traitement numerique des images medicales (i)
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TRAITEMENT NUMERIQUE DES IMAGES MEDICALES (I)
NUMERISATIONFILTRAGESEGMENTATION
D. MARIANO-GOULART
PLAN
Images analogiques & numériques
Transformée de Fourier discrèteFormation de l’image, résolutionThéorème d’échantillonnageFiltrage linéaireFiltrage non linéaire
CHAINE D’ACQUISITION, DE TRAITEMENT,DE RECONSTRUCTION ET D’ANALYSE D’IMAGE
� Notion d’image
Notion d’image
IMAGE ANALOGIQUE IMAGE NUMERIQUE
MESURE D’UN SIGNAL PHYSIQUE
2D
� Notion d’image
Numérisation
� Notion d’image
REPRESENTATION EN FREQUENCES
TRANSFORMATION DE FOURIER
� TFD
� TFD
Représentation fréquentielle
1
0 1 2 3 ν
)(s ν) (amplitude)
� TFD
Représentation fréquentielle
1
0 1 2 3 ν
)(s ν) (amplitude)
� TFD
Représentation fréquentielle
0 1 3 5 … 100 ν
)0(s)
)1(s)
)3(s)
)5(s)
)100(s)
)s(i
� TFD
Représentation fréquentielle
� TFD
C’est un peu plus compliqué…
[ ]∑∞
=
++=1
0 )(coss(t)k
kk tkAA ϕω
12.cos(2t+3)
-2.cos(3t+1)
cos t
cos(4t-5)
�
� TFD
C’est un peu plus compliqué…
[ ]∑∞
=
++=1
0 )(coss(t)k
kk tkAA ϕω
[ ] [ ][ ] [ ]tkA
tkA
kk
kk
)(sinsin
)(coscos
ωϕωϕ
−
=
.i)j.sin(ω.i)cos(ωef(i) 0 0 .ij.ω 0 +==
� TFD
Rappel: nombres complexes
.i)cos(ω 0
.i)sin(ω 0
.i)cos(ω 0 .i)sin(ω 0
fT
12 ==ωπ
∑−
=
0=1N
0k
)i.(k. (k).esN
1s(i) ωj
� TFD
Transformée de Fourier discrète
]
1).e-(Ns
... (2).es
(1).es
(0)s
[ N
1s(i)
)i1).-.((N
)i.(2.
)i.(
0
0
0
+
++
+
=
ω
ω
ω
j
j
j
N
12
πω =0
fondamentale
∑−
=
=1N
0k
)i2
.(k(k).es
N
1s(i) N
πj
νϕν
νπ
ν jeA==∑−
=
1N
0k
)N
2.(k-
s(k).e)(sj)
� TFD
Transformée de Fourier discrète
∑−
=
=1N
0k
)i2
.(k(k).es
N
1s(i) N
πj
∑−
=
=1N
0k
)N
2.(k-
s(k).e)(sνπ
νj)
� TFD
Transformée de Fourier discrète
∑ ∑−
=
−
=
=
1N
0k
)i2
.(k1N
0k'
)k2
.(k'?
.e ).es(k' N
1s(i) NN
ππjj-
∑ ∑−
=
−
=
=
1N
0k'
1N
0k
)k'-)(i2
.(?
