dans [0 ; + [.
f( 1 ; 9) e 1,9 0,1 0,14f( 1,8) e 1,8 0,2 0,03donc 1,9 < < 1,8.Mme chose pour 1,1 < < 1,2.b) Il rsulte quef(x) < 0 pourx ] ; [.
1. = 0 et =
f(x) = (2 x)ex
do le tableau avecf(2) = e2.
2. Si m > 0 et m < e2 on a deux solutions et m > e2 zrosolution.
f(x) = .
f(x) = 2ex 1[x].
f(x) = esinx [cos2x sinx].
Corrig dans le manuel.
1. a)x + et xx sont drivables sur]0 ; + [.
b) Pour toutx > 0,f(x) = .
2.f(0) = 0 et .
= 1 doncfest drivable enx = 0.
a)f( x) = = f(x) donc f est paire et admet laxe des ordonnes pour axe de symtrie.
b)f(x) = 2x .
x 0 +
f(x) + 0 +
f(x)
+
x 0 +
f(x) 0 +
f(x)+
1+
1
d
O
1
34 f x( )x +
lim f x( )x
lim
4
ex 1+-------------- 4
ex 1+--------------
x + lim
4ex
ex 1-------------- 4e
x
ex 1--------------
x lim
4ex
ex 1+( )2
----------------------
ex 1( )2
ex 1+( )2
----------------------
O 1
d
3
3
(, )
1
35 f x( )x +
lim f x( )x
lim
0 0
4. Des fonctions x eu(x)
x 0 +
f(x) 0
f(x)1
0
36 f x( )x
lim f x( )x +
lim
O
3
2
e2
37 e
1x--- 1
x
--- 1+
38
39
40
41 e x
x
2------- 1+
e
x
f x( ) f 0( )x
-------------------------- e x=
e xx 0lim
42 e x2
e x2
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
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50
f(x) = 2e2x 2ex = 2ex(ex 1).= 0 et = + .
1.f1(x) f2(x) = ex[1 sinx].
sinx = 1 sur [0 ; ] x =
donc un seul point commun A .
2.f(x) = ex f2(x) = ex ( sinx + cosx)
f1 =f2 = donc les deux courbes ont une
tangente commune en A.
a)f(x) = e3x. b)f(x) = e 2x.
a)f(x) = . b)f(x) = .
1.f(x) = e2x
.2.f(0) = 1 = 1 doncf(x) = e2x.
Corrig dans le manuel.
f(x) = f(x) f( 2) =
doncf( 2) = 1.
f(x) = et 1 = e
donc = e 1 etf(x) = .
f(x) = e 2x f = e = 1
do = e 1 et u :x e 1 2x.
a)f(x) = e2x . b)f(x) = + 2.
c)f(x) = + . d)f(x) = + 1.
f(x) = e 3x.1.f(0) = 1 do k = 1 etf(x) = e 3x.2.f(0) = 3 doncf(0) = 1 et = 1 doncf(x) = e 3x.
Corrig dans le manuel.
f(x) = 6e 3x doncf(x) = 3f(x).
f(x) = 6e 2x dof(x) = 2f(x) 8.
1. a)f(x) x + 2 = ex, ex = 0 donc la
droite d est asymptote en + .
b)f(x) (x 2) = ex > 0 donc est au-dessus de d.2. = = +
f(x) = 1 ex
f(x) 0 si et seulement si ex 1 ou x 0doncx 0 f(0) = 1.3.fest une bijection de ] ; 0] sur [ 1 ; + [donc 0 a un antcdent unique dans ] ; 0],de plusf( 2) = e2 4 > 0 etf( 1) = e 3 < 0donc 2 < < 1.De mmefest une bijection de [0 ; + [ sur [ 1 ; + [donc 0 a un antcdent unique dans [0 ; + [.f(1) = 1 + e 1 < 0 f(2) = e 2 > 0donc 1 < < 2.
I() =
I() > 0 si < et I() < 0 si >
donc I() est maximale pour 0 =
et I(0) = e 5 = .
Corrig dans le manuel.
y = y +g.
Les solutions dans sontf() = .
Orf(0) = 0 donc = et v(t) = .
