transmaths terminal s correction chap 4

8/6/2019 TransMaths Terminal S Correction Chap 4

1/16

Chap. 4 La fonction exponentielle 45

chapitre

4 La fonction exponentielle

1. a) Pour tout point M la tangente coupe laxe desabscisses doncf(x0) 0.b)y f(x0) =f(x0) (x x0).c) (T) coupe laxe des abscisses poury = 0

etx =x0 .

2. a) quivaut abscisse de est 1

donc = 1 dof(x0) =f(x0).

b) Il en rsulte que fconvient si et seulement sif =f.

1.f =f(t0) + f(t0) =f(t0)

etf(t0) =y0 = 1 doy = 1 + .

2. a) f(tk) + f(tk) or f(tk) = f(tk)

donc =f(tk) .

On choisityk + 1 =yk .

b) Par rcurrence il est vident queyk= .

1. Pour tout relx, f(x0 +x) =f(x0) f(x) = 0 .Donc pour tout rel X, f(X) = 0 .2. a)f(x + 0) =f(0) f(x) , donc f(x)[1 f(0)] = 0pour tout relx. Il en rsulte que f(0) = 1 .

b)f =f(x) ,

donc pour tout rel X, f(X) > 0 .3. a)g est drivable sur et pour tout rely,

g(y) =f(x +y) =f(x)f(y) .b) Il en rsulte que f(x) =f(0)f(x) = af(x) aveca =f(0) .c)f(x) = keax et f(0) = 1 donc k = 1 .

4. ea(x+y) = eax eay donc f(x +y) =f(x) f(y) .

1. a)f(x) = ex 1.

Daprs le tableau de variations :

Pour tout relx :f(x) 0 donc (1 +x) ex (1)

Pour tout relx < 1, 1 x < ex

, 1 x > 0 et ex

> 0donc ex (2).

2. a)x = avec 0


2/16

46

1. a)g(x) = ex

= ex < 0.

Doncg(1) < 1.On dmontre de mme que h est croissante sur[0 ; 1] et que h(1) > 1.

2. Il rsulte alors de ltude prcdente que

e 1 < 1 et

e 1 > 1 donc

1 + + + < e < 1 + + + + + (4)

1. n! + n! + + 1! < n! e < (n! + n! + + 1) + 1.En posant an = n! + n! + + 1 il en rsulte que

an < n! e < an + 1.

2. a) Si q n alors q divise n! donc est un

entier. Or est strictement compris entre deux

entiers conscutifs donc qn est impossible.b) Il rsulte que quel que soit n > 1, q > n. Ce quiest impossible donc e est irrationnel.

1. Il reste A .

2.

3. partir de la troisime injection.

1. b > 0 donc 1 + be kt> 0 pour tout rel t.2. f(t) = a et f(t) = 0.

3.f(t) =

Pour a = 3, b = 2 et k = 1.

On a la fonctionf: t .

1. a)x(t) = kx(t) + 1 000k quation du typey = ay + b donc les solutions sont :

f: te kt+ 1 000.b) 40 = + 1 000 donc k = 960. Il en rsulte quef(t) = 960e kt+ 1 000.f(1) = 160 donc 160 = 960e k + 1 000 soit e k =

f(5) = 960(e k

)5

+ 1 000 = 960 + 1 000.Soitf(5) 508.

2. Mise en mouvement dun canot :

mv = rv + F ou v = v + donc

v(t) = .

v(1) = F donc 1 = soit =

donc v(t) = .

La vitesse limite du canot est .

y y = .

1. h(x) =

donc h(x) h(x) =

donc h est solution de (E).

x 0 1

g (x)

g(x)1

TD 3

2 1 x x2

2!----- x

n 1

n 1( )!------------------- 1+ + + +

xx

2

2!----- x

n

n!-----

xn

n!-----

1 11!-----

12!----- 1

n!-----+ + + +

111!-----

1n!-----

1n!-----+ + + +

11!-----

1n!-----

11!-----

12!-----

1n!-----

1n!-----

3

n!p

q---------

n!p

q---------

1 e

13---

O 8 16 24 32 40 48 56 64

A = 2

2,2A

(heures)

Quantit de mdicament dans le sang

t

2

t + lim

t lim

t 0 +

f(t) +

f(t)0

a

TD 4

akbe kt

1 be kt+( )2

-------------------------------

a

1 b+-----------

3

1 2e t+---------------------

1O

3

3

78---

7

8--- 5

r

m-----

Fm-----

e

r

m----- t F

r---+

e

r

m----- F

r---+ e

r

m-----

1Fr---

e

r

m-----

1 Fr--- e

r

m----- t

Fr---+

Fr---

1 ex

x2

-----

ex x 1( )

x2

----------------------

e

x

x----- e

x

x----- e

x

x2-----+ e

x

x2-----=


3/16


2.g solution de (E) si et seulement si g g =

soitg1 g1 + h h = .

Or h h = doncg1 g1 = 0.

3.g1(x) = ex.

4.g(x) = ex + .

1. h(x) = ax2 + bx + ch(x) = 2ax + b

h(x) + h(x) = ax2 + (b + 2a)x + c + b=x2 +x

do a = 1, b = 1 et c = 1 soit h(x) =x2 x + 1donc les solutions sont donnes pour tout rel xparf(x) = ex +x2 x + 1.

2. h(x) = a sinx + b cosxh(x) + h(x) = (b a) sinx + (a + b) cosx = 5 cosx

do a + b = 5, b a = 0, b = = a

et h(x) = (cosx + sinx)

etf(x) = e2x + (cosx + sinx).

a) ex b) e 3 c) 1 + e 2x

d) e2 x e) e4x f) e2y

1. [g(x)]2 [h(x)]2 = [g(x) + h(x)] [g(x) h(x)]soit ex ex = e0 = 1.

