these annexe1

1. L’INTÉGRALE DE FRESNEL.................................................................................11.1. DÉFINITION..................................................................................................... 11.2. CALCUL NUMÉRIQUE DE L’INTÉGRALE DE FRESNEL........................................1

2. L’INTÉGRALE DE FRESNEL MODIFIÉE K(X)....................................................22.1. DÉFINITION..................................................................................................... 22.2. VARIATION DE LA FONCTION K(X)..................................................................2

3. L’INTÉGRALE DE FRESNEL MODIFIÉE F(X).....................................................33.1. DÉFINITION..................................................................................................... 33.2. VARIATION DE LA FONCTION F(X)..................................................................3

4. L’INTÉGRALE DE FRESNEL GÉNÉRALISÉE G(Z,W)........................................44.1. DÉFINITION..................................................................................................... 44.2. LES RELATIONS ASYMPTOTIQUES....................................................................54.3. ÉVALUATION NUMÉRIQUE DANS LA ZONE INTERMÉDIAIRE..............................64.4. VARIATION DE LA FONCTION G(Z,W)..............................................................7

Annexe 1

LES FONCTIONS SPÉCIALES

Les problèmes de diffraction par une ou plusieurs arêtes de dièdre font intervenir des

fonctions spéciales plus ou moins complexes, appelées aussi fonctions de transition uniformes :

K(x) ou F(x) pour la diffraction simple et G(z,w) pour la diffraction double.

1. L’INTÉGRALE DE FRESNEL

1.1. DÉFINITION

L’intégrale de Fresnel est définie pour un argument réel par :

I(x) = exp(−jt2 ) dtx

∞∫

(1)

Lorsque l’argument est nul, cette intégrale est égale à

I(0) = π4 e

−j π4

.

1.2. CALCUL NUMÉRIQUE DE L’INTÉGRALE DE FRESNEL

L’intégrale de Fresnel (1) est calculée à partir de la routine FC10AD de la bibliothèque

mathématique Harwell [xxx]. Les approximations utilisées sont deux polynômes du 11ième

1x

1 On montre que :

:

I(x) ≈e−jx2

(an + jn=0

11∑ bn)

(2n+1)x2 ⎡ ⎣

⎤ ⎦

+ I(0) si x∈ 0, 2[ [

I (x) ≈e−jx2

(cn + jn=0

11

∑ dn)(2n+1)x

2 ⎡ ⎣

⎤ ⎦

si x∈ 2,∞[ [

⎧

⎨

⎪ ⎪

⎩

⎪ ⎪

an + j bn =−jn23n+1

/ 1 . 3 . 5 .. . .(2n+ 1)[ ]

(2)

2. L’INTÉGRALE DE FRESNEL MODIFIÉE K(x)

2.1. DÉFINITION

On a :

et

K(x) =jπ ⎡ ⎣

⎤ ⎦

1/2

ejx2

I (x)

(3)

cn + j dn =−jn+1

1 . 1 . 3 . 5 ... .(2n - 1)[ ] / 23n+2

La fonction K(x) définie par James [xxx] est proportionnelle à l'intégrale de Fresnel I(x).

Elle présente une convergence rapide vers

12

lorsque l'argument x tend vers 0. Pour les grandes valeurs de x, elle décroît rapidement

suivant la relation approchée :

K(x) ≈1

2x jπ

(4)

2.2. VARIATION DE LA FONCTION K(X)

Amplitude de K(x) Phase de K(x)

figure 1 variation de la phase et amplitude de la fonction K(x)

3. L’INTÉGRALE DE FRESNEL MODIFIÉE F(x)

3.1. DÉFINITION

La fonction de transition F(x) est issue du formalisme adopté par Pathak et Kouyoujian

[xxx] et elle se note :

F(x) =2 j x ejx I ( x)

(5)

Ces auteurs privilégient une fonction de transition tendant rapidement vers l'unité en

dehors des transitions optiques (x >> 1) afin de faire apparaître explicitement le coefficient de

diffraction GTD de Keller [xxx] dans leur coefficient UTD. Le champ diffracté sur une

transition optique (x ≈ 0) peut être évalué à partir de la relation asymptotique du premier

ordre :

F(x) ≈ejx jπx −2 jx−23 x

2[ ]

(6)

3.2. VARIATION DE LA FONCTION F(x)

Amplitude de F(x) Phase de F(x)

figure 2 variation de la phase et amplitude de la fonction F(x)

4. L’INTÉGRALE DE FRESNEL GÉNÉRALISÉE G(z,w)

4.1. DÉFINITION

La diffraction par deux arêtes, calculée par application directe des résultats de l'T.U.D.,

est caractérisée par une fonction de transition double égale au produit de deux intégrales de

Fresnel modifiés. Toute fois, cette fonction ne reste valide que si le champ rayonné dans la

direction des transitions optiques d'une arête n'illumine pas l'arête adjacente.

Dans le cas général, les coefficients de diffraction double uniforme proposés par James

[xxx] ou Marhefka [xxx] font intervenir l'intégrale de Fresnel généralisée (I.F.G.) qui

remplace le produit des deux intégrales simples.