.e )s(k'N
1s(i) N
πjk
Nik
ik
N
kiN
ki
N
=⇒=
=−
=⇒≠
∑
∑
−
=
−
−−
=
1N
0k
)k'-)(i2
.(
)'(2
)'(.21N
0k
)k'-)(i2
.(
.e'
,0
e-1
e1.e'
π
π
ππ
jk
j
jjk
[ ]∑∑−
=
ω+−
=
=1N
0k
j'kki.1N
0'k2
0e).'k,k(sN
1)j,i(s j
[ ]∑∑−
=
ων+ν−−
=
=νν1N
0k
''kk.1N
0'k
0e).'k,k(s)',(s j
� TFD
TF discrète 2D
� TFD
TF discrète 2D: interprétation
i
j
i
d
d
d
dtg
=
=
φ
φ
cos
dOP
OP
d
d
dtg
i
i
j
1/1cos
' /1
/1'
=⇒=
=⇒=
φ
φφφ
� TFD
TF discrète 2D: interprétation
d
1f =
φ
� TFD
H=original
0..2
. ωπ
jj −−== eeW N
N
∑∑−
=
ν−
=
νω− ==ν1N
0k
kN
1N
0k
)k.( W).k(se).k(s)(s 0j
)(H.W + ) (G
W).1k2(sWW).k2(s
W).1k2(sWW).k2(s
W).1k2(sW).k2(s) (s
N
12
N
0k
.k2/NN
12
N
0k
.k2/N
12
N
0k
.k.2NN
12
N
0k
.k.2N
12
N
0k
).1k.2(N
12
N
0k
.k.2N
νν=
++=
++=
++=ν
ν
−
=
νν
−
=
ν
−
=
νν
−
=
ν
−
=
ν+
−
=
ν
∑∑
∑∑
∑∑
� TFD
Fast Fourier Transform (FFT)
)2
sin(.)2
cos(N
jN
WN
ππ −=
)(. + ) () (ˆ ννν ν HWGs N=
� TFD
Fast Fourier Transform (FFT)
TF sur N points TF sur N/2 points
)1()1()0().()(ˆ1
0
)2
2.(
ssekssk
k ννπ
ν −+==∑=
− jTF sur 2 points:
).2
sin(.).2
cos(N
jN
νπνπ −
Complexité N² → N.log2 N (512² → 512x9 i.e 57 fois moins)
� TFD
Algorithme FFT
∑∈
=Ζk
)xT
2πj.(k
(k).efT
1f(x)
dxf(x).e(k)fT
0
)xT
2j.(k
∫−
=π
νν= ∫+∞
∞−de).(f)x(f πνx2 j
dxe).x(f)(f πνx2∫+∞
∞−
−=ν j
� TFD
Autres décompositions de FourierSérie de Fourierf(x) périodique
Transformée de Fourier
( ) ( )∑∈
−=Zk
) T
kν δ( . kfνf
k/T
1) T
kν δ( −
1e).0(e).k()(ˆ 01N
0k
)N
2k.(
=δ=δ=νδ ∑−
=
νπ− j
ννπ−−
=
νπ−=δ=−δ=νδ ∑ .R
N
)N
2R.(
1N
0k
)N
2k.(
R We).0(e).Rk()(ˆ jj
� TFD
TF utiles: impulsion de Dirac
( )∑Ζ∈
−δ=k
d kdx)x(S ( )ν=
−νδ=ν ∑Ζ∈ d
1
k
Sd
1
d
k
d
1)(S
� TFD
TFD utiles : « peigne de Dirac »d
( )πν
πν===ν ∫∫+
−
−∞+
∞−
− 0x
x
πνx2πνx2 x2sindxe dxe).x(p)(p
0
0
j j
� TFD
TF utiles: créneau
� TFD
TF utiles: gaussienneα
ν−α−
α=ν⇔= .4i
2
2
e2
1)(he)i(h
21
2σ
i-
σ
1σ
2πσ
eG(i) :Rm
2
2
=⇒=
� TFD
Application: détermination des TES
� TFD
Application: détermination des TES
TES ?
� TFD
1° harmonique
H1
01 =ϕ
01 <ϕ
∑−
=
=1N
0k
)t.(k 0(k).esN
1s(t) ωj
100 )t.(10
)t.( ee(1)s(0)s
s(t) ϕωω ++=+= jj AANN
21
πϕ =
� TFD
1° harmonique
H1
01 <ϕ
10 )t.(10 es(t) ϕω ++= jAA
1ϕ
� TFD
Multi-harmoniques
H1 H1+H2+H3H1+H2
Avant bruitage∑
−
=
=1N
0k
)t.(k 0(k).esN
1s(t) ωj
Ajustement en amplitude
P(t) D(t) = P(t)β
(Caderas de Kerleau et Mariano-Goulart, IEEE TRANS MED IMAGING 2004)
Ajustement en temps
P(t1/3)
P(t3)
t1/3
t3
Ajustement en temps
P(t) D(t) = P(tα)
Ajustement en temps
D(t) = P[Q(t)]
Q(t)
P(t)
Restauration du signalAcquisition bruitée (t4 , A4)
A4 = P(u4) A4 = D(t4) = P[ Q(t4)]
Q(t4) = u4
A4
1
1
Q(t)
t
(Caderas de Kerleau et Mariano-Goulart, IEEE TRANS MED IMAGING 2004)
Résultats (I)
H1 H1+H2 H1+H2+H3 D(t)
Résultats (II)
FORMATION DE L’IMAGE
SLIDRESOLUTION
� Formation de l’image
� Formation de l’image
Systèmes linéaires & invariants dans le décalage