2. 2[g(x)]2 1 = 1 =g(2x).

2g(x)h(x) = (e2x e 2x) = h(2x).

Corrig dans le manuel.


a) 2ex(ex + 2) = 1 soit 2 + 4ex = 1.4ex = 1 pas de solution.b)x = 2.

a) ex + 1 = quivaut pourx 0 x2 +x 2 = 0soitx = 1 oux = 2.

b) Sinx = sin dox = + k2 oux = + k2.

a) Lquation quivaut x2 +x 6 = 0soitx = 3 oux = 2.b) Lquation quivaut x2 x + 2 = 0 donc pas desolution.

a) e 2 dox2 2 vrai pour tout relx.

b) Lquation quivaut x3 x 6 0ou (x 2) (x2 + 2x + 3) 0 doncx ] ; 2]carx2 + 2x + 3 > 0 pour tout relx.

a) Linquation quivaut e2x 1.Soit 2x 0 etx ] ; 0].b) (ex 1) (ex 1) > 0 doncx{0}.



f(x) = ex .

f(x) = .

f(x) = ex[2 cosx].

f(x) = .

f(x) = 2x 2xex = 2x(1 ex).

1.f(x) = (ex ex) =g(x).

g(x) = (ex + ex) =f(x).

2. h(x) = .

Or [f(x)]2 [g(x)]2 = 1 (voir corrig exercice 2)

et h(x) = ou h(x) = .

ex

x2

-----

ex

x2

-----

ex

x2

-----

ex

x-----

2

52---

52---

52---

Corrigs des exercices

Matriser le cours (page 101)

1. La fonction exponentielle

1

2

e2x e 2x 2+ +2-----------------------------------

12---

3

4

5

6 e

2x---

6---

6---

56

------

7

8 ex2

2. tude de la fonction exponentielle

9

10

11

121x---

1

x2

-----

133ex

2ex 1+( )2

-------------------------

14

15ex 1 x( )

ex x( )2----------------------

16

1712---

12---

g x( )f x( ) g x( )f x( )

f2

------------------------------------------------------f x( )[ ]2 g x( )[ ]2

f2

------------------------------------------=

1

f2

x( )-------------

1

f2

-----


4/16

48

1.f(0) = 2 etf( 2) = 0 donc 2 = bet 0 = ( 2a + b)e2 donc 2a = b = 2 ; a = 1 et b = 2.Ainsi pour tout relx,f(x) = (x + 2)ex.2.f(x) = (x 1)ex et A a pour coordonnes ( 1 ; e).

a)f1 :x ex 2. La courbe 1 est dduite de par la

translation de vecteur 2zj.b)f2 :x 1 e

x.2 se dduit de par la symtrie parrapport laxe des abscisses suivie de la translation devecteur zj (cest--dire la symtrie par rapport la

droite dquationy = ).

c)3 = 2 six < 0 et 3 est la symtrie de 2 par rap-port laxe des abscissesx > 0.


; = + ;

= 0.

= 0.

= 1.

= + = 1.


f(x) = 2 donc

= + .

= 1 = 1= 0 = + .

1.f(x) (x 1) = e 2x et e 2x = 0 donc la

droite dquationy =x 1 est asymptote .

2. e 2x > 0 pour tout relx donc est au-dessus de ladroite d.

f(x) x 1 = 4ex et 4ex = 0 donc la

droite dquationy =x + 1 est asymptote la courbe.

f(x) x 2 =xex xex = 0

donc la droite dquationy =x + 2 est asymptote lacourbe .

1. = 2 et = 3 do le

rsultat.

2. a)f(x) =

doncf(x) = .


1. a) = + = + .

b)f(x) +x = ex et ex = 0

donc la droite d est asymptote oblique en .

2.f(x) = ex 1.

3. Des limites importantes

18

19

1

2

1

3

()

2 = 3 ji

O

e

2

1

12---

20

21 f x( )x 0lim 1

2---= f x( )

x + lim

f x( )x

lim

22 f x( )x +

lim

23 f x( )x +

lim 12---= f x( )

x lim

24 f x( )x +

lim f x( )x

lim

25

26e2x 1

2x----------------- f x( )

x 0lim 2=

f x( )x +

lim

27

f x( )x lim f x( )x + limf x( )

x 0lim f x( )

x 0+lim

b) x +

f(x) +

f(x) 3

2

x 0 +

f(x) 0 +

f(x)+

1+

28 x +

lim

29 x +

lim

30 x

lim

31 f x( )x +

lim f x( )x

lim

2ex ex 1+( ) 2ex 3( )ex

ex

1+( )2

---------------------------------------------------------------

5ex

ex 1+( )2

----------------------

1

d

O

2

3,

1

32

33 f x( )x +

lim f x( )x

lim

x

lim


5/16


1. = + = .

2. a)f(x) (x 1) = et = 0

do le rsultat.

b)f(x) (x + 3) = et = 0

do le rsultat.3.f(x) = 1 .

f(x) = .

1. = + = + .

2.f(x) = ex 1.

3. a)fbijection de ] ; 0] sur [ 1 ; + [ donc il existe unique de ] ; 0] tel quef() = 0.De mme pour dans [0 ; + [.

f( 1 ; 9) e 1,9 0,1 0,14f( 1,8) e 1,8 0,2 0,03donc 1,9 < < 1,8.Mme chose pour 1,1 < < 1,2.b) Il rsulte quef(x) < 0 pourx ] ; [.

1. = 0 et =

f(x) = (2 x)ex

do le tableau avecf(2) = e2.

2. Si m > 0 et m < e2 on a deux solutions et m > e2 zrosolution.

f(x) = .

f(x) = 2ex 1[x].

f(x) = esinx [cos2x sinx].