1. a)f(x) (2x 2) = (1 x)ex.(1 x)ex = 0 donc la droite
est asymptote .
b)f(x) (2x 2) = (1 x)ex six < 1f(x) > 2x 2 donc est au-dessus de .
x 0 +
f(x) 0 +
f(x)+
1+
5. quations diffrentielles
O 1
1
43
f x( )x
lim f x( )x +
lim
O
1
44
2---
2--- ; e
2---
2---
2--- e
2---
45
46 e32---x
e53---x
47
48
4912---
12---
e12---x
e12---x 1
50 12---
6. Applications
5112--- e
13---x
e23---x 1
2--- e
12---x
52
53
54
55
56 x +
lim
f x( )x +
lim f x( )x
lim
57 eK---- K
7-----
5
6----- e
K---- K 5
7-----------------=
K5----
K5----
K5----
55
K
5-------
5Ke--------
5
58
59k
m-----
ek
m----- t gm
k--------+
gm
k--------
gm
k-------- 1 e
k
m----- t
60
x +
lim
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
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Chap. 4 La fonction exponentielle 51
2. a)f(x) = 2 + ex[x 1 1] =xex + 2 (1 ex).b) Six 0 ex < 1 doncf(x) 0.c)f(0) = 0.
3. La tangente en A dabscisse a est parallle si et seulement sif(a) = 2.Soit ae a + 2 2e a = 2soit e a(a 2) = 0 donc a = 2et A a pour coordonnes (2 ; 2 e 2).
Tangentes une courbe issues dun pointLes outils :G tude dune fonction.G quations de droites.Les objectifsG Savoir traduire un problme par un problme quivalent.G
Savoir utiliser un tableau de variations.1. a)f(x) (x 1) = ex ex = 0
donc la droite dquationy =x 1 est asymptote en .b)f(x) = 1 ex.
Du tableau il rsulte quef(x) 2.
2. a) M0(x
0;f(x
0)) etf(x
0) = 1 do lquation
de :y x0 + 1 + = (1 ) (x x0)
doy = (1 )x 1 + (x0 1).b) O (x0 1) = 1 (1).
3. a) (x) = + (x) = 1.
b) (x) =xex.
4. a) Pour toutx 0, (x) < 0. De plus est une bijec-tion de ]0 ; + [ sur [ 2 ; + [ donc 0 a un antcdentunique .
b) (1) = 1(2) = e2 1 > 0donc ]1 ; 2[ 1,28.
Famille de fonctions et lieu gomtrique
Les outils :
G tude dune famille de fonctions.
G Dfinir analytiquement un lieu gomtrique.
Les objectifs
G Savoir dterminer un lieu gomtrique.
1. (x + m1)ex (x + m2)e
x = (m1 m2)ex.
Donc si m1m2.(m1 m2)e
x 0 donc les courbes et nontpas de point commun.
2. a)fm(x) = ex(x m + 1).
b) Pour tout rel m, Im a pour coordonnes(1 m ; em 1).
3. a)x = 1 m,y = em 1 doy = ex.
b) Ainsi Im appartient la courbe dquationy = ex.
4.x = 1 m donc lorsque m dcrit,x dcrit. On en
dduit alors que Im dcrit toute la courbe ().
= ; = ;
= 0 ; = + .
f(x) = ;
x 0 0 +
f(x) 0 +
f(x) 1
+ 0
Apprendre chercher (page 105)
x 0 +
f(x) + 0
f(x)
2
x 0 +
(x) 0 +
(x) 1
2
+
61
x
lim
ex0
Tx0ex0 ex0
ex0 ex0
Tx0 ex0
x +
limx
lim
0
62
m1m2
Pour progresser (page 106)
tudes de fonctions
63 f x( )
x +
lim1e--- f x( )
x
lim1e---
f x( )x 1+
lim f x( )x 1
lim
x 1 +
f(x) + +
f+
0
21 x( )2
------------------- e1 x+1 x------------
1
e---
1
e---
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
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52
= 0 .
1. = + ; = 1 ;
= ; = + .
2.f(x) = ex < 0 ;
1.f(0) = 1 g(0) = 1.La courbe associe g est celle qui prsente un maxi-mum au point de cordonnes (0 ; 1).2. a) h(x) =f(x) g(x) = 1 ex +xex
= 1 (1 x)ex = 1 g(x).
3. a)f(x) =g(x) si et seulement si h(x) = 0.
Or h(x) = 0 sannule pour une seule valeur delintervalle ]0 ; + [. Or h(1) = 1 e < 0 et h(2) = 2 > 0donc ]1 ; 2[.
b) 1,5 < < 1,6.
1. f0(x) = 1 et f1(x) = 0 do lescourbes.