∑+∞
−∞=
−δ=k
)ki().k(p)i(p )ki]([M).k(p)i(sk
−δ=∑+∞
−∞=
phhps
kihkpisk
∗=∗=
−= ∑+∞
−∞=
)().()(
� Formation de l’image
M[ ]
s(i)p(i)
Formation de l’image γγγγγγγγ
9943 Tc
Produit de convolutionpδp :Rm ∗=
� Formation de l’image
LMH = pouvoir séparateur = résolution de l’imageur1/LMH = fréquence spatiale maximale dans le signal
Interprétation (I)
Interprétation (II)
∑+
−=
−=1
1
)().()(k
kipkhis
1/2
1/4
4
1)p(i1)p(i2.p(i)1)p(i
4
1p(i)
2
11)p(i
4
1s(i)
−+++=−+++=
M[ ]1
1
3/4
p(i)
i i
s(i)
moyenne pondérée
∑∑+∞=
−∞=
ων−ων+∞=
−∞=
−ων ==k
k
k)...(ji)...(jk
k
)ki).(..(j 000 e).k(he e).k(h)i(s
)i(p).(h )i](p[M e)i(p i).( 0 ν=⇒= νωj
� Formation de l’image
SLID et base de Fourier
Un SLID agit sur l’harmonique νen l’amplifiant par la réponse en fréquence en ν
∑∑−=ν
=ν
νω−=ν
=ν
νω νν=⇒ν=1N
0
i...j1N
0
i...j 00 e).(h).(pN
1 M[p](i) e).(p
N
1 p(i)
∑−=ν
=ν
νων=1N
0
i...j 0e).(sN
1)i(s
h . pshps =⇒∗=
1δoù d' ,hh . δshhδs :Rm ===⇒=∗=
� Formation de l’image
SLID et base de Fourier M[]
s(i)p(i)
γγγγγγγγ99
43 Tc
=
� Formation de l’image
Formation de l’image: synthèse
h
ECHANTILLONNAGE
THEOREME DE SHANNON
� Théorème de Shannon
( ) ( )∑∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
−δ=−δ==nn
de ndx).d.n(sndx).x(s)x(S).x(s)x(s
� Théorème de Shannon
xd
s(x)δ(x-n.d)
s(x)
se(x)
Opérateur d’échantillonnage
( )∑+∞
−∞=
−=n
e ndxδ. s(x)(x)s
−=
−−=
−∗ ∑+∞
−∞= d
nsk
d
ns
d
ns
k
ννδνδν . (k) )( mais
� Théorème de Shannon
)( 1
)(ˆ ∑+∞
−∞=
−∗=n
e d
ns
ds νδνν
∑+∞
−∞=
−=n
e d
ns
ds νν
1 )(ˆ donc
Théorème de Shannon (I)
� Théorème de Shannon
Théorème de Shannon (II)
∑+∞
−∞=
−=n
e d
nss νν )(ˆ . d
)(ˆ)(ˆ).(ˆ..2 max ννννν spsd ee =⇒>
)(ˆ νp
∑ ∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=−δ∗=n n
)d.nx(p.)d.n(s.d)d.nx().d.n(s)x(p.d)x(s
).(
)].(2sin[.).(.)( max
dnx
dnxdnsdxs
n −−= ∑
∞
−∞= ππν
� Théorème de Shannon
)(ˆ)(ˆ).(ˆ..2 max ννννν spsd ee =⇒>
Théorème de Shannon (III)
).(
)].(2sin[.).(.)(.2 max
max dnx
dnxdnsdxs
ne −
−=⇒> ∑∞
−∞= ππννν
� Théorème de Shannon
Théorème de Shannon (IV)
donc échantillonnage sans perte d’information2.νmax = 2/LMH est appelé fréquence de Nyquist
Exemple : Nombre de pixels en scintigraphie myocardiquechamp 50x50 cmLMH = 16 mm
).(
)].(2sin[.).(.)(.2 max
max dnx
dnxdnsdxs
ne −
−=⇒> ∑∞
−∞= ππννν
� Théorème de Shannon
Théorème de Shannon (IV)
donc échantillonnage sans perte d’information2.νmax = 2/LMH est appelé fréquence de Nyquist
Exemple : Nombre de pixels en scintigraphie myocardiquechamp 50x50 cmLMH = 16 mm Réponse:
νmax =1/LMH =1/16 = 0.0625 pixel/mmνe =2.νmax =2/16 = 0.125 pixel/mm
Donc 0.125 x 500 =62.5 i.e 64 pixels/côté
FILTRAGE
Filtrage linéaire (et invariant dans le décalage)
Filtrage non linéaire
� Filtrage linéaire
� Filtrage linéaire
Filtrage linéaire d’image
Convolution:
Remplace chaque NG par une moyenne pondérée des NG voisins