1. a)x + et xx sont drivables sur]0 ; + [.

b) Pour toutx > 0,f(x) = .

2.f(0) = 0 et .

= 1 doncfest drivable enx = 0.

a)f( x) = = f(x) donc f est paire et admet laxe des ordonnes pour axe de symtrie.

b)f(x) = 2x .

x 0 +

f(x) + 0 +

f(x)

+

x 0 +

f(x) 0 +

f(x)+

1+

1

d

O

1

34 f x( )x +

lim f x( )x

lim

4

ex 1+-------------- 4

ex 1+--------------

x + lim

4ex

ex 1-------------- 4e

x

ex 1--------------

x lim

4ex

ex 1+( )2

----------------------

ex 1( )2

ex 1+( )2

----------------------

O 1

d

3

3

(, )

1

35 f x( )x +

lim f x( )x

lim

0 0

4. Des fonctions x eu(x)

x 0 +

f(x) 0

f(x)1

0

36 f x( )x

lim f x( )x +

lim

O

3

2

e2

37 e

1x--- 1

x

--- 1+

38

39

40

41 e x

x

2------- 1+

e

x

f x( ) f 0( )x

-------------------------- e x=

e xx 0lim

42 e x2

e x2


6/16

50

f(x) = 2e2x 2ex = 2ex(ex 1).= 0 et = + .

1.f1(x) f2(x) = ex[1 sinx].

sinx = 1 sur [0 ; ] x =

donc un seul point commun A .

2.f(x) = ex f2(x) = ex ( sinx + cosx)

f1 =f2 = donc les deux courbes ont une

tangente commune en A.

a)f(x) = e3x. b)f(x) = e 2x.

a)f(x) = . b)f(x) = .

1.f(x) = e2x

.2.f(0) = 1 = 1 doncf(x) = e2x.


f(x) = f(x) f( 2) =

doncf( 2) = 1.

f(x) = et 1 = e

donc = e 1 etf(x) = .

f(x) = e 2x f = e = 1

do = e 1 et u :x e 1 2x.

a)f(x) = e2x . b)f(x) = + 2.

c)f(x) = + . d)f(x) = + 1.

f(x) = e 3x.1.f(0) = 1 do k = 1 etf(x) = e 3x.2.f(0) = 3 doncf(0) = 1 et = 1 doncf(x) = e 3x.


f(x) = 6e 3x doncf(x) = 3f(x).

f(x) = 6e 2x dof(x) = 2f(x) 8.

1. a)f(x) x + 2 = ex, ex = 0 donc la

droite d est asymptote en + .

b)f(x) (x 2) = ex > 0 donc est au-dessus de d.2. = = +

f(x) = 1 ex

f(x) 0 si et seulement si ex 1 ou x 0doncx 0 f(0) = 1.3.fest une bijection de ] ; 0] sur [ 1 ; + [donc 0 a un antcdent unique dans ] ; 0],de plusf( 2) = e2 4 > 0 etf( 1) = e 3 < 0donc 2 < < 1.De mmefest une bijection de [0 ; + [ sur [ 1 ; + [donc 0 a un antcdent unique dans [0 ; + [.f(1) = 1 + e 1 < 0 f(2) = e 2 > 0donc 1 < < 2.

I() =

I() > 0 si < et I() < 0 si >

donc I() est maximale pour 0 =

et I(0) = e 5 = .


y = y +g.

Les solutions dans sontf() = .

Orf(0) = 0 donc = et v(t) = .

1. a)f(x) (2x 2) = (1 x)ex.(1 x)ex = 0 donc la droite

est asymptote .

b)f(x) (2x 2) = (1 x)ex six < 1f(x) > 2x 2 donc est au-dessus de .

x 0 +

f(x) 0 +

f(x)+

1+

5. quations diffrentielles

O 1

1

43

f x( )x

lim f x( )x +

lim

O

1

44

2---

2--- ; e

2---

2---

2--- e

2---

45

46 e32---x

e53---x

47

48

4912---

12---

e12---x

e12---x 1

50 12---

6. Applications

5112--- e

13---x

e23---x 1

2--- e

12---x

52

53

54

55

56 x +

lim

f x( )x +

lim f x( )x

lim

57 eK---- K

7-----

5

6----- e

K---- K 5

7-----------------=

K5----

K5----

K5----

55

K

5-------

5Ke--------

5

58

59k

m-----

ek

m----- t gm

k--------+

gm

k--------

gm

k-------- 1 e

k

m----- t

60

x +

lim


7/16


2. a)f(x) = 2 + ex[x 1 1] =xex + 2 (1 ex).b) Six 0 ex < 1 doncf(x) 0.c)f(0) = 0.

3. La tangente en A dabscisse a est parallle si et seulement sif(a) = 2.Soit ae a + 2 2e a = 2soit e a(a 2) = 0 donc a = 2et A a pour coordonnes (2 ; 2 e 2).

Tangentes une courbe issues dun pointLes outils :G tude dune fonction.G quations de droites.Les objectifsG Savoir traduire un problme par un problme quivalent.G

Savoir utiliser un tableau de variations.1. a)f(x) (x 1) = ex ex = 0

donc la droite dquationy =x 1 est asymptote en .b)f(x) = 1 ex.

Du tableau il rsulte quef(x) 2.

2. a) M0(x

0;f(x

0)) etf(x

0) = 1 do lquation

de :y x0 + 1 + = (1 ) (x x0)

doy = (1 )x 1 + (x0 1).b) O (x0 1) = 1 (1).

3. a) (x) = + (x) = 1.

b) (x) =xex.

4. a) Pour toutx 0, (x) < 0. De plus est une bijec-tion de ]0 ; + [ sur [ 2 ; + [ donc 0 a un antcdentunique .

b) (1) = 1(2) = e2 1 > 0donc ]1 ; 2[ 1,28.