2.f0(x) +f0(x) = = 1 donc A est centre
de symtrie de 0. On dmontre de mme que A est
centre de symtrie pour 1.
3.f0(x) = =f1(x)
donc laxe des ordonnes est axe de symtrie.4. a)f0(x) +f1(x) = 1.b)1 est donc limage de 0 par la rflexion daxe la
droite dquationy = .
1. La tangente en A a pour quationy =x + 1
et () est au-dessus de cette tangente donc pour toutrel u, euu + 1 (1).
2. a) En posant u = x daprs (1)ex x + 1 soit ex +x 1 0.
ex > 0 donc1 ex(1 x)
soit 1 + (x 1)ex 0 (2).
3.f(x) = . En tenant compte de (2),
f(x)
0 et la fonctionfest strictement croissante sur]0 ; + [.
1. a)f(x) (x 1) = ;
f(x) (x + 1) = .
b) = + ; = .
c) [f(x) (x 1)] = 0 et [f(x) (x + 1)] = 0.
Donc les droites 1 et 2 sont asymptotes respec-
tivement en et + .d) Au voisinage de + , est au-dessus de 2 et auvoisinage de , est en dessous de 1 .
x 1 +
f(x)
f+
+
1
b) x 0 +
h(x) + 0 +
h(x)
+
f x( ) f1( )x 1
------------------------
x 1+lim
O 1
1
e
x
y
f 1e
64 f x( )x
lim f x( )x +
lim
f x( )x 1
lim f x( )x 1+
lim
21 x+( )2
-------------------
O 1
1
2
1
1x
y
65
2
66 G x +
limx +
lim
1 ex+
1 ex+-------------- 0 ; 1
2---
e x
1 e x+------------------
1
1 ex+--------------=
12---
67 G
O 1
A
d
1
e
(/ )
1 ex x 1( )+
x2
--------------------------------
68 G xex 1
ex 1+-------------- x 1+ 2
ex 1+--------------=
ex 1
ex 1+-------------- 1 2 e
x
ex 1+--------------=
f x( )x +
lim f x( )x
lim
x +
limx
lim
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
9/16
Chap. 4 La fonction exponentielle 53
2. a)f(x) =
= f(x) ,doncfest impaire.
b)f(x) = > 0 .
La tangente en x = 0 a pour coefficient directeur .
3.
4. fest strictement croissanteetf(]0 ; + [) = ]0 ; + [.
1,6 < < 1,7 .1.f(x) = et = 1 .
2. a) t(x) = ;
= X et t(X) = (X + X2 + X3) ;
X = + donc = 0 .
b) Doncfest drivable en 0 et le nombre driv en cepoint est 0.
3. a)f(x) = .
c)
1. a) = + ; = + .
2.f(x) = .
4.
1. a)g(x) = ex 1.Pour tout relx,g(x) 0 donc ex x 1.
b) ex x 0 doncfest dfinie sur .
2. a) = 0 = 1.
b)f(x) = .
c) T a pour quationy =x
f(x) x =
Pourx 0, est au-dessus de T et pourx > 0, est endessous de T.d) Trac de T et .
x 0 +
f(x)
f 0+
b) x 0 1 +
f(x) 0 + 0
f0 1
xe x 1e x 1+----------------- x
1 ex1 ex+--------------+=
1 2ex
ex 1+( )2----------------------
e2x 1+
ex 1+( )2----------------------=
12--- +
1
12---
O 1
1
x
y
T
1
2
69 G 1 1x---
1
x2-----+ +
e1x---
f x( )x +
lim
x2 x 1+ +x3
------------------------ e1x---
1x---
1eX------
x 0+lim tX( )
X + lim
e1x--- 1
x2-----
1
x3-----
1
x4-----
1
x2-----
2
x3-----+ +
1 x
x4------------ e
1x---
=
3
e---
O 1
1
x
y
3e
3. x 1 1 +
f(x) 0 +
f+ +
x 0 +
g(x) 0 +
g(x)+
0+
x 1 +
f(x) + 0
f(x) 1 0
70 G f x( )x 1
lim f x( )x +
lim
ex 1 x+( )2 2ex 1 x+( )x 1+( )4
----------------------------------------------------------ex x 1( )x 1+( )3
----------------------=
e
4---
O 11
1
x
y
e4
71
f x( )x + lim f x( )x lim
ex 1 x( )
ex x( )2
----------------------
1
e 1----------
xg x( )
ex x----------------- Org x 0,donc ex x > 0.