Atténuation sélective de certaines fréquences
Filtres passe-bas
� Filtrage linéaire
∑+∞
−∞=
−=k
k)f(k).m(is(i)
121
242
121
16
1
)]cos(1.[5,0)(feν
νπν += 22 'νν +
n
cf
m .222 '
1
1)',(ˆ
++
=νν
νν
� Filtrage linéaire
Exemple: filtres de Butterworth
n=1
n=10
fc
original
Butterworth
Exemple: segmentation
Frontières :� Extrema du gradient (f’)� Passages par zéro du Laplacien (f’’)
pp*h = ff’
f ’’
)]1,()1,([2
1),(
)],1(),1([2
1),(
−−+=
−−+=
jifjifjig
jifjifjig
v
h[ ]2/102/1−
−
2/1
0
2/1
−−−
=101
202
101
Gh
−−−=
121
000
121
Gv
� Filtrage linéaire
Filtres passe-haut: Gradients
Généralisation 2d:i
j
� Filtrage linéaire
Filtres passe-haut: GradientsGV
GHG
GH (GV) efface les frontières verticales (horizontales)
original
−111
181
111
� Filtrage linéaire
Filtres passe-haut: Laplacien original
� Filtrage linéaire
Filtre de déconvolution de Metz h
p p . hs=h
1p
[ ])',(ˆ
)',(ˆ1 1)',(ˆ
2
νν
νννν
h
hm
n−−
=
)',(ˆ1
ννh
n=1
n=15
n=4
n=0,834.ln(C)-7,774King et al. JNM 83;24
Metz Et al. JNM 73; 15
2
2
2
2
)(ˆ
)()(
)(ˆ
)()(
)(
)(ˆ)(ˆ
ν
νν
ν
ννν
νν
p
bh
h
S
Sh
hf
p
b
+
≈+
=∗∗
0)(
)(1
)(
)()(
)()(
)()(ˆ1ˆ →−=−=
+=⇒=
νν
ννν
ννν
νm
b
m
bm
bp
p
S
S
S
SS
SS
Sfh
� Filtrage linéaire
Filtre de déconvolution de Wiener
Réponse impulsionnelle en MN γ
2
2
2
2
1)( σ
σπ
i
eih−
=
'd. kk +=σ d
σ
d
σ
Relation fréquence-distance
i
j
s
t
θ
ωnt −=
ω
n
s
θ
TF2Une désintégration contribue à
quand θ permet que ( )npc ,ˆ ω( ) dtj).f(i, s,pc ∫=θ
( )npc ,ˆ ω
ωnt −=
Déconvolution en TEMP
2
2
2
2
1)( t
i
t
t eih σ
σπ
−
=
th
p p . hp t=c
th
1p
( ) ( )nphnp nc ,ˆ).(ˆ,ˆ ωωωω
−=
( ) ( )nph
np c
n
,ˆ.)(ˆ
1,ˆ ω
ωω
ω−
=ω
n
( )npc ,ˆ ω
Edholm, Lewitt et al. Proc SPIE 1986, et IEEE-TMI, 1989
� Filtrage non linéaire
Lissage sur masque adapté (VSS)
Accumulation pour moyenne des
s(i’,j’) ∈ s(i,j)±2√s(i,j)
original
VSS
� Filtrage non linéaire
Filtre médian
On remplace s(i,j) par le NG médian dans un
voisinage fixe de (i,j)
δB(E) = {centres X / BX ∩ E ≠ ∅} = ∪ {BX , X∈E}
εB(E) = {centres X / BX ⊂ E}
εB(E) = [δB(Ec)]c
� Filtrage non linéaire
Opérateurs de Minkowski Élément structurant centré en x
ψ o ψ = ψ� Modifie une fois pour toute certaines caractéristiques
pour tout ensembles A et B, A ⊂ B ⇒ ψ (A) ⊂ ψ (B) � Respecte les relations contenant/contenu
Filtres morphologiques ψψψψ est un filtre morphologique si et seulement si:
φB(E) = (ε o δ)(E) = ε[δ(E)] = ∪ { BX / BX ∩ X = ∅ }c
� Filtrage non linéaire
Ouvertures et fermetures binaires
γB(E) = (δ o ε)(E) = δ [ε(E)] = ∪ { BX / BX ⊂ X }
)','( ),( ) (, )','(
jisSupjisjiBji
B∈
=δ
� Filtrage non linéaire
Opérateurs en niveaux de gris
)','( ),( ) (, )','(
jisInfjisjiBji
B∈
=ε
� Filtrage non linéaire
Filtres en niveaux de gris
φB(s) =ε[δ(s)] γB(s) = δ [ε(s)]
h(s) = s - γB(s)
� Filtrage non linéaire
Top hat transform
sγ(s)
s-γ(s)
h(s)=s-γ(s)original