Famille de fonctions et lieu gomtrique

Les outils :

G tude dune famille de fonctions.

G Dfinir analytiquement un lieu gomtrique.

Les objectifs

G Savoir dterminer un lieu gomtrique.

1. (x + m1)ex (x + m2)e

x = (m1 m2)ex.

Donc si m1m2.(m1 m2)e

x 0 donc les courbes et nontpas de point commun.

2. a)fm(x) = ex(x m + 1).

b) Pour tout rel m, Im a pour coordonnes(1 m ; em 1).

3. a)x = 1 m,y = em 1 doy = ex.

b) Ainsi Im appartient la courbe dquationy = ex.

4.x = 1 m donc lorsque m dcrit,x dcrit. On en

dduit alors que Im dcrit toute la courbe ().

= ; = ;

= 0 ; = + .

f(x) = ;

x 0 0 +

f(x) 0 +

f(x) 1

+ 0

Apprendre chercher (page 105)

x 0 +

f(x) + 0

f(x)

2

x 0 +

(x) 0 +

(x) 1

2

+

61

x

lim

ex0

Tx0ex0 ex0

ex0 ex0

Tx0 ex0

x +

limx

lim

0

62

m1m2

Pour progresser (page 106)

tudes de fonctions

63 f x( )

x +

lim1e--- f x( )

x

lim1e---

f x( )x 1+

lim f x( )x 1

lim

x 1 +

f(x) + +

f+

0

21 x( )2

------------------- e1 x+1 x------------

1

e---

1

e---


8/16

52

= 0 .

1. = + ; = 1 ;

= ; = + .

2.f(x) = ex < 0 ;

1.f(0) = 1 g(0) = 1.La courbe associe g est celle qui prsente un maxi-mum au point de cordonnes (0 ; 1).2. a) h(x) =f(x) g(x) = 1 ex +xex

= 1 (1 x)ex = 1 g(x).

3. a)f(x) =g(x) si et seulement si h(x) = 0.

Or h(x) = 0 sannule pour une seule valeur delintervalle ]0 ; + [. Or h(1) = 1 e < 0 et h(2) = 2 > 0donc ]1 ; 2[.

b) 1,5 < < 1,6.

1. f0(x) = 1 et f1(x) = 0 do lescourbes.

2.f0(x) +f0(x) = = 1 donc A est centre

de symtrie de 0. On dmontre de mme que A est

centre de symtrie pour 1.

3.f0(x) = =f1(x)

donc laxe des ordonnes est axe de symtrie.4. a)f0(x) +f1(x) = 1.b)1 est donc limage de 0 par la rflexion daxe la

droite dquationy = .

1. La tangente en A a pour quationy =x + 1

et () est au-dessus de cette tangente donc pour toutrel u, euu + 1 (1).

2. a) En posant u = x daprs (1)ex x + 1 soit ex +x 1 0.

ex > 0 donc1 ex(1 x)

soit 1 + (x 1)ex 0 (2).

3.f(x) = . En tenant compte de (2),

f(x)

0 et la fonctionfest strictement croissante sur]0 ; + [.

1. a)f(x) (x 1) = ;

f(x) (x + 1) = .

b) = + ; = .

c) [f(x) (x 1)] = 0 et [f(x) (x + 1)] = 0.

Donc les droites 1 et 2 sont asymptotes respec-

tivement en et + .d) Au voisinage de + , est au-dessus de 2 et auvoisinage de , est en dessous de 1 .

x 1 +

f(x)

f+

+

1

b) x 0 +

h(x) + 0 +

h(x)

+

f x( ) f1( )x 1

------------------------

x 1+lim

O 1

1

e

x

y

f 1e

64 f x( )x

lim f x( )x +

lim

f x( )x 1

lim f x( )x 1+

lim

21 x+( )2

-------------------

O 1

1

2

1

1x

y

65

2

66 G x +

limx +

lim

1 ex+

1 ex+-------------- 0 ; 1

2---

e x

1 e x+------------------

1

1 ex+--------------=

12---

67 G

O 1

A

d

1

e

(/ )

1 ex x 1( )+

x2

--------------------------------

68 G xex 1

ex 1+-------------- x 1+ 2

ex 1+--------------=

ex 1

ex 1+-------------- 1 2 e

x

ex 1+--------------=

f x( )x +

lim f x( )x

lim

x +

limx

lim


9/16


2. a)f(x) =

= f(x) ,doncfest impaire.

b)f(x) = > 0 .

La tangente en x = 0 a pour coefficient directeur .

3.

4. fest strictement croissanteetf(]0 ; + [) = ]0 ; + [.

1,6 < < 1,7 .1.f(x) = et = 1 .

2. a) t(x) = ;

= X et t(X) = (X + X2 + X3) ;

X = + donc = 0 .

b) Doncfest drivable en 0 et le nombre driv en cepoint est 0.

3. a)f(x) = .

c)

1. a) = + ; = + .

2.f(x) = .

4.

1. a)g(x) = ex 1.Pour tout relx,g(x) 0 donc ex x 1.

b) ex x 0 doncfest dfinie sur .