1
T
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
10/16
54
A. 1. = + , car si = X ,
f(x) = et = + .
= + .
2. a) =f(x) x 1 .
b) [f(x) x 1] = 0 , car = 1 .
Donc la droite dquation y =x + 1 est asymptote en + .
3. Pour tout rel x > 0 , f(x) = ;
B. 1. = ; = 0 .
3. a) ; = 0 .
b) Doncg est drivable en zro et le nombre driven ce point est zro.
4.
1. a) M0 a pour coordonnes (x0 ; x0)
etf(x0) = 1. Donc a pour quation
y = ( 1)x + (1 x0).
b) A 0 = 1 + (1 x0)
soit (2 x0) = 1 (1)
2. a) (x) = ex(1 x).
b) (x) = 1 pour deux valeurs et dexavec 1,2 < < 1,1 et 1,8 < < 1,9.
3. On peut donc mener deux tangentes passantpar A.
1. a) M a pour coordonnes (m ; em) et N apour coordonnes (m ; e m) donc I a pour coordon-
nes .
b)y = .
c) I est un point de la courbedquationy = .
Or lorsquon dcrit ,x = m dcrit donc () = ().
2. a)f(x) = .
b) Les tangentes T1 en M 1 et T2 en N 2 ont res-pectivement pour quations :
y = emx + em(1 m) ety = e mx + e m (1 + m).Leur point dintersection P a pour coordonnes
.
Il en rsulte que a pour coordonnes
.
Ce vecteur est colinaire au vecteur de coordon-
nes .
Orf(m) = (em e m) donc (IP) est la tangente en I ().
1. a) Mm a pour coordonnes (m ; em) et Pm a
pour coordonnes (m ; m). La tangente en Mm apour quation y = em(x m) + em donc Nm a pourcoordonnes (0 ; em(1 m)).Donc Gm a pour coordonnes
soit . (1)
x 0 1 + f(x) 0 +
f+
e+
c) x 0
g (x) +
g
0
72 G f x( )x 0+
lim 1x---
eX
X------ fX( )
X + lim
f x( )x +
lim
e1x---
1
1x---
--------------
1
xe
1x---
x
1
=
x +
lime
1x---
11x---
--------------x +
lim
e1x--- 1
x--- e
1x---
e1x--- x 1
x------------
=
f x( )x
lim f x( )x 0
lim
g x( ) g 0( )x
-------------------------- e1x---
= e1x---
x 0lim
O 1
1
e
x
y
73GG ex0
ex0 Tx0ex0 ex0
Tx0 ex0 ex0
ex0
x 1 +
(x) + 0
(x)0
e
x 0 +
f(x) 0 +
f(x)+
0+
74GG
m ;em e m+
2------------------------
ex e x+2
---------------------
ex e x+
2
---------------------
ex e x+2
---------------------
m em e m
em e m+---------------------- ; 2
em e m+----------------------
IP
em e m
em e m+---------------------- ; e
m e m( )2
2 em e m+( )-------------------------------
u
1 ;em e m
2---------------------- 12---
75GG
m
2----- ; 1
4--- m em em 1 m( )+ +[ ]
m
2----- ; 1
4--- m em 2 m( )+[ ]
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
11/16
Chap. 4 La fonction exponentielle 55
b) De (1) on tire m = 2x
doncy = [x + e2x(1 x)].
2. a)f(x) = [1 + e2x(1 2x)]
f(x) = 2xe2x.
c)f(x) = 0 a une unique solution dans ]0 ; + [
f(1) = < 0 donc ]0 ; 1[.
la calculatrice on trouve 0,65.
1. a)fn(x) = + ex > 0 pour toutx de[0 ; + [.
b)fn(0) = 2 fn(x) = 1.
2. a)fn(n) = e n < 0.b) Si n = 1, en + 1 = e2 > 3 donc vraie.Si en + 1 > 2n + 1, en + 2 > e(2n + 1) > 2n + 3.Donc la proportion est vraie pour tout n 1.
c)fn(n + 1) = 1 .
Or en + 1 > 2n + 1 donc etfn(n + 1) < 0.
3.fn(n) fn(n + 1) < 0 do lexistence dune solution
unique un telle que n < un < n + 1.
1. a)f(1)(x) = ex(x2 + 3x + 2).b) Pour n = 1,f(1)(x) est de la forme ex(x2 + anx + bn)avec a1 = 3 et b1 = 2.