[ ][ ] smoù , s), (mε ) (mΕ
smoù , s(m),δ ) (m∆
Bs
Bs
≥∨=
≤∧=
(m)Ε(s)φ
(m)∆(s)γ
srec
srec
∞
∞
=
=
� Filtrage non linéaire
Opérateurs géodésiques
(s))(Ε(s)φ
(s))(ε∆(s)γ
Bsrec
Bsrec
ϕ∞
∞
=
=
� Filtrage non linéaire
Érosion (dilatation)-reconstruction
ε δ
B
εB
δ
∆s∞
))s(()s(
))s(()s(
Bsrec
Bsrec
δΕ=φ
ε∆=γ
∞
∞
� Filtrage non linéaire
seuil
Érosion (dilatation)-reconstruction
original
γrec(s) = ∆∞s (s-C)
� Filtrage non linéaire
Ouverture de contraste
s-C
sγrec(s)
élimine les composantes de faible contraste
s- γrec(s) isole les maxima relatifs
Famille de filtres {ψk}s(i,j) ← ∧k ψk(i,j) si ∀k, ψk(i,j) ≥ s(i,j)s(i,j) ← ∨k ψk(i,j) si ∀k, ψk(i,j) ≤ s(i,j)sinon s(i,j) est inchangée
Centres morphologiques
� Filtrage non linéaire
C = (∨ψk) ∧ [ I ∨ (∧ψk) ] = (∧ψk) ∨ [ I ∧ (∨ψk) ]
ψ3ψ1
ψ2
s
C
ε(s)(i,j) = ∨k ( εSk )(s)(i,j)
δ(s)(i,j) = ∧k ( δSk )(s)(i,j)
� Filtrage non linéaire
Sup et Inf d’opérateurs
� Filtrage non linéaire
Exemples
(s)γ rec (s)rec ϕ
{ } γ, γ C ϕϕ))(( εδ ∨∧original
Segmentation morphologique
Gradients morphologiques
(s)γ rec (s)rec ϕ
))(( εδ ∨∧
)()(
)()(
fffG
fffG
BiB
BeB
εδ
−=
−=)()()( fffG BB
eB εδ −=
Segmentation morphologique
(s)γ rec (s)rec ϕ
))(( εδ ∨∧
Ge Gi
G
Gradientsmorpho-logiques
Segmentation morphologique
Ligne de partage des eaux
Segmentation morphologique
Ligne de partage des eaux
Segmentation morphologique
Amincissement homotopique
( ) minmaxmax ),( si ,1 0 11 0 11 0 1
fjifffjif ≤<=
−−−
o
−−−
=1 0 11 0 11 0 1
L
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998; 22:1300-07 et Revue Acomen 2000;6:69-77)
j-1
j
j+1
i+1
i-1
i
Segmentation morphologique
Amincissement homotopique
( ) minmaxmax ),( si ,1 0 11 0 11 0 1
fjifffjif ≤<=
−−−
o
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998; 22:1300-07 et Revue Acomen 2000;6:69-77)
j-1
j
j+1
i+1
i-1
i
Ebarbulage par amincissement
∞
=
i
f0 0 01 1- 10 1 0
LPE o
( ) L f Sq i∞= o
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998; 22:1300-07 et Revue Acomen 2000;6:69-77)
Appariements des ROIs
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998; 22:1300-07 et Revue Acomen 2000;6:69-77)
Appariements des ROIs
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998; 22:1300-07 et Revue Acomen 2000;6:69-77)
Appariements des ROIs
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998; 22:1300-07 et Revue Acomen 2000;6:69-77)
Résultats
(Mariano-Goulart et al.EJNM 1998;22 et EJNM 2001;28- Daou et al. JNM 2001;42 )
TROIS REFERENCES SIMPLES
[1] Desgrez A, Idy-Peretti I. « Bases physiques de l’imagerie médicale »Paris, Masson, 1991.
[2] M. Coster et J.L. Chermant. « Précis d’analyse d’images »Presses du CNRS, 1989.
[3] Schmitt M, Mattioli J. « Morphologie mathématique »Paris, Masson, 1993.
Merci de votre attention…
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