2. a) = 0 = 1.

b)f(x) = .

c) T a pour quationy =x

f(x) x =

Pourx 0, est au-dessus de T et pourx > 0, est endessous de T.d) Trac de T et .

x 0 +

f(x)

f 0+

b) x 0 1 +

f(x) 0 + 0

f0 1

xe x 1e x 1+----------------- x

1 ex1 ex+--------------+=

1 2ex

ex 1+( )2----------------------

e2x 1+

ex 1+( )2----------------------=

12--- +

1

12---

O 1

1

x

y

T

1

2

69 G 1 1x---

1

x2-----+ +

e1x---

f x( )x +

lim

x2 x 1+ +x3

------------------------ e1x---

1x---

1eX------

x 0+lim tX( )

X + lim

e1x--- 1

x2-----

1

x3-----

1

x4-----

1

x2-----

2

x3-----+ +

1 x

x4------------ e

1x---

=

3

e---

O 1

1

x

y

3e

3. x 1 1 +

f(x) 0 +

f+ +

x 0 +

g(x) 0 +

g(x)+

0+

x 1 +

f(x) + 0

f(x) 1 0

70 G f x( )x 1

lim f x( )x +

lim

ex 1 x+( )2 2ex 1 x+( )x 1+( )4

----------------------------------------------------------ex x 1( )x 1+( )3

----------------------=

e

4---

O 11

1

x

y

e4

71

f x( )x + lim f x( )x lim

ex 1 x( )

ex x( )2

----------------------

1

e 1----------

xg x( )

ex x----------------- Org x 0,donc ex x > 0.

1

T


10/16

54

A. 1. = + , car si = X ,

f(x) = et = + .

= + .

2. a) =f(x) x 1 .

b) [f(x) x 1] = 0 , car = 1 .

Donc la droite dquation y =x + 1 est asymptote en + .

3. Pour tout rel x > 0 , f(x) = ;

B. 1. = ; = 0 .

3. a) ; = 0 .

b) Doncg est drivable en zro et le nombre driven ce point est zro.

4.

1. a) M0 a pour coordonnes (x0 ; x0)

etf(x0) = 1. Donc a pour quation

y = ( 1)x + (1 x0).

b) A 0 = 1 + (1 x0)

soit (2 x0) = 1 (1)

2. a) (x) = ex(1 x).

b) (x) = 1 pour deux valeurs et dexavec 1,2 < < 1,1 et 1,8 < < 1,9.

3. On peut donc mener deux tangentes passantpar A.

1. a) M a pour coordonnes (m ; em) et N apour coordonnes (m ; e m) donc I a pour coordon-

nes .

b)y = .

c) I est un point de la courbedquationy = .

Or lorsquon dcrit ,x = m dcrit donc () = ().

2. a)f(x) = .

b) Les tangentes T1 en M 1 et T2 en N 2 ont res-pectivement pour quations :

y = emx + em(1 m) ety = e mx + e m (1 + m).Leur point dintersection P a pour coordonnes

.

Il en rsulte que a pour coordonnes

.

Ce vecteur est colinaire au vecteur de coordon-

nes .

Orf(m) = (em e m) donc (IP) est la tangente en I ().

1. a) Mm a pour coordonnes (m ; em) et Pm a

pour coordonnes (m ; m). La tangente en Mm apour quation y = em(x m) + em donc Nm a pourcoordonnes (0 ; em(1 m)).Donc Gm a pour coordonnes

soit . (1)

x 0 1 + f(x) 0 +

f+

e+

c) x 0

g (x) +

g

0

72 G f x( )x 0+

lim 1x---

eX

X------ fX( )

X + lim

f x( )x +

lim

e1x---

1

1x---

--------------

1

xe

1x---

x

1

=

x +

lime

1x---

11x---

--------------x +

lim

e1x--- 1

x--- e

1x---

e1x--- x 1

x------------

=

f x( )x

lim f x( )x 0

lim

g x( ) g 0( )x

-------------------------- e1x---

= e1x---

x 0lim

O 1

1

e

x

y

73GG ex0

ex0 Tx0ex0 ex0

Tx0 ex0 ex0

ex0

x 1 +

(x) + 0

(x)0

e

x 0 +

f(x) 0 +

f(x)+

0+

74GG

m ;em e m+

2------------------------

ex e x+2

---------------------

ex e x+

2

---------------------

ex e x+2

---------------------

m em e m

em e m+---------------------- ; 2

em e m+----------------------

IP

em e m

em e m+---------------------- ; e

m e m( )2

2 em e m+( )-------------------------------

u

1 ;em e m

2---------------------- 12---

75GG

m

2----- ; 1

4--- m em em 1 m( )+ +[ ]

m

2----- ; 1

4--- m em 2 m( )+[ ]


11/16


b) De (1) on tire m = 2x

doncy = [x + e2x(1 x)].

2. a)f(x) = [1 + e2x(1 2x)]

f(x) = 2xe2x.

c)f(x) = 0 a une unique solution dans ]0 ; + [

f(1) = < 0 donc ]0 ; 1[.

la calculatrice on trouve 0,65.

1. a)fn(x) = + ex > 0 pour toutx de[0 ; + [.

b)fn(0) = 2 fn(x) = 1.

2. a)fn(n) = e n < 0.b) Si n = 1, en + 1 = e2 > 3 donc vraie.Si en + 1 > 2n + 1, en + 2 > e(2n + 1) > 2n + 3.Donc la proportion est vraie pour tout n 1.

c)fn(n + 1) = 1 .

Or en + 1 > 2n + 1 donc etfn(n + 1) < 0.

3.fn(n) fn(n + 1) < 0 do lexistence dune solution

unique un telle que n < un < n + 1.

1. a)f(1)(x) = ex(x2 + 3x + 2).b) Pour n = 1,f(1)(x) est de la forme ex(x2 + anx + bn)avec a1 = 3 et b1 = 2.

Sif(n)(x) = ex(x2 + anx + bn)

alorsf(n + 1)(x) = ex(x2 + (an + 2)x + an + bn)

dof(n + 1)(x) = ex(x2 + an + 1x + bn + 1)avec an + 1 = an + 2 (1) et bn + 1 = an + bn (2)

avec an + 1 ainsi que bn + 1.