G(z,w) =w2πejz

2

z

∞∫

1

t2 +w2 e−jt

2

dt

(9)

w = b z

eq. 12

figure 3 définition des zones 2 de calcul asymptotique ou numérique

Cette intégrale peut être exprimée aussi à partir du système de coordonnées cylindriques

suivant :

2les valeurs des constantes choisies sont : a =

ρ = z2 + w2

θ = arctanz

w

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

(8)

L'I.F.G. est calculée soit par des approximations asymptotiques pour ρ assez grand ou

très faible, soit par une méthode d'intégration numérique complexe pour les valeurs

intermédiaires de ρ. Pour des considérations de temps de calcul, la fonction est tabulée dans

cette zone et elle est approchée par une méthode d'interpolation linéaire en utilisant le

système de coordonnées polaires.

10−5

L'utilisation des propriétés de symétrie suivant trois axes (z=0, w=0 et z=w) permet de

restreindre l'évaluation de l'I.F.G. à un secteur limité au demi-cadran positif inférieur où

, b = 0.1 et c = 3.

0 < θ < π4

.

G(−z,w) =−G(z,w) ( symétrie suivant l' axe z=0)G(z,−w) =−G(z,w) ( symétrie suivant l' axe w=0)G(z,w) +G(w,z) =K(z)K(w) ( symétrie suivant z=w)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

(9)

4.2. LES RELATIONS ASYMPTOTIQUES

L'approximation asymptotique pour de petites valeurs de ρ est donnée par :

G(z,w) ≈12exp(jz2 ) K(w) +

1πjzw− 1+ jw2( )arctan

zw

⎡ ⎣

⎤ ⎦

⎧ ⎨ ⎩

⎫ ⎬ ⎭ siρ < a

(10)

Par contre, si ρ devient grand, l'approximation devient :

G(z,w)≈1j4π

ww2 + z2

K(z) siρ > c

(11)

Sur les trois axes particuliers z=0, z=w et w=0, les expressions de l'I.F.G. sont :

G(z,0) =0 si c> w >a

G(0,w)= 12 K(w) si c> z>a

G(w,w) = 12 K(w)

2 si c> z=w >a

⎧

⎨ ⎪

⎩ ⎪

(12)

sachant que, dans le voisinage de l'axe w≈0, l'I.F.G. est approchée par :

G(z,w)≈wz

12π

−z K(z) jπ

⎡ ⎣ ⎢

⎤ ⎦ ⎥ si

wz< b

(13)

4.3. ÉVALUATION NUMÉRIQUE DANS LA ZONE INTERMÉDIAIRE

La figure 3 indique qu'il existe une zone indéterminée où l'utilisation des relations

asymptotiques n'est plus possible. Une autre forme de l'I.F.G. moins compacte

G(z,w)= 12 e

jz2 K(w)2e−jw2

−wπ

e−jt2

t2 +w2 dtw

z

∫ ⎡

⎣ ⎢ ⎤

⎦ ⎥

(14)

fait apparaître, dans le terme en italique, une intégrale de FILON bornée du type

K = Ω(x)e−juxdxxo

x2n

∫

(15)

En posant le changement de variable

x =t2

, il en résulte l'expression de la fonction non oscillante

Ω(x) =1

2 x x + w2[ ]

(16)

qui présente une singularité infinie pour x≈0. Mais, comme la borne

xo

est supérieure à 0, cette singularité ne pose pas de problème et l'intégrale K peut être résolue

numériquement à partir des formules de FILON [xxx] en prenant u=1.

Cependant, cette technique d'intégration présente le désavantage d'être très gourmande en

temps de calcul et il nous est apparu judicieux de recourir à une tabulation de l'I.F.G. dans la

zone intermédiaire. A partir de la relation asymptotique (10) exprimée en coordonnées

polaires,

G(ρ,θ)≈14−

θ2π

+ (ρθ

4I (0)+ ... )

(17)

on constate que l'I.F.G. est linéairement proportionnelle à ρ et θ au premier ordre. C'est

pourquoi, une interpolation linéaire en coordonnées polaires a été adoptée pour évaluer

l'I.F.G. à partir d'un tableau de valeurs

G ji =G(ρi ,θ j)

. Cette méthode permet d'augmenter la vitesse de calcul de l'I.F.G. par un facteur 33 avec une

perte de précision de l'ordre de 0.5 %.

Pour des arguments z et w tels que :

ρi < ρ < ρ i+1

et

θ i < θ < θ i+1

(18)

l'I.F.G. se calcule donc en effectuant l'interpolation linéaire en coordonnées polaires :

G(ρ,θ)=1

(ρi+1 −ρi )(θ j+1 −θ j)

(ρ −ρi)(θ −θ j)G j+1i+1 + (ρ −ρi )(θ j+1 −θ)G j

i+1

+(ρi+1 −ρ)(θ −θ j)G j+1i + (ρi+1 −ρ)(θ j+1 −θ)G j

i

⎡

⎣ ⎢

⎤

⎦ ⎥

(19)

4.4. VARIATION DE LA FONCTION G(z,w)

figure 4 variation 3de l'amplitude de la fonction G(z,w)

figure 5 variation 4de la phase de la fonction G(z,w)

3Les arguments z et w varient de

10−6

à

102

avec des échelles logarithmiques.

4Les arguments z et w varient de

10−6

à

102

avec des échelles logarithmiques.