Sif(n)(x) = ex(x2 + anx + bn)
alorsf(n + 1)(x) = ex(x2 + (an + 2)x + an + bn)
dof(n + 1)(x) = ex(x2 + an + 1x + bn + 1)avec an + 1 = an + 2 (1) et bn + 1 = an + bn (2)
avec an + 1 ainsi que bn + 1.
2. a) (an) est une suite arithmtique de premier termea1 = 3 et de raison 2.Donc an = 3 + 2(n 1) = 2n + 1.
b)
do bn = 2 + .
Or a1 + + an 1 = [3 + 2n 1] = n2
1donc bn = n
2 + 1.3. a) Si d divise an et bn, d divise (2n + 1) + (n2 + 1).En prenant = n et = 2, d divise (n 2). Il diviseainsi : (2n + 1) 2(n 2) = 5.d = 5 si et seulement si 2n + 1 [5]soit 2n 4 [5] soit u 2 [5].b) Pour les autres valeurs de n, an et bn sont premiersentre eux.
1. a)f1(1) (x) = 2x(x + 1) =f1 +f0.
Sif1(n)
(x) = nf0(x) +f1(x)alorsf1(n + 1)(x) = nf0(x) +f1(x)
= nf0(x) +f0(x) +f1(x)= (n + 1)f0(x) +f1(x)
dof1(n + 1) = (n + 1)f0 +f1.
Donc la proposition est vraie pour tout n 1.b) La dmonstration est analogue la prcdente.2.f= 2f2 3f1doncf(n) = 2[n(n 1)f0 + 2nf1 +f2] 3[nf0 +f1]soitf(n) = n(2n 5)f0 + (4n 3)f1 + 2f2.Dof
(n)
(x) = ex[2x2 + (4n 3)x + 4(2n 5)].
1.f(x) = k , k .2. a)f : xax2 + bx + c ; sifest solution de (E ),alors, pour tout relx,4ax + 2b + 3ax2 + 3bx + 3c =x2 + 1
3ax2 +x(4a + 3b) + 2b + 3c =x2 + 1 ;
a = ; b = ; c = .
b)g est solution de (E) ainsi quef, donc :2g + 3g =x2 + 1 = 2f + 3f,
do 2(g f) + 3(g f) = 0 2(g f) + 3(g f) = 0.Ainsi (g f) est solution de (E).Rciproquement, si (g f) est solution de (E) :
2g + 3g = 2f + 3f=x2 + 1 ,doncg est solution de (E ).c) Les solutions (E) sont les fonctions :
xk , k .
3. On cherche pour (E) une solution de la formea cosx + b sinx . Donc, pour tout relx :
2a sinx + 2bcosx + 3a cosx + 3b sinx = cosx ,do 2b + 3a = 1 et 3b 2a = 0 .
b) x 1 +
f(x) + 0
f(x)1
3. x +
f(x) + 0
f(x) f(
)
x 0
fn(x) +
fn(x) 21
12---
12---
1
2--
1 e22
--------------
12-- 12--
76GG
2n
x n+( )2--------------------
x +
lim
2n2n 1+----------------
1
en 1+------------
12n 1+----------------
1
en 1+------------=
12n 1+----------------
1
en 1+------------ 0 :
b) Le point dabscisse 1 a pour ordonne e 1 etf( 1) = e + 1 , donc la tangente au point dabs-cisse 1 a pour quation :
y e + 1 = (1 e)(x + 1) ou y = (1 e)x ,donc elle passe par lorigine.
c) Au point (x0 ; +x0) , f(x0) = + 1.La tangente en ce point a pour quation :
y x0 = (1 )(x x0) ,
ou encore y = (1 )x + (1 +x0) [1] .Lintersection de cette tangente et de 0, dquation
y =x, est donne par (1 +x0 x) = 0 etx = 1 +x0.Donc, pourx0 donn, les tangentes enx0 passentpar le point de coordonnes (1 +x0 ; 1 +x0) .
1. a) Sil existex0 tel quef(x0) = 0 alorsf(x0)f(x0) = 0.
Ce qui est impossible donc pour toutx de
,f(x) 0.b)g(x) = f(x)f(x) +f(x)f(x) = 0.c)g(x) =k avecg(0) = [f(0)]2 = 16, doncg(x) = 16 pourtout relx.d) Daprs la question prcdente :
f(x) = dof(x) =
etfest solution de (E) avecf(0) = 4.