2. a) (an) est une suite arithmtique de premier termea1 = 3 et de raison 2.Donc an = 3 + 2(n 1) = 2n + 1.

b)

do bn = 2 + .

Or a1 + + an 1 = [3 + 2n 1] = n2

1donc bn = n

2 + 1.3. a) Si d divise an et bn, d divise (2n + 1) + (n2 + 1).En prenant = n et = 2, d divise (n 2). Il diviseainsi : (2n + 1) 2(n 2) = 5.d = 5 si et seulement si 2n + 1 [5]soit 2n 4 [5] soit u 2 [5].b) Pour les autres valeurs de n, an et bn sont premiersentre eux.

1. a)f1(1) (x) = 2x(x + 1) =f1 +f0.

Sif1(n)

(x) = nf0(x) +f1(x)alorsf1(n + 1)(x) = nf0(x) +f1(x)

= nf0(x) +f0(x) +f1(x)= (n + 1)f0(x) +f1(x)

dof1(n + 1) = (n + 1)f0 +f1.

Donc la proposition est vraie pour tout n 1.b) La dmonstration est analogue la prcdente.2.f= 2f2 3f1doncf(n) = 2[n(n 1)f0 + 2nf1 +f2] 3[nf0 +f1]soitf(n) = n(2n 5)f0 + (4n 3)f1 + 2f2.Dof

(n)

(x) = ex[2x2 + (4n 3)x + 4(2n 5)].

1.f(x) = k , k .2. a)f : xax2 + bx + c ; sifest solution de (E ),alors, pour tout relx,4ax + 2b + 3ax2 + 3bx + 3c =x2 + 1

3ax2 +x(4a + 3b) + 2b + 3c =x2 + 1 ;

a = ; b = ; c = .

b)g est solution de (E) ainsi quef, donc :2g + 3g =x2 + 1 = 2f + 3f,

do 2(g f) + 3(g f) = 0 2(g f) + 3(g f) = 0.Ainsi (g f) est solution de (E).Rciproquement, si (g f) est solution de (E) :

2g + 3g = 2f + 3f=x2 + 1 ,doncg est solution de (E ).c) Les solutions (E) sont les fonctions :

xk , k .

3. On cherche pour (E) une solution de la formea cosx + b sinx . Donc, pour tout relx :

2a sinx + 2bcosx + 3a cosx + 3b sinx = cosx ,do 2b + 3a = 1 et 3b 2a = 0 .

b) x 1 +

f(x) + 0

f(x)1

3. x +

f(x) + 0

f(x) f(

)

x 0

fn(x) +

fn(x) 21

12---

12---

1

2--

1 e22

--------------

12-- 12--

76GG

2n

x n+( )2--------------------

x +

lim

2n2n 1+----------------

1

en 1+------------

12n 1+----------------

1

en 1+------------=

12n 1+----------------

1

en 1+------------ 0 :

b) Le point dabscisse 1 a pour ordonne e 1 etf( 1) = e + 1 , donc la tangente au point dabs-cisse 1 a pour quation :

y e + 1 = (1 e)(x + 1) ou y = (1 e)x ,donc elle passe par lorigine.

c) Au point (x0 ; +x0) , f(x0) = + 1.La tangente en ce point a pour quation :

y x0 = (1 )(x x0) ,

ou encore y = (1 )x + (1 +x0) [1] .Lintersection de cette tangente et de 0, dquation

y =x, est donne par (1 +x0 x) = 0 etx = 1 +x0.Donc, pourx0 donn, les tangentes enx0 passentpar le point de coordonnes (1 +x0 ; 1 +x0) .

1. a) Sil existex0 tel quef(x0) = 0 alorsf(x0)f(x0) = 0.

Ce qui est impossible donc pour toutx de

,f(x) 0.b)g(x) = f(x)f(x) +f(x)f(x) = 0.c)g(x) =k avecg(0) = [f(0)]2 = 16, doncg(x) = 16 pourtout relx.d) Daprs la question prcdente :

f(x) = dof(x) =

etfest solution de (E) avecf(0) = 4.

2. (x) = , (0) = = 4 donc (x) = 4 .Cette fonction est la seule fonction vrifiant les condi-

tions ().

1.g(x) = ; or, = 1, donc :

2g g = 1 [1] .2. On dtermineg suivant le principe des exercices 79et 80 :

g(x) = ke2x + , do f(x) = , k .

1. a) I(t) = K .

b) I(0) = 0 donc K = et I(t) = .

2. I(t) = .

1. a)g(t) = K .

b)g(0) = K = 1 dog(t) = .

c)g(t) 3 quivaut > 3 soit t= 5 annes.

x 0 +

f(x)

f +

x ln +

f(x) 0 +

f+

1+ln+

213------

313------

e32---x 3

13------ xcos 2

13------ xsin+ +

80 G

81 G

e12---x

82 G

+

O

1 ln

1

1+ln

x

y

(>0)

0

(


13/16


2. a) h = et u = donc u = .

u satisfait aux conditions (E2) si et seulement si :

h(0) = 1 et

soit h(0) = 0, h(t) = h(t) + .

b) h(t) = K .

h(0) = 1 do K = et h(t) =

donc u(t) = .

c) u(t) = 3.

1. a)fest paire, donc laxe des ordonnes estaxe de symtrie de sa courbe reprsentative.

b)f(x) = > 0 pour x > 0 .

2. AB a pour hauteur approximativement 80,67 m.

A. 1. a)f(x) = 10 .

En posantg(x) = ex + 1 xex

f(x) = 10 .

b)g(x) = xex.

Il existe a unique de ]0 ; + [ tel queg() = 0avec 1,2 < < 1,3.

g() = 0 donc e(1 ) = 1

doncf() =

= 10( 1).

2.

n exx 2 0.Notons la fonction dfinie sur par (x) = ex x 2.(x) = ex 1 et

Il existe deux rels et et deux seulement tels que(x) = 0 avec 1,9 < < 1,8 et 1,1 < < 1,2.

Donc = { ; } etf(x) < 0 pour toutx de ] ; [.f(x) = ex(2 x).

Existe-t-ilx tel que ex(2 x) = 2.Notons la fonction dfinie sur par :

(x) = ex(2 x) (x) = ex(1 x).

Il existe donc deux valeurs dex pour lesquelles (x) = 2soit = 0 et ]1,6 ; 1,7[. Ainsi il existe deux tangen-tes la courbe de coefficient directeur 2.

f(x) = (2x + 3)e2x.

Or > donc lquationf(x) = na pas

de solution.

x 0 180

f2

80,67

x 0 +

g (x) + 0

g(x) 2

c) x 0 +

f(x) + 0

f(x)0

f()0

uu

----------1h---

h

h2

----------

h t( )

h2

t( )---------------

14h t( )-------------

1

12h2 t( )-------------------=

1

4

---1

12

------

e14--- t 1

3---+

23---

23---e

14--- t 1

3---+

3

2e14--- t

1+

------------------------

t +

lim

87

141------ e

x

41------

e

x

41------

88 Gex 1 xex+

ex 1+( )2

-----------------------------

g x( )

ex 1+( )2

----------------------

0

10

1 11 ------------

----------------------10 1 ( )

----------------------------=

Prendre toutes les initiatives

x 0 + (x) 0 +

(x) + 1

+

x 0 1 + (x) + 0

(x)0

e

x +

f(x) 0 +

f(x)

0

+

=

f(=

)

O

89 G

0 0

90 G

2 2

91 G

3

2--

1

2e3

--------

12e3-------- 116

------ 116------


14/16

58

La suite (un) est arithmtique de premierterme u0 = 1 et de raison 1 donc

un = 1 + n donc vn = e 1e n avec v0 = e

1.

v0 + + vn = .

(e 1)n + 1 = 0 donc lim (v0 + + vn) = .

1. v1(x) = u(x) eu(x).Or pour toutx ] ; a[, u(x) < 0donc v1 est dcroissante sur cet intervalle.2. v2(x) = (u(x) + u(x))ex.Pourx > b, u(x) > 0 et u(x) > 0.Donc v2 est croissante sur ]b ; + [.

f(x) = six 0 etf(x) = six < 0.

Il en rsulte que pour toutx 0,f(x) = et

pour toutx < 0,f(x) = doncf(0) droite

vaut et gauche donc fnest pas drivable

enx = 0.

On doit avoirf(1) = e = a + b.Dautre part :six 1,f(x) = (x + 1)ex

et six > 1,f(x) = a.Il faut donc quef(1) = 2e = asoit a = 2e et b = edonc six 1,f(x) = e(2x + 1).Dans ce casfest drivable sur .

La tangente en M a pour quation

y = a (x x0) + .

Donc T a pour coordonne et M a pour

coordonnes (x0 ; 0) doncUTH a pour coordonnes

. Ainsi TH = ne dpend pas de la position

de M sur .

A. 1. a) d a pour quationy =x + 1donc m =p = 1 etf(x) =x + 1 + (x)avec (x) = 0 et (x) = 0.

b) Le point A(0 ; 1) est centre de symtrie doncf(x) +f(x) = 2. (1)

c) De (1) il vient :x + 1 + (x) + 1 x + (x) = 2

donc (x) + (x) = 0 et la fonction est impaire.2. (x) = ( ax + b) .Pour tout relx on a :

(ax + b + ax + b) = 0 donc b = 0.

De plusf(x) = 1 (x) orf(0) = (1 e).Donc (0) = e.De plus (x) = a(1 2x2) soit a = e.B. 1. a)f(x) = 1 (1 2x2)f(0) = 1 e etf(0) = 1donc la tangente enx = 0 a pour quation

y = (1 2)x + 1.

b)f(x) (1 2)x 1 = 1 +x x x + ex 1

f(x) (1 2)x 1 = ex[1 ].

1 > 0 pour tout relx donc six < 0. est en

dessous de T et six > 0. est au-dessous de T.2. a)f(x) = 2x(3 2x2) .Sur ,f(x) est donc du signe de 2x(3 2x2).

Le tableau de variation sur [0 ; 1] est :

b) Sur [0 ; 1],f(0)f(1) < 0, il existe donc unique telquef() = 0 (carf est strictement croissante sur [0 ; 1].f(0,51) 0,005,f(0,52) > 0 do 0,51 < < 0,52.

c) 1 (1 22) = 0.Doncf() = 1 + = 1 +

soitf() = 1 .

Do ce minimum relatif a pour coordonnes

.

Partie A. 1. = 0 ;

= + ; fm(x) = (x + m + 1)ex ;

92 G

e 1 1 e n 1( )

1 e 1---------------------------------------

n +

lim 1e 1------------

93 G

94 Gex

ex 1+--------------

e x

ex 1+--------------

ex

ex 1+( )2

----------------------

2 e x

ex 1+( )2

----------------------

14---

34---

95 G

96 G

eax0 eax0

x01a--- ; 0

1a--- ; 0

1a

-----

Problmes (page 112)

97

x +

limx

lim

e x2

e x2

e x2

e1 x2

e1 x2

e x2

e x2

e1 x2

x 0 0

f(x) 2

f(x) 1 e2

x (m +1) +

fm(x) 0 +

fm0

e (m+1)+

+

0

e1 2

e1 2

1 22------------------

23

1 22------------------

; 1 22

23

1 22----------------------------------

98GG fm x( )

x lim

fm x( )x +

lim


15/16


2. a) Sm a pour coordonnes ( m 1 ; e(m+1)) .

b) Sm appartient la courbe dquation y = ex . De

plus m dcrit , doncx dcrit . Il en rsulte que lelieu de Sm est la courbe dquation y = e

x .3.