2. (x) = , (0) = = 4 donc (x) = 4 .Cette fonction est la seule fonction vrifiant les condi-
tions ().
1.g(x) = ; or, = 1, donc :
2g g = 1 [1] .2. On dtermineg suivant le principe des exercices 79et 80 :
g(x) = ke2x + , do f(x) = , k .
1. a) I(t) = K .
b) I(0) = 0 donc K = et I(t) = .
2. I(t) = .
1. a)g(t) = K .
b)g(0) = K = 1 dog(t) = .
c)g(t) 3 quivaut > 3 soit t= 5 annes.
x 0 +
f(x)
f +
x ln +
f(x) 0 +
f+
1+ln+
213------
313------
e32---x 3
13------ xcos 2
13------ xsin+ +
80 G
81 G
e12---x
82 G
+
O
1 ln
1
1+ln
x
y
(>0)
0
(
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
13/16
Chap. 4 La fonction exponentielle 57
2. a) h = et u = donc u = .
u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si :
h(0) = 1 et
soit h(0) = 0, h(t) = h(t) + .
b) h(t) = K .
h(0) = 1 do K = et h(t) =
donc u(t) = .
c) u(t) = 3.
1. a)fest paire, donc laxe des ordonnes estaxe de symtrie de sa courbe reprsentative.
b)f(x) = > 0 pour x > 0 .
2. AB a pour hauteur approximativement 80,67 m.
A. 1. a)f(x) = 10 .
En posantg(x) = ex + 1 xex
f(x) = 10 .
b)g(x) = xex.
Il existe a unique de ]0 ; + [ tel queg() = 0avec 1,2 < < 1,3.
g() = 0 donc e(1 ) = 1
doncf() =
= 10( 1).
2.
n exx 2 0.Notons la fonction dfinie sur par (x) = ex x 2.(x) = ex 1 et
Il existe deux rels et et deux seulement tels que(x) = 0 avec 1,9 < < 1,8 et 1,1 < < 1,2.
Donc = { ; } etf(x) < 0 pour toutx de ] ; [.f(x) = ex(2 x).
Existe-t-ilx tel que ex(2 x) = 2.Notons la fonction dfinie sur par :
(x) = ex(2 x) (x) = ex(1 x).
Il existe donc deux valeurs dex pour lesquelles (x) = 2soit = 0 et ]1,6 ; 1,7[. Ainsi il existe deux tangen-tes la courbe de coefficient directeur 2.
f(x) = (2x + 3)e2x.
Or > donc lquationf(x) = na pas
de solution.
x 0 180
f2
80,67
x 0 +
g (x) + 0
g(x) 2
c) x 0 +
f(x) + 0
f(x)0
f()0
uu
----------1h---
h
h2
----------
h t( )
h2
t( )---------------
14h t( )-------------
1
12h2 t( )-------------------=
1
4
---1
12
------
e14--- t 1
3---+
23---
23---e
14--- t 1
3---+
3
2e14--- t
1+
------------------------
t +
lim
87
141------ e
x
41------
e
x
41------
88 Gex 1 xex+
ex 1+( )2
-----------------------------
g x( )
ex 1+( )2
----------------------
0
10
1 11 ------------
----------------------10 1 ( )
----------------------------=
Prendre toutes les initiatives
x 0 + (x) 0 +
(x) + 1
+
x 0 1 + (x) + 0
(x)0
e
x +
f(x) 0 +
f(x)
0
+
=
f(=
)
O
89 G
0 0
90 G
2 2
91 G
3
2--
1
2e3
--------
12e3-------- 116
------ 116------
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
14/16
58
La suite (un) est arithmtique de premierterme u0 = 1 et de raison 1 donc
un = 1 + n donc vn = e 1e n avec v0 = e
1.
v0 + + vn = .
(e 1)n + 1 = 0 donc lim (v0 + + vn) = .
1. v1(x) = u(x) eu(x).Or pour toutx ] ; a[, u(x) < 0donc v1 est dcroissante sur cet intervalle.2. v2(x) = (u(x) + u(x))ex.Pourx > b, u(x) > 0 et u(x) > 0.Donc v2 est croissante sur ]b ; + [.
f(x) = six 0 etf(x) = six < 0.
Il en rsulte que pour toutx 0,f(x) = et
pour toutx < 0,f(x) = doncf(0) droite
vaut et gauche donc fnest pas drivable
enx = 0.