4. M(a ; b) appartient m quivaut be a = a + m ,donc m = be a a . Par M, il passe une courbem etune seule.

Partie B. 1. Mm a pour coordonnes (x0 ; (x0 + m) )

etfm(x0) = (x0 + m + 1) . Donc Tm a pour qua-

tion :y = (x0 + m + 1) (x x0) + (x0 + m) ,

ou encore y = [(x0 + 1)x x02 + m(x x0 + 1)] .

2. Daprs lquation prcdente, Tm passe par A decoordonnes (x0 1 ; ).

Partie C. 1. M(x ; (x + )ex) , M(x ; (x + )ex) ,

M(x ; (x + )ex).

Donc a pour coordonnes (0 ; ( )ex) et

(0 ; ( )ex). Donc = .

2. a) N est le barycentre de (M , 1) et (M, k) ;

donc N a pour coordonnes .

Ainsi N dcrit une courbe

avec = .b) Pour k = 1 , = 0 , = 2 ; il vient = = 1 .Donc E 1 est1.

A. 1. a) M(x0 ;y0) appartient m quivaut :

y0 + 4x02 = m ,

donc m = (y0 + 4x02) . Ainsi par M(x0 ;y0) donn

passe une courbe m et une seule.b)y = me2a 4a2 , donc m me2a 4a2 est unefonction croissante de m.

2. a)fm(x) = 2me2x 8x = 2e2x(m 4xe 2x) .b) Il rsulte de lcriture prcdente que fm(x) a lemme signe que m 4xe 2x .

3. a) (x) = 8xe 2x + 4e 2x = 4e 2x(1 2x) ; = 0 ; = ;

b)fm(x) a le mme signe que m (x) , donc :

si m > : pour tout relx,fm(x) > 0 ;

si m = : fm(x) > 0 pour tout relx ,

et fm = 0 .

si 0 < m < : fm(x) sannule pour deux valeurs

et et fm(x) > 0 pour x < ou x > ; si m = 0 : fm(x) > 0 pour x < 0 , et fm(0) = 0 ; si m < 0 : fm(x) sannule pour une valeur < 0 etf

m(x) > 0 pour x

B. 1. a)fm(X) = 0 donc 4Xe 2X = m

et Y = me2X 4X2 .b) Il en rsulte que Sm appartient la courbe dqua-tion : Y = 4Xe 2X e2X 4X2 ou Y = 4X 4X2(quation dune parabole).

2. Pour tout rel X, m , donc nest pasun point Sm .3. a) Km(0 ; m) et fm(0) = 2m , donc la tangente Tmen Km a pour quation y m = 2mx ou encorey = m(2x + 1) .

Donc pour tout rel m, Tm passe par le point A .

b) Voir figure ci-contre.

A(1 ; 0) appartient m quivaut 4 = me2 , donc

m = 4e 2 et (x) = 4e2(x 1) 4x2 .

1. a) Vrai, en effetf1(x) f2(x) =xex(1 x) et

pour tout relx [0 ; 1] 1 x 0.Doncf1(x) f2(x) 0.

b) Faux. En effetf1(x) =f2(x) si et seulement six = 0oux = 1. Donc il ny a pas de troisime point commun.

2. a) Vrai carf1(x) = (1 x)ex etf1(x) +f1(x) = ex.b) Vrai.

Pour tout relx,f1(x) doncf1(x) .

c) Vrai car 0 < < do deux solutions distinctes.

3. a) Vrai. La tangente en M

1 a pour quationy = (1 m)e m(x m) + me m.

Elle coupe laxe des ordonnes en N de coordonnes(0 ; m2e m). Or P a pour coordonnes (m ; m2e m)donc N et P ont la mme ordonne.b) Vrai. En effet : La tangente en un point quelcon-que passe par H(0 ; h) si et seulement si m2e m = hdonc si lquationf2(m) = h a des solutions.Le tableau de variation def2 est :

Donc si h , il existe trois rels pour lesquels

f2(x) = h do trois tangentes 1.

1. Vrai. En effet en posant (x) = ex ax b

(x) ex a > 0.

Il existe donc unique tel que () 0 donc ex = ax + ba une solution unique.2. Vrai. En effetf(x) = [u(x) + u(x)]ex. Or u(x) 0 etu(x) 0, doncf(x) 0 etfest strictement croissante.

3. Faux. En effet, et = + .

Ainsifnest pas drivable enx = 0.4. Faux. En effet f(x) = 0.

5. Faux. En effet lquationy +y = 0 a pour solution(x) = kex si (0) = 2 alors k = 2 et (x) = 2ex.

2.f(x) = ceax + 20.f(0) = 70 etf(5) = 60 donc 70 = c + 2060 = ce5a + 20.

Il rsulte que c = 50 et e5a = .

3.f(30) = 50e30a + 20 = 50(e5a)6 + 20soitf(30) = 50 + 20 3311.

x +

fm(x) +

fm +

2

e---

2e---

12--- ; 1

12--- ; 0

f4e 2

O

1

1

x

y

1

0

1 4e2

2e

12

Cest nouveau au bac (page 114)

x 0 1 +

f1(x) 0

f1(x) 0

x 0 2 + f

2(x)

0 + 0

f2(x)+

0 0

100

+

01

e---

1e---

12---

14---

1e---

4

e2

-----

x +

(x)

(x)

+

0 ; 4

e2-----

101

+

0

xe1 x

x-------------------

e1 x

x

------------= e1 x

x

------------

x 0+

lim

x 0+

lim

102

45---

45---

6

transmaths terminal s correction chap 4

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