On doit avoirf(1) = e = a + b.Dautre part :six 1,f(x) = (x + 1)ex
et six > 1,f(x) = a.Il faut donc quef(1) = 2e = asoit a = 2e et b = edonc six 1,f(x) = e(2x + 1).Dans ce casfest drivable sur .
La tangente en M a pour quation
y = a (x x0) + .
Donc T a pour coordonne et M a pour
coordonnes (x0 ; 0) doncUTH a pour coordonnes
. Ainsi TH = ne dpend pas de la position
de M sur .
A. 1. a) d a pour quationy =x + 1donc m =p = 1 etf(x) =x + 1 + (x)avec (x) = 0 et (x) = 0.
b) Le point A(0 ; 1) est centre de symtrie doncf(x) +f(x) = 2. (1)
c) De (1) il vient :x + 1 + (x) + 1 x + (x) = 2
donc (x) + (x) = 0 et la fonction est impaire.2. (x) = ( ax + b) .Pour tout relx on a :
(ax + b + ax + b) = 0 donc b = 0.
De plusf(x) = 1 (x) orf(0) = (1 e).Donc (0) = e.De plus (x) = a(1 2x2) soit a = e.B. 1. a)f(x) = 1 (1 2x2)f(0) = 1 e etf(0) = 1donc la tangente enx = 0 a pour quation
y = (1 2)x + 1.
b)f(x) (1 2)x 1 = 1 +x x x + ex 1
f(x) (1 2)x 1 = ex[1 ].
1 > 0 pour tout relx donc six < 0. est en
dessous de T et six > 0. est au-dessous de T.2. a)f(x) = 2x(3 2x2) .Sur ,f(x) est donc du signe de 2x(3 2x2).
Le tableau de variation sur [0 ; 1] est :
b) Sur [0 ; 1],f(0)f(1) < 0, il existe donc unique telquef() = 0 (carf est strictement croissante sur [0 ; 1].f(0,51) 0,005,f(0,52) > 0 do 0,51 < < 0,52.
c) 1 (1 22) = 0.Doncf() = 1 + = 1 +
soitf() = 1 .
Do ce minimum relatif a pour coordonnes
.
Partie A. 1. = 0 ;
= + ; fm(x) = (x + m + 1)ex ;
92 G
e 1 1 e n 1( )
1 e 1---------------------------------------
n +
lim 1e 1------------
93 G
94 Gex
ex 1+--------------
e x
ex 1+--------------
ex
ex 1+( )2
----------------------
2 e x
ex 1+( )2
----------------------
14---
34---
95 G
96 G
eax0 eax0
x01a--- ; 0
1a--- ; 0
1a
-----
Problmes (page 112)
97
x +
limx
lim
e x2
e x2
e x2
e1 x2
e1 x2
e x2
e x2
e1 x2
x 0 0
f(x) 2
f(x) 1 e2
x (m +1) +
fm(x) 0 +
fm0
e (m+1)+
+
0
e1 2
e1 2
1 22------------------
23
1 22------------------
; 1 22
23
1 22----------------------------------
98GG fm x( )
x lim
fm x( )x +
lim
-
8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4
15/16
Chap. 4 La fonction exponentielle 59
2. a) Sm a pour coordonnes ( m 1 ; e(m+1)) .
b) Sm appartient la courbe dquation y = ex . De
plus m dcrit , doncx dcrit . Il en rsulte que lelieu de Sm est la courbe dquation y = e
x .3.
4. M(a ; b) appartient m quivaut be a = a + m ,donc m = be a a . Par M, il passe une courbem etune seule.
Partie B. 1. Mm a pour coordonnes (x0 ; (x0 + m) )
etfm(x0) = (x0 + m + 1) . Donc Tm a pour qua-
tion :y = (x0 + m + 1) (x x0) + (x0 + m) ,
ou encore y = [(x0 + 1)x x02 + m(x x0 + 1)] .
2. Daprs lquation prcdente, Tm passe par A decoordonnes (x0 1 ; ).
Partie C. 1. M(x ; (x + )ex) , M(x ; (x + )ex) ,
M(x ; (x + )ex).
Donc a pour coordonnes (0 ; ( )ex) et
(0 ; ( )ex). Donc = .
2. a) N est le barycentre de (M , 1) et (M, k) ;
donc N a pour coordonnes .
Ainsi N dcrit une courbe
avec = .b) Pour k = 1 , = 0 , = 2 ; il vient = = 1 .Donc E 1 est1.
A. 1. a) M(x0 ;y0) appartient m quivaut :
y0 + 4x02 = m ,
donc m = (y0 + 4x02) . Ainsi par M(x0 ;y0) donn
passe une courbe m et une seule.b)y = me2a 4a2 , donc m me2a 4a2 est unefonction croissante de m.
2. a)fm(x) = 2me2x 8x = 2e2x(m 4xe 2x) .b) Il rsulte de lcriture prcdente que fm(x) a lemme signe que m 4xe 2x .
3. a) (x) = 8xe 2x + 4e 2x = 4e 2x(1 2x) ; = 0 ; = ;
b)fm(x) a le mme signe que m (x) , donc :
si m > : pour tout relx,fm(x) > 0 ;
si m = : fm(x) > 0 pour tout relx ,
et fm = 0 .
si 0 < m < : fm(x) sannule pour deux valeurs
et et fm(x) > 0 pour x < ou x > ; si m = 0 : fm(x) > 0 pour x < 0 , et fm(0) = 0 ; si m < 0 : fm(x) sannule pour une valeur < 0 etf
m(x) > 0 pour x
B. 1. a)fm(X) = 0 donc 4Xe 2X = m
et Y = me2X 4X2 .b) Il en rsulte que Sm appartient la courbe dqua-tion : Y = 4Xe 2X e2X 4X2 ou Y = 4X 4X2(quation dune parabole).
2. Pour tout rel X, m , donc nest pasun point Sm .3. a) Km(0 ; m) et fm(0) = 2m , donc la tangente Tmen Km a pour quation y m = 2mx ou encorey = m(2x + 1) .
Donc pour tout rel m, Tm passe par le point A .
b) Voir figure ci-contre.
A(1 ; 0) appartient m quivaut 4 = me2 , donc
m = 4e 2 et (x) = 4e2(x 1) 4x2 .
1. a) Vrai, en effetf1(x) f2(x) =xex(1 x) et
pour tout relx [0 ; 1] 1 x 0.Doncf1(x) f2(x) 0.
b) Faux. En effetf1(x) =f2(x) si et seulement six = 0oux = 1. Donc il ny a pas de troisime point commun.
2. a) Vrai carf1(x) = (1 x)ex etf1(x) +f1(x) = ex.b) Vrai.
Pour tout relx,f1(x) doncf1(x) .
c) Vrai car 0 < < do deux solutions distinctes.
3. a) Vrai. La tangente en M
1 a pour quationy = (1 m)e m(x m) + me m.
Elle coupe laxe des ordonnes en N de coordonnes(0 ; m2e m). Or P a pour coordonnes (m ; m2e m)donc N et P ont la mme ordonne.b) Vrai. En effet : La tangente en un point quelcon-que passe par H(0 ; h) si et seulement si m2e m = hdonc si lquationf2(m) = h a des solutions.Le tableau de variation def2 est :
Donc si h , il existe trois rels pour lesquels
f2(x) = h do trois tangentes 1.
1. Vrai. En effet en posant (x) = ex ax b
(x) ex a > 0.
Il existe donc unique tel que () 0 donc ex = ax + ba une solution unique.2. Vrai. En effetf(x) = [u(x) + u(x)]ex. Or u(x) 0 etu(x) 0, doncf(x) 0 etfest strictement croissante.
3. Faux. En effet, et = + .
Ainsifnest pas drivable enx = 0.4. Faux. En effet f(x) = 0.
5. Faux. En effet lquationy +y = 0 a pour solution(x) = kex si (0) = 2 alors k = 2 et (x) = 2ex.
2.f(x) = ceax + 20.f(0) = 70 etf(5) = 60 donc 70 = c + 2060 = ce5a + 20.
Il rsulte que c = 50 et e5a = .
3.f(30) = 50e30a + 20 = 50(e5a)6 + 20soitf(30) = 50 + 20 3311.
x +
fm(x) +
fm +
2
e---
2e---
12--- ; 1
12--- ; 0
f4e 2
O
1
1
x
y
1
0
1 4e2
2e
12
Cest nouveau au bac (page 114)
x 0 1 +
f1(x) 0
f1(x) 0
x 0 2 + f
2(x)
0 + 0
f2(x)+
0 0
100
+
01
e---
1e---
12---
14---
1e---
4
e2
-----
x +
(x)
(x)
+
0 ; 4
e2-----
101
+
0
xe1 x
x-------------------
e1 x
x
------------= e1 x
x
------------
x 0+
lim
x 0+
lim
102
45---
45---
